4.0 VU Theoretische Informatik und Logik

4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Teil 2
zum SS 2011
Matrikelnummer
19.12.2011
Familienname
Vorname
Gruppe
A
Tragen Sie mit Kugelschreiber Matrikelnummer, Nachnamen und Vornamen in Blockbuchstaben ein.
Legen Sie einen Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Unterlagen: Skriptum, Vorlesungsfolien.
Schreiben Sie alle Lösungen auf diese Blätter und geben Sie die Prüfungsarbeit ohne Zusatzblätter ab.
Sie haben 120 Minuten zur Bearbeitung beider Angabenteile. Viel Erfolg!
Achtung! Sie sollten zwei getrennt geklammerte Angaben erhalten haben (weiß und
grau). Sie müssen beide Teile der Prüfung bearbeiten!
6.) Es gelten folgende Aussagen:
(a) Weder Hans noch Lucy studieren, aber Sami studiert wenn Fritz studiert.
(b) Wenn Sami nicht studiert, dann studieren sowohl Lucy als auch Fritz.
(c) Fritz studiert wenn weder Lucy noch Sami studieren.
Geben Sie einen Sequenten an, der ausdrückt, dass die drei Bedingungen nicht gleichzeitig
wahr sein können.
Verwenden Sie dabei die drei aussagenlogischen Variablen F , H, S, L für “Fritz studiert”,
“Hans studiert”, “Sami studiert”, bzw. “Lucy studiert”.
(5 Punkte)
Bitte freilassen:
6
7
8
9
10
A
7.) Verwenden Sie den Sequentialkalkül (NICHT Tableau-Kalkül!) um entweder einen Beweis
oder ein Gegenbeispiel zur Behauptung zu finden, dass aus B ⊃ C und ¬A ∨ B die Formel
¬(A ∧ ¬C) logisch folgt.
(6 Punkte)
A
8.) Geben Sie ein Gegenbeispiel mit Gegenstandsbereich {α, β} zur Behauptung an, dass die
Formel (∀x)P (x, y) aus der Formel (∀y)(∃x)(P (c, x) ∧ P (y, y)) logisch folgt.
Die widerlegende Interpretationen ist vollständig (gemäß Definition 4.6) zu spezifizieren.
Setzen Sie dabei Φ(P ) = R und definieren Sie das Prädikat R explizit.
Beantworten Sie außerdem folgende Frage: Welche Variablen kommen in den beiden Formeln
frei vor und welche kommen darin gebunden vor?
(5 Punkte)
A
9.) Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass die Formel (∃z)[Q(h(z), c) ∨ (∃z)¬Q(h(h(z)), c)]
allgemein gültig ist.
Geben Sie dabei verwendete MGUs und resolvierte Atome an.
(6 Punkte)
A
10.) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, und begründen Sie Ihre
Antworten. (Zwei Punkte für jede richtige Antwort mit richtiger Begründung, einen Punkt
für jede richtige Antworten mit leicht fehlerhafter Begründung, keinen Punkt für falsche
Antworten oder fehlerhafte Begründungen.)
– {x ← y, y ← x} ist ein MGU der Atome P (x, y) und P (y, x).
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Nicht alle erfüllbaren Formeln haben auch Gegenbeispiele.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Man kann Modellstrukturen definieren, deren Gegenstandsbereich aus Verbindungen
zwischen je zwei europäischen Hauptstädten besteht.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Wenn G eine logische Konsequenz von F ist, dann existiert ein geschlossenes Tableau,
dass mit t : F ⊃ G beginnt.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
(8 Punkte)
4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Teil 2
zum SS 2011
Matrikelnummer
19.12.2011
Familienname
Vorname
Gruppe
B
Tragen Sie mit Kugelschreiber Matrikelnummer, Nachnamen und Vornamen in Blockbuchstaben ein.
Legen Sie einen Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Unterlagen: Skriptum, Vorlesungsfolien.
Schreiben Sie alle Lösungen auf diese Blätter und geben Sie die Prüfungsarbeit ohne Zusatzblätter ab.
Sie haben 120 Minuten zur Bearbeitung beider Angabenteile. Viel Erfolg!
Achtung! Sie sollten zwei getrennt geklammerte Angaben erhalten haben (weiß und
grau). Sie müssen beide Teile der Prüfung bearbeiten!
6.) Es gelten folgende Aussagen:
(a) Wenn die Schlange wach ist, dann schläft zumindest eine der beiden Personen Adam
oder Eva.
(b) Eva schläft genau dann wenn die Schlange wach ist.
(c) Die Schlange ist wach, falls Adam und Eva schlafen.
Geben Sie einen Sequenten an, der ausdrückt, dass die drei Bedingungen nicht gleichzeitig
wahr sein können.
Verwenden Sie dabei die drei aussagenlogischen Variablen A, E, S für “Adam schläft”, “Eva
schläft”, bzw. “Die Schlange schläft” und formalisieren Sie “ist wach” wie “schläft nicht”.
HINWEIS: Beachten Sie, dass es im Sequentialkalkül nur die Junktoren ∧, ∨, ¬ und ⊃ gibt
(also keinen Junktor für “genau dann wenn”).
(5 Punkte)
Bitte freilassen:
6
7
8
9
10
B
7.) Verwenden Sie den Tableau-Kalkül (NICHT Sequentialkalkülableitung oder Wahrheitstafeln!) um entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zur Behauptung zu finden, dass die
Formel ¬(C ∧ ¬D) aus den beiden Formeln E ⊃ D und ¬C ∨ E logisch folgt. (6 Punkte)
B
8.) Geben Sie ein Gegenbeispiel mit Gegenstandsbereich {β, γ} zur Behauptung an, dass die
Formel (∀u)Q(u, v) aus der Formel (∀v)(∃u)(Q(d, u) ∧ Q(v, v)) logisch folgt.
Die widerlegende Interpretationen ist vollständig (gemäß Definition 4.6) zu spezifizieren.
Setzen Sie dabei Φ(Q) = R und definieren Sie das Prädikat R explizit.
Beantworten Sie außerdem folgende Frage: Welche Variablen kommen in den beiden Formeln
frei vor und welche kommen darin gebunden vor?
(5 Punkte)
B
9.) Zeigen Sie mit dem Tableau-Kalkül, dass die Formel (∃u)[Q(f (u), c) ∨ (∃u)¬Q(f (f (u)), c)]
allgemein gültig ist.
Markieren Sie dabei γ und δ-Formeln als solche.
(6 Punkte)
B
10.) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, und begründen Sie Ihre
Antworten. (Zwei Punkte für jede richtige Antwort mit richtiger Begründung, einen Punkt
für jede richtige Antworten mit leicht fehlerhafter Begründung, keinen Punkt für falsche
Antworten oder fehlerhafte Begründungen.)
– Aus der Vollständigkeit des Tableau-Kalküls folgt, dass zu jeder gültigen Formel F ein
geschlossenes Tableau mit Wurzel t : F existert.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Manche Klauseln haben genau drei Faktoren.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Es gibt Klauselmengen die die leere Klausel nicht enthalten, aber unerfüllbar sind.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Eine aussagenlogische Interpretation ist eine Funktion. Nämlich eine, die für jede aussagenlogischen Variable (also für jede nicht-konstante atomare Formel) bestimmt, ob
diese wahr oder falsch ist.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
(8 Punkte)
4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Teil 2
zum SS 2011
Matrikelnummer
19.12.2011
Familienname
Vorname
Gruppe
C
Tragen Sie mit Kugelschreiber Matrikelnummer, Nachnamen und Vornamen in Blockbuchstaben ein.
Legen Sie einen Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Unterlagen: Skriptum, Vorlesungsfolien.
Schreiben Sie alle Lösungen auf diese Blätter und geben Sie die Prüfungsarbeit ohne Zusatzblätter ab.
Sie haben 120 Minuten zur Bearbeitung beider Angabenteile. Viel Erfolg!
Achtung! Sie sollten zwei getrennt geklammerte Angaben erhalten haben (weiß und
grau). Sie müssen beide Teile der Prüfung bearbeiten!
6.) Es gelten folgende Aussagen:
(a) Weder Hans noch Lucy studieren, aber Sami studiert wenn Fritz studiert.
(b) Wenn Sami nicht studiert, dann studieren sowohl Lucy als auch Fritz.
(c) Fritz studiert wenn weder Lucy noch Sami studieren.
Geben Sie einen Sequenten an, der ausdrückt, dass die drei Bedingungen nicht gleichzeitig
wahr sein können.
Verwenden Sie dabei die drei aussagenlogischen Variablen F , H, S, L für “Fritz studiert”,
“Hans studiert”, “Sami studiert”, bzw. “Lucy studiert”.
(5 Punkte)
Bitte freilassen:
6
7
8
9
10
C
7.) Verwenden Sie den Sequentialkalkül (NICHT Tableau-Kalkül!) um entweder einen Beweis
oder ein Gegenbeispiel zur Behauptung zu finden, dass die Formel ¬(B ∧ ¬D) aus den beiden
Formeln C ⊃ D und ¬B ∨ C logisch folgt.
(6 Punkte)
C
8.) Geben Sie ein Gegenbeispiel mit Gegenstandsbereich {γ, δ} zur Behauptung an, dass die
Formel (∀x)P (x, y) aus der Formel (∀y)(∃x)(P (a, x) ∧ P (y, y)) logisch folgt.
Die widerlegende Interpretationen ist vollständig (gemäß Definition 4.6) zu spezifizieren.
Setzen Sie dabei Φ(P ) = R und definieren Sie das Prädikat R explizit.
Beantworten Sie außerdem folgende Frage: Welche Variablen kommen in den beiden Formeln
frei vor und welche kommen darin gebunden vor?
(5 Punkte)
C
9.) Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass die Formel (∃x)[P (g(x), c)∨(∃x)¬P (g(g(x)), c)]
allgemein gültig ist.
Geben Sie dabei verwendete MGUs und resolvierte Atome an.
(6 Punkte)
C
10.) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, und begründen Sie Ihre
Antworten. (Zwei Punkte für jede richtige Antwort mit richtiger Begründung, einen Punkt
für jede richtige Antworten mit leicht fehlerhafter Begründung, keinen Punkt für falsche
Antworten oder fehlerhafte Begründungen.)
– Jede aussagenlogische Variable ist eine Formel, die sowohl erfüllbar als auch widerlegbar
ist.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Wenn C eine logische Konsequenz von ¬B ist, dann ist der Sequent C ` ¬B ableitbar.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Manche Formeln sind sowohl in KNF als auch in DNF.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Jede Klauselmenge, die die leere Klausel enthält, ist unerfüllbar.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
(8 Punkte)
4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Teil 2
zum SS 2011
Matrikelnummer
19.12.2011
Familienname
Vorname
Gruppe
D
Tragen Sie mit Kugelschreiber Matrikelnummer, Nachnamen und Vornamen in Blockbuchstaben ein.
Legen Sie einen Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Unterlagen: Skriptum, Vorlesungsfolien.
Schreiben Sie alle Lösungen auf diese Blätter und geben Sie die Prüfungsarbeit ohne Zusatzblätter ab.
Sie haben 120 Minuten zur Bearbeitung beider Angabenteile. Viel Erfolg!
Achtung! Sie sollten zwei getrennt geklammerte Angaben erhalten haben (weiß und
grau). Sie müssen beide Teile der Prüfung bearbeiten!
6.) Es gelten folgende Aussagen:
(a) Wenn die Schlange wach ist, dann schläft zumindest eine der beiden Personen Adam
oder Eva.
(b) Eva schläft genau dann wenn die Schlange wach ist.
(c) Die Schlange ist wach, falls Adam und Eva schlafen.
Geben Sie einen Sequenten an, der ausdrückt, dass die drei Bedingungen nicht gleichzeitig
wahr sein können.
Verwenden Sie dabei die drei aussagenlogischen Variablen A, E, S für “Adam schläft”, “Eva
schläft”, bzw. “Die Schlange schläft” und formalisieren Sie “ist wach” wie “schläft nicht”.
HINWEIS: Beachten Sie, dass es im Sequentialkalkül nur die Junktoren ∧, ∨, ¬ und ⊃ gibt
(also keinen Junktor für “genau dann wenn”).
(5 Punkte)
Bitte freilassen:
6
7
8
9
10
D
7.) Verwenden Sie den Tableau-Kalkül (NICHT Sequentialkalkülableitung oder Wahrheitstafeln!) um entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zur Behauptung zu finden, dass die
Formel ¬(A ∧ ¬B) aus den beiden Formeln C ⊃ B und ¬A ∨ C logisch folgt. (6 Punkte)
D
8.) Geben Sie ein Gegenbeispiel mit Gegenstandsbereich {δ, } zur Behauptung an, dass die
Formel (∀u)Q(u, v) aus der Formel (∀v)(∃u)(Q(b, u) ∧ Q(v, v)) logisch folgt.
Die widerlegende Interpretationen ist vollständig (gemäß Definition 4.6) zu spezifizieren.
Setzen Sie dabei Φ(Q) = R und definieren Sie das Prädikat R explizit.
Beantworten Sie außerdem folgende Frage: Welche Variablen kommen in den beiden Formeln
frei vor und welche kommen darin gebunden vor?
(5 Punkte)
D
9.) Zeigen Sie mit dem Tableau-Kalkül, dass die Formel (∃u)[P (f (u), c) ∨ (∃u)¬P (f (f (u)), c)]
allgemein gültig ist.
Markieren Sie dabei γ und δ-Formeln als solche.
(6 Punkte)
D
10.) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, und begründen Sie Ihre
Antworten. (Zwei Punkte für jede richtige Antwort mit richtiger Begründung, einen Punkt
für jede richtige Antworten mit leicht fehlerhafter Begründung, keinen Punkt für falsche
Antworten oder fehlerhafte Begründungen.)
– Jede erfüllbare Formel hat auch Gegenbeispiele.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Eine aussagenlogische Interpretation ist eine Menge von Relationen, denen Wahrheitswerte (t für wahr bzw. f für falsch) zugewiesen werden.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Jede Resolvente folgt logisch aus jeder einzelnen ihrer beiden Elternklauseln.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
– Jede Atomformel der Prädikatenlogik beginnt mit einem Prädikatensymbol, gefolgt von
einem ‘Klammer auf’-Symbol, einer endlichen, aber nicht leeren Liste von Termen, getrennt jeweils durch Beistriche, sowie einem ‘Klammer zu’-Symbol.
Begründung:
2 richtig 2 falsch
(8 Punkte)