Darstellungstheorie der Symmetrischen Gruppe

Bachelor-Arbeit
Darstellungstheorie
der Symmetrischen Gruppe
verfasst von
Benjamin Mueller
Student der Johannes Gutenberg-Universität Mainz
im WS 2009/10
Betreuer: Prof. Dr. Duco van Straten
Fachbereich 08
Vorwort
Diese Bachelorarbeit basiert auf dem Seminar Darstellungstheorie endlicher Gruppen“ aus dem
”
Sommersemester 2009, betreut von Herrn Prof. Dr. Duco van Straten. Sie soll die gewonnene
Theorie speziell bezüglich der Symmetrischen Gruppe vertiefen und vor allem den Einfluss der
Young-Diagramme in diesem Zusammenhang untersuchen. Warum Darstellungstheorie? Der Urgedanke dahinter ist es, Elemente von Gruppen durch Matrizen zu ersetzen, um mit diesen nun
bekannte Multiplikationen durchführen zu können, ohne die womöglich komplexe Gruppenverknüpfung verstehen zu müssen. Warum Symmetrische Gruppe? Nach dem Satz von Cayley ist
jede Gruppe mit n Elementen isomorph zu einer Untergruppe der Symmetrischen Gruppe Sn , dies
alleine macht aber nicht ansatzweise die Faszination aus, die von dieser Gruppe herrührt. Vor
allem in der Physik und Chemie treten unentwegt Symmetrien auf und so ist die Wichtigkeit der
Symmetrischen Gruppe unumstritten.
Der Pionier auf dem Gebiet Darstellungstheorie in Bezug auf die Symmetrische Gruppen ist Alfred Young (1873-1940), welcher mit Hilfe der von ihm erfundenen Young-Diagramme erstmals
Darstellungsmatrizen der irreduziblen Charaktere bestimmte. Die Darstellungstheorie selbst wurde
um 1900 vor allem durch den deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917)
und dem englischen Mathematiker William Snow Burnside (1852-1927) entwickelt. Als Student
von Frobenius trug darüber hinaus auch Issai Schur (1857-1941) zur weiteren Ausarbeitung der
Darstellungstheorie bei.
Diese Arbeit gliedert sich in drei Teile. Zunächst verschaffen wir uns einen kurzen Überblick
in Sachen Symmetrische Gruppe, lernen die Young-Diagramme kennen und wagen uns dann in
die Welt der Darstellungstheorie vor. Hier konzentrieren wir uns zunächst auf die Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe und wenden die Ergebnisse des Kapitels auf die S5 an. Im
letzten Kapitel widmen wir uns zunächst allgemein den Graden der irreduziblen Darstellungen,
gehen dann näher auf Charaktere ein und verfolgen das Ziel, die Charaktertafel der S5 aufzustellen.
3
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung: Die Symmetrische Gruppe und Darstellungstheorie. . . . . . . . . . . 5
1.1
Zykel-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2
Konjugationsklassen und Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3
Young-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4
Darstellungstheorie und Charaktere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1
Young-Tableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2
Standard-Young-Tableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3
Young-Untergruppen und deren induzierte Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4
Distanzen innerhalb der Young-Tableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5
Youngs Seminormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6
Konstruktion der Darstellungsmatrizen S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3
Charaktere der Symmetrischen Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1
Charaktere der Symmetrischen Gruppe sind ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2
Haken der Young-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3
Frame-Robinson-Thrall-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4
Beispiel: Grade der irreduziblen Darstellungen der S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5
Schief-Haken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6
Die Munrughan-Nakayama-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7
Charaktertafel S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1
Die Symmetrische Gruppe S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2
Die Symmetrische Gruppe S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3
Die Symmetrische Gruppe S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4
Symmetrische Gruppe S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5
Symmetrische Gruppe S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4
§ 1 Einführung: Die Symmetrische Gruppe und
Darstellungstheorie
Wir beginnen mit einer kurzen Übersicht zur Symmetrischen Gruppe. Speziell machen wir uns ein
Bild der Zykel-Notation, der Konjugationsklassen innerhalb der Sn und wir werden die wichtigen
Young-Diagramme kennen lernen. Danach gehen wir kurz auf die Darstellungstheorie beziehungsweise die Charaktertheorie ein.
1.1 Zykel-Notation
Die Symmetrische Gruppe Sn ist die Menge aller Bijektionen auf einer Menge von Zeichen, also
Zahlen oder Buchstaben, der Mächtigkeit n. Wir legen diese in der gesamten Arbeit auf die
Menge {1, . . . , n} fest. Eine solche Bijektion bezeichnen wir als Permutation, welche sich durch
zwei äquivalente Zykelschreibweisen notieren lassen.
Beispiel:
(
S3 =
!
1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
2 1 3
!
,
1 2 3
!
3 2 1
,
!
1 2 3
1 3 2
,
1 2 3
2 3 1
!
,
1 2 3
!)
3 1 2
= {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}.
Jede Permutation lässt sich eindeutig (bis auf Reihenfolge) durch Komposition paarweise disjunkter Zykel ausdrücken, wobei diese Komposition (Multiplikationen) von links nach rechts stattfindet, da man Zykel auch als Operatoren bezeichnen kann.
Unter dieser Betrachtungsweise können wir alle Permutationen auch als Komposition von Transpositionen (im Allgemeinen nicht mehr disjunkte), also Zykel der Länge zwei, schreiben:
(1 . . . n) = (12)(23) . . . (n − 1, n).
Es gilt die Eigenschaft:
(i, j + 1) = (j, j + 1)(i, j)(j, j + 1),
womit schon ein wichtiges Ergebnis zu beobachten ist: Die Symmetrische Gruppe wird durch
Transpositionen erzeugt, das heißt Sn =< (12), (23), . . . , (n − 1, n) >.
1.2 Konjugationsklassen und Partitionen
Für die Darstellungstheorie ist vor allem das Konzept der Konjugationsklassen wichtig. Daher ist
es von Interesse zu wissen, wie wir diese charakterisieren können.
5
6
Einführung: Die Symmetrische Gruppe und Darstellungstheorie
6
Wir erinnern uns, dass zwei Elemente σ, σ 0 einer Gruppe in derselben Konjugationsklasse liegen,
falls ein weiteres Element π aus der Gruppe existiert mit σ 0 = πσπ −1 . Um die Konjugationsklassen
in Sn beschreiben zu können, wollen wir demnach wissen, wie πσπ −1 mit π, σ ∈ Sn aussieht. Sei
dazu zunächst σ = (a1 , a2 , a3 , . . . , ak ) ∈ Sn ein beliebiger Zykel der Länge k, dann ist
πσπ −1 π(ai ) = πσ π −1 π(ai ) = π σ(ai ) = π(ai+1 mod k ).
Also ist
πσπ −1 = π(a1 ), π(a2 ), π(a3 ), . . . , π(ak )
wieder ein Zykel der Länge k. Sei nun σ ein beliebiges Element der Sn , das heißt σ kann geschrieben
werden als ein Produkt disjunkter Zykel σ = σ1 . . . σr . Wir erhalten somit:
πσπ −1 = πσ1 . . . σr π −1 = πσ1 π −1 πσ2 π −1 . . . πσr π −1 .
Wie oben gilt wieder πσi π −1 = π(ai1 ), . . . , π(aik ) , wobei die πσi π −1 untereinander disjunkt
sind, weil, falls σi = (ai1 , . . . , aik(i) ), gilt aik 6= ajl für (i, k) 6= (j, l), denn die σi waren disjunkt und
demnach ist dann auch π(aik ) 6= π(ajl ) für (i, k) 6= (j, l), da π eine Bijektion ist. Somit haben die
zu σ konjugierten Elemente πσπ −1 genau den selben Zykeltyp.
Umgekehrt zeigen wir noch, dass falls zwei Zykel σ und σ 0 den selben Zykeltyp besitzen, dann ist σ
konjugiert zu σ 0 . Sei dazu σ = σ1 . . . σr , σi = (ai1 , . . . , aik(i) ) und σ 0 = σ10 . . . σr0 , σi0 = (bi1 , . . . , bik(i) ).

bi , falls k = ai ,
l
l
Setze π(k) :=
k,
sonst.
Jetzt gilt mit πσπ −1 = πσ1 π −1 . . . πσr π −1 und
πσi π −1 = π(ai1 ), . . . , π(aik(i) ) = (bi1 , . . . , bik(i) ) = σi0 ,
dass σ und σ 0 zueinander konjugiert sind.
Um den Zykeltyp genauer zu beschreiben, führen wir den Begriff der Partition eines Zykel ein. Sei
α = (α1 , α2 , . . . ), mit den Eigenschaften:
(i) ∀i ≥ 1 : αi ≥ αi+1 ,
P∞
(ii)
i=1 αi = n,
wobei die αi nicht negative ganze Zahlen sind, die die Länge der Zykelfaktoren wiedergeben. Dann
nennt man α die Partition eines n-Zykels und schreibt dazu kurz:
α`n
Dabei gibt es ein h mit αi = 0 für alle i > h und wir lassen diese αi in der Notation weg.
Beispiel: π = (123)(456)(7)
⇒
α = (3, 3, 1) =: (32 , 1)
Darüber hinaus ist es möglich auf der Menge der Partitionen eine Ordnungsrelation wie folgt zu
definieren. Seien α = (α1 , . . . ), β = (β1 , . . . ) Partitionen, dann ist
α≤β
:⇔
∀ i gilt
i
X
k=1
αi ≤
i
X
k=1
βi .
7
Einführung: Die Symmetrische Gruppe und Darstellungstheorie
7
1.3 Young-Diagramme
Um eine Partition α = (α1 , . . . , αh ) näher zu untersuchen, betrachten wir das so genannte YoungDiagramm [α]. Dieses intuitive Konstrukt stellt man folgendermaßen auf:
[α] := .
..
..
.
..
.
...
α1 -viele Kästchen
...
..
.
α2 -viele Kästchen
..
.
αh -viele Kästchen
Das heißt in der i-ten Zeile sind αi Kästchen.
Betrachten wir ein konkretes Beispiel α = (3, 2, 12 ):
[3, 2, 12 ] =
(man schreibt [3, 2, 12 ] statt [(3, 2, 12 )])
Diese unscheinbaren Objekte werden sich im Verlauf dieser Arbeit als mächtige Werkzeuge entpuppen.
1.4 Darstellungstheorie und Charaktere
1.4.1 Darstellung einer Gruppe
Eine Darstellung einer (endlichen) Gruppe G ist eine Abbildung
ρ : G → GL(V ),
wobei V ein Vektorraum über C ist. Das heißt, jedem Gruppenelement g wird ein Element
ρ(g) ∈ GL(V ) zugeordnet, sodass ρ(gh) = ρ(g) ◦ ρ(h), ρ(g −1 ) = ρ(g)−1 und ρ(1) = idV gilt.
Abstrakt kann man den Darstellungsraum V (oft ebenfalls Darstellung genannt) auch als
C G-Modul sehen, denn G wirkt auf V durch
G×V →V;
(g, v) 7→ ρ(g)(v) ∈ V.
Der Grad einer Darstellung ist die Dimension des Vektorraums V ; und wir nennen eine Darstellung
irreduzibel, falls V oder {0} die einzigen ρ-invarianten Unterräume sind. Beispielsweise ist die
Darstellung auf G, welche einfach jedem Element g ∈ G die 1 ∈ GLn (C) zuordnet, im Allgemeinen
nicht irreduzibel, da zum Beispiel < e1 >, für e1 den kanonischen ersten Basisvektor von V , unter
dieser Darstellung invariant bleibt.
8
Einführung: Die Symmetrische Gruppe und Darstellungstheorie
8
1.4.2 Reguläre Darstellung
Als eines der einfachsten Beispiele für Darstellungen endlicher Gruppen betrachten wir die reguläre
Darstellung RG, deren Grad gleich der Ordnung von G ist. Wir indizieren die Basis von V durch
die Elemente von G, das heißt {eg }g∈G ist Basis von V . Die reguläre Darstellung ist nun gegeben
durch
RG(s)(eg ) := esg ,
s, g ∈ G.
Insbesondere bilden die Bilder der Basiselemente unter RG wieder eine Basis von V .
1.4.3 Der Charakter einer Darstellung
Sei ρ : G → GL(V ) eine Darstellung von Grad n und {ei } eine Basis von V . Sei T = (tij ) die
P
Darstellungsmatrix zur Abbildung ρ(g), dann ist Spur(T ) = ni=1 tii die Spur von T .
Der Charakter χρ : G → C der Darstellung ρ ist nun definiert durch
χρ (g) = Spur(T ).
Ein Charakter heißt irreduzibel, wenn die zugehörige Darstellung irreduzibel war.
Für den Charakter gelten folgende Eigenschaften:
(i) χ(1) = n.
(ii) χ(g −1 ) = χ(g),
für g ∈ G.
(iii) χ(sgs−1 ) = χ(g),
für s, g ∈ G, das heißt, Charaktere sind Klassenfunktionen.
Eigenschaften (i) und (iii) folgen direkt aus Eigenschaften der Spur. (ii) gilt, da die Spur der
Matrix T gleichzeitig der Summe ihrer Eigenwerte entspricht und da g |G| = 1 für alle g ∈ G gilt,
folgt, dass alle Eigenwerte von T Einheitswurzeln sind, welche die Bedingung λ = λ−1 erfüllen.
(z bezeichnet das komplex Konjugierte von z ∈ C.)
Weiter ist nach Maschkes Theorem jede Darstellung eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen, also ist auch jeder Charakter Summe von irreduziblen Charakteren.
1.4.4 Orthogonalitäten
Wir definieren ein Skalarprodukt für zwei Charaktere (beziehungsweise Klassenfunktionen) χ, χ0
folgendermaßen:
(χ|χ0 ) =
1 X
χ(g)χ(g).
|G|
g∈G
Es gelten, hauptsächlich aufgrund des Lemmas von Schur, die folgenden wichtigen Eigenschaften:
(i) Falls χ ein irreduzibler Charakter ist, gilt (χ|χ) = 1.
(ii) Falls χ und χ0 zwei nicht isomorphe Charaktere sind (d. h. die zugehörigen Darstellungen
sind nicht isomorph), dann gilt (χ|χ0 ) = 0.
9
Einführung: Die Symmetrische Gruppe und Darstellungstheorie
9
1.4.5 Anzahl irreduzibler Charaktere und Konjugationsklassen
Dieser elementare Zusammenhang ist denkbar einfach, denn die Anzahl irreduzibler Charaktere
ist genau gleich der Anzahl der verschiedenen Konjugationsklassen in G.
Um dies zu zeigen, bestimmen wir zunächst die Dimension des Raumes der Klassenfunktionen
K. Seien C1 , . . . , Ck die verschiedenen Konjugationsklassen von G. Betrachten wir eine Klassenfunktion f auf G, dann ist diese konstant auf den Konjugationsklassen, das heißt zu jeder
Konjugationsklasse Ci nimmt f einen festen Wert λi an. Infolgedessen ist die Dimension des
Raums aller Klassenfunktionen genau k.
Wir nehmen nun an, dass es h-viele irreduzible Charaktere χ1 , . . . , χh von G gibt. Es ist Ziel,
nachzuweisen, dass h = k gilt, indem wir zeigen, dass diese h irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von K bilden. Wir wissen bereits, dass irreduzible Charaktere normiert und orthogonal
zueinander sind, das heißt es reicht zu zeigen, dass jedes Element aus K durch die χ1 , . . . , χh
erzeugt werden kann. Hierzu zeigen wir, das jedes Element f aus K, welches orthogonal zu allen
χi ist, gleich Null sein muss. Sei dazu ρ eine Darstellung von G von Grad n mit Charakter χ und
P
ρf ∈ End(V ) mit ρf = g∈G f (g)ρ(g).
Einfache Rechnungen zeigen, dass ρ(g)−1 ρf ρ(g) = ρf , also ρf ρ(g) = ρ(g)ρf .
Mit dem Lemma von Schur (vgl. [Ser77] S. 13) gilt nun, dass ρf = λ idV . Weiter ist die Spur
von λ idV gleich nλ, also ist der Skalar λ gegeben durch
λ=
|G|
1X
f (g)χ(g) =
(f |χ).
n
n
g∈G
Hieraus folgt direkt, dass λ gleich 0 ist, da (f |χ) = (f |
P
χi ) = 0 nach obiger Annahme. Also
ist auch ρf = 0.
Wir ersetzen nun ρ durch die reguläre Darstellung RG und berechnen das Bild des kanonischen
Basisvektors e1 unter ρf :
ρf (e1 ) =
X
f (g)RG(g)(e1 ) =
g∈G
X
f (g)eg .
g∈G
Da ρf gleich Null ist, gilt ρf (e1 ) = 0 und daher muss f (g) = 0 für alle g ∈ G.
Wir erhalten somit das gewünschte Ergebnis, dass jede Klassenfunktion, die zu allen χi orthogonal
ist, Null sein muss. Insbesondere ist also die Anzahl der irreduziblen Charaktere h gleich k, der
Anzahl der verschiedenen Konjugationsklassen von G.
1.4.6 Induzierte Darstellungen
Sei H < G, T (g) ∈ GLn (C) eine Darstellungsmatrix einer Darstellung ρ(g) von H. Setze

T (g),
falls g ∈ H
Ṫ (g) :=
0 ∈ GL (C), falls g ∈
/H
n
10
Einführung: Die Symmetrische Gruppe und Darstellungstheorie
10
Sei nun m = [G : H] der Index von H in G, das heißt es existieren g1 , . . . , gm Repräsentanten
der Nebenklassen von H in G, so dass
G = H ∪ g2 H ∪ g3 H ∪ · · · ∪ gm H,
wobei ohne Einschränkung g1 = 1 ∈ G.
Wir definieren nun
T ↑ G(g) := Ṫ (gi−1 ggj ) ∈ GLnm (C).
Hierbei handelt es sich um eine Darstellung, dessen Darstellungsmatrix aus n2 Submatrizen besteht, wobei jeder Subblock (i, j) durch
T ↑ G(g) i,j = Ṫ (gi−1 ggj ) i,j
gegeben ist. Wir nennen T ↑ G eine von H induzierte Darstellung von G.
Entsprechend bezeichnet T ↓ H die Restriktion der Darstellung auf die Untergruppe H.
Ausgerüstet mit diesem Basiswissen wollen wir nun im zweiten Kapitel konkret alle irreduziblen
Darstellungsmatrizen der Sn bestimmen.
§ 2 Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
Zu Beginn betrachten wir die Young-Diagramme in einer Variante, die sich Young-Tableaus nennen
um mit Hilfe dieser die irreduziblen Darstellungsmatrizen zu konstruieren.
2.1 Young-Tableaus
Wir nehmen ein Young-Diagramm zu einer Partition α = (α1 , . . . , αh ) ` n und schreiben in die
Kästchen die Ziffern {1, . . . , n}, auf der die Sn operiert, so dass keine Zahl doppelt vorkommt.
Anschaulich, wieder mit α = (3, 2, 12 ) ` 7, entspräche das zum Beispiel:
[3, 2, 12 ] =
6
1
7
4
2
.
3
5
Entsprechend gibt es dann n! verschiedene solcher Tableaus zu jeder Partition α. Diese sortieren
wir lexikographisch und bezeichnen sie mit tα1 , . . . , tαn! .
2.2 Standard-Young-Tableaus
Eine Verfeinerung der Young-Tableaus entsteht, indem wir uns bei der Benutzung der YoungTableaus auf spezielle Standard-Young-Tableaus beschränken, in denen die Zahlen, sowohl zeilenweise als auch spaltenweise, aufsteigend angeordnet sind.
Eine Ordnung auf der Menge dieser Standard-Young-Tableaus ist gegeben, indem wir diesmal
invers-lexikographisch sortieren.
Am Besten betrachten wir ein einfaches Beispiel. Sei α = (3, 2) ` 5:
1
2
4
5
3
>
1
2
3
5
4
>
1
3
2
5
4
>
1
2
3
4
5
>
1
3
2
4
5
.
Wir bezeichnen eine solche Sequenz zu α mit tα1 , . . . , tαfα , wobei f α hier eine noch (im Allgemeinen) unbekannte natürliche Zahl ist. Im Verlauf der Arbeit wird jedoch klar werden, was es damit
auf sich hat.
2.3 Young-Untergruppen und deren induzierte Darstellungen
Alfred Young konstruierte als Erster irreduzible Darstellungen der Sn und wir wollen versuchen
seine damalige Vorgehensweise nachzuvollziehen.
11
12
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
12
Wir betrachten das erste“ Standard-Young-Tableau, tα := tα1 zu einem festen α = (α1 , . . . , αh ) ` n
”
0
und behalten uns die Existenz des zugehörigen transponierten Tableaus tα vor (siehe Beispiel unten).
Nun untersuchen wir alle mögliche Permutationen der Einträge der Zeilen des Young-Tableaus,
welche für jede Zeile eine Untergruppe der Sn bilden. Im kartesischen Produkt dieser Untergruppen entsteht dann die sogenannte Young-Untergruppe Sα . Ebenso ergibt sich eine weitere
0
Young-Untergruppe zu α, wenn man die Spalten von tα beziehungsweise die Zeilen von tα untersucht, welche wir analog Sα0 nennen.
Sα := S{1,...,α1 } × S{α1 +1,...,α2 } × · · · × S{n−αh +1,n−αh +2,...,αh } .
Für α0 ist dies allgemein nicht mehr so schön notierbar, daher betrachten wir eine Veranschaulichung mit α = (32 , 2, 1):
α
t =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
,
α0
t
1
4
7
= 2
5
8
3
6
9
,
Sα = S{1,2,3} × S{4,5,6} × S{7,8} × S{9} ∼
= S3 × S3 × S2 × S1 ≤ S9 .
Sα0 = S{1,4,7,9} × S{2,5,8} × S{3,6} ∼
= S4 × S3 × S2 ≤ S9 .
Das kartesische Produkt sehen wir im Folgenden einfach als Multiplikation der Elemente, das
heißt wenn (12) ∈ S{1,2} und (345) ∈ S{3,4,5} , dann ist (12)(345) ∈ S{1,2} × S{3,4,5} .
Wir behalten uns noch im Hinterkopf, dass gilt:
Sα ∩ Sα0 = {(1)}.
Weiter setzen wir ISα gleich der eindimensionalen Identitäts-Darstellung (auch triviale Darstellung
genannt) der Gruppe Sα und ASα0 gleich der Signum-Darstellung (Alternierende Darstellung) von
Sα0 .
ISα (π) := 1 ∀π ∈ Sα

1,
∀π ∈ SαA0 := Sα0 ∩ An
ASα0 (π) :=
−1, ∀π ∈ S 0 \ S A
α
α0
Wir untersuchen im Folgenden, was passiert, wenn wir diese Darstellungen zur Sn induzieren. Sei
dazu β ` n neben α eine weitere Partition, dann können wir ISα und ASβ zur Sn induzieren und
erhalten die Darstellungen
ISα ↑ Sn und
ASβ ↑ Sn
der Sn . Wir wollen nun die Verflechtungszahl (englisch intertwining number )
i(ISα ↑ Sn , ASβ ↑ Sn )
13
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
13
berechnen, welche eine Aussage über die gemeinsamen irreduziblen Unterdarstellungen dieser induzierten Darstellungen liefern. Hier hilft uns Mackey’s Intertwining-Number-Theorem, das besagt
X
i(ISα ↑ Sn , ASβ ↑ Sn ) =
1.
Sα πSβ
Sα ∩πSβ π −1 ={1}
Dies ist eine Summe über die Doppelnebenklassen Sα πSβ (π ∈ Sn ) von Sα und Sβ in Sn .
Nun liegt es nahe, genau die α, β zu finden, sodass die Verflechtungszahl gleich 1 ist, denn dann
hätten wir eine irreduzible Darstellung der Sn gefunden. Einige Theoreme sagen uns an dieser
Stelle, dass dies genau dann eintritt, wenn β = α0 ist (vgl. etwa [JK81] Theorem 2.1.3). Das
heißt:
i(ISα ↑ Sn , ASα0 ↑ Sn ) = 1.
Mit anderen Worten heißt dies, dass ISα ↑ Sn und ASα0 ↑ Sn genau eine irreduzible Darstellung gemeinsam haben. Dieses wichtige Ergebnis führt unter Missbrauch“ des Symbols ∩ zur
”
grundlegenden Definition:
[α] := ISα ↑ Sn ∩ ASα0 ↑ Sn ,
die zu α gehörende irreduzible Darstellung der Sn .
Betrachten wir einen Spezialfall: α = (1n ) ` n, das heißt α0 = (n).
Wir sehen leicht, dass für die zugehörigen Young-Untergruppen gilt:
S(1n ) = {(1)},
S(n) = Sn .
Daher ist sowohl IS(1n ) ↑ Sn = RSn als auch AS(1n ) ↑ Sn = RSn genau die reguläre Darstellung
der Sn (da der Grad gleich n! ist).
Weiter ist IS(n) ↑ Sn = ISn und AS(n) ↑ Sn = ASn .
Dies zeigt
[n] = ISn und [1n ] = ASn .
(2.1)
Als bemerkenswert entpuppt sich der Zusammenhang zwischen [α] und [α0 ], denn nach FrobeniusReziprozität gilt:
ASn ⊗ (ISα ↑ Sn ) = ASα ↑ Sn und
ASn ⊗ (ASα0 ↑ Sn ) = ISα0 ↑ Sn .
(Vergleiche Korollar aus Frobenius Reziprozitätsgesetz, das für Darstellungen µ von G und ν von
H ≤ G besagt: µ ⊗ ν ↑ G = (µ ↓ H ⊗ ν) ↑ G ).
Demnach gilt:
[α0 ] = [1n ] ⊗ [α].
(2.2)
Im Klartext bedeutet das, dass die Charaktere der irreduzible Darstellung [α0 ] sich von [α] nur in
den ungeraden Permutationen und da lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden.
14
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
14
Der Beweis, dass {[α] | α ` n} das System aller irreduziblen paarweise nicht isomorphen Darstellungen von Sn ist, benötigt nur den Nachweis, dass aus [α] = [β] folgt α = β, denn dann hilft
uns die Mächtigkeit der Menge, welche gleich der Anzahl der Konjugationsklassen der Sn ist.
Wir verwenden an dieser Stelle das Theorem von Gale und Ryser, das unter anderem besagt, dass
falls i(ISα ↑ Sn , [β]) 6= 0, folgt α ≤ β (erinnere die Ordnung auf der Menge der Partitionen, Ende
1.2). Unter der Annahme, dass [α] = [β], gilt nun für die Verflechtungszahlen folgende Gleichung:
i(ISα ↑ Sn , [β]) = i(ISα ↑ Sn , [α]) = 1 = i(ISβ ↑ Sn , [β]) = i(ISβ ↑ Sn , [α]).
Demnach gilt also α ≤ β sowie β ≤ α, das heißt es ist α = β.
Betrachten wir kurz ein Zahlenbeispiel indem wir die S3 betrachten.
Die irreduziblen Darstellungen zu den drei möglichen Portionen sind [3], [2, 1] und [13 ]. Aus
Gleichung (2.1) folgt, dass
[3] = IS3 und [13 ] = AS3 .
0
3
Weiter gilt nach (2.2), dass sich die Charaktere von [3] und [13 ], wegen t(3 ) = t(1 ) (transponieren
des Young-Tableaus zu (3) ` 3), nur in den ungeraden Permutationen unterscheiden, insbesondere
ist also der Grad der Darstellungen gleich.
Damit ist auch der Grad von [2, 1] auf 2 festgelegt, da die Quadrate der Grade aufsummiert 6,
also der Mächtigkeit der S3 , ergeben müssen. Zudem ist (2, 1)0 = (2, 1), also muss der Charakter
von [2, 1] unter allen ungeraden Permutationen der S3 , also den Transpositionen, verschwinden.
So ergibt sich folgende Charaktertafel:
(13 )
(22 , 1)
(3)
χ
1
1
1
χ(3)
1
-1
1
χ(2,1)
2
0
*
(13 )
Wobei sich der letzte Eintrag ∗ aufgrund von Spaltenorthogonalität zu −1 ergibt.
Wir wollen nun unser Ziel, die Darstellungsmatrizen der Sn zu bestimmen, weiter verfolgen.
Hierzu ist es notwendig, noch einmal die Standard-Young-Tableaus zu betrachten.
2.4 Distanzen innerhalb der Young-Tableaus
Hier führen wir zunächst einen Abstandsbegriff d für zwei Zahlen r und s (mit jeweils Koordinaten
(ir , jr ), (is , js )) ein:
d(r, s) := (is − js ) − (ir − jr ) = (jr − js ) + (is − ir ).
Es werden also die überschrittenen Kästchen im Diagramm auf dem Weg von r nach s gezählt,
wobei zu beachten ist, dass Schritte nach links und unten positiv, Schritte nach rechts und
15
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
15
oben negativ gezählt werden. Mit dαi (r, s) bezeichnen wir die Distanz zwischen r und s im i-ten
Standard-Young-Tableau zur Partition α. Es gilt die einfache, aber nachher nützliche Beziehung
dαi (r, q) + dαi (q, s) = dαi (r, s)
∀ q, r, s ∈ {1, . . . , n}
(2.3)
Nun können wir uns Youngs wichtiger Konstruktionsvorschrift widmen:
2.5 Youngs Seminormalform
Sei α ` n, das Diagramm [α] und dessen Standard-Young-Tableaus tα1 , . . . , tαfα gegeben.
Die Darstellungsmatrix T α zum Charakter χα ist gegeben durch
T α (m − 1, m) = aik ((m − 1, m)) ik ,
wobei für 1 < m ≤ n, (m − 1, m) eine Transposition ist. Die Einträge aik von T α ergeben sich
folgendermaßen:
(i) aii (m − 1, m) = ±1. +1“, falls die Zahlen m − 1 und m in derselben Zeile und −1“,
”
”
falls die Zahlen in derselben Spalte von tαi auftauchen,
(ii) falls i < k und tαi = (m − 1, m)tαk , ergibt sich folgende Submatrix:
!
!
aii (m − 1, m)
aik (m − 1, m)
−dαi (m − 1, m)−1 1 − dαi (m − 1, m)−2
,
=
1
dαi (m − 1, m)−1
aki (m − 1, m) akk (m − 1, m)
(iii) aik (m − 1, m) = 0 überall sonst.
Beweis:
Vollständige Induktion nach n.
Im Fall n = 2 betrachten wir die S2 und stellen fest, dass es nur zwei Partitionen mit jeweils
einem möglichen Standard-Young-Tableau gibt:
[2] = 1
[12 ] =
2 ,
1
2
.
Die S2 besitzt zwei Darstellungen, die triviale und die Signum-Darstellung, welche beide Grad
2
1 haben und für die Darstellungsmatrizen gilt T (2) (12) = 1, T (1 ) (12) = −1, welche auch
Punkt (i) liefern.
Sei also n > 2 und wir nehmen an, die Behauptung gelte für Sn−1 .
Insbesondere heißt das, die Behauptung gilt für alle Transpositionen (m − 1, m), 1 < m < n.
Wir wollen prüfen, ob die Behauptung für die Transposition (n − 1, n) stimmt, nehmen dabei aber
an, dass die Submatrizen von T α wieder die Form
γ 1 − γ2
1
−γ
!
16
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
16
haben (vlg. [JK81] S. 124). Wir zeigen nun, dass γ = −dαi (n − 1, n)−1 , wobei tαi das StandardYoung-Tableau mit n in der r-ten Zeile und n − 1 in der s-ten Zeile (r < s) ist.
Sei j der Index des Young-Tableaus, welches tαi = (n − 1, n)tαj erfüllt.
Weiter gilt:
(n − 2, n) = (n − 1, n)(n − 2, n − 1)(n − 1, n)
= (n − 2, n − 1)(n − 1, n)(n − 2, n − 1).
Wir bestimmen nun γ mit Hilfe des Eintrags aji , der zu beiden Ausdrücken korrespondierenden
Matrix von (n − 2, n).
Nach Induktionsvoraussetzung bekommen wir für die Matrix T α (n−2, n−1) folgende Submatrix
am Schnittpunkt der i-ten und j-ten Spalte und der i-ten und j-ten Zeile:
!
−dαi (n − 2, n − 1)−1
0
−dαj (n − 2, n − 1)−1
0
(Es kann durchaus sein, dass in den Zeilen und Spalten noch weitere Einträge ungleich Null
vorkommen, diese sind aber im folgenden Argument nicht wichtig.)
Betrachten wir nun die entsprechende Submatrix von
T α (n − 1, n) T α (n − 2, n − 1) :
γ 1 − γ2
1
−γ
!
!
−dαi (n − 2, n − 1)−1
0
0
−dαj (n − 2, n − 1)−1
=
−γdαi (n − 2, n − 1)−1 −(1 − γ 2 )dαj (n − 2, n − 1)−1
−dαi (n − 2, n − 1)−1
γdαj (n − 2, n − 1)−1
sowie die Einträge aji von T α (n − 1, n)(n − 2, n − 1)(n − 1, n)
und T α (n − 2, n − 1)(n − 1, n)(n − 2, n − 1) . Es gilt:
!
,
T α (n − 1, n)(n − 2, n − 1)(n − 1, n) = T α (n − 1, n)(n − 2, n − 1) T α (n − 1, n)
Tα
⇒ aji = −γdαi (n − 2, n − 1)−1 + γdαj (n − 2, n − 1)−1 ,
(n − 2, n − 1)(n − 1, n)(n − 2, n − 1) = T α (n − 2, n − 1) T α (n − 1, n)(n − 2, n − 1)
⇒ aji = dαi (n − 2, n − 1)−1 dαj (n − 2, n − 1)−1 .
Nach dem Gleichsetzen dieser Bedingungen erhalten wir:
γ −1 = −dαj (n − 2, n − 1) + dαi (n − 2, n − 1)
= dαi (n − 2, n) + dαi (n − 2, n − 1)
= −dαi (n − 1, n),
wobei die vorletzte Gleichheit wegen tαi = (n − 1, n)tαj gilt und die letzte wegen Eigenschaft (2.3).
17
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
17
2.6 Konstruktion der Darstellungsmatrizen S5
Betrachten wir nun als Anwendung das Beispiel S5 und α := (3, 2). Die Anordnung der StandardYoung-Tableaus ist wie in Punkt 2.2:
t1 =
1
2
4
5
3
> tα2 =
1
2
3
5
4
> tα3 =
1
3
2
5
4
> tα4 =
1
2
3
4
5
> tα5 =
1
3
2
4
Beginnen wir mit T (3,2) (12) . Hier tritt nur Punkt (i) der Konstruktionsvorschrift ein, denn die
Zahlen 1 und 2 tauchen dreimal in derselben Spalte (bei tα1 , tα2 und tα4 ) und zweimal in derselben
Zeile (bei tα3 und tα5 ) auf. Also tragen wir auf die Diagonale der Matrix entsprechend +1 oder −1
ein. Es ergibt sich:

T (3,2)
1 0

0


(12) = 0

0

0
0
0

0

0


0 −1 0 0  .

0 0 1 0

0 0 0 −1
1
0
0
Für die Matrix T (3,2) (23) stellen wir zunächst fest, die Zahlen 2 und 3 tauchen in t1 in derselben
Zeile auf, entsprechend ist a11 = 1. Dass 2 und 3 noch einmal in derselben Zeile oder Spalte
auftauchen, ist in den restlichen Tableaus nicht mehr gegeben, daher tritt Punkt (ii) in kraft.
Es gilt tα2 = (23)tα3 und tα4 = (23)tα5 . Wir lesen ab dα2 (2, 3) = 2 = dα4 (2, 3). Also entsteht die
folgende Matrix:
T (3,2)

1 0

0 − 1
2


(23) = 0 1

0 0

0 0

0
0
0
3
4
1
2
0

0


0 .

3
4
0
0 − 12
0
1
1
2
Die letzten beiden Matrizen ergeben sich durch analoges Vorgehen zu:
T (3,2)

−1
 3
 1


(34) =  0

 0

0
8
9
1
3
0 0
0


0


0 1 0 0 ,

0 0 1 0

0 0 0 −1
0 0
5
.
18
Darstellungsmatrizen der Symmetrischen Gruppe
T (3,2)

1 0

0 − 1
2


(45) = 0 0

0 1

0
0
18

0
0
0
0
3
4
− 12
0
0
1
2
1
0

0

3 .
4

0

1
2
Wir sehen, die Ordnungsbedingung ist erfüllt, denn
2
2
2
2
T (3,2) (12)
= T (3,2) (23)
= T (3,2) (34)
= T (3,2) (45)
= I5 , das heißt, die Matrizen haben dieselbe Ordnung wie die Transpositionselemente der S5 , die sie repräsentieren.
Wie in 1.1 bemerkt, wird die Sn von Transpositionen erzeugt, also können wir mit den obigen
Matrizen auch die restlichen Darstellungsmatrizen der S5 zur Partition (3, 2) durch einfache Matrixmultiplikation erhalten.
Die Darstellungsmatrizen zu den übrigen Partitionen sind im Anhang einzusehen.
§ 3 Charaktere der Symmetrischen Gruppe
Da die Charaktere nach Definition die Spur der Darstellungsmatrizen sind, könnten wir diese nun
natürlich einfach über die Darstellungsmatrizen berechnen. Allerdings haben Charaktere so faszinierende Eigenschaften, dass es Möglichkeiten gibt, sie zu berechnen, ohne auf die Darstellungsmatrizen zurückzugreifen. Auf diesem Weg untersuchen wir zunächst eine spezielle Eigenschaft
der Symmetrischen Gruppe in Bezug auf dessen Charaktere, nämlich:
3.1 Charaktere der Symmetrischen Gruppe sind ganze Zahlen
Um diesen Sachverhalt zu zeigen, brauchen wir etwas Vorarbeit und Wissen über Charaktere.
Im Folgenden sei G eine beliebige endliche Gruppe mit |G| = h.
3.1.1 Satz
Werte von Charakteren sind algebraisch über Q(ε), wobei ε eine primitive h-te Einheitswurzel ist.
Beweis:
Sei T (g), g ∈ G eine Darstellungsmatrix einer Darstellung der Gruppe G von Grad n, das heißt
T (g) ∈ GLn (C), und ein Charakter χ von G gegeben.
Zunächst ergründen wir, warum jede Darstellungsmatrix (über C) diagonalisierbar ist:
Alle Elemente g ∈ G genügen der Gleichung g h = 1, also besitzt das charakteristische Polynom
einer Darstellungsmatrix T (g) die Form xh − 1, welches über C in Linearfaktoren zerfällt. Da
das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt und daher ebenfalls in Linearfaktoren
zerfällt, ist T (g) diagonalisierbar.
Demnach existiert also eine reguläre n × n Matrix S, sodass für alle g ∈ G gilt:
S −1 T (g)S = diag(ε1 , . . . , εn ).
Wegen g h = 1 für alle g ∈ G folgt:
In = S −1 T (g h )S = (S −1 T (g)S)h = diag(ε1 , . . . , εn )
h
= diag(εh1 , . . . , εhn ),
also gilt εhi = 1 für alle i ∈ {1, . . . , n} und somit sind alle εi algebraische ganze Zahlen. Weiter
existieren νi ∈ Z mit εi = ενi und somit ist χ(g) = εν1 + · · · + ενn eine algebraische Zahl über
Q(ε)
19
20
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
20
Ein kurzer Ausflug in die Galoistheorie bescheinigt uns, dass Q(ε) als Kreisteilungskörper Q[h]
eine normale Körpererweiterung von Q vom Grad ϕ(h) (Eulersche Phi-Funktion) ist und damit
gilt:
∗
G = Gal Q(ε)/ Q ∼
= Z /h Z .
Ist nun σ ∈ G und χ Charakter von G, so setzen wir:
σχ(g) = σ χ(g) ,
g∈G
und es gilt σ(ε) = εa mit ggT(a, h) = 1.
3.1.2 Satz
Es gilt σχ(g) = χ(g a ).
Beweis:
Nach Satz 3.1.1 ist χ(g) = ε1 + · · · + εn mit εk = ενk , das heißt σ(εk ) = σ(ε)νk = εak . Es folgt
σχ(g) = σ χ(g) = σ(ε1 ) + · · · + σ(εn ) = εa1 + · · · + εan
= Spur T (g)a = Spur T (g a ) = χ(g a ).
3.1.3 Lemma
Algebraische Zahlen, die mit allen ihren Konjugierten übereinstimmen, sind rational.
Beweis:
Sei α eine solche Zahl, dann besteht die Galoisgruppe nur aus der Identität und somit ist der Grad
der Erweiterung [Q(α) : Q] = Gal Q(α)/ Q = 1, nach dem Lemma von Artin. Also muss α
rational gewesen sein.
3.1.4 Definition
Ein Element g ∈ G heißt rational, falls g zu allen Erzeugern der zyklischen Untergruppe < g >
konjugiert ist.
Ein Charakter von G heißt rational, falls seine Werte rational (und daher dann ganzzahlig) sind.
Abschließend betrachten wir das wichtige Theorem:
21
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
21
3.1.5 Theorem
Sei g ∈ G rational, dann ist χ rational für alle irreduziblen Charaktere χ von G.
Beweis: Sei g rational, χ ein beliebiger irreduzibler Charakter von G und σ ∈ G. Wie oben
gezeigt, gilt σχ(g) = χ(g a ) mit ggT a,ord(g) = 1. Da g rational ist, ist g a konjugiert zu g und,
weil χ eine Klassenfunktion ist, gilt χ(g a ) = χ(g), also σχ(g) = χ(g) für alle σ ∈ G. Mit dem
gerade gezeigten Lemma 3.1.5 folgt, dass χ(g) rational ist.
Wir können nun das Theorem auf die Symmetrische Gruppe anwenden, da alle Elemente der
Sn rational sind.
Infolgedessen sind die Werte der Charaktere der Symmetrischen Gruppe alles ganze Zahlen, da
rationale ganzalgebraische Zahlen Nullstellen eines (normierten) Polynoms über Z und somit ganze Zahlen sind.
Mit dieser Erkenntnis wollen wir nun die Werte der Charaktere möglichst allgemein für die Sn
bestimmen, wozu wir zunächst noch etwas Theorie brauchen.
3.2 Haken der Young-Diagramme
Eine wichtige Rolle spielen die sogenannten Haken in den Young-Diagrammen.
Es war T. Nakayama, der das Konzept der Haken als erstes einführte und er bezog sich damit auf
folgende Konstrukte innerhalb eines Young-Diagramms [α]:
Jeder Haken Hi,j besitzt eine Ecke an der Position (i, j) innerhalb des Diagramms. Die Kästchen
in der Spalte unterhalb der Ecke (die Ecke selbst nicht) bilden das Bein des Hakens. Das unterste
Kästchen mit Position (αj0 , j) heißt der Fuß des Hakens. Von der Ecke aus rechts, zum Ende des
Diagramms, erhält man den Arm mit zugehöriger Hand an Position (i, αi ). Wir veranschaulichen
uns die Situation anhand eines einfachen Beispiels mit α = (4, 3, 2):
x
[4, 3, 2] =
x
x
x
x
Die Ecke befindet sich hier bei (1, 2), der Fuß bei (3, 2) und die Hand bei (1, 4).
Wichtig ist es, die Hakenlänge hij des Hakens Hi,j zu ermitteln, in dem wir, ähnlich wie bei den
Distanzen in den Young-Tableaus, ablesen
hij := αi − j + αj0 − i + 1.
Schreiben wir nun die Hakenlängen in das jeweilige Kästchen, ergibt sich eine noch unscheinbare
Tabelle“ von Zahlen; mit obigem Beispiel:
”
6
5
3
[4, 3, 2] = 4
3
1
2
1
1
.
22
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
22
Später benötigen wir noch die Länge des Hakenbeines (englisch leg length), welche wir definieren
als
ll(Hi,j ) := hij − αi + j − 1.
Im obigen Diagramm ist zum Beispiel ll(H1,2 ) = 2.
Wir widmen uns nun wieder dem Ziel, die Charaktere der Symmetrischen Gruppe zu bestimmen
und fangen damit an, uns zunächst auf den Grad der Darstellung einer Partition α, das heißt dem
Wert des Charakters χα an der Stelle 1 ∈ G, zu konzentrieren.
Hierbei untersuchen wir einen erstaunlichen Zusammenhang zwischen den Hakenlängen und dem
Grad einer Darstellung.
Die Formel, die den Zusammenhang widerspiegelt, erscheint so simpel, dass selbst dessen Entdecker G. de B. Robinson zunächst ungläubig war. Schließlich bewies er sie aber zusammen mit
seinem Freund J. S. Frame.
Interessanterweise bewies unabhängig davon auch R. M. Thrall die Formel an exakt demselben
Tag (vgl. [Sag00] S.125).
Daher spricht man von der Frame-Robinson-Thrall-Formel.
3.3 Frame-Robinson-Thrall-Formel
Sei α = (α1 , . . . , αh ) ` n eine Partition und [α] das zugehörige Young-Diagramm. Für f α , den
Grad der zu [α] gehörenden Darstellung, gilt:
fα = Q
n!
α
i,j hij
Das heißt, der Grad einer jeden irreduziblen Darstellung der Sn ist einfach n! geteilt durch das Produkt aller Hakenlängen des Young-Diagramms. Übrigens wird hier auch klar, dass f α gleichzeitig
die Anzahl der möglichen verschiedenen Standard-Young-Tableaus ist, wie in 2.2 angedeutet.
Beweis:
An dieser Stelle verwenden wir eine leicht verständliche Variante des Beweises, indem wir einsehen,
dass es eine Determinantenform für Darstellungen gibt, mit der dann der Grad f α der Darstellung
[α] auch als Determinante geschrieben werden kann.
Die Determinantenform lautet folgendermaßen:
1
f α = χα (1) = n! .
(αi + j − i)! 1≤i,j≤h Erinnern wir uns an die Definition der Hakenlänge in 3.2, so gilt αi = hi1 + i − h, da j = 1 und
damit αj0 = h (wir schreiben zur besseren Übersicht kurz hi1 statt hαi1 ). Ersetzen wir den Nenner
erhalten wir:
1
1
=
.
(αi + j − i)! 1≤i,j≤h (hi1 − h + j)! 1≤i,j≤h 23
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
23
In den folgenden Umformungen betrachten wir nur die oberste Zeile der Matrix, zu der die Determinante zu berechnen ist, denn die k-te Zeile hat die Form:
1
1
1
1
.
···
(hk1 − h + 1)!
(hk1 − 2)! (hk1 − 1)! hk1 !
Es werden im Folgenden nur Spaltenoperationen vorgenommen, genauer addieren wir die vorletzte
auf die drittletzte Spalte, die drittletzte auf die viertletzte Spalte und so weiter. Dies verändert
die Determinante nicht. Es gilt:
1
1
(h1,1 −h+1)! · · · (h1,1 −2)!
1
(hi1 − h + j)! = ..
.
1
1
(h1,1 −1)! h1,1 !
h
Y
1
=
hi1 !
[h1,1 (h1,1 − 1) · · · (h1,1 − h + 2)]
·
..
.
···
h1,1 (h1,1 − 1)
h
Y
1
=
hi1 !
2
[h1,1 (h1,1 − 2) · · · (h1,1 − h + 2)]
·
..
.
···
h21,1
h1,1
1 h
Y
1
=
hi1 !
3
[h1,1 (h1,1 − 3) · · · (h1,1 − h + 2)]
·
..
.
···
h21,1
h1,1
1 i=1
i=1
i=1
h1,1
1 ..
.
h
Y
1
=
hi1 !
i=1
hh−1
1,1
· hh−2
1,1
hh−3
1,1
···
h21,1
..
.
h1,1
1 .
Das heißt, rechts steht die Vandermonde-Determinante:
Y
|(hαi1 )h−j | =
(hαi1 − hαj1 ).
i<j
Eingesetzt ergibt sich also, dass
Q
α
f = n!
α
i<j (hi1
Q
− hαj1 )
α
i hi1 !
ein Ausdruck in den Hakenlängen ist, deren Haken-Ecken sich in der ersten Spalte des YoungDiagramms befinden.
Betrachten wir nun unter einem festen i, was uns noch zur Behauptung fehlt:
Qh
α
α
n!
j=i+1 (hi1 − hj1 ) !
n!
= Q αi α .
hαi1 !
ν=1 hiν
Umgestellt müssen wir also für 1 ≤ i ≤ h zeigen:
h
Y
(hαi1 − hαj1 )
j=i+1
Offenbar haben beide Seiten hαi1 Faktoren und
αi
Y
ν=1
hαiν = hαi1 !.
(3.1)
24
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
24
• hαi1 − hαj1 steigen strikt, wenn j steigt und
• hαiν fällt, wenn ν steigt.
Weiter sind die Faktoren links alle kleiner oder gleich hαi1 . Es reicht also um (3.1) zu zeigen, dass
alle linken Faktoren paarweise verschieden sind.
Wir prüfen dazu:
hαi1 − hαj1 < hαiν < hαi1 − hαj+1,1
(3.2)
für ein passendes j in Abhängigkeit von ν. Setze j := αν0 , so dass αj ≥ ν und αj+1 < ν. Damit
gilt
hαi1 − hαj1 = αi + h − i − (αj + h − j) ≤ αi − i − ν + j < αi − i − ν + j + 1 = hαiν
und
hαi1 − hαj+1,1 = αi + h − i − (αj+1 + h − j − 1) > αi − i − ν + j + 1 = hαiν .
Dies zeigt (3.2), was (3.1) impliziert.
3.4 Beispiel: Grade der irreduziblen Darstellungen der S5
Veranschaulichen wir uns Formel nun am Beispiel der S5 . Es gibt sieben verschiedene Partitionen
(also Zykeltypen) innerhalb der S5 , entsprechend also sieben irreduzible Darstellungen. Um deren
Grade zu erhalten, betrachten wir einfach die zugehörigen Young-Diagramme und tragen die
Hakenlängen ein:
[5] = 5
4
5
3
2
2
1 ,
2
4
1
,
[3, 1 ] = 2
[4, 1] =
2
[2 , 1] = 3
1
5
3
2
1
2
1 ,
= 1: [5], [15 ],
• zwei von Grad
5!
5·3·2
= 4: [2, 13 ], [4, 1],
• zwei von Grad
5!
4·3·2
= 5: [3, 2], [22 , 1] und
• eine von Grad
5!
5·2·2
= 6: [3, 12 ] gibt.
3
[2, 1 ] =
Die leichten Rechnungen zeigen, dass es
5!
5·4·3·2·1
,
[3, 2] =
5
1
• zwei Darstellungen von Grad
1
3
2
1
4
3
2
1
1
,
5
1
4
,
5
[1 ] = 3 .
2
1
25
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
25
Hier verifizieren wir nochmal, das die berechneten Darstellungsmatrizen in 2.6 zu Recht Grad 5
haben. Die Ergebnisse hier wiederum können wir prüfen, da die Summe über die Quadrate der
Grade gleich der Mächtigkeit der Gruppe sein muss:
12 + 12 + 42 + 42 + 52 + 52 + 62 = 120 = 5! = |S5 |.
Konzentrieren wir uns nun auf die restlichen Werte der Charaktere der Symmetrischen Gruppe,
indem wir noch einmal die Haken der Young-Diagramme genauer betrachten:
3.5 Schief-Haken
Wir kennen bereits die normalen“ Haken eines Young-Diagramms. Wir projizieren diese Haken
”
auf den Rand des Young-Diagramms, um neue Schief“-Haken (englisch skew oder rim) ξ zu
”
erhalten. Anschaulich, sei α = (6, 3, 3, 1, 1). Wir betrachten den Haken H1,1 :
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Projektion
−−−−−−→
H1,1 = x
ξ= x
x
x
x
x
x
x
Man beachte, dass das Entfernen von ξ aus dem Young-Diagramm wieder ein Young-Diagramm
ergibt. Im obigen Beispiel ist [α] \ ξ = [22 ]. Dies geschieht analog zu dem Fall, dass, wenn
α = (α1 , . . . , αh ) eine Partition ist, so ist α \ α1 = (α2 , . . . , αh ) ` (n − α1 ) ebenfalls eine
Partition.
Wir verwenden noch einen Längenbegriff des Schief-Hakens ξ, den wir auf die Beinlänge des
ursprünglichen Hakens festlegen, vergleiche also 3.2:
ll(ξ) := ll(Hi,j ).
Nun können wir uns der bedeutendsten Formel dieses Abschnitts zuwenden:
3.6 Die Munrughan-Nakayama-Formel
Sei α ` n eine Partition und ρ ∈ Sn ein Zykel mit Partition λ = (λ1 , . . . , λh ) ` n. Wir spalten
ρ in zwei Zykel π und σ auf, wobei π Partition (λ2 , . . . , λh ) und σ Partition (λ1 ) besitzt. Weiter
sei ξ der zu Haken Hi,j gehörende Schief-Haken innerhalb des Young-Diagramms [α]. Dann gilt:
χα (πσ) =
X
(−1)ll(ξ) χα\ξ (π),
hij =λ1
wobei χ(0) (1) = 1.
Diese Formel muss iterativ ausgerechnet werden, indem man zunächst alle möglichen λ1 -Hakenlängen
26
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
26
im Young-Diagramm [α] betrachtet und die zugehörigen Schief-Haken aus dem Diagramm entfernt, um dann dasselbe mit den neu entstandenen Diagrammen zu tun. Bevor wir uns den etwas
komplizierteren Beweis anschauen, betrachten wir zunächst ein detailliertes Anwendungsbeispiel
mit α = (42 , 3) ` 11 und ρ = (12)(3456)(789 10 11) ∈ S11 . Der Zykel ρ besitzt die Partition
(5, 4, 2) ` 11 und ρ = πσ wird aufgespalten zu π = (12)(3456), σ = (789 10 11), wobei σ
2 ,3)
Partition (5) besitzt. Wir berechnen nun χ(4
(ρ):
[42 , 3] =
.
suche Haken der Länge 5
und bilde zugehörige Schief-Haken
&
x
x
x
x
x
−1
x
x
x
↓ Entferne Schief-Haken
x
x
x
+1
x
↓ Entferne Schief-Haken
↓ Suche Haken der Länge 4
x
x
↓ Keine Haken der Länge 4
−1
0
↓ Entferne Schief-Haken
↓ suche Haken der Länge 2
x
x
−1
↓ Entferne Schief-Haken
(−1)3
Die zugehörigen Rechnungen sind wie folgt:
2 ,3)
χ(4
(ρ) = −χ(4,2) (12)(3456) + χ(3,2,1) (12)(3456)
= − − χ(2) (12) + 0
= − − − χ(0) (1)
= (−1)3 = −1.
Charaktertafeln für beliebige Symmetrische Gruppen aufzustellen ist nun also nur noch Fleißarbeit.
27
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
27
Beweis:
Wie angekündigt ist der Beweis recht komplex und bedarf einigem Wissen über Charaktere und
Kombinatorik.
Im Folgenden werden wir die Beweisidee nur skizzieren, für einen detaillierten Beweis verweise ich
auf [Sag00] S.180-184.
Sei m = λ1 und πσ ∈ Sn−m × Sm ≤ Sn , wobei π ein Zykel mit Partition (λ2 , . . . , λh ) und σ ein
m-Zykel ist. Die irreduziblen Charaktere χµ ⊗ χν , mit µ ` (n − m), ν ` m, bilden eine Basis der
Klassenfunktionen auf Sn−m × Sm .
Das bedeutet
χα (πσ) = χα ↓ Sn−m × Sm (πσ) =
X
mλµν χµ (π)χν (σ).
µ`(n−m)
ν`m
Die mαµν sind Multiplizitäten, welche man mit Frobenius-Reziprozität zu
mαµν = (χα ↓ Sn−m × Sm , χµ ⊗ χν )
= (χα , (χµ ⊗ χν ) ↑ Sn )
= (χα , χµ · χν )
= cαµν
umformen kann, wobei cαµν dem Littlewood-Richardson-Koeffizient entspricht (vgl. [Sag00] Theorem 4.9.4).
Betrachten wir zunächst χν (σ). Hier gilt (ohne Beweis):

(−1)m−r , falls ν = (r, 1m−r ),
χ(σ)ν =
0,
sonst.
(r ∈ {1, . . . , m})
Dies hat unmittelbar zur Folge, dass wir den Koeffizienten cαµν nur für den Fall betrachten müssen,
in dem ν ein Haken der Form ν = (r, 1m−r ) ist. Hier gilt wieder aufgrund der LittlewoodRichardson-Regel, dass es sich um folgenden Binomialkoeffizienten handelt:
h−1
α
cµν =
.
c−r
Dies vereinfacht obige Formel zu:
χα (πσ) =
X
µ
χµ (π)
m X
h−1
(−1)m−r .
c−r
r=1
Wobei für die hintere Summe gilt:
"
#
m X
h−1
h−1
h−1
h−1
m−r
m−c
(−1)
= (−1)
−
+ ··· ±
c−r
0
1
h−1
r=1

(−1)m−c , falls h − 1 = 0,
=
0,
sonst.
28
Charaktere der Symmetrischen Gruppe
28
Ist aber h = 1, so kann ξ nur ein Schief-Haken mit m Kästchen und c Spalten sein, also gilt
m − c = ll(ξ). Demnach folgt:
χα (πσ) =
X
(−1)ll(ξ) χα\ξ (π),
ll(ξ)=m−c
was zu zeigen war.
3.7 Charaktertafel S5
Mit diesem mächtigen Werkzeug ist es nur noch eine Formalität die Charaktertafel aufzustellen.
Wir betrachten als Beispiel die Charaktertafel der S5 :
χα \ α
(15 )
(22 , 1)
(3, 12 )
(5)
(2, 14 )
(4, 1)
(3, 12 )
1
1
1
1
1
1
1
χ(5)
1
1
1
1
-1
-1
-1
3
χ(2,1 )
4
0
1
-1
2
0
-1
χ(4,1)
4
0
1
-1
-2
0
1
χ(3,2)
5
1
-1
0
1
-1
1
χ
5
1
-1
0
-1
1
-1
2
χ(3,1 )
6
-2
0
1
0
0
0
χ(1
5)
(22 ,1)
Die Charaktertafeln der Sn für n = 3, . . . , 7 sind im Anhang einzusehen.
Mit Hilfe solcher Charaktertafeln können wir nun zum Beispiel die Normalteiler der Sn ablesen,
dieser ist als Kern eines jeden Charakters im Allgemeinen nur die An , die Alternierende Gruppe,
und die triviale Gruppe. (Ausnahme ist hier die S4 , welche noch die Kleinsche Vierergruppe als
Normalteiler besitzt, siehe Tafel im Anhang.)
§ 4 Anhang
4.1 Die Symmetrische Gruppe S3
Charaktertafel:
χα \ α
(13 )
(22 , 1)
(3)
χ
1
1
1
χ(3)
1
-1
1
χ(2,1)
2
0
-1
(13 )
Darstellungsmatrizen der Transpositionen für α = (2, 1) :
!
1
0
T α (1, 2) =
, T α (2, 3) =
0 −1
− 12
1
3
4
1
2
!
.
4.2 Die Symmetrische Gruppe S4
Charaktertafel:
χα \ α
(14 )
(2, 12 )
(22 )
(3, 1)
(4)
4
χ(1 )
1
1
1
1
1
χ(4)
1
-1
1
1
-1
2
χ(2 )
2
0
2
-1
0
χ(3,1)
3
1
-1
0
-1
2
χ(2,1 )
3
-1
-1
0
1
Darstellungsmatrizen der Transpositionen für α = (22 ), β = (3, 1), β 0 = (2, 12 ) :
Tα
(12) =
1
0
!
0 −1

1 0
,
0

0
,
0 0 −1
Tβ
0


1 0
0


,
(12) = 
0
−1
0


0 0 −1
3
4
1
2
(23) =
Tβ

1 0

1
(23) = 
0 − 2
0 1


T β (12) = 
0 1
− 21
Tα
1

− 12

0
T β (23) = 
 1
0
29
!
3
4
1
2
,
0

0


0
,
0 −1
!
0
(34) =
Tβ

−1
 3
(34) = 
 1
0

3 ,
4
1
2
1
Tα
,
0 −1

−1

0
T β (34) = 
0
0
8
9
1
3
0


0
,
0 1
0
− 13
1
0


8 .
9
1
3
30
Anhang
30
4.3 Die Symmetrische Gruppe S5
Charaktertafel:
χα \ α
χ(1
(15 )
(22 , 1)
(3, 12 )
(5)
(2, 14 )
(4, 1)
(3, 12 )
5)
1
1
1
1
1
1
1
χ(5)
1
1
1
1
-1
-1
-1
3
χ(2,1 )
4
0
1
-1
2
0
-1
χ(4,1)
4
0
1
-1
-2
0
1
χ(3,2)
5
1
-1
0
1
-1
1
2
χ(2 ,1)
5
1
-1
0
-1
1
-1
2
χ(3,1 )
6
-2
0
1
0
0
0
Darstellungsmatrizen der Transpositionen für α = (4, 1), α0 = (2, 13 ), β = (3, 2),
β 0 = (22 , 1), γ = (3, 12 ) :

Tα
0




0 1 0 0 

(12) = 
0 0 1 0  ,


0 0 0 −1

Tα
1 0 0
1
0
0 0
Tα


0
,
0

0 1
Tα
0
Tα


1 0
0
0


0 −1 0
0

,
(12) = 

0 0 −1 0 
0 0
0 −1
0
0
Tα

−1 0

 0 − 13
(34) = 
0
1

0
0

0
Tβ
1 0

0


(12) = 0

0

0
0
0

8
9
1
3

0
,
0

0 −1
0


0


0 −1 0 0  ,

0 0 1 0

0 0 0 −1
1
0

 1
(45) = 
 0

0
0
Tβ

0
0


0
,
0 −1 0 

0 0 −1
−1
1
1
2
3
4
1
2

0
(45) = 
0

0


0
,
3
4

0 0
,
1 0

0 1
0
− 12

0 0
0

 1
(23) = 
 0

0

0
Tα
0
15
16
1
4
− 14

0
Tα
0

0 1 0
(23) = 
0 0 − 1

2
0 0 1

8
9
1
3

0 − 31
(34) = 
0 1

0 0
1 0
0

0
0
0
−1
0
0
− 41

0
,
15 
16 
0
1
0

0 − 1
2


(23) = 0 1

0 0

0 0
1
4

0
0
0
3
4
1
2
0

0


0 ,

3
4
0
0 − 21
0
1
1
2
31
Anhang

Tβ
0
0
0

0
0
0
Tβ



0


0 −1 0 0  ,

0 0 1 0

0 0 0 −1
1
0
8
9
1
3
0
0 0
0
Tβ
0
0
0
Tβ






(34) = 




0
0
0
1
8
9
1
3
0
0
0
0
0 1
0
0
0
0 0 −1
− 13
0
0
0

0

0

,
0

8
9
0
0 0
0
− 31
0
0 0
0
1
1
3
1
Tγ
0

1 0

0 − 12


0 1
(23) = 
0 0


0 0
0

−1 0

 0 − 14


0
0
(45) = 
0
1


0
0
0
0

0
0
0
0
3
4
− 12
0
0
1
2
1
0

0

3 .
4

0

0
0
0
3
4
1
2
0

0


0 ,

3
4
1
2
0
0 − 21
0
0

0 − 1
2


(45) = 0 0

0 1

0 0
0

0
0
Tγ
0
1

0 − 1
2


(23) = 0 1

0 0

0 0

0 0
0
1
0


0


0 1 0 0 ,

0 0 1 0

0 0 0 −1
1 0

1 0

0 − 1
2


(45) = 0 0

0 1

0 0
0 0

0

0 −1 0 0
0

,
0 0 1 0
0


0 0 0 −1 0 
0 0 0 0 0 −1

Tγ
0

−1
 3
 1


(34) =  0

 0

0

0


0
(12) = 
0


0
0 0

0


0 1 0 0 ,

0 0 1 0

0 0 0 −1

1

0


(12) = 0

0

0

Tγ
8
9
1
3

 1


(34) =  0

 0

0
Tβ
Tβ
− 31
31

1
2
1

0
0
0
0
3
4
− 12
0
0
1
2
1
0

0

3 .
4

0

1
2
0
0
0
0
3
4
1
2
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
1 − 21
0
0


0

0

,
0


0
−1
0

0
0
0
0
0
15
16
0
1
4
0
15
16
0
1
4
0
1
0
− 41
0
0
0

0

0

.
0


0
1
32
Anhang
32
4.4 Symmetrische Gruppe S6
Charaktertafel:
χα \ α
(16 )
(2, 14 )
(22 , 12 )
(23 )
(3, 13 )
(3, 2, 1)
(32 )
(4, 12 )
(4, 2)
(5, 1)
(6)
χ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
χ(6)
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
χ(5,1)
5
3
1
-1
2
0
-1
1
-1
0
-1
4
χ(2,1 )
5
-3
1
1
2
0
-1
-1
-1
0
1
2
χ(3 )
5
1
1
-3
-1
1
2
-1
-1
0
0
3
χ(2 )
5
-1
1
3
-1
-1
2
1
-1
0
0
χ(4,2)
9
3
1
3
0
0
0
-1
1
-1
0
(16 )
(22 ,12 )
χ
9
-3
1
-3
0
0
0
1
1
-1
0
2
χ(4,1 )
10
2
-2
-2
1
-1
1
0
0
0
1
3
χ(3,1 )
10
-2
-2
2
1
1
1
0
0
0
-1
χ(3,2,1)
16
0
0
0
-2
0
-2
0
0
1
0
33
4.5 Symmetrische Gruppe S7
Charaktertafel:
χα \ α
(2, 15 )
(22 , 13 )
(23 , 1)
(3, 14 )
(3, 2, 12 )
(3, 22 )
(32 , 1)
(4, 13 )
(4, 2, 1)
(4, 3)
(5, 12 )
(5, 2)
(6, 1)
(7)
χ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
χ(7)
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
χ(6,1)
6
4
2
0
3
1
-1
0
2
0
-1
1
-1
0
-1
χ
6
-4
2
0
3
-1
-1
0
-2
0
1
1
1
0
-1
χ(5,2)
14
6
2
2
2
0
2
-1
0
0
-1
1
1
-1
0
2 3
χ(2 ,1 )
14
-6
2
-2
2
0
2
-1
0
0
-1
-1
1
1
0
χ(4,3)
14
4
2
0
-1
1
-1
2
-2
0
1
-1
-1
0
0
2
χ(2 ,1)
14
-4
2
0
-1
-1
-1
2
2
0
-1
-1
1
0
0
χ
15
5
-1
-3
3
-1
-1
0
1
-1
1
0
0
0
1
4
χ(3,1 )
15
-5
-1
3
3
1
-1
0
-1
-1
-1
0
0
0
1
3
χ(4,1 )
20
0
-4
0
2
0
2
2
0
0
0
0
0
0
-1
2
χ(3 ,1)
(2,15 )
(5,12 )
21
1
1
-3
-3
1
1
0
-1
-1
-1
1
1
0
0
(3,22 )
χ
21
-1
1
3
-3
-1
1
0
1
-1
1
1
-1
0
0
χ(4,2,1)
35
5
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
0
0
1
0
2
χ(3,2,1 )
35
-5
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
0
0
-1
0
Anhang
(17 )
(17 )
33
Literaturverzeichnis
[BZ98] Berkovich, Ya. G. und E. M. Zhmud’: Characters of Finite Groups (Part 1). American Mathematical Society, 1998.
[HI00]
Hill IV., Victor E.: Groups and Characters. Chapman, 2000.
[Jam78] James, G. D.: The Representation Theory of the Symmetric Groups. Springer Verlag,
1978.
[JK81]
James, Gordon und Adalbert Kerber: The Representation Theory of the Symmetric Group. Encyclopedia of Mathematiks, 1981.
[Mül80] Müller, W.: Darstellungstheorie von endlichen Gruppen. B. G. Teubner, 1980.
[Sag00] Sagan, Bruce E.: The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms.
Springer Verlag, 2000.
[Ser77] Serre, Jean-Pierre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, 1977.
[Wüs04] Wüstholz, Gisbert: Algebra. Vieweg, 2004.
34
Eigenständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne Hilfe anderer als
der angegebenen Quellen angefertigt habe.
Mainz, am 16. Februar 2010
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