sin ωt sin (ωt – ϕ)

Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
4. Wechselspannungskreise
4.1 Phasenbeziehungen
sin ωt
sin (ωt – ϕ)
nachfolgend
sin (ωt + ϕ) voreilend
ϕ < 0:
nachfolgend positiv verschobene Zeitachse,
ϕ > 0:
voreilend
Rechtssinn gedreht
negativ verschobene Zeitachse, Linkssinn gedreht
+
ϕ
Sinus-Cosinus-Transformationen
d sin ωt = ω cos ωt
dt
1 cos ωt
sin ωt dt = – ω
d cos ωt = – ω sin ωt
dt
1 sin ωt
cos ωt dt = ω
sin ωt =cos (ωt – π )
2
cos ωt =sin (ωt + π )
2
– sin ωt =cos (ωt + π )
2
– cos ωt =sin (ωt – π )
2
4.2 Frequenzverhalten
4.2.1 Scheinwiderstand
Knoten-, Maschenregel behalten Gültigkeit:
Erregung jetzt Sinussignal, Nutzung Differentaitions-Integrations-Beziehungen
Ziel: verallgemeinertes Bauelement "X", für das Ohmsches Gesetz weiter gilt
ϕ
1
2
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Wirkwiderstand (Resistanz):
= R I sin ωt = X R I sin ωt
u R =R i
XR =R
Blindwiderstand (Reaktanz):
u L = L di = L d I sin ωt = L ω I cos ωt = L ω I sin (ωt + π ) = X L I sin (ωt + π )
2
2
dt
dt
uC = 1
C
Isin ωt dt = I 1
(– cos ωt)= I sin (ωt – π ) = X C I sin (ωt – π )
C ω
ωC
2
2
i dt = 1
C
Induktiver Blindwiderstand
X
X L = ωL
XC = 1
ωC
Kapazitiver Blindwiderstand
X
L
C
ω
ω
Blindwiderstand X L steigt mit Frequenz proportional
Blindwiderstand X C sinkt mit Frequenz hyperbolisch
i C(t) = I sin ωt
i L(t) = I sin ωt
u L (t) = I sin (ωt + π )
2
u C(t) = I sin (ωt – π )
2
Spannung an C
nachfolgend
Spannung an L
voreilend
Spannung u L eilt dem Strom iL 90° voraus (P/2)
Spannung u C folgt dem Strom iL um -90° nach (-P/2)
4.2.2 Komplexer Widerstand
alternative gleichwertige Beschreibung:
Spannungen und Ströme komplex geschrieben:
jωt
jωt
U =U e
I =I e
Komplexe Widerstände:
Ausdehnung des Ohmschen Gesetzes auf Wechselstromwiderstände
Vorteil: formale Nutzung Ohmsches Gesetz für einfache Anwendungen
Alternative zu Ansatz mit Dgl. für einfache Fälle
statt Ohmscher Widerstand werden komplexe Wechselstromwiderstände definiert,
die auch auf L und C angewendet werden.
Nutzung Besonderheit der e-Funktion = Selbstreproduktion nach Differentiation:
jωt
dIe
u = L di ⇒ Ue
= L (jω) ⋅
dt
dt
jωt
= L (jω) jω I e
jωt
U (jω)
= jω L = Z L (jω)
I (jω)
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u= 1
C
i dt
⇒
Ue
jωt
=
1 ⋅
C ( jω)
Ie
jωt
dt =
U (jω)
= 1 = Z C (jω)
I (jω) j ω C
jωt
1
Ie
j ω C(jω)
jωt
j(ϕ – ϕ i)
jϕ
u=Ue
=Ue u
=Z =Z e
jωt
i
I
Ie
komplexer Widerstand, Impedanz, Widerstandsoperator Z
u = Z (cos ϕ + j sin ϕ )
z
z
i
= Re (Z)+ jIm (Z) = R R + jX R
U (jω)
= Z R (jω) =(R)
I (jω)
R: Wirkwiderstand, Resistanz
R r =Re (Z)
X: Blindwiderstand, kapazitiv, induktiv
X r =Im (Z)
Z: Scheinwiderstand, Impedanz
U
Z = U = eff =
I
I eff
2
2
Rr +Xr
Bsp.: Impedanzen
R
|Z|=
L
C
R
R
C
L
u=Ri
UR= R I0 ⋅ e
ZR≡R
iR uR
2
2
R +( 1 )
ωC
|Z|=
2
2
R + (ωL– 1 )
ωC
d i (t)
dt
jωt
= ZR⋅ I
d I0 ⋅ e
UL = L ⋅
dt
jωt
= L jω ⋅ I 0 ⋅ e = Z L ⋅ I
Z L = j ω L = jX L
j
uL
iL
u (t) = 1 i (t)dt
C
d u(t)
i (t) = C
dt
jωt
1
UC =
I 0 ⋅ e dt
C
jωt
1
=
⋅ I ⋅ e =Z C ⋅ I
C jω 0
Z C = 1 = – jX C
jωC
-j
Z
Z
2
|Z|=
u (t)= L
jωt
2
R + (ωL)
iC
uC
Z
L
ω
ω
ω
3
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
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ϕ
ϕ
ϕ
π
2
ω
ω
–
π
2
ω
Hinweis: Analogien zu Blindwiderstand
komplexer Widerstand - Spannungsteiler
Ablesen Frequenzgang:
U (jω) = Z(jω) ⋅ I (jω)
U e jωt
Z (jω) =
I e jωt
U (jω)
= R = ZR (jω)
I (jω)
R: Ue jωt = R ⋅ I e jωt
jωt
L: U e jωt = L (jω) ⋅ d I e = L (jω) jω I e jωt
dt
C: U e jωt =
1 ⋅
C ( jω)
I e jωt dt =
U (jω)
= jω L = Z L (jω)
I (jω)
U (jω)
= 1 = ZC (jω)
I (jω) j ω C
1
I e jωt
j ω C ( j ω)
Anwendungen:
einfache Spannungsteiler
WS-Rechnung
Bsp:. RLC-Vierpole
schematische Behandlung wie Wirkwiderstände, Verwendung der Blindwiderstände X
1
jωC
G (jω) =
R+ 1
jωC
1
=
1 + jω RC
G (jω) =
=
R
R + jωL
1
jω L
1+
R
R
R+ 1
jωC
jω RC
=
1 + jω RC
G (jω) =
jωL
R + jωL
1
1
=
=
R
jR
1+
jωL 1 – ωL
G (jω) =
4.3 Darstellung und Anwendung Frequenzgang
G(jω) =
B(ω)
jϕ
jϕ
⋅ e = G(jω) ⋅ e
A
Amplitudenfrequenzgang
Phasengang
G(jw)
Im
φ
Re
Re G(jω)
2
G(jω) + Im
2
+ Im G(jω)
Re G(jω)
Re
2
G(jω)
2
Im ϕ =arctan Im G(jω)
φ
Re
G(jω) =
G =
ϕ =arctan
Im G(jω)
Re G(jω)
4
5
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
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Darstellung
a) praktisch meist Trennung Produkt aus
Betragsanteil = Amplitudengang
Phasenanteil = Phasengang
Vorschlag von Bode (Regelungstechnik),
die wichtigste Systemfunktion, doppeltlogarithmisch darzustellen.
- unabh. Variable Frequenz (Log.)
- Amplitude (log)
- Phase - linear
Vorteil:
- Multiplikation Frequenzgänge in Reihenschaltung -> Streckenaddition
verallgemeinerte Dgl.:
(n)
a 0 x(t)+ a 1 x(t)+ a 2 x(t) + ... + a n x (t) = b 0 y(t) + b 1 y(t) + b 2 y(t) + ... ... + b m y
(i)
(k)
n
m
d x
d y
i = 0, ... , n
k = 0, ... , m
OP : i=Σ0 a i i = k =Σ0 b k k
dt
dt
Tiefpass RC
x
(t)
Tiefpass LR:
R1
C
y
L
x
R1
y
x = y+ R C y
x = y+ L y
R
a 0x = b 0y + b 1y
a 0x = b 0y + b 1y
a 0 = b 0 =1
b 1 = RC
a 0 = b 0 =1
b1= L
R
0 dB
(m)
ϕ
lg G(jω)
0
- 3 dB
-45°
-90°
lg ω
ωg = 1
b1
Bodediagramm, doppelt logarithmisch
Phasengang: einfach log.
b) gemeinsam, Alternative : Ortskurve
komplette Darstellung Ü-Funktion in komplexer ebene: Ortskurve,
dh. Gesamtheit aller geometrischer Orte für 0<= w < unendlich für G(jw9
Im
Länge und Winkel Zeiger als Spur
im Polarkoordinatensystem
k Re
∞
ω =0
4.4 Filter
Beispiele Amplitudengang
ωg = 1
b1
lg ω
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Bsp.: Tiefpaß (PT1-Glied)
x =y+ RCy
a 0x = b 0y+ b 1 y
G(jω) =
a0
b 0 + b 1 jω
=
1
1 + b 1 jω
für Betrag und Phase: Re + Im-Teil getrennt notwendig
Nenner reell machen, Vorbereitung mit erweitern:
G (jω) =
(1 – b 1 jω)
(1– b 1 jω )
1
=
=
1 + b 1 jω (1 + b 1 jω)(1 – b 1 jω) 1 + (b jω) 2
1
1
Re G ( jω) =
1 + (b 1 jω)
G (jω) =
Re G (jω)
2
(1 + (b 1ω)
2
– b 1ω
1 + (b 1 jω)
2
1
G (jω) =
Im G ( jω) =
+ Im G ( jω)
2
=
2
1 + (b 1ω)
2
2 2
(1+ (b 1ω) )
1
=
(1 + (b 1ω)
1
=
(1+ (RC ω)
2
Frequenzbetrachtung:
a) kleine Frequenzen ω
→0:
G (jω) = ca. 1
b) Frequenzen
G (jω) = ca.
ω -> gross.
=> 1 klein gegen
(b 1 ⋅ ω)
2
1
b 1ω
Schnittpunkt?
G (jω) = ca. 1 =
1
b 1ω
ωg = 1
b1
→
für RC: ω g = 1 = 1
T RC
wie gross ist Amplitude (Betrag) dort?
G (jω g) =
1
(1 + (b 1ω g)
2
==
1
(1 + (1)
2
= 1 = 0,707 = ca. – 3 dB
2
1
1+x
2
1
2
nicht logarithmiert!
1
RC
1
f g = f cutt–off =
=
=
2π
2π
2 π RC
ωg
ϕ =arctan (–b 1ω)
2
6
7
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
ω
ωg
– π = – 45°
4
– π = – 90°
2
k1 Re
Im
∞
0
ω
0,7
ω
Ε
π
4
Ortskurve für G(jw)
Angabe in dB
1 =20 (– 0, 1505) = – 3,0103 dB
2
20 log
20 dB/Dek
40 dB/Dek
einfache Typen:
ϕ =arctan (–b 1ω)
ϕ(ω g) =arctan (– 1)= – π/4 = – 45°
Amplitudengang:
Abnahme Amplituden ca. 20 dB /Dekade
1
G(jω) =
1+( ω )
ωg
1
=
2
1 + (10)
2
=
1 =ca. – 20 dB
10,05
Abnahme Amplituden ca. 20 dB /Oktave
1
G(jω) =
1+( ω )
ωg
1
=
2
1 + (2)
2
=
1 =ca. – 6 dB
2,24
Bsp.: Hochpass
R C x = y+ R C y
a 1x = b 0y+ b 1 y
G(jω) =
a 1 jω
b 0 + b 1 jω
G (jω) =
=
a 1 jω
1 + b 1 jω
a 1ω
(1 + (b 1ω)
2
=
RCjω
1 + RCjω
G (jω) =
RCω
(1 + (RCω)
2
20 dB/Dek
40 dB/Dek
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
ϕ = π – arctan (b 1ω)
2
G (ω → ∞ ) =
G (0) = 0
a1
b1
= RC = 1
RC
G (ω → 1 ) = 1
RC
2
lg G(jω)
0 dB
-3 dB
lg ω
ωg
Bsp.: Kombination TP und HP
Realisierung:
Bandpass
Reihe
HP
Bandsperre
parallel
HP
TP
+
TP
Multiplikation Amplitudengänge G()
= logarithmische Streckenaddition
(Bodediagramm)
Addition Amplitudengänge G()
0 dB
ωT < ωH
ωT > ωH
ωT < ωH
ωT = ωH
ωT > ωH
ω – ωu
B = f o – fu = o
2π
Sperrbereich
BP
BS
Durchlaßbereich
ωH
<
ωT
Durchlassbereich
Übergangsbereich
Sperrbereich
Grenzfrequenz,Durchlaßgrenze wg
Sperrgrenze ? Def?
ωT < ω
H
pass band
transition band
stop band
cut-off frequency we, wc
stopband frequency
low-pass, high-pass, band-pass, band-stop
Graf. Darstellung Symbole
8
9
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
HP
BS
BP
TP
Analog-Bandbreite
wichtige Grenzen: fug bzw. f og, auch Eckfrequenzen
Definition Grenzfrequenz:
Grenzfrequenz: quant. Bestimmung
Spannung = 70,1 %
-3 dB (U)
Leistung = 50 %
-6 dB (P)
- 3dB < V < +3dB = ca. 1/ SQR (2) = 0,71
(auch +- 1 dB)
Bandbreite B = fog - f ug
Mittenfrequenz f m = (fgo - f gu) / 2
D
S
1/ SQR(2)
D
S
ca. -3dB
1/ SQR(2)
D
S
1/ SQR(2)
D
S
D
ca. -3dB
S
B
fug
B
fog
D: Durchlassbereich
S: Sperrbereich
Bandpass
allg. Signalwandler
(Verst., Lautsprecher,
Mikrofon)
fug
fog
fug
Q: Güte
Tiefpass
allg. Ü-Strecke,
Kabel
Hochpass
Filter (Rumpelfilter)
Bandsperre
Antennenfilter
sinnvoll: doppelt logarithmisch (lin. dB), log. f), auch einfach log. (lin. f)
Grenzfrequenz: cut off frequency
Güte des Filters Q, Flankensteilheit einfache Typen (RC) : 20 dB/Dekade = 6 dB/Oktave bzw. Vielfache
bessere ergebnisse: aktive Filter, u.a. Schwingkreise
Multiplikation n Frequenzgänge -> Streckenaddition vertikal
V
dB
1000 60
100
40
10
20
1
0
0,
-20
0,01 -40
G1 + G2
G2
G1
10
100
1000
10.000
f
Anwendungen Filter z. B.
•
Trennung von Spektren: Splitter, DSL, PLC
•
Eingangsstufen HF, Schwingkreis, System 2. Ordnung parallel, seriell
•
Unterdrückung Störungen (Intermodulation, Rauschfilter, Rumpelfilter)
•
subtraktive Soundsynthese
4.5 Resonanz - Schwingkreise
Bedeutung:
Erhöhung der Selektion, Trennschärfe im Vergleich zu passiven Filtern
Nutzung der Resonazeigenschaft in Filtern und Schwingkreisen
4.5.1 Reihenschwingkreis
R
L
C
B
|Z|=
2
2
R + (ωL– 1 )
ωC
fog
10
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
Z=
2
R + (ωL – 1 )
ωC
2
cos ϕ = R
|Z|
Frequenzbetrachtung:
Minimum der Impedanz => max. Strom
UL
ω →∞
ZL
ZL
R
ϕ
R
ϕ
I, UR
|Z|
|Z|
Uges
Z=
2
R + (ωL – 1 )
ωC
2
ZC
ZC
UC
ω =0
Ortskurve
Erregung System mit Eigenfrequenz
Spannungsresonanz, dh. Energie pendelt, nach aussen: neutral
Zmin?
Z=
2
R + (ωL – 1 )
ωC
2
.
Thompsonfrequenz (Resonanzbedingung):
ωL = 1
ωC
⇒ ω=
1
LC
Impedanz mit Minimum:
|Z| =
R
2
2
+ (ωL– 1 )
ωC
induktiv
kapazitiv
ω
r
y =
Strom mit Maximum:
1 2
10 +  0,1x −
0,001x 
11
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
I(ω)
induktiv
kapazitiv
ω
r
100
y =
1 2
1 +  0,1x −
0,001x 
Zahlenbeispiel oben: R = 1 Ohm, C = 1000 µF,
L = 100 mH
Impedanz Z für unterschiedliche Frequenzen:
X
L
X
X
L
XR
ϕ
X
ϕ
X
L
XR
XR
Z
Z
X
ω>0
X
C
ω < ωr
R
L
C
ϕ
C
C
C
ω = ωr
ω > ωr
Y
X
Z
L
XR
X
X
Zusammenfassung:
X
Z
ϕ
Z
C
X
L
Y
ω >> ω r
XR
Elektronische Systeme – 4. Wechselspannungskreise
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G. Schatter 9. Juni 2004
Y
X
Y
X
Leitkreis
Saugkreis
4.5.2 Parallelschwingkreis
Y
X
X
Y
X
Y
X
Sperrkreis
Filterkreis
(in Arbeit)
Y
12