Formelsammlung

Formelsammlung
für die Vorlesung
Elektromagnetische
Felder und Wellen
Matthias Weber
WS 2004/2005
zuletzt überarbeitet am
10. März 2007
Alle Angaben ohne Gewähr
Bei Fehlern, Kritik, Anregungen und Lob:
mat [email protected]
c 2005-2007 Matthias Weber, Ulm
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Bezeichnungen
1.1 In Kapitel 2
1.2 In Kapitel 3
1.3 In Kapitel 4
1.4 In Kapitel 5
1.5 In Kapitel 6
1.6 In Kapitel 7
eingeführte
eingeführte
eingeführte
eingeführte
eingeführte
eingeführte
Größen
Größen
Größen
Größen
Größen
Größen
und
und
und
und
und
und
Bezeichnungen
Bezeichnungen
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Bezeichnungen
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2 Mathematische Grundlagen
11
2.1 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Divergenz (Gradient) einer skalaren Funktion . . . . . . . 11
2.4.2 Divergenz einer Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.1 Laplace einer skalaren Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.2 Laplace einer Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Häufig benutzte Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Norm eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9 Zylinderkoordinaten (x, y, z ⇔ ρ, φ, z) . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9.1 Definitionsbereich der Zylinderkoordinaten . . . . . . . . 13
2.9.2 Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9.3 Das vektorielle Linienelement . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9.4 Die Flächenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9.5 Das Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9.6 Umrechnung in kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . 14
2.9.7 Abstand zweier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9.8 Spezielle Beziehungen bei Zylinderkoordinaten . . . . . . 14
2.10 Kugelkoordinaten (x, y, z ⇔ θ, ϕ, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10.1 Defintionsbereich der Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . 15
2.10.2 Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10.3 Das vektorielle Linienelement . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10.4 Die Flächenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10.5 Das Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10.6 Umrechnung in kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . 16
2.10.7 Spezielle Beziehungen bei Kugelkoordinaten . . . . . . . . 16
2.11 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.1 Lösungsansätze für Differentialgleichungen . . . . . . . . . 17
2.11.2 Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen . . 17
2.11.3 Häufig benötigte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.4 Imaginäre E-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Herleitung der Maxwellschen Gleichungen
3.1 Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . .
3.2 Der Stokessche Integralsatz . . . . . . . . . .
3.3 Das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
3.4 Die elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . .
3.4.1 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
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4 Elektrostatik
4.1 Grundlegende Gesetze der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Energie, Potential, Feldstärke und Spannung . . . . . . . . . . .
4.2.1 Potentielle Energie im elektrischen Feld . . . . . . . . . .
4.2.2 Potential und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Feldstärke und Potential kontinuierlicher Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Feldstärke und Potential spezieller Ladungsverteilungen .
4.2.4.1 Feldstärke und Potential einer Punktladung im
Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4.2 Feldstärke und Potential einer Punktladung an
einem beliebigen Ort . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4.3 Feldstärke und Potential einer Linienladung auf
der z-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4.4 Feldstärke einer Flächenladung in der Ebene z=0
4.3 Elektrische Leiter und Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Dipole in Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Die elektrische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Die Polarisationsraumladungsdichte . . . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die dielektrische Verschiebung D
4.4.1 Die elektrische Suszeptibilität und die relative Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Potenzial-, Poisson- und Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Die Potenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Die Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Die Laplacegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Kapazität und Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Kapazität eines Parallelplattenkondensators . . . . . . . .
4.6.2 Kapazität eines Kugelkondensators . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Widerstand eines quaderförmigen Leiters . . . . . . . . .
23
23
23
23
23
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
Das Gaußsche Gesetz (3. Maxwell-Gleichung) . . . . . . .
3.5.1 Das Gaußsche Gesetz in Integralform . . . . . . . . . .
3.5.2 Das Gaußsche Gesetz in Differentialform . . . . . . . .
3.5.3 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern . . . . . . . . .
Das Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern . . . . . . . . .
Das magnetische Vektorpotential (4. Maxwell-Gleichung)
3.7.1 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern . . . . . . . . .
Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungsgesetz) . . . . . . . .
3.8.1 Das Ampèresche Gesetz in Differentialform . . . . . .
3.8.2 Das Ampèresche Gesetz in Integralform . . . . . . . .
3.8.3 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern . . . . . . . . .
Das modifizierte Ampèregesetz (1. Maxwell-Gleichung) . .
3.9.1 Das modifizierte Ampèregesetz in Differentialform . .
3.9.2 Das modifizierte Ampèregesetz in Integralform . . . .
Das Faradaysche Induktionsgesetz (2. Maxwell-Gleichung)
3.10.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform . .
3.10.2 Das Faradaysche Induktionsgesetz in Differentialform
Die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum . . . . . . . . . . .
Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1 Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern . . . . . . . . .
Die Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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28
INHALTSVERZEICHNIS
4.7
3
Energiedichte im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . .
28
5 Magnetostatik
29
5.1 Grundlegende Gesetze der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Magnetfelder spezieller Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Magnetfeld eines geraden Stromfadens . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 Magnetfeld bei zylindersymmetrischer Stromverteilung . . 29
5.2.3 Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife . . . . . . . 29
5.3 Das magnetische Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3.1 Magnetisches Dipolmoment eines geschlossenen Stromfadens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3.2 Magnetisches Dipolmoment bewegter Punktladungen . . . 30
5.4 Magnetisierbare Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4.1 Beitrag elektrischer Dipole zum Magnetfeld . . . . . . . . 31
5.4.2 Beitrag magnetischer Dipole zum Magnetfeld . . . . . . . 31
5.4.3 Beitrag freier Ladungsträger zum Magnetfeld . . . . . . . 31
5.4.4 Gesamtmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 Das Magnetfeld H
5.5.1 Die magnetische Suszeptibilität und die relative Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.6 Das skalare magnetische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7 Energiedichte im magnetostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Maxwell-Gleichungen und Wellengleichung
33
6.1 Die Maxwell-Gleichungen in polarisierbarer Materie . . . . . . . 33
6.2 Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2.1 Allgemeine Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 34
6.2.2 Stetigkeitsbedingungen zwischen 2 Dielektrika . . . . . . . 34
6.3 Das skalare elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4 Eichtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4.1 Ziel einer Eichtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4.2 Transformationsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.4.3 Die Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.4.4 Die Lorentzeichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.5 Die Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.5.1 Die ungedämpfte homogene Wellengleichung . . . . . . . 37
6.5.2 Die ungedämpfte inhomogene Wellengleichung . . . . . . 37
6.5.3 Die gedämpfte homogene Wellengleichung . . . . . . . . . 37
6.6 Wellengleichung für das elektrische Feld und die magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7 Brechzahl, Lichtgeschwindigkeit und Wellenvektor . . . . . . . . 38
6.7.1 Brechzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7.2 Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7.3 Wellenvektor und Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7.4 Die Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Wellenausbreitung in Dielektrika
7.1 Ebene elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . .
7.1.1 Monochromatische ebene Wellen . . . . . . .
7.1.2 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2.1 Linear polarisierte Welle . . . . . .
7.1.2.2 Zirkular polarisierte Welle . . . . .
7.1.2.3 Elliptisch polarisierte Welle . . . . .
7.1.2.4 Elliptisch polarisierte Welle . . . . .
7.2 Energiedichte, Leistungsdichte und Poynting-Vektor
.
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41
4
INHALTSVERZEICHNIS
7.3
7.4
7.5
7.2.1 Elektromagnetische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Die mechanische Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Der Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Die Kontinuitätsgleichung der Energie . . . . . . . . . . .
Gruppen- und Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Brechungs- und Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . . . . .
TE- und TM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 TE-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 TM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Amplituden bei Reflexion und Brechung für TE-Wellen .
7.5.4 Amplituden bei Reflexion und Brechung für TM-Wellen .
7.5.5 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.6 Intensitätsreflexions- und Intensitätstransmissionsfaktoren
7.5.7 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
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45
46
46
46
HINWEISE
5
Hinweise:
• Die vorliegende Formelsammlung umfasst alle Themengebiete der Vorlesung ’Elektromagnetische Felder und Wellen’, wie sie seit Inkrafttreten
der DPO 2001 behandelt werden.
Darüber hinaus gehende Stoffgebiete, die früher (vor der DPO 2001) Teil
der Vorlesung waren und noch immer im (vollständigen) Skript enthalten
sind, wurden beim Erstellen der Formelsammlung nicht berücksichtigt.
• Aufgrund des immensen Stoffumfangs der Vorlesung, hat auch die vorliegende Formelsammlung eine etwas unhandliche Größe.
Um Formeln trotzdem möglichst schnell aufzufinden, verfügt das Dokument über ein ausführliches Inhaltsverzeichnis.
Weil man sich in einer Formelsammlung mit 46 Seiten und 291 Formeln
trotzdem schwer auf Anhieb zurecht findet, sollte ein Teil der Prüfungsvorbereitung darin bestehen das Vorlesungsskript und die Formelsammlung zusammen durchzuarbeiten. Nur so lässt sich der zum Rechnen von
Prüfungsaufgaben notwendige Überblick über die Fülle der zusammengetragenen Formeln erreichen.
• Im vorliegenden Dokument werden keine Formeln hergeleitet, da dies
nicht Aufgabe einer Formelsammlung ist. Bei einigen wenigen Formeln
wird allerdings kurz darauf hingewiesen, woher die Formel kommt. Dies
ist meistens nur dann der Fall, wenn dieses Wissen zum Verständnis der
Formel nötig ist.
• Da in einem Abschnitt der Formelsammlung meistens eine Vielzahl von
verschiedenen Formeln aufgeführt wird, werden die wichtigsten Zusammenhänge zu Gunsten der Übersichtlichkeit immer eingerahmt.
• Die vorliegende Formelsammlung hält sich bei ihren Bezeichnungen
größtenteils an das Vorlesungsskript. Lediglich in einigen wenigen Fällen
weicht die Formelsammlung von den Bezeichnungen des Skripts ab.
Dies ist immer dann der Fall, wenn nach Meinung des Autors, die im
Skript verwendeteten Bezeichnungen verwirrend oder unlogisch gewählt
wurden und eine bessere Bezeichnung möglich war.
Als Beispiel dienen hier die beiden Integralsätze von Stokes und Gauß.
In beiden Sätzen taucht ein beliebiges Vektorfeld auf, dass jedoch im
~ bezeichVorlesungsskript das eine Mal mit T~ und das andere Mal mit C
net wird. Die vorliegende Formelsammlung hingegen bezeichnet beliebige
Vektorfelder immer mit T~ , unter anderem auch um Verwechslungen mit
der beliebigen, geschlossenen Kurve C zu vermeiden.
• Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Größen (wie zum Beispiel beim
E-Feld, welches vom jeweiligen Ortsvektor ~r abhängt) werden durch ge~ r}).
schweifte Klammern gekennzeichnet (also E{~
Dies geschieht analog zum Vorlesungsskript und im Gegensatz zum häufigen Gebrauch von runden Klammern in der gängigen Literatur.
Wie auch im Vorlesungsskript werden diese Abhängigkeiten aus Platzund Übersichtlichkeitsgründen jedoch nicht immer ausgeschrieben. Davon
sollte sich der Leser jedoch nicht verwirren lassen. Beispielsweise handelt
~ r} = %V {~r} und ε0 ∇ ◦ E
~ = %V lediglich um zwei
es sich bei ε0 ∇ ◦ E{~
verschiedene Schreibweisen für eine einzige Formel.
6
1 BEZEICHNUNGEN
1
1.1
Bezeichnungen
In Kapitel 2 eingeführte Größen und Bezeichnungen
~a ◦ ~b
~a × ~b
∂
∂t
∂
∂x
~ex
~ey
~ez
= Skalarprodukt der Vektoren ~a und ~b
= Kreuzprodukt der Vektoren ~a und ~b
=
Partielle Ableitung nach der Zeit
=
Partielle Ableitung nach x (analog für y, z, φ, θ, oder ähnliches)
= Einheitsvektor in x-Richtung (analog für φ, θ, oder ähnliches)
= Einheitsvektor in y-Richtung (analog für φ, θ, oder ähnliches)
= Einheitsvektor in z-Richtung (analog für φ, θ, oder ähnliches)
k~kk = k = Norm des Vektors ~k
|~k| = Betrag des Vektors ~k
~k ∗ = konjugiert komplexer Vektor ~k
d3 r = dV = Volumenelement
~ = Flächenelement (Normalenvektor der Fläche SV )
d2 S
d~l = Linienelement der Kurve C
~r 0
~r
=
=
i =
1.2
Quellpunkt (Punkte, an denen sich Ladungen befinden)
Aufpunkt (Punkte, an denen eine bestimmte Größe berechnet werden soll)
imaginäre Einheit
In Kapitel 3 eingeführte Größen und Bezeichnungen
V
S
C
=
=
=
Volumen V
Fläche S
beliebige, in sich geschlossene Kurve C
SV
SC
=
=
Fläche, die vom Volumen V begrenzt wird
Fläche, die von der Kurve C umschlossen wird
T~
=
beliebige Vektorfunktion
F~
~
E
Q
QV
QS
t
= Kraft
= Elektrische Feldstärke
= Ladung
= Ladung innerhalb des Volumens V
=
Ladung Q, die in der Zeit t durch die Fläche S hindurchtritt
1 BEZEICHNUNGEN
ε0
µ0
= Dielektrizitätszahl des Vakuums
= Permeabilität des Vakuums
%V
=
Raumladungsdichte
~jV
~jD
=
=
Volumenstromdichte
Verschiebungsstromdichte
I
IC
= Stromstärke
= Strom, der durch die von der Kurve C berandete Fläche fließt
~ =
B
~ =
A
1.3
7
Magnetische Induktion
Magnetisches Vektorpotenzial
emf
=
Elektromotorische Kraft
~v
=
Geschwindigkeit
In Kapitel 4 eingeführte Größen und Bezeichnungen
Wpot
=
Potentielle Energie
V
U
=
=
Elektrisches Potential
Elektrische Spannung
~n =
Normalenvektor
%V
%S
%L
%frei
%P
=
=
=
=
=
Raumladungsdichte
Flächenladungsdichte
Linienladungsdichte
Raumladungsdichte der freien Ladungsträger
Polarisationsraumladungsdichte
Qfrei
=
Ladung der freien Ladungsträger
σ
=
Leitfähigkeit
p~ =
~
P =
Dipolmoment
Elektrische Polarisation
~
D
Dielektrische Verschiebung
=
8
1 BEZEICHNUNGEN
1.4
χe
ε
= Elektrische Suszebtibilität
= Relative Dielektrizitätszahl
C
R
=
=
Kapazität
Ohmscher Widerstand
S
d
=
=
Fläche der Platten eines Plattenkondensators
Abstand der Platten eines Plattenkondensators
wel
=
Elektrische Energiedichte
In Kapitel 5 eingeführte Größen und Bezeichnungen
m
~ =
~
M =
Magnetisches Dipolmoment
Magnetisierung
~ = Drehimpuls
L
m = Masse
q = Elementarladung
~jV
~jS
~jPol
~jmagn
~jfrei
= Volumenstromdichte
= Flächenstromdichte
= Polarisationsstromdichte
= Magnetisierungsstromdichte
=
Stromdichte der freien Ladungsträger
~ = Magnetisches Vektorpotential
A
~ magn = Beitrag der Magnetisierungsstromdichte zum Vektorpotential
A
~ frei = Beitrag der freien Stromdichte zum Vektorpotential
A
~
H
=
Magnetfeld
χm = Magnetische Suszebtibilität
µ = Relative Permeabilität
ΦM
=
Skalares magnetisches Potential
wmagn
=
Magnetische Energiedichte
1 BEZEICHNUNGEN
1.5
9
In Kapitel 6 eingeführte Größen und Bezeichnungen
~n =
Normalenvektor
Etan
=
Enorm
=
~ B
~ und H)
~
Tangentialkomponente des E-Feldes (analog für D,
~ B
~ und H)
~
Normalenkomponente des E-Feldes (analog für D,
Φel
=
Skalares elektrisches Potential
Λ
=
Eichfunktion
Ψ = Variable in der Wellengleichung (Platzhalter für andere Größen)
g = Variable in der Wellengleichung (Platzhalter für andere Größen)
1.6
c =
c0 =
Lichtgeschwindigkeit
Vakuumlichtgeschwindigkeit
n
=
Brechzahl
k0
k
~k
~ek
=
=
=
=
Vakuumwellenzahl
Wellenzahl
Wellenvektor
Einheitswellenvektor
ω
=
Kreisfrequenz
In Kapitel 7 eingeführte Größen und Bezeichnungen
Z
=
Re{...} =
t
ϕ
~0
E
E0
=
=
Wellenwiderstand
Realteil einer Funktion
Zeit
Nullphase
E0x
= Amplitudenvektor des E-Feldes (analog für das H-Feld)
= Amplitude des E-Feldes (analog für das H-Feld)
~
= Amplitude des E-Feldes in x-Richtung (analog für H)
E0y
=
E0z
δ
~
Amplitude des E-Feldes in y-Richtung (analog für H)
~
= Amplitude des E-Feldes in z-Richtung (analog für H)
=
Phasenunterschied
10
1 BEZEICHNUNGEN
w
wmech
= Elektrostatische Energiedichte
= Mechanische Leistungsdichte
~
S
=
Poynting-Vektor
~
S
~0
S
=
=
zeitgemittelter Poynting-Vektor
komplexer Poynting-Vektor
cgr
cph
β
=
=
=
Grupengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
Ausbreitungskoeffizient
~kin
~kref
=
~ktr
~ und E)
~
Einfallender Wellenvektor (analog für H
~ und E)
~
= Reflektierter Wellenvektor (analog für H
~ und E)
~
= Transmittierter Wellenvektor (analog für H
ϕref
ϕtr
= Winkel der reflektierten Welle gegenüber der Einfallsebene
= Winkel der transmittierten Welle gegenüber der Einfallsebene
θin
θref
ϕtr
= Winkel der einfallenden Welle gegenüber dem Einfallslot
= Winkel der reflektierten Welle gegenüber dem Einfallslot
= Winkel der transmittierten Welle gegenüber dem Einfallslot
r
t
=
=
Reflexionsfaktor
Transmissionsfaktor
R
T
=
=
Intensitätsreflexionsfaktor
Intensitätstransmissionsfaktor
θiB
θgr
= Brewster-Winkel
= Grenzwinkel der Totalreflexion
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2
11
Mathematische Grundlagen
Im folgenden Kapitel gilt:
f sei eine skalare Funktion.



Ax
~ sei beliebige eine Vektorfunktion A
~ = Ax~ex + Ay ~ey + Az ~ez =  Ay .
A
Az
2.1
Das Skalarprodukt

 

x1
x2
 y1  ◦  y2  = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
z1
z2
(1)
Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gibt 0.
2.2
Das Kreuzprodukt

 
 

a
d
bf − ce
 b  ×  e  =  cd − af 
c
f
ae − bd
(2)
Vorausgesetzt die Vektoren ~a, ~b und ~c haben alle den Betrag 1 und bilden ein
Rechtssystem (das heißt alle 3 Vektoren stehen senkrecht aufeinander), so gilt:
~c = ~a × ~b
2.3
und
~b = ~c × ~a
~a = ~b × ~c
und
(3)
Gradient
Der Gradient ∇ ist gleichbedeutend mit:

∇=
2.4
2.4.1
∂
∂
∂
~ex +
~ey +
~ez = 
∂x
∂y
∂z
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z


(4)
Divergenz
Divergenz (Gradient) einer skalaren Funktion
 ∂ 
∂x f
∂
∂
∂
∂
f 
∇f =
f~ex +
f~ey +
f~ez =  ∂y
∂x
∂y
∂z
∂
∂z f
(5)
Wendet man den Gradienten auf eine skalare Funktion an, ergibt sich eine Vektorfunktion.
2.4.2
Divergenz einer Vektorfunktion
~ =∇◦A
~ = ∂ Ax + ∂ Ay + ∂ Az
divA
∂x
∂y
∂z
(6)
Wendet man den Gradienten auf eine Vektorfunktion an, ergibt sich eine skalare
Funktion.
Ein Feld ist divergenz-, oder quellenfrei, wenn gilt:
~=0
∇◦A
(7)
12
2.5
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Rotation
~=
∇×A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Az −
Ay ~ex +
Ax −
Az ~ey +
Ay −
Ax ~ez =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y

 ∂
∂
∂y Az − ∂z Ay
∂
∂


(8)
∂z Ax − ∂x Az
∂
∂
A
−
A
∂x y
∂y x
Die Rotation einer Vektorfunktion ergibt wiederum eine Vektorfunktion.
Ein Feld ist rotations-, oder wirbelfrei, wenn gilt:
~=0
∇×A
2.6
2.6.1
(9)
Laplace
Laplace einer skalaren Funktion
∆f = (∇ ◦ ∇)f =
∂2
∂2
∂2
f
+
f
+
f
∂x2
∂y 2
∂z 2
(10)
Laplace einer skalaren Funktion ergibt wiederum eine skalare Funktion.
2.6.2
Laplace einer Vektorfunktion
 ∂2
∂x2 Ax +
 ∂2
~
~
∆A = (∇ ◦ ∇)A =  ∂x2 Ay +
∂2
∂x2 Az +
∂2
∂y 2 Ax
∂2
∂y 2 Ay
∂2
∂y 2 Az
+
+
+
∂2
∂z 2 Ax
∂2
∂z 2 Ay
∂2
∂z 2 Az



(11)
Laplace einer Vektorfunktion ergibt wiederum eine Vektorfunktion.
2.7
2.8
Häufig benutzte Rechenregeln
~ = ∇(∇ ◦ A)
~ − ∆A
~
∇ × (∇ × A)
(12)
∇ × (∇f ) = 0
(13)
~ =0
∇ ◦ (∇ × A)
(14)
~ =f ∇◦A
~+A
~ ◦ ∇f
∇ ◦ (f A)
(15)
~ =f ∇×A
~ + (∇f ) × A
~
∇ × (f A)
(16)
~ · B)
~ = (B
~ · ∇)A
~ + (A
~ · ∇)B
~ +A
~ × (∇ × B)
~ +B
~ × (∇ × A)
~
∇(A
(17)
~ × B)
~ = (B
~ · ∇)A
~ − (A
~ · ∇)B
~ + (∇ · B)
~ A
~ − (∇ · A)
~ B
~
∇ × (A
(18)
~ × B)
~ =B
~ ·∇×A
~−A
~·∇×B
~
∇ · (A
(19)
Norm eines Vektors
Die Norm eines Vektors ist folgendermaßen definiert:
k~kk2 = k 2 = ~k ◦ ~k
(20)
Im Gegensatz dazu ist der Betrag eines Vektors gegeben durch:
|~k|2 = ~k ◦ ~k ∗
mit dem komplex konjugierten Vektor ~k ∗ .
(21)
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2.9
13
Zylinderkoordinaten (x, y, z ⇔ ρ, φ, z)
Hinweis:
Sowohl bei den Zylinderkoordinaten, als auch bei den Kugelkoordinaten dient
der griechische Buchstabe Phi als Abkürzung für die Azimutalkomponente.
Zur besseren Unterscheidbarkeit der beiden speziellen Koordinatensysteme werden zwei verschiedene Schreibweisen für den Buchstaben Phi verwendet.
Bei den Zylinderkoordinaten wird die Azimutalkomponente also mit φ, bei den
Kugelkoordinaten mit ϕ bezeichnet.
2.9.1
Definitionsbereich der Zylinderkoordinaten
z
ez
er
x
2.9.2
f
Der Definitionsbereich ist gegeben
durch:
ef
r
y
0 ≤ ρ < ∞, Radialkomponente
0 ≤ φ ≤ 2π, Azimutalkomponente
−∞ < z < ∞, Longitudinalkomponente
Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten
p
x2 + y 2
=
= ρ · cos{φ}
= ρ · sin{φ}
= z
x
x
=p
cos{φ} =
2
ρ
x + y2
y
y
=p
sin{φ} =
2
ρ
x + y2
ρ
x
y
z
2.9.3
2.9.4
2.9.5
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Das vektorielle Linienelement
d~l = dρ ~eρ + ρ dφ ~eφ + dz ~ez
(28)
dl2 = dρ2 + ρ2 dφ2 + dz 2
(29)
Die Flächenelemente

ρ dφ dz ~eρ





~=
dρ dz ~eφ
d2 S





ρ dρ dφ ~ez
auf den Flächen ρ = konstant,
auf den Flächen φ = konstant,
(30)
auf den Flächen z = konstant.
Das Volumenelement
d3~r = dV = ρ dρ dφ dz
(31)
14
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2.9.6
2.9.7
Umrechnung in kartesische Koordinaten

 

~eρ
cos{φ} sin{φ} 0
 ~eφ  = − sin{φ} cos{φ} 0 
~ez
0
0
1

 

~ex
cos{φ} − sin{φ} 0
 ~ey  =  sin{φ} cos{φ} 0 
~ez
0
0
1

~ex
~ey 
~ez

~eρ
~eφ 
~ez
(32)
(33)
Abstand zweier Punkte
Die Vektordifferenz ~r−~r 0 wird in Zylinderkoordinaten folgendermaßen berechnet:
~r − ~r 0 = (ρ − ρ0 cos{φ − φ0 }) · ~eρ + ρ0 sin{φ − φ0 } · ~eφ + (z − z 0 ) · ~ez
Somit ist der Abstand über folgende Beziehung gegeben:
p
|~r − ~r 0|= ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos{φ − φ0 } + (z − z 0 )2
(34)
(35)
Das Betragsquadrat ergibt sich zu:
|~r − ~r 0|2 = ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos{φ − φ0 } + (z − z 0 )2
2.9.8
(36)
Spezielle Beziehungen bei Zylinderkoordinaten
∇ · V = gradV
=
~ = divB
~
∇◦B
=
=
=
∇ ◦ ∇ · V = ∆V
=
=
(37)
1
∂
1 ∂
∂
Bρ +
Bρ +
Bφ +
Bz
ρ
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂
∂
1 ∂
(ρBρ ) +
Bφ +
Bz
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂
∂
∂
(ρBρ ) +
Bφ +
(ρBz )
ρ ∂ρ
∂φ
∂z
(38)
1 ∂
∂2
1 ∂2
∂2
V + 2V + 2 2V + 2V
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
ρ V + 2 2V + 2V
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
(39)
1 ∂
∂
∂
∂
Bz −
Bφ ~eρ +
Bρ −
Bz ~eφ
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
1
∂
1 ∂
+ Bφ +
Bφ −
Bρ ~ez
(40)
ρ
∂ρ
ρ ∂φ
1 ∂
∂
∂
∂
Bz −
Bφ ~eρ +
Bρ −
Bz ~eφ
=
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
1 ∂
∂
+
(ρBφ ) −
Bρ ~ez
ρ ∂ρ
∂φ
1
2 ∂
1
2 ∂
~
∆B = ∆Bρ − 2 Bρ − 2
Bφ ~eρ + ∆Bφ − 2 Bφ + 2
Bρ ~eφ +∆Bz ~ez
ρ
ρ ∂φ
ρ
ρ ∂φ
(41)
~ = rotB
~
∇×B
1 ∂V
∂V
∂V
~eρ +
~eφ +
~ez
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
=
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2.10
2.10.1
Kugelkoordinaten (x, y, z ⇔ θ, ϕ, r)
Defintionsbereich der Kugelkoordinaten
z
Der Definitionsbereich ist gegeben
durch:
er
q
x
2.10.2
ej
eq
r
y
0 ≤ θ ≤ π, Polarkomponente
0 ≤ ϕ ≤ 2π, Azimutalkomponente
0 ≤ r < ∞, Radialkomponente
j
Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten
r
x
x
z
r · ~er
=
=
=
=
=
cos{ϕ} =
sin{ϕ} =
cos{θ} =
sin{θ} =
sin{θ} cos{ϕ} =
sin{θ} sin{ϕ} =
2.10.3
15
p
x2 + y 2 + z 2
r · sin{θ} · cos{ϕ}
r · sin{θ} · sin{ϕ}
r · cos{θ}
x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez
x
p
2
x + y2
y
p
2
x + y2
z
r
r
x2 + y 2
r2
x
r
y
r
2
2
2
2
2
2
dl = dr + r dθ + r sin {θ} dϕ
2.10.5
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
Das vektorielle Linienelement
d~l = dr ~er + r sin{θ} dϕ ~eϕ + r dθ ~eθ
2.10.4
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
Die Flächenelemente
 2
r sin{θ} dθ dϕ ~er





~=
r dr dθ ~eϕ
d2 S





r sin{θ} dr dϕ ~eθ
2
(53)
(54)
auf den Flächen r = konstant,
auf den Flächen ϕ = konstant,
(55)
auf den Flächen θ = konstant.
Das Volumenelement
d3~r = dV = r2 sin{θ} dr dϕ dθ
(56)
16
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2.10.6

Umrechnung in kartesische Koordinaten
 

~er
sin{θ} cos{ϕ} sin{θ} sin{ϕ} cos{θ}
 ~eθ  = cos{θ} cos{ϕ} cos{θ} sin{ϕ} − sin{θ} 
~eϕ
− sin{ϕ}
cos{ϕ}
0

 

~ex
sin{θ} cos{ϕ} cos{θ} cos{ϕ} − sin{ϕ}
 ~ey  =  sin{θ} sin{ϕ} cos{θ} sin{ϕ} cos{ϕ}  
~ez
cos{θ}
− sin{θ}
0
2.10.7
(57)
(58)
Spezielle Beziehungen bei Kugelkoordinaten
∇ · V = gradV =
~ = divB
~
∇◦B
=
=
=
1
∂V
1 ∂V
∂V
~er +
~eϕ +
~eθ
∂r
r sin{θ} ∂ϕ
r ∂θ
(59)
2
∂
1
∂
1
1 ∂
Br +
Br +
Bϕ +
Bθ +
Bθ
r
∂r
r sin{θ} ∂ϕ
r tan{θ}
r ∂θ
1 ∂ 2
1
∂
1
∂
(r Br ) +
Bϕ +
(sin{θ}Bθ )(60)
r2 ∂r
r sin{θ} ∂ϕ
r sin{θ} ∂θ
1
∂ 2
∂
∂
(r
sin{θ}B
)
+
(rB
)
+
(r
sin{θ}B
)
r
ϕ
θ
r2 sin{θ} ∂r
∂ϕ
∂θ
∇ ◦ ∇ · V = ∆V
~ = rotB
~
∇×B
~
∆B

~ex
~ey 
~ez

~er
~eθ 
~eϕ
2 ∂
∂2
1 ∂2
1
∂
V + 2V + 2
V + 2 2V
r ∂r
∂r
r tan{θ} ∂θ
r ∂θ
2
1
∂
+ 2 2
V
(61)
∂ϕ
r sin {θ} 2
1
∂
1 ∂
∂
∂
=
r2 V + 2
sin{θ} V
r2 ∂r
∂r
r sin{θ} ∂θ
∂θ
1
∂2
+ 2 2
V
r sin {θ} ∂ϕ2
=
1
1 ∂
1
∂
Bϕ +
Bϕ −
Bθ ~er
r tan{θ}
r ∂θ
r sin{θ} ∂ϕ
∂
1
∂
1
Br − Bϕ −
Bϕ ~eθ
+
r sin{θ} ∂ϕ
r
∂r
1
∂
1 ∂
+ Bθ +
Bθ −
Br ~eϕ
r
∂r
r ∂θ
1
∂
∂
=
(r sin{θ}Bϕ ) −
(rBθ ) ~er
r2 sin{θ} ∂θ
∂ϕ
∂
∂
1
Br −
(r sin{θ}Bϕ ) ~eθ
+
r sin{θ} ∂ϕ
∂r
1 ∂
∂
(rBθ ) −
Br ~eϕ
+
r ∂r
∂θ
=
(62)
2
∂
2
∂
2
=
∆Br − 2 Br −
(sin{θ}Bθ ) − 2
Bϕ ~er
r
r sin{θ} ∂θ
r sin{θ} ∂ϕ
2
∂
2 cos{θ} ∂
1
+ ∆Bϕ + 2
Br + 2 2
Bθ − 2 2
Bϕ ~eϕ
r sin{θ} ∂ϕ
r sin {θ} ∂ϕ
r sin {θ}
2 ∂
1
2 cos{θ} ∂
+ ∆Bθ + 2 Br − 2 2
Bθ − 2 2
Bϕ ~eθ
(63)
r ∂θ
r sin {θ}
r sin {θ} ∂ϕ
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
2.11
2.11.1
17
Sonstiges
Lösungsansätze für Differentialgleichungen
Für die DGL
∂2
V +c·V =0
∂x2
eignet sich der folgende Lösungsansatz:
V = A · exp{iλx} + B · exp{−iλx}
2.11.2
2.11.3
2.11.4
(64)
(65)
Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
sin z =
eiz − e−iz
2i
(66)
cos z =
eiz + e−iz
2
(67)
Häufig benötigte Integrale
Z
1
1
sin 2ax
sin2 ax dx = x −
2
4a
Z
1
1
sin 2ax
cos2 ax dx = x +
2
4a
(68)
(69)
Imaginäre E-Funktionen
ex+iy = ex (cos y + i sin y)
Das heißt zum Beispiel:
π
ei 2 = i
(70)
(71)
18
3
3.1
3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
Herleitung der Maxwellschen Gleichungen
Der Gaußsche Integralsatz
ZZZ
ZZ
3
~
~
∇ ◦ T {~r} d r = T~ {~r} ◦ d2 S
V
3.2
(72)
SV
Der Stokessche Integralsatz
ZZ I
2~
~
∇ × T {~r} ◦ d S = T~ {~r} ◦ d~l
SC
(73)
C
Der Stokessche Integralsatz gilt nur dann, wenn das Vektorfeld über das integriert wird, keine Polstellen enthält.
3.3
Das Coulombsche Gesetz
Q1
F12
(r2-r1) Q2
r1
r2
Ursprung
Das Coulombsche Gesetz ist gegeben durch folgenden Zusammenhang:
Q1 Q2 ~r2 − ~r1
F~12 {~r} =
4πε0 |~r2 − ~r1|3
(74)
Die Kraft F~12 ist dabei die durch Q1 auf Q2 ausgeübte Kraft.
Die entgegengesetzte Kraft F~21 auf Q1 ist gleich groß, wie F~12 , hat aber ein
negatives Vorzeichen.
Bei mehr als 2 Ladungen, ergibt sich die Gesamtkraft, durch Überlagerung,
also Summieren der Einzelkräfte:
F~ {~r} =
3.3.1
N
Q X Qi (~r − ~ri )
4πε0 i=1 |~r − ~ri|3
(75)
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Bei zeitabhängigen Feldern verliert das Coulombsche Gesetz seine Gültigkeit.
3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
3.4
19
Die elektrische Feldstärke
Die elektrische Feldstärke ist gegeben durch folgende Defintion:
~
~ r} = F {~r}
E{~
Q{~r}
(76)
Das Coulombsche Gesetz oben eingesetzt, besagt somit, dass eine Ladung Q0 ,
die sich am Ort ~r 0 befindet, an einem beliebigen Ort ~r die Feldstärke
0
0
~ r} = Q (~r − ~r )
E{~
4πε0 |~r − ~r 0|3
(77)
erzeugt.
Bei mehr als 2 Ladungen verändert sich die Gleichung zu:
N
N
X
X
~
Qi (~r − ~ri )
~ i (~r) =
~ r} = F {~r} =
E
E{~
Q{~r}
4πε0 |~r − ~ri|3
i=1
i=1
3.4.1
(78)
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Bei zeitabhängigen Feldern verliert das Coulombsche Gesetz seine Gültigkeit.
3.5
3.5.1
Das Gaußsche Gesetz (3. Maxwell-Gleichung)
Das Gaußsche Gesetz in Integralform
ZZ
ZZZ
QV
~ r } ◦ d2 S
~= 1
E{~
%V {~r 0 }d3 r0 =
ε0
ε0
SV
3.5.2
(79)
V
Das Gaußsche Gesetz in Differentialform
Durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes (Gleichung (72)) auf Gleichung
(79), ergibt sich die Differentialform des Gaußschen Gesetzes:
~ r} = %V {~r}
ε0 ∇ ◦ E{~
3.5.3
(80)
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Bei zeitabhängigen Feldern behält das Gaußsche Gesetz, wie alle MaxwellGleichungen seine Gültigkeit.
20
3.6
3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
Das Biot-Savart-Gesetz
Zur Aufstellung des Biot-Savart-Gesetz muss zunächst die Stromdichte ~jV
folgendermaßen definiert werden:
~jV {~r} = %V {~r} ~v {~r}
Der Strom selbst ist dann gegeben durch:
ZZ
ZZZ
QS
~=
I = ~jV ◦ d2 S
∇ ◦ ~jV d3 r =
t
S
(81)
(82)
V
Das Biot-Savart-Gesetz schließlich ist gegeben durch folgenden Zusammenhang:
~ r} =
B{~
ZZZ
µ0 ~jV {~r 0 } × (~r − ~r 0 ) 3 0
d r
4π
|~r − ~r 0|3
(83)
V
3.6.1
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Bei zeitabhängigen Feldern verliert das Biot-Savart-Gesetz seine Gültigkeit.
3.7
Das magnetische Vektorpotential (4. Maxwell-Gleichung)
Das Biot-Savart-Gesetz lässt sich mit einigen Umformungen auch wie folgt
schreiben:
Z Z∞Z
µ0 ~jV {~r 0 } 3 0
~ r} = ∇ ×
d r
(84)
B{~
4π |~r − ~r 0|
−∞
~ r} folgendermaßen ein:
Wir führen das magnetische Vektorpotential A{~
~ r} =
A{~
Z Z∞Z
µ0 ~jV {~r 0 } 3 0
d r
4π |~r − ~r 0|
(85)
−∞
~ ist dabei eine reine Hilfsgröße, ohne direkte physikalische Bedeutung.
A
Mit ihr vereinfacht sich jedoch das Biot-Savart-Gesetz zu:
~ r} = ∇ × A{~
~ r}
B{~
(86)
Laut den Gleichungen (14) und (86) gilt nun:
~ r} = ∇ ◦ (∇ × A{~
~ r}) = 0
∇ ◦ B{~
(87)
Dies ist die 4. Maxwell-Gleichung. Sie besagt, dass Magnetfelder grundsätzlich quellenfrei sind.
3.7.1
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Auch die 4. Maxwell-Gleichung behält ihre Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern.
3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
3.8
21
Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungsgesetz)
3.8.1
Das Ampèresche Gesetz in Differentialform
~ r} = µ0 ~jV {~r}
∇ × B{~
3.8.2
(88)
Das Ampèresche Gesetz in Integralform
Wendet man den Stokesschen Integralsatz (Gleichung (73)) auf Gleichung (88)
an, so erhält man die integrale Form des Ampèreschen Gesetz:
I
~ r} ◦ d~l =
B{~
C
ZZ ZZ
~ r } ◦ d2 S
~ = µ0
~ = µ0 IC
~jV {~r} ◦ d2 S
∇ × B{~
SC
(89)
SC
Das Ampère-Gesetz besagt damit, dass das geschlossene Linienintegral der magnetischen Induktion bis auf den Faktor µ0 gleich dem durch die umschlossene
Fläche fließenden Strom ist.
3.8.3
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Das Ampèresche Gesetz gilt nur im statischen Fall, also wenn gilt:
∂%V
∂t
=0
Es kann jedoch für den zeitabhängigen Fall modifiziert werden:
3.9
Das modifizierte Ampèregesetz (1. Maxwell-Gleichung)
3.9.1
Das modifizierte Ampèregesetz in Differentialform
~ r} = µ0
∇ × B{~
~
~jV {~r} + ε0 ∂ E{~r}
∂t
!
(90)
mit der Verschiebungsstromdichte ~jD :
~
~jD {~r} = ε0 ∂ E{~r}
∂t
3.9.2
(91)
Das modifizierte Ampèregesetz in Integralform
Durch Anwendung des Stokesschen Integralsatzes erhält man das modifizierte
Ampèregesetz in Integralform:
I
C
~ r} ◦ d~l =
B{~
ZZ SC
ZZ
2~
~
∇ × B{~r} ◦ d S = µ0
~
~jV {~r} + ε0 ∂ E{~r}
∂t
!
~
◦ d2 S
SC
(92)
22
3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN
3.10
3.10.1
Das Faradaysche Induktionsgesetz (2. Maxwell-Gleichung)
Das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform
I
emf =
~ r} ◦ d~l = − d
E{~
dt
~ r } ◦ d2 S
~
B{~
(93)
SC
C
3.10.2
ZZ
Das Faradaysche Induktionsgesetz in Differentialform
Durch Anwendung des Stokesschen Integralsatzes erhält man das FaradayGesetz in Differentialform:
~ r} = −
∇ × E{~
3.11
~ r}
∂ B{~
∂t
(94)
Die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum
Nun wurden alle 4 Maxwell-Gleichungen für das Vakuum sowohl in integraler, als auch in differentieller Form hergeleitet.
Hier noch einmal eine Übersicht über die Gleichungen in der wichtigeren, differentiellen Schreibweise:
~ = µ0 ~jV + ε0 ∂ E~
1. Maxwell-Gleichung ∇ × B
Ampère-Gesetz
∂t
3. Maxwell-Gleichung
~ = − ∂ B~
∇×E
∂t
~ = 1 %V
∇◦E
4. Maxwell-Gleichung
~ =0
∇◦B
2. Maxwell-Gleichung
ε0
Faraday-Gesetz
Gaußsches Gesetz
-
Neben dem Coulombgesetz, dem Biot-Savart-Gesetz und den 4 Maxwell-Gleichungen
hat sowohl die Kontinuitätsgleichung, als auch die Lorentzkraft eine große Bedeutung:
3.12
Die Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung ist die mathematische Formulierung des Prinzips
der Erhaltung der elektrischen Ladung.
∂%V {~r, t}
+ ∇ ◦ ~jV {~r, t} = 0
∂t
3.12.1
(95)
Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern
Die Kontinuitätsgleichung ist allgemein gültig.
3.13
Die Lorentzkraft
~ B
~ und F~ :
Die Lorentzkraft liefert eine Verbindung der Größen E,
~ + Q(~v × B)
~
F~ = QE
(96)
4 ELEKTROSTATIK
4
4.1
23
Elektrostatik
Grundlegende Gesetze der Elektrostatik
Neben dem Coulombschen Gesetz für die Kraft und die Feldstärke gelten in der
Elektrostatik folgende vereinfachende Bedingungen:
∂
∂t
~j
∂%
∂t
~
B
F~Lorentz
=
0
(97)
=
0
(98)
=
0
(99)
=
0
(100)
~
= QE
(101)
Die Maxwell-Gleichungen vereinfachen sich zu:
~
∇×E
~
∇◦E
4.2
4.2.1
=
0
%V
=
ε0
(102)
(103)
Energie, Potential, Feldstärke und Spannung
Potentielle Energie im elektrischen Feld
Um eine Ladung Q von einem Anfangspunkt ~ra zu einem Endpunkt ~r zu bringen,
muss folgende Arbeit aufgewendet werden:
Z~r
Wpot = −Q
~ ◦ d~l
E
(104)
~
ra
Da kein Perpetuum mobile exisitieren kann, gilt bei einer geschlossenen Kurve:
I
~ ◦ d~l = 0
E
(105)
C
4.2.2
Potential und Spannung
Das elektrische Potential ist wie folgt definiert:
V~ra ,~r
dWpot
=
= V (~ra ) −
dQ
Z~r
~
ra
~ ◦ d~l = −
E
Z~r
|~
ra|=∞
mit dem häufig gewählten Bezugspunkt: V (|~ra |= ∞) = 0.
~ ◦ d~l
E
(106)
24
4 ELEKTROSTATIK
In differentieller Form geschrieben lautet das Gesetz:
~ r} = −∇V {~r}
E{~
(107)
Die Spannung zwischen 2 Punkten ~r1 und ~r2 ergibt sich als Potentialdifferenz:
Z~r2
U21 = V (~r2 ) − V (~r1 ) = −
~ ◦ d~l
E
(108)
~
r1
4.2.3
Feldstärke und Potential kontinuierlicher Ladungsverteilungen
Für das E-Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung %V im Ort ~r 0 gilt:
~ r} =
E{~
1
4πε0
ZZZ
%V {~r 0 }(~r − ~r 0 ) 3 0
d r
|~r − ~r 0|3
(109)
V
Für das Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung %V im Ort ~r 0 gilt:
1
V {~r} =
4πε0
ZZZ
%V {~r 0 } 3 0
d r
|~r − ~r 0|
(110)
V
4.2.4
4.2.4.1
Feldstärke und Potential spezieller Ladungsverteilungen
Feldstärke und Potential einer Punktladung im Ursprung
Für das E-Feld einer Punktladung im Ursprung ergibt sich in Kugelkoordinaten:
~ r} = Q · ~er
E{~
(111)
4πε0 r2
In kartesischen Koordinaten ergibt sich der weitaus kompliziertere Ausdruck:


x
Q
~
 y 
(112)
E{x,
y, z} =
3
4πε0 (x2 + y 2 + z 2 ) 2
z
Für das Potential ergibt sich:
V {~r} =
Q 1
4πε0 r
(113)
4 ELEKTROSTATIK
25
4.2.4.2 Feldstärke und Potential einer Punktladung an einem beliebigen Ort
Für das E-Feld einer Punktladung am Ort ~r 0 gilt:
~ r} =
E{~
Q (~r − ~r 0 )
4πε0 |~r − ~r 0|3
(114)
Für das Potential einer Punktladung am Ort ~r 0 gilt:
V {~r} =
Q
1
4πε0 |~r − ~r 0|
(115)
Bei mehreren Punktladungen, ergibt sich das Potential durch Superposition:
V {~r} =
4.2.4.3
N
X
Qi
1
4πε0 |~r − ~ri|
i=1
(116)
Feldstärke und Potential einer Linienladung auf der z-Achse
Für eine Linienladungsdichte auf der z-Achse ist die Raumladungsdichte gegeben durch:
%V {~r} = %L {z} δ(x) δ(y)
(117)
Das E-Feld ergibt sich zu:


x
%
L
~ r} =
 y  = %L ~eρ
E{~
2πε0 (x2 + y 2 )
2πε0 ρ
0
(118)
Für das Potential gilt:
%L
V {~r} = V (ρ0 ) +
ln
2πε0
4.2.4.4
ρ0
ρ
(119)
Feldstärke einer Flächenladung in der Ebene z=0
Für eine Flächenladung in der Ebene z=0 ist die Raumladungsdichte gegeben
durch:
%V {~r} = %S δ(z)
(120)
Das E-Feld ergibt sich zu:


0
%
S
~ r} =
 0  = %S · ~n
E{~
2ε0
2ε0
z
|z|
(121)
26
4.3
4.3.1
4 ELEKTROSTATIK
Elektrische Leiter und Dielektrika
Das Ohmsche Gesetz
~
~jOhm = σ E
4.3.2
(122)
Dipole in Dielektrika
Dielektrika besitzen keine beweglichen Ladungsträger, allerdings verschiebt sich
im äußeren elektrischen Feld die negativ geladene Elektronenhülle leicht gegenüber den positiv geladenen Atomrümpfen. Es bilden sich Dipole aus.
+Q
+
V(r)
(r-r´)
d
r
r´
-Q -
Ursprung
Nach der obigen Abbildung definiert man das sogenannte Dipolmoment:
p~ = Qd~
(123)
wobei der Vektor d~ immer von der negativen zur positiven Ladung zeigt.
Bei n Dipolen in einem Volumen ∆V gilt für das Gesamtdipolmoment:
p~ges =
n
X
p~i
(124)
i=1
4.3.3
Die elektrische Polarisation
Die elektrische Polarisation wird als Dipolmoment pro Volumen definiert:
n
d~
pges
1 X
p~i =
∆V →0 ∆V
dV
i=1
P~ {~r} = lim
Für n gleiche elementare Dipole p~ = p~i = Qd~ gilt:
P~ = nQd~
(125)
(126)
Das Potential einer Dipolverteilung ist gegeben durch:
V {~r} =
ZZZ ~ 0
P {~r } ◦ (~r − ~r 0 ) 3 0
d r
4πε0 |~r − ~r 0|3
V
(127)
4 ELEKTROSTATIK
4.3.4
27
Die Polarisationsraumladungsdichte
Wir betrachten nun einen Körper in dem frei bewegliche Ladungen der Ladungsdichte %frei und ortsfeste Dipole der Polarisation P~ vorhanden sind.
Das Potential dieses Modells lautet:
Z Z∞Z
V {~r} = V0 +
−∞
%frei {~r 0 } − ∇0 ◦ P~ {~r 0 } 3 0
d r
4πε0 |~r − ~r 0|
(128)
mit der Polarisationsraumladungsdichte:
%P = −∇ ◦ P~
(129)
%V = %frei + %P = %frei − ∇ ◦ P~
(130)
Es gilt:
4.4
~
Die dielektrische Verschiebung D
Man führt nun die dielektrische Verschiebung wie folgt ein:
~ = ε0 E
~ + P~
D
(131)
Somit ergibt sich das Gaußsche Gesetz für die dielektrische Verschiebung:
~ = ε0 ∇ ◦ E
~ + ∇ ◦ P~ = %V − %P = %frei
∇◦D
(132)
~ ist gleich der gesamten freien Ladung im Volumen:
Das Oberflächenintegral über D
ZZ
ZZZ
~ ◦ d2 S
~=
D
%frei {~r}d3 r = Qfrei
(133)
S
4.4.1
V
Die elektrische Suszeptibilität und die relative Dielektrizitätskonstante
Die Ausbildung elementarer Dipole in Dielektrika ist in vielen Fällen eine Reaktion auf ein äußeres Feld.
Deshalb gilt in isotropen Materialien:
~
P~ = χe ε0 E
(134)
Für die dielektrische Verschiebung folgt:
~ = ε0 E
~ + χe ε0 E
~ = (1 + χe )ε0 E
~ = εε0 E
~
D
(135)
mit der relativen Dielektrizitätskonstante:
ε = ε{~r} = 1 + χe
(136)
28
4.5
4.5.1
4 ELEKTROSTATIK
Potenzial-, Poisson- und Laplace-Gleichung
Die Potenzialgleichung
In linearen, isotropen Medien gilt die Potenzialgleichung:
ε{~r}ε0 ∆V {~r} + ε0 ∇ε{~r} ◦ ∇V {~r} = −%frei {~r}
4.5.2
(137)
Die Poissongleichung
In homogenen Medien ist ε{~r} konstant und es gilt die Poissongleichung:
∆V {~r} = −
4.5.3
%frei {~r}
εε0
(138)
Die Laplacegleichung
In raumladungsfreien Gebieten ist %frei = 0 und es gilt die Laplacegleichung:
∆V {~r} = 0
4.6
4.6.1
Kapazität und Widerstand
Kapazität eines Parallelplattenkondensators
C=
4.6.2
(139)
εε0 S
d
(140)
Kapazität eines Kugelkondensators
C=
4πεε0
− r12
1
r1
(141)
wobei r1 der Radius der inneren und r2 der Radius der äußeren Kugel ist.
4.6.3
Widerstand eines quaderförmigen Leiters
Der Widerstand eines quaderförmigen Leiters der Länge l mit Querschnittsfläche
S und konstantem E-Feld ist:
l
R=
(142)
σS
4.7
Energiedichte im elektrostatischen Feld
wel =
~ 2
|D|
1
~ 2= 1 E
~ ◦D
~
= εε0 |E|
2εε0
2
2
(143)
5 MAGNETOSTATIK
5
5.1
29
Magnetostatik
Grundlegende Gesetze der Magnetostatik
Neben dem Biot-Savart-Gesetz für das B-Feld gelten in der Magnetostatik folgende vereinfachende Bedingungen:
∂
∂t
∇ ◦ ~jV
∂%V
∂t
=
0
(144)
=
0
(145)
=
0
(146)
Die Maxwell-Gleichungen vereinfachen sich zu:
~
∇×B
~
∇◦B
5.2
5.2.1
= µ0~jV
(147)
=
(148)
0
Magnetfelder spezieller Anordnungen
Magnetfeld eines geraden Stromfadens
Für die Stromdichte eines Stromfadens entlang der z-Achse gilt:
~jV {~r} = I δ(x) δ(y) ~ez
(149)
Für das Magnetfeld in Zylinderkoordinaten gilt dann:
Iµ0
~
~eφ
B{x,
y, 0} =
2πρ
(150)
Da das B-Feld zylindersymmetrisch ist, spielt die z-Koordinate keine Rolle.
5.2.2
Magnetfeld bei zylindersymmetrischer Stromverteilung
Bei zylindersymmetrischer Stromverteilung gilt:
~ = Iµ0 ~eφ
B
2πρ
(151)
Das Ergebnis des geraden Stromfadens gilt also auch allgemein bei zylindersymmetrischer Stromverteilung.
5.2.3
Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife
Für die Stromdichte einer Stromschleife in der x-y-Ebene und mit dem Urpsrung
als Mittelpunkt gilt:
~jV {~r} = I δ(z) δ(ρ − ρ0 ) ~eφ
(152)
Für Aufpunkte auf der z-Achse (~r = (0, 0, z)T ) gilt:
~ r} = Iµ0
B{~
2
ρ20
3
(z 2 + ρ20 ) 2
~ez
(153)
30
5.3
5 MAGNETOSTATIK
Das magnetische Dipolmoment
Das magnetische Dipolmoment einer räumlich begrenzten Stromverteilung
wird folgendermaßen definiert:
m
~ =
1
2
ZZZ
~r 0 × ~jV {~r 0 }d3 r0
(154)
V
Außerhalb der Stromverteilung ergibt sich für das magnetische Vektorpotential
in erster Näherung:
~ × ~r
~ r} = µ0 m
A{~
4π |~r|3
(155)
Wenn die magnetische Induktion hinreichend weit weg von der Stromdichteverteilung ~j bestimmt wird, gilt:
~ ◦ ~er ) · ~er − m
~
~ r} = µ0 3(m
B{~
4π
|~r|3
5.3.1
(156)
Magnetisches Dipolmoment eines geschlossenen Stromfadens
Für einen geschlossenen Stromfaden gilt:
I
I
m
~ =
~r × d~l{~r}
2
(157)
C
Durchläuft ~l{~r} die ganze Kurve C, so erhält man:
|~
m|=|I| SC
5.3.2
(158)
Magnetisches Dipolmoment bewegter Punktladungen
Wenn alle N Teilchen dieselbe Masse m und Ladung q haben, gilt:
N
m
~ =
1 q X~
1 q~
Li =
L
2 m i=1
2 m
(159)
~ i = mi ~ri × ~vi
L
(160)
mit dem Drehimpuls
5 MAGNETOSTATIK
5.4
31
Magnetisierbare Materie
Die magnetische Induktion entsteht aus:
1. dem Beitrag der Bewegung elektrischer Dipole.
2. dem Beitrag der ortsfesten magnetischen Dipole.
3. dem Beitrag der freien Ladungsträger.
5.4.1
Beitrag elektrischer Dipole zum Magnetfeld
~
~jP ol = ∂ P
∂t
(161)
~jP ol = 0
(162)
In der Magnetostatik gilt:
5.4.2
Beitrag magnetischer Dipole zum Magnetfeld
Durch die Elektronenbewegung in der Materie können mikroskopische Kreisströme entstehen, die ein infinitesimales magnetisches Dipolmoment d3 m
~ besitzen und somit das Magnetfeld beeinflussen.
Wir definieren die Magnetisierung als magnetische Dipolmomentdichte
(magnetisches Dipolmoment pro Volumen):
3
~ r}
~ {~r} = d m{~
M
d3 r
~ magn {~r} = µ0
A
4π
Z Z∞Z
~ {~r 0 } × (~r − ~r 0 )
M
d3 r 0
|~r − ~r 0|3
(163)
(164)
−∞
Man kann auch schreiben:
~ magn {~r} = µ0
A
4π
Z Z∞Z ~
jmagn {~r 0 } 3 0
d r
|~r − ~r 0|
(165)
−∞
mit der Magnetisierungsstromdichte
~ {~r}
~jmagn {~r} = ∇ × M
5.4.3
(166)
Beitrag freier Ladungsträger zum Magnetfeld
~ frei {~r} = µ0
A
4π
Z Z∞Z ~
jfrei {~r 0 } 3 0
d r
|~r − ~r 0|
(167)
−∞
5.4.4
Gesamtmagnetfeld
Insgesamt gilt in der Magnetostatik:
~jV = ~jfrei + ~jmagn
(168)
32
5.5
5 MAGNETOSTATIK
~
Das Magnetfeld H
Man führt nun das Magnetfeld wie folgt ein:
~ = 1B
~ −M
~
H
µ0
(169)
Somit ergibt sich das modifizierte Ampèregesetz für das Magnetfeld:
~ = 1 ∇×B
~ −∇×M
~ = ~jV − ~jmagn = ~jfrei
∇×H
µ0
5.5.1
(170)
Die magnetische Suszeptibilität und die relative Permeabilität
Für isotrope Stoffe gilt:
χm ~
~ = 1
M
B
µ0 1 + χm
(171)
Für das Magnetfeld folgt:
χm ~
~− 1
~ = 1B
B=
H
µ0
µ0 1 + χm
χm
1−
1 + χm
1 ~
B=
µ0
1
1 + χm
1 ~
1 ~
B=
B
µ0
µµ0
(172)
Daraus folgt:
~ = µµ0 H
~
B
(173)
mit der relativen Permeabilität:
µ = µ{~r} = 1 + χm
5.6
(174)
Das skalare magnetische Potential
Unter der Randbedingung ~jfrei = 0 gilt:
~ =0
∇×H
(175)
Deswegen gibt es ein skalares magnetisches Potential ΦM , so dass gilt:
~ = −∇ΦM
H
(176)
Für lineare Medien gilt nun die Laplace-Gleichung:
−µµ0 ∆ΦM = 0
(177)
Für nichtlineare Medien mit Magnetisierung gilt die Coulombgleichung:
~
∆ΦM = ∇ ◦ M
5.7
(178)
Energiedichte im magnetostatischen Feld
wmagn {~r} =
1~
~ r}
H{~r} ◦ B{~
2
(179)
6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG
6
6.1
33
Maxwell-Gleichungen und Wellengleichung
Die Maxwell-Gleichungen in polarisierbarer Materie
Berücksichtigt man alle Ströme und Ladungen (also auch Dipolladungen, etc.)
lässt sich keine der Vereinfachungen der Elektrostatik oder Magnetostatik mehr
vornehmen.
Man muss das vollständige System der Maxwellgleichungen, wie sie in § 3.11
zusammengefasst wurden, berücksichtigen.
Wir wollen nun die Maxwellgleichungen für das Vakuum aus § 3.11 für Materie verallgemeinern.
Dazu fassen wir noch einmal unsere Erkenntnisse der letzten Kapitel zu den
verschiedenen Raumladungsdichten und Stromdichten zusammen:
%P = −∇ ◦ P~
und
%magn = 0
und
~
~jPol = ∂ P
∂t
~
~jmagn = ∇ × M
%V = %frei + %P + %magn
und
~jV = ~jfrei + ~jP ol + ~jmagn
(180)
(181)
(182)
Die Größe %magn wird dabei nur eingeführt, um die Analogie zwischen Ladungsdichte und Stromdichte zu verdeutlichen. Da es nach unserem heutigen Wissensstand keine magnetischen Ladungen gibt, ist %magn immer 0.
Berücksichtigt man nun noch die Gleichungen (131) und (169) ergeben sich die
Maxwell-Gleichungen für polarisierbare und magnetisierbare Materie:
∂ ~ ~
D + jfrei
∂t
~ =−∂B
~
∇×E
∂t
~ = %frei
∇◦D
~ =
∇×H
~ =0
∇◦B
(183)
(184)
(185)
(186)
34
6.2
6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG
Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen
Es gelten die Materialgleichungen:
6.2.1
~ = εε0 E
~
D
(187)
~ = µµ0 H
~
B
(188)
Allgemeine Stetigkeitsbedingungen
1. E-Feld:
h
i
~2 − E
~ 1 × ~n = 0
~n × E
bzw.
Etan1 = Etan2
(189)
2. B-Feld:
~2 − B
~1 = 0
~n ◦ B
3. D-Feld:
4. H-Feld:
5. Stromdichte:
6.2.2
bzw.
Bnorm1 = Bnorm2
(190)
~2 −D
~ 1 = %S
~n ◦ D
(191)
~2 − H
~ 1 = ~jS
~n × H
(192)
∂
~n ◦ ~j2 − ~j1 = %S
∂t
(193)
Stetigkeitsbedingungen zwischen 2 Dielektrika
Ideale Dielektrika sind nicht leitend und tragen keinerlei Ladungen:
%S = ~jS = 0
(194)
Somit lauten die Stetigkeitsbedingungen für diesen Fall:
1. E-Feld:
2. B-Feld:
3. D-Feld:
4. H-Feld:
h
i
~2 − E
~ 1 × ~n = 0
~n × E
(195)
Etan1 = Etan2
(196)
~2 − B
~1 = 0
~n ◦ B
(197)
Bnorm1 = Bnorm2
(198)
~2 −D
~1 = 0
~n ◦ D
(199)
Dnorm1 = Dnorm2
(200)
h
i
~2 − H
~ 1 × ~n = 0
~n × H
(201)
Htan1 = Htan2
(202)
6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG
35
An einer Oberflächenladungs- und Oberflächenstromfreien Grenzfläche erge~ D-,
~ B-,
~ bzw. H-Felder:
~
ben sich also folgende Verläufe für die Vektoren der E-,
e1
e2
E1
Enorm1
Dnorm1
Etan1
D1
Dtan1
D2
Dnorm2=Dnorm1
E2
Enorm2
Dtan2
Etan2=Etan1
m1
m2
Hnorm1
H1
Bnorm1
Htan1
B1
Btan1
Bnorm2=Bnorm1
H2
Hnorm2
B2
Btan2
Htan2=Htan1
6.3
Das skalare elektrische Potential
Mit Gleichung (86) und dem Faraday-Gesetz folgt:
~+ ∂A
~ =0
∇× E
∂t
(203)
Hieraus folgt, dass ein skalares elektrisches Potential Φel existiert, so dass:
~
~+ ∂A
∇Φel = − E
∂t
(204)
~ = −∇Φel − ∂ A
~
E
∂t
(205)
Für das E-Feld folgt nun:
∂
Φel geht im statischen Fall ( ∂t
= 0) in das elektrische Potential V über.
6.4
Eichtransformation
Mit der Einführung des skalaren elektrischen Potentials gilt:
~ − εε0 µµ0
∆A
∂2 ~
~ + εε0 µµ0 ∂ Φel = −µµ0~jfrei
A
−
∇
∇
◦
A
∂t2
∂t
∆Φel + ∇ ◦
6.4.1
%frei
∂ ~
A=−
∂t
εε0
(206)
(207)
Ziel einer Eichtransformation
Die beiden Gleichungen (206) und (207) sind eichinvariant, das heißt die Form
der Gleichungen bleibt bei einer Eichtransformation erhalten. Allerdings können
die beiden Gleichungen mit einer Eichtransformation deutlich vereinfacht werden.
Die wichtigsten Eichtransformationen sind die Coulomb- und die Lorentzeichung.
36
6.4.2
6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG
Transformationsgleichungen
~ ist über die Bedingung
Das magnetische Vektorpotential A
~ =∇×A
~
B
(208)
~ erfüllt auch A
~0 = A
~ + ∇Λ diese Gleinicht eindeutig bestimmt, denn außer A
~0
chung. Je nach Wahl der beliebigen skalaren Funktion Λ können sich für A
unendlich viele Lösungen ergeben.
Λ heißt Eichfunktion. Mit ihr lassen sich sogenannte Eichtransformationen
nach folgenden Gleichungen durchführen:
~0 =A
~ + ∇Λ
A
Φ0el = Φel −
∂
Λ
∂t
(209)
(210)
~ bei
Die zweite Transformationsgleichung ist notwendig, damit die Feldstärke E
~ unverändert bleibt.
einer Transformation von A
~ als
Eine solche Transformation ist natürlich nur deswegen erlaubt, da sowohl A,
auch Φel reine Hilfsgrößen ohne physikalische Bedeutung sind.
6.4.3
Die Coulomb-Eichung
Die Coulomb-Eichung ist gegeben durch:
~=0
∇◦A
(211)
~ 6= 0 wählt man die Eichfunktion Λ als Lösung der Gleichung:
Falls ∇ ◦ A
~
∆Λ = −∇ ◦ A
(212)
~ 0 ergibt sich automatisch ∇ ◦ A
~ 0 = 0.
Mit dem resultierenden A
Mit der Coulombeichung vereinfachen sich die Gleichungen (206) und (207) zu:
~ − εε0 µµ0
∆A
∂2 ~
∂
A = εε0 µµ0 ∇ Φel − µµ0~jfrei
∂t2
∂t
%frei
∆Φel = −
εε0
(213)
(214)
mit dem sogenannten Coulomb-Integral als Lösung:
1
Φel {~r, t} =
4πεε0
Z Z∞Z
−∞
%frei {~r 0 , t} 3 0
d r
|~r − ~r 0|
(215)
6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG
6.4.4
37
Die Lorentzeichung
Die Lorentz-Eichung ist gegeben durch:
~ + εε0 µµ0 ∂ Φel = 0
∇◦A
∂t
(216)
Falls diese Gleichung nicht erfüllt ist, wählt man die Eichfunktion Λ als Lösung
der Gleichung:
2
~ + εε0 µµ0 ∂ Φel = −∆Λ + εε0 µµ0 ∂ Λ
(217)
∇◦A
∂t
∂t2
Mit der resultierenden Eichfunktion wird die obige Bedingung automatisch
erfüllt.
Mit Hilfe der Lorentzeichung vereinfachen sich die Gleichungen (206) und (207)
zu 2 ungedämpften inhomogenen Wellengleichungen:
~ − εε0 µµ0
∆A
∂2 ~
A = −µµ0~jfrei
∂t2
(218)
%frei
∂2
Φel = −
∂t2
εε0
(219)
1
εε0 µµ0
(220)
∆Φel − εε0 µµ0
6.5
Die Wellengleichungen
Für die Lichtgeschwindigkeit c gilt:
c= √
Außerdem gilt im Folgenden:
Ψ ∈ {Φel , Ax , Ay , Az }
g{~r, t} =
6.5.1
1
%frei
4πεε0
oder
(222)
1 ∂2
Ψ{~r, t} = 0
c2 ∂t2
(223)
Die ungedämpfte inhomogene Wellengleichung
∆Ψ{~r, t} −
6.5.3
µµ0 ~
jfrei
4π
Die ungedämpfte homogene Wellengleichung
∆Ψ{~r, t} −
6.5.2
g{~r, t} =
(221)
1 ∂2
Ψ{~r, t} = −4πg{~r, t}
c2 ∂t2
(224)
Die gedämpfte homogene Wellengleichung
∆Ψ{~r, t} − µµ0 σ
1 ∂2
∂
Ψ{~r, t} − 2 2 Ψ{~r, t} = 0
∂t
c ∂t
(225)
38
6.6
6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG
Wellengleichung für das elektrische Feld und die magnetische Induktion
In ungeladenen Dielektrika gelten die Maxwellgleichungen, wie in § 6.1 beschrieben (allerdings mit den Vereinfachungen %frei = 0 und ~jfrei = 0).
Bildet man die Rotation der Maxwellgleichungen ergeben sich folgende
Wellengleichungen:
1
c2
~− 1
∆B
c2
~−
∆E
6.7
6.7.1
∂2 ~
E
∂t2
2
∂ ~
B
∂t2
=
0
(226)
=
0
(227)
Brechzahl, Lichtgeschwindigkeit und Wellenvektor
Brechzahl
Für die Brechzahl eines Mediums gilt:
√
n = εµ
6.7.2
(228)
Lichtgeschwindigkeit
Für die Vakuumlichtgeschwindigkeit gilt:
c0 = √
1
ε0 µ0
(229)
Für die Lichtgeschwindigkeit in einem beliebigen Medium folgt:
c= √
6.7.3
c0
1
c0
=√ =
εε0 µµ0
εµ
n
(230)
Wellenvektor und Wellenzahl
Für die Vakuumwellenzahl gilt:
k0 =
ω
√
= ω ε0 µ0
c0
(231)
Für die Wellenzahl gilt:
ω
ω
√
k = k~kk = = n = ω εε0 µµ0 = nk0
c
c0
(232)
Für den Wellenvektor gilt schließlich:
~k = k · ~ek
6.7.4
(233)
Die Dispersionsrelation
ω2
k~kk2 = ~k ◦ ~k = k 2 = kx2 + ky2 + kz2 = 2
c
(234)
Die Dispersionsrelation muss erfüllt sein, damit ein Feld Lösung der Wellengleichung ist!
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7
39
Wellenausbreitung in Dielektrika
Folgende Betrachtungen gelten unter den Vorraussetzungen ~jfrei = %frei = σ = 0
und ε = const. bzw. µ = const..
7.1
Ebene elektromagnetische Wellen
~ und B
~ die homogenen Wellengleichungen erfüllen sind ebene Wellen eine
Da E
mögliche Ausbreitungsform.
Ebene elektromagnetische Wellen sind transversal, d.h., es gilt:
~k × E
~ = ωB
~
(235)
~
~
~
~ek × E
k ×E
~ = ~ek × E = ~eq
=
H
µµ
0
µµ0 c
Z
(236)
εε0
mit dem Wellenwiderstand:
r
Z=
7.1.1
µµ0
εε0
(237)
Monochromatische ebene Wellen
Das elektrische bzw. das magnetische Feld hat die Form:
n
oo
n
o
n
~ 0 exp i~k ◦ ~r − i ωt
~ R {~r, t} = E
~ R0 cos ~k ◦ ~r − ωt + ϕ = Re E
E
(238)
wobei meistens abkürzend geschrieben wird:
n o
~ r, t} = E
~ 0 exp i ~k ◦ ~r − ωt
E{~
(239)
bzw.
n o
~ r, t} = H
~ 0 exp i ~k ◦ ~r − ωt
H{~
(240)
mit

E0x exp {iϕx }
~ 0 =  E0y exp {iϕy } 
E
E0z exp {iϕz }

H0x exp {iϕx }
~ 0 =  H0y exp {iϕy } 
H
H0z exp {iϕz }


bzw.
(241)
Eine monochromatische Welle zum Zeitpunkt t = 0 und für ϕ = 0 sieht folgendermaßen aus:
40
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7.1.2
Polarisation
~ im AllgeBetrachtet man eine ebene Welle mit Ausbreitungsrichtung z, hat E
meinen eine x- und eine y-Komponente. Die Amplituden lauten dann:
= E0x cos {kz − ωt + ϕ}
= E0y cos {kz − ωt + ϕ + δ}
Ex
Ey
(242)
(243)
Nun lassen sich mehrere Fälle unterscheiden:
7.1.2.1
Linear polarisierte Welle (δ = ±mπ, m ∈ N0 )
Ey
E0y
tan α = ±
Ex
a
E0y
E0x
(244)
E0x
7.1.2.2
Zirkular polarisierte Welle (δ = ± π2 + mπ, m ∈ N0 , E0x = E0y = E0 )
~ R = E0 (~ex cos{kz − ωt + ϕ} ∓ ~ey sin{kz − ωt + ϕ})
E
Ey
Ey
d=+p/2
z
d=-p/2
z
Ex
rechts zirkular
7.1.2.3
(245)
Ex
links zirkular
Elliptisch polarisierte Welle (δ = ± π2 + mπ, m ∈ N0 , E0x 6= E0y )
Ey
d=+p/2
d=-p/2
2
2
ERy
ERx
+ 2 =1
2
E0x
E0y
Ex
-E0x
(246)
-E0y
7.1.2.4
Elliptisch polarisierte Welle (δ = beliebig, E0x , E0y beliebig)
E0y
Ey
-E0x
Ex
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7.2
41
Energiedichte, Leistungsdichte und Poynting-Vektor
7.2.1
Elektromagnetische Energiedichte
w{~r, t} = wel + wmagn =
7.2.2
1~ ~
1~ ~
E◦D+ H
◦B
2
2
(247)
Die mechanische Leistungsdichte
~
wmech = ~jfrei ◦ E
7.2.3
(248)
Der Poynting-Vektor
n o
n o
~=E
~R × H
~ R = Re E
~ × Re H
~ = Re
S
(
~ ◦ Ek
~ + |E|
~ 2 ~k
1 kE
Z
2
k
)
(249)
Außerdem gilt:
S =w·c
(250)
Der zeitgemittelte Poynting-Vektor ergibt sich durch:
n o 1 n
o
~ = 1 Re S
~0 = Re E
~ ×H
~∗
S
2
2
7.2.4
(251)
Leistung
Die Leistung berechnet sich aus:
ZZ
~ ◦ d2 S
~
P = S
(252)
SV
7.2.5
Die Kontinuitätsgleichung der Energie
∂w
~ = −~jfrei ◦ E
~
+∇◦S
∂t
7.3
(253)
Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
Es gilt:
cgr · cph = c2
(254)
Mit dem Ausbreitungskoeffizienten β, der im allgemeinen die Wellenzahl in Ausbreitungsrichtung der Welle darstellt (also zum Beispiel β = kz ), ergibt sich:
cph =
ω
β
bzw.
cgr =
∂ω
∂β
(255)
42
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7.4
Reflexion und Brechung
7.4.1
Brechungs- und Reflexionsgesetz
y
x
Medium 2
s2=0
jtr z
ktr
e2, m2
qtr
Medium 1
s1=0
e1, m1
lls
fa
n
i
E
n
qref
qin
kin
Mediengrenze
kref
jref
e
en
b
e
t
l
n
Fällt eine ebene Welle auf eine Grenzfläche, so wird sie dort teilweise reflektiert
und teilweise gebrochen.
Es gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
1. Bei der Reflexion und bei der Brechung tritt keine Frequenzänderung auf.
2. Einfallende, reflektierte und transmittierte Welle liegen in einer Ebene:
ϕref = ϕtr = 0
(256)
3. Es gilt das Snelliussche Brechungsgesetz:
sin θin
ntr
=
sin θtr
nin
4. Es gilt das Reflexionsgesetz:
~n × ~kref − ~kin × ~n = 0
(257)
⇒
θin = θref
(258)
5. Die Tangentialkomponente der Welle bleibt bei der Brechung stetig:
~n × ~ktr × ~n = ~n × ~kin × ~n
(259)
6. Die Normalenkomponenten der einfallenden und der transmittierten Welle
sind über folgende Relation miteinander verbunden:
r
2
(260)
~n ◦ ~ktr = k~ktr k2 − k~kin k2 + ~n ◦ ~kin
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7.5
43
TE- und TM-Wellen
Wir wollen nun den Spezialfall von TE- bzw. TM-Wellen besprechen:
7.5.1
TE-Wellen
~ in parallel zur Einfallsebene linear polarisiert
Eine TE-Welle liegt vor, wenn E
~
ist und Hin in der Einfallsebene schwingt.
Mit dem Koordinatensystem n, ~et , ~el , wie es in § 7.4.1 in der Abbildung definiert wurde, gilt also:
~ TE = 0
~n ◦ E
(261)
~ TE = (~el ◦ E)~
~ el = ETE~el
E
(262)
bzw.
mit
~el =
~n × ~k
k~n × ~kk
(263)
~el kann bei einfacheren geometrischen Anordnungen
oft schon durch Überlegung bestimmt werden.
Außerdem gilt:
Etr = Ein + Eref
7.5.2
(264)
TM-Wellen
~ in parallel zur Einfallsebene linear polarisiert
Eine TM-Welle liegt vor, wenn H
~
ist und Ein in der Einfallsebene schwingt.
Mit dem Koordinatensystem n, ~et , ~el , wie es in § 7.4.1 in der Abbildung definiert wurde, gilt also:
~ TM = 0
~n ◦ H
(265)
~ TM = (~el ◦ H)~
~ el = HTM~el
H
(266)
bzw.
mit
~el =
~n × ~k
k~n × ~kk
(267)
~el kann bei einfacheren geometrischen Anordnungen
oft schon durch Überlegung bestimmt werden.
Außerdem gilt:
Htr = Hin + Href
(268)
44
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7.5.3
Amplituden bei Reflexion und Brechung für TE-Wellen
y
Etr
Htr
z
x
qtr
Eref
Href
qref
Ein
lls
fa
n
i
E
Hin
Mediengrenze
qin
e
en
b
e
t
l
n
Für TE-Wellen gilt:
rTE =
Eref
=
Ein
~n ◦
~n ◦
~kin
~ktr
µin − µtr
~kin
µin
1
µ nin cos{θin } −
= in
~ktr
1
+µ
µin nin cos{θin } +
tr
q
2
1
2
2
µtr ntr − nin sin {θin }
q
2
1
2
2
µtr ntr − nin sin {θin }
(269)
tTE =
Etr
= 1 + rTE
Ein
2
µin nin cos{θin }
q
=
2
1 n cos{θ } + 1
2
2
in
in
µin
µtr ntr − nin sin {θin }
(270)
Für den Spezialfall µin = µtr gilt außerdem:
sin{θtr − θin }
sin{θtr + θin }
(271)
2 sin{θtr } cos{θin }
sin{θtr + θin }
(272)
rTE =
tTE =
Für die Magnetfelder gilt:
i
1 h
(~et ◦ ~kin )~n − (~n ◦ ~kin )~et
Zin kin
h
i
~ ref = Eref 1
H
(~et ◦ ~kin )~n + (~n ◦ ~kin )~et
Zin kin
h
i
~ tr = Etr 1
H
(~et ◦ ~kin )~n − (~n ◦ ~ktr )~et
Ztr ktr
~ in = Ein
H
(273)
(274)
(275)
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
7.5.4
45
Amplituden bei Reflexion und Brechung für TM-Wellen
y
Htr
Etr
z
x
qtr
Href
Eref
lls
fa
n
i
E
Hin
Ein
Mediengrenze
qref
qin
e
en
b
e
t
l
n
Für TM-Wellen gilt:
~kin ~ktr
εin − εtr
q
n2tr − n2in sin2 {θin }
Href
=
q
rTM =
=
~ in ~ktr
Hin
µin n2tr cos{θin } + µtr nin n2tr − n2in sin2 {θin }
~n ◦ kεin
+ εtr
(276)
Htr
2µin n2tr cos{θin }
q
tTM =
= 1 + rTM =
(277)
Hin
µin n2tr cos{θin } + µtr nin n2tr − n2in sin2 {θin }
~n ◦
µin n2tr cos{θin } − µtr nin
Für den Spezialfall µin = µtr gilt außerdem:
rTM =
tan{θin − θtr }
tan{θin + θtr }
(278)
Für das E-Feld gilt:
i
1 h
(~n ◦ ~kin )~et − (~et ◦ ~kin )~n
ωε0 εin
h
i
~ ref = Href 1
E
−(~n ◦ ~kin )~et − (~et ◦ ~kin )~n
ωε0 εin
h
i
~ tr = Htr 1
E
(~n ◦ ~ktr )~et − (~et ◦ ~kin )~n
ωε0 εtr
~ in = Hin
E
(279)
(280)
(281)
46
7.5.5
7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA
Brewster-Winkel
Für nichtmagnetische Materialien verschwindet rTM für Einfallswinkel θiB .
θiB wird Brewster-Winkel genannt.
In magnetischen Materialien gibt es auch für TE-Wellen einen Brewster-Winkel.
Um die Bedingungen für den Brewsterwinkel einfacher formulieren zu können,
führen wir den k-Reflexionsfaktor wie folgt ein:
~n ◦ ~kin − ~ktr
(282)
rk =
~n ◦ ~kin + ~ktr
Mit rε und rµ werden die dielektrischen, bzw. magnetischen Eigenschaften der
Grenzfläche beschrieben:
εin − εtr
µin − µtr
rε =
bzw.
rµ =
(283)
εin + εtr
µin + µtr
Für den Brewsterwinkel muss nun folgendes gelten:
TE-Welle:
rk = r µ
(284)
rk = r ε
(285)
TM-Welle:
7.5.6
Intensitätsreflexions- und Intensitätstransmissionsfaktoren
Der Intensitätsreflexionsfaktor R und der Intensitätstransmissionsfaktor T werden über die zugehörigen zeitgemittelten Poyntingvektoren definiert:
~ref
~n ◦ S
~in
~n ◦ S
(286)
~tr
~n ◦ S
~in
~n ◦ S
(287)
R=−
T =
In verlustlosen Medien gilt:
R+T =1
7.5.7
(288)
Totalreflexion
Beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium nin > ntr
tritt für Einfallswinkel θin > θgr Totalreflexion ein, die Welle wird komplett
reflektiert. Für den Grenzwinkel θgr gilt:
nin
sin{θgr } = 1
ntr
(289)
Bei Totalreflexion gilt außerdem:
T =0
(290)
R=1
(291)