PDF-Modellierung turbulenter, reagierender Strömungen

Helmut-Schmidt-Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
Professur für Energietechnik / Laboratorium für Strömungsmaschinen
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Franz Joos
Dipl.-Ing. Sebastian Harder
PDF-Modellierung turbulenter, reagierender
Strömungen
Beschreibung turbulenter, reagierender Strömungen
Turbulente, reagierende Strömungen vereinen die Überlagerung und Interaktion zweier Phänomene in sich. Das sind zum einen die turbulente
Strömung und zum anderen die chemische Reaktion. Beide Vorgänge sind nicht unabhängig, sondern üben eine starke Wechselwirkung
aufeinander aus. Das globale Ziel liegt dabei in der Beschreibung von Schadstoffausstoß, Flammenstabilität und Verlöscheffekten, wobei die
Turbulenz-Chemie-Interaktion beide physikalischen Teilmodelle verbindet. Die grundlegende Schwierigkeit besteht in der Erfassung der
turbulenten Schwankungen auf die chemischen Umsatzraten, die im allgemeinen stark nichtlinear sind.
Aufgrund des stochastischen Charakters von Turbulenzphänomenen, ist es naheliegend die Turbulenz-Chemie-Interaktion ganz allgemein
über Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (probability density function -PDF) zu beschreiben. Im Gegensatz zu Flamelet-Modellen ist dieses
Verfahren nicht auf bestimmte Damköhler-Zahlen beschränkt und auf vorgemischte sowie auf nichtvorgemischte Verbrennung anwendbar.
Die PDF beschreibt die Wahrscheinlichkeit mit der ein durch Temperatur und Zusammensetzung definierter Zustand, lokal im Strömungsfeld
eintritt. Weil die chemischen Umsatzraten Funktionen dieser Größen sind, lässt sich der gemittelte Quellterm in den
Spezienerhaltungsgleichungen exakt bestimmen.
Statistische Beschreibung
U A , TA , ϕ A
Die das Strömungsfeld beschreibenden Variablen (z.B. Temperatur, Spezies) werden
als Zufallsvariablen aufgefasst. Eine gemeinsame Verteilungsfunktion F (ψ ; x, t )
gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der an einem Ort x zur Zeit t eine bestimmte
Realisierung ϕ des Strömungsfeldes die Bedingung ϕ < ψ erfüllt. Die Ableitung der
Verteilungsfunktion ergibt dann die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P (ψ ; x, t ) , die die
Eintrittswahrscheinlichkeit für das Ereignis ψ < ϕ < ψ + dψ angibt. Mit Kenntnis der PDF
ergibt sich der Erwartungswert des chemischen Quellterms zu:
U B , TB , ϕ B
T ,ϕ
+∞
Sα ( x, t ) = ∫ Sα (ψ ) Pα (ψ )dψ.
P(ψ )
−∞
Zur Schließung der Turbulenzformulierung fehlt letztlich nur die PDF selbst. Es gibt
grundsätzlich zwei Möglichkeiten diese zu erhalten. Entweder man beschreibt P (ψ ; x, t )
durch eine geringe Anzahl von Parametern, wie Mittelwert bzw. Standartabweichung
(Presumed-PDF) oder man löst eine Transportgleichung für die PDF.
t
F (ψ )
1
0 ,1 5
0
ψ
1
0
ψ
1
Stochastische Strömungsgrößen
und abgeleitete PDF bzw. CDF
PDF-Transportgleichung
Es gibt verschiedene Ansätze um die Transportgleichung herzuleiten. Zum einen kann man
ausgehend von einem stochastischen Markov Prozess die Fokker-Planck-Gleichung zur
Herleitung
verwenden.
Andererseits
ist
die
Einführung
einer
momentanen
Wahrscheinlichkeitsdichte Pˆ (ψ ) = δ (ϕ −ψ )
sinnvoll. Diese entsprechend differenziert und in
die momentanen Erhaltungsgleichungen eingesetzt, ergibt nach einigen Umformungen die
Transportgleichung der Skalar-PDF:
α
i
∂J
∂
∂
∂
∂
[ ρ (ψ ) Pϕ (ψ )] +
[ ρ (ψ ) U i ψ Pϕ (ψ )] +
[ ρ (ψ ) Sα (ψ ) Pϕ (ψ )] =
[
ψ Pϕ (ψ )]
∂t
∂xi
∂ψ α
∂ψ α
∂xi
Dreidimensionale PDF [2]
Aufgrund der Höherdimensionalität der PDF ist eine effiziente Lösung der Transportgleichung nur mit Hilfe eines Monte-Carlo-Verfahrens [1]
möglich. Dabei wird P über einen Ensemble sogenannter stochastischer Partikel dargestellt und entsprechend der Transportgleichung der
Teilchentransport simuliert. Fehlende Größen (Turbulenzparameter, Geschwindigkeiten) werden über eine gekoppelte CFD-Rechnung
bereitgestellt. Problematisch bei der Lösung ist der ungeschlossen auftretende Mischungsterm (rechte Seite), da die PDF nur eine EinPunkt-Beschreibung zulässt und somit keine Informationen über räumliche Gradienten enthält.
Zielsetzung
Da der ungeschlossene Mischungsterm als schwächstes Glied innerhalb der
PDF-Transportgleichung auftritt, sollen hier ausgehend von
bestehenden
Mischungsmodellen,
diese mit stochastischen Methoden hinsichtlich einer
praxisnahen Anwendung auf industriellen Drallbrennkammern verbessert werden.
Partikel -Plot einer reagierenden Scherschicht
Literatur
[1]
[2]
[3]
Pope S.B:“PDF Method for Turbulent Reactiv Flows“, Progress in Energy and Combustion Science, 119-192, 1985
Maas U.: „Statistical Modeling of Turbulent Flames“, Universitt Stuttgart
Helge Möbus:„Euler- und Lagrange-Monte-Carlo-PDF-Simulation turbulenter Strömungs, Mischungs- und Verbrennungsvorgänge“, Universität Stuttgart, 2001