Lösung 2

D-HEST,
Prof. Dr. E. W. Farkas
R. Bourquin und M. Sprecher
Mathematik III
HS 2015
Lösung 2
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1. Die komplexe Darstellung der Fourier-Reihe einer T -periodischen (T > 0) Funktion f (x) lautet
∞
X
cn einωx
n=−∞
mit
T
Z
1
cn =
T
f (x)e−inωx dx ∀n ∈ Z
0
wobei ω = 2π
die Kreisfrequenz ist. Bestimmen Sie die Koeffizienten cn der FourierT
Reihe zu den Funktionen:
x
a) g(x) = 1 − e− 2 2-periodisch mit x ∈ [0, 2[.
Die Fourier-Reihe ist linear, das heisst, F R(g1 + g2 ) = F R(g1 ) + F R(g2 ). Daher
x
berechnen wir separat für g1 (x) = 1 und g2 (x) = −e− 2 . Es ist F R(g1 ) = 1e0 und
(1)
somit c0 = 1. Um die Koeffizienten von F R(g2 ) zu bestimmen, berechnen wir
c(2)
n
=
=
=
=
(1)
Z
2π
1 T
g2 (x)e− T inx dx
T 0
Z
x
1 2
(−e− 2 )e−iπnx dx
2 0
2
2
1
−(1+2iπn) x2
e
2 1 + 2iπn
0
−1
e −1
1 + 2iπn
(2)
da e−2πin = 1. Mit cn = cn + cn erhalten wir schlussendlich
cn =
e−1 − 1
1 + 2iπn
und c0 = e−1
b) h(x) = 1 − e−2πx 1-periodisch mit x ∈ [0, 1[.
(1)
Analog zu a) mit T = 1, c0 = 1 und
Z 1
(2)
cn =
(−e−2πx )e−2πinx dx
0
−2π(1+in)x 1
1
e
0
2π(1 + in)
e−2π − 1
=
2π(1 + in)
=
Siehe nächstes Blatt!
also
cn =
e−2π − 1
2π(1 + in)
und c0 =
e−2π − 1
+1
2π
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2. Bestimmen Sie die trigonometrischen Koeffizienten an , bn der (reellen) FourierReihe zur 2π-periodischen Funktion f mit:
x
f (x) = cos( ),
2
x ∈ [−π, π]
auf zwei verschiedene Arten:
a) durch direktes Ausrechnen mittels
Z
1 π
an =
f (x) cos(nx)dx,
π −π
Z
1 π
bn =
f (x) sin(nx)dx,
π −π
n≥0
n≥1
Hinweis: cos(α) cos(β) = 21 cos(α − β) + 21 cos(α + β) für beliebige α, β ∈ R.
Es ist bn = 0, da f gerade ist. Für an verwenden wir den Hinweis und berechnen
Z π
Z
x
1 π
1
1
cos( ) cos(nx)dx =
cos((n + )x) + cos((n − )x)dx
2
2 −π
2
2
−π
π
1
1
1
1
1
=
sin((n + )x) +
sin((n − )x)
2 n + 21
2
2
n − 12
−π
1
2
2
1
1
=
sin((n + )π) +
sin((n − )π)
2 n + 12
2
2
n − 12
(−1)n (−1)n
4(−1)n
=
−
=
1 − 4n2
n + 21
n − 12
und somit an =
4(−1)n
.
(1−4n2 )π
b) durch Berechnung der komplexen Koeffizienten cn und Bestimmung von an , bn
aus cn .
Variante I: Es ist
Z π
Z
x
1 π −i x
x −inx
cos( )e
dx =
(e 2 + ei 2 )e−inx dx
2
2 −π
−π
π
1
1
1
−i x2 −inx
i x2 −inx
=
e e
+
e e
2 −i(n + 12 )
−i(n − 12 )
−π
(−1)n
−i − i
i − (−i)
=
+
2
−i(n + 12 ) −i(n − 12 )
1
4(−1)n
1
n
= (−1)
−
=
1 − 4n2
n + 12
n − 12
Siehe nächstes Blatt!
Also ist cn =
2(−1)n
.
(1−4n2 )π
Dann berechnet sich an mittels folgender Formeln:
a0 = 2c0
an = cn + c−n
Da hier cn = c−n gilt an = 2cn =
4(−1)n
(1−4n2 )π
und bn = i(cn − c−n ) = 0.
1
I, wobei
Variante II: Es gilt cn = 2π
Z π
x
cos( )e−inx dx
I=
2
−π
Z π
h
x
x −inx iπ
sin( )e−inx dx
+ 2in
= 2 sin( )e
2
2
−π
−π
Z π
h
iπ
x
x
n
n
−inx
2 2
= 2((−1) + (−1) ) + −4in cos( )e
− 4i n
cos( )e−inx dx
2
2
−π
−π
n
2
= 4(−1) + 4n I
da sin(π/2) = 1, sin(−π/2) = −1, cos(±π/2) = 0, e−inπ = (−1)n und i2 = −1.
n
2(−1)n
Also I = 4(−1)
und wiederum cn = (1−4n
2 )π .
1−4n2
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3. Eine 2π-periodische Funktion wird im Intervall 0 ≤ x < 2π durch die Gleichung
f (x) = exp(x) beschrieben.
a) Bestimmen Sie ihre Fourier-Reihe in komplexer Form.
Für alle n ∈ Z gilt mit c = 0
Z 2π
1
e(1−in)x dx
cn =
2π 0
1 1 + in 2π
1
1 (1−in)x 2π
=
=
e
(e − 1)
0
2π 1 − in
2π 1 + n2
wobei wir im letzten Schritt e2πin = 1 für alle n ∈ Z verwendet haben. Also
lautet die gesuchte Fourier-Reihe
∞
e2π − 1 X 1 + in inx
e
2π n=−∞ 1 + n2
b) Wie lauten die Koeffizienten ihrer reellen Form?
Es gilt
a0 = 2c0 =
e2π − 1
π
und für alle n ≥ 1
an = cn + c−n
e2π − 1 1 + in 1 − in
e2π − 1 1
=
+
=
2π
1 + n2 1 + n2
π 1 + n2
sowie
e2π − 1 1 + in 1 − in
e2π − 1 n
bn = i(cn − c−n ) = i
−
=
−
2π
1 + n2 1 + n2
π 1 + n2
Bemerkung: wir erklären im Folgenden, wie sich die komplexe Darstellung einer
Fourier-Reihe aus der reellen herleiten lässt und erläutern die Transformationsregeln
a0 = 2c0
an = cn + c−n
bn = i(cn − c−n )
(1)
die oben verwendet wurden. Sei also f eine 2π-periodische Funktion (stetig,
beschränkt und mit höchstens endlich vielen Sprungstellen) mit reeller FourierReihe
∞
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sin(nx))
2
n=1
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wobei an und bn wie oben gegeben sind. Wir verfolgen das Ziel, diese Reihe in
die Form
∞
X
cn einx
n=−∞
für geeignete Koeffizienten cn ∈ C zu bringen. Aus der Euler’schen Identität
inx
−inx
einx = cos(nx) + i sin(nx) erhält man, dass cos(nx) = e +e
und sin(nx) =
2
einx −e−inx
i inx
−inx
= − 2 (e −e
) gilt. Einsetzen in die reelle Fourierentwicklung ergibt
2i
∞
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sin(nx))
2
n=1
∞ X
a0
einx + e−inx
einx − e−inx
= +
an
+ bn
2
2
2i
n=1
∞
a0 X 1
1
inx
−inx
= +
(an − ibn )e + (an + ibn )e
2
2
2
n=1
=
∞
X
1
n=1
2
∞
(an + ibn )e
−inx
a0 X 1
+
+
(an − ibn )einx
2
2
n=1
Wir betrachten die erste Reihe in der vorigen Zeile separat. Mit der Indextransformation n 7→ −n gilt, dass
∞
X
1
n=1
2
−inx
(an + ibn )e
−∞
X
1
=
(a−n + ib−n )einx
2
n=−1
Einsetzen in die Herleitung ergibt nun
∞
−∞
∞
X
X
1
1
a0 X
inx a0 0nx
+ (an cos(nx)+bn sin(nx)) =
(a−n +ib−n )e + e +
(an −ibn )einx
2 n=1
2
2
2
n=−1
n=1
Dies ist tatsächlich von der Form
P∞
inx
,
n=−∞ cn e
wenn man
cn = (an − ibn )/2 ∀n ≥ 1
c0 = a0 /2
c−n = (an + ibn )/2 ∀n ≤ −1
(2)
definiert. Mit dieser Definition erhält man nun aus den Integral-Formeln für an
und bn entsprechende Integral-Formeln für die Koeffizienten cn . Zum Beispiel gilt
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für n ≥ 1, dass
Z
Z
1
1 1 c+2π
i c+2π
cn = (an − ibn ) =
f (x) cos(nx)dx −
f (x) sin(nx)dx
2
2 π c
π c
Z c+2π
1
f (x)(cos(nx) − i sin(nx))dx
=
2π c
Z c+2π
1
=
f (x)(cos(−nx) + i sin(−nx))dx
2π c
Z c+2π
1
f (x) exp(−inx)dx
=
2π c
was genau den oben angegebenen Formeln entspricht (hier haben wir in der 2.
Zeile die Linearität des Integrals verwendet und in der dritten Zeile, dass cos
gerade und sin ungerade ist). Die Fälle n = 0 und n ≤ −1 sind analog. Des
Weiteren kann man (2) auch nach an und bn auflösen. Die dritte Zeile von (2)
lässt sich zum Beispiel als c−n = 12 (an + ibn ) für n ≥ 1 schreiben und Addition
mit der ersten Zeile aus (2) ergibt an = cn + c−n für alle n ≥ 1. Auf ähnliche
Weise ergibt sich bn = i(cn − c−n ). Dies sind genau die Transformationsregeln
aus (1).