Donnerstag 19.4.2012

Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Donnerstag 19.4
$Id: gruppen.tex,v 1.12 2012/04/19 12:20:27 hk Exp $
§2
Gruppen
2.1
Isomorphe Gruppen
In der letzten Sitzung hatten unter anderen den Begriff einer Gruppe eingeführt und
auch schon einige Beispiele von Gruppen vorgeführt. Wir wollen diese Untersuchungen
jetzt noch etwas weiter fortführen und als nächsten Begriff die Isomorphie, oder strukturelle Gleichheit, von Gruppen einführen. Um zu sehen, was dies bedeutet betrachten
wir erst einmal die folgenden beiden Gruppen
0 1
0 0 1
1 1 0
und
a b
a a b
b b a
Diese beiden Gruppen sind sicherlich nicht gleich, sie haben ja nicht einmal dieselben
Elemente. So richtig verschieden sind sie aber auch nicht, die rechte Tafel entsteht aus
der linken indem man einfach a“ statt 0“ und b“ statt 1“ schreibt, es liegt also
”
”
”
”
nur eine Umbenennung der Elemente vor. Man spricht in solchen Situationen davon,
dass die beiden Gruppen isomorph sind. Für eine exakte Definition müssen wir den
Begriff nun formal genau erfassen. Seien also zwei Gruppen (G, ∗) und (H, ⊗) gegeben.
Die Umbenennung bedeutet das jedem Element von G ein eindeutiges Element von H
entspricht und umgekehrt, dass wir also in anderen Worten eine bijektive Abbildung
f : G → H haben. Was bedeutet jetzt, dass sich die Gruppentafeln dabei ineinander
übertragen? In der Zeile x ∈ G und Spalte y ∈ G der Gruppentafel von (G, ∗) steht
das Produkt x ∗ y. Die x und y entsprechenden Elemente von H sind f (x) und f (y),
also muss in Zeile f (x) und Spalte f (y) der Gruppentafel von (H, ⊗) das x ∗ y entsprechende Element stehen, und dieses ist f (x ∗ y). Andererseits steht dort f (x) ⊗ f (y), wir
benötigen also die Bedingung f (x ∗ y) = f (x) ⊗ f (y). Es stellt sich als sinnvoll heraus,
diese Eigenschaft von f auch für allgemeine, nicht notwendig bijektive, Abbildungen f
von G nach H zu untersuchen.
Definition 2.5: Eine Abbildung f : G1 → G2 zwischen zwei Gruppen (G1 , ∗) und
(G2 , ⊗) heißt Homomorphismus (oder ausführlicher Gruppenhomomorphismus), wenn
f (a ∗ b) = f (a) ⊗ f (b)
für alle a, b ∈ G1 gilt. Ist f dabei bijektiv, so heißt f ein Isomorphismus, beziehungsweise Gruppenisomorphismus, und G1 und G2 werden isomorph genannt.
Wir wollen einige Beispiele durchgehen.
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1. Die Funktion f : (Z, +) → (Z, +); x 7→ 2x ist ein Gruppenhomomorphismus,
denn für alle x, y ∈ Z gilt f (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f (x) + f (y).
2. Die Funktion f : (Z, +) → (Z, +); x 7→ x2 ist dagegen kein Gruppenhomomorphismus, denn im allgemeinen ist f (x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 6= x2 + y 2 =
f (x) + f (y).
3. Sei n ∈ N∗ . Dann ist die Funktion f : (Z, +) → (Zn , ⊕); x 7→ [x], die jede ganze
Zahl auf ihre Restklasse modulo n abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Die
Homomorphiebedingung
!
f (x + y) = [x + y] = [x] ⊕ [y] = f (x) + f (y)
für x, y ∈ Z ist dabei direkt die Definition der Addition von Restklassen modulo
n.
4. Die Abbildung f : (Z, +) → (Z, +); x 7→ −x ist ein Gruppenisomorphismus, denn
bijektiv ist sie allemal und für x, y ∈ Z gilt stets f (x + y) = −(x + y) = −x − y =
f (x) + f (y).
5. Zum Abschluß noch ein etwas komplizierteres Beispiel. Die Exponentialabbildung
f : (R, +) → (R>0 , ·); x 7→ ex
ist ein Gruppenisomorphismus. Dabei werden wir ex eigentlich erst etwas später
in diesem Semester behandeln, daher verlasse ich mich hier auf Ihre Erinnerungen
aus der Schulzeit. Dort haben Sie gelernt das f die reellen Zahlen bijektiv auf die
positiven reellen Zahlen abbildet. Die Homomorphiebedingung besagt
!
f (x + y) = ex+y = ex · ey = f (x) · f (y)
und dies ist gerade die Haupteigenschaft der e-Funktion, ihre Funktionalgleichung.
6. Wir wollen jetzt auch noch ein letztes Beispiel betrachten, das die Gruppentafeln
der beiden betrachteten Gruppen verwendet. Wir wollen die beiden folgenden
Gruppen auf vier Elementen 0, 1, 2, 3 betrachten:
∗
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
und
⊗
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
3
0
2
2
2
0
3
1
3
3
2
1
0
Wir behaupten, dass diese beiden Gruppen isomorph sind wobei der Isomorphismus durch Vertauschen von 2 und 3 gegeben ist. Diese Behauptung wollen wir
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nun verifizieren. Wir müssen in der linken Tafel die dritte und die vierte Zeile
sowie Spalte jeweils miteinander vertauschen. Beachte das dies im linken, unteren 2 × 2-Kästchen zum Vertauschen der beiden Zeilen führt, im rechten, oberen
2×2-Kästchen zum Vertauschen der beiden Spalten und im rechten, unteren 2×2Kästchen muss beides zugleich gemacht werden, d.h. die Einträge werden über
Kreuz ausgetauscht. Anschließend müssen dann noch in den Tafeleinträgen die
2 und die 3 miteinander vertauscht werden. Der Übersichtlichkeit halber führen
wir dies hier in zwei Schritten durch
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Vertauschen
−→
0
1
2
3
0
0
1
3
2
1
1
2
0
3
2
3
0
2
1
3
2
3
1
0
Umbenennen
−→
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
3
0
2
2
2
0
3
1
3
3
2
1
0
Insgesamt ist also die durch f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 3 und f (3) = 2 gegebene
Abbildung ein Gruppenisomorphismus.
Bevor wir fortfahren wollen wir noch eine Grundeigenschaft von Gruppenisomorphismen und allgemeiner von Gruppenhomomorphismen festhalten.
Lemma 2.6: Seien (G1 , ∗) und (G2 , ⊗) Gruppen mit neutralen Elementen e1 ∈ G1 und
e2 ∈ G2 . Dann gilt für jeden Homomorphismus f : G1 → G2 stets
f (e1 ) = e2 und f (inv(a)) = inv(f (a))
für alle a ∈ G1 .
Beweis: Zunächst gilt
f (e1 ) = f (e1 ∗ e1 ) = f (e1 ) ⊗ f (e1 ),
und damit ist auch
f (e1 ) = f (e1 ) ⊗ e2 = f (e1 ) ⊗ f (e1 ) ⊗ inv(f (e1 )) = f (e1 ) ⊗ inv(f (e1 )) = e2 .
Dies zeigt die erste Behauptung. Nun sei a ∈ G gegeben. Die Eindeutigkeit inverser
Elemente nach Lemma 4 ergibt, dass wir nur zeigen müssen das f (inv(a)) ∈ G2 die
definierende Eigenschaft eines inversen Elements zu f (a) ∈ G2 hat. Dies ergibt sich aus
f (a) ⊗ f (inv(a)) = f (a ∗ inv(a)) = f (e1 ) = e2 .
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2.2
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Klassifikation von Gruppen
Unter der Klassifikation von Gruppen versteht man die Beschreibung der möglichen
Isomorphietypen von Gruppen, beziehungsweise spezieller Klassen von Gruppen. Was
dabei genau unter einer Beschreibung“ zu verstehen ist, ist nicht ganz eindeutig fest”
gelegt, sondern hängt immer von den gerade verfolgten Zielen beziehungsweise von dem
was für die betrachtete Sorte von Gruppen überhaupt möglich ist, ab. Die einfachste
Art von Klassifikation ist eine vollständige Auflistung, also die Angabe einer Liste in
der jede der betrachteten Gruppen bis auf Isomorphie an genau einer Stelle auftaucht.
Für die ganz kleinen Gruppen werden wir dies hier vorführen.
2.2.1
Klassifikation der Gruppen mit einem Element
Eine solche Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element, und je zwei gehen durch
Umbenennung eben dieses neutralen Elements auseinander hervor. Bis auf Isomorphie
gibt es also nur eine Gruppe mit einem Element.
2.2.2
Klassifikation der Gruppen mit zwei Elementen
In einer solchen Gruppe haben wir das neutrale Element e und ein weiteres Element
a. Die Gruppentafel hat also die Gestalt
e a
e e a
a a Nach Aufgabe (10) taucht in jeder Zeile und in jeder Spalte einer Gruppentafel jedes
Element genau einmal auf, die Tafel läßt sich also nur auf eine einzige Weise auffüllen
e a
e e a
a a e
Schreiben wir 0 statt e und 1 statt a, so erkennen wir hier die Gruppentafel von (Z2 , ⊕).
Bis auf Isomorphie gibt es also auch genau eine Gruppe mit zwei Elementen, nämlich
(Z2 , ⊕).
2.2.3
Klassifikation der Gruppen mit drei Elementen
Eine Gruppe mit drei Elementen hat ihr neutrales Element e und zwei weitere Elemente
a, b. Die Verknüpfungstafel ist
e a b
e e a b
a a b b
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Starten wir mit dem markierten Eintrag. Dieser ist e oder b, aber würden wir e nehmen,
so müsste rechts daneben b stehen, was nicht geht. Wir sind also gezwungen die markierte Stelle mit b zu belegen. Für die restlichen drei Einträge gibt es dann überhaupt
keine Wahlfreiheiten mehr, und wir erhalten die Tafel
e
e e
a a
b b
a
a
b
e
b
b
e
a
Bis auf Isomorphie gibt es also höchstens eine Gruppe mit drei Elementen, nämlich
die mit der oben stehenden Tafel. Andererseits kennen wir schon die Gruppe (Z3 , ⊕)
mit drei Elementen, und damit gibt es bis auf Isomorphie genau eine Gruppe mit drei
Elementen, nämlich (Z3 , ⊕).
2.2.4
Klassifikation der Gruppen mit vier Elementen (teilweise)
Die Gruppen mit vier Elementen stellen sich als etwas komplizierter als diejenigen
mit 1, 2, 3 Elementen heraus. Hier gibt es erstmals echte Wahlmöglichkeiten in der
Gruppentafel und es gibt auch nicht isomorphe Gruppen. Wir wollen diesen Fall hier
nicht vollständig vorführen, aber zumindest zeigen was so getan werden muss. Man
nennt das neutrale Element wieder e und die drei anderen Elemente seien a, b, c. Die
erste frei Stelle in der Gruppentafel ist dann wieder a ∗ a, und dies könnte irgendein
Gruppenelement ungleich a sein. Man beginnt dann damit einfach die verschiedenen
Möglichkeiten durchzugehen, starten wir etwa mit a ∗ a = e. Durch diese Wahl werden
sofort auch einige weitere Einträge festgelegt, und wir kommen bis zur folgenden Tafel
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a b c
a b c
e c b
c b
An der markierten Stelle können wir jetzt e oder a eintragen. Nachdem wir uns für
eine der Möglichkeiten entschieden haben ist alles weitere festgelegt. Dies führt auf
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
und
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
a
e
c
c
b
e
a
Dies sind beides Kandidaten für Gruppen mit vier Elementen, und wir müssten jetzt
überprüfen ob es sich um Gruppen handelt. Für die zweite Tafel führen wir eine kleine
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Umbenennung durch
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
a
e
c
0
c
0 0
e = 0, a = 2,
−→ 1 1
b −→
b = 1, c = 3
e
2 2
a
3 3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
und sehen das es sich um die Gruppe (Z4 , ⊕) handelt. Auch die erste Tafel ist die Tafel
einer Gruppe. Bezeichnen wir die mit Verknüpfung mit ∗“, so ist x ∗ x = e für alle x,
”
und sind x 6= y und x, y 6= e, so ist x ∗ y das dritte von e verschiedene Element. Hieraus
ergibt sich leicht das Assoziativgesetz. Sind etwa x, y, z 6= e paarweise verschieden, so
ist x ∗ y = z und (x ∗ y) ∗ z = z ∗ z = e und y ∗ z = x, x ∗ (y ∗ z) = x ∗ x = e. Die
anderen Fälle für x, y, z sind leichter und sollen jetzt nicht mehr vorgeführt werden.
Die beiden obigen Tafeln hatten wir durch die Wahl a ∗ a = e erhalten. Jetzt kann
man so fortfahren und auch die anderen möglichen Tafeln bestimmen. Dies werden
wir jetzt nicht mehr tun, es kommen zwar noch einige neue Tafeln hinzu, aber diese
führen alle auf Gruppen, die zu einer der beiden obigen Gruppen isomorph sind. Wenn
Sie Aufgabe (11) bearbeit haben, wissen Sie das noch zwei weitere Kandidatentafeln
auftauchen, die beides Gruppentafeln sind. Damit gibt es bis auf Isomorphie höchstens
zwei Gruppen mit vier Elementen. Um zu sehen, dass es genau zwei sind, muss man sich
noch überlegen, dass die beiden gefundenen Gruppen nicht isomorph sind. Dies kann
man entweder durch Durchprobieren aller möglichen Isomorphismen machen, das sind
ja nur sechs Stück, oder sich überlegen das bei isomorphen Gruppen auf der Diagonale
der Gruppentafel das neutrale Element gleich häufig auftauchen muss. Weil es in der
linken Tafel vier mal, in der rechten Tafel aber nur zweimal auftaucht, können die
beiden Gruppen damit nicht isomorph sein.
Gruppen mit noch mehr Elementen lassen sich immer schlechter durch die bisher
benutzte Methode des Auflistens möglicher Gruppentafeln behandeln. Was man anstelle dessen macht gehört aber nicht mehr zum Stoff dieser Vorlesung. Als Anzahl von
Isomorphietypen ergeben sich
n
1
1
2
1
3
1
4
2
5
1
6
2
7
1
8
5
9
2
10
2
11
1
12
5
13
1
14
2
15
1
16
14
17
1
Für die Zahl der Isomorphietypen ist die numerische Größe von n gar nicht so wichtig,
entscheidend ist vielmehr die Primzerlegung von n. Ist n beispielsweise eine Primzahl,
so gibt es bis auf Isomorphie immer nur eine eindeutige Gruppe. Besonders viele Typen
gibt es für n = 8 = 23 und n = 16 = 24 , hier sind eben die Exponenten in der
Primzerlegung schon etwas größer.
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2.3
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Zyklische Gruppen
Sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralen Element e. Wir können dann Potenzen von Elementen von G einführen, indem für a ∈ G, n ∈ N∗
an := a
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a}
n mal
definiert wird. Diese Operation erfüllt dann die üblichen Potenzrechenregeln
an ∗ am = an+m und (an )m = anm
für alle a ∈ G, n, m ∈ N∗ . Die erste Regel ergibt sich dabei als
n+m
an ∗ am = a
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a} ∗ a
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a} = a
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a} = a
n mal
m mal
n + m mal
und für die zweite Regel rechnen wir
n
n
(an )m = a
∗ · · · ∗ an} = a
| ∗ a {z
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a} ∗ · · · ∗ a
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a}
m mal
n mal
| n mal
{z
}
m mal
nm
=a
| ∗ a ∗{z· · · ∗ a} = a .
nm mal
Die Potenzen von Gruppenelementen kann man auch noch auf ganzzahlige Exponenten
ausdehnen, indem für a ∈ G, n ∈ N∗ zusätzlich
a0 := e und a−n := inv(an )
definiert wird. Beispielsweise ist dann a−1 = inv(a). Als eine Übungsaufgabe kann man
sich überlegen, dass die Potenzrechenregeln auch bei beliebigen ganzzahligen Exponenten n, m ∈ Z gültig bleiben.
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die Potenzen an eines Elements a einer
Gruppe G eingeführt, und nachgewiesen das diese die Potenzrechenregeln
an ∗ am = an+m , (an )m = anm
für alle n, m ∈ Z erfüllen. Diese Potenzen erlauben es uns jetzt eine wichtige spezielle
Sorte von Gruppen einzuführen, die sogenannten zyklischen Gruppen. Wenn man jedes
Element einer Gruppe durch eine geeignete Potenz ein und desselben Elements darstellen kann, so spricht man von einer solchen zyklischen Gruppe. Die genaue Definition
einer lautet:
Definition 2.7: Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein a ∈ G gibt so, dass
G = {ak |k ∈ Z}
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gilt. Dieses Element a heißt dann ein erzeugendes Element der Gruppe G, oder auch
ein Erzeuger von G.
Wir kennen auch schon einige Beispiele zyklischer Gruppen. Ist beispielsweise m ∈
N∗ , so ist die Gruppe (Zm , ⊕) zyklisch mit dem Erzeuger a = [1]. Ist nämlich k ∈
{0, 1, . . . , m − 1} gegeben so ist
[k] = [1] ⊕ · · · ⊕ [1] = k[1]
|
{z
}
k mal
die k-te Potenz“ von a. Wir schreiben hier k[1] statt [1]k da dies bei additiv geschrie”
bener Verknüpfung üblich ist, man spricht dann meist auch von Vielfachen statt von
Potenzen. Eine weiteres Beispiel einer zyklischen Gruppe ist die Gruppe (Z, +) mit dem
Erzeuger a = 1, hier gilt direkt k = ka für jedes k ∈ Z. Ein weniger offensichtliches
Beispiel, das wir hier auch nicht beweisen wollen, ist die multiplikative Gruppe (Z∗p , )
wenn p eine Primzahl ist. Dieses Beispiel wird in einer Übungsaufgabe näher untersucht werden. Wir kommen nun zu einer allgemeinen Aussage über endliche zyklische
Gruppen.
Lemma 2.8 (Endliche zyklische Gruppen)
Sei (G, ∗) eine endliche zyklische Gruppe mit n ∈ N Elementen und bezeichne e das
neutrale Element von G. Dann gilt an = e für jedes erzeugende Element a ∈ G.
Beweis: Da G zyklisch mit erzeugenden Element a ist, gilt G = {ak |k ∈ Z}. Da G
endlich ist, können die Elemente e, a, a2 , a3 , . . . von G nicht alle verschieden sein, es
gibt also m, i ∈ Z mit 0 ≤ i < m und ai = am . Dabei wählen wir i und m der Reihe
nach minimal. Die Potenzrechenregeln ergeben
am−i = am ∗ a−i = am ∗ inv(ai ) = ai ∗ inv(ai ) = e = a0 ,
und die minimale Wahl von i ergibt i = 0. Damit ist auch am = ai = a0 = e und die
Minimalität von m besagt aj 6= e für alle 1 ≤ j < m. Die Elemente e, a, a2 , . . . , am−1
sind paarweise verschieden, denn andernfalls gäbe es 0 ≤ j < k < m mit aj = ak , und
wie oben folgt ak−j = e mit 0 < k − j ≤ k < m, im Widerspruch zur Minimalität
von m. Weiter sind dies überhaupt alle Elemente von G, ist nämlich k ∈ Z beliebig, so
liefert die Division mit Rest §1.Lemma 1 zwei ganze Zahlen q, r ∈ Z mit 0 ≤ r < m
und k = qm + r, und die Potenzrechenregeln ergeben
ak = aqm+r = aqm ∗ ar = (am )q ∗ ar = eq ∗ ar = e ∗ ar = ar ∈ {e, a, . . . , am−1 },
und es folgt
G = {ak |k ∈ Z} = {ak |0 ≤ k < m}.
Insbesondere ist n = m die Anzahl der Elemente von G, und damit ist an = am = e.
4-8