Tutorium 05.10.2009 – Kapitel 1 Kapitel 1 Kapitel 1-4

Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Tut
Tutorium 05.10.2009
05.10.2009 – Kapitel 11-4
Kapitel 1-4 im Überblick
Die Spieltheorie ist die mathematische Modellierung von Situationen in welchen rationale Individuen
miteinander interagieren. Durch diese Interaktion ist die eigene Auszahlung unter anderem davon
abhängig wie sich die anderen Individuen verhalten. Um eine optimale Handlungsalternative, gegeben
seinen Präferenzen, zu wählen muss diese Wechselwirkung von einem Spieler richtig antizipiert
werden.
Als Gefangenendilemma, Koordinations- oder Chicken-Spiel werden Spielklassen bezeichnet, welche
eine bestimmte Auszahlungs- und Anreizstruktur besitzen.
Ein Spielbaum ist die extensive Darstellung eines Spieles und setzt sich aus (Entscheidungs-) Knoten,
Handlungsalternativen und Auszahlungen zusammen.
Die Strategie eines Spielers ist ein detaillierter Plan welcher für jeden eigenen Entscheidungsknoten
die zu wählende Handlungsalternative angibt.
Mittels Rückwärtsinduktion werden, von den letzten Entscheidungsknoten ausgehend, all jene
Handlungsalternativen eliminiert die von rationalen Spielern niemals gespielt werden.
Die Normalform ist eine alternative Darstellungsweise, welche alle Strategien und Auszahlungen
enthält.
Ein Nashgleichgewicht beschreibt einen Zustand, indem jeder Spieler eine bestimmte Strategie spielt
und es sich für keinen Spieler lohnt unilateral von dieser Strategie abzuweichen.
Rückwärtsinduktion, Sukzessive Elimination dominierter Strategien und Untersuchung Zelle für Zelle
sind Methoden um Nashgleichgewichte zu finden. Es ist zu beachten, dass in einem Spiel multiple
Nash-Gleichgewichte existieren können.
action node
extensive form
perfect information
asymmetric information
first-mover advantage
prisoners' dilemma
backward induction
focal point
pure strategy
battle of the sexes
game
rational behavior
best response
game matrix
rationalizability
branch
game tree
rationalizable
cell-by-cell inspection
imperfect information
rollback equilibrium
chicken
incomplete information
second-mover advantage
cooperative game
initial node
sequential moves
coordination game
iterated elim. of dom. strat.
simultaneous moves
decision
mixed strategy
strategic form
decision node
Nash equilibrium
strategic game
dominance solvable
never a best response
strategic uncertainty
dominant strategy
node
strategy
dominated strategy
noncooperative game
successive elim. dom. strat.
enumeration
normal form
terminal node
equilibrium
payoff
zero-sum game
Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
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Die aufgeführten Aufgaben sollten jeweils im Vorfeld der Veranstaltung bearbeitet
werden. Dort werden diese ausführlich besprochen. Einzelne Lösungshinweise
werden bei Bedarf auf der Homepage zu finden sein.
Aufgabe 1
Nehme an in einem sequentiellen Spiel existieren zwei Spieler: Spieler A und Spieler
B. Spieler A kommt als erster zum Zug, Spieler B als zweiter und jeder Spieler hat
nur einen Zug.
a) Zeichne einen Spielbaum für ein Spiel in welchem Spieler A an jedem Knoten
zwei mögliche Aktionen (U oder D) und Spieler B drei mögliche Aktionen (T, M
oder B) hat. Bezeichne den Anfangsknoten mit „I“ alle übrigen
Entscheidungsknoten mit „D“ und die Endknoten mit „T“. Wie viele Knoten
existieren jeweils?
b) Zeichne einen Spielbaum für welchen Spieler A und Spieler B jeweils drei
mögliche Aktionen (sitzen, stehen oder hochspringen) haben. Bezeichne die
Knoten wie in a). Wie viele Knoten existieren jeweils?
c) Zeichne einen Spielbaum für welchen Spieler A vier mögliche Aktionen
(Norden, Osten, Süden oder Westen) und Spieler B zwei mögliche Aktionen
(bleiben oder fortgehen) besitzt. Bezeichne die Knoten wie in a). Wie viele
Knoten existieren jeweils?
Aufgabe 2
Kreuze die korrekten Aussagen an:
a)
In einem Nash Gleichgewicht ist die Strategie eines jeden Spielers optimal
gegeben die Strategien der anderen Spieler.
Ein Nash Gleichgewicht ist ein stabiler Zustand, aber ein Spieler kann einen
Anreiz haben, unilateral abzuweichen.
Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien ist immer ein Nash Gleichgewicht.
Es kann multiple Nash Gleichgewichte geben.
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b)
1
l
r
2
l
r
2, 1
1, 0
0, 2
Das Gleichgewicht mittels Rückwärtsinduktion dieses Spielbaumes lautet:
{(r), (r)}
{(r), (l)}
{(l), (r)}
Es kann nicht eindeutig bestimmt werden.
c)
0, 1
O
2, 3
O
1
1
1
o
U
o
2
U
u
4, 5
O
5, 4
o
2
U
u
2
3, 2
Das Gleichgewicht mittels Rückwärtsinduktion dieses Spielbaumes lautet:
{(U, U, O), (o, o, u)}
{(O, O, U), (u, u, o)}
{(O, U, O), (u, o, u)}
{(U, U, O), (u, u, o)}
1, 0
u
2, 2
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Aufgabe 3
Schreibe für jeden Spieler alle reinen Strategien auf. Wie viele reine Strategien
stehen jedem Spieler zur Verfügung? Bestimme mittels Rückwärtsinduktion das
jeweilige Gleichgewicht.
a)
0, 2
t
B
N
A
b
S
2, 1
1, 0
b)
1, 1, 1
t
B
N
N
b
A
A
S
S
2, 3, 2
0, 0, 2
3, 3, 3
u
C
N
d
1, 2, 4
A
S
0, 2, 0
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Aufgabe 4
Finde in folgenden Spielen alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien:
a)
2
l
r
o
2, 4
1, 0
u
6, 5
4, 2
1
b)
2
l
r
o
1, 1
0, 1
u
1, 0
1, 1
1
c)
2
1
l
m
r
o
0, 1
9, 0
2, 3
g
5, 9
7, 3
1, 7
u
7, 5
10,10
3, 5
Aufgabe 5
„Wenn ein Spieler in einem simultanen Spiel eine dominante Strategie besitzt,
erreicht er mit Sicherheit sein bestes Ergebnis (seine höchste Auszahlung)“. Ist diese
Aussage richtig oder falsch? Erkläre und gib ein Beispiel eines Spieles, welches
deine Antwort illustriert.
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Aufgabe 6
Finde für folgendes Spiel die Nash Gleichgewichte in reinen Strategien. Erkläre
anhand dieses Spiels, warum es wichtig ist, die Strategien der Spieler und nicht die
Auszahlungen zu benutzen, um ein Gleichgewicht zu beschreiben.
2
1
l
m
r
o
1, 2
2, 1
1, 0
g
0, 5
1, 2
7, 4
u
–1,1
3, 0
5, 2
Aufgabe 7 (Prüfungsaufgabe)
a) Löse folgendes Spiel mittels sukzessiver Elimination strikt dominierter
Strategien. Zeige alle Schritte des Eliminationsverfahrens.
2
1
A
B
A
5, 5
0, 6
B
8, 4
3, 1
C
4, 5
5, 3
b) Führt sukzessive Elimination strikt dominierter Strategien immer zu einem
Nash Gleichgewicht?