Primordiale Nukleosynthese und Baryogenese

Modellschule Obersberg
Bad Hersfeld
Primordiale Nukleosynthese und Baryogenese
Das Universum als Fusionsreaktor
Besondere Lernleistung im Fachbereich Physik
Marcel Kiel
Abgabedatum: 23.03.2016
1
f = 0.15
f = 0.20
f = 0.25
Anteil freier Protonen y
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
45
50
55
60
65
70
75
80
85
kBT [keV]
Schulische Betreuer Roland Lächa & Michael Bortfeld
Erster externer Betreuer Prof. Dr. Matthias Bartelmann, Universität Heidelberg
Zweiter externer Betreuer Michael Kolpin, LHCb CERN, PI Heidelberg
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
iv
Einleitung / Überblick
v
Danksagung
vi
1 Kosmologische Weltbilder
1.1 Die antiken Weltbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Kosmologie der Neuzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Das kosmologische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
4
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Ausdehnung des Universums
Die Friedmann-Gleichung in Newton’scher Näherung . . . . . . . . . . .
Die kritische Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Friedmann-Gleichung in dimensionsloser Darstellung . . . . . . . . .
Die Geometrie des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Die euklidische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Die sphärische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Die hyperbolische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Materie-Strahlungs-Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Alter des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Lösung für die strahlungsdominierte Ära . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Lösung für die materiedominierte Ära . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Übergangszeitpunkt von Strahlungsdominanz zur Materiedominanz
Die Temperatur im sehr frühen Universum . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Mengenverhältnis von Strahlung zu Materie . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Anzahldichte der Photonen im Universum . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Anzahldichte der Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Das Baryonen-Photonen-Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Grundlagen der Thermodynamik
3.1 Die mittlere thermische Energie
3.2 Der Boltzmann-Faktor . . . . .
3.3 Die Zustandssumme . . . . . .
3.4 Die Helmholtz’sche freie Energie
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9
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11
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12
13
13
13
14
14
15
15
15
15
16
17
17
17
18
19
4 Protonen und Neutronen
20
4.1 Aufbau von Protonen und Neutronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ii
Inhaltsverzeichnis
4.2
Der Beta-Zerfall und der Zerfall freier Neutronen . . . . . . . . . . . . .
21
5 Die primordiale Nukleosynthese
5.1 Protonen und Neutronen im thermischen Gleichgewicht . . . . . . . . . .
5.2 Die Deuterium-Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Das Minimum der Helmholtz’schen freien Energie . . . . . . . . .
5.2.2 Die Teilchenzahlen während der primordialen Nukleosynthese . .
5.2.3 Die Saha-Gleichung der Deuterium-Fusion . . . . . . . . . . . . .
5.3 Das Verhältnis von Protonen und Neutronen zu Beginn der Nukleosynthese
5.4 Die Fusion von Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Der Ursprung der Elemente, die schwerer als Helium sind . . . . . . . . .
5.5.1 Schwere Elemente während der primordialen Nukleosynthese . . .
5.5.2 Schwere Elemente aus Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Sehr schwere Elemente aus Supernovae . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
25
25
26
31
31
33
33
34
34
6 Die Baryogenese
6.1 Materie und Antimaterie im Universum . . . . . . . . . . . .
6.2 Die Sacharowkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Verletzung der Baryonenzahl-Erhaltung . . . . . . . .
6.2.2 Verletzung von C- und CP-Invarianz . . . . . . . . .
6.2.3 Thermodynamisches Nichtgleichgewicht . . . . . . . .
6.3 Das LHCb Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Erster experimenteller Nachweis der direkten CP-Verletzung
36
36
38
38
38
39
39
40
40
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall
Experiment
7.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Suche einer fit-Funktion . . . . . . .
7.2.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Konsequenz für die Baryogenese . . . . . . .
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von Bs -Mesonen am LCHb
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42
42
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49
Zusammenfassende und weiterführende Gedanken
51
Abbildungsverzeichnis
53
Literaturverzeichnis
54
Selbstständigkeitserklärung
56
iii
Symbolverzeichnis
Verwendete Naturkonstanten
im CGS-System
Symbol
G
c
kB
h̄
mp
mn
Bedeutung
Newton’sche Gravitationskonstante
Lichtgeschwindigkeit
Boltzmann-Konstante
red. Plank’sches Wirkungsquantum
Proton-Ruhemasse
Neutron-Ruhemasse
Wert
6, 673 · 10−11
299, 792 · 108
1, 380.650 · 10−16
1, 054.571 · 10−27
1, 672.622 · 10−24
1, 674.927 · 10−24
Einheit
[cm3 g −1 s−2 ]
[cm s−1 ]
[cm2 g s−2 K −1 ]
[cm2 g s−1 ]
[g]
[g]
Variablen1
Symbol
H
r
x
t
a
T
k
%
Ω
Λ
ζ(x)
n
η
Z
f
N
Ñ
Y
X
ACP
1
Der Index
Bedeutung
Hubble-Konstante
physikalischer Abstand
mitbewegter Abstand
Zeit
kosmologischer Skalenfaktor
Temperatur
Krümmungsparameter
Massendichte
normierter Dichteparameter
kosmologische Konstante
Riemann’sche Zetafunktion
Anzahldichte
Baryonen-Photonen-Verhältnis
thermodynamische Zustandssumme
Protonen-Neutronen-Verhältnis
Anzahl freier Teilchen
Anzahl gebundener Teilchen
Helium-4-Häufigkeit
Wasserstoff-Häufigkeit
Zerfallsasymmetrie
0
bezeichnet im Folgenden immer den heutigen Wert der jeweiligen Variablen
iv
Einleitung / Überblick
Es gibt eine Theorie, die besagt, wenn jemals irgendwer genau herausfindet,
wozu das Universum da ist und warum es da ist, dann verschwindet es auf der
Stelle und wird durch noch etwas Bizarreres und Unbegreiflicheres ersetzt.
Es gibt eine andere Theorie, nach der das schon passiert ist.
(Douglas Adams)
Seit Anbeginn der Menschheit sind verschiedenste Völker auf der Erde vom gestirnten
Nachthimmel und den sich öffnenden Tiefen des Weltalls fasziniert. So ist die Astronomie
sogar eine der ältesten Naturwissenschaften überhaupt. Auch mir ergeht es seit einigen
Jahren so. Mein besonderes Interesse liegt in der Kosmologie, also der Frage nach dem
Ursprung und der Entwicklung des Universums. So stand für mich sehr schnell fest, dass
ich über dieses interessante und vielseitige Thema eine besondere Lernleistung für mein
Abitur anfertigen möchte. Da mein weiteres Interesse auch der Erforschung der allerkleinsten Bausteine des Universums, also der Teilchenphysik, gilt, war ich auf der Suche
nach einem Thema, welches diese beiden Schwerpunkte verknüpft und mir zugleich einen
ersten Einblick in die aktuelle Grundlagenforschung erlaubt.
Um diese Idee zu verwirklichen, nahm ich zu Beginn des Jahres 2015 mit Prof. Dr.
Matthias Bartelmann aus Heidelberg Kontakt auf, welcher mir seine Betreuung für mein
Projekt zusagte. Von einigen möglichen Themen entschied ich mich für eine genauere
Betrachtung der primordialen Nukleosynthese und der Baryogenese, also dem Ursprung
der Elemente im frühen Universum. Dieses Themengebiet lässt sich sowohl unter kosmologischen, als auch unter teilchenphysikalischen Aspekten betrachten, ist mit relativ
einfachen mathematischen und physikalischen Konzepten zu bearbeiten und zudem nah
an der aktuellen Forschung. Somit erfüllte es alle meine gewünschten Vorstellungen und
ich begann die Arbeit an meinem Projekt.
Für eine intensivere Auseinandersetzung mit den Themen verbrachte ich jeweils zwei
Wochen am Institut für Theoretische Astrophysik in Heidelberg und am CERN in Genf.
Die aus den dort gewonnen Ergebnissen entstandene Arbeit lässt sich in zwei große Themengebiete einteilen. So beschäftigen sich die Kapitel 1-5 nach einem kurzen historischen
Überblick mit den kosmologischen Aspekten der primordialen Nukleosynthese aus Sicht
der theoretischen Physik, während die Kapitel 6 und 7 mit einer teilchenphysikalischen
Betrachtung der Baryogenese und einer experimentellen Datenanalyse anschließen. Am
Ende folgt eine Zusammenfassung meiner Ergebnisse.
v
Danksagung
Besonderer Dank gilt Prof. Dr. Matthias Bartelmann, ohne den diese Arbeit in dieser Form nicht möglich gewesen wäre. Für die sehr angenehme Betreuung von der ersten
Idee der Arbeit, über den zweiwöchigen Aufenthalt am Institut für Theoretische Astrophysik in Heidelberg und der Vermittlung ans CERN, bis zur endgültige Fertigstellung
möchte ich mich vielmals bedanken.
Daran knüpft sich mein Dank an Michael Kolpin an, der mich während meiner Zeit
am CERN betreut hat und so entscheidend zur Entstehung des zweiten Teils der Arbeit
beigetragen hat.
Zu guter Letzt möchte ich noch Roland Lächa und Michael Bortfeld für die schulische Betreuung und Beratung zu meiner Arbeit danken.
vi
1 Kosmologische Weltbilder
Auf einem stark abgekühlten Aschehaufen stehend,
beobachten wir das allmähliche Verlöschen der Sonnen,
und wir versuchen uns des entschwundenen Glanzes
des Ursprungs der Welten zu erinnern.
(Georges Lemaître)
Im Laufe der Zeit haben sich die kosmologischen Weltbilder der Menschen stark verändert. Die Vorstellung, die Erde liege im Zentrum des Sonnensystems wurde mehr und
mehr fallen gelassen. Wichtige Schritte dieser Entwicklung und der Weg zum kosmologischen Prinzip, welches ein wichtiger Pfeiler des kosmologischen Standardmodells ist,
soll im folgenden Kapitel kurz dargestellt werden.
1.1 Die antiken Weltbilder
Die Babylonier
Die babylonische Kosmologie ging unter anderem von einer scheibenförmigen Erde aus,
welche auf dem Weltmeer schwimmt und von einer Kuppel umgeben ist. Getragen wird
die Erde von den Säulen der Erde, die tief in den Ozean ragen. Sämtliche astronomische
Ereignisse spielen sich auf der Oberfläche der Kuppel oder in ihr ab.
Die Griechen
Im alten Griechenland war der Philosoph Pythagoras (um 550 v. Chr.) einer der Ersten, der sich ernsthafte Gedanken über die Kosmologie machte. So stellte er sich die
Erde kugelförmig und von einer Sphäre mit Fixsternen umgeben vor. Die Planeten sind
in dieser Vorstellung noch nicht enthalten.
Später fügte Eudoxus (um 350 v. Chr.), ein Schüler von Platon, die Planeten in dieses
Modell ein. Da zu dieser Zeit bereits deren retrograde Bewegung bekannt war, stellte er
sich die Bahn der Planeten als kleine Kreisbahnen auf Großkreisen vor, ähnlich wie es
Ptolemäus 500 Jahre später mittels der Theorie der Epizykel erneut tat.
Das Modell von Eudoxus wurde von Aristoteles (384 v. Chr. - 322 v. Chr.) überarbeitet. Er ergänzte es auf insgesamt 56 Sphären, die die Erde umgeben, um alle bekannten
1
1 Kosmologische Weltbilder
astronomischen Erscheinungen zu erklären. Die Planeten waren zu dieser Zeit nur bis
zum Saturn bekannt. Für Aristoteles war das Universum als Ganzes endlich, ohne zeitlichen Anfang und Ende und ohne, dass darin eine Bewegung je zum Stillstand kommt.
Da damals Kreise als perfekt galten, waren alle Sphären kugel- und die Planetenbahnen kreisförmig. Allerdings konnte dieses Modell nicht die Änderung der scheinbaren
Helligkeit der Planeten in der Opposition erklären, genauso wenig wie deren scheinbare
rückläufige Bewegung. Zur Lösung dieses Problems verschob Aristoteles die Erde ein
wenig aus dem Mittelpunkt der Sphären, womit zumindest die Helligkeitsänderung erklärbar ist, da die Planeten nun beim Umlauf keine gleichbleibende Entfernung zur Erde
haben.
Der Philosoph und Mathematiker Ptolemäus (um 100 n. Chr. - um 160 n. Chr.) führte in seinem Modell, welches auch die Erde nicht perfekt im Mittelpunkt der Sphären
sieht, die Epizykel ein. Dies sind Kreisbahnen auf den kreisförmigen Planetenbahnen,
auf denen sich die Planeten bewegen sollen. Damit konnte er die zeitweise rückläufige
Bewegung der Planeten erklären. Die Genauigkeit der Bahnvorhersagen sorgte dafür,
dass sein Weltbild bis zum Ende des Mittelalters anerkannt war.
1.2 Die Kosmologie der Neuzeit
Das über 1400 Jahre gültige geozentrische Weltbild wurde von dem Astronom Nikolaus
Kopernikus (1473 - 1543) zum Einsturz gebracht, als er, wie es bereits Aristarchos von
Samos fast 2000 Jahre zuvor erdachte, die Erde aus dem Zentrum des Modells des Sonnensystems nahm und die Sonne dort platzierte. Dieses neue heliozentrische Weltbild
war nun in der Lage, die retrograde Planetenbewegung ohne Epizykel zu erklären. Da
sich allerdings die Planeten in seiner Vorstellung auf Kreisbahnen bewegten, waren die
Berechnungen in seinem Modell nicht so genau wie mittels der Epizykeltheorie und somit
wichen die Vorhersagen von der Wirklichkeit ab. Daraus entwickelte sich im Laufe der
Zeit das kopernikanische Prinzip, welches besagt, dass sich die Erde und somit auch die
Menschheit an keinem speziellen Ort im Universum befinden, wie es bis dahin angenommen wurde.
Der dänische Hofastronom Tycho Brahe (1546 - 1601), der für seine Zeit über sehr
„moderne“ Geräte verfügte, war ein herausragender Beobachter. So entdeckte er im Jahr
1572 eine Supernova im Sternbild Kassiopeia und stellte die genausten astronomischen
Tabellen der damaligen Zeit zusammen. Auch entwickelte er ein neues Konzept des Sonnensystems. In diesem steht wieder die Erde im Mittelpunkt, aber die Planeten umkreisen die Sonne, welche wiederum die Erde umkreist. Die daraus folgenden Berechnungen
erwiesen sich als sehr genau.
Aus den umfassenden Beobachtungsdaten Brahes entwickelte Johannes Kepler das
bis heute gültige heliozentrische Weltbild. In diesem ist die Sonne der Mittelpunkt des
Sonnensystems und die Planeten umkreisen sie. Allerdings sind die Planetenbahnen kei-
2
1 Kosmologische Weltbilder
ne perfekten Kreise, sondern Ellipsen. Dieses einfache Modell stimmt perfekt mit den
Beobachtungsdaten überein. Von diesem ausgehend fand Kepler drei fundamentale Gesetze der Planetenbewegung, die heute als die drei keplerschen Gesetze bekannt sind.
Thomas Wright (1711 - 1786), ein englischer Philosoph und Astronom, wies die Hypothese der gleichmäßigen Verteilung der Sterne im Universum zurück und entwickelte
die Idee einer scheibenförmigen Anordnung, in der sich die Sonne und andere Sterne
befinden. Auch sah Wright „Nebel“ durch sein Fernrohr, welche er als centres of creation
bezeichnete und für ähnliche Anordnungen wie die Milchstraße hielt.
Auch der Königsberger Philosoph Immanuel Kant vermutete, dass diese „Nebel“ Galaxien wie die unsere darstellen und bezeichnete sie daher als Welteninseln. Diese Galaxien
bilden seiner Meinung nach Haufen, die wieder größere Haufen bilden und somit immer
größere, aufeinander aufbauende Strukturen darstellen.
Im Jahr 1823 formulierte Heinrich Wilhelm Olbers die Fragestellung, wie denn bei
einem unendlich ausgedehnten Universum der Nachthimmel dunkel sein könne. Nach
seiner Einschätzung müsste in jede Blickrichtung irgendwann ein Stern zu sehen sein,
vergleichbar mit einem Blick in einen tiefen Wald, bei dem in jeder Blickrichtung irgendwann ein Baum steht. Somit wäre der Nachthimmel so hell wie die Oberfläche eines
Sternes. Diese Problemfrage ist heute noch als Olbers’sches Paradoxon bekannt. Lösen
lässt es sich dadurch, dass das Universum nur ein begrenztes Alter besitzt und selbst bei
einer unendlichen räumlichen Ausdehnung aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit
nur Licht aus einem endlichen Bereich (der sogenannten Hubble-Sphäre) zum Beobachter
vordringen kann.
Zwar waren die Geschwister Caroline und Wilhelm Herschel bereits Ende des 18.
Jahrhunderts aufgrund ihrer detaillierten astronomischen Messungen in der Lage, die
Scheibenstruktur unserer Galaxie vorherzusagen, aber sie vermuteten die Erde in deren
Zentrum. Erst Harlow Shapley (1885 - 1972) konnte diese Annahme zu Beginn des
20. Jahrhunderts widerlegen, nachdem er festgestellt hatte, dass sich das Sonnensystem
rund zwei Drittel des Radius vom Zentrum der Milchstraße entfernt befindet.
Vesto Slipher (1875 - 1969) gelang als Erstem die Messung der Radialgeschwindigkeit von Galaxien und deren Rotation. Auch entdeckte er zuerst die Rotverschiebung in
den Lichtspektren der vermessenen Galaxien.
Im Jahr 1923 konnte der Astronom Edwin Hubble (1889 - 1953) erstmals den Randbereich der Andromedagalaxie M31 in Einzelsterne auflösen und nachweisen, dass sie weit
außerhalb unserer Milchstraße liegt und somit eine eigenständige Galaxie darstellt. Für
diese Messung nutzte er die Eigenschaften einer bestimmten Art von Sternen, den Cepheiden, die ihre Helligkeit periodisch ändern. Da die Pulsationsfrequenz auf die absolute
Helligkeit schließen lässt, war es möglich, über die scheinbare Helligkeit die Entfernung
zu errechnen. Hubble entdeckte im Jahr 1929 nach weiteren Untersuchungen der von Sli-
3
1 Kosmologische Weltbilder
pher entdeckten Rotverschiebung einen linearen Zusammenhang zwischen dieser und der
Entfernung. Dazu trug er die Geschwindigkeiten der Galaxien gegen deren Entfernung
auf, woraus sich das sogenannte Hubble-Diagramm ergibt. Hubbles damals erstelltes Diagramm ist in Abbildung 1.1 zu sehen. Die mathematische Formulierung dazu ist heute
Abbildung 1.1: Diagramm aus Hubbles Arbeit von 1929
als Hubble-Gesetz bekannte und lautet
cz = v = H0 r ,
(1.1)
wobei z die kosmologische Rotverschiebung und H0 die Hubble-Konstante als Proportionalitätsfaktor ist. Dieser lineare Zusammenhang gilt allerdings nur für kleine kosmische
Entfernungen. Hubbles Entdeckung, dass das Universum expandiert und nicht, wie bis
zu diesem Zeitpunkt vermutet, statisch ist, führte zu einem Paradigmenwechsel in der
Kosmologie des 20. Jahrhunderts.
1.3 Das kosmologische Prinzip
Aus den Weltmodellen der vergangenen Jahrhunderte hat sich eine Hypothese über die
Struktur des Universums als Ganzes entwickelt, welche heute die Grundlage der modernen Kosmologie bildet und als kosmologisches Prinzip bekannt ist. Dieses besagt, dass
sich die Erde, unser Sonnensystem und somit auch unsere Galaxie, an keinem besonderen Ort im Universum befinden. Dafür geht es von folgenden zwei Grundannahmen
aus:
• das Universum ist homogen. Das heißt, egal an welchem Punkt sich ein Beobachter
befindet, nimmt er im Mittel das Gleiche wahr. Das Universum ist also ortsunabhängig.
4
1 Kosmologische Weltbilder
• das Universum ist isotrop. Dies bedeutet, dass ein Beobachter im Mittel keinen
Unterschied wahrnimmt, egal in welche Richtung im Raum er blickt. Somit ist das
Universum richtungsunabhängig.
Beobachtungen der kosmischen Mikrowellenstrahlung bestätigen diese Annahmen. So
ist die Hintergrundstrahlung, nachdem man die Rotverschiebung durch die Pekuliarbewegung des Sonnensystems und der Galaxie herausrechnet, nahezu perfekt isotrop und
weicht nur um 0,001 % davon ab.
Das kosmologische Prinzip ist allerdings erst auf möglichst großen Skalen jenseits von
Größenordungen im Bereich von Megaparsec anwendbar, da man erst dann von einer im
Mittel gleichmäßigen Materieverteilung ausgehen kann. So ist die Materieverteilung im
Sonnensystem sehr ungleichmäßig. Betrachtet man dagegen z.B. großskalige Aufnahmen
wie das Hubble-Deep-Field, erscheinen die Galaxien sehr gleichmäßig im Universum verteilt.
5
2 Die Ausdehnung des Universums
Meine Vermutung ist, dass das Universum nicht nur seltsamer ist, als
wir uns vorstellen, sondern seltsamer als wir uns vorstellen können.
(J. B. S. Haldane)
Die Friedmann-Gleichung, welche die Expansion des Universums beschreibt und somit
eine der wichtigsten Gleichungen der Kosmologie darstellt, lässt sich nicht nur über
die allgemeine Relativitätstheorie herleiten, sondern auch in einer Newton’schen Näherung. Im weiteren Verlauf des Kapitels werden mittels der so gewonnenen FriedmannGleichung einige wichtige Grundlagen zur Ausdehnung des Universums untersucht, die
später noch eine wichtige Rolle spielen werden.
2.1 Die Friedmann-Gleichung in Newton’scher
Näherung
Laut Newtons Gravitationsgesetz ziehen sich zwei Massen M und m gegenseitig an und
die zwischen ihnen wirkende Kraft wird durch die Formel
Fgrav =
GM m
r2
(2.1)
beschrieben. G ist hierbei die Gravitationskonstante und r der Abstand zwischen den
beiden beteiligten Massen.
Die potenzielle Energie im Gravitationsfeld ist gegeben durch die Formel
Epot = −
GM m
.
r
(2.2)
Nun ist noch wichtig zu nennen, dass, wie bereits von Newton 1686 in seinem Werk
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen, nur die Masse innerhalb einer
zu betrachtenden sphärisch symmetrischen Masseverteilung einen Beitrag zur Gravitationskraft leistet. Dies ist auch als newton’sches Schalentheorem bekannt, bzw. in der
verallgemeinerten Version als Birkhoff-Theorem in der allgemeinen Relativitätstheorie.
Betrachtet man nun ein gleichförmig expandierendes Medium, dass die Massendichte
(Masse pro Volumen) % hat, beträgt die Masse einer beliebigen Kugel in diesem Medium unter der Annahme der Isotropie und Homogenität M = 34 πr3 %. Setzt man dies in
6
2 Die Ausdehnung des Universums
Gleichung (2.1) ein, folgt daraus
Fgrav =
4πGmr%
.
3
(2.3)
Die entsprechende potenzielle Energie nach Einsetzen in (2.2) ist daher
Epot = −
4πGmr2 %
.
3
(2.4)
Betrachtet man jetzt ein beliebiges Teilchen mit der Geschwindigkeit v, so ist dessen
kinetische Energie gegeben durch
1
1
dr
Ekin = mv 2 oder mṙ mit ṙ =
.
2
2
dt
(2.5)
Setzt man die Ergebnisse aus Gleichung (2.5) und Gleichung (2.4) in den Energieerhaltungssatz Eges = Ekin + Epot , folgt
1
4πGmr2 %
Eges = mṙ2 −
.
2
3
(2.6)
Aufgrund der Homogenität des angenommenen Mediums gilt die Gleichung (2.6) für den
Abstand zweier beliebiger Teilchen zueinander. Daher ist es sinnvoll, für den Abstand
mitbewegte Koordinaten einzuführen, die der Expansion des Mediums folgen. Der wirkliche Abstand der Teilchen ~r errechnet sich dann aus dem Produkt aus dem mitbewegten
Abstand ~x und dem sogenannten Skalenfaktor a(t):
~r = a(t)~x .
(2.7)
Veranschaulichen lässt sich dies durch ein Koordinatensystem, welches sich im Verlauf
der Zeit vergrößert. Die betrachteten Teilchen verharren während dieser Expansion an
den festen Punkten im ~x-Koordinatensystem. Somit sind während der Expansion die ~xAbstände gleich und nur durch den zeitabhängigen Skalenfaktor ist die Berechnung der
realen Abstände möglich. Beispielsweise führt eine Verdoppelung des Skalenfaktors zu
einer Verdoppelung der realen Abstände zwischen zwei Punkten, falls die beiden Punkte ihren mitbewegten Abstand nicht ändern (z.B. durch eine Pekuliargeschwindigkeit).
Nimmt man an, dass es sich bei dem Medium um das Universum handelt, beschreibt
der Skalenfaktor die Veränderung des Abstandes zwischen zwei Punkten innerhalb des
Universums, beispielsweise zwischen zwei Galaxien.
Setzt man nun die Gleichung (2.7) in Gleichung (2.6) ein, erhält man
4πGma2 x2 %
1
.
Eges = mȧ2 x2 −
2
3
7
(2.8)
2 Die Ausdehnung des Universums
Die Multiplikation mit 2/ma2 x2 auf beiden Seiten und die anschließende Substitution
von kc2 für −2Eges /mx2 führt nach einigen Umformungsschritten zur bekannten Standardform der Friedmann-Gleichung:
2
8πG
kc2
ȧ
(2.9)
=
%− 2
a
3
a
Auf diese Lösung stieß der russische Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann
im Jahr 1922, als er die Einstein’schen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie
untersuchte. Auch Albert Einstein fand bereits zuvor ähnliche Lösungen. Da sie aber
nur ein kollabierendes oder expandierendes Universum zuließen und Einstein davon ausging, dass das Universum statisch sei, erweiterte er seine Gleichungen um einen zusätzlichen Term, welcher die kosmologische Konstante Λ enthält. Damit sieht die FriedmannGleichung wie folgt aus:
2
8πG
kc2 Λc2
ȧ
=
%− 2 +
.
(2.10)
a
3
a
3
Die kosmologische Konstante ermöglicht, dass die anfänglichen Lösungen der Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie ein statisches Universum zulassen, das einen
zeitlich konstanten Skalenfaktor a besitzt. Sie wirkt somit wie ein Druck, der genau der
gravitativen Kontraktion oder Expansion entgegenwirkt und das Universum stabilisiert.
Nachdem in den 1920er Jahren vermehrt Hinweise auf ein nicht-statisches Universum
auftauchten, revidierte Einstein die Einführung von Λ.
Nachdem Einstein von Friedmanns Lösungen erfuhr, lehnte er diese zunächst ab und
erklärte sie für mathematisch falsch. Erst ein ehemaliger Studienkollege von Friedmann,
der Mathematiker und Physiker Juri Krutkow, konnte ihn von der Richtigkeit überzeugen. Daraufhin zog Einstein seine Aussage zurück und erkannte seinen Fehler.
Im Jahr 1927 entdeckte der belgische Priester und Physiker Georges Lemaître unabhängig von Friedmann dessen fünf Jahre zuvor gefundene Gleichungen. Lemaître versuchte
daraufhin seine theoretischen Ergebnisse mit den damals bekannten astronomischen Beobachtungen in Einklang zu bringen. So nutze er die Beobachtungsdaten von Slipher und
Hubble und die Entdeckung der Instabilität der Friedmann-Modelle und kam zu dem
Schluss, dass diese Daten einem expandieren Universum entsprachen, was letztendlich
zum heutigen Urknall-Modell führte.
Als im Jahr 1998 von den Astrophysikern Saul Perlmutter, Brian P. Schmidt und Adam
Riess bei Untersuchungen von Supernovae des Typs Ia in weit entfernten Galaxien entdeckt wurde, dass diese schwächer leuchteten als erwartet, schlossen sie daher, dass sie
weiter entfernt sind als gedacht. Daraus entwickelte sich die Theorie, dass das Universum
beschleunigt expandieren muss. Diese Entdeckung führte für die drei Forscher 2011 zum
Physik-Nobelpreis. Die beschleunigte Expansion wird der Theorie nach durch die Dunkle
Energie ausgelöst. Um dies zu erklären, wurde die kosmologische Konstante wieder eingeführt, welche beschreibt, wie die Dunkle Energie das Universum auseinander treibt.
8
2 Die Ausdehnung des Universums
(a) A. Friedmann
(b) A. Einstein
(c) G. Lemaître
Abbildung 2.1: Die Forscher hinter der Expansionstheorie des Universums aus den
1920er Jahren
Bis heute ist die Natur der Dunklen Energie nicht geklärt, so könnte sie beispielsweise
ein Effekt der Quantenfeldtheorie sein. Allerdings deuten aktuelle Forschungsergebnisse
darauf hin, dass über 68,4%1 der Energiedichte des Universums von ihr erzeugt werden.
Da die Effekte der kosmologischen Konstante für sehr frühe Zeiträume im Universum
unbedeutend sind, kann sie für die weiteren Berechnungen zur primordialen Nukleosynthese vernachlässigt werden.
2.2 Die kritische Dichte
Im Laufe der Expansion des Universums gibt es genau eine Dichte %krit , die auch als kritische Dichte bezeichnet wird, bei der keine Krümmung des Raums vorliegt. Sie lässt sich
leicht aus Gleichung (2.6) herleiten, wenn man fordert, dass sich die Bewegungsenergie
Ekin und das Gravitationspotential Epot genau ausgleichen:
4πGmr2 %
1
= 0.
Ekin + Epot = mṙ2 −
2
3
(2.11)
Berücksichtigt man ṙ = dr/dt = v und verwendet (1.1), ergibt sich
1
4πGmr2 %
8πG%
mH02 r2 −
=0 ⇒
= 1.
2
3
3H02
Nach % umgestellt, folgt:
%krit0
1
3H02
=
.
8πG
Quelle: Planck, 2015
9
(2.12)
(2.13)
2 Die Ausdehnung des Universums
Diese Dichte ist zeitabhängig, da sie eine Funktion von H0 ist und trotz der obigen
klassischen Herleitung über die Energie eines Testteilchens ist die Gleichung auch in
der relativistischen Kosmologie gültig. Dadurch, dass H(t) zu unterschiedlichen Zeitpunkten unterschiedliche Werte annimmt, ergibt sich zu jedem Zeitpunkt der Entwicklung des Universums eine charakteristische kritische Dichte. Der heutige Wert liegt bei
≈ 10−27 g m−3 . Diese Dichte entspricht ungefähr einem Atom pro Kubikmeter im Universum oder einer durchschnittlichen Galaxie pro Mpc3 . Im Vergleich zu den irdischen
Dichten hat sie somit einen extrem geringen Wert.
2.3 Die Friedmann-Gleichung in dimensionsloser
Darstellung
Betrachtet man nun den Dichteparameter % aus Gleichung (2.9) noch einmal und stellt
ihn als Summe der heutigen Dichte der Materie (%m0 ) und der Strahlung (%r0 ) dar, ergibt
sich folgender Ausdruck:
%m0 %r0
(2.14)
%= 3 + 4 .
a
a
Die dritte Potenz des Skalenfaktors a bei der Materiedichte besagt, dass diese bei der
räumlichen Ausdehnung des Universums um den Faktor a−3 abnimmt. Die Anzahldichte
der Photonen nimmt auch um den Faktor a−3 ab, aber da die Photonen auf ihrem Weg
zudem eine Rotverschiebung erfahren, die eine Abnahme um a−1 zur Folge hat, ergibt
sich insgesamt eine Abnahme der Strahlungsdichte um den Faktor a−4 .
Setzt man dieses Ergebnis in die ursprüngliche Friedmann-Gleichung (2.9) ein und erweitert die rechte Seite um H02 , ergibt sich daraus:
2
kc2 2
8πG 2 %m0 %r0 ȧ
H
+
−
H .
=
a
3H02 0 a3
a4
a2 H02 0
(2.15)
Untersucht man die obige Gleichung, dann lässt sich feststellen, dass der Term 8πG/3H02
den Kehrwert einer Dichte darstellt. Dies ist die so genannte kritische Dichte %krit , welche in Abschnitt 2.2 genauer beschrieben wurde.
Definiert man nun die dimensionslosen Terme
Ωm0 :=
%m0
,
%krit0
(2.16)
Ωr0 :=
%r0
und
%krit0
(2.17)
Ωk0 :=
kc2
,
H0 2
(2.18)
10
2 Die Ausdehnung des Universums
lässt sich die Friedmann-Gleichung (2.15) umschreiben zu
2
ȧ
Ωm0 Ωk0
2 Ωr0
= H0
+ 3 − 2 .
a
a4
a
a
(2.19)
Je früher der Zeitpunkt ist, zu dem man das Universum betrachtet, desto kleiner wird
der Skalenfaktor a. Damit ist in der obigen Gleichung leicht zu erkennen, dass zuerst
der Krümmungsparameter Ωk0 /a2 und danach der Materiedichteparameter Ωm0 /a3 vernachlässigbar klein werden, da der Strahlungsdichteparameter Ωr0 /a4 die anderen beiden
überwiegt.
Für das sehr frühe Universum gilt also:
Ωm0
Ωr0
Ωk0
3 4 .
2
a
a
a
2.4 Die Geometrie des Universums
Der zuvor als Variable substituierte Krümmungsparameter k in der Newton’schen Näherung der Friedmann-Gleichung (2.9) stellt im klassischen Sinne die Energie pro Teilchen
dar, während er in der Allgemeinen Relativitätstheorie die Krümmung des Raumes wiedergibt. Diese Krümmung des dreidimensionalen Raums wird durch die in ihm enthaltenen Massen hervorgerufen. Im Folgenden werden die drei global in Frage kommenden
Geometrien untersucht.
2.4.1 Die euklidische Geometrie
Entspricht die tatsächliche Dichte des Universums zur Zeit t nun genau der kritischen
Dichte
%ges
=1
(2.20)
Ωges :=
%krit
ist k = 0. Dann wird die Geometrie der Raumzeit als f lach oder genauer als euklidisch
bezeichnet. Diese Art der Geometrie ist uns auf der Erde am vertrautesten und wurde
bereits von Euklid vor rund 2300 Jahren beschrieben. So ist dort die kürzeste Entfernung
zwischen zwei Punkten eine Gerade, die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt genau
180◦ und der Umfang eines Kreises mit dem Radius r beträgt genau 2πr. Der Abstand
zweier paralleler Geraden in der euklidischen Geometrie ändert sich nicht und ist immer
gleich, weder konvergieren sie, noch divergieren sie daher.
Nach aktuellen Forschungsergebnissen ist unser Universum als flach anzusehen, das
heißt, die globale Dichte entspricht genau der kritischen Dichte. Ist dies wirklich der
Fall, ist unser Universum als unendlich ausgedehnt zu betrachten, da ein Rand dem kosmologischen Prinzip widersprechen würde. Allerdings ist diese Aussage nach aktuellen
Forschungsergebnissen der Topologie und der Differenzialgeometrie nicht ganz korrekt.
11
2 Die Ausdehnung des Universums
So ist es durchaus möglich, dass ein Torus mit einer bestimmten f raktalen Struktur
eine flache Geometrie aufweist.2
2.4.2 Die sphärische Geometrie
Die zweite mögliche Geometrie ist die sphärische Geometrie. Sie liegt bei einer Dichte
vor, die größer als die kritische Dichte (Ωges > 1 oder k > 0) ist. Sie ist vor allem für
geometrische Betrachtungen der Erde, also z.B. der Kartografie oder der Himmelssphären, relevant.
Im zweidimensionalen Anschauungsraum entspricht sie der Oberfläche einer Kugel. Die
zuvor genannten Eigenschaften der euklidischen Geometrie gelten hier nicht mehr. So
ist die Winkelsumme eines Dreiecks stets größer als 180◦ und der Umfang eines Kreises
größer als 2πr. Zwei ursprünglich parallel verlaufende Geraden werden hier als Großkreise bezeichnet, laufen unweigerlich aufeinander zu und schneiden sich. Dies kennt man
von der Erde durch die Längenkreise. Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten
ist nun keine Gerade mehr, sondern wird durch Kreisbögen, die so genannten Geodäten,
beschrieben.
Besitzt nun das Universum eine solche Geometrie, ähnlich der Oberfläche der Erde,
ist es endlich, aber räumlich unbegrenzt. Ein Reisender, der in eine bestimmte Richtung gradlinig aufbricht, landet irgendwann wieder an seinem Startpunkt. Ein solches
Universum wird auch als geschlossen bezeichnet.
2.4.3 Die hyperbolische Geometrie
Die dritte Möglichkeit ist die hyperbolische Geometrie. Sie lässt sich am ehesten als
sattelförmige Oberfläche im zweidimensionalen Anschauungsraum beschreiben und tritt
auf, wenn die Dichte geringer als die kritische Dichte (Ωges < 1 oder k < 0) ist.
Auch sie erfüllt nicht die Forderungen der Postulate von Euklid. So ist der Kreisumfang hier kleiner als 2πr und die Winkelsumme von Dreiecken ist immer kleiner als 180◦ .
Zwei parallele Linien laufen in der hyperbolischen Geometrie auf ewig auseinander. Ähnlich dem flachen Universum ist ein hyperbolisches Universum unendlich groß und wird
daher auch als offenes Universum bezeichnet.
Die drei möglichen Geometrien des Universums sind in Abbildung 2.2 dargestellt.
2
Vgl. Spektrum der Wissenschaft 01.2015 - „Glatte Fraktale“ - Seite 44 bis Seite 52
12
2 Die Ausdehnung des Universums
Abbildung 2.2: Zweidimensionale Darstellung der möglichen Geometrien
2.5 Materie-Strahlungs-Gleichheit
Fordert man, dass die Materiedichte und die Strahlungsdichte gleich sein sollen, also:
Ωm0 ! Ωr0
= 4 ,
a3eq
aeq
ist dies bei einem Skalenfaktor
Ωr0
(2.21)
Ωm0
der Fall. Wie sich später zeigen wird, findet die primordiale Nukleosynthese bei a aeq
statt.
aeq =
2.6 Das Alter des Universums
2.6.1 Lösung für die strahlungsdominierte Ära
Für sehr frühe Phasen des Universums, in denen die Friedmann-Gleichung durch die
Ergebnisse der Eigenschaften von (2.19) zu frühen Zeitpunkten zu
2
ȧ
2 Ωr0
≈ H0
.
(2.22)
a
a4
13
2 Die Ausdehnung des Universums
vereinfacht ist, lässt sich das Alter des Universums für den Fall a aeq zu einem bestimmten Skalenfaktor wie folgt berechnen:
Zuerst bildet man das Integral von Null bis t über t0 und stellt dieses um:
Z
Z
Z a
Z t
da
da
da0
0
dt =
=
=
t=
0
da/dt
ȧ
0 aH
0
Nach dem Einsetzen von Gleichung (2.22) für H im letzten Integral folgt daraus:
Z a
da0
√
t=
.
(2.23)
1
0
0 a H0 Ωr0 a0 2
Dieses Integral lässt sich einfach lösen:
Z a
1
a2
1
√
√
a0 da0 =
.
t=
H0 Ωr0 0
H0 Ωr0 2
Somit beträgt die Zeit t bei gegebenem Skalenfaktor a:
a2
√
t=
.
2H0 Ωr0
(2.24)
(2.25)
2.6.2 Lösung für die materiedominierte Ära
Während der frühen materiedominierten Ära vereinfacht sich die Friedmann-Gleichung
zu
2
Ωm0
ȧ
2 Ωr0
≈ H0
+ 3 .
(2.26)
a
a4
a
Durch eine weitaus umfangreichere Rechnung als die für die strahlungsdominierte Ära
ergibt sich
i
hp
2
2
√
t=
a + aeq (a − 2aeq ) + 2aeq 3
(2.27)
3H0 Ωm0
als Lösung.
2.6.3 Übergangszeitpunkt von Strahlungsdominanz zur
Materiedominanz
Durch Einsetzen von (2.21) in (2.27) lässt sich der Zeitpunkt berechnen, an dem die
Strahlungsphase in die Materiephase übergeht:
hp
i 2(2 − √2) Ω 23
2
2
r0
√
√
2aeq (−aeq ) + 2aeq 3 =
.
(2.28)
t(aeq ) =
3H0 Ωm0
3H0 Ωm0 Ωm0
Nach dem Einsetzen der kosmologischen Parameter ergibt sich für den Übergang ein
Zeitpunkt ca. 50.000 Jahre nach dem Urknall. Dieses Ergebnis wird später bei der qualitativen Betrachtung der primordialen Nukleosynthese noch wichtig sein, da diese in
einem deutlich früheren Zeitraum stattgefunden hat und somit lediglich die Strahlungsdichte zur Berechnung zu berücksichtigen ist.
14
2 Die Ausdehnung des Universums
2.7 Die Temperatur im sehr frühen Universum
Bei näheren Untersuchungen der kosmischen Hintergrundstrahlung wurde festgestellt,
dass es sich dabei um eine fast perfekte Schwarzkörperstrahlung handelt. Deren Energiedichte ist proportional zu T 4 und a−4 . Daraus folgt, dass die Temperatur T ∝ a−1
ist. Somit ist
T0
T0
=⇒ a =
,
(2.29)
T =
a
T
wobei T0 ≈ 2, 726 K beträgt.
Setzt man nun die erhaltene Gleichung (2.29) in Gleichung (2.24) ein, erhält man:
t=
T0
T
2
1
√
.
2H0 Ωr0
(2.30)
Dies lässt sich durch Umstellen und Ziehen der Quadratwurzel nach der Temperatur
auflösen:
1
T0
√ .
(2.31)
T =p
√
2H0 Ωr0 t
Mit dieser Formel lässt sich nun die Temperatur in der strahlungsdominierten Ära des
Universums zu einer gegebenen Zeit t berechnen.
2.8 Das Mengenverhältnis von Strahlung zu Materie
2.8.1 Anzahldichte der Photonen im Universum
Eine weitere, später sehr wichtige Größe ist die Anzahldichte der Photonen im Universum. Sie lässt sich mit Hilfe der Quantenstatistik aus der kosmischen Hintergrundstrahlung ermitteln. Dort ist die Anzahldichte nγ gegeben als:
ζ(3)
nγ = 2 2
π
kB T
h̄c
3
.
(2.32)
Hier ist ζ die Riemann’sche Zeta-Funktion, kB die Boltzmann-Konstante der Thermodynamik und h̄ das um 2π reduzierte Plank’sche Wirkungsquantum h. Nach Einsetzen
des bekannten Wertes von 2,726 K für die Temperatur T der kosmischen Hintergrundstrahlung, ergibt sich eine Photonendichte im Universum von rund 405 Photonen pro
cm3 .
2.8.2 Anzahldichte der Baryonen
Auch die Anzahldichte der Baryonen lässt sich leicht für das Universum berechnen.
Ausgehend von der kritischen Dichte und dem bekannten Dichteparameter ΩB0 der baryonischen Materie von ungefähr 0,049 lässt sich mit der Masse des häufigsten Baryons,
15
2 Die Ausdehnung des Universums
des Protons, die Anzahldichte nB0 bestimmen:
ΩB0 =
%B0
=⇒ %B0 = %cr0 ΩB0
%cr0
(2.33)
%cr0 ΩB0
mp
(2.34)
nB0 =
Dies ergibt einen Wert von ≈ 2, 5 · 10−7 Baryonen pro cm3 .
2.8.3 Das Baryonen-Photonen-Verhältnis
Nun lässt sich aus den beiden oben erhaltenen Anzahldichten das Verhältnis η von
Baryonen zu Photonen berechnen. Es ergibt sich aus:
η=
nB
2, 5 · 10−7
≈
≈ 6, 17 · 10−10 .
nγ
405
(2.35)
Während der Expansion des Universums verhalten sich die Anzahldichten der Photonen
und der Baryonen proportional zu r−3 , also genau in dem Maße, wie sich das Raumvolumen vergrößert. Allerdings verändert sich zusätzlich die Photonenenergie durch die
Expansion proportional zu r−1 . Daher ist das Verhältnis η zu jeder Zeit eine Konstante,
da im Zuge der Expansion keine Teilchen erzeugt oder vernichtet werden.
Der berechnete Wert ist dahin gehend auffallend, da er angibt, dass es pro Baryon jeweils
ungefähr 1, 6 · 109 Photonen gibt, was eine überraschend hohes Verhältnis darstellt. Für
die späteren Betrachtungen zur primordialen Nukleosynthese und der Baryogenese wird
dieses Ergebnis noch von großer Bedeutung sein.
16
3 Grundlagen der Thermodynamik
Thermodynamik ist ein komisches Fach. Das erste Mal, wenn man sich damit
befasst, versteht man nichts davon. Beim zweiten Durcharbeiten denkt man,
man hätte nun alles verstanden, mit Ausnahme von ein oder zwei kleinen
Details. Das dritte Mal, wenn man den Stoff durcharbeitet, bemerkt man, dass
man fast gar nichts davon versteht, aber man hat sich inzwischen so daran
gewöhnt, dass es einen nicht mehr stört.
(Arnold Sommerfeld)
Für die späteren Betrachtungen der primordialen Nukleosynthese sind vor allem zwei Ergebnisse der statistischen Thermodynamik zu berücksichtigen. Dies sind der BoltzmannFaktor und die Zustandssumme, welche zwei sehr mächtige physikalische Werkzeuge
darstellen.
3.1 Die mittlere thermische Energie
Es ist möglich, die mittlere thermische Energie eines Teilchens aus der Temperatur des
umgebenden Mediums zu berechnen. Durch die universelle Boltzmann-Konstante kB , die
als Proportionalitätsfaktor fungiert, ergibt sich für die thermische Energie die Gleichung
Etherm = kB T .
(3.1)
3.2 Der Boltzmann-Faktor
Aus der klassischen Mechanik ist seit Newton bekannt, dass die Beschleunigung einer
Masse eine Kraft erfordert:
m~x¨ = F~ .
(3.2)
Um eine solche Bewegungsgleichung, die mathematisch eine Differentialgleichung zweiter
Ordnung darstellt, nun aber lösen zu können, müssen bestimmte Anfangsbedingungen
gegeben sein. Diese sind in diesem Fall (~x, ~x˙ ), ausgewertet zu einem bestimmten Zeitpunkt. Alternativ lässt sich die Gleichung auch mit den Anfangsbedingungen (~x, p~) lösen,
da der Impuls p~ als p~ = m~v definiert ist. Es müssen also der Ort und die Geschwindigkeit, oder alternativ der Ort und der Impuls eines Teilchens vorgegeben sein, damit man
den weiteren Verlauf der Bewegung vorhersagen kann.
17
3 Grundlagen der Thermodynamik
Nun kann man den Begriff des Phasenraumes einführen. Der Phasenraum stellt in diesem einfachen Beispiel ein Koordinatensystem dar, in dem der Impuls p~ auf die vertikale
Achse und der Ort ~x auf die horizontale Achse aufgetragen werden.
p~
(~x1 , p~1 )
~x
0
0
Führt man im Phasenraum den sogenannten Boltzmann-Faktor ein, kann man mit diesem beschreiben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen bei (~x, p~) zu finden:
E(~
x,~
p)
E(~x, p~)
− k T
B
oder exp −
e
.
(3.3)
kB T
In der klassischen Thermodynamik werden die Teilchen eines idealen Gases als vernachlässigbar klein angenommen und können sich frei bewegen. Das heißt, dass, außer bei
Stößen, keinerlei Kräfte auf sie wirken. Stöße zwischen den Teilchen müssen allerdings
möglich sein, da sich sonst kein thermisches Gleichgewicht einstellen könnte.
Bei der Betrachtung von freien Gasteilchen ist E die kinetische Energie, die sich auch
als
2
m p~
p~ 2
1
2
=
Ekin = m~v =
2
2 m
2m
darstellen lässt. Daraus folgt als Boltzmann-Faktor für freie Gasteilchen
p~ 2
exp −
.
2mkB T
(3.4)
3.3 Die Zustandssumme
Ein bestimmter Punkt mit den Komponenten (~x, p~) im Phasenraum wird nun als Zustand
bezeichnet. Die Zustandssumme Z ist als als Summe über alle erlaubten BoltzmannFaktoren in diesem Phasenraum definiert. Dafür bildet man das Integral
ZZZ
E(~x, p~)
d3 x d3 p ,
(3.5)
Z=
exp −
kB T
das sich in einer aufwändigen Rechnung zu
Z = V N (2πmkB T )3N/2
18
(3.6)
3 Grundlagen der Thermodynamik
lösen lässt. In dieser Gleichung steht V für das zu betrachtende Volumen und N für die
Anzahl an Teilchen.
Aus (3.6) ergibt sich durch weitere thermodynamische Betrachtungen die EinteilchenZustandssumme für klassische Teilchen eines idealen Gases
(2πmkB T )3/2
mc2 − µ
.
(3.7)
Z = gV
exp −
(2πh̄)3
kB T
Hier ist
g = 2s + 1
(3.8)
der sogenannte Spin-Entartungsfaktor, der sich daraus ergibt, dass jeder Zustand durch
g Teilchen besetzt werden kann, sofern diese den Spin s haben, und µ ist das chemische
Potential. Dieses ist nötig, da eine Änderung der Teilchenzahl Energie erfordern oder freisetzen kann. Zudem erfolgt hier eine zusätzliche Normierung durch die Heisenberg’sche
Unschärferelation mittels (2πh̄)3 , welche das Volumen einer Zelle im Phasenraum angibt.
3.4 Die Helmholtz’sche freie Energie
Die Helmholtz’sche freie Energie ist die Energie, bei der sich ein System bei gegebener
Temperatur und bei gegebenem (und festem) Volumen im thermischen Gleichgewicht
befindet. Im Gleichgewichtszustand nimmt die freie Energie den kleinstmöglichen Wert
an. Sie hängt nur von der Temperatur und den Teilchenzahlen ab, welche die einzigen
freien Parameter sind und ist definiert als:
F = −kB T ln Z .
(3.9)
Hieraus lässt sich durch Differenzierung nun beispielsweise einfach das ideale Gasgesetz
ableiten:
∂
3N
1
∂F
−
=−
−kB T N ln V +
ln(2πmkB T )
= kB T N = P .
(3.10)
∂V
∂V
2
V
19
4 Protonen und Neutronen
In der Wissenschaft brauchen wir vor allem Fantasie.
Es geht nicht nur um Mathematik oder Logik,
sondern ein wenig auch um Schönheit und Poesie.
(Maria Mitchell)
4.1 Aufbau von Protonen und Neutronen
Die Protonen und Neutronen, welche auch als Nukleonen bezeichnet werden, da sie die
Bestandteile von Atomkernen sind, gehören zur Klasse der Hadronen, da sie der starken
Wechselwirkung unterliegen.
In den späten 60er Jahren entwickelten die Wissenschaftler Murray Gell-Mann, George Zweig und André Petermann die Theorie der Quarks. Nach dieser Theorie sind
die Nukleonen aus Quarks aufgebaut, die dann die elementaren und nicht weiter teilbaren Teilchen darstellen. Spätere Experimente in Teilchenbeschleunigern bestätigten
diese Hypothese und bis heute gilt die Theorie der Quarks als bestätigt. Sie ist fester
Bestandteil des Standardmodells der Teilchenphysik. Nach diesem gibt es sechs verschiedene Arten von Quarks, die sogenannten Flavours. Teilchen, die aus Quarks aufgebaut
sind, werden auch als Baryonen bezeichnet, somit gilt dies auch für die Nukleonen.
Des Weiteren bestehen die Protonen und Neutronen zusätzlich zu den Quarks aus Gluonen. Diese Teilchen übermitteln die starke Wechselwirkung und sorgen somit für die
Stabilität der Nukleonen. Ihr Name stammt von dem englischen Wort „glue“, welches
ihre Funktion als Klebstoff untermalen soll. Durch die starke Wechselwirkung werden
auch die Nukleonen untereinander zusammengehalten und stabile Atomkerne ermöglicht. Theoretisch ist dies in der Quantenchromodynamik beschrieben.
Die im Universum vorhandene Materie ist nur aus zwei der 6 verschiedenen Arten von
Quarks aufgebaut, den Up- und Down-Quarks. Das Up-Quark besitzt eine Ladung von
+2/3 e und das Down-Quark −1/3 e. Damit ein Proton die bekannte Ladung von +1
besitzen kann, ist es aus zwei Up- und einem Down-Quark und das Neutron aus zwei
Down- und einem Up-Quark aufgebaut. Dies ist in Abbildung 4.1 dargestellt.
20
4 Protonen und Neutronen
u u
u d
d
d
(a) Aufbau des Protons
(b) Aufbau des Neutrons
Abbildung 4.1: Der Quark-Aufbau der Nukleonen
4.2 Der Beta-Zerfall und der Zerfall freier Neutronen
Da die Nukleonen jedoch auch der schwachen Wechselwirkung unterliegen, können sie
aufgrund dieser zerfallen. Ein Beispiel dafür ist der β − -Zerfall, bei dem sich ein Neutron
in ein Proton umwandelt. Dabei wird die schwache Wechselwirkung durch ein W-Boson
vermittelt und führt dazu, dass sich ein Down-Quark in ein Up-Quark umwandelt und
dabei ein Elektron e− und ein Antineutrino v̄e freisetzt, die dann den Kern verlassen.
Das Feynman-Diagramm der Reaktion ist in Abbildung 4.2 dargestellt.
Abbildung 4.2: Feynman-Diagramm des β − -Zerfalls
Freie Neutronen haben, anders als gebundene Neutronen oder Protonen, eine begrenzte
21
4 Protonen und Neutronen
Lebensdauer und zerfallen gemäß dem β − -Zerfall nach einer mittleren Lebensdauer τ
von ≈ 880 Sekunden1 . Die mittlere Lebensdauer lässt sich mit
τ ln 2 = λ1/2
(4.1)
in die Halbwertszeit λ1/2 umrechnen. Daraus ergibt sich eine Halbwertszeit des Neutrons
von rund 610 Sekunden. Diese Zeit gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte der ursprünglichen freien Neutronen zerfallen ist. Die mittlere Lebensdauer hingegen gibt an, wann
noch der Bruchteil von 1/e ≈ 0, 368 der Teilchenzahl vorhanden ist. Bei einer Teilchenzahl N0 beim Start der Zerfallsreaktion, kann man mittels
N = N0 exp(−λ1/2 t)
(4.2)
berechnen, wie viele Teilchen N im Mittel nach der Zeit t übrig sind.
1
Quelle: Particle Data Group (http://pdg.lbl.gov/2015/AtomicNuclearProperties/neutron.
html)
22
5 Die primordiale Nukleosynthese
Daher endet die Erforschung des Weltraums im Ungewissen ... Irgendwann
erreichen wir einen schwachen Rand - dort am Ende der Sehweite unserer
Teleskope. Dort messen wir Schatten und suchen in trügerischen Messfehlern
nach Orientierungspunkten, die kaum noch Substanz haben.
(Edwin Hubble)
Für die Fusion von Atomkernen im sehr jungen Universum, der sogenannten primordialen Nukleosynthese, ist es notwendig, die gegenseitige elektrostatische Abstoßung der
Kernbausteine zu überwinden, um diese in eine so geringe Entfernung zu bringen, dass
sie durch die starke Wechselwirkung zusammen gehalten werden können. Dies ist in einer Umgebung mit einer sehr hohen Temperatur möglich, wie man sie kurz nach dem
Urknall vorfindet. Sobald die Bedingungen dafür passend sind, finden eine Reihe von
Reaktionen innerhalb kürzester Zeit statt, die im Folgenden dargestellt werden.
5.1 Protonen und Neutronen im thermischen
Gleichgewicht
Bis zu einer thermischen Energie Etherm ≈ 109 eV oder 1 GeV entstehen sowohl Protonen
als auch Neutronen im frühen Universum. Sie gehen im Wesentlichen aus der vorhandenen Strahlung hervor und befinden sich im thermischen Gleichgewicht. Diese Energie
entspricht ungefähr der Ruhemasse der beiden Teilchen, wie im vorherigen Kapitel dargestellt. Nach (3.1) entspricht diese Energie einer Temperatur von ≈ 1013 K. Zu dieser
Zeit war das Universum rund 10−5 Sekunden alt.
Sinkt nun die Temperatur unter ≈ 1013 K können sich keine Nukleonen mehr bilden, da
ihre Ruhemasse größer als die zur Verfügung stehende thermische Energie ist. Aufgrund
der schwachen Wechselwirkung finden nun verschiedene Kernreaktionen statt, so z.B.:
n ⇒ p + e− + v e
(5.1)
p + e− ⇔ n + ve
(5.2)
n + e+ ⇔ p + v e
(5.3)
Es gilt zu berücksichtigen, dass die Reaktion (5.2) nur stattfinden kann, solange die kinetischen Energien des Protons und des Elektrons zusammen größer sind als die Ruhemasse
23
5 Die primordiale Nukleosynthese
des Neutrons. Diese beträgt rund 0,8 MeV/c2 , wobei die Masse des hier entstehenden
Neutrinos zu vernachlässigen ist.
Diese Massendifferenz entspricht einer Temperatur von ≈ 9 · 109 K. Aus den thermodynamischen Überlegungen aus Kapitel 3 und der Gleichung (3.4) folgt die Wahrscheinlichkeit, ein Neutron oder Proton bei einer bestimmten Temperatur zu finden, durch
3
mn c2
2
(5.4)
nn ∝ (mn ) exp −
kB T
und
mp c2
np ∝ (mp ) exp −
.
kB T
Das Verhältnis f von Neutronen zu Protonen ist somit gegeben als:
3
3
(mn − mp )c2
∆
nn
mn 2
mn 2
exp −
exp −
f :=
=
=
np
mp
kB T
mp
kB T
3
2
(5.5)
(5.6)
mit ∆ = 1,29 MeV / c2 , also genau der Massendifferenz zwischen Proton und Neutron.
Nach Einsetzen der bekannten Werte ergibt sich ein Verhältnis am Ende des thermischen
Gleichgewichts von
1
(5.7)
f≈ .
5
Wenn das Universum nun durch die Expansion auf eine niedrigere Temperatur als ungefähr 9 · 109 K abgekühlt ist, können keine Neutronen mehr entstehen. Das Verhältnis
von Protonen zu Neutronen ändert sich ab diesem Moment nur noch durch den Zerfall
der Neutronen und die ursprüngliche Gleichgewichtsreaktion friert aus. Das Universum
ist zu diesem Zeitpunkt inzwischen rund eine Sekunde alt.
5.2 Die Deuterium-Fusion
Nun finden zwei Prozesse statt, die maßgeblich den weiteren Verlauf der Nukleosynthese beeinflussen. Zum einen zerfallen mit Fortschreiten der Zeit immer mehr der freien
Neutronen nach (5.1). Zum anderen findet zwischen den Protonen und den Neutronen
die Fusion zu Deuteronen, den Kernen des Deuteriums, und Photonen statt:
p+n⇔D+γ.
(5.8)
Vereinfacht könnte man nun erwarten, dass die Deuteronen nicht weiter durch die energiereichen Photonen zerstört werden, sobald deren durchschnittliche Energie unter die
Bindungsenergie der Deuteronen von 2,225 MeV fällt. Allerdings überwiegt die Anzahldichte der Photonen die der Baryonen bei weitem, wie in (2.35) festgestellt wurde. Deswegen gibt es im Energiespektrum der Photonen selbst bei einer durchschnittlichen Energie
kleiner als 2,225 MeV noch genügend energiereiche Photonen, die die Deuteronen weiterhin zerstören können. Daher ist nun die Temperatur im Universum gesucht, bei welcher
eine genügend große Anzahl an Deuteronen erhalten bleibt, um die weiteren Fusionen
der Nukleosynthese zu ermöglichen.
24
5 Die primordiale Nukleosynthese
5.2.1 Das Minimum der Helmholtz’schen freien Energie
Um eine Gleichung für das Verhältnis von Deuterium zu den ungebundenen Protonen zu
erhalten, gilt es nun zuerst die Helmholtz’sche freie Energie im betrachteten System zu
minimieren, da sie im Gleichgewichtszustand ihr Minimum annimmt. Die freie Energie
ist wie in (3.9) durch F = −kB T ln Z gegeben und die gesamte Zustandssumme ist
N
Z=
ND
Zp p ZnNn ZD
,
Np !Nn !ND !
(5.9)
wobei Zp,n,D den jeweiligen Einteilchen-Zustandssummen der Teilchenarten und Np,n,D
ihren jeweiligen Anzahlen entspricht. Die freie Energie ist hier nur von der Temperatur
T und den Teilchenzahlen Np,n,D abhängig, da es die einzigen freien Parameter dieser
Gleichung sind. Die Temperatur im frühen Universum ist jedoch durch den Verlauf der
kosmischen Expansion festgelegt und verhält sich gemäß Gleichung (2.31).
Das Minimum der freien Energie lässt sich bestimmen, indem man sie nach einer der
Teilchenzahlen ableitet und fordert, dass das Ergebnis gleich Null ist:
∂F !
= 0.
∂Np
(5.10)
Da die Teilchenzahlen voneinander abhängig sind, ist die Wahl der abzuleitenden Teilchenart frei, da es jeweils zum selben Ergebnis führt.
Weil die jeweiligen Fakultäten der Teilchenzahlen sehr große Werte annehmen, kommt
die Stirling’sche Näherungsformel
ln N ! ≈ N ln N − N
(5.11)
zum Einsatz. Mittels Anwendung von (5.11) auf (5.9), ergibt sich (5.10) zu
ln Zp − ln Np +
∂ND
∂Nn
(ln Zn − ln Nn ) +
(ln ZD − ln ND ) = 0 .
∂Np
∂Np
(5.12)
5.2.2 Die Teilchenzahlen während der primordialen
Nukleosynthese
Die Gesamtzahl der Baryonen NB im Universum ist nach der klassischen Kosmologie
und dem Standardmodell der Teilchenphysik eine Erhaltungsgröße und somit zu jeder
Zeit konstant. Daraus ergibt sich
NB = Np + Nn + 2ND = konst .
(5.13)
Berücksichtigt man das Verhältnis f der Protonen und Neutronen zu Beginn der Deuteriumfusion aus Abschnitt (5.1), zeigt sich, dass die Gesamtzahlen der freien Protonen
ep,n
und Neutronen Np,n , bzw. der gebundenen Protonen und Neutronen N
en = f (Np + N
ep )
Nn + N
25
(5.14)
5 Die primordiale Nukleosynthese
beträgt. Da alle gebundenen Nukleonen in Deuteriumkernen vorliegen und diese aus
jeweils einem Proton und einem Neutron bestehen, ergibt sich für deren Anzahlen daraus
en = N
ep = ND .
N
(5.15)
Nn = f Np + ND (f − 1) .
(5.16)
Mittels (5.15) ergibt sich aus (5.14)
Setzt man dieses Ergebnis in (5.13) ein, folgt für die Gesamtzahl der Baryonen
NB = Np + ND + f (Np + ND ) = (1 + f )(Np + ND ) .
(5.17)
Die Anzahl der Deuteriumkerne ergibt sich aus (5.17) zu
ND =
NB
− Np
1+f
und für die Anzahl der Neutronen folgt mittels Einsetzen von (5.18) in (5.16)
NB
1−f
Nn = f Np + (f − 1)
− Np = Np −
NB .
1+f
1+f
(5.18)
(5.19)
Bildet man nun die Ableitung von Np nach ND
und von Nn nach NP
∂ND
= −1
∂Np
(5.20)
∂Nn
= f − (f − 1) = 1 ,
∂Np
(5.21)
sind die Ergebnisse leicht nachvollziehbar. Denn für jedes Proton, welches in einem Deuteriumkern gebunden wird, muss auch ein Neutron in diesen Kern einfließen und am
Ende eben dieser Deuteriumkern übrig bleiben.
5.2.3 Die Saha-Gleichung der Deuterium-Fusion
Nutzt man die zuvor gewonnenen Ergebnisse (5.20) und (5.21), ergibt sich Gleichung
(5.12) zu
ln Zp − ln Np + ln Zn − ln Nn − ln ZD + ln ND = 0 .
(5.22)
Nach Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten und anschließender Umformung mittels der Potenzgesetze ergibt sich daraus
Zp Zn
Np Nn
=
.
ND
ZD
26
(5.23)
5 Die primordiale Nukleosynthese
Mittels (5.18) und (5.19) lässt sich die linke Seite der Gleichung umformen zu
1−f
N
N
−
N
p
p
1+f B
Np ((1 + f )Np − (1 − f )NB )
Np Nn
=
=
.
NB
ND
N
−
(1
+
f
)N
−
N
B
p
p
1+f
(5.24)
Definiert man nun noch χ als den Anteil der freien Protonen
χ :=
Np
,
NB
(5.25)
vereinfacht sich (5.24) zu
Np Nn
(1 + f )χ2 − (1 − f )χ
= NB
.
ND
1 − (1 + f )χ
(5.26)
Damit erhält man schließlich aus (5.23) die Bedingungsgleichung
NB
(1 + f )χ2 − (1 − f )χ
Zp Zn
=
.
1 − (1 + f )χ
ZD
(5.27)
Um die rechte Seite von (5.27) zu berechnen, muss man die jeweiligen Zustandssummen der Teilchenarten genauer betrachten. Die Einteilchen-Zustandssumme für klassische Teilchen eines idealen Gases lautet, wie bereits in Gleichung (3.7) im Abschnitt
(3.3) dargestellt,
(2πmkB T )3/2
mc2 − µ
Z = gV
exp −
.
(5.28)
(2πh̄)3
kB T
Für das chemische Potential µ der Reaktion p + n *
) D gilt im Reaktionsgleichgewicht
µp + µn − µD = 0 ,
(5.29)
denn das ist eine Bedingung dafür, dass eine chemische Reaktion abläuft. Führt man
zudem ϕD als die Bindungsenergie des Deuteriumkerns
ϕD = (mp + mn − mD ) c2 = 2, 225 MeV
(5.30)
ein, ergibt sich die rechte Seite von (5.23) zu
gp gn
Zp Zn
=V
ZD
gD
mp mn
mD
3/2 kB T
2πh̄2
3/2
ϕD
exp −
,
kB T
(5.31)
im Grundzustand eines Deuteriumkerns ist gD = 1 und gp = 2 = gn . Damit und mit der
Näherung mp ≈ mn ≈ mD /2 vereinfacht sich (5.31) zu
Zp Zn
V
=
ZD
2
mp kB T
πh̄2
3/2
27
ϕD
exp −
kB T
.
(5.32)
5 Die primordiale Nukleosynthese
Setzt man dieses Ergebnis in (5.27) ein, ergibt sich
1
(1 + f )χ2 − (1 − f )χ
=
nB
1 − (1 + f )χ
2
mp kB T
πh̄2
3/2
ϕD
exp −
,
kB T
(5.33)
wobei nB = NB /V und somit nun die Baryonendichte ist. Sie berechnet sich durch
ζ(3)
nB = ηnγ = 2η 2
π
kB T
h̄c
3
.
(5.34)
Die Werte von nγ und η sind bereits schon aus (2.32) sowie (2.35) bekannt. Setzt man
nun (5.34) in (5.33)ein, ergibt sich
3/2
√
π
mp c2
ϕD
(1 + f )χ2 − (1 − f )χ
=
exp −
1 − (1 + f )χ
4ζ(3)η kB T
kB T
(5.35)
Diese unhandliche Gleichung ist die sogenannte Saha-Gleichung für die Deuteriumfusion, mit der man nun das Verhältnis χ der freien Protonen zur Gesamtzahl der Baryonen berechnen kann (mit einer ähnlichen Gleichung lassen sich im späteren Verlauf des
Universums auch die Verhältnisse von Ionen und Atomen während der Rekombination
beschreiben). Berücksichtigt man dazu den Faktor f aus (5.7) zeigt sich, dass rund 1/5
der Protonengesamtzahl Np im Universum zu Deuterium gebunden werden könnte, da
für jedes Neutron fünf Protonen vorliegen und ein Deuteriumkern jeweils ein Proton
und ein Neutron benötigt. Allerdings ist die Saha-Gleichung für diese Reaktion nicht
analytisch lösbar, sondern muss iterativ oder numerisch berechnet werden.
Die rechte Seite der Gleichung (5.35) lässt sich zur Funktion h(T ) der Temperatur zusammenfassen:
3/2
√
π
mp c2
ϕD
exp −
(5.36)
h(T ) :=
4ζ(3)η kB T
kB T
Mit ζ(3) ≈ 1.202 und mp c2 = 938.27 MeV lässt sich dies zu
8
h(T ) = 6.14 · 10
938.27 MeV
kB T
3/2
2.225 MeV
exp −
kB T
(5.37)
zusammenfassen. Die Funktion h(T ) ist in Abbildung 5.1 gezeigt.
h(T ) lässt sich als Anzahl der physikalischen Zustände deuten, in denen die Fusionsreaktion zu Deuteriumkernen möglich ist. Dies wird auch dadurch bestätigt, dass ihr Maximum ungefähr dort liegt, wo es aufgrund der Bindungsenergie des Kerns von ≈ 2, 225
MeV zu erwarten ist. Da χ in Gleichung (5.35) zwischen 0 und 1 liegen muss, ergibt die
linke Seite der Gleichung ein Ergebnis in der Größenordnung um 1. Da allerdings beide
Seiten gleich sein müssen, muss die Energie auf wesentlich geringere Werte fallen, damit
die Gleichung gelöst werden kann. Dies sieht man daran, weil h(T ) solche großen Werte
28
5 Die primordiale Nukleosynthese
2.5e+12
2e+12
h (T)
1.5e+12
1e+12
5e+11
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT [MeV]
Abbildung 5.1: Die Funktion h(T ).
annimmt. Erst bei dieser niedrigeren Energieskala ist somit eine effiziente Fusionsreaktion möglich.
Mit Hilfe der Funktion h(T ) lässt sich (5.35) zu einer gemischt-quadratischen Gleichung
umformen:
(1 + f )χ2 − [1 − f − h(T )(1 + f )] χ − h(T ) = 0 .
(5.38)
Deren beiden Lösungen sind:
q
1
2
[1 − f − h(T )(1 + f )] ± [1 − f − h(T )(1 + f )] + 4(1 + f )h(T ) ,
χ± =
2(1 + f )
(5.39)
wobei für die folgenden Betrachtungen nur die positiven Lösungen physikalisch sinnvoll
sind, da χ per Definition größer als 0 ist. Die positive Lösung lässt sich nun zu


s
2

1−f
4h(T ) 
1
1−f
− h(T ) +
− h(T ) +
(5.40)
χ=
2 1+f
1+f
1+f 
vereinfachen. Anschaulicher lässt sich dieses Ergebnis allerdings interpretieren, wenn
man nicht vom Anteil der freien Protonen an der Gesamtzahl der Baryonen χ, sondern
vom Anteil der freien Protonen an der Gesamtzahl der Protonen y ausgeht. Dieser ergibt
sich aus (5.18) zu
Np
Np
y=
=
(1 + f ) = (1 + f )χ .
(5.41)
Np + ND
NB
Eingesetzt in (5.40) ergibt sich so
q
1
2
y=
(1 − f ) − (1 + f )h(T ) + [1 − f − (1 + f )h(T )] + 4(1 + f )h(T ) . (5.42)
2
29
5 Die primordiale Nukleosynthese
1
0.98
0.96
Anteil freier Protonen y
0.94
0.92
0.9
0.88
0.86
0.84
0.82
0.8
45
50
55
60
65
70
75
80
85
kBT [keV]
Abbildung 5.2: Anteil freier Protonen für f = 0.2 als Funktion der Temperatur.
Die Abbildung 5.2 zeigt den Protonenanteil y für den in (5.7) berechneten Wert f = 0, 2.
Wie leicht zu erkennen ist, beginnt die Deuteriumfusion bei ≈ 80 keV und endet bei ≈ 50
keV. Somit musste die Temperatur des Universums von den ursprünglichen ≈ 2, 6 · 1010
K bei 2,225 MeV auf ≈ 9, 3 · 108 K, was 80 keV entspricht, fallen. Der Funktionsgraph
ist dabei charakteristisch für eine Saha-Gleichung, denn nach dem Start der Reaktion
läuft diese sehr effizient ab und endet schnell wieder.
Betrachtet man in Abbildung 5.3 den Reaktionsverlauf für zwei zusätzliche Werte für f ,
zeigt sich, dass die Reaktion immer in der gleichen Energieskala abläuft und somit das
Protonen-Neutronen-Verhältnis f lediglich festlegt, wie viele Protonen am Ende noch
übrig sind.
Durch Einsetzen von (2.29) in Gleichung (2.25) ließe sich prinzipiell der Zeitraum der
oben genannten Reaktionen berechnen. Diese Rechnung ist allerdings stark abhängig
von den kosmologischen Parametern, denn sofern man exakte Zeiten erhalten will, müssen sie sehr genau bekannt sein. Jedoch berücksichtigt diese Abschätzung nicht, dass die
drei Neutrino-Familien zu dieser frühen Zeit noch nicht, bzw. erst seit kurzem (rund eine
Sekunde nach dem Urknall), von der Materie entkoppelt sind und somit noch einen nicht
vernachlässigbaren Beitrag zur Strahlungsdichte leisten. Damit liefern sie einen weiteren Beitrag zu Ωr , dessen Berechnung allerdings den Rahmen dieser Arbeit übersteigen
würde. Einfache Abschätzungen mittels (2.25) führen zu einem Alter des Universums
bei Beginn der Deuteriumfusion von ungefähr 22 Sekunden, was allerdings dem Literaturwert von rund einer Minute beachtlich nahe kommt, sofern man dies im Verhältnis
zum Alter des Universums betrachtet.
30
5 Die primordiale Nukleosynthese
1
f = 0.15
f = 0.20
f = 0.25
Anteil freier Protonen y
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
45
50
55
60
65
70
75
80
85
kBT [keV]
Abbildung 5.3: Anteil freier Protonen als Funktion der Temperatur für drei verschiedene Werte von f .
5.3 Das Verhältnis von Protonen und Neutronen zu
Beginn der Nukleosynthese
Aufgrund der Zeit, die im Universum zwischen kB T ≈ 800 keV und kB T ≈ 80 keV
vergangen ist, ist ein Teil der Neutronen bereits gemäß (5.1) zerfallen und steht nicht
mehr für die Fusion schwererer Kerne zur Verfügung. Da ihre mittlere Lebensdauer
rund 880 Sekunden beträgt und die Nukleosynthese nach rund 3 Minuten zum Erliegen
kommt, ergibt sich ein neues Verhältnis f von Neutronen zu Protonen von:
f≈
1
7
(5.43)
5.4 Die Fusion von Helium
Sobald genügend Deuteronen im Universum vorhanden sind, beginnt eine Reihe von
Fusionen das Universum mit neuen Elementen anzufüllen. Diese Reaktionen sind beispielsweise:
2
H + 2H ⇒ 3H + p
(5.44)
2
H + 2H ⇒ 3He + n
(5.45)
3
He + 2H ⇒ 4He + p
(5.46)
3
(5.47)
He + 3H ⇒ 7Li + γ
31
5 Die primordiale Nukleosynthese
Zur Abschätzung der Helium-4-Häufigkeit nach Masse Yp nach der Nukleosynthese lässt
sich eine einfache Gleichung aufstellen. Dazu definiert man zusätzlich Xp als übrige
Wasserstoffhäufigkeit nach Masse. Somit ergibt sich:
Yp := 1 − Xp .
(5.48)
Dies lässt sich nun mit Hilfe der Gesamtzahl an Protonen np und Neutronen nn und
einiger Umformungsschritte umschreiben zu:
Yp ≈ 1 −
2nn
2(nn /np )
np − nn
=
=
.
np + nn
np + nn
1 + (nn /np )
(5.49)
Setzt man für nn /np nun das Ergebnis aus (5.43) ein, ergibt sich eine Helium-4-Häufigkeit
nach Masse
1
Yp ≈ .
(5.50)
4
Somit enthält das Universum nach Ende der primordialen Nukleosynthese ≈ 25 Massenprozent Helium und ≈ 75 Massenprozent Wasserstoff. Dies entspricht einem Heliumkern
pro 12 Wasserstoffkernen. Aufgrund der verhältnismäßig hohen Bindungsenergie des
Heliums von ≈ 28 MeV bleiben so gut wie alle entstandenen Heliumkerne erhalten. Auffällig ist hierbei, dass die Fusion zu Helium nur von dem Verhältnis der Neutronen zu
den Protonen abhängt. Somit stellt die Deuteriumfusion den Engpass der primordialen
Nukleosynthese dar und wird daher auch als Deuterium-Flaschenhals bezeichnet.
Die oben angeführte Rechnung zur Helium-4-Häufigkeit stellt offensichtlich nur eine
Näherung dar. Für eine detailliertere Analyse müssten die weiteren möglichen nuklearen
Reaktionen berücksichtigt werden. Auch müsste das Verhältnis der Kernreaktionsraten
zur Expansionsrate des Universums, die sich aus den Friedmann-Gleichungen ergibt,
analysiert werden. Solche Rechnungen erfolgen nicht mehr analytisch, sondern mittels
numerischer Methoden wie Monte-Carlo-Simulationen. Diese Simulationen ergeben eine
Helium-4-Massenanteil von 23% bis 24%, somit entspricht die obige Abschätzung in sehr
guter Näherung dem detailliert berechneten Wert.
Mittels moderner astronomischer Untersuchungen1 zeigt sich, dass die theoretisch berechneten Häufigkeiten den heute beobachtbaren Elementhäufigkeiten im Universum
annähernd entsprechen und dadurch das Modell des Urknalls und der primordialen Nukleosynthese bestätigt wird.
1
Vgl.: „Cosmology - The Origin and Evolution of Cosmic Structure“ - Peter Coles / Francesco Lucchin
- Seite 182 bis Seite 185
32
5 Die primordiale Nukleosynthese
5.5 Der Ursprung der Elemente, die schwerer als
Helium sind
5.5.1 Schwere Elemente während der primordialen
Nukleosynthese
Im vorherigen Abschnitt wurden die Berechnungen der Wasserstoff- und Heliumhäufigkeit im Universum dargestellt. Schaut man sich um, wird man leicht feststellen, dass das
Universum zweifellos noch aus anderen, schwereren Elementen aufgebaut ist.
In der primordialen Nukleosynthese konnten sich, abgesehen von Wasserstoff und Helium, allerdings nur noch geringe Anteile von 3 He und durch Fusion von 3 H mit 4 He
geringe Mengen 7 Li bilden. Da jedoch 3 H nur sehr selten vorkam, war diese Reaktion
sehr unwahrscheinlich.
Die Fusion der schwereren Elemente stellt sich jedoch als hochgradig ineffizient dar,
da es einerseits keine stabilen Kerne mit einer Massenzahl A = 5 und A = 8 gibt und
andererseits die zunehmend höheren Coulomb-Barrieren die Reaktionen sehr erschweren
und die Temperatur im frühen Universum durch die Expansion rasch abfällt. Die Grafik
5.4 zeigt noch einmal alle Fusionsreaktionen und die zuvor genannten Fusionsbarrieren. Die 7 Li-Häufigkeit lässt sich ähnlich zu den zuvor durchgeführten Abschätzungen
Abbildung 5.4: Die möglichen
Nukleosynthese
berechnen und führt zu:
7
Li
1H
Kernreaktionen
≈ 10−10 bis 10−9 .
33
während
der
primordialen
(5.51)
5 Die primordiale Nukleosynthese
Die Häufigkeiten noch schwererer Elemente nach der primordialen Nukleosynthese sind
noch geringer und somit vernachlässigbar. Damit stellt sich nun jedoch die Frage nach
dem Ursprung der Elemente, die schwerer als Helium sind, da diese ja nicht oder nur in
geringsten Mengen direkt nach dem Urknall entstanden sein konnten.
5.5.2 Schwere Elemente aus Sternen
Nachdem die Elemententstehung der primordialen Nukleosynthese nach rund 3 Minuten
nach dem Urknall abgeschlossen war und das Universum aus Wasserstoff, Helium und
geringen Spuren Lithium bestand, dauerte es viele Millionen Jahre, bis die ersten großen
Gaswolken im Universum unter ihrer eigenen Schwerkraft kollabierten. Dabei steigt die
Temperatur in deren Zentren immer weiter an, bis bei ungefähr 10 Millionen Kelvin
Kerntemperatur das Wasserstoffbrennen einsetzt und mittels des Proton-Proton-Zyklus
aus vier Wasserstoffkernen ein Heliumkern entsteht und der neu entstandene Stern somit
die erste Stufe der stellaren Kernfusion erreicht.
Im Laufe der Zeit steigt die Temperatur im Inneren immer weiter an und der Stern fusioniert immer schwerere Elemente. So entstehen Kohlenstoff, Stickstoff und Sauerstoff
beispielsweise im CNO-Zyklus. Die Kernfusion im Inneren von Sternen ist allerdings nur
bis zum Element Eisen möglich, da bei der Fusion aller schwereren Elemente keine Energie frei wird, sondern benötigt wird. Beide genannten Reaktionszyklen sind in Abbildung
5.5 dargestellt.
5.5.3 Sehr schwere Elemente aus Supernovae
Hat ein Stern eine genügend große Masse (≥ 8 Sonnenmassen), kollabiert er am Ende
seiner Kernbrennphase und erzeugt eine gewaltige Explosion, welche als Supernova bezeichnet wird. Alternativ kann auch ein weißer Zwerg in einem Doppelsternsystem von
seinem Begleiter genügend Gas akkretieren, damit seine Masse 1,4 Sonnenmassen, die
sogenannte Chandrasekhar-Grenze, erreicht, denn bei dieser Masse kollabiert er ebenfalls unter seiner eigenen Gravitation. Da ein weißer Zwerg jedoch noch große Mengen an
fusionsfähigen Elementen wie Kohlenstoff enthält, beginnt bei dem Kollaps eine erneute
Fusionsreaktion im Inneren des Sternes, die so viel Energie freisetzt, dass auch hier der
Stern in einer mächtigen Explosion endet.
Während diesen Explosionen werden die bisher im Inneren der Sterne erbrüteten Elemente ins All gestoßen. Da bei den Supernovae auch große Mengen an Protonen und Neutronen freigesetzt werden, können durch Protonenanlagerungen (p-Prozess) und Neutronenanlagerungen (r-Prozess) neue Elemente gebildet werden, die schwerer sind, als das
im Inneren der Sterne maximal fusionierte Eisen. So entstehen dort beispielsweise Gold
und Uran.
34
5 Die primordiale Nukleosynthese
(a) Proton-Proton-Zyklus
(b) CNO-Zyklus
Abbildung 5.5: Beispiele für mögliche Kernfusionsprozesse innerhalb von Sternen
35
6 Die Baryogenese
Betrachten wir das Universum und die vielen Zufälle in Physik und Astronomie,
die sich zu unseren Gunsten auswirken, dann scheint es beinahe, als ob das
Universum irgendwie geahnt hätte, dass wir kommen werden.
(Freeman Dyson)
6.1 Materie und Antimaterie im Universum
Bei den Betrachtungen zur Nukleosynthese im vorherigen Kapitel wurden die Protonen
und Neutronen als die einzigen Baryonen im Universum angesehen. Dass diese vereinfachte Betrachtung nicht die Realität widerspiegeln kann, zeigt sich, wenn man sich
anschaut, wie die Nukleonen entstanden sind.
Treffen zwei Photonen mit ausreichender Energie aufeinander, kann bei dieser Kollision
gemäß der relativistische Energie-Impuls-Beziehung E 2 = p2 c2 + m2 c4 deren Energie in
Masse umgewandelt werden und steht somit zur Erzeugung neuer Teilchen zur Verfügung. Schematisch sei diese Reaktion zwischen Photonen (γ) und beliebigen Baryonen
(b) als
γγ ⇒ b + b̄
(6.1)
gegeben. Dabei entsteht aufgrund der Ladungserhaltung zugleich auch das entsprechende Antibaryon (b̄). Bekanntermaßen findet aber beim Kontakt zwischen Materie und
Antimaterie eine Annihilationsreaktion statt, bei der die Teilchen wieder in Energie zerstrahlen. Daher stellt sich bei dieser Reaktion ein Reaktionsgleichgewicht ein:
γγ ⇔ b + b̄ .
(6.2)
Kühlt nun das Universum soweit ab, dass dieses Gleichgewicht nicht weiter bestehen
kann, stoppt diese Reaktion. In diesem Fall haben die Photonen nicht mehr genug Energie, um weiterhin Materie-Antimaterie-Paare zu erzeugen und deren Anzahlen ändern
sich ab diesem Zeitpunkt nur noch durch die gegenseitige Annihilation. Eine solche Zerstrahlung von Materie und Antimaterie ist in Abbildung 6.1 für ein Elektron (e− ) und
ein Positron (e+ ) dargestellt. Dies würde im Laufe der Zeit dazu führen, dass sich bei
gleichen Anzahlen n von b und b̄ zu Beginn irgendwann keine Baryonen und somit keine
bekannte Materie mehr im Universum befindet.
nB = nb − nb̄ = 0 .
36
(6.3)
6 Die Baryogenese
Time
γ
γ
e+
e-
Space
Abbildung 6.1: Feynman-Diagramm der Annihilationsreaktion zwischen einem Elektron und einem Positron
Aufgrund empirischer Erfahrungen ist bekannt, dass sich sowohl auf der Erde als auch
im Sonnensystem keine großen Mengen Antimaterie befinden können, da sonst beispielsweise Raumsonden im All bei Kontakt zerstrahlen würden. Diese Reaktion würde sich
dann durch die entstehende Strahlung erkennen lassen. Auch lassen sich größere Bereiche
außerhalb des Sonnensystems ausschließen, da sonst an den Grenzflächen wiederum Annihilationsreaktionen stattfänden, welche sich durch die entstehende Hochenergiestrahlung nachweisen ließen. Selbst in der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung ist
kein erhöhter Gammastrahlenfluss nachweisbar, daher ist auch die Existenz sehr großer
Antimateriebereiche im Universum auszuschließen. Zwar würde ein Universum, welches
zur Hälfte aus Materie und zur anderen Hälfte aus Antimaterie bestünde, die Frage nach
dem Verbleib der Antimaterie lösen, aber aufgrund der oben dargelegten Gründe kann
es nicht die Lösung darstellen.
Eine andere Erklärung wäre, dass eine Asymmetrie im Verhältnis der Materie und der
Antimaterie schon von Beginn des Universums an existiert habe. Dies widerspricht allerdings vor allem dem Modell der kosmologischen Inflation, da dieses Verhältnis dann
im Laufe der exponentiellen Expansion stark verdünnt worden wäre und zu Beginn sehr
groß gewesen sein müsste, was aber nicht erklärbar ist. Somit ist dieses Modell auch
nicht tragfähig.
37
6 Die Baryogenese
Daher bleibt nun als Lösung die Vorstellung, dass sich die Asymmetrie erst im Laufe der
Entwicklung des Universums, aber natürlich noch vor der primordialen Nukleosynthese,
entwickelt hat.
Das ursprüngliche Verhältnis von Materie und Antimaterie im frühen Universum ergibt sich aus dem heutigen Verhältnis η der Anzahlen von Photonen (nγ ) und Baryonen
(nB und nB̄ )
nB − nB̄
.
(6.4)
η=
nγ
Dies ist dasselbe Verhältnis η, welches bereits in Abschnitt 2.8.3 berechnet wurde. Es
besagt in diesem Zusammenhang, dass rund eine Milliarde Antibaryonen einer Milliarde
und einem Baryonen gegenüberstehen. Nach der Annihilation blieb dann jeweils ein
Baryon über. Eben diese übrig gebliebenen Baryonen bilden demnach heute die uns
bekannte Materie. Wie diese Asymmetrie zwischen den Baryonen zustande kam, ist seit
der ersten Entdeckung der Antiteilchen und der Frage nach deren Verbleib im Universum
ein wichtiger Forschungszweig.
6.2 Die Sacharowkriterien
Die Frage nach dem dynamischen Ursprung der Asymmetrie hat sich im Jahr 1967 der
russische Physiker Andrei Dmitrijewitsch Sacharow (1921 - 1989) gestellt. Sacharow gab
dafür drei Bedingungen an, deren Erfüllung dafür sorgt, dass sich aus einem Zustand
mit gleich vielen Baryonen und Antibayronen ein asymmetrischer Zustand entwickeln
kann:
1. Verletzung der Baryonenzahl-Erhaltung
2. Verletzung von C- und CP-Invarianz
3. Thermodynamisches Nichtgleichgewicht
6.2.1 Verletzung der Baryonenzahl-Erhaltung
Nun ist die Verletzung der Baryonenzahl-Erhaltung quasi selbstverständlich, denn wenn
immer gälte: B = 0, dann gäbe es keine Asymmetrie in der Verteilung, sofern diese symmetrisch begonnen hat. Allerdings ist die Baryonenzahl im Standardmodell der
Teilchenphysik eine Erhaltungsgröße in allen bekannten Wechselwirkungen. Dies deutet
bereits hier auf eine neue Physik jenseits des Standardmodells hin, wie beispielsweise
der Großen Vereinheitlichten Theorie (GUT).
6.2.2 Verletzung von C- und CP-Invarianz
Als C-invariant (C = charge) bezeichnet man in der Physik einen Vorgang, sei es eine
Wechselwirkung oder ein Zerfall, der genau gleich abläuft, wenn man ein Teilchen mit
38
6 Die Baryogenese
dessen Antiteilchen austauscht. Dies ist auch theoretisch und experimentell vor einiger
Zeit bestätigt worden. So laufen Wechselwirkungen der starken und der elektromagnetischen Kraft auch beim Austausch mit den Antiteilchen gleich ab, sie sind also C-invariant.
Anders ist dies hingegen bei Wechselwirkungen der schwachen Kraft, da hier z.B. Neutrinos nicht C-invariant sind. So unterscheiden sich ein Neutrino und das Antineutrino
durch deren sogenannte Helizität. Die Helizität lässt sich auch als Händigkeit bezeichnen.
Linkshändigkeit bedeutet, dass der Spin eines Teilchens gegen die Bewegungsrichtung
(Neutrino) und bei Rechtshändigkeit in die Bewegungsrichtung (Antineutrino) zeigt. Da
sich nun aber bei der C-Invarianz ein linkshändiges Antineutrino oder ein rechtshändiges
Neutrino ergeben sollte, welches aber bisher nicht nachgewiesen werden konnte, ist hier
die Symmetrie maximal verletzt. Auch verletzen die W-Bosonen, die Austauschteilchen
der schwachen Wechselwirkung, die C-Invarianz, da sie nur an linkshändige Fermionen
oder rechtshändige Antifermionen koppeln, obwohl die Symmetrie auch die gegenteiligen
Kopplungen fordert.
Ein Vorgang ist P-invariant (P = Parität), wenn er bei einer Umkehr aller Vorzeichen der
drei Ortskoordinaten ((x, y, z) → (−x, −y, −z)) genau gleich abläuft. Auch hier verletzt
die schwache Wechselwirkung wieder diese Symmetrie, da sie nur Wechselwirkungen von
Teilchen mit links-drehendem Spin und Antiteilchen mit rechts-drehendem Spin zulässt.
Bei der CP-Invarianz läuft ein Vorgang dementsprechend genau gleich ab, auch wenn
man seine Ladung und seine Parität umkehrt. Dies löst auch die Verletzung der C- und
der P-Invarianz der schwachen Wechselwirkung, da diese beim gleichzeitigen Durchführen der beiden Operationen wieder keinen Unterschied feststellen lässt.
6.2.3 Thermodynamisches Nichtgleichgewicht
Wäre das Universum dauerhaft im thermodynamischen Gleichgewicht, könnte sich keine
Asymmetrie einstellen, da die Raten der Reaktionen zur Erzeugung der Antimaterie denen der Wiederauslöschung entsprächen. Somit ist ein thermodynamisches Nichtgleichgewicht nötig, in welchem die Reaktion zur Erzeugung bevorzugt in eine bestimmte
Richtung auslaufen kann und so die Erzeugung ermöglicht. Dass das Universum sich
durch seine Expansion nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, war bereits
in Kapitel 2 zu sehen. Somit ist diese Bedingung auch erfüllt.
6.3 Das LHCb Experiment
Der LHCb-Detektor ist zusammen mit ATLAS, CMS und ALICE einer der vier großen
Detektoren des Large Hadron Colliders (LHC) am CERN in Genf. Hauptsächlich werden
dort CP-Verletzungen im Zerfall von B- und D-Mesonen untersucht. Im Gegensatz zu den
anderen großen Detektoren weist LHCb einen anderen Aufbau auf. Er ist ein Vorwärtsspektrometer, was bedeutet, dass nur eine Richtung instrumentiert wird. Der Aufbau
des Detektors ist in Abbildung 6.2 zu sehen.
39
6 Die Baryogenese
Abbildung 6.2: Schnittbild vom Aufbaus des LHCb-Detektors
6.4 Mesonen
Mesonen unterscheiden sich von den Baryonen dadurch, dass sie aus einem QuarkAntiquark-Paar aufgebaut sind. Dies ist in Abbildung 6.3 dargestellt. Aufgrund ihrer
sehr kurzen Lebenszeiten und dem darauf folgenden Zerfall kommen Mesonen nicht in
gewöhnlicher Materie vor und können nur in Teilchenbeschleunigern für Sekundenbruchteile erzeugt werden. Aufgrund der großen Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten der
6 verschiedenen Quark-Flavours gibt es sehr viele verschiedene Mesonen, wobei die Lebensdauer stark von der Zusammensetzung abhängt.
Als erstes Meson wurde 1947 von Cecil Frank Powell das Pion (π) in der kosmischen
Höhenstrahlung bei Ballonexperimenten festgestellt. Zwei Jahre später gelang auch die
Erzeugung der ersten Pionen in Teilchenbeschleunigern. Zudem erhielt im selben Jahr
Hideki Yukawa, welcher das Pion 1932 theoretisch vorhersagte, den Nobelpreis für Physik.
6.5 Erster experimenteller Nachweis der direkten
CP-Verletzung
Der erste direkte Nachweis einer CP-Verletzung gelang James Cronin und Val Fitch im
Jahre 1964, die dafür 1980 den Nobelpreis für Physik erhielten. Dafür untersuchten sie
Kaonen (Teilchen aus der Gruppe der Mesonen) und deren Zerfall. Die zwei möglichen
40
6 Die Baryogenese
u d
Abbildung 6.3: Schematischer Aufbau eines Mesons aus zwei Quarks, in diesem Beispiel ein Pion aus einem Up- und einen Antidown-Quark
Zerfallsreaktionen sind:
K → π + e− v̄e
K̄ → π − e+ ve
(6.5)
(6.6)
Nun zeigte sich bei der Analyse der Daten, dass der zweite, CP-symmetrische Zerfall
(6.6) rund 0,3 % seltener auftritt als Zerfall (6.5) und somit die Symmetrie schwach
verletzt ist.
41
7 Untersuchung zur CP-Verletzung
beim Zerfall von Bs-Mesonen am
LCHb Experiment
Irgendwo wartet etwas Unglaubliches darauf,
entdeckt zu werden.
(Carl Sagan)
Im folgenden Abschnitt soll mittels Nachweis einer Asymmetrie in der Zerfallsanzahl
von neutralen Bs -Mesonen eine direkte CP-Verletzung nachgewiesen werden.
7.1 Theorie
Diese Asymmetrie ACP definiert sich als Differenz der Anzahl N der Zerfälle zum Endzustand f (= final state) des Bs -Mesons und des B̄s -Mesons. Diese Differenz wird über
die Summe der beiden Zerfälle normiert. Wenn ACP 6= 0 liegt eine direkte CP-Verletzung
vor.
ACP :=
N (B → f ) − N (B̄ → f¯)
N (B → f ) + N (B̄ → f¯)
(7.1)
Das Bs -Meson besteht aus einem Antibottom-Quark und einem Strange-Quark und
das B̄s -Meson aus einem Bottom- und einem Antistrange-Quark. Durch das StrangeQuark erhält es auch das „s“ in der Bezeichnung und unterscheidet sich vom B 0 -Meson,
welches anstatt des Strange-Quarks ein Bottom- oder Up-Quark enthält. Beim Anti-Bs Meson ist der Aufbau genau umgekehrt, es besteht aus einem Bottom-Quark und einem
Anti-Strange-Quark. Die mittlere Lebenszeit des Bs beträgt (1, 511 ± 0, 014) · 10−12
Sekunden. Ein möglicher Zerfallskanal zum Nachweis der CP-Verletzung ist dabei die
folgende Reaktion, welche bei ungefähr 5 von 106 Zerfällen auftritt:
Bs → K − π +
(7.2)
B̄s → K + π −
(7.3)
Beide Zerfälle sind in Abbildung 7.1 auch durch die zugehörigen Feynmangraphen dargestellt. Bei der Betrachtung der Feynmangraphen fällt auf, dass sich ein b-Quark in
42
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
Bs0
s
s
b̄
ū
d¯
W+
K−
π+
u
B̄s0
s̄
s̄
b
u
W−
d
K+
π−
ū
Abbildung 7.1: Feynman-Diagramme der Zerfälle eines Bs -Mesons und eines B̄s Mesons
ein u-Quark oder ein b̄-Quark in ein ū-Quark umwandelt, was auch als Quark-FlavourWechsel bezeichnet wird.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein solcher Übergang stattfinden kann, lässt sich mit
Hilfe der Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix oder auch CKM -Matrix V berechnen:


Vud Vus Vub
VCKM =  Vcd Vcs Vcb  .
(7.4)
Vtd Vts Vtb
Die Variable V ist die Kopplungsstärke der jeweiligen Umwandlung und deren Betragsquadrat [Vij ]2 ist proportional zur Übergangswahrscheinlichkeit. Entlang der diagonalen
Werte Vud , Vcs und Vtb liegt die Wahrscheinlichkeit nahe 1 und daher zerfällt beispielsweise ein Top-Quark weitaus häufiger in ein Bottom-Quark als in ein Strange- oder
Down-Quark.
7.2 Praxis
7.2.1 Grundlagen
Um eine mögliche Asymmetrie im Zerfall der Bs -Mesonen zu untersuchen, habe ich
Daten des LHCb-Experiments benutzt, welche im Jahr 2011 gesammelt wurden. Die
Abbildung 7.2 stellt die vorselektierten Zerfallskandidaten dar, die die Auswahlkriterien
erfüllen, die vom oben genannten Zerfallskanal erwartet werden. Entries steht hier für
die Anzahl der eingetragenen Ereignisse, Mean für den durchschnittlichen Wert der Einträge und RMS ist die Abkürzung root mean square, also für die mittlere quadratische
43
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
mBs
htemp
3000
Entries 32232
5253
Mean
234.2
RMS
2500
2000
1500
1000
500
0
4800
5000
5200
5400
5600
5800
6000
6200
mBs
mBsbar
htemp
Entries
Mean
RMS
3500
3000
34891
5257
226.8
2500
2000
1500
1000
500
0
4800
5000
5200
5400
5600
5800
6000
6200
mBsbar
Abbildung 7.2: Vorselektierte Daten des LHCb-Experiments, aufgetragen nach Anzahl
der Detektionen und der Masse in M eV
44
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
Abweichung der Einträge. In diesen Histogrammen sind die Anzahlen der detektierten
Bs - und B̄s -Mesonen gegen ihre Masse in MeV aufgetragen.
Auf diesen Rohdaten sind die Peaks der gesuchten Bs -Mesonen allerdings noch gar
nicht ersichtlich, da die Peaks bei ungefähr 5280 MeV von weitaus häufigeren B 0 - und
B̄ 0 -Mesonen stammen. Daher habe ich diese Rohdaten mittels des CERN-Frameworks
ROOT1 weiterbearbeitet. Die von mir verwendeten Daten waren auch Grundlage für eine
Veröffentlichung der LHCb-Kollaboration2 am 29.05.2012, welche genau diese Asymmetrie zuerst nachgewiesen hat.
7.2.2 Suche einer fit-Funktion
Mittels ROOT habe ich die Grenzen der Masseverteilung auf einen Bereich von 5200
MeV bis 5800 MeV eingeschränkt und die Einträge feiner und mit dazugehörigem Fehlerbalken anzeigen lassen. Die Resultate der Überarbeitung sind in Abbildung 7.3 zu
sehen. Nun ist bereits jeweils rechts der hohen Peaks der B 0 -Mesonen (≈ 5280 MeV) bei
ungefähr 5370 MeV eine weitere, leichte Erhebung zu erahnen, welche von mir mittels
eines roten Kreises markiert wurde. Um diese Erhebung genauer beschreiben zu können,
musste ich als nächstes eine Funktion finden, die den Verlauf der Abbildungen erfüllt.
Hierfür bietet ROOT bereits eine Funktion für diese fits an, allerdings ist diese für den
recht komplexen Verlauf und vor allem für den Nachweises der zweiten Erhebung viel zu
ungenau. Daher habe ich eine eigene fit-Funktion definiert, deren freie Parameter ROOT
daraufhin numerisch ermitteln kann.
Weil die zu erwartende Massenverteilung prinzipiell aufgrund der statistischen Betrachtung des Ereignisses einer Gaußkurve (normiert auf 1) folgt, bietet sich deren Nutzen
hier auch an. Da ich jedoch besonderen Wert auf die genaue Abbildung des zweiten,
kleineren Peaks legen muss, weil ich diesen für die weitere Auswertung benötige, ist
die Nutzung der Summe von zwei Gauß-Funktionen, jeweils eine für jeden Peak, für
die korrekte Beschreibung unumgänglich. Zur genaueren Analyse empfiehlt es sich, die
Untergrundereignisse mittels der fit-Funktion zu beschreiben. Da für B-Massen keine Signalereignisse erwartet werden, lässt sich die Form des Untergrundes daraus sehr präzise
bestimmen. Sie scheint einem linearen Verlauf zu folgen, daher habe ich zu der Summe
der Gauß-Funktionen ein Polynom ersten Grades addiert. Damit sieht die fit-Funktion
FF IT folgendermaßen aus:
FF IT = p[2] · Gauß{p[0], p[1]} + p[5] · Gauß{p[3], p[4]} + p[6] + p[7] · x
1
2
https://root.cern.ch/
http://arxiv.org/pdf/1202.6251v2.pdf
45
(7.5)
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
Abbildung 7.3: Weiterbearbeitete Daten, aufgetragen nach Anzahl der Detektionen
und der Masse in MeV. Die Erhebung, die die voraussichtliche Masse
der Bs - und B̄s -Mesonen zeigt, ist mittels roter Kreise markiert.
46
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
Die Variablen p[0] bis p[7] sind wie folgt definiert:
p[0] = M eanGaus1
−→ Durchschnittlicher Wert der Gauß-Funktion 1
p[1] = W idthGaus1 −→ Standardabweichung der Gauß-Funktion 1
p[2] = Coef f Gaus1 −→ Koeffizient der Gauß-Funktion 1
p[3] = M eanGaus2
−→ Durchschnittlicher Wert der Gauß-Funktion 2
p[4] = W idthGaus2 −→ Standardabweichung der Gauß-Funktion 2
p[5] = Coef f Gaus2 −→ Koeffizient der Gauß-Funktion 2
p[6] = BackgroundA −→ Koeffizient der Untergrund-Funktion
p[7] = BackgroundB −→ Steigung der Untergrund-Funktion
Mit dieser Funktion FF IT ist ROOT nach der Festlegung passender Startparameter in der
Lage, einen entsprechenden Graphen an die Histogramme anzupassen und die jeweiligen
oben definierten Funktionswerte auszugeben. Das Ergebnis ist in Abbildung 7.4 zu sehen.
Hier beschreibt χ2 /ndf zusätzlich die Qualität der fit-Funktion: Je näher dieser Wert bei
1 liegt, desto besser beschreibt die fit-Funktion den Verlauf der Messpunkte.
7.2.3 Auswertung
Abschätzung der Asymmetrie
Um die genaue Asymmetrie zu berechnen, benutze ich die Gleichung (7.1), welche sich
für den untersuchten Zerfall folgendermaßen ergibt:
ABs //B̄s =
N (Bs ) − N (B̄s )
N (Bs → K − π + ) − N (B̄s → K + π − )
=
.
−
+
+
−
N (Bs → K π ) + N (B̄s → K π )
N (Bs ) + N (B̄s )
(7.6)
Die Anzahl an Ereignissen N ermittelt ROOT bei der Auswertung der Gauß-Funktionen
1 und 2 und gibt diese im Terminal aus. Diese Werte entsprechen dem Integral über die
Gauß-Funktionen inklusive der Koeffizienten und lauten:
N (Bs → K − π + ) = 619, 3
N (B̄s → K + π − ) = 909, 7 .
Damit ergibt sich gemäß (7.6) für ABs //B̄s ein Wert von -0,189.
Abschätzung des statistischen Fehlers
Aufgrund der Unsicherheit im fit der Verteilungen ergibt sich für die Werte N (Bs ) und
N (B̄s ) jeweils ein statistischer Fehler. Diese beiden Fehler werden im Folgenden als σBs
47
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
Masse_Bs
Masse_Bs
450
Entries
Mean
RMS
χ2 / ndf
Mean Gaus1
Width Gaus1
CoeffGaus1
Mean Gaus2
Width Gaus2
CoeffGaus2
BackgroundA
BackgroundB
400
350
300
250
200
150
100
32232
5378
153.6
371.6 / 292
5285 ± 0.3
20.95 ± 0.27
1.859e+04 ± 2.404e+02
5367 ± 2.5
21.04 ± 1.86
1239 ± 105.3
194.5 ± 15.4
−0.02983 ± 0.00275
50
0
5200
5300
5400
5600
5700
5800
Masse_Bsbar
Masse_Bsbar
34891
Entries
5370
Mean
148
RMS
2
χ / ndf
389 / 292
5285 ± 0.2
Mean Gaus1
20.4 ± 0.2
Width Gaus1
2.207e+04 ± 2.609e+02
CoeffGaus1
5369 ± 1.5
Mean Gaus2
19.7 ± 1.3
Width Gaus2
1819 ± 126.8
CoeffGaus2
BackgroundA
230.6 ± 16.0
BackgroundB
−0.03608 ± 0.00285
500
400
300
200
100
0
5200
5500
5300
5400
5500
5600
5700
5800
Abbildung 7.4: Weiterbearbeitete Daten inklusive fit-Funktion über alle Messpunkte,
aufgetragen nach Anzahl der Detektionen und der Masse in MeV
48
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
und σB̄s bezeichnet und betragen:
N (Bs → K − π + ) = 619, 3 ± 52, 6
N (B̄s → K + π − ) = 909, 7 ± 63, 3 .
Um nun den Fehler in der zuvor berechneten Asymmetrie anzugeben, lässt sich die
Gauß’sche Fehlerfortpflanzung berechnen. Da die Funktion ABs //B̄s von den Parametern
N (Bs ) und N (B̄s ) und den jeweiligen Fehlern abhängt, ist die Fehlerfortpflanzung durch
s
2 2
∂ABs //B̄s
∂ABs //B̄s
σBs +
(7.7)
σB̄s
∂N (Bs )
∂N (B̄s )
gegeben. Die beiden benötigten Ableitungen sind einfach zu berechnen und lauten:
∂ABs //B̄s
2N (B̄s )
=
2
∂N (Bs )
N (Bs ) + N (B̄s )
(7.8)
∂ABs //B̄s
2N (Bs )
= −
2 .
∂N (B̄s )
N (Bs ) + N (B̄s )
(7.9)
Mittels ROOT lässt sich diese Berechnung schnell durchführen und die jeweiligen Fehler
aus den Anzahlen N werden zugleich mitberücksichtigt. Am Ende ergibt sich damit für
die vorhandene Asymmetrie im Zerfall der Bs - und B̄s -Mesonen:
ABs //B̄s = −0, 189 ± 0, 056 .
Aufgrund des Fehlers ist die gemessene Asymmetrie als signifikant anzusehen und damit ist die direkte CP-Verletzung in diesem Zerfall nachgewiesen, allerdings wurde von
mir nur der statistische Fehler berücksichtigt, nicht aber der systematische Fehler des
Experiments.
Ergebnis
Mein Ergebnis der Auswertung gleicht daher annähernd dem der Auswertung in der
zuvor genannten Veröffentlichung der LHCb-Collaboration, welche für die Asymmetrie
im Zerfall der Bs -Mesonen auf einen Wert ABs //B̄s von 0, 27 ± 0, 08 kommt. Das unterschiedliche Vorzeichen und die leicht abweichenden Zahlenwerte lassen sich auf eine
andere Definition der Asymmetrie-Funktion (7.6) und eine detailliertere und umfangreichere Analysearbeit der LHCb-Collaboration zurückführen.
7.3 Konsequenz für die Baryogenese
Wie im vorherigen Abschnitt dargestellt, gibt es Zerfälle, bei denen eine CP-Verletzung
auftritt, welche in den Sacharow-Kriterien für die Baryogenese gefordert wird. Diese
49
7 Untersuchung zur CP-Verletzung beim Zerfall von Bs -Mesonen am LCHb Experiment
Asymmetrie ist in verschiedenen Zerfällen nachweisbar und ist auch mit dem Standardmodell der Teilchenphysik vereinbar. Allerdings ist die so erklärbare Asymmetrie
zwischen Materie und Antimaterie viel zu gering, als dass sie der Ursprung für die Materiedominanz im Universum sein könnte. Möglicherweise ist dieser Prozess daher noch
nicht gut genug verstanden oder er stellt einen Hinweis auf eine neue Physik jenseits
des Standardmodells der Teilchenphysik dar, welches den Ursprung der Materie im Universum erklären kann. Danach wird aktuell an den großen Teilchenbeschleunigern, wie
beispielsweise am LHCb-Experiment des CERN, gesucht.
50
Zusammenfassende und
weiterführende Gedanken
Kosmologen sind oft im Irrtum, aber nie im Zweifel.
(Lew Landau)
Wie sich gezeigt hat, konnte ich in meiner Arbeit mit den von mir genutzten mathematischen und physikalischen Methoden, begonnen bei den klassischen Newton’schen
Gesetzen, die Elementhäufigkeiten im Universum nach der primordialen Nukleosynthese berechnen. Die gewonnenen Ergebnisse stimmen zudem von der Größenordnung mit
den beobachtbaren Elementhäufigkeiten im heutigen Universum überein und bestätigen
somit die Überlegungen. Diese basierten größtenteils auf der gut verstandenen klassischen Physik, hingegen enthält die Betrachtung zur Baryogenese viele Hypothesen zur
Materie-/Antimaterie-Asymmetrie, welche sich mit dem bekannten Standardmodell der
Teilchenphysik und dem Standardmodell der Kosmologie nicht abschließend erklären
lassen. Allerdings zeichnet sich durch diese am LHC gewonnenen Daten und Ergebnisse
ein erster Blick auf eine Physik jenseits des Standardmodells der Teilchenphysik ab, die
bis heute aber nicht erklärbar ist und aktuell einen Forschungsgegenstand der Grundlagenforscher darstellt.
Weiterführend und motiviert durch die gewonnenen Ergebnisse könnte man nun die Arbeit erweitern, indem man beispielsweise die Elementfusionen nach der Deuteriumfusion
genauer numerisch untersucht. Dies ist allerdings aufgrund der benötigten Fusionsraten aller beteiligten Elemente und Isotope und der nötigen Simulationsrechnungen vom
Schwierigkeitsgrad nicht mit den mir zum jetzigen Zeitpunkt bekannten und umsetzbaren physikalischen und mathematischen Fähigkeiten realisierbar. Daher wäre dies ein
interessantes Projekt für spätere Arbeiten. Auch könnte man die erwartete Masse der
nach der primordialen Nukleosynthese entstandenen Elemente zusammenrechnen und
damit abschätzen, inwieweit die Masse der entstandenen Elemente eine Erklärung für
die Beobachtungen, für welche die dunkle Materie verantwortlich sein soll, darstellen
könnten, auch wenn hier die qualitative Antwort natürlich bereits vorab bekannt ist.
Persönlich hat mir die Anfertigung der Besonderen Lernleistung sehr viel Spaß, aber
auch viel Kopfzerbrechen bereitet. So konnte ich sowohl einen Blick in die Arbeit der
theoretischen als auch der experimentellen Physik werfen und auch die Arbeitsmethoden
und Umgebungen der aktuellen Grundlagenforschung kennen lernen. Für die schriftliche
Ausarbeitung habe ich mich in das Textsatzprogramm LATEX eingearbeitet, was nach
51
Zusammenfassende und weiterführende Gedanken
einigen anfänglichen Hürden sehr gut funktioniert hat und auch für spätere Arbeiten
im Studium sehr nützlich sein wird. Auch konnte ich erste praktische Einblicke in die
Programmiersprache C++ erhalten und dies während meiner Datenanalyse am CERN
als Eingabesprache nutzen, um mittels ROOT die Analyse durchzuführen.
Am Ende dieser Arbeit verbleibt bei mir die Faszination darüber, dass ich einen Prozess,
der sich Sekundenbruchteile nach dem Urknall vor rund 13,7 Milliarden Jahren abgespielt
hat, verhältnismäßig genau beschreiben konnte und die Ergebnisse der Realität der damaligen Prozesse zu entsprechen scheinen. Fast noch bedeutender ist die Tatsache, dass
die Ergebnisse einen Blick hinter den „optischen Vorhang“ der kosmischen Mikrowellenstrahlung ermöglichen, der alle optischen Beobachtungen zwischen dem Urknall und der
Rekombination 380.000 Jahre nach dem Urknall verhindert. So hat die Verbindung von
der Kosmologie zu der Atom- und Quantenphysik über viele Größenordnungen hinweg
einen tiefen Einblick in die fundamentalen Eigenschaften des Mikro- und Makrokosmos
ermöglicht.
52
Abbildungsverzeichnis
1.1
https://thecuriousastronomer.files.wordpress.com/2014/03/hubble_
fig1_full.gif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Aleksandr_
Fridman.png, https://de.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein##/
media/File:Einstein_1921_portrait2.jpg, https://goo.gl/WI1NJj
9
http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/990006/990006_2048.jpg . . . . . 13
2.2
4.1
4.2
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Quark_structu
re_proton.svg, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/
8/81/Quark_structure_neutron.svg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
http://atlas.physicsmasterclasses.org/wpath_files/img/Feynman/
betaminus.png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Matthias Bartelmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matthias Bartelmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matthias Bartelmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sarah Aretz, CERN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FusionintheSun.svg,
//commons.wikimedia.org/wiki/File:CNO_Cycle_de.svg . . . . .
6.1
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/Mutual_Annihi
lation_of_a_Positron_Electron_pair.svg . . . . . . . . . . . . . . . 37
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/Lhcbview.
jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Quark_structu
re_pion.svg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2
6.3
7.1
7.2
7.3
7.4
Marcel Kiel .
LHCb, CERN
Marcel Kiel .
Marcel Kiel .
.
.
.
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53
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.
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. . 29
. . 30
. . 31
. . 33
https:
. . 35
.
.
.
.
.
.
.
.
43
44
46
48
Literaturverzeichnis
[1] Bartelmann, Matthias, et al. Theoretische Physik
Heidelberg: Springer Spektrum, 2015.
[2] Bartelmann, Matthias Development of cosmology: From a static universe to
accelerated expansion
Heidelberg, 2012.
[3] Bartelmann, Matthias Cosmology
Vorlesungsskript Universität Heidelberg.
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Vorlesungsskript Universität Heidelberg.
[5] Bennett, Jeffrey, et al. Astronomie: Die kosmische Perspektive
München: Pearson Deutschland GmbH, 2010
[6] Breskin, A., Voss, R. The CERN Large Hadron Collider: Accelerator and
Experiments - Vol. II: CMS, LHCb, LHCf, and TOTEM
Genf: CERN, 2009
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Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2014
[9] Hetznecker, Helmut Expansionsgeschichte des Universums - Vom heißen Urknall zum kalten Kosmos
Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007
[10] Janka, Hans-Thomas Supernovae und kosmische Gammablitze. Ursachen und
Folgen von Sternexplosionen
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2011
[11] Kolpin, Michael Measurement of the B 0 − B̄ 0 mixing frequency ∆md in the
decay channel B 0 → D− (→ K + π − π − )µ+ X at the LHCb experiment
Heidelberg: Michael Kolpin - Master thesis, 2013
54
Literaturverzeichnis
[12] LHCb - CERN First observation of direct CP violation in Bs0 → π + K − decays
- Analysis Note
Genf: LHCb - CERN, 2013
[13] Liddle, Andrew Einführung in die moderne Kosmologie
Weinheim: Wiley-VCH, 2009.
[14] Narlikar, J., Burbidge, G. Facts and Speculations in Cosmology
Cambridge: Cambridge University Press, 2008
[15] Reif, Frederick Statistische Physik - Berkeley Physik Kurs 5
Wiesbaden:Vieweg+Teubner Verlag, 1977
[16] Schneider, Peter Einführung in die Extragalaktische Astronomie und Kosmologie
Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2008
[17] Singh, Simon Big Bang - The Origin of the Universe
New York: HarperCollins, 2004
[18] SLAC - The BABAR Collaboration The BABAR Physics Book: Physics
at an Asymmetric B Factory
Stanford: SLAC National Accelerator Laboratory, 1998
[19] Unsöld, A., Baschek, B. Der neue Kosmos
Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1988
[20] Weinberg, Steven The First Three Minutes: A Modern View Of The Origin
Of The Universe
New York: Basic Books, 1993
55
Selbstständigkeitserklärung
Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Hilfsmittel benutzt habe; ferner, dass diejenigen Stellen der Arbeit,
die anderen Werken dem Wortlaut oder dem Sinn nach entnommen wurden, als solche
kenntlich gemacht sind.
Ort, Datum
Unterschrift
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