Musterlösung - Fachbereich Mathematik

Übungen zur Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete
Mathematik) im Wintersemester 2016/2017
Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke
B: Hausaufgaben zum 15. und 16. Dezember 2016
1. Wie viele paarweise nicht isomorphe Graphen mit 4 Ecken gibt es?
Hinweis: Man erinnere sich daran, dass zwei Graphen genau dann isomorph sind, wenn ihre Komplemente isomorph sind. Diese Bemerkung reduziert deutlich die Anzahl der Fälle, die man betrachten
muss.
Lösung: Auf vier Ecken gibt es nur einen Graphen ohne Kanten. Bis auf Isomorphie gibt es auch
nur einen Graphen mit einer Kante. Bis auf Isomorphie gibt es zwei Graphen mit vier Ecken und
zwei Kanten: Zwei Kanten mit einer gemeinsamen Ecke und ein weiterer Knoten sowie zwei Kanten
ohne gemeinsame Ecke. Also gibt es bis auf Isomorphie 4 Graphen mit vier Ecken und höchstens 2
Kanten.
Für drei Kanten gibt es folgende Möglichkeiten: die drei Kanten gehen alle von einer gemeinsamen
Ecke aus, die drei Kanten bilden einen Weg der Länge 3 oder die 3 Kanten bilden ein Dreieck und
die vierte Ecke berührt keine Kante. Also gibt es bis auf Isomorphie 3 Graphen mit vier Ecken und
3 Kanten.
Ein vollständiger Graph mit vier Ecken hat 6 Kanten. Ein Graph auf vier Ecken mit 4 oder mehr
Kanten ist das Komplement eines Graphen mit 2 oder weniger Kanten. Zwei Graphen sind genau
dann isomorph, wenn ihre Komplemente isomorph sind. Damit gibt es bis auf Isomorphie 4 Graphen
mit 4 Ecken und 4 oder mehr Kanten.
Also gibt es insgesamt 11 paarweise nicht isomorphe Graphen mit 4 Ecken.
2. Man gebe zwei nicht isomorphe, zusammenhängende Graphen an, die jeweils zwei Ecken mit dem
Grad 3, sechs Ecken mit dem Grad 2 und keine weiteren Ecken haben.
Lösung: Die beiden folgenden Graphen sind nicht isomorph und haben die angegebene Gradfolge.
3. Stellen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür auf, dass ein zusammenhängender
Graph einen Eulerzug besitzt. Beweisen Sie Ihre Charakterisierung zusammenhängender Graphen
mit einem Eulerzug.
Lösung: Ein zusammenhängender Graph hat genau dann einen Eulerzug, wenn er keine oder zwei
Ecken von ungeradem Grad hat.
Wenn der zusammenhängende Graph G nur Ecken von geradem Grad hat, dann hat er nach dem
Satz aus der Vorlesung eine Eulersche Linie und damit insbesondere einen Eulerzug. Wir nehmen
also an, dass es in G zwei Ecken von ungeradem Grad gibt, zum Beispiel u und v. Sei v1 , . . . , vn ein
Weg in G von u nach v. So ein Weg existiert, da G zusammenhängend ist. Entfernt man nun die
Kanten dieses Weges aus G, so erhält man einen Graphen, in dem alle Grade gerade sind, der aber
nicht unbedingt zusammenhängend ist. Trotzdem können wir in jeder Zusammenhangskomponente
dieses neuen Graphen einen Eulerkreis wählen und diese Kreise in den Weg v1 , . . . , vn einbauen.
Das liefert einen Eulerzug in G.
Hat umgekehrt G einen Eulerzug, so hat jeder Knoten von G einen geraden Grad, eventuell bis
auf die Endknoten des Eulerzugs. Ist der Eulerzug geschlossen, so haben alle Knoten von G einen
geraden Grad. Ist der Eulerzug nicht geschlossen, so sind die Endknoten des Eulerzugs die einzigen
beiden Knoten von ungeradem Grad.
4. Zeigen Sie, dass es in einem Baum zwischen je zwei Ecken genau einen Weg gibt.
Lösung: Sei G ein Baum. Angenommen, zwischen zwei Ecken gibt es zwei verschiedene Wege.
Wähle zwei Ecken u und v, so dass es zwei verschiedene Wege u1 , . . . , um und v1 , . . . , vn von u nach
v gibt, wobei m minimal möglich ist. Wegen der Minimalität von m ist kein vi , 1 < i < n, unter
den Ecken u1 , . . . , um . Also ist u1 , . . . , um = vn , vn−1 , . . . , v1 = u1 ein Kreis in G. Das widerspricht
der Tatsache, dass G ein Baum ist.
5. Zeigen Sie, dass ein Graph, in dem es zwischen je zwei Ecken genau einen Weg gibt, ein Baum ist.
Lösung: Sei G ein Graph, in dem es zwischen je zwei Ecken genau einen Weg gibt. Da es zwischen
je zwei Ecken einen Weg gibt, ist der Graph zusammenhängend. Gäbe es einen Kreis in G, so findet
man zwischen je zwei Ecken auf dem Kreis zwei verschiedene Wege. Man kann den Kreis ja in zwei
Richtungen entlang laufen.