1 Formelsammlung

1
FORMELSAMMLUNG
1
1
Formelsammlung
1.1
Koordinatensysteme und Koordinatentransformation
Eine Übersicht der Orts- und Basisvektoren, der metrischen Faktoren sowie der Weg-, Flächen- und
Volumenelemente in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten findet sich auf Seite 2.
Eine Darstellung der Basisvektoren des Zylinder- oder Kugelkoordinatensystems durch die kartesischen
Basisvektoren ist mit den Transformationsmatrizen Tzk bzw. Tsk möglich. Die Rücktransformation
erfolgt dann jeweils durch Anwendung der inversen Matrix:


 
 
cos ϕ sin ϕ 0
~e%
~ex
z
z 




~eϕ = Tk ~ey
Tk = − sin ϕ cos ϕ 0
0
0
1
~ez
~ez


 
 
cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ
~er
~ex
s
s 




~eϑ = Tk ~ey
Tk = cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ − sin ϑ
− sin ϕ
cos ϕ
0
~ez
~eϕ
1.2
Differentialoperatoren und wichtige Identitäten
Schreibweise der Vektordifferentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace mithilfe
´T
³
∂
∂
~ = ∂ = ∂
des Nabla-Operators ∇
. Es ist Φ(~r) ein Skalarfeld und F~ (~r) ein Vektorfeld.
∂~
r
~ r) = grad Φ(~r)
∇Φ(~
∂x
∂y
∂z
~ · F~ (~r) = div F~ (~r)
∇
~ × F~ (~r) = rot F~ (~r)
∇
~ · ∇Φ(~
~ r) = 4 Φ(~r)
∇
Eine explizite Darstellung der Vektordifferentialoperatoren in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten findet sich in der Tabelle auf Seite 2.
Seien c eine skalare Konstante, Φ bzw. Φi Skalarfelder und F~ bzw. F~i Vektorfelder (i = 1, 2). Dann gilt
³ ´
grad(cΦ) = c grad Φ
div cF~ = c div F~
³
´
grad(Φ1 + Φ2 ) = grad Φ1 + grad Φ2
div F~1 + F~2 = div F~1 + div F~2
³
´
grad(Φ1 · Φ2 ) = Φ2 grad Φ1 + Φ1 grad Φ2
div ΦF~ = grad Φ · F~ + Φ div F~
³
´
div F~1 × F~2 = F~2 rot F~1 − F~1 rot F~2
³ ´
rot cF~
³
´
rot F~1 + F~2
³
´
rot ΦF~
³
´
rot F~1 × F~2
= c rot F~
= rot F~1 + rot F~2
= grad Φ × F~ + Φ rot F~
³
´
³
´
³
´
³
´
~ F~1 − F~1 ∇
~ F~2 + F~1 div F~2 − F~2 div F~1
=
F~2 ∇
div (grad Φ) = 4 Φ
³
´
³
´
rot rot F~ = grad div F~ − 4 F~
³
´
div rot F~ = 0
rot (grad Φ) = ~0
2
kartesisch
Koordinatensystem
Koordinaten ui
Ortsvektor ~r
Metrische
¯
¯Faktoren
¯ ∂~r ¯
¯
hi = ¯¯
∂ui ¯
Basisvektoren
1 ∂~r
~ei =
hi ∂ui
Wegelement
X
d~r =
dui hi~ei
x
y
z
x~ex + y~ey + z~ez
zylindersymmetrisch
kugelsymmetrisch
%
ϕ
z
% cos ϕ~ex + % sin ϕ~ey + z~ez
r
ϑ
ϕ
r cos ϕ sin ϑ~ex + r sin ϕ sin ϑ~ey + r cos ϑ~ez
hx = 1
hy = 1
hz = 1
h% = 1
hϕ = %
hz = 1
hr = 1
hϑ = r
hϕ = r sin ϑ
~ex
~ey
~ez
~e%
~eϕ
~ez
~er
~eϑ
~eϕ
dx~ex + dy~ey + dz~ez
d%~e% + %dϕ~eϕ + dz~ez
dr~er + rdϑ~eϑ + r sin ϑdϕ~eϕ
i
Flächenelemente
Y
~ i = ~ei
dA
duj hj
j6=i
Volumenelement
Y
dV =
hi dui
~ x = dydz~ex
dA
~ y = dxdz~ey
dA
~ z = dxdy~ez
dA
~ % = %dϕdz~e%
dA
~ ϕ = d%dz~eϕ
dA
~ z = %dϕd%~ez
dA
~ r = r2 sin ϑdϕdϑ~er
dA
~ ϑ = r sin ϑdϕdr~eϑ
dA
~ ϕ = rdϑdr~eϕ
dA
dxdydz
%dϕd%dz
r2 sin ϑdrdϕdϑ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
∂Fx ∂Fy
∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
µ
¶
∂Fy
∂Fz
−
~ex
∂z ¶
µ ∂y
∂Fx ∂Fz
+
−
~ey
∂x ¶
µ ∂z
∂Fy
∂Fx
+
−
~ez
∂x
∂y
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
~e% +
~eϕ +
~ez
∂%
% ∂ϕ
∂z
1 ∂(%F% ) 1 ∂Fϕ ∂Fz
+
+
% ∂%
% ∂ϕ
∂z
µ
¶
∂Fϕ
1 ∂Fz
−
~e%
∂z¶
µ % ∂ϕ
∂F% ∂Fz
+
−
~eϕ
∂%
µ ∂z
¶
1 ∂(%Fϕ ) 1 ∂F%
+
−
~ez
% ∂%
% ∂ϕ
µ
¶
1 ∂
∂Φ
1 ∂2Φ ∂2Φ
%
+ 2
+
% ∂%
∂%
% ∂ϕ2
∂z 2
∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
~er +
~eϑ +
~eϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
1 ∂(r2 Fr )
1 ∂(sin ϑFϑ )
1 ∂Fϕ
+
+
r2 ∂r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
µ
¶
∂(sin ϑFϕ ) ∂Fϑ
1
−
~er
rµsin ϑ
∂ϑ
∂ϕ¶
1 ∂Fr 1 ∂(rFϕ )
+
−
~eϑ
rµsin ϑ ∂ϕ r ¶∂r
1 ∂(rFϑ ) ∂Fr
+
−
~eϕ
r
∂r
∂ϑ
µ
¶
µ
¶
1 ∂
1
∂
∂Φ
1
∂2Φ
2 ∂Φ
r
+
sin
ϑ
+
r2 ∂r
∂r
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
i
Gradient
~ r)
grad Φ(~r) = ∇Φ(~
Divergenz
~ · F~ (~r)
div F~ (~r) = ∇
Rotation
~ × F~ (~r)
rot F~ (~r) = ∇
1
FORMELSAMMLUNG
Laplace-Operator
4 Φ(~r)
1
FORMELSAMMLUNG
1.3
3
Integralsatz von Gauß und Stokes
Für ein Vektorfeld F~ gilt der Gaußsche bzw. Stokessche Integralsatz wie folgt
‹
˚
~
~
div F dV =
F~ dA
Gauß
V
∂V
¨
˛
~ =
rot F~ dA
Stokes
A
F~ d~r
∂A
Hierin ist V ein beliebig wählbares Volumen und ∂V dessen Oberfläche sowie A eine beliebig wählbare
Fläche und ∂A deren Rand.
1.4
Häufig verwendete Integrale
ˆ
√
xdx
x2
ˆ
√
+
3
a2
= −√
√
ˆ2π
0
+
3
a2
=
a2
√
x
x2 + a2
³x´
dx
1
=
arctan
x2 + a2
a
a
ˆπ
(cos ϕ~ex + sin ϕ~ey ) dϕ = ~0
~e% dϕ =
dx
x2
ˆ
´
³
p
dx
= ln x + x2 + a2
x2 + a2
ˆ2π
1.5
ˆ
1
2
x + a2
sin ϑdϑ = 2
0
0
Maxwell-Gleichungen, Materialgleichungen und Kontinuitätsgleichung
Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differential- bzw. Integralform
‹
˚
~
~
~
div D = %V
DdA =
%V dV = Q
V
∂V
‹
~ =0
div B
~ A
~=0
Bd
∂V
˛
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
¨
~ r=−
Ed~
∂A
˛
~
~ = J~ + ∂ D
rot H
∂t
¨
~ r=
Hd~
~
∂B
~
dA
∂t
A
A
∂A
¨
~ A
~+
Jd
~
∂D
~
dA
∂t
A
Materialgleichungen
~ = ε0 E
~ + P~ = ε0 εr E
~
D
Kontinuitätsgleichung
˚
V
∂
~
div JdV
+
∂t
³
´
~ = µ0 H
~ +M
~ = µ0 µr H
~
B
˚
‹
%V dV =
V
Stetigkeitsbedingungen der Felder an Grenzflächen
³
´
~2 −D
~ 1 = %F
~n · D
³
´
~2 − E
~1 = 0
~n × E
~
J~ = κE
~ A
~+ ∂Q=0
Jd
∂t
∂V
³
´
~2 − H
~ 1 = J~F
~n × H
´
³
~2 − B
~1 = 0
~n · B
Hierbei bezeichnet ~n den Normaleneinheitsvektor sowie %F die Flächenladungsdichte und J~F die Flächenstromdichte innerhalb der Grenzschicht.
4
1.6
1
FORMELSAMMLUNG
Elektrostatik
Coulomb-Kraft der Punktladung Q0 bzw. der Ladungsverteilung %V (~r0 ) auf Q (mit Beobachtungspunkt ~r und Quellpunkt ~r0 )
˚
0)
0 (~
r
−
~
r
QQ
Q
r − ~r0
0 ~
~ (~r) =
F~ (~r) =
F
%
(~
r
)
dV 0
V
4πε |~r − ~r0 |3
4πε
|~r − ~r0 |3
Elektrostatisches Potential einer Ladungsverteilung %V (~r0 ), Poisson-Gleichung des Skalarpotentials
und Zusammenhang zwischen Potential und elektrostatischem Feld
˚
1
%V (~r0 )
%V (~r0 )
0
~ r) = − grad Φ(~r)
Φ(~r) =
E(~
dV
4
Φ(~
r
)
=
−
4πε
|~r − ~r0 |
ε
Definition der elektrischen Spannung
ˆ~r2
~ r)d~r
E(~
U21 = Φ(~r2 ) − Φ(~r1 ) = −
~
r1
Kraft und Kraftdichte einer Ladung Q bzw. Ladungsverteilung %V im elektrostatischen Feld
~ r) = − grad we
f~e (~r) = %V (~r)E(~
~ r) = − grad We
F~e (~r) = QE(~
Elektrostatische Energie und Energiedichte sowie Arbeit
We (~r) = QΦ(~r)
∆W = Q [Φ(~r2 ) − Φ(~r1 )] = QU21
we (~r) = %V (~r)Φ(~r)
Potential und elektrisches Feld eines Dipols mit Dipolmoment p~ = q~a
·
¸
1
(~rp~)~r
p~
1 ~rp~
~
ED (~r) =
3 5 − 3
ΦD (~r) =
4πε r3
4πε
r
r
Potential von N Dipolen p~j am Ort ~rj
N
N
j=1
j=1
1 X p~j (~r − ~rj )
1 X
=
−
p~j gradr
Φ(~r) =
4πε
|~r − ~rj |3
4πε
µ
1
|~r − ~rj |
¶
Potential und gesamtes Dipolmoment einer kontinuierlichen Dipoldichte m(~
~ r0 )
˚
˚
m(~
~ r0 )(~r − ~r0 ) 0
1
Φ(~r) =
dV
p~ =
m(~
~ r0 )dV 0
4πε
|~r − ~r0 |3
Kraft, Drehmoment und potentielle Energie eines Dipols im elektrostatischen Feld
³ ´
~
~ D = p~ × E
~
~
F~D = grad p~E
M
WD (~r) = −~
pE
~ influenzierte Flächenladungsdichte (Fläche mit Normalenvektor ~n)
Durch ein elektrisches Feld E
~ n = −ε grad Φ~n = −ε ∂Φ
%F = εE~
∂~n
Abstand d0 zum Kugelmittelpunkt und Größe q der Spiegelladung bei Spiegelung der Ladung Q am
Ort d an einer leitenden Kugel vom Radius R
R2
R
q = −Q
d
d
Kapazität eines Kondensators mit Ladung Q und Potentialdifferenz U = ∆Φ zwischen den Elektroden
sowie die im Dielektikum der Permittivität ε = ε0 εr gespeicherte elektrostatische Energie
˚
˚
˚
Q
1
ε
~
~
C=
We =
we dV =
E DdV =
E 2 dV
U
2
2
d0 =
V
V
V
1
FORMELSAMMLUNG
1.7
5
Elektrisches Strömungsfeld
Definition der Stromdichte J~ einer Raumladung der Ladungsdichte %V mit Geschwindigkeit ~v bzw. als
Strom I in einem Leiter der Querschnittsfläche A. Nach dem Ohmschen Gesetz wird die Stromdichte
~ verknüpft
über die Leitfähigkeit κ mit dem elektrischen Feld E
¨
~ A
~
~
~
Jd
J = %V ~v = κE
I=
A
Kontinuitätsgleichung (Gesetz von der Erhaltung der Ladung). Das stationäre Strömungsfeld ist quellfrei mit ∂%∂tV = 0 und es folgt der Kirchhoffsche Knotensatz
‹
∂%V
~
~
~ A
~=0
div J = −
div J = 0 ⇒
Jd
∂t
∂V
Ohmscher Widerstand eines dünnen Leiters mit Länge l, Querschnittsfläche A und Leitfähigkeit κ
sowie Verlustleistungsdichte und im Leiter umgesetzte Verlustleistung (Joulesches Gesetz)
R=
1.8
1 l
κA
pV =
1 ~2
~ J~
J =E
κ
PV = RI 2 = U I
Magnetostatik
~ und magnetischem Vektorpotential A
~ sowie CouZusammenhang zwischen magnetischer Flussdichte B
lomb- und Lorenz-Eichung des Vektorpotentials
~ r) = rot A(~
~ r)
B(~
~ r) + εµ ∂Φ(~r) = 0
div A(~
∂t
~ r) = 0
div A(~
Poisson-Gleichung des Vektorpotentials und ihre allgemeine Lösung
~ r) = µ
A(~
4π
~ r) = −µJ(~
~ r)
4 A(~
˚
˛
~ r0 )
J(~
µ
I(~r0 )
0
dV
=
d~r0
|~r − ~r0 |
4π
|~r − ~r0 |
V
C
~ sowie speziell für einen sehr langen, in
Von der Stromdichte J~ hervorgerufenes magnetisches Feld H
z-Richtung ausgedehnten und den Strom I führenden Linienleiter im axialen Abstand %
˛
¨
~
~ r)dA
~
H(~r)d~r =
J(~
2π%H(%) = I
A
∂A
~ r), das vom Strom I bzw. der Stromdichte
Biot-Savart-Gesetz zur Berechnung des Magnetfeldes H(~
0
J~ innerhalb einer durch den Quellpunktvektor ~r beschriebenen Leiteranordnung hervorgerufenen wird
˚
˛
1
~r − ~r0
1
I(~r0 )d~r0 × (~r − ~r0 )
0
0
~
~
H(~r) =
J(~r ) ×
dV
=
4π
|~r − ~r0 |3
4π
|~r − ~r0 |3
V
C
Magnetischer Fluss durch eine Fläche A sowie in einer Leiterschleife induzierte Spannung
¨
˛
~ A
~
~ r = − ∂ΦA
Φm =
Bd
uind = Ed~
∂t
A
∂A
Magnetische Energie Wm und Energiedichte wm
˚
˚
˚
˚
1
1
1
~
~
~
~
Wm =
wm dV =
H BdV =
AJdV =
B 2 dV
2
2
2µ
V
V
V
V
6
1
FORMELSAMMLUNG
Definition der Gegeninduktivität und Berechnung für eine Leiteranordnung mit den Quellpunktvekto0
ren ~r1/2
nach der Neumannschen Formel
M21
Φ21
=
I1
M21 = M12
µ
=
4π
˛ ˛
C2 C1
d~r10 d~r20
|~r20 − ~r10 |
(Selbst)Induktivität einer vom Strom I durchflossenen Leiteranordnung sowie im Feld gespeicherte
magnetische Energie
˛
˚
˛
1
I
Φm
1
~
~
~
~ r = 1 LI 2
Ad~r
Wm =
AJdV =
Ad~
L=
=
I
I
2
2
2
C
1.9
V
C
Magneto-Quasistatik
Diffusionsgleichung des magnetischen Vektorpotentials in allgemeiner und komplexwertiger Formulie~ J,
~ H
~ und B)
~ mit der Diffusionskonstante α := √jωµκ = 1+j
rung (gilt analog für die Feldgrößen E,
δ
~
~ r) = µκ ∂ A(~r)
4 A(~
∂t
~ r)
~ r) = jωµκ A(~
4 A(~
| {z }
mit
~ r) = A(~
~ r)ejωt
A(~
=α2
Allgemeine Lösung der eindimensionalen Diffusionsgleichung für spezielle Problemstellungen mit den
aus Nebenbedingungen zu bestimmenden Integrationskonstanten C1 , C2 ∈ C
kartesisch (κ = 0)
kartesisch (κ 6= 0)
zylindersymmetrisch
∂ 2 A(x)
=0
∂x2
∂ 2 A(x)
− α2 A(x) = 0
∂x2
∂ 2 A(%) 1 ∂A(%)
+
− α2 A(%) = 0
∂%2
% ∂%
A(x) = C1 x + C2
A(x) = C1 sinh(αx) + C2 cosh(αx)
A(%) = C1 I0 (α%) + C2 K0 (α%)
Im zylindersymmetrischen Fall sind I0 und K0 die modifizierten Bessel-Funktionen nullter Ordnung.
Für diese gelten folgende Beziehungen
∂I0 (α%)
= αI1 (α%)
∂%
∂K0 (α%)
= −αK1 (α%)
∂%
In (0) = 0 ∀n ≥ 1
I0 (0) = 1
lim Kn (%) = ∞ ∀n
%→0
lim In (%) = ∞ ∀n
%→∞
lim Kn (%) = 0 ∀n
%→∞
Definition der charakteristischen Länge (auch als Eindringtiefe bzw. Skin-Tiefe bezeichnet)
r
2
δ=
ωµκ