Beta-Funktion

2.2.6 Betafunktion:
Behandlung von Teilchenstrahlen als
Vielteilchensystem
Literatur:
K. Wille, Physik der Teilchenbeschleuniger und
Synchrotronstrahlungsquellen,
Unterkapitel 3.1 bis 3.13
Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
•
•
•
Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen
Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von
Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach
Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex
– Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen
Winkel von
0.01 mrad abgelenkt wird?
•
Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig
aussagen
•
Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:
Betatronfunktion und Betatronschwingung
Einzelteilchensystem – Vielteilchensystem
1. Für jedes einzelne Teilchen lassen sich die Bewegungsgleichungen
lösen
2. Ein Strahl im Beschleuniger ist ein Bespiel für ein Vielteilchensystem –
die Anzahl der Teilchen liegt zwischen 106 und mehr als 1014.
3. Es werden Größen eingeführt, die die kollektive Beschreibung des
Vielteilchensystems möglich machen – die Information über ein
einzelnes Teilchen reicht nicht aus.
4. Die Wechselwirkung zwischen einzelnen Teilchen lässt sich für wenige
Teilchen völlig vernachlässigen, bei zunehmender Teilchenanzahl
werden die Wechselwirkungen zwischen einem einzelnen Teilchen und
dem Kollektiv von entscheidender Bedeutung.
Bei sehr vielen Teilchen – Wechselwirkung der
Teilchen
r
E ( x , y , z , t ) ≠ 0 und / oder
r
B ( x, y, z , t ) ≠ 0
r
r r r
F = q ⋅ (E + v × B)
Die Bahn eines einzelnen Teilchen wird durch die Gesamtheit der
Teilchen beinflusst
• Kollisionen
• Raumladung
• Wechselwirkung der em-Felder der Teilchen mit der Umgebung
Teilchen mit Impulsabweichung - Dispersionsbahn
Betrachten Bahn mit ∆p/p=1, gennant Dispersionsbahn, D(s)
Relevant (in guter Näherung) nur in Ablenkmagneten:
Inhomogene Differentialgleichung,
homogerner Teil analog zu Dgl. f. x(s)
==>
insg.
Anm.: brauchen 3x3 Matrizen zum Transport der Dispersion d. Dipol
( D0(s), D0'(s), 1 ) → ( D(s), D'(s), 1)
( s. Wille, S. 85 )
Bahnverlängerung – ''Momentum Compaction Factor''
Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um,
deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.
Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung bei
Impulsabweichung definiert:
∆L ∆p
α≡
/
p
L
Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:
1
α=
L0
∫
D(s)
ds
ρ (s)
Teilchenimpuls und Bahnlänge
Teilchen mit größerer Energie im Vergleich zur Sollenergie:
• laufen weiter aussen um => grössere Bahnlänge => längere Umlaufzeit
• haben eine größere Geschwindigkeit => kürzere Umlaufzeit
Beide Effekte müssen berücksichtigt werden, um die Umlaufzeit zu
berechnen
Die Änderung der Umlauf zeit für ein Teilchen mit Impulsabwe ichung ist :
1 ∆p
∆T
= (α − 2 ) ⋅
T0
γ
p
α ist der " momentum compaction factor" (siehe oben)
γ =
1
1- β 2
, mit β =
v
c
Differentialgleichung der Teilchenbewegung
⎡ 1
⎤
1 ∆p
x' ' (s) + ⎢ 2
− k ( s)⎥ ⋅ x( s) =
⋅
ρ (s) p
⎣ ρ (s)
⎦
Für Teilchen ohne Impulsabweichung und für Strecken ohne
Ablenkmagnet gilt die Differentialgleichung vom Hill‘schen Typ:
x‘‘ (s) – k(s) ·x(s) = 0
Lösungsansatz :
x(s) = A ⋅ u(s) ⋅ cos(ψ ( s) + φ )
mit Einsetzen folgt :
[
]
A ⋅ u ' '−u ⋅ψ '2 −k ( s) ⋅ u ⋅ cos(ψ + φ ) − A ⋅ [ 2 ⋅ u '⋅ψ '+u ⋅ψ ' ' ]⋅ sin(ψ + φ ) = 0
Lösungsweg
Diese Gleichung
muss für alle Phasen und für A ≠ 0 richtig sein, daher folgt :
u' ' - u ⋅ψ ' 2 − k ( s ) ⋅ u = 0
u' ψ ''
2⋅ +
=0
ψ'
u
Durch Integratio n erhält man :
ψ (s) =
s
∫
0
1
⋅ dσ
u 2 (σ )
Damit erhält man weiter
1
u' ' - 3 − k ( s ) ⋅ u = 0
u
:
Betafunktion und Betatronschwingungen
Mit Einführung der β - Funktion : β (s) := u 2 ( s )
und der Emittanz eines einzelnen Teilchens ε i
ergibt sich für die Teilchenbahn :
x(s) = ε i ⋅ β (s) ⋅ cos(ψ ( s ) + φ )
s
Ausserdem gilt für die Betatronphase : ψ (s) = ∫
0
1
⋅ dσ
β (σ )
Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man
Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet.
Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld
(Nur in einer Ebene stabil!)
GeV
mit einer
c
Vakuumkammer mit dem Radius dr := 0.05m, und einem Magnetfeld im Eisen
von
Ein Beschleuniger für Elektronen mit dem Impuls p0 := 1.6
Bx := 0.1T
e0 Bx
1
Quadrupolstärke k0 :=
=> k0 = 0.375
2
p0 dr
m
Die Ablage eines Teilchens ist durch: z ( s)=
Betafunktion: => β z :=
1
k0
εi ⋅
1
⋅ cos
k0
(
)
k0 ⋅ s + φ i gegeben
=> β z = 1.634 m
Emittanz des Teilchen : ε i := 10
−6
m und Phase des Teilchen: φ i := −
π
2
0.002
0.001
z( pos)
0
0.001
0.002
0
4
8
12
16
20
24
pos
Annahme: Der Beschleuniger hat eine Länge von Lacc := 24m
Die Länge für eine volle Schwingung ist : s 2π :=
2π
k0
=> s2π = 10.264 m
L
Lacc ⌠ acc 1
=⎮
Die Anzahl der Schwingungen pro Umlauf ist : Qz :=
ds =>
s2π
⎮
β ( s)
⌡0
Qz = 2.338
⎛ s2π ⎞
−3
Die maximale Teilchenamplitude ist: z ⎜
= 1.278 × 10 m
⎝ 4 ⎠
Betafunktion und Betatronschwingungen
Der Teilchenwinkel ergibt sich aus der Ableitung der Teilchenposition:
εi
⋅ [α (s) ⋅ cos(ψ (s) + φ ) + sin(ψ (s) + φ )]
x' (s) = −
β ( s)
mit : α (s) = −
β ' ( s)
2
Eine Beziehung zwischen x(s) und x‘(s) zur Konstruktion des Phasenraums
erhält man, indem die Phase ψ(s) aus den Gleichungen eliminiert wird:
γ (s) ⋅ x2 (s) + 2 ⋅α (s) ⋅ x(s) ⋅ x' (s) + β (s) ⋅ x'2 (s) = ε i
1 + α 2 (s)
mit : γ (s) =
β (s)
Phasenellipse – allgemeiner Fall
γ (s) ⋅ x (s) + 2⋅α(s) ⋅ x(s) ⋅ x' (s) + β (s) ⋅ x' (s) = εi
2
2
x’
−α ⋅
εi
γ
x 'max = ε i ⋅ γ
εi
β
Fläche der Ellipse:
F=πε
−α ⋅
xmax = ε i ⋅ β
εi
γ
εi
β
x
Liouville`scher Satz
Fläche der Phasenellipse ist in konservativen Kraftfeldern invariant !
Form der Ellipse (d.h. Halbachsen und Orientierung) ändern sich
beim Druchlaufen der Magnetstruktur, nicht aber die Fläche !
Betatronschwingungen für viele Teilchen
x(s) = ε i ⋅ β (s) ⋅ cos(ψ ( s ) + φ )
Eigenschaft der Teilchen
Eigenschaft des Beschleunigers
Eigenschaft der Teilchen
Maximale Amplitude
an einer Position s
Strahlgrösse an
der Position s
xmax ( s ) = ε i ⋅ β (s)
σ x ( s ) = ε x ⋅ β x (s) und σ z ( s ) = ε z ⋅ β z (s)
Betatronschwingungen für viele Teilchen
Bild aus
K.Wille
Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl
In einem Strahl sind die Teilchen in guter Näherung gaussförmig verteilt. Die
transversalen Dimensionen sind durch σ z := 1 mm und σ x := 1 mm gegeben. Die
Anzahl der Teilchen im Bunch ist N := 10
11
Die transversale Teilchendichte ist: ρ ( x , z ) :=
N
2 ⋅ π ⋅ σ x⋅ σ z
2
⎛ x2
z ⎞
⎜−
−
2
2
⎜ 2 ⋅σ
2
⋅
σ
x
z ⎠
⋅ e⎝
Zur Kontrolle: Gesamtanzahl der Teilchen: (innerhalb v. 5 Standardabweichungen)
5
⌠
N := ⎮
⌡− 5
5
⌠
⎮ ρ ( x , z) dx dz
⌡− 5
N = 9.99999 × 10
10
Strahlgröße als Funktion der Strahl-Parameter
Dabei werden σx und σz, die Standardabweichung
in horizontaler und vertikaler Richtung, als „Strahlbreite“ bezeichnet.
(die Ladungs- bzw. Teilchendichte ist dort auf 60.7% abgefallen)
==> mittlere Emittanz εsta:
Üblicherweise einfach als Strahlemittanz, ε , bezeichnet !
Ebenfalls eine Invariante, wie die Einteilchen-Emittanz !