Das Lemaître-Tolman-Bondi-Modell

Das Lemaître-Tolman-Bondi-Modell
Bachelorarbeit
Nick Diederich
Fakultät für Physik
Universität Bielefeld
Betreuer und Gutachter:
1.Gutachter: Prof. Dr. D. J. Schwarz
2.Gutachter: Dr. D. Konikowska
Bielefeld, den
7. Oktober 2011
Inhaltsverzeichnis
0.1
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Einleitung
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mathematische Grundlagen und genutzte Konventionen
1.3 Entfernungsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Parallaxen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Winkeldistanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Leuchtkraftentfernung . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Kinematischer Sunyaev-Zeldovich-Effekt . . . .
2 Grundlagen des LTB-Modell
2.1 Metrik und erste Folgerungen
2.2 Big-Bang-Zeit . . . . . . . . .
2.3 Rotverschiebung . . . . . . . .
2.4 Winkeldistanz . . . . . . . . .
2.5 Leuchtkraftentfernung . . . .
2.6 Hubbleparameter . . . . . . .
2.7 Galaxienzählung . . . . . . .
3 Flaches LTB-Universum mit
3.1 LTB-Skalenfaktor . . . .
3.2 Big-Bang-Zeit . . . . . .
3.3 Hubbleparameter . . . .
3.4 Galaxienzählung . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
2
3
3
4
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
9
10
12
12
13
14
Λ=0
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
16
17
.
.
.
.
19
19
19
20
20
4 Hyperbolisches LTB-Universum mit Λ = 0
4.1 LTB-Skalenfaktor . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Hyperbolisches LTB-Modell vs. Milne-Modell .
4.2.1 Big-Bang-Zeit . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Hubbleparameter . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Elliptisches LTB-Universum
mit Λ = 0
23
5.1 LTB-Skalenfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Hubbleparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i
Inhaltsverzeichnis
6 Anhang
6.1 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Fazit zum flachen LTB-Modell . . . . . . .
6.1.2 Fazit zum hyperbolischen LTB-Modell . .
6.1.3 Fazit zum elliptischen LTB-Modell . . . .
6.2 Weiterführende Anregungungen zum LTB-Modell
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
25
25
25
25
0.1 Vorwort
0.1 Vorwort
Die hier vorliegende Ausarbeitung dient zur Erlangung des Grades "Bachelor of Science".
Der Themenschwerpunkt bezieht sich auf das Lemaître-Tolman-Bondi-Modell und gehört zum Fachbereich Kosmologie. Das Modell dient der Beschreibung des Universums.
Mein Dank gebührt Prof. Dr. Dominik Schwarz und Matthias Rubart für die fachliche Unterstützung bei der Auswahl und Ausarbeitung des behandelten Themas, sowie
Tatiana Esau für die gute Zusammenarbeit in der Phase der Einarbeitung.
iii
1 Einleitung
1.1 Motivation
Das hier vorgestellte Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) Modell dient der Beschreibung eines
isotropen und inhomogenen Universums. Nun gilt es Gründe anzuführen, warum dieses
Modell geeignet scheint, um unseren Kosmos zu beschreiben.
Zu beobachten ist eine nahezu perfekte Isotropie in der kosmischen Hintergrundstrahlung (CMB, Abkürzung des englischen Ausdrucks: cosmic mircrowave background), deren thermische Abweichung lediglich ±0, 06K zu 2, 735K [Mat90] beträgt. Da es sich
nach heutigem Kenntnisstand bei dem CMB um ein Abbild unseres Universums aus der
Zeit der Entkopplung von Materie und Strahlung handelt, die auf etwa 300.000 Jahre nach dem Urknall beziffert wird, kann auch für alle Zeiten des Universums auf eine
Isotropie des Weltraums für hinreichend große Maßstäbe geschloßen werden.
Große Teile der modernen Kosmologie beruhen auf einem Ansatz, der kosmologisches
Prinzip genannt wird. Hierbei wird angenommen, dass wir uns in keinem ausgezeichneten
Punkt des Universums befinden. Woraus abgeleitet wird, dass das Universum von jedem
Raumpunkt aus isotrop ist. Die logische Folgerung ist die Homogenität des gesamten
Weltraums, wie auch ein mathematisches Theorem besagt [GaH11].
Es ist jedoch bisher und wohl auch in naher Zukunft nicht möglich, diese Isotropie
aus hinreichend weit voneinander entfernten Ortspunkten zu untersuchen. Somit ist das
kosmologische Prinzip vorerst nichts weiter als eine Annahme und es sollte versucht werden auch inhomogene kosmologische Modelle in Betracht zu ziehen. Zumal inhomogene
als Spezialfall homogene Modelle beinhalten und somit generell als richtig zu betrachten
sind.
Aus diesem Grund kann eine, für ein inhomogenes Modell getroffene Aussage, auch mit
den bekannten theoretischen Aussagen der homogenen Modelle verglichen werden, um
mögliche Fehlerquellen weitestgehend auszuschließen. Dieses wird auch, wenn möglich,
bei allen wichtigen Zwischenergebnissen durch den Vergleich mit dem Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) Modell geschehen.
Das Ziel dieser Ausarbeitung liegt darin, durch theoretische Überlegungen experimentell verifizierbare Schlußfolgerungen zu ziehen. Dadurch kann ein solches Modell zwar
nicht bewiesen, aber dennoch entweder bestätigt oder widerlegt werden. Zum heutigen Zeitpunkt sind jedoch die technischen Möglichkeiten noch zu beschränkt, um die
theoretischen Aussagen mit experimentellen Messwerten eindeutig zu widerlegen, oder
zu bestätigen. Eine Testmethode liegt in der Bestimmung der Materiedichteverteilung,
beispielsweise durch Galaxienzählung. In der englischen Literatur wird dieses Verfahren
häufig als source-, oder number-count bezeichnet.
1
1 Einleitung
1.2 Mathematische Grundlagen und genutzte
Konventionen
Im Folgenden wird, soweit nicht anders erwähnt, die gängige Vierervektorenschreibweise
und die Einstein’sche Summenkonvention genutzt, wobei lateinische Indizes über 1, 2, 3
laufen und griechische Indizes ganzzahlige Werte zwischen 0 und 3 annehmen können.
Für die Minkowski-Metrik wird die Konvention ηµν = diag (1, −1, −1, −1) verwendet.
Die Darstellung der Funktionen mit den zugehörigen Abhängigkeiten wird jeweils
einleitend erwähnt, so dass im darauf Folgenden aufgrund der Übersichtlichkeit gegebenenfalls darauf verzichtet wird. Ebenfalls aus Gründen der Übersichtlichkeit und wie in
der theoretischen Physik üblich, werden die Lichtgeschwindigkeit c = 1 und die Gravitationskonstante G = 1 gesetzt, es sei denn der physikalische Zusammenhang ist nicht
offensichtlich.
Partielle Ableitungen werden in einer Kurzschreibweise mit ,V ariable als Indizes gekennzeichent. Somit wird die Ableitung des Skalenfaktors R nach der Zeit t durch R,t
kenntlich gemacht.
In der Astronomie ist es sinnvoll neue Maßeinheiten einzuführen, anstatt SI-Einheiten
zu benützen. Beispielsweise werden Längen entweder in astronomischen Einheiten (AE),
Lichtjahren (Lj), oder in Parsec (pc)1 , wobei eine AE = 1, 5·1010 m, ein Lj = 9, 5·1014 m
und ein pc = 3, 1 · 1015 m entspricht.
Die Beobachtungen im Weltall sind nach Konvention grundsätzlich in sphärischer
Betrachtung, also durch Kugelkoordinaten beschrieben. Hierbei werden wie üblich die
Koordinaten r, θ und φ benützt.
1.3 Entfernungsbestimmung
Die Entfernungsbestimmung weit von einander entfernter Objekte ist bis heute ein zentrales Problem der beobachtenden Astronomie. Sie ist jedoch für die Bestimmung der
Quellendichte unerläßlich. Da dieses, wie bereits in der Einleitung erwähnt, eine zentrale
Rolle zur Verifizierung der kosmischen Modelle spielt, sollen die gängigen experimentellen
Verfahren hier kurz und modellunabhängig erläutert werden. Benutzt werden verschiedene Methoden zur Bestimmung von Entfernungen zu Sternen, Galaxien, Galaxienhaufen,
Galaxiensuperhaufen, ...
Alle im Folgenden vorgestellten Methoden haben spezielle Vor- und Nachteile bzgl.
vorauszusetzender Grundannahmen und ihrer Genauigkeit bei verschiedenen Distanzen
und sie sind diesbezüglich auf einer kosmischen Distanzleiter2 angeordnet.
1.3.1 Parallaxen
Die Entfernungsbestimmung mittels Parallaxe ist wohl die allgemein bekannteste Methode und soll daher nur kurz erläutert werden.
1
2
2
Genaueres hierzu wird in Abschnitt 1.3.1 angegeben.
Eine detaillierte Ausführung ist in [Wei72], Kap.14 zu finden.
1.3 Entfernungsbestimmung
Zwei örtlich getrennte Punkte deren Abstand auf einer Geraden, der sogenannten
Basis bekannt ist, dienen als Beobachtungspunkte (A, B). Die unterschiedlichen Winkel in Bezug zur Basis und dem zu bestimmenden Objekt, welche sich aus den beiden
Beobachtungspunkten ergeben, bestimmen mithilfe einfacher trigonometrischen Zusammenhänge die Parallaxendistanz. Mit der trigonometrischen Parallaxenmethode kann
man, bezogen auf den Erdradius, nur Entfernungen bis zu 9, 3 · 1016 m ≈ 6, 2 · 106 AE
[Row04], bestimmen. Zur Definition einer Parsec (pc) wird die jährliche Parallaxe durch
die Erdumlaufbahn benützt, deren Radius 1AE beträgt. Wird nun und ein halbes Jahr
später zu einem Objekt jeweils ein Winkel von einer Bogensekunde 100 Neigung gegenüber einer Mittelpunktssenkrechten zur Basis gemessen3 , so befindet sich dieses Objekt
in 1pc Entfernung. In Formeln heißt das
1pc =
1AE
,
tan 100
(1.1)
was sich auf die in der Literatur gängige Angabe von 1pc = 1AE
vereinfachen lässt4 , da
100
tan 100 ≈ 100 .
Durch die jährliche Parallaxe, auch statistische Parallaxe genannt, da die Eigenbewegungen der Beobachtungsobjekte über mehrere Jahre vermessen und gemittelt werden,
sind Entfernungsbestimmungen bis zu mehreren 100pc ≈ 3 · 1017 AE [Goe94] möglich.
1.3.2 Rotverschiebung
Die Bestimmung der Relativgeschwindigkeit v von Galaxienhaufen ist ein großer Bestandteil heutiger Untersuchungen. Über die Relativgeschwindigkeit kann der Abstand
ermittelt werden, da nach der Vorstellung der modernen Kosmologie die gesamte Raumzeit expandiert. Daraus läßt sich die Schlußfolgerung ziehen, dass die Relativgeschwindigkeit zweier Punkte umso höher ist, je weiter sie von einander entfernt sind. Dieses geht
auf die Entdeckung der Rotverschiebung entfernter Galaxien durch E. Hubble zurück,
woraus G. Lemaître auf die Expansion des Raumes schloß.
Somit ist eine Galaxie umso weiter vom Beobachter entfernt, je mehr das von ihr
emittierte Licht ins Rote verschoben ist. Die Rotverschiebung ist definiert durch die
ausgesendete Wellenlänge λs und die beobachtete Wellenlänge λo
z=
λo − λs
.
λs
(1.2)
1.3.3 Winkeldistanz
Ausgehend von einer sphärischen Betrachtung wird von einem Beobachtungspunkt aus
der Winkel zwischen den Radialkomponenten gemessen, welcher sich ergibt wenn man
3
Es ist üblich von einer jährlichen Parallaxe von 1” zu sprechen, wobei jährlich auf die Basis gemäß
Erdumlaufbahn hindeuten soll, aber effektiv die vierteljährige Änderung des Winkels meint.
4
Die offizielle Festlegung des Parsec (pc) durch die IAU erfolgt in astronomischen Einheiten (AE)
[IAU89]
3
1 Einleitung
die scheinbare Ausdehnung des beobachtenen Objekts mit zwei Fixpunkten maximiert.
Diese Methode ist analog zum Parallaxenverfahren, jedoch wird hier eine Ausdehnung
des Beobachtungsobjekts als Basis angenommen. Der Nachteil bei diesem Verfahren
ist die exakte Messung der scheinbaren Ausdehnung und die Unsicherheit der realen
Ausdehnung der zu bestimmenden Strahlungsquelle. Bis hierher ist das Verfahren modellunabhängig beschrieben, so dass es als rein trigonometrisches Verfahren in einem
euklidischen Raum Anwendung findet.
Modellabhängig ist die Winkeldistanz dA bei sphärischer Betrachtung der Raumzeit
stets direkt aus dem Linienelement in Kugelkoordinaten ablesbar, da dieses den Zusammenhang zwischen Winkel- und Radialkomponente exakt beschreibt. Je nach betrachtetem Raumwinkel ist dieses entweder der θθ-, oder der φφ-Eintrag aus der zur
jeweiligen Metrik gehörigen Matrix. Im sphärisch symmetrischen Fall unterscheiden sich
diese beiden Einträge lediglich um den Vorfaktor sin2 θ des φφ-Eintrags.
1.3.4 Leuchtkraftentfernung
Eine Quelle mit einer Leuchtkraft P emittiert elektromagnetische Strahlung in Form von
Kugelwellen. Konventionell wird die je Zeit- und Flächeneinheit empfangene Energie, pro
Einheitsraumwinkel, dem sogenannten Steradianten (sr), angegeben. Diese empfangene
Energie heißt Strahlungsflussdichte S, welche in der klassischen Betrachtung mit dem
Abstandsquadrat d2L zur Quelle abnimmt.
S=
P
.
d2L
(1.3)
Um diese Gesetzmäßigkeit für kleine Abstände auf kosmische Ausmaße zu übertragen,
muß berücksichtigt werden, dass die Photonen einer sich entfernenden Quelle zum einen
durch die Rotverschiebung mit geringerer Energie und zum anderen durch die Zeitverzögerung mit verringerter Häufigkeit gemessen werden. Jeder dieser Effekte wirkt
sich jeweils proportional zu (z + 1)−1 auf die Strahlungsflußdichte aus. Desweiteren
muß der physikalische Abstand mit dem aus der FLRW-Metrik bekannten Skalenfaktor
A0 ≡ A(t = 0) korrigiert werden, so dass die Strahlungsflussdichte im Friedmann-Modell
durch
P
(1.4)
S= 2 2
A0 r0 (1 + z)2
gegeben wird. Kombiniert man 1.3, 1.4 und die Rotverschiebungsrelation (1 + z) =
so erhält man im Friedmann-Modell
dL = A0 r0 (1 + z) .
A0
,
A(t)
(1.5)
Mithilfe der Leuchtkraftentfernungsmethode können Galaxiendistanzen bis zu 108 pc
und Distanzen zu Supernova-Explosionen bis zu 4 · 109 pc bestimmt werden [Row04].
4
1.3 Entfernungsbestimmung
1.3.5 Kinematischer Sunyaev-Zeldovich-Effekt
Die Ausnutzung des kinematischen Sunyaev-Zeldovich (kSZ) Effekts [Sun80] bietet eine weitere Vermessungsmöglichkeit der Geschwindigkeit von Materiewolken, hierbei in
Bezug zum CMB. Der kSZ-Effekt beruht auf der Tatsache, dass Photonen des CMB
beim Durchqueren einer Materiewolke (z.B. Galaxienhaufen) deren Elektronen anregen
und nach einer typischen Relaxationszeit diese Anregungsenergie in Form von Photonen
wieder abgeben. Da die Materiewolken aus heißem, ionisierten Gas bestehen, handelt es
sich bei den angeregten Elektronen um freie Ladungsträger. Die so emittierten Photonen haben die Relativbewegung der Materiewolke angenommen und sind daher relativ
zum CMB-Spektrum rotverschoben, falls sich das zu untersuchende Objekt von dem
Beobachter entfernt.
Dieser Effekt ist bei großen Rotverschiebungen weitaus geringer, als der bekanntere
thermische Sunyaev-Zeldovich (tSZ) Effekt. Beim tSZ-Effekt wird ein Teil der Wärmeenergie der Elektronen der heißen Materiewolke auf die Photonen übertragen, wodurch
diese gegenüber der CMB blauverschoben sind. Der tSZ-Effekt kann hingegen gegenüber
dem kSZ-Effekt vernachlässigt werden, wenn die Materiewolken hinreichend abgekühlt
sind, was bei einer Rotverschiebung von z < 10 der Fall ist [Die07] und man spricht vom
Ostriker-Vishniac (OV) Effekt.
Bei der folgenden Berechnung wird der reine kSZ-Effekt benutzt um v zu ermitteln.
Nun wird die Geschwindigkeit des CMB als zeitartiger Vierervektor durch sµ , sowie die
Vierergeschwindigkeit der bewegten Materiewolke durch
uµ = γ(sµ + vrµ )
(1.6)
1
µ
ein raumartiger Einheitsrichtungsvektor ist, so dass
eingeführt, wobei γ = √1−v
2 und r
ν
µ
sµ ⊥ r . Außerdem sei r so definiert, dass (sµ − rµ ) der Vierervektor der in die Materiewolke eintretenden und (sµ + rµ ) der Vierervektor der aus ihr austretenden Strahlung
ist. Da die ein- und austretenden Vierervektoren lichtartig sind gilt (sµ −rµ )(sν −rν ) = 0
und (sµ + rµ )(sν + rν ) = 0, woraus folgt, dass sµ ebenfalls ein Einheitsvektor ist. Mit
diesen Definitionen wird nun inhaltlich den Ausführungen in [Gar09] gefolgt.
Betrachtet man die Frequenz ω des CMB, so lassen sich die in die Materiewolke
eintretenden und austretenden Photonen durch die Vektoren
nµ− = ω(sµ − rµ )
(1.7)
nµ+ = ω(sµ + rµ )
(1.8)
beschreiben und eine quantitative Relation α durch
α≡
ω+
ω−
(1.9)
definieren, wobei
ω+ ≡ uµ nν+ = ωγ(sµ + vrµ )(sν + rν ) = 2ωγ(1 + v)
(1.10)
5
1 Einleitung
und analog
ω− ≡ uµ nν− = ωγ(sµ + vrµ )(sν − rν ) = 2ωγ(1 − v)
(1.11)
sind. Hierzu erklärend sei nochmals erwähnt, dass sµ und rµ Einheitvektoren sind, welche
senkrecht aufeinanderstehen.
Es ergeben sich aus (1.10) und (1.11) theoretische Relationen für die Geschwindigkeit
v der Materiewolke durch
1
1
ν
ν
uµ n+ − 1 = −
uµ n− − 1 ,
(1.12)
v=
2ωγ
2ωγ
welche in dieser Form in der Praxis keine Anwendung finden können. Um die unbekannten Vierervektoren zu eleminieren, wird die Geschwindigkeit durch Quantität α aus
Gleichung (1.9) ausgedrück. Das ergibt
v=
6
ω+ − ω−
1−α
=
.
ω+ + ω−
1+α
(1.13)
2 Grundlagen des LTB-Modell
2.1 Metrik und erste Folgerungen
Eine verallgemeinerte Metrik, um ein inhomogenes Universum von einem isotropen
Standpunkt aus zu vermessen wurde 1967 von Ellis [Ell67] vorgeschlagen und lautet
2
ds2 = dt2 − R,r
(t, r)
dr2
− R2 (t, r) dθ2 + f 2 (θ) dφ2 ,
ε + 2E(r)
(2.1)
wobei R(t, r) den Skalenfaktor, E(r) vorerst eine beliebige Funktion und ε eine Konstante
darstellen.
Zur Bestimmung des Skalenfaktors eines inhomogenen Kosmos wird zunächst eine
Differenzialgleichung aufgestellt. Dieses erfolgt auf die gleiche Weise, wie die Bestimmung
der Friedmanngleichungen im homogenen Modell. Hierzu wird die durch (2.1) gegebene
Metrik gµν in die Einsteinsche Feldgleichung [Sch02]
1
Rµν − gµν Ri + gµν Λ = κTµν ,
2
(2.2)
mit κ = 8πG
, dem Ricci-Krümmungstensor Rµν , welcher sich aus der Verjüngung des
c4
Riemannschen Krümmungstensor ergibt, dem Ricci-Krümmungsskalar, welches durch
weitere Kontraktion als Ri = gµν Rµν gegeben ist, dem Energie-Impuls Tensor Tµν für
ein ideales Fluid, sowie der kosmologischen Konstanten Λ, eingesetzt und man erhält die
gewünschte Differenzialgleichung. Angenommen wird hierbei, dass sich die Materie im
Raum wie eine druckfreie, p = 0, ideale Flüssigkeit verhält, wodurch sich der EnergieImpuls-Tensor in der Einstein’schen Feldgleichung zu
Tµν = uµ uν ,
(2.3)
mit der Energiedichte und den Vierergeschwindigkeiten für Feld und Flüssigkeit, vereinfacht. Ellis führt hierbei eine neue Funktion M (r) ein, so dass die Differenzialgleichung
in der Form
1
2M
+ ΛR2
(2.4)
R,t2 = 2E +
R
3
vorliegt. M bekommt über die Massendichte κ (t, r) in Energieeinheiten mit
κ =
2 M,r
R2 R,r
(2.5)
7
2 Grundlagen des LTB-Modell
die physikalische Bedeutung einer den Beobachter umgebenden aktiven gravitativen
Masse1 . Die aktive gravitative Masse innerhalb einer Kugelschale mit Radius r beträgt
per Steradiant
Zr
M (r)
= R2 R,r0 dr0 ,
(2.6)
dΩ
0
mit dΩ = 4π. Die aktive gravitative Masse ist in der hier gewählten Definition der Gesamtenergie der Massenschale angepasst, anstatt nach Bondis Definition [Bon47] einzig
die Ruhemasse der Materiewolke M0 (r) zu beschreiben.
Ausgehend von der Annahme der allgemeine Skalenfaktor sei separabel, so dass R(t, r) =
r A(t), dann ergibt sich aus der allgemeinen Metrik (2.1)
ds2 = dt2 − A2 (t)
dr2
− A2 (t) r2 dθ2 + r2 sin2 θ dφ2 ,
2
1 − kr
(2.7)
die FLRW-Metrik für ein homogenes Universum, wenn ebenfalls 2E(r) = −k r2 , f (θ) =
sin(θ) und ε = 1 gesetzt werden. Desweiteren erhält man in gesamtsphärischer Betrachtung aus Gleichung (2.6) die aus dem Friedmann-Modell gewohnte Form einer Gesamtmasse
Zr
4
(2.8)
M (r) = 4π A3 r02 dr0 = π A30 0 r3 ,
3
0
3
A30 0
= const., was im homogenen Modell gilt.
unter der Annahme A (t) (t) =
Um hingegen die gesuchte LTB-Metrik zu erhalten werden die Parameter so gewählt,
dass eine sphärische Betrachtung die Annahme der Inhomogenität nicht weiter einschränkt. Dieses geschieht durch Setzen der Veränderlichen ε ≡ 1, f (θ) ≡ sin(θ)
[Kra97] , so dass
2
ds2 = dt2 − R,r
(t, r)
dr2
− R2 (t, r) dθ2 + sin2 (θ) dφ2 .
1 + 2E(r)
(2.9)
Die Lösung der Differentialgleichung (2.4) wird in einer Veröffentlichung von Zecca
[Zec91] diskutiert. Der allgemeine Lösungsansatz ist die elliptische Weierstrass-Funktion,
welche im Weiteren nicht von Interesse ist, da sich die Ausarbeitung diesbezüglich auf
das LTB-Modell ohne kosmologische Konstante beschränken wird.
Erkennbar ist, dass durch reines Umstellen der Gleichung (2.4) für Λ = 0, die Energieerhaltungsgleichung
1
M
(2.10)
E = R,t2 −
2
R
gewonnen wird, so dass E(r) als Gesamtenergiefunktion interpretiert werden kann. Dieses bedeutet, dass auch der letzte Term der Gleichung
1
M
1
E = R,t2 −
− ΛR2 ,
2
R
6
1
8
(2.11)
Die hier gewählte Definition der aktiven gravitativen Masse ist von [Kra97] übernommen und unterliegt in der Literatur keiner einheitlichen Konvention.
2.2 Big-Bang-Zeit
falls dieser nicht verschwindet, ebenfalls eine Energieform darstellen muß. Ableiten der
Gleichung (2.4) nach der Zeit liefert im Falle eines nicht stationären Skalenfaktors eine
Beschleunigungsgleichung
M
1
(2.12)
R,t,t = − 2 + ΛR ,
R
3
die sich analog zur zweiten Friedmann-Gleichung interpretieren lässt. Der Masseterm ist
stets positiv und wirkt kontrahierend auf die Raumzeit. Daher kann mit Λ > 0 eine Größe
gefunden werden, welche mathematisch die beobachtbare, beschleunigte Expansion des
Universums hervorruft. Da eine physikalische Interpretation zum jetzigen Zeitpunkt noch
aussteht, wird die kosmische Konstante Λ häufig als Vakuumenergie [Wei08], oder Term
der dunklen Energie bezeichnet. In der Elementarteilchenphysik wird versucht Λ die
quantenmechanische Interpretation einer Art Nullpunktsenergie zuzuschreiben [Lid09].
Die Bewegung von Strahlung durch den Raum wird auf einer radialen Linie mit ds2 = 0
beschrieben. In einem isotropen Raumpunkt kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit
(o.B.d.A.) dθ = dφ = 0 gesetzt werden, so dass aus der LTB-Metrik (2.9) folgt
dt = ±R,r (t, r)
dr
1
(1 + 2E(r)) 2
.
(2.13)
Die differenzielle Beschreibung dreidimensionaler Volumenelemente hat in diesem inhomogenen Modell die Form
dV = R,r (t, r) · R2 (t, r)
dr
1
(1 + 2E(r)) 2
dθ sinθ dφ .
(2.14)
2.2 Big-Bang-Zeit
Im FLRW-Modell ist die Big-Bang-Zeit tBB im ganzen Raum konstant und wird o.B.d.A.
auf tBB ≡ 0 gesetzt, da der Anfang der Zeitrechnung im gesamten Universum mit der
Entstehung der Raumzeit verknüpft wird. Somit existiert im FLRW-Modell eine absolute
kosmische Zeit tabs , welche mithilfe der zweiten Friedmanngleichung durch
tabs
R(t)
R(t)
Z
Z
Ztabs
0
dR0
dR
q
=
dt0 =
=
,
R,t0
8
1
02
02
πGR − k + 3 ΛR
3
0
0
0
(2.15)
gegeben ist.
Im LTB-Modell ist diese Annahme weniger trivial, denn hier ist tBB eine ortsabhängige
Funktion. Das bedeutet, dass trotz einer Anfangssingularität Beobachter in verschiedenen Raumpunkten das Universum als unterschiedlich alt wahrnehmen. Die hierdurch
neu auftretende Funktion tBB (r) ist die Big-Bang-Zeitfunktion, welche nach einer Variablensubstitution dt → RdR,t und mithilfe der Gleichung (2.4) ausgedrückt werden kann
als
R(t,r)
R(t,r)
Zt
Z
Z
dR0
dR0
0
q
t − tBB (r) =
dt =
=
.
(2.16)
R,t0
0 + 1 ΛR02
2E
+
2M/R
3
0
tBB
0
9
2 Grundlagen des LTB-Modell
Durch die angenommene Anfangssingularität gilt, dass der Skalenfaktor zur Geburt des
Universums verschwindet und somit die Substitution der Grenzen zu tBB → 0 führt.
Dieses Resultat wird ebenfalls in [Bol11] angegeben.
2.3 Rotverschiebung
Die Rotverschiebung ist eine gut messbare Größe und gibt Auskunft über Relativgeschwindigkeiten gegenüber dem Beobachter. Modellabhängig kann so auf Abstände zum
Betrachter geschloßen werden. Die so ermittelten Entfernungen unterschiedlicher Strahlungsquellen geben Auskunft über Quellendichten. Somit können, sobald die Messtechniken tiefere Einblicke in den Weltraum ermöglichen, unterschiedliche Modellvorhersagen
getestet werden.
Zur Beschreibung der Rotverschiebung wird die Gleichung für den Lichtweg (2.13)
betrachtet. Da nur der Blick in die Vergangenheit möglich ist, ist das Vorzeichnen der
dt
≤ 0 negativ zu wählen und es folgt
Relation dr
dt
R,r (t, r)
= −p
.
dr
1 + 2E(r)
(2.17)
Betrachtet man zwei dicht aufeinanderfolgende Lichtstrahlen, wie auch Bondi in [Bon47],
die mit einem geringen Zeitabstand τ der selben Quelle entstammen, so ergeben sich die
Relationen t1 = T (rs ) und t2 = T (rs ) + τ (rs ), da τ T . Somit wird die Gleichung
(2.17) zu
R,r (T (r), r)
dT (r)
= −p
(2.18)
dr
1 + 2E(r)
und
R,r (T (r) + τ (r), r)
dT (r)
R,r (T (r) + τ (r), r) dτ (r)
d[T (r) + τ (r)]
=− p
⇔
=− p
−
.
dr
dr
dr
1 + 2E(r)
1 + 2E(r)
(2.19)
Werden die differenziellen Zeitfunktionen (2.18) und (2.19) kombiniert, so erhält man
dτ (r)
.
dr
(2.20)
R,r (T (r) + τ (r), r) ≈ R,r (T (r), r) + τ (r) R,r,t (T (r), r) .
(2.21)
R,r (T (r) + τ (r), r) = R,r (T (r), r) −
p
1 + 2E(r)
Durch die Taylerentwicklung des Terms R,r (t2 , r) ergibt sich
Die Kombination der beiden Ergebnisse aus (2.20) und (2.21) ergibt
dτ (r)
R,r,t (T (r), r)
= −τ (r) p
.
dr
1 + 2E(r)
(2.22)
Es ist zu beachten, dass sich die Zeitdifferenz zwischen den ausgesendeten Lichtsignalen τ (rs ) ≡ τs von der Zeitdifferenz zwischen dem eintreffenden Strahlen τ (ro ) ≡ τo
10
2.3 Rotverschiebung
unterscheidet. Die daraus resultierende Zeitverzögerung wird benutzt um die Rotverschiebung aus (1.2) neu zu charakterisieren.
z=
τo − τs
λo − λs
=
λs
τs
(2.23)
Es kann o.B.d.A. angenommen werden, dass der Beobachter in einem Koordinatensystem
ruht, τ0 = const. und sich die Lichtquelle bewegt. Wird Gleichung (2.23) nach der
Koordinate rs abgeleitet, so ergibt sich
−
1 dτ
1 dz
=
,
(1 + z) dr
τ dr
(2.24)
wobei z = z(rs ). Durch Ausnutzung der Ergebnisse (2.22) und (2.24) erhalten wir eine
Relation zwischen der LTB-Metrik und der Rotverschiebung
1 dz
R,r,t (T (r), r)
= p
.
(1 + z) dr
1 + 2E(r)
(2.25)
Bei Benutzung der Gleichung (2.17) kann mit dem Ergebnis aus (2.24) eine Beziehung
zwischen dem Skalenfaktor und der Rotverschiebung hergestellt werden, die bei der
Entfernungsbestimmung Anwendung finden kann.
R,r,t (T (r), r)
1
dz
=−
.
(1 + z) dt
R,r (T (r), r)
(2.26)
Dieses Resultat ist in verallgemeinerter Form mit T (r) → t(r) ebenfalls bei [Kho08] zu
finden.
Geht der inhomogene nun in den homogenen Skalenfaktor über, so dass R(t, r) =
r A(t) separabel ist, dann wird (2.26) zu
A,t (t)
dz
=−
dt .
(1 + z)
A(t)
(2.27)
Die Integration
Zz
dz
=−
(1 + z)
Zt
A,t (t)
dt ,
A(t)
(2.28)
to
0
von dem Beobachter zur Eigenzeit t = t0 , der im direkten Umfeld nur von Quellen
ohne nennenswerte Rotverschiebung umgeben ist, bis hin zur entfernten Quelle mit einer
Rotverschiebung z, dessen Strahlung zum Zeitpunkt t ausgesendet wird, ergibt
1+z =
A(t0 )
.
A(t)
(2.29)
was nach [Row04] der Rotverschiebungsformel im FLRW-Modell entspricht.
11
2 Grundlagen des LTB-Modell
Ein weiteres Resultat aus der verallgemeinerten Form von Gleichung (2.26) ist durch
Integration von
R,r,t (t(r), r)
dz
=−
dt
(2.30)
(1 + z)
R,r (t(r), r)
zu erreichen, so dass
Zz
dz
=−
(1 + z)
o
Zts
R,r,t (t(r), r)
dt .
R,r (t(r), r)
(2.31)
to
Dieses führt mit variablem ts zu
Zt0
1 + z(t) =
R,r,t (t(r), r)
dt ,
R,r (t(r), r)
(2.32)
t
was bei separablem Skalenfaktor R(t, r) = r A(t) augenscheinlich die FLRW-Relation
(2.29) einschließt, da in diesem Fall die partielle Zeitableitung der differentiellen Zeitableitung entspricht.
2.4 Winkeldistanz
Die Winkledistanz dA ist nach Abschnitt 1.3.3 im LTB-Modell direkt durch den Skalenfaktor gegeben, so dass beim Übergang zum homogenen Skalenfaktor auch die FLRWRelation direkt hierraus folgt.
dA = R(t, r) ⇒ dA = r A(t)
(2.33)
2.5 Leuchtkraftentfernung
Nach dem Reziprozitätstheorem von Etherington, siehe [Cao11], gilt stets folgender Zusammenhang zwischen Winkel- und Leuchtkraftdistanz
dL (z)
=1.
dA (z) (1 + z)2
(2.34)
Somit ist auch in einem inhomogenen Modell die rotverschiebungsabhängige Leuchtkraftentfernung durch
dL (z) = R(t(z), r(z)) (1 + z)2 .
(2.35)
gegeben, welche ebenfalls in [GaH11] angegeben wird. Durch Anwendung der Rotverschiebungsrelation aus (2.32) ergibt sich
Zt0
dL (z) = R(t, r) (1 + z)
t
12
R,r,t (t(r), r)
dt
R,r (t(r), r)
(2.36)
2.6 Hubbleparameter
was beim Übergang zum Friedmann-Modell mit R(t, r) = r0 A(t) zu
dL (z) = r0 A(t)
A0
(1 + z) = r0 A0 (1 + z) ,
A(t)
(2.37)
wird. Hierbei ist zu beachten, dass in diesem Fall r fest ist und daher o.B.d.A. als r0
bezeichtet werden kann.
2.6 Hubbleparameter
Die Expansionsrate ist im FLRW-Modell richtungsunabhängig und wird durch
H(t) =
A,t (t)
,
A(t)
(2.38)
angegeben [Wei72], wobei H(t) als Hubbleparameter bekannt ist und durch folgenden
Zusammenhang erklärt wird.
Der zeitlich veränderliche radiale Abstand r(t) ist in einem homogenen und isotropen
A(t)
r(t0 ) gegeben, wobei r(t0 ) eine
Modell auf kosmischen Maßstäben durch r(t) = A(t
0)
bekannte Distanz zu einem festen Zeitpunkt t0 meint und im Folgenden A(t0 ) ≡ 1 ist.
Somit lässt sich die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Raumpunkten durch
v(t) = r,t (t) = A,t (t) r(t0 ) =
A,t (t)
r(t) = H(t) r(t) ,
A(t)
(2.39)
bestimmen [Inv09]. Das Analogon zum FLRW-Hubbleparameter kann in einem isotropen
und inhomogenen Universum durch den longitudinalen Hubbleparameter
H L (t, r) =
R,r,t (t, r)
,
R,r (t, r)
(2.40)
definiert werden und ist ein Maß für die Expansionsrate in radialer Richtung. Da diese
in einem LTB-Modell nur in ausgezeichneten Raumpunkten mit isotropem Standpunkt
gilt, wird der Observationsstandpunkt mit r → r0 fixiert. Das ergibt
H L (t, r0 ) =
R,r,t (t, r0 )
.
R,r (t, r0 )
(2.41)
Der Vollständigkeit halber definiert man den transversalen Hubbelparameter durch
H T (t, r) =
R,t (t, r)
,
R(t, r)
(2.42)
der bei isotropem Koordinatenursprung die Expansionsrate in θ und φ Richtung beschreibt. Auch wenn H T bisher für die gängigen Beobachtungsmethoden nur selten eine
Rolle spielt, so ist dieser beispielsweise bei einer Erforschung des transversalen Dopplereffekts unerlässlich.
Für einen seperablen Skalenfaktor mit R(t, r) = r A(t), ist erkennbar, dass die nach
[Kho08] neu definierten Hubbleparameter H L (t, r), siehe (2.41) und H T (t, r), siehe (2.42)
in den FLRW-Hubbleparameter H(t) aus (2.38) übergehen.
13
2 Grundlagen des LTB-Modell
2.7 Galaxienzählung
Die Anzahl von Objekten wird mithilfe der Objektdichte n(t, r) und der Formel für
Volumenelemente (2.14) berechnet. Wie in der Kosmologie allgemein üblich, wird die
Anzahl von Quellen per Steradiant angegeben und lautet in differenzieller Form
dN
dV
n(t, r) dr
= n(t, r)
= R,r (t, r) R2 (t, r)
1 .
dΩ
dΩ
(1 + 2E(r)) 2
(2.43)
Bei dem Übergang zu einem homogenen Modell mit seperablem Skalenfaktor, r-unabhängiger Anzahldichte und 2E(r) = −k r2 geht die Formel (2.43) in die allgemeine
Lösung des Friedmann-Modells über.
r2 dr
dN
dV
n(t) r2 dr
3
3
= n(t)
= A (t)
1 = A0 n0
1
dΩ
dΩ
(1 − kr2 ) 2
(1 − kr2 ) 2
(2.44)
Es zeigt sich, dass die Objektanzahl in dem LTB-Modell (2.43) bereits in dieser Form
eine spezielle Schwierigkeit aufweist. Da die Objektdichte in einem inhomogenen Modell
immer eine Funktion von r und t ist, kann in Formel (2.43) nicht die einfache Beziehung
n(t) A3 (t) = n0 A30 benützt werden, wie in Formel (2.44). Somit werden konkrete Berechnungen zu erwartender Objektanzahlen bestimmter Untermodelle anhand verschiedener
messbarer Größen in der Regel analytisch nicht lösbare Integrale liefern.
14
3 Flaches LTB-Universum mit Λ = 0
3.1 LTB-Skalenfaktor
In einem LTB-Universum mit verschwindender Energiefunktion E = 0 ist das Lösen der
Differenzialgleichung (2.4) ohne Parametrisierung möglich und führt zu
R(t, r) =
9
M (r)[t − tBB (r)]2
2
13
,
(3.1)
wie auch in [Kra97] gezeigt wird.
Es ist zu erkennen, dass diese Lösung eine Analogie zu der bekannten flachen k = 0
Lösungen des FLRW-Modells bildet. Der hieraus gewonnene parabolische Fall ist die
allgemeine Lösungsform einer flachen Raumzeit, da das Paraboloid einen ebenen Kegelschnitt darstellt.
Viele der grundlegenden Eigenschaften, die durch die Raumstruktur des Universums
zustande kommen, gelten in allen kosmischen Modellen. Im flachen Modell gilt die bekannte euklidische Geometrie, so dass die raumartigen Geodäten immer durch Geraden
dargestellt werden und zwei parallele Linien stets den gleichen Abstand zueinander haben
[Lid09]. Ein flaches Universum stellt jedoch eine geometrische Besonderheit dar, denn es
stehen eine Vielzahl topologischer Konzepte zur Verfügung um eine solche Raumzeit zu
beschreiben. Diese Konzepte führen zu unterschiedlichen Schlußfolgerungen, so dass eine
flache Raumzeit sowohl offen, wie auch geschloßen sein kann. In einem offenem Modell
kehren die raumartigen Geodäten niemals zum Ausgangspunkt zurück, wo hingegen eine
Geodäte in einer geschloßenen Geometrie immer zum Ausgangspunkt zurückkehrt.
Im Grenzfall zur Homogenität entspricht das LTB-Modell mit verschwindender Energiefunktion dem Einstein-de-Sitter (EdS) Modell. Denn das EdS-Modell ist ebenfalls ein
Modell ohne globale Krümmung mit Λ = 0 und p = 0.
3.2 Big-Bang-Zeit
Das Alter des Universums kann im flachen LTB-Modell an Formel (3.1) abgelesen werden
und ist in jedem Raumpunkt gegeben durch
s
3
2
R 2 (t, r) ,
(3.2)
t − tBB (r) =
9M (r)
Dieses Ergebnis liefert ebenfalls eine Berechnung mit Formel (2.16).
15
3 Flaches LTB-Universum mit Λ = 0
3.3 Hubbleparameter
Soll der longiduinale Hubbleparameter bestimmt werden, so benötigt man nach (2.40)
die Ableitung des Skalenfaktors (3.1) nach der Ortskomponente
− 23
9
3
M (r)[t − tBB (r)]2 ,r
M (r)[t − tBB (r)]2
R,r (t, r) =
,
(3.3)
2
2
sowie die Ableitung des Skalenfaktors nach der Orts- und Zeitkomponente
3
R,r,t (t, r) =
2
9
M (r)
2
− 32 (
2 {M (r)[t − tBB (r)]},r
4
[t − tBB (r)] 3
−
4
3
{M (r)[t − tBB (r)]2 },r
7
[t − tBB (r)] 3
)
.
(3.4)
Somit wird (2.40) im flachen LTB-Modell zu
H L (t, r) =
2 {M (r)[t − tBB (r)]},r − 34 [t − tBB (r)]−1 {M (r)[t − tBB (r)]2 },r
{M (r)[t − tBB (r)]2 },r
(3.5)
Für die Betrachtung des transversalen Hubbelparameters wird nach (2.42) lediglich die
Abbleitung des Skalenfaktors nach der Zeit benötigt. Diese ist
13
1
9
2
R,t (t, r) =
M (r)
[t − tBB (r)]− 3 .
(3.6)
2
3
Somit lässt sich im flachen LTB-Modell der transversale Expansionsrate aus (2.42) als
H T (t, r) =
2
3[t − tBB (r)]
(3.7)
schreiben.
Verschwindet in (3.5) und (3.7) gemäß dem FLRW-Modell die Big-Bang-Zeit, so ergibt
sich
2
HL = HT = ,
(3.8)
3t
was nach [Row04] exakt dem Hubbleparameter im Einstein-de-Sitter-Modell entspricht.
Durch Benutzung der Definition (2.42) und dem Ergebnis aus (3.7) kann der Skalenfaktor für das flache LTB-Modell aus der Relation
R,t (t, r)
2
=
R(t, r)
3[t − tBB (r)]
(3.9)
bestimmt werden. Wird der derzeitige Skalenfaktor R(t0 , r) ≡ R0 bis zu einem beliebigen
Zeitpunkt t betrachtet, so ergibt sich mittels Seperationsansatz
ZR
R0
16
dR
2
=
R
3
Zt
t0
dt0
.
t0 − tBB
(3.10)
3.4 Galaxienzählung
Da sich bei einer möglichen Betrachtung der Vergangenheit, in (3.10) auf beiden Seiten
der Gleichung die Vorzeichen ändern, ist die Lösung
R(t, r) = R(t0 , r)
t − tBB (r)
t0 − tBB (r)
23
(3.11)
sowohl zeitlich, als auch örtlich universell. Die Annahmen des seperablen Skalenfaktors und der verschwindenden Big-Bang-Zeit aus dem FLRW-Modell führen zu dem
erwünschten EdS-Skalenfaktor [Row04]
23
t
.
A(t) = A(t0 )
t0
(3.12)
3.4 Galaxienzählung
In einem flachen Modell ohne kosmische Konstante ergibt die Ableitung des Skalenfaktors
nach der Ortskomponente das Ergebnis aus (3.3). Somit lässt sich Formel (2.43) zur
Bestimmung der Quellenanzahl umschreiben als
3
dN
=
M (r)[t − tBB (r)]2 ,r n(t, r) dr .
dΩ
2
(3.13)
17
4 Hyperbolisches LTB-Universum
mit Λ = 0
4.1 LTB-Skalenfaktor
Mit der Annahme E > 0 und streng positiver Masse wird der Skalenfaktor nach [Kra97]
zu
M (r)
(4.1)
R(t, r) =
cosh(η) − 1
mit
3
(2E(r)) 2
sinh(η) − η =
[t − tBB (r)] ,
M (r)
(4.2)
welcher analog zum hyperbolischen Fall mit k = −1 des FLRW-Modells ist.
In einem hyperbolischem Universum schneiden sich parallele Geodäten niemals, sondern laufen auseinander. Somit zählt die Raumstruktur zur nicht euklidischen Geometrie,
da hier gegen eines seiner Postulate1 vestoßen wird.
Aus der Herleitung des Skalenfaktors (4.1) folgt, dass die Gesamtenergie in diesem
Modell stets positiv ist, wenn die kosmologische Konstante auf Null gesetzt wird. Durch
die Parametrisierung in (4.1) ist es scheinbar nicht möglich, oder zumindestens schwierig
analytische Lösungen für die gängigerweise betrachteten kosmischen Größen zu finden.
4.2 Hyperbolisches LTB-Modell vs. Milne-Modell
Analytisch bietet sich ein Vergleich mit dem Milne-Modell [Row04], in dem ebenfalls die
Raumzeit hyperbolisch ist und die kosmische Konstante verschwindet. Desweiteren wird
im Milne-Modell die Materiedichte vernachlässigt, da davon ausgegangen wird, das diese
gegenüber der Energiedichte verschwindent gering ist. Wird im LTB-Modell die Materiedichte vernachlässigt, = 0, so muß auch die Massenfunktion M (r) verschwinden,
was mathematisch mit (2.6) übereinstimmt. Somit vereinfacht sich (2.4) zu
R,t2 (t, r) = 2E(r) ,
wodurch sich der Skalenfaktor durch einfache Integration ergibt
p
R(t, r) = 2E(r) [t − tBB (r)] ,
1
(4.3)
(4.4)
Euklid von Alexandria postulierte in seinem Werk ’Die Elemente’ ca. 325 v.Chr. ein mathematisches
Regelwerk, welches bis heute gebräuchlich ist.
19
4 Hyperbolisches LTB-Universum mit Λ = 0
wobei zu beachten ist, dass der Skalenfaktor stets in der Anfangssingularität verschwindet und somit R(tBB (r), r) = 0 gilt. Außerdem wird nur die Zeit nach dem Urknall
betrachtet, weshalb lediglich die positive Lösung von interesse ist. Beim Übergang zur
homogenen Raumzeit mit 2E(r) → r2 , R(t, r) = r A(t) und zu Null gesetzter Big-BangZeitfunktion wird (4.4) zu dem Milne-Modellskalenfaktor mit
A(t) = t .
(4.5)
Der Skalenfaktor (4.4) lässt erkennen, dass sich das Universum in dem hier betrachteten
inhomogenen Fall nicht wie im Milne-Modell angenommen gleichmäßig mit Lichtgeschwindigkeit ausdehnt, da es in verschiedenen Raumpunkten Unterschiede in Energiedichte und Alter des Universums gibt.
4.2.1 Big-Bang-Zeit
Das Alter des Universums kann durch analoge Vereinfachungen wie im Milne-Modell
explizit angegeben werden als
s
1
R(t, r) .
(4.6)
t − tBB (r) =
2E(r)
Im FLRW-Modell geht 2E(r) → −k r2 , wobei hier die Krümmung k = −1 ist. Somit
geht (4.6) durch Verwendung von (4.5) zu der absoluten Zeit des Milne-Modells und
daher mit verschwindender Big-Bang-Zeit über.
4.2.2 Hubbleparameter
Der Skalenfaktor (4.4) abgeleitet nach der Ortskomponente r ist
)
(
E,r (r) [t − tBB (r)] p
p
R,r (t, r) =
− 2E(r) [tBB (r)],r ,
2E(r)
welcher wiederum differenziert nach der Zeit die Form
(
)
E,r (r)
R,t,r (t, r) = p
2E(r)
(4.7)
(4.8)
annimmt.
Der longitudinale Hubbleparameter ist nach (2.41), mithilfe der Gleichungen (4.7) und
(4.8), durch
E,r (r)
H L (t, r) =
(4.9)
E,r (r) [t − tBB (r)] − 2E(r) [tBB (r)],r
gegeben.
20
4.2 Hyperbolisches LTB-Modell vs. Milne-Modell
Die transversale Expansionsrate ergibt sich nach (2.42). Durch die Relationen (4.3)
und (4.4) erhält man
1
H T (t, r) =
.
(4.10)
t − tBB (r)
Wird die Vorraussetzung einer verschwindenen Big-Bang-Zeit bei den Formel (4.9)
und (4.10) benützt, dann sind diese identisch
HL = HT =
1
,
t
(4.11)
was nach [Row04] dem Hubbleparameter des Milne-Modells entspricht.
Somit kann der Skalenfaktor durch (2.42) und (4.10) neu definiert werden. Es ergibt
sich zunächst die Relation
1
R,t (t, r)
=
.
(4.12)
R(t, r)
t − tBB (r)
Durch Integration vom jetzigen Zeitpunkt t0 mit dem derzeit gültigen Skalenfaktor R0 =
R(t0 , r) bis zu einem beliebigen Zeitpunkt
ZR
R0
dR
=
R
Zt
dt0
,
t0 − tBB
(4.13)
t0
ergibt sich anlalog zur Rechnung in (3.11) ein universell gültiger Skalenfaktor
R(t, r) = R(t0 , r)
t − tBB (r)
.
t0 − tBB (r)
(4.14)
Es ist wiederum zu erkennen, dass sich (4.14) auf die bekannte Form des MilneModellskalenfaktors aus (4.5) zurückführen lässt, wenn die Big-Bang-Zeit verschwindet,
der Skalenfaktor seperabel ist und für den zeitlich bestimmten Skalenfaktor die Relation
R(t0 , r) = r A(t0 ) = r t0 aus (4.5) angenommen wird.
21
5 Elliptisches LTB-Universum
mit Λ = 0
5.1 LTB-Skalenfaktor
Wird in dem LTB-Modell mit Λ = 0 die Gesamtenergiefunktion E < 0 gesetzt, so lässt
sich die Differentialgleichung (2.4) mithilfe einer Parametrisierung analytisch nach dem
Skalenfaktor auflösen [Kra97]. Dieses ergibt
M (r)
(1 − cos(η)) ,
2E(r)
wobei der neu auftretende Parameter η durch
R(t, r) = −
(5.1)
3
η − sin(η) =
(−2E(r)) 2
[t − tBB (r)]
M (r)
(5.2)
gegeben ist und man erhält analog zum sphärischen Modell mit k = 1 im FriedmannModell den elliptischen Fall in einem LTB-Universum.
Die elliptische, als verallgemeinerter Fall der sphärischen, Geometrie ist eine Folgerung
der Gleichungen (5.1) und (5.2), welche im LTB-Modell wegen der geforderten Isotropie
auf eine sphärische Betrachtung der Massenschalen eingeschränkt werden kann. In einem sphärischen Universum werden sich auch parallele Geodäten in einem Raumpunkt
schneiden, weshalb eine solche Geometrie nicht euklidisch ist.
Ein solches Modell ist stets geschlossen und hat somit endliche Ausdehnung ohne dabei jemals auf einen Rand zu stoßen. Ohne Berücksichtigung der lokalen Krümmungen
und bei gemäßigter Ausdehnung der Raumzeit wird ein Lichtstrahl immer zum Ausgangspunkt zurückkehren.
5.2 Hubbleparameter
Die Differentialgleichung von Ellis in (2.4) lässt sich als
2
2E(r)
2M (r)
R,t (t, r)
= 2
+ 3
.
R(t, r)
R (t, r) R (t, r)
(5.3)
umschreiben. Diese Umformung liefert nach (2.42) den transversalen Hubbleparameter
mit
s
2E(r)
2M (r)
H T (t, r) =
+ 3
.
(5.4)
2
R (t, r) R (t, r)
23
6 Anhang
6.1 Fazit
6.1.1 Fazit zum flachen LTB-Modell
Im flachen LTB-Modell kann der Skalenfaktor wie in (3.1) ohne Parametrisierung berechnet werden, was es erlaubt analytische Lösungen für eine Vielzahl relevanter, kosmologischer Größen zu berechnen. In der Grenzfallbetrachtung eines homogenen Kosmos
lassen sich die gefundenen Größen durch das Einstein-de-Sitter-Modell bestätigen.
Die resultierenden Ergebnisse können bei einer numerischen Berechnung der zu erwartenden Galaxienanzahl Verwendung finden. Eine konkretere Berechnung als die differenzielle Form der Quellenanzahl in (3.13) ist auf analytischem Wege nicht gelungen.
6.1.2 Fazit zum hyperbolischen LTB-Modell
Für das hyperbolische Modell ist es nur mit Einschränkungen gelungen analytische Ergebnisse zu erzielen. Die Einschränkungen sind analog zu denen im Milne-Modell gewählt
und führen im Grenzfall der Homogenität zu gleichen Ergebnissen.
Nach heutigem Kenntnisstand widerspricht das Milne-Modell den Beobachtungen, beispielsweise aufgrund der vorhergesagten linearen Ausdehnung des Weltalls. Im inhomogenen Universum führen, durch die Abhängigkeit des Skalenfaktors von der Ortskomponente, die Vernachlässigung der kosmischen Konstanten und des Massenterms zu bisher
nicht widerlegten Ergebnissen.
6.1.3 Fazit zum elliptischen LTB-Modell
Das Modell eines inhomogenen elliptischen Universums bereitet eine Vielzahl von Problemen bei dem Versuch analytische Lösungen für kosmologische Größen zu finden.
Aus Formel (2.4) ist zu erkennen, dass eine Vereinfachung wie im Milne-Modell, mit
vernachlässigbarer Masse, zu einem unphysikalischen Ergebnis mit imaginärem Skalenfaktor führt.
6.2 Weiterführende Anregungungen zum LTB-Modell
Im Weiteren kann versucht werden, durch numerische Nährungslösungen und vereinfachte Untermodelle, weitere kosmologische Größen herzuleiten. Durch numerische Metho-
25
6 Anhang
den können auch Modelle mit Λ 6= 0 betrachtet werden, da es bisher nicht gelungen ist,
hierfür auf analytischem Wege sinnvolle Ergebnisse zu erzielen.
Nach [Van06] bietet das LTB-Modell auch die Möglichkeit, die Inhomogenität als
Ursache bisher ungeklärter Phänomene anzusehen, anstatt dunkle Energie als Auslöser
dieser Phänomene zu betrachten. Diese Annahme unterstützt die in Abschnitt 6.1.2
getroffene These, dass das LTB-Modell mit den Vorraussetzungen des Milne-Modells
den Beobachtungen nicht widersprechen muß.
26
Literaturverzeichnis
[Bol11] Bolejko, K., Célérier, M-N., Krasiński, A., Class. Quantum Grav. 28 164002,
arXiv: 1102.1449v1 (2011)
[Bon47] Bondi, H., MNRAS 107, 410 (1947)
[Cao11] Cao, S., Zong-Hong,Z., arXiv: 1102.2750v1 (2011)
[Die07] Diego, J. M., Herrnaz, D., arXiv: 0704.3131v1 (2007)
[Ell67] Ellis, G. F. R., J. Math. Phys. 8, 1171 (1967)
[GaH11] Garcia-Bellido, J. Haugbølle, T., JCAP 04, 003 (2008)
[Gar09] Garfinkle, D., arXiv: 0908.4102v1 (2009)
[Goe94] Goenner, H., Einführung i. d. Kosmologie
(Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg, 1994)
[IAU89] Wilkins, G., The IAU Style Manual, (Paris, 1989)
[Inv09] Inverno, R., Einführung i. d. Relativitätstheorie (Wiley-VHC, Weinheim, 2009)
[Kra97] Krasiński, A., Inhomogenious Cosmological Models
(Cambridge Press, Cambridge, 1997)
[Kho08] Khosravi, S., Kourkchi, E., Mausouri, R., Akrami, Y.,
Gen. Relativ. Gravit. 40 1047, arXiv: 0702282v4 (2008)
[Lid09] Liddle, A., Einführung i. d. moderne Kosmologie (Wiley-VHC, Weinheim, 2009)
[Mat90] Mather, J. C., Astrophys. Journ. 354, L37-L40 (1990)
[Row04] Rowan-Robinson, M., Cosmology (Cambridge Press, Cambridge, 2004)
[Rui10] Ruiz-Lapuenete, P., Dark Energy (Clarendon Press, Gloucestershire, 2010)
[Sau72] Sauter, H., Astrophysik 1 (Gustav Fischer Verlag, Stuttgart, 1972)
[Sch02] Schröder, U., Gravitation (Verlag Harry Deutsch, Oldendorf, 2002)
[Sun80] Sunyaev, R. A., Zeldovich, Y.B., MNRAS 190, 413 (1980)
27
Literaturverzeichnis
[Van06] Vanderveld, R., Flanagan, É., Wasserman, I., Phys. Rev. D 74 023506,
arXiv: 0602476v2 (2006)
[Wei72] Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley and Sons, New York, 1972)
[Wei08] Weinberg, S., Cosmology (Oxford Univ. Press, Oxford, 2008)
[Wol09] Wolschin, G., Spektrum d. Wiss. 01, 24; (2009)
[Zec91] Zecca, A. Nuovo Cimento B108, 403 (1991)
28
Literaturverzeichnis
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine
anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benützt habe, dass alle Stellen der
Arbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen übernommen wurde, als solche
kenntlich gemacht sind und dass die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner
Prüfungsbehörde vorgelegt wurde.
Bielefeld, den 29. September 2011
29