Komplexe Zahlen - public.fh

Diplom
Mathematik I
Sammlung: Komplexe Zahlen
Fachhochschule
Braunschweig/Wolfenbüttel
Fachbereich Versorgungstechnik
Aufgabe (2.1):
Gegeben sind folgende komplexen Zahlen: z1 = 1 + j, z2 = 2, z3 = 1 − j, z4 = 3 − 4j
Berechnen Sie:
c) |z1 |, |z2 |, |z3 |, |z4 |
d) z1∗ , z2∗ , z3∗ , z4∗
e) z1 z4 , z2 z4 , z3 z4 , z42
f) zz21 , zz31 , zz14
g) z1 z1∗ , z2 z2∗ , z3 z3∗ , z4 z4∗
√
√
(Lsg2 : a) |z1 | = 2, |z2 | = 2, |z3 | = 2 |z4 | = 5
b) z1∗ = 1 − j, z2∗ = 2, z3∗ = 1 + j, z4∗ = 3 + 4j
c) z1 z4 = 7 − j, z2 z4 = 6 − 8j, z3 z4 = −1 − 7j, z42 = −7 − 24j
1 j z1
z1
1
7
z1
= + ,
= j,
=− + j
d)
z2
2 2 z3
z4
25 25
e) z1 z1∗ = 2, z2 z2∗ = 4, z3 z3∗ = 2, z4 z4∗ = 25)
Aufgabe (2.2):
Es seien gegeben: z1 = 1 + j, z2 = 2, z3 = 1 − j, z4 = 3 − 4j
Schreiben Sie die oben gegebenen Zahlen in der Form:
a) z = r · (cos ϕ + j · sin ϕ)
b) z = r · eϕj
√
√ π
π
π
+ j sin ) = 2e 4 j
4
4
√
√
π
z3 = 2(cos π4 − j sin π4 ) = 2e− 4 j
(Lsg: z1 =
2(cos
z2 = 2(cos 0 + j sin 0) = 2e0j
z4 = 5(cos(−0.9237) + j sin(−0.9273)) = 5e−0.9273j )
Aufgabe (2.3):
Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form: z = a + bj:
b) z6 = cos π6 + j sin π6 ,
a) z5 = 2(cos π3 − j sin π3 ),
π
−2πj
πj
c) z7 = e
,
d) z8 = e ,
e) z9 = e2+ 4 j
√
√
3 j
+ , c) z7 = 1, d) z8 = −1,
(Lsg: a) z5 = 1 − 3j, b) z6 =
2
2
√
e) z9 = e2 · (1 + j)/ 2 = 5.225(1 + j))
Aufgabe (2.4):
Berechnen Sie jeweils alle komplexen Wurzeln:
√
b) z 4 = −27
a) z = −3 − 4j
π
π
64
6
5
c) z = −
d) z = 50 · cos( ) + j sin( )
729
12
12
Aufgabe (2.5):
Berechnen Sie mit z1 = 3 + 5j, z2 = 10 − 4j folgende Ausdrücke:
z12 , |z2 |, z2 · z¯2 , z1 − z2 , z1 /z2
2
Alle Lösungen ohne Gewähr.
2
Mathematik I, Komplexe Zahlen
Aufgabe (2.6):
Berechnen Sie die Lösungen (in der Form x + jy) folgender Gleichung:
√
z2 = j 2
Aufgabe (2.7):
Berechnen Sie die alle Lösungen (in der Form x + jy) der Gleichung:
z 3 = 8j
Aufgabe (2.8):
Geben sie sämtliche Lösungen der Gleichung:
z 4 = −527 + 336j
Aufgabe (2.9):
z1
1
− 2j. Berechnen Sie z1 + z2 , |z1 |, |z2 |, z1 · z2 , , z1 · z1∗ .
2
z2
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 4 = 16 − 2j graphisch.
Gegeben seien z1 = 4 − 2j, z2 =
Aufgabe (2.10):
z1
Geben seien z1 = 9 − 2j, z2 = 5 − 3j. Berechnen Sie z1 + z2 , |z1 |, |z2 |, z1 · z2 , , z1 · z1∗ und alle
z2
Lösungen der Gleichung z 2 = z1 .
Aufgabe (2.11):
Geben sind z1 = 5 − 3j, z2 = 3 − j. Berechnen Sie z1 + z2 , |z1 |, |z2 |, z1 · z2 ,
z1
z2
und z1 · z¯1 .
Aufgabe (2.12):
Gegeben sei die Gleichung
4
z 3 − 2 − j = 0.
5
Lösen Sie das Problem graphisch und rechnerisch.
Aufgabe (2.13):
Gegeben ist z(ω) =
2
.
1 + 10ωj
• Stellen Sie z(ω) in exponentieller Form dar.
• Erstellen Sie eine Wertetabelle mit ω, ϕ(ω), |z(ω)| für ω ∈ [0, ∞).
• Tragen Sie die Werte in der komplexen Ebene als Kurve ab. (Nyquist-Ortskurve)
Aufgabe (2.14):
Gegeben ist z(ω) =
(jω)2
1
.
+ 2jω + 1
• Stellen Sie z(ω) in exponentieller Form dar.
• Erstellen Sie eine Wertetabelle mit ω, ϕ(ω), |z(ω)| für ω ∈ [0, ∞).
• Tragen Sie die Werte in der komplexen Ebene als Kurve ab. (Nyquist-Ortskurve)