Blatt 6 : Phasengleichungen 1. Die Dynamik zweier Phasen sei

Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie
Michael Rosenblum, Ralf Tönjes
Wintersemester 2012/13
Nichtlineare Dynamik
Blatt 6 : Phasengleichungen
1. Die Dynamik zweier Phasen sei gegeben als
ϑ̇1 = ω1 + sin ϑ1 cos ϑ2
ϑ̇2 = ω2 + sin ϑ2 cos ϑ1
(a) Bestimmen und kennzeichnen Sie qualitativ unterschiedliches Lösungsverhalten im
(ω1 , ω2 ) Parameterraum und geben Sie die stabilen Fixpunkte im Bereich der stationären Lösung an. Hinweis : Betrachten Sie die Summe und Differenz der Winkel
und verwenden Sie entsprechende Additionstheoreme.
(b) Im Bereich |ω1 − ω2 |, 1 ≪ ω1 , ω2 schwacher Kopplung sowie kleiner Frequenzdifferenzen und vergleichsweise hohen natürlichen Frequenzen können die Zeitableitungen durch ihre Mittelwerte über eine Periode ersetzt werden. Wie sieht die
Dynamik der Phasen in dieser Approximation aus?
2. Drei Phasenoszillatoren seinen in Reihe gekoppelt und haben die folgende Dynamik
ϑ̇1 = ω1 + ε cos(ϑ2 − ϑ1 )
ϑ̇2 = ω2 + ε cos(ϑ1 − ϑ2 ) + ε cos(ϑ3 − ϑ2 )
ϑ̇3 = ω3 + ε cos(ϑ2 − ϑ3 )
(a) Geben Sie die Dynamik der Phasedifferenzen φ1 = ϑ2 − ϑ1 und φ2 = ϑ2 − ϑ3 an.
(b) Bestimmen Sie die Fixpunkte und deren Existenzbedingungen.
(c) Unterteilen Sie den Phasenraum der Winkeldifferenzen bezüglich des Verhaltens
von Spur und Determinante der Jaccobi Matrix. Welcher Art sind die Fixpunkte?
Können die Phasenoszillatoren mit einer gemeinsamen mittleren Frequenz synchronisieren?
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