§ 5 Intervalle, Metrik und Topologie für R

§5
Intervalle, Metrik und Topologie für R
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.8
5.9
5.10
Intervalle in R
Charakterisierung der Intervalle
Die kanonische Metrik auf R
ε-Umgebung
Offene und abgeschlossene Teilmengen von R
Die kanonische Topologie T über R
Innerer Punkt, Berührungspunkt
Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Teilmengen von R
Die kanonische Topologie über R ist hausdorffsch
Der Definitionsbereich von reellwertigen Funktionen wird oftmals als ein Intervall vorausgesetzt. Hierbei versteht man unter Intervall:
5.1
Intervalle in R
Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann heißen die folgenden beschränkten Mengen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
[a, b] := {t ∈ R : a ≤ t ≤ b} abgeschlossenes Intervall ;
]a, b[ := {t ∈ R : a < t < b} offenes Intervall ;
[a, b[ := {t ∈ R : a ≤ t < b} halboffenes Intervall ;
]a, b] := {t ∈ R : a < t ≤ b} halboffenes Intervall .
Die folgenden unbeschränkten Mengen heißen:
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
C1
] − ∞, ∞[ := R sowohl abgeschlossenes als auch offenes Intervall;
] − ∞, a] := {t ∈ R : t ≤ a} abgeschlossenes Intervall ;
[a, ∞[
:= {t ∈ R : t ≥ a} abgeschlossenes Intervall ;
]a, ∞[
:= {t ∈ R : t > a} offenes Intervall .
] − ∞, a[ := {t ∈ R : t < a} offenes Intervall ;
[5]–1
Kapitel I
(x)
Reelle Zahlen
Eine Menge J ⊂ R heißt Intervall , wenn
a) J mindestens zwei Punkte enthält und
b) J mit je zwei Punkten auch jeden dazwischenliegenden Punkt
enthält.
Die ersten vier Arten (i)–(iv) von Intervallen sind offensichtlich beschränkte
Teilmengen von R. Für alle vier Mengen ist a eine untere und b eine obere
Schranke. Die erste und dritte Menge hat offenbar a als Minimum und damit
als Infimum. Für die zweite und vierte Menge ist a das Infimum. Diese Mengen
besitzen jedoch kein Minimum. Entsprechend hat die erste und vierte Menge b
als Maximum, während für die zweite und dritte Menge b Supremum ist.
Der folgende Hauptsatz charakterisiert die Intervalle. Für die nicht-triviale
Richtung ⇒“ benötigt man die Vollständigkeit von R.
”
5.2
Charakterisierung der Intervalle
Sei J ⊂ R. Dann ist J genau dann ein Intervall, wenn J eine der in
5.1(i)–(ix) angegebenen Mengen ist.
Beweis. ⇐“: Da zwischen a und b ein weiterer Punkt c und zwischen a
”
und c ein weiterer Punkt d liegt (siehe 2.6), enthält jedes der vier Intervalle
mindestens zwei verschiedene Punkte. Da jedes der fünf weiteren Intervalle ein
Intervall des Typs ]a0 , b0 [ mit a0 < b0 enthält, enthalten also alle Intervalle in
5.1(i)–(ix) mindestens zwei verschiedene Punkte. Auf Grund der Eigenschaften
von < bzw. ≤ enthält jedes der neun Intervalle mit je zwei Punkten auch jeden
dazwischenliegenden Punkt.
”
⇒“: Setze
Wir zeigen:
(1)
inf(J) := −∞, wenn J nach unten unbeschränkt ist,
sup(J) := ∞, wenn J nach oben unbeschränkt ist.
] inf(J), sup(J)[ ⊂ J ⊂ ] inf(J), sup(J)[ ∪ {inf(J), sup(J)}.
Hieraus folgt, da J mindestens zwei Elemente enthält, daß J eines der Intervalle
aus 5.1(i)–(ix) sein muß.
Zu (1): Sei t ∈ ] inf(J), sup(J)[. Dann gibt es ein a1 ∈ J mit a1 < t (betrachte
die Fälle, daß J nach unten bzw. nicht nach unten beschränkt ist). Entsprechend gibt es ein a2 ∈ J mit t < a2 . Da ein Intervall nach Definition mit je
zwei Punkten jeden dazwischenliegenden Punkt enthält, gilt t ∈ J. Damit ist
die erste Inklusion in (1) bewiesen.
Ist J beschränkt, so gilt trivialerweise
J ⊂ [inf(J), sup(J)],
und es folgt die zweite Inklusion in (1).
[5]–2
C1
Intervalle, Metrik und Topologie für R
Ist J nach unten und oben unbeschränkt, so ist die zweite Inklusion wegen
J ⊂ ] − ∞, ∞[ trivial.
Ist J nach unten unbeschränkt und nach oben beschränkt, so folgt die zweite
Inklusion wegen
J ⊂ ] − ∞, sup(J)[ ∪ {sup(J)}.
Ist J nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, so folgt die zweite
Inklusion wegen
J ⊂ ] inf(J), ∞[ ∪ {inf(J)}.
Ausgangspunkt für die übliche Topologie“ über R ist der Begriff des Abstands
”
zweier reeller Zahlen. Die reellen Zahlen stelle man sich bei dieser Betrachtungsweise wieder als Punkte der Zahlengerade vor:
Abstand von a und b
|a − b| = a − b
b
5.3
a
|a − b| = b − a
a
b
Die kanonische Metrik auf R
Für a, b ∈ R heißt
d(a, b) := |a − b| (∈ [0, ∞[)
der Abstand von a und b. Für a, b, c ∈ R gilt:
(i)
(ii)
(iii)
a) d(a, a) = 0,
b) d(a, b) = 0 ⇒ a = b
(Definitheit),
d(a, b) = d(b, a)
(Symmetrie),
d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)
(Dreiecksungleichung).
Beweis. Der Beweis folgt unmittelbar aus 2.7 und 2.8:
Es ist d(a, b) = |a − b| ≥ 0 nach 2.7(i).
(i) Ferner ist d(a, b) = |a − b| = 0 ⇐⇒ a − b = 0 ⇐⇒ a = b.
2.7(i)
(ii) d(a, b) = |a − b| = |b − a| = d(b, a).
2.8(ii)
(iii) d(a, c) = |a − c| = |(a−b)+(b−c)| ≤ |a − b|+|b − c| = d(a, b)+d(b, c).
2.7(iii)
Im folgenden schreiben wir häufig min(a, b) für min({a, b}) und max(a, b) für
max({a, b}).
Mit Hilfe des Abstandes läßt sich der Begriff der ε-Umgebung von a definieren:
C1
[5]–3
Kapitel I
Reelle Zahlen
5.4
ε-Umgebung
Sei a ∈ R und ε ∈ R+ . Dann heißt
Uε (a) := {t ∈ R : d(a, t) < ε}
ε-Umgebung von a. Es gilt für ε, ε1 , ε2 ∈ R+ :
Uε (a) = ]a − ε, a + ε[,
Uε1 (a) ∩ Uε2 (a) = Umin(ε1 ,ε2 ) (a).
Beweis.
t ∈ Uε (a) ⇐⇒
d(a, t) < ε
⇐⇒ d(t, a) < ε
5.3(ii)
⇐⇒ |t − a| < ε ⇐⇒ a − ε < t < a + ε ⇐⇒ t ∈ ]a − ε, a + ε[.
5.3
5.1
2.9(ii)
Uε1 (a) ∩ Uε2 (a) = {t ∈ R : d(a, t) < ε1 } ∩ {t ∈ R : d(a, t) < ε2 }
= {t ∈ R : d(a, t) < min(ε1 , ε2 )} = Umin(ε1 ,ε2 ) (a).
Die Bezeichnung offen bzw. abgeschlossen in der Definition 5.1 rührt aus der
Topologie her. Für R kann man definieren, wann eine beliebige Teilmenge von
R, und nicht nur ein Intervall, offen bzw. abgeschlossen heißt.
5.5
Offene und abgeschlossene Teilmengen von R
Sei M ⊂ R. Dann heißt:
(i)
M offen, wenn es für jedes a ∈ M ein ε ∈ R+ mit Uε (a) ⊂ M gibt.
(ii) M abgeschlossen, wenn R \ M offen ist.
5.6
Die kanonische Topologie T über R
Sei T := {O ⊂ R : O offen}. T heißt die kanonische Topologie über R.
Für die kanonische Topologie gilt:
(i)
(ii)
(iii)
∅, R ∈ T ;
O 1 , O2 ∈ T ⇒ O 1 ∩ O 2 ∈ T ;
Oλ ∈ T für λ ∈ Λ ⇒ ∪ Oλ ∈ T .
λ∈Λ
Ferner setzt man für a ∈ R:
Ta = {O ∈ T : a ∈ O}
Man nennt O ∈ Ta eine (offene) Umgebung von a.
Beweis. (i) Da ∅ keinen Punkt enthält, ist die Bedingung für die Offenheit
von ∅ trivialerweise erfüllt.
Ist a ∈ R, so ist Uε (a) ⊂ R sogar für jedes ε ∈ R+ . Also ist R offen.
[5]–4
C1
Intervalle, Metrik und Topologie für R
(ii) Sei a ∈ O1 ∩ O2 . Dann gilt Uε1 (a) ⊂ O1 und Uε2 (a) ⊂ O2 für geeignete
ε1 , ε2 ∈ R+ . Mit ε := min(ε1 , ε2 ) erhalten wir daher:
Uε (a) = Uε1 (a) ∩ Uε2 (a) ⊂ O1 ∩ O2 .
5.4
Also ist O1 ∩ O2 offen.
(iii) Sei x ∈ ∪ Oλ . Dann ist x ∈ Oλ0 für ein λ0 ∈ Λ. Somit gilt Uε (a) ⊂
λ∈Λ
Oλ0 ⊂ ∪ Oλ für ein ε ∈ R+ . Also ist ∪ Oλ offen.
λ∈Λ
5.7
λ∈Λ
Intervalle, offen und abgeschlossen
Sei M ⊂ R. Dann gilt:
(i)
M ist genau dann sowohl Intervall (siehe 5.1(x)) als auch offene
Menge (siehe 5.5(i)), wenn M ein offenes Intervall im Sinne von 5.1
ist.
Insbesondere ist Uε (a) eine (offene) Umgebung von a.
(ii) M ist genau dann sowohl Intervall (siehe 5.1(x)) als auch abgeschlossene Menge (siehe 5.5(ii)), wenn M ein abgeschlossenes Intervall im
Sinne von 5.1 ist.
(iii) Der Durchschnitt von endlichen vielen offenen Intervallen ist leer
oder ein offenes Intervall.
Beweis. ⇐“:(i) Wir zeigen zunächst, daß jedes der in 5.1 angegebenen
”
offenen Intervalle J sowohl ein Intervall als auch offene Menge ist. Nach 5.2 ist
zunächst jedes dieser offenen Intervalle ein Intervall im Sinne von 5.1(x). Ist
nun c ∈ J, so gibt es, nach Auflistung der in 5.1 definierten offenen Intervalle,
Punkte a0 , b0 ∈ J mit a0 < b0 und c ∈ ]a0 , b0 [ ⊂ J. Dann ist Uε (c) ⊂ J mit
ε := min(c − a0 , b0 − c). Also ist J eine offene Menge nach Definition 5.5(i).
Damit ist die Richtung ⇐“ in (i) bewiesen.
”
⇒“: Sei nun umgekehrt J sowohl Intervall als auch offene Menge. Nach 5.2
”
ist J eine der in 5.1(i)–(ix) angegebenen Mengen. Zu zeigen bleibt, daß J nicht
von der Gestalt einer der in 5.1(i),(iii),(vi),(vii),(iv) angegebenen Mengen ist.
Dies folgt, da für jedes ε ∈ R+ gilt:
Uε (a) 6⊂ [a, b], [a, b[, ] − ∞, a], [a, ∞[ und Uε (b) 6⊂ ]a, b].
(Zum Nachweis hiervon verwende a − 2ε , a +
ε
2
∈ ]a − ε, a + ε[ = Uε (a).)
Da Uε (a) = ]a − ε, a + ε[ ist, ist nach Bewiesenem Uε (a) ∈ T .
5.4
(ii) ⇐“: Wir zeigen zunächst, daß jedes der in 5.1 angegebenen abgeschlosse”
nen Intervalle J sowohl Intervall als auch abgeschlossene Menge ist. Nach 5.2
ist zunächst jedes dieser abgeschlossenen Intervalle ein Intervall im Sinne von
5.1(x).
Daß diese abgeschlossenen Intervalle abgeschlossene Mengen sind, folgt so:
C1
[5]–5
Kapitel I
Reelle Zahlen
R \ [a, b] = ] − ∞, a[ ∪ ]b, ∞[ ist offen als Vereinigung zweier nach (i) offener
Mengen. Also ist [a, b] nach Definition 5.5(ii) abgeschlossen.
Da ∅ = R \ R nach 5.6(i) offen ist, ist R nach Definition 5.5(ii) abgeschlossen.
R\] − ∞, a] = ]a, ∞[ ist offen nach (i). Daher ist ] − ∞, a] nach Definition 5.5(ii)
abgeschlossen. R \ [a, ∞[ = ] − ∞, a[ ist offen nach (i). Daher ist [a, ∞[ nach
Definition 5.5(ii) abgeschlossen. Damit ist die Richtung ⇐“ in (ii) bewiesen.
”
⇒“: Sei nun umgekehrt J sowohl Intervall als auch abgeschlossene Menge.
”
Nach 5.2 ist J eine der in 5.1(i)–(ix) angegebenen Mengen. Zu zeigen bleibt,
daß J nicht von der Gestalt einer der in 5.1(ii),(iii),(iv),(viii),(ix) angegebenen
Mengen ist.
Da R\]a, b[ = ]−∞, a]∪[b, ∞[ ist, und somit kein Uε (a) ⊂ R\]a, b[ ist, ist R\]a, b[
nicht offen. Also ist ]a, b[ nicht abgeschlossen.
Da R \ [a, b[ = ] − ∞, a[∪[b, ∞[ ist, und somit kein Uε (b) ⊂ R \ [a, b[ ist, ist
R \ [a, b[ nicht offen. Also ist [a, b[ nicht abgeschlossen.
Da R\]a, b] = ]−∞, a]∪]b, ∞[ ist, und somit kein Uε (a) ⊂ R\]a, b] ist, ist R\]a, b]
nicht offen. Also ist ]a, b] nicht abgeschlossen.
R\] − ∞, a[ = [a, ∞[ und R\]a, ∞[ = ] − ∞, a] sind nicht offen nach (i). Daher
sind ] − ∞, a[ und ]a, ∞[ nicht abgeschlossen.
(iii) Seien Oj , j = 1, . . . , n offene Intervalle und I := ∩nj=1 Oj 6= ∅. Zu zeigen
ist:
(1)
I ist ein offenes Intervall.
Nach 5.6(ii) ist I als endlicher Durchschnitt von nach (i) offenen Mengen offen. Da I offen und nach Voraussetzung nicht-leer ist, enthält I mindestens
zwei Elemente. Ferner enthält I mit je zwei Elementen auch jedes dazwischenliegende, da jedes Oj diese Eigenschaft hat. Also ist I ein Intervall und eine
offene Menge, also nach (i) ein offenes Intervall.
Man beachte, daß es Mengen (z.B. R) gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Ferner gibt es Mengen, z.B. ]a, b], [a, b[, die weder offen noch abgeschlossen sind. Insbesondere ist es also nicht erlaubt, aus der Nicht-Offenheit
einer Menge auf ihre Abgeschlossenheit zu schließen.
5.8
Innerer Punkt, Berührungspunkt
Sei M ⊂ R und T die kanonische Topologie über R. Dann heißt:
(i)
(ii)
a innerer Punkt von M ⇐⇒ O ⊂ M für eine Umgebung O von a.
a Berührungspunkt von M
⇐⇒ M ∩ O 6= ∅ für jede Umgebung O von a.
Innere Punkte können zur Charakterisierung der Offenheit, Berührungspunkte
zur Charakterisierung der Abgeschlossenheit verwendet werden.
[5]–6
C1
Intervalle, Metrik und Topologie für R
5.9
Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Teilmengen von R
Sei M ⊂ R. Dann gilt:
a ist innerer Punkt von M ⇐⇒ Uε (a) ⊂ M für ein ε ∈ R+ .
(i)
a ist Berührungspunkt von M ⇐⇒ M ∩Uε (a) 6= ∅ für jedes ε ∈ R+ .
(ii)
M ist offen ⇐⇒ jeder Punkt von M ist innerer Punkt von M.
(iii)
(iv)
M ist abgeschlossen
⇐⇒ jeder Berührungspunkt von M gehört zu M.
Beweis. (i) ⇒“: Da a innerer Punkt von M ist, gibt es nach Definition
”
5.8(i) eine offene Menge O mit a ∈ O ⊂ M. Nach Definition 5.5(i) existiert
daher ein ε ∈ R+ mit Uε (a) ⊂ O. Also ist Uε (a) ⊂ M.
⇐“: Sei Uε (a) ⊂ M für ein ε ∈ R+ . Dann ist Uε (a) 3 a eine nach 5.7(i) offene
”
Menge O mit a ∈ O ⊂ M.
(ii) ⇒“: Da Uε (a) ∈ Ta (siehe 5.7(i)) ist, gilt M ∩ Uε (a) 6= ∅ nach Definition
”
5.8(ii).
⇐“: Sei O ∈ Ta . Dann gibt es ein ε ∈ R+ mit Uε (a) ⊂ O (siehe Definition
”
5.5(i)). Aus Uε (a) ∩ M 6= ∅ folgt somit insbesondere M ∩ O 6= ∅.
M offen ⇐⇒ (∀a ∈ M )(∃ε ∈ R+ ) mit Uε (a) ⊂ M
(iii)
5.5(i)
⇐⇒ jeder Punkt von M ist innerer Punkt von M.
(i)
(iv)
Jeder Berührungspunkt von M gehört zu M
⇐⇒ ((M ∩ Uε (a) 6= ∅ für jedes ε ∈ R+ ) ⇒ a ∈ M )
(ii)
⇐⇒ (a ∈ R \ M ⇒ (M ∩ Uε (a) = ∅ für ein ε ∈ R+ ))
⇐⇒ (a ∈ R \ M ⇒ (Uε (a) ⊂ R \ M für ein ε ∈ R+ ))
⇐⇒ jeder Punkt von R \ M ist innerer Punkt von R \ M
(i)
⇐⇒ R \ M offen
(iii)
⇐⇒
M abgeschlossen.
Die folgende Eigenschaft, die vom Begründer der mengentheoretischen Topologie, Hausdorff (1868–1942), eingeführt worden ist, ist für die kanonische Topologie T über R erfüllt.
5.10
Die kanonische Topologie T über R ist hausdorffsch
Seien a, b zwei verschiedene Punkte von R. Dann gibt es eine Umgebung
O(a) von a und eine Umgebung O(b) von b mit O(a) ∩ O(b) = ∅.
C1
[5]–7
Kapitel I
Reelle Zahlen
Beweis. Da a 6= b ist, ist ε :=
und Uε (b) ∈ Tb , und wir zeigen:
d(a,b)
2
> 0 nach 5.3(i)b). Dann sind Uε (a) ∈ Ta
Uε (a) ∩ Uε (b) = ∅.
(1)
Zu (1): Wäre c ∈ Uε (a) ∩ Uε (b), dann würde gelten (siehe Definition 5.4):
(2)
d(a, c), d(b, c) < ε.
Somit erhalten wir folgenden Widerspruch:
2ε = d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) = d(a, c) + d(b, c) < 2ε.
5.3(iii)
[5]–8
5.3(ii)
(2)
C1