Elektrotechnik I Formelsammlung

Elektrotechnik I
Formelsammlung
Andreas Ritter und Marco Weber
1. Dezember 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Physikalische Gesetze
Physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Physikalische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Mathematische Formeln
Doppelbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3 Netzwerk-Analysis
Serieschaltung . . . . . .
Spannungsteilerregel . .
Parallelschaltung . . . . .
Stromteilerregel . . . . . .
Kirchhoff’sche Regeln . .
Superpositions-Theoreme
Verfahren zur Analyse . .
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3
3
3
3
3
4
4
5
4 Gleichstrom DC
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
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5 Wechselstrom AC
Zeigerdarstellung–Polarform . . . . . .
Impedanz / Admittanz . . . . . . . . . .
Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . .
Kondensator / Kapazität . . . . . . . . .
Spule / Induktivität . . . . . . . . . . . .
Serienschwingkreis . . . . . . . . . . .
Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . .
Netzwerk-Analysis mit Wechselgrössen
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
8
9
9
9
10
10
11
11
12
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1 Physikalische Gesetze
• Physikalische Konstanten
Einheitsladung:
Influenzkonstante:
e = 1.6022 · 10−19 C
−12
ε0 = 8.85 · 10
[C] = [A s]
!
C
N m2
" ! "
C
F
=
2
Nm
m
• Phsyikalische Zusammenhänge
!
Nm
U = [V ] =
As
Ohmsches Gesetz:
U =R·I
Kraft zwischen zwei
Ladungen:
F =
Kraft in einem
elektrischen Feld:
F = q · E = [N ]
"
,
!
kg m2
R = [Ω] =
A2 s3
"
1 q1 · q2
= [N ]
4πε0 r2
Strom:
I = lim
Widerstand eines Leiters:
R=ρ
Sheet Resistance:
Rs =
∆t→∞
#
∆Q
∆t
$
=
dQ
= [A]
dt
L
= [Ω]
A
ρ
= [Ω]
d
⇒
R = Rs
L
= [Ω]
b
mit Breite b
2 Mathematische Formeln
• Doppelbrüche
1
x1
1
+
1
x2
=
x1 · x2
x1 + x2
1
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
=
x1 · x2 · x3
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1
• Komplexe Rechnung
Betrag:
Argument:
Eulersche Umwandlung:
%
a2 + b 2
c2 + d2
#
$
a + jb
bc − ad
Z=
⇒ $ (Z) = arctan
c + jd
ac − bd
Falls gilt: sign(bc − ad) = sign(ac − bd) = −1
müssen 180◦ zur Phase addiert werden.
a + jb
Z=
⇒ |Z| =
c + jd
cis ϕ = cos ϕ + j sin ϕ = ejϕ
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1. Dezember 2009
3 Netzwerk-Analysis
• Serieschaltung
Schaltbild:
&
Widerstände:
Rtot =
Strom:
I1 = I2 = I3 = · · ·
Spannung:
V =
&
Ri = R1 + R2 + R3 + · · ·
Vi = V1 + V2 + V3 + · · ·
Richtung beachten!
• Spannungsteilerregel
Vi = V
Ri
Rtot
V1
R1
=
V2
R2
bei zwei Widerständen:
• Parallelschaltung
Schaltbild:
Widerstände:
1
1
1
1
Ri
=
+
+
+ · · · wenn alle gleich: Rtot =
Rtot
R1 R2 R3
Anz.
für zwei Widerstände: Rtot =
&
Strom:
I=
Spannung:
V1 = V2 = V3 = · · ·
Leitfähigkeit:
G=
R1 · R2
R1 + R2
Ii = I1 + I2 + I3 + · · ·
1
= [S]
R
Siemens
• Stromteilerregel
Ii = I
Rtot
Ri
mit zwei Widerständen:
I1 =
R2
I
R1 + R2
bzw.
I2 =
R1
I
R1 + R2
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1. Dezember
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R
ETh
I
• Kirchhoff’sche Regeln
Th
INo
RNo
Die Summe aller E
zufliessenden Ströme in einem Knoten ist
Null. Dabei Nützlich: Über einen Widerstand gilt:
KCL-Knotenregel:
I=
V1 − V2
R
I
R
V1
V2
+
1 2 3
- E
Die Summe der Potentiale,Rdie über einen geschlossenen
RL
Th
Kreislauf an- und E
abfallen
ist ThNull.
KVL-Maschenregel:
'
0
• Superpositions-Theoreme
V =0
INo
RNo
RL
+
- E
1
2
INo
RNo
R
I
1
2
+ L einzeln betrachtet werden
+ (AchVerschiedene
Strom- und Spannungsquellen können
1
2
3
E
E
tung AC bei unterschiedlichen Frequenzen!) Die- nicht zu berechnenden Strom
und
Spannungsquellen werden folgendermassen gehandhabt.
INo
I
E
R1
I
Thévenin-Theorem:
V1
V2
R
Rth
Eth
R2
R5
R3
I
R4
ETh
E
I
ETh
I
R
V2
INo
RTh
RL
R2
R5
RR3Th
R2
R1
R2
R5
R1
Ähnlich dem Thévenin-Theorem mit dem Unterschied,
R4 dass
R5
Ersatzstromquelle
INo
RNo und Ersatzwiderstand parallel sind.
Ersatzwiderstand
RT h desR ThéveninR3 RN o : Entspricht
R4
3
Theorems.
Ersatzstromquelle IN o : Gemäss Superpositionsprinzip
Kurzschlussströme berechnen an geschlossenen Klemmen
und Summe bilden.
Norton-Theorem:
V1
3
Jedes
Netzwerk kann bezüglich zweier
R3 linear elektrische
R4
Klemmen
zu
einer
Ersatzspannungsquelle,
dem ThéveninE
Äquivalent, bestehend aus einer Spannungsquelle und eiR1
R2
nem Widerstand in Serie, umgeformt werden.
R5
Ersatzwiderstand RT h : Alle Strom- und Spannungsquellen
I
gemäss Superposition
behandeln.
Widerstand an offenen
V1
V2
R3
R4
R
Klemmen berechnen. Entspricht RN o .
Ersatzspannung
ET h : Gemäss Superpositionsprinzip offeR2
ne Stromkreisspannungen
an offenen Klemmen berechnen
R1
R
und Summe
bilden.
RL
Rth5
Eth R4
RL
R1
RNo
RL
RNo
+
1
2 3
- E
RL
3
INo
INo
Elektrotechnik I – Formelsammlung
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E
E
Umwandlung zwischen
Thévenin und Norton:
Maximale
Leistungsübertragung:
E
V1 T h II
IN =
V1 R T h R
R
No
IINo
• Verfahren zur Analyse
ETV
h 2= IN · RT h
V
2
R
RThth
E
EThth
RNo
RNo
R
RLL
RNo
R
No
+
1
- E
2
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RN o = RT h
+
1 2 3
- E
RL = RT h
ET h
EL =
2
RL
R
L
RL+= RN o1
- IEN o
IL =
2
3
1
+
- E
2
2
3
3
Ast-Strom-Analyse:
1. Nummeriere in jedem Ast einen Strom
2. Wende in jeder Masche das KVL an
3. Wende das KCL an (an einem Minimum der Knoten
(alle Äste))
4. Löse die Gleichungen
Maschen-Analyse:
1. Nummeriere jede unabhängige geschlossene Masche
2. Wende KVL in jeder Masche an
Knoten-Analyse:
1. Nummeriere die Knoten
2. Wähle einen Referenzknoten und setze Potential Null
3. KCL an restlichen Knoten V1 , V2 , V3 , . . .
4. Löse das Gleichungssystem
Brückenschaltungen:
R2
R1
R5
R3
R4
R1
R3
R5
R2
R4
R2
R1
R4
R5
R3
Falls das Verhältnis R1 : R3 = R2 : R4 gilt, fliesst kein Strom
durch R5 und der Widerstand kann aus dem Schaltbild entfernt werden.
Elektrotechnik I – Formelsammlung
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1. Dezember 2009
4 Gleichstrom DC
Strom und Spannung mit konstanter Richtung und Betrag
• Leistung
∂u
P =
=I ·V
∂t
P =I R
• KondensatorenI
!
"
J
W =
s
V2
P =
R
2
INo
RNo
RL
Symbol:
E
Kapazität:
Ci =
Differentialgleichungen:
V
V
2
R
Lade- und
Entladevorgang:R
th
Eth
Faraday
d QC
d vC
iC (t) =
=C
dt
dt
I
1
Qi
= [F ]
Vi
RL
(gilt in jedem Kondensator i)
1
vC (t) =
C
(
iC (t) dt
Zum Zeitpunkt t = t0 wird der Schalter umgeschaltet, sodass sich der bis dahin vollständig aufgeladene Kondensator wieder vollständig entlädt.
R
vC(t)
5
R
C
iC(t)
R
5
R
t → ∞:
R2
R4
Graphische Darstellung:
C
L
RP
R1
vC (t) = E
iC (t) = 0
vR (t) = 0
2
R4
t = 0: vC (t) = 0 t = t0 :
iRCS(t) C
=E
R L
vR (t) = E
0
Entladephase:
iC (t)R + vC (t) = 0
RC dtd (vC (t))
−v*C (t)
) −=
t/
RC
vC (t) = E ) e
*
−t /RC
iC (t) = E
1
−
e
R
R3
Ladephase:
t<t
E − iC (t)R
− vC (t) = v0L(t)
t!t
+RC d (v (t))
R
C ) + vC (t) =
* E
- Edt
−tL
/RC
vC (t) = E 1 − e
t
iC (t) = E
e− /RC iL(t)
R
0
R
t ! t0
1
t < t0
R3
+
- E
vC (t) = 0
iC (t) = E
R
vR (t) = E
R
1
R2
R3
R4
R5
I
R
V1
INo
RNo
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I
R
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+
1 2 3
- E
Rth
Eth
V1
V2
RL
V2
Serieschaltung:
Rth
Eth
INo
RL
RNo
+
1 2 3 INo
- E
QT = Q1 = Q2 = Q3
Q1 Q2 Q3
E=
+
++
C1
C2 -C3 E 1
1 V 2+ V 3
E+ = V1 +
2
3
-1 E & 1
=
Ctot
Ci
RL
1
+
+
Gespeicherte
Energie:
1
2
3
- E
- E
Plattenkondensator:
• Spulen
I
1
2
3
QT = Q1 + Q2 + Q3
2
3
+CV =1 C1 V2 + C32 V + C3 V
E
- =
E
V1 = V2 = V3
&
Ctot =
Ci
1
Q2
2 13
U = QV = CV 2 =
gespeichert im elektrischen Feld
2
2
2C
V =E·d
INo
+
- E
Parallelschaltung:
RNo
RL
E=
RNo
V
F
=
d
Q
C=
Q
A
= ε0 εr ·
V
d
RL
Symbol:
!
"
dΦ
Vs
L=
= H=
Henry
dI
A
E
Induktivität:
V1
I
Spulengüte:
V
Differentialgleichungen:
R
th
R
0
0
R
5
Lade- und
Entladevorgang:
1
RL
R3
Eth
L
(gilt in jeder Spule)
RL
(
1
d iL
iL (t) =
vL (t) dt
vL (t) = L
L
dt
v
(t)
t<t
C
t!t
+ Zeitpunkt
Zum
t R= t0 wird der Schalter umgeschaltet, so- Esich die bis dahin
C vollständig aufgeladene Spule wiedass
iC(t)
der vollständig entlädt.
QL = w
2
R
(Φ − magnetischer Fluss)
vL(t)
R
R1
5
R
Entladephase:
iL (t)R + vL (t) = 0
L d
(i (t)) = −iL (t)
R dt L
R
iL (t) = E
e−t L
R
R
vL (t) = E(1 − e−t L )
R2
R4
Ladephase:
E − iL (t)R − vL (t) = 0
CL (t))L = E
iL (t)R +RLS dtd (i
R
E
iL (t) = R (1 − e−t L )
R
vL (t) = E e−t L
R3
L
iL(t)
R
t ! t0
2
t < t0
R4
+
- E
R
t → ∞: vL (t) = E
iL (t) = 0
vR (t) = 0
1
t = 0: RvL (t) C
= E L t = t0 : vL (t) = 0
P
iL (t) = 0
iL (t) = E
R
vR (t) = 0
vR (t) = E
R2
R3
R4
INo
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E
Seite 8
V1
Eth
Gespeicherte Energie:
Solenoid:
RNo
2
&
+ R 1
- E No
INo
R
L
R2L
L = µ0
n2
A
l
3
+
12 2 3 3
1+
3 - E Parallelschaltung:
E
-
+
- E
1
1
+
- E
2
2
3
3
& 1
1
=
Ltot
Li
Li
1
U = L · I 2 gespeichert im Magnetfeld
2
Toroid:
B = µ0 · I · n
+
1 2 3
- E
L
+
1
- E
Ltot =
RNo
HS 09
1. Dezember 2009
E
I
I
V1
V2
V2
Graphische
Darstellung:
R
R
+
1 2 3
- E
Rth
RL
Rth
REth
INo
Serieschaltung:
INo
RNo
B=
µ0 · I · n
2πr
L=
µ0 n 2 h
Ra
· ln
2π
Ri
n − Anzahl Windungen
h − Dicke des Rings
Ra − Aussenradius
Ri − Innenradius
r − mittlerer Radius
A − Querschnittsfläche
Vs
µ0 = 4π · 10−7 Am
5 Wechselstrom AC
• Zeigerdarstellung – Polarform
Frequenz:
f=
Kreisfrequenz: ω =
Phasenverschiebung:
1
= [Hz]
T
2π
T
= 2πf =
+1,
Der Phasenverschiebungswinkel θ ist die Spannung gegenüber dem Strom!
θ = $ (V ) − $ (I)
s
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Seite 9
HS 09
1. Dezember 2009
Zeitsignal:
a(t) = Am · cos (ωt + θ)
Phasor:
A = Am (cos θ + j sin θ) = Am ejθ
Amplitude: Am =
Phase:
Re(A)2 + Im(A)2
θ = $ (A) = arctan
#
Im(A)
Re(A)
$
• Impedanz / Admittanz
Im
Z
xL
Komplexer Widerstand: Z =
V
= [Ω]
I
Admittanz:
1
= [S]
Z
induktiv
Re
xC
kapazitiv
Y =
Z
Serieschaltung:
Z=
&
Zi
i
Parallelschaltung:
• Widerstand
Siemens
& 1
1
=
Z
Zi
i
Y =
&
i
Yi =
& 1
Zi
i
xR = 0
Phasenverschiebung: θ = 0
Impedanz:
ZR = R
• Kondensator / Kapazität
xC =
1
ωC
Phasenverschiebung: θ = −90◦
1
jωC
Ein Kondensator ist ein Kurzschluss für hohe Frequenzen und ein Leerlauf für tiefe
Frequenzen (= Gleichstrom).
Impedanz:
ZC =
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Seite 10
HS 09
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• Spule / Induktivität
R
R
t ! t0
xL = ωL
1
vC(t)
R3
Phasenverschiebung: θ = +90◦
C
iC(t)
5
R
+
- E
t < t0
Impedanz:
Z L = jωL
R2
R4
Eine Spule ist ein Leerlauf
vL(t) für hohe Frequenzen und ein Kurzschluss für tiefe Frequent<t
zen
t!t
+ (= Gleichstrom).
R
E
L
0
0
L
R4
R2
Resonanzfrequenz:
C
L
RP
1
Z = RS + jωL +
jωC
R5
C
R3
RS
iL(t)
R1
• Serienschwingkreis
ωS
2π
ωS = √
#
1
RS + j ωL −
ωC
=
1
LC
%
1
1
L
ωS L
Q=
=
=
RS · ωS · C
RS C
RS
fS =
R
R2
BW−3dB =
RS
ωS
=
L
Q
R4
R3
Bandbreite:
1
Güte
R5
.
ω1,2 = ωS ·
Frequenzgänge:
1+
mit:
1
RS
±
(2Q)2
2L
1
− 3dB = √
2
$
t!t
+
R
E
L
Elektrotechnik I – Formelsammlung
iL(t)
Seite 11
0
R
L
R2
C
R4
• Parallelschwingkreis
RP
R1
L
5
C
R3
RS
HS 09
1. Dezember 2009
1
RP + jωL +
Z=
=
1
R
1
jωC
R2
ωP = √
R5
Bandbreite:
1
LC
%
C
RP
Q = RP · ωP · C = RP
=
L
ωP L
fP =
R4
Güte
ωP
2π
R3
Resonanzfrequenz:
jωLRP
RP (1 − ω 2 LC) + jωL
BW−3dB =
ωP
Q
ω1,2 = ωP ·
.
1+
mit:
1
− 3dB = √
2
1
ωP
±
2
(2Q)
2Q
Frequenzgänge:
• Netzwerk-Analysis mit Wechselgrössen
Unterschiedliche
Frequenzen:
Befinden sich in einem Netzwerk Elemente mit unterschiedlichen Frequenzen, so müssen sie in zwei unabhängigen Rechenschritten behandelt werden und könnenerst am
Schluss kombiniert werden. Hierzu wird das Superpositionsprinzip verwendet. Die Lösungen der Aufgabe mit den
unterschiedlichen Frequenzen ergeben addiert die Lösung.
Elektrotechnik I – Formelsammlung
Seite 12
HS 09
1. Dezember 2009
Allgemeines Vorgehen:
• Reaktive Elemente mit Impedanzen ersetzen
• Falls Phasenverschiebungen vorhanden sind müssen
diese nur für die Berechnung der Phase beachtet werden und werden ganz zum Schluss addiert oder subtrahiert.
• Netzwerk mit normaler Netzwerkanalysis lösen!
• Frequenzen in algebrahische Lösung einsetzen.
• Komplexe Lösung in Real- und Imaginärteil, Polarform
oder am gebräuchlichsten in Betrag und Phase darstellen
• Mit der letzteren Form kann dann die gesuchte Grösse wieder als Zeitsignal dargestellt werden.
• Leistung
Effektivwerte:
Erzeugt ein Wechselstrom in einem Widerstand im Mittel
die gleiche Leistung, wie ein Gleichstrom, so ist der Effektivwert des Stromes gleich dem Wert des Gleichstromes.
1
T
Scheinleistung:
p̄(t) = ī(t)2 R
/T
i(t)2 · Rdt
0 /
2π
1
i(t)2 dt
2π 0
1 2
I ·π
2π m
=
=
=
=
⇒
Im
Ief f = √
2
Vm
Vef f = √
2
Die Scheinleistung ist die vektorielle Summe aus Wirkleistung und Blindleistung.
PS = S = Ief f · Vef f =
Wirkleistung:
P = I 2R
I 2R
I2
I2
Im · Vm
V2
I 2 · |Z|
= m = m
2
2|Z|
2
Die Wirkleistung ist die Leistung, die über den Widerstand
genutzt werden kann. Sie ist in Phase mit dem Strom.
PW = P = PS cos θ = Re(PS )
Blindleistung:
Die Blindleistung bleibt im System und kann nicht genutzt
werden.
PB = Q = PS sin θ = Im(PS )
Leistungsfaktor:
F = cos θ =
PW
PS