Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische

Lösungshinweise zur Einsendearbeitarbeit 1 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre“, Kurs 00091, KE 1,2 und 3, SS 2010
Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre
Lösungshinweise zur Einsendearbeit 1 (SS 2010)
Inhaltlicher Bezug: KE 1, 2 und 3
Aufgabe 1
40 Punkte
Die SORGENFREI AG plant eine ordentliche Kapitalerhöhung. Dabei liegen folgende Daten vor:
–
bisheriges Grundkapital 45 Mio. Euro (9 Mio. Aktien à 5 Euro Nennwert),
–
–
Börsenkurs CBö nach Ankündigung der Kapitalerhöhung = 15 Euro/Aktie,
Emissionsvolumen 15 Mio. Euro nominal in 5-Euro-Aktien,
–
Emissionskurs CE = 7 Euro/Aktie.
Es sei zudem angenommen, dass die Altaktien inkl. der Bezugsrechte gehandelt
werden („cum right“) und CBö während des Bezugsrechtshandels konstant bleibt.
a)
Wie lautet das Bezugsverhältnis? Wie schlägt sich die Emission bei der
SORGENFREI AG bilanziell nieder?
(1) Für das Bezugsverhältnis gilt:
b
a
n

9 Mio.
3 Mio.

3
1
.
(2) Der bilanzielle Niederschlag kann durch folgenden Buchungssatz verdeutlicht werden (in
Mio. Euro):
Kasse/Bank
21
an
Grundkapital
Kapitalrücklage
15
6
(6 P.)
1
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b)
Geben Sie in Stichworten an, welche beiden Möglichkeiten ein bisher nicht
an der AG beteiligter Anleger hat, während des Bezugsrechtshandels dafür
zu sorgen, dass er nach vollzogener Emission genau zwei Aktien besitzt!
Zeigen Sie darauf aufbauend, wie man anhand von Gleichgewichtsüberlegungen zu der theoretischen Bezugsrechtsformel gelangt!
(6 P.)
1. Möglichkeit :
Kauf von zwei Altaktien zum Börsenkurs und Verkauf der anhängenden Bezugsrechte:
K1  2  C Bö  2  B .
2. Möglichkeit :
Kauf der benötigten Anzahl von Bezugsrechten und Kauf von zwei „jungen Aktien“ zum
Emissionskurs:
K 2  2  b  B  2  CE .
Im Gleichgewicht gilt: K1 = K2 .
Nach Gleichsetzen der beiden rechten Seiten der Bestimmungsgleichungen für K1 und K2 ergibt sich nach Umformung:
B
C Bö  C E 15  7

 2.
4
b 1
Der Gleichgewichtskurs für das Bezugsrecht beträgt also 2 Euro.
c)

Leiten Sie den theoretischen Börsenkurs nach Kapitalerhöhung her. Errechnen Sie hierzu den Marktwert der SORGENFREI AG vor und nach der
Kapitalerhöhung!
Marktwert vor Kapitalerhöhung: a ×CBö
9 Mio. Aktien à 15 Euro = 135 Mio. Euro

Marktwert nach Kapitalerhöhung: a ×CBö + n ×CE
9 Mio. Aktien à 15 Euro + 3 Mio. Aktien à 7 Euro = 156 Mio. Euro

Kurs nach Kapitalerhöhung : C 'Bö =
a ×CBö + n ×CE
156 Mio.
=
= 13 .
a+n
12 Mio.
Der theoretische (rechnerische) Börsenkurs unmittelbar nach Durchführung der Kapitalerhöhung beträgt also 13 Euro.
(6 P.)
2
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d)
Erläutern Sie unter Rückgriff auf die in b) und c) ermittelten Ergebnisse die
Begriffe „Verwässerungseffekt“ und „Kompensationseffekt“.
(6 P.)
Als Verwässerungseffekt wird die durch die Kapitalerhöhung induzierte Kurssenkung bezeichnet. In diesem Beispiel beträgt die Kurssenkung 2 Euro/Aktie. Der Grund für die Kurssenkung besteht darin, dass dem Unternehmen pro junger Aktie 8 Euro weniger an Vermögen
zufließt als dem bisherigen Unternehmensvermögen pro Aktie (15 Euro) im Urteil des Marktes entsprach.
Als Kompensationseffekt bezeichnet man den Sachverhalt, dass die auf den Verwässerungseffekt zurückgehende Kurssenkung um 2 Euro/Aktie gerade durch den Wert des Bezugsrechtes von 2 Euro/Aktie ausgeglichen wird, so dass für die Altaktionäre doch keine Vermögensminderung eintritt.
e)
Die PFLICHT&TREU Lebensversicherung AG hält ein größeres „Paket“
von SORGENFREI-Aktien. Das Anlagemanagement möchte auf die Kapitalerhöhung so reagieren, dass weder Zahlungsmittel freigesetzt noch neu
eingesetzt werden. Berechnen Sie, welche Mindestzahl von Altaktien benötigt wird, um die entsprechende opération blanche durchzuführen! Berücksichtigen Sie bei Ihren Überlegungen, dass jeder Altaktie genau ein Bezugsrecht „anhängt“ und Bezugsrechte nicht teilbar sind!

Zum Bezug einer jungen Aktie sind bei einem Bezugsverhältnis von 3 : 1 zunächst 3 Bezugsrechte nötig. Zusätzlich werden beim vorgegebenen Emissionskurs zum Bezug einer
jungen Aktie 7 Euro benötigt. Da der Gleichgewichtskurs für ein Bezugsrecht im vorliegenden Fall 2 Euro beträgt und Bezugsrechte nicht beliebig teilbar sind, müssen zumindest
2 (oder aber eine höhere gerade Anzahl) junge Aktien bezogen werden.

Um 2 junge Aktien beziehen zu können, werden bei einem Emissionskurs von 7 Euro je
Aktie insgesamt 14 Euro benötigt. Bei einem Bezugsrechtspreis von 2 Euro ist es daher
notwendig, genau 7 Bezugsrechte zu veräußern. Der zufließende Geldbetrag reicht dann
genau aus, um den Erwerb von 2 jungen Aktien zu finanzieren.

Um 2 junge Aktien beziehen zu können, werden also neben den für die Ausübung benötigten 6 Bezugsrechten zusätzlich noch 7 Bezugsrechte zum Verkauf benötigt, so dass zur
Durchführung der opération blanche genau 13 Altaktien (oder ein Vielfaches) im Bestand vorhanden sein müssen.
(10 P.)
3
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f)
Greifen Sie auf die Überlegungen zu Aufgabenteil b) zurück. Nun sei jedoch angenommen, dass die Altaktien während des Bezugsrechtshandels ex
right gehandelt werden. Der entsprechende Aktienkurs sei mit Cex bezeichnet.
Leiten Sie in allgemeiner Form den Gleichgewichtskurs des Bezugsrechtes
(B) in Abhängigkeit von den Größen Cex, CE und b her!
Einem „Quereinsteiger“ stehen wiederum zwei Möglichkeiten offen, um dafür zu sorgen, dass
er nach vollzogener Kapitalerhöhung über genau eine Aktie verfügen kann.
Weg 1:
Kauf einer Altaktie ex right; Kosten: K1 = Cex
Weg 2:
Kauf von b Bezugsrechten und Bezug einer jungen Aktie zum Emissionskurs CE;
Kosten: K2 = b ? B + CE
Aus K1 = K2 folgt dann als alternative Bezugsrechtsformel die Relation:
B =
Cex - CE
b
.
(6 P.)
4
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Aufgabe 2
a)
20 Punkte
Die Unternehmerin ROSE steht vor der Wahl, eines von 3 Investitionsprojekten durchzuführen. Die zur Auswahl stehenden Projekte haben jeweils
eine Laufzeit von genau einem Jahr und sind durch folgende Ein- und Auszahlungssalden gekennzeichnet (Angaben in Euro):
a1
a2
a3
Anfangsauszahlung in t = 0
− 50.000
− 100.000
− 200.000
Sicherer Rückzahlungsbetrag
nach einem Jahr
+ 58.000
+ 116.000
+ 232.000
Projektbezeichnung
ROSE verfügt über eigene liquide Mittel in Höhe von 50.000 Euro, die sie
auch auf jeden Fall für die Investition einsetzen will. Die evtl. noch benötigten zusätzlichen Mittel können über eine Kreditaufnahme beschafft werden,
die zu 10% p.a. möglich ist.
(1)
Berechnen Sie zunächst für jedes Projekt den Verschuldungsgrad sowie die Eigenkapital- und die Gesamtrendite! Welches Projekt wird
ROSE wählen, wenn sie sich ausschließlich an der erzielbaren Eigenkapitalrendite bzw. ausschließlich an der erzielbaren Gesamtrendite
orientiert und der Zielsetzung folgt, die Eigenkapitalrendite bzw. die
Gesamtrendite zu maximieren? Begründen Sie Ihre Meinung anhand
der zuvor berechneten Renditen!
(10 P.)
5
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Projektbezeichnung
a1
a2
a3
Verschuldungsgrad
V=0
V=1
V=3
Eigenkapitalrendite
rE = 0,16
rE = 0,22
rE = 0,34
Gesamtrendite
rG = 0,16
rG = 0,16
rG = 0,16
ROSE wird unter der Zielsetzung, die Eigenkapitalrendite zu maximieren, Projekt a3
wählen, da bei Durchführung von Projekt a3 mit 34% die höchste Eigenkapitalrendite
erwirtschaftet wird. Strebt sie hingegen an, die Gesamtrendite zu maximieren, so beurteilt sie alle drei Projekte identisch, da alle drei Projekte mit 16% exakt übereinstimmende Gesamtrenditen aufweisen.
(2)
Angenommen, ROSE könnte finanzielle Mittel in beliebiger Höhe zu
einer Gesamtrendite von 16% investieren und Kredite in beliebiger
Höhe zu 10% p.a. aufnehmen. Skizzieren Sie unter diesen Voraussetzungen den Funktionsverlauf der für ROSE erreichbaren Eigenkapital- und Gesamtrendite in Abhängigkeit vom gewählten Verschuldungsgrad!
rE, rG
0,34
0,16
V
1
3
(4 P.)
6
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b)
Nachdem das Projekt aus a) abgeschlossen ist, sucht ROSE nach neuen Herausforderungen, um zu investieren. Bei unveränderten Bedingungen einer
Kreditaufnahme will sie bei künftigen Investitionen aber auf jeden Fall nur
noch solche Projekte durchführen, die zu einer Eigenkapitalrendite von mindestens 25% führen. Sie zieht wieder drei mögliche Projekte in Betracht, die
allesamt wiederum nach genau einem Jahr abgeschlossen sind.
Projektbezeichnung
Anfangsauszahlung in t = 0
b1
b2
b3
− 50.000
− 125.000
− 225.000
Da ROSE den mit dem Projekt aus Aufgabenteil a) „verdienten“ Überschuss
bereits konsumiert hat, verfügt sie zu Beginn der zweiten Investitionsperiode nach wie vor über 50.000 Euro (die sie auch wieder auf jeden Fall einsetzen will).
Wie hoch muss bei den Projekten b1 bis b3 die Gesamtrendite in % sein,
damit die von Rose geforderte Eigenkapitalrendite von 25% realisiert wird?
b1:
b
rG 1 = rE = 0,25
b 2:
Der Rückfluss an die Fremdkapitalgeber muss 75.000  1,1 = 82.500 Euro betragen. Der Rückfluss an ROSE muss mindestens 62.500 Euro betragen. Insgesamt müssen zur Erfüllung der Anforderung von ROSE (nur Projekte mit mindestens einer Eigenkapitalrendite von 25%) also aus dem Projekt b2
145.000 Euro zurückfließen. Hieraus ergibt sich eine Gesamtrendite von:
b
rG 2 =
b 3:
145.000
 1  0,16 .
125.000
Neben dem von ROSE geforderten Rückfluss i.H.v. 62.500 Euro müssen an die
Fremdkapitalgeber insgesamt 175.000  1,1 = 192.500 Euro zurückfließen. Insgesamt muss das Projekt b3 also in t = 1 einen Rückflussbetrag von 255.000 Euro aufweisen. Hieraus resultiert eine Gesamtrendite von:
b
rG 3 =
255.000
 1  0,13 .
225.000
(6 P.)
7
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Aufgabe 3
15 Punkte
Die MONA-LISA-GmbH hat mehrere Annuitätendarlehen aufgenommen und
lässt diese einer näheren Analyse unterziehen. Markieren Sie folgende darauf bezogene Aussagen mit R, F, oder ?.
a)
Darlehen A, mit Darlehensbetrag von 800.000 Euro, hat eine Laufzeit von
genau 10 Jahren und eine jeweils am Jahresende zahlbare Annuität von
100.000 Euro.
(1)
Die Summe aller während der gesamten Darlehenslaufzeit zu zahlenden Zinsen ...
...
beträgt 200.000 Euro.
R
...
beträgt 800.000 Euro.
F
...
beträgt 1.000.000 Euro.
F
...
kann ohne genaue Kenntnis des vereinbarten Zinssatzes
nicht exakt bestimmt werden.
F
(4 P.)
Lösung:
Die Gesamtheit der an die Bank zu zahlenden Annuitäten beläuft sich auf (10  100 =)
1.000 TEuro. Davon entfallen 800 TEuro auf die Tilgung, mithin verbleiben 200 TEuro
als Zinszahlungen.
(2)
Der diesem Darlehen zugrundeliegende Kreditzins ...
(4 P.)
...
beträgt 4,00 %.
F
...
ist größer als 4,00 %.
R
...
beträgt 5,00 %.
F
...
ist größer als 5,00 %.
F
Lösung:
Dem Darlehen entspricht ein Annuitätenfaktor von 100 : 800 = 0,125. Aus der Tabelle
der Annuitätenfaktoren erkennt man, dass dem bei der vorgegebenen Laufzeit von 10
Jahren ein Zinssatz im Intervall oberhalb von 4 % und unterhalb von 5 % entspricht.
8
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b)
Darlehen B mit einem Darlehensbetrag von 750.000 Euro weist einen jährlich nachschüssig zu belastenden Zins von 9 % und eine jeweils am Jahresende zahlbare Annuität von 93.075 Euro auf.
(1)
Die Laufzeit dieses Darlehens ...
(4 P.)
...
beträgt 12 Jahre.
F
...
beträgt mehr als 12 Jahre.
R
...
beträgt 15 Jahre.
R
...
beträgt mehr als 15 Jahre.
F
Lösung:
Dem Darlehen entspricht ein Annuitätenfaktor von 93,075 : 750 = 0,1241. Bei einem
Zinssatz von 9 % beträgt der auf glatte Laufzeiten und exakt konstante Zahlungen in allen Jahren bezogene Annuitätenfaktor für eine Laufzeit von 15 Jahren 0,1241.
(2)
Die am Ende des zweiten Jahres erfolgende Zinsbelastung beläuft sich
auf rund...
60.000 Euro
F
67.500 Euro
F
65.198 Euro
R
70.198 Euro
F
71.500 Euro
F
69.540 Euro
F
Lösung:
Die im ersten Jahr zu zahlende Annuität setzt sich zu 0,09  750.000 = 67.500 Euro aus
Zinsen und 25.575 Euro an Tilgung zusammen. Demnach verbleibt zu Beginn des
zweiten Jahres eine Schuldsumme von 724.425 Euro. Die darauf zu zahlenden Zinsen
betragen 0,09  724.425 = 65.198,25 Euro.
(3 P.)
9
Lösungshinweise zur Einsendearbeitarbeit 1 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische
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Aufgabe 4
25 Punkte
Der sportlich nicht immer „glückliche“ Fußballprofi GLÜCKLICH hat am
01.01.2009 bei der Lotterie „BAYERNGLÜCK“ den Hauptgewinn über 1 Mio.
Euro erzielt. Da er gerade vom Management seines Vereins erfahren hat, dass sein
Vertrag nicht verlängert wird, macht er sich Gedanken darüber, wie er den Lotteriegewinn zwecks Aufbesserung seiner Alterseinkünfte verwenden soll. Er denkt
zunächst darüber nach, über welchen Betrag er in genau zwanzig Jahren verfügen
kann, wenn er den Gesamtgewinn auf einem Konto mit jährlich nachschüssiger
Zinsverrechnung anlegt und auf zwischenzeitliche Entnahmen gänzlich verzichtet.
Nach kurzem Nachdenken kommt er zu dem Ergebnis, dass die Höhe des erzielbaren Endkontostandes sicherlich von den Zinsbedingungen am Finanzmarkt abhängt. Von den Banken A, B und C holt er sich folgende verbindliche Angebote
für Geldanlagen mit einer Laufzeit von 20 Jahren ein:
A:
Anlagezins durchgängig 6 % p.a. für den Gesamtzeitraum
B:
Anlagezins durchgängig 4,5 % p.a. für die ersten zehn Anlageperioden und
durchgängig 7,4 % p.a. für den Folgezeitraum
C:
Anlagezins durchgängig 7,4 % p.a. für die ersten zehn Anlageperioden und
durchgängig 4,5 % p.a. für den Folgezeitraum.
a)
Bestimmen Sie für jedes der Angebote A, B und C den erreichbaren Endkontostand nach zwanzig Jahren! Für welches Angebot sollte sich GLÜCKLICH unter der Zielsetzung Endvermögensmaximierung entscheiden?
Kommentieren Sie kurz Ihre numerischen Ergebnisse und versuchen Sie
diese Ergebnisse zu verallgemeinern!
Lösung:
Zu bestimmen ist jeweils der Betrag, über den GLÜCKLICH nach genau 20 Jahren (also am
31.12.2028) verfügen kann, wenn er 1 Mio. Euro bei den Banken A, B oder C anlegt und während der gesamten Anlagedauer auf Entnahmen verzichtet. Da er sein Endvermögen maximieren möchte, wird GLÜCKLICH sich zwingend für das Angebot entscheiden, das zum höchsten
Endkontostand CT im Zeitpunkt t = T = 20 führt. Dieser Endkontostand errechnet sich für beliebige Laufzeiten und beliebige Jahreszinssätze allgemein aus:
CT  C0  (1  r1)  (1  r2 )  ...  (1  rT ) .
Ersetzt man die Zinssätze r1 bis rT durch die bei den Angeboten A bis C relevanten Zinssätze,
so ergibt sich bei einem Anlagebetrag von 1 Mio. Euro:
A
20
C20  1.000.000  1,06
 1.000.000  3,2071  3.207.100  Euro .
(15 P.)
10
Lösungshinweise zur Einsendearbeitarbeit 1 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre“, Kurs 00091, KE 1,2 und 3, SS 2010
C20  1.000.000  1,045  1,074  1.000.000  1,5530  2,0419  3.171.071  Euro .
B
10
10
C20  1.000.000  1,074  1,045  1.000.000  2,0419  1,5530  3.171.071  Euro .
C
10
10
GLÜCKLICH sollte das Geld bei Bank A anlegen, also bei der Bank, bei der ihm über die gesamte Laufzeit hinweg der konstante Periodenzins geboten wird.
Der Endkontostand bei den Angeboten B und C ist identisch. Die Reihenfolge der unterschiedlich hohen Periodenzinsen ist nicht nur im konkreten Beispiel irrelevant für die Höhe des erzielbaren Endkontostandes. Es gilt allgemein das Kommutativgesetz der Multiplikation.
Der Endkontostand bei den Angeboten B und C ist zudem kleiner als der Endkontostand bei
Angebot A. Konstante Periodenzinsen führen unter der Annahme eines gleich hohen (bzw. eines hier vorliegenden höheren) Durchschnittszinses immer zu einem höheren Endkontostand
als wechselnde Periodenzinsen. Dies ergibt sich unmittelbar aus den mathematischen Zusammenhängen, die durch die aus der Schulzeit bekannte dritte Binomische Formel abgebildet
werden.
b)
Als Fußballprofi weiß GLÜCKLICH, dass zwanzig Jahre eine lange Zeit
sind, und kommt nach erneutem Nachdenken zu dem Ergebnis, dass er zwar
nach wie vor den Gesamtbetrag von 1 Mio. Euro festverzinslich anlegen
möchte, aber abweichend von seiner Ausgangsplanung an jedem Jahresende
der Jahre 1 bis 19 eine konstante jährliche Entnahme in Höhe von 30.000
Euro vornehmen will. Angenommen, GLÜCKLICH erwägt nur noch, sein
Geld bei den beiden Banken A und C anzulegen, die beide auch unter Berücksichtigung dieses Entnahmeplans unverändert bei ihren Anlagekonditionen bleiben. Für welches Angebot sollte sich GLÜCKLICH jetzt unter der
Zielsetzung Endvermögensmaximierung entscheiden? Kommentieren Sie
erneut Ihre numerischen Ergebnisse und versuchen Sie diese Ergebnisse zu
verallgemeinern!
Lösung:
Zu bestimmen ist jetzt der Betrag, über den GLÜCKLICH nach genau 20 Jahren (also am
31.12.2028) verfügen kann, wenn er 1 Mio. Euro bei den Banken A oder C anlegt und in den
Zeitpunkten t = 1 bis t = 19 jeweils einen konstanten Betrag in Höhe von 30.000 Euro abhebt.
Da GLÜCKLICH weiterhin sein Endvermögen maximieren möchte, wird er sich auch im
„Entnahmefall“ zwingend für das Angebot entscheiden, das zum höchsten Endkontostand CT
im Zeitpunkt t = T = 20 führt. Bezeichnet man den Entnahmebetrag mit e*, so errechnet sich
der Endkontostand für beliebige Anlagebeträge, beliebige Laufzeiten und beliebige Jahreszinssätze allgemein aus:
(10 P.)
11
Lösungshinweise zur Einsendearbeitarbeit 1 des A-Moduls „Finanzierungs- und entscheidungstheoretische
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*
CT  C0  (1  r1)  (1  r2 )  ...  (1  rT )  e* (1r2 )...(1rT )  e* (1r3 )...(1rT )  ...  e  (1  rT ) .
Ersetzt man die Zinssätze durch die bei Angebot A bzw. C relevanten Zinssätze, so ergibt sich
bei einem Anlagebetrag von 1 Mio. Euro und einem jährlichen Entnahmebetrag von 30.000
Euro:
A
C 20  (1.000.000  30.000  RBF(19J.; 6%))  1, 06
20
 (1.000.000  30.000  11,1581)  3, 2071  2.133.546  Euro  .
C
10
C20  1.000.000  1, 074
10
 1, 045
 30.000   RBF(10J.;7,4%)  RBF(9J.;4,5%)1,074 10   1, 074
10
10
 1, 045
 1.000.000  2, 0419  1, 5530  30.000  6,8955  7.26880,4897  2, 0419  1, 5530  2.176.461  Euro  .
GLÜCKLICH sollte das Geld im betrachteten „Entnahmefall“ nicht mehr bei Bank A anlegen,
sondern bei Bank C. Ohne dies hier zu zeigen, gilt darüber hinaus: Der Endkontostand bei den
Angeboten B und C ist im „Entnahmefall“ nicht mehr identisch. Die Reihenfolge der unterschiedlich hohen Periodenzinsen ist jetzt also durchaus relevant. Angebot C führt im hier betrachteten „Entnahmefall“ zum maximal erreichbaren Endkontostand.
12