sn - Mathematik, Uni

Einige Sätze und Bemerkungen zu Reihen und ein Beweis der Fundamentalgleichung der
Exponentialfunktion
n
Ausgehend von einer Folge a n  bildet man die Folge der Partialsummen  sn  durch s n :=∑ a i .
i=1
Man nennt eine solche Partialsummenfolge eine Reihe und bezeichnet sowohl sie wie einen
∞
etwaigen Grenzwert mit ∑ a n . Existiert der Grenzwert, nennen wir die Reihe konvergent, sonst
n=1
divergent.
Damit die Partialsummen einen Sinn machen, muß die Ausgangsfolge a n  in einer Menge liegen, in
der es eine Addition gibt und in der man von konvergenten Folgen reden kann, also z.B. im ℝn mit
der vom Skalarprodukt induzierten Norm und Metrik. In der folgenden Diskussion sind die
Summanden a n  aber immer komplexe Zahlen. Wegen ℝ⊂ℂ sind natürlich auch reelle
Summanden zugelassen; wichtig sind Reihen mit positiven reellen Summanden.
∞
∞
Wenn eine Reihe ∑ a n mit positiven Summanden konvergiert, so schreiben wir ∑ a n∞ , wenn
n=1
n=1
∞
sie divergiert, schreiben wir ∑ a n=∞
n=1
∞
Wenn die Reihe ∑ a n konvergiert, so bilden die Summanden eine Nullfolge, man hat also a n 0
n=1
und damit auch ∣a n∣ 0 .
∞
∞
n=1
n=1
Eine Reihe ∑ a n heißt absolut konvergent, wenn ∑ ∣a n∣∞ .
Wenn eine Reihe absolut konvergiert, so ist sie auch konvergent.
Beispiele:
∞
Die harmonische Reihe ∑
n=1
1
ist divergent.
n
∞
Die alternierende harmonische Reihe ∑ −1
∞
n=1
n1
1
ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.
n
Die geometrische Reihe ∑ z ist absolut konvergent für ∣z∣1 und divergent für ∣z∣1 .
∞
1
Es gilt ∑ 2 ∞ .
n=1 n
n
n=0
Das wichtigste Kriterium für absolute Konvergenz ist das folgende Majorantenkriterium:
Ist a n  eine Folge in ℂ und bn  eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen und gilt
∞
∞
n=1
n=1
∀ n∈ℕ : ∣a n∣b n und ∑ b n∞ , so ist die Reihe ∑ a n absolut konvergent.
∞
∞
n=1
n=1
Die Reihe ∑ b n nennt man dann eine Majorante für die Reihe ∑ a n .
Durch Vergleich im Majorantenkriteriums mit der geometrischen Reihe erhält man das
∞
∣a n1∣
1 , so ist die
Quotientenkriterium: Ist ∑ a n eine Reihe komplexer Zahlen und gilt lim
n=1
n  ∞ ∣a n∣
Reihe absolut konvergent.
∣a n1∣
1 , so ist die Reihe divergent, weil dann nämlich die Folge der
n ∞ ∣a n∣
Summanden keine Nullfolge sein kann.
Man erhält auch: Ist lim
∞
n
Das Quotientenkriterium ist gut für Potenzreihen anwendbar, d.h. Reihen der Form ∑ a n z . Dabei
n=0
sind die Koeffizienten a n  komplexe (oder reelle) Zahlen, und für z setzt man ebenfalls komplexe
(oder reelle) Zahlen ein.
Wichtige Potenzreihen sind:
zn
.
n=0 n !
∞
2n
∞
z 2 n1
n z
n
Die Cosinusreihe cos(z):= ∑ −1
und die Sinusreihe sin(z):= ∑ −1
.
2 n!
2 n1!
n=0
n=0
Diese Reihen konvergieren absolut für alle z ∈ℂ .
∞
Die Exponentialreihe exp(z):= ∑
∞
n
Die geometrische Reihe ∑ z
n=0
konvergiert absolut für alle z ∈ℂ mit ∣z∣1 .
Absolut konvergente Reihen haben die wichtige Eigenschaft, daß man sie "umordnen" kann, ohne
∞
den Grenzwert zu ändern. Das heißt: Ist  : ℕℕ eine bijektive Abbildung,
∞
∑ a n absolut konvern=1
gent und b n :=a  n  , so ist auch die Reihe ∑ b n absolut konvergent und es gilt
n=1
∞
∞
n=1
n=1
∑ a n=∑ b n .
Diese Umordnungsaussage stimmt "absolut nicht" für nicht-absolut konvergente Reihen.
Ähnlich wie den "Umordnungssatz" beweist man z.B. folgenden Satz über "Doppelreihen":
∞
Für m , n∈ℕ seine komplexe Zahlen c m n gegeben. Für jedes n∈ℕ seien die Reihen
∞
∞
∑ c m n absolut
m=1
konvergent. Ist dann mit a n :=∑ c mn auch die Reihe ∑ a n absolut konvergent, so auch alle
m=1
∞
∞
Reihen b m :=∑ cm n und ebenso
∞
n=1
∞
∞
∞
∞
n=1
∞
∑ b m , und es gilt ∑ a n= ∑ b m oder anders geschrieben
m=1
n=1
m=1
∑ ∑ c m n= ∑ ∑ c m n .
n=1 m =1
m =1 n=1
Analog beweist man die "Cauchy-Produkt-Formel":
∞
Sind die Reihen ∑ a n und
n=0
∞
∑ bm absolut konvergent, so ist mit c k :=
m=0
absolut konvergent, und es gilt:
∞
 
∑ an
n =0
∞

∞
∑ b m =∑ c k oder anders geschrieben
m=0
k =0
∞
 
∑ an
n =0
∞

∑
nm= k
∞
∑ b m =∑
m=0
∞
a n b m die Reihe ∑ c k
∑
k =0 nm= k
k =0
an bm .
Man hat also
∞
∞
n =0
m=0
  ∑ 
∑ an
b m =a 0 b0  a 0 b 1a 1 b 0   a 0 b 2a1 b1a 2 b 0   a0 b 3a 1 b 2a2 b1 a 3 b 0   .
D.h. man multipliziert alle Summanden der ersten Reihe mit allen Summanden der zweiten Reihe
und addiert diese Produkte in einer natürlichen Reihenfolge.
Damit wird die bisher nur behauptete Fundamentalgleichung der Exponentialfunktion
exp  zw=exp z⋅exp w beweisbar:
zn
, wobei diese Reihe für alle z ∈ℂ absolut konvergiert, wie mit
n=0 n !
dem Majorantenkriterium per Vergleich mit der geometrischen Reihe nachgewiesen wurde.
∞
Man erinnere sich: exp  z :=∑
Wir haben also
n
n
∞
∞
∑
kn z w
k
n−k
 z w 
k=0
exp z w =∑
=∑
n!
n!
n=0
n=0
n
m
∞
∞
z
=exp  z exp w 
∑ nz ! ∑ m!
n =0
m=0
 
∞
=∑
k=0
∑
nm= k
kn z w =∑ ∑
n
m
∞
k!
k=0 n m=k
1
zn w m =
n! m!

Nach dem dritten Gleichheitszeichen gab es eine Indexumbenennung, anschließend wurde die
k!
k =
Formel
und dann die Cauchy-Produkt-Formel benutzt.
n n !  k −n!

Beweis des "großen Umordnungssatzes":
∞
Sei also  :ℕℕ eine bijektive Abbildung,
∞
∑ a n absolut konvergent und
n=1
b n :=a  n  .
∞
Wir zeigen zunächst, daß die Reihe ∑ b n absolut konvergiert, daß also ∑ ∣bn∣∞ .
n=1
n=1
n
Dazu geben wir ε0 vor und müssen ein n 0∈ℕ finden, so daß ∀ nn0 :
∑ ∣b k∣ε .
k =n0
n
Voraussetzen dürfen wir, daß es ein m0 ∈ℕ gibt, so daß ∀ nm0 :
∞
∑ ∣a k∣ 2ε . Dann ist jedenfalls
k =m0
ε
∑ ∣a k∣ 2
k =m0
Wenn wir zu m0 die Zahl n 0 so wählen können, daß ∀ nn0 :  nm0 , dann sind wir fertig:
n
n
∞
ε
denn dann ist ∀ nn0 ∑ ∣b k∣= ∑ ∣a  k ∣ ∑ ∣a k∣ ε . Die erste Ungleichung gilt, weil ja alle
2
k =n
k=n
k =m
Indizes  k  größer oder gleich m0 sind und deshalb die zweite Summe dieselben und mehr
Summanden wie die erste enthält.
0
0
0
−1
Jetzt also zur Wahl von n 0 : Wir setzen einfach n 0 :=max   {1 , , m0 }1 . (Das Maximum
existiert, da die Urbildmenge einer endlichen Menge unter einer bijektiven Abbildung endlich ist.)
−1
Ist dann nn 0 so ist n∉  {1 , , m0 } , also nicht  nm0 , also  nm0 und damit erst recht
 nm0 .