Wellen

1
WELLEN
2
1.1
Warum befaßt man sich mit Wellen?
2
1.2
Darstellung von Wellen
3
1.3
Räumliches und zeitliches Verhalten von Wellen:
4
1.4
Die Beschreibung der Wellenausbreitung.
5
1.5
Wellentypen
7
1.6
Klassifizierung (ebener) Wellen
8
1.7
Wichtige Form der periodischen Wellen:
12
1.8
Überlagerung von Wellen (Interferenz)
14
1.9
Überlagerung von harmonischen Wellen mit (leicht) verschiedenen Frequenzen
21
1.10
Dispersion von Wellen(paketen)
25
1.11
Beispiele physikalischer Wellen
27
1.12
Nun Anleihe an die Wärmelehre (vgl. später):
33
1.13
Energietransport in einer Welle
39
1.14
Wellen bei bewegten Quellen (Doppler-Effekt)
43
1.15
Wellenfronten
47
1.16
Interferenz und Beugung
50
2
ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
64
2.1
Wellengleichung
64
2.2
Energietransport durch elektromagnetische Wellen
67
2.3
Elektromagnetische Wellen in Materie
2.3.1
Nichtleitendes Medium
2.3.2
Leitendes Medium
74
74
80
2.4
81
Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
2
1
Wellen
Definition einer Welle:
Eine Welle ist die Ausbreitung einer Anregung (Störung) im Raum.
kein Materialtransport, aber Energietransport
Þ Wellen übertragen Energie von einem Ort zum anderen.
1.1 Warum befaßt man sich mit Wellen?
1) Wellen haben viele technische Anwendungen z.B.
•
Nachrichtenübertragung durch
- Schallwellen
- Radiowellen
- Lichtwellen
- Kabel
•
Verwendung der transportierten Energie (z.B. Aufheizung)
- Mikrowelle
- Sonneneinstrahlung (auf der Erde)
- Plasmaheizung
•
Optik beruht ausschließlich auf Wellenphänomenen
2) Speziell für Physiker
Wellenlehre ist besonders wichtig, da die gesamte Theorie des "Mikrokosmos“ d.h. der
Bausteine der Materie (Atome, Moleküle, Festkörper, ...) auf Wellenphänomenen beruht.
Wichtige Schlagworte in diesem Zusammenhang sind z. B. :
-
Welle – Teilchen – Dualismus
-
Quantenmechanik
3
Beispiele für Wellen:
H
•
Seilwelle
Auslenkung: ∆x
•
Torsionswelle (Wellenmaschine)
Auslenkung: ∆ϕ
•
„Stoßwelle“ (Magnetrollen)
Auslenkung: ∆z
•
Oberflächenwelle auf Flüssigkeit
Auslenkung: ∆x
•
Schallwelle
lokale Druckänderung
Auslenkung: ∆p
•
Licht
elektrisches Feld E
Bild
H
H
Bild
H
H
Auslenkung: ∆E
H
magnetisches Feld B
H
Auslenkung: ∆B
H
allgemeine Bezeichnung für die Auslenkung: s, s
Prinzipielle Ursache der Wellenausbreitung:
Kopplung zwischen örtlich getrennten physikalischen Systemen oder Teilchen.
1.2 Darstellung von Wellen
•
wesentliche Parameter:
Zeit [t]
4
H
Ort [ r ]
•
Beschreibung der Anregung:
skalar
H
s = s(r , t )
(z.B. Schall)
vektoriell
H HH
s = s(r , t )
(z.B. Seilwelle, Licht)
Wichtig:
H
s oder s beschreibt die Auslenkung aus einem Gleichgewichtszustand („Ruhelage“, ähnlich
wie bei der Schwingung).
Im Gegensatz dazu: Schwingung
H H
s = s(t ) oder s = s(t )
H
H
Beachte: Die lokale Darstellung einer Welle für einen festen Ort ist r = r0 .
Welle à Schwingung
H
H
s = s(r , t ) → s(t, r0 ) = s( t )
Wasserwelle
Bild Lokale Betrachtung einer Wasserwelle.
Erinnerung:
Die Harmonische Schwingung ist eine periodische Bewegung mit der Kreisfrequenz ω, der
Eigenfrequenz ν =
1
ω
und der Periodendauer T = .
ν
2π
s(t + T) = s(t)
1.3 Räumliches und zeitliches Verhalten von Wellen:
5
gültig für die Fortbewegung mit gleichmäßiger Geschwindigkeit (v t = const.)
Bild Welle als Verschiebung eines Signals
•
[
zum bestimmten Zeitpunkt t = 0 sei w durch Funktion f(z) beschrieben f = z ⋅ e − z
]
s(z, t = 0 ) = f ( z)
•
nach der Zeit t soll die Funktion (ohne Formänderung) um z0 = v ⋅ t nach rechts gewandert sein.
Þ s(z, t ) = f ( z − v ⋅ t ) , falls die Geschwindigkeit v konstant ist.
[f(z – z0) ; z0 := Funktion von t]
Þ rechts laufende Welle
s(z, t ) = f ( z − v ⋅ t )
links laufende Welle
s(z, t ) = f ( z + v ⋅ t )
im 3-Dimensionalen
H H
H
w( r , t) = f ( z ± v ⋅ t)
Γ
Analog kann auch das zeitliche Verhalten f(t) von s an festem Ort z = 0 vorgegeben werden.
s(z = 0, t ) = f ( t )
(Häufigster Fall der Wellenanregung)
Þ am Ort z wird die Funktion f an t0 =
æ
è
Þ s(z, t ) = f ( t − t 0 ) = f ç t −
z
„retardiert1“
v
zö
÷
vø
1.4 Die Beschreibung der Wellenausbreitung.
Differenziere s(z,t) (beschrieben durch Γ) zweimal nach z bzw. t.
(Sei u = z − v ⋅ t .)
1
retardieren := verzögern (veraltet)
6
∂s df ∂u df
=
⋅
=
∂z du ∂t du
∂s df ∂u
df
=
⋅
= (− v ) ⋅
∂t du ∂t
du
∂ ²s d² f ∂u d² f
=
⋅
=
∂z ² du² ∂t du²
∂ ²s
d² f
d² f
= (− v ) ⋅
⋅ (− v ) = v ²
∂t ²
du²
du²
∂ ²s
1 ∂ ²s
=
∂ z ² v ² ∂t ²
Þ
Wellengleichung [WGL]
Dies ist die sogenannte "Wellengleichung“, gilt unabhängig von der Form von f.
Erweiterung auf drei Dimensionen
∆s =
∂ ²s ∂ ²s ∂ ²s 1 ∂ ²s
+
+
=
∂x ² ∂y ² ∂z² v ² ∂t ²
Wellengleichung für den 3-dim. Fall. ∆ bezeichnet man als den Laplace – Operator.
Bemerkung:
•
•
•
Alle Lösungen der Wellengleichung stellen Wellen dar, welche sich mit konstanter
Geschwindigkeit v im Raum ausbreiten (nicht nur periodisch in Raum und Zeit, sondern auch einzelne Störungen!).
H
Durch „Randbedingungen“ (Vorgabe von s(r , t ) an bestimmten Orten und Zeiten)
werden spezielle Lösungen selektiert.
Physik des Systems Þ Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v von Systemparametern.
Definition:
-
Phase einer Welle = bestimmter Wert der Auslenkung.
7
-
Phasenfläche
H einer Welle = Fläche (im 3-Dimensionalen), auf der die Phase konstant ist. s(r , t ) = const.
1.5 Wellentypen
1) Ebene Welle
H
Definition: Auslenkung s ist in Ebene ⊥ Fortpflanzungsrichtung konstant.
⇔ Phasenflächen sind Ebenen im Raum
Bild
(→ )
(→ )
s (r, t ) = s ( z, t )
keine Abhängigkeit von (x,y)
∂s(i )
∂x
=
∂s(i )
∂y
=0
Ausbreitungsrichtung = z- Richtung
2) Kugelwelle
H
H
Definition: Ausbreitung einer Störung von einem festen Punkt r = 0 aus gleichmäßig in
alle Raumrichtungen.
8
H
s (r , t ) = s (r , t ) ;
(→)
(→)
H
r= r
(→ )
( s hängt ausschließlich vom Abstand
zum Ursprung ab.)
Für kleine Bereiche kann die Kugelwelle als
ebene Welle angenähert werden.
Bild Wellenflächen einer Kugelwelle.
3) analog: Kreiswelle
(z.B. Oberflächenwelle in Flüssigkeiten)
Bemerkung:
•
Nur eine ebene Welle besitzt eine eindeutige Ausbreitungsrichtung.
•
1) bis 3) sind Spezialfälle! Im allgemeinen hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit
von der Raumrichtung ab.
1.6 Klassifizierung (ebener) Wellen
1) Transversale Wellen
HH
div s(r , t ) = 0
Definition:
H
Auslenkung s steht ⊥ auf der Ausbreitungsrichtung.
Beispiel:
Fortpflanzungsrichtung sei z- Achse
HH
s(r , t ) = s x (z, t ), s y (z, t ), s z (z, t )
[
]
∂s y ∂s z
H ∂s
div (s) = x +
+
=0
∂x {
∂y
∂z
{
=0
Þ
∂s z
=0
∂z
;
H
∂s y
∂s x
= 0 und
= 0 , da s nur von z abhängt.
∂y
∂x
=0
H
Þ keine Ortsabhängigkeit des Vektors s .
⇔ sz = 0 (äquivalent)
H
⇔ Auslenkung s ⊥ Ausbreitungsrichtung
9
Beispiel: Seilwelle
Bild
Aus diesem Verhalten ergeben sich Polarisationseigenschaften.
10
2) longitudinale Welle
H H
rot s = 0
Definition:
H
Auslenkung s || Fortpflanzungsrichtung [FPR]
Beispiel:
ì
ü
H ï ∂s z ∂s y ∂s x ∂s z ∂s y ∂s x ï
rot (s) = í
,
,
−
−
−
ý=0
∂y
∂z ∂z {
∂x {
∂x {
∂y ï
ï{
=0
=0
=0 þ
î =0
11
ì ∂s y ∂s x ü H
,
,0ý = 0
î ∂z ∂z þ
Þ í−
Þ
∂s y
∂z
= 0,
∂s x
=0
∂z
H
sx, sy unabhängig von r (keine Welle)
sx = 0, sy = 0
(äquivalent)
æ0ö
ç ÷
HH
s(r , t ) = ç 0 ÷(z, t )
çs ÷
è zø
Die longitudinale Welle ist (per Definition) eine skalare Welle.
Þ keine Polarisationserscheinungen
(→)
H
H
Falls s ( r , t ) periodisch in r für feste Zeit t.
Bild „periodische Welle“
Þ Periodizitätsintervall = „Wellenlänge“ λ
s(z,t) = s(z + λ,t)
Bild
12
Gleichbedeutend: Periodizität bezüglich t an einem festen Ort.
Þ
„Periodendauer“ T
1.7 Wichtige Form der periodischen Wellen:
Harmonische Welle (analog zur harmonischen Schwingung).
f ist eine sin- oder cos- Funktion
genauer:
•
(→ )
H
an festem Ort r0 ändert sich die Auslenkung s periodisch (schwingt harmonisch) z.B.
H
s(r0 , t ) = s0 ⋅ cos ωt
•
bei fester Zeit t0 ändert sich die Auslenkung räumlich entlang der Ausbreitungsrichtung
periodisch z.B. Ausbreitung in z – Richtung
s(z, t 0 ) = s0 ⋅ cos(k ⋅ z )
Bild
Daher:
k⋅λ = 2π
k=
2π
λ
„Wellenzahl, räumliches Pendant zur Kreisfrequenz ω =
Achtung: Dimension von k = cm-1
allgemein in beliebige Ausbreitungsrichtung
Definition:
2π
.
T
13
H
H
2π
„Wellenvektor“ k mit k =
= k;
λ
H
k = k = Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung
k
Bild
H H
k ⋅ Hr = k ⋅ r
k
H H
æ k⋅rö H H
(k ⋅ z) → çç k ⋅ k ÷÷ = k ⋅ r
ø
è
Þ cos(k⋅z)
H H
cos k ⋅ r
( )
à
(H H )
H
Þ s(r , t 0 ) = s 0 ⋅ cos k ⋅ r
H
H
Þ Auslenkung s( r , t ) an beliebigem Ort r zu beliebiger Zeit t:
H H H
H
H H
s( r , t ) = s 0 ⋅ cos[k ⋅ ( r − v ⋅ t )] = f ( r − v ⋅ t )
H H
H
Þ s( r , t ) = s 0 ⋅ cos[k ⋅ r −
H
v := Ausbreitungsgeschwindigkeit
H
H
k{
⋅ v ⋅ t )] = s 0 ⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t )
HH
H H
k ⋅v =k ⋅v , da k || v
Gleichzeitig:
v=
ω
k
“Phasengeschwindigkeit”
Bild
Allgemeiner: lasse “Startphase” ϕ zu
H H
H
s( r , t ) = s 0 ⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t − ϕ)
14
In Analogie zur harmonischen Schwingung ist auch eine andere Beschreibung möglich:
s(t) = a⋅sin (ωt) + b⋅cos(ωt) = s0⋅cos(ωt - ϕ)
= C⋅ei ωt + C*⋅e -i ωt
= Re {s0⋅e i (ωt - ϕ)}
mit
s 0 = a² + b² ;
[e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ „Eulerformel“]
tg ϕ =
b
;
a
C=
1
1
⋅ (a − i ⋅ b ) ; C ∗ = ⋅ (a + i ⋅ b )
2
2
Dieselbe Beschreibung verwenden wir jetzt für die Welle
H
HH
HH
{
HH
i (k r − ωt )
+ C * ⋅e −i (k r −ωt ) = Re s 0 ⋅ e −iϕ ⋅ e i (k r −ωt )
Þ s( r , t ) = C ⋅ e
}
Mathematische Beschreibung
einer ebenen harmonischen Welle, charakterisiert durch
H
denWellenvektor k und die Kreisfrequenz ω.
für nicht lin. Systeme
Bild
1.8 Überlagerung von Wellen (Interferenz)
Wichtiges Prinzip der Wellenlehre:
(Superposition)
(Lineare) wellen können sich ungestört überlagern durch reine Addition der Auslenkung am
gleichen Ort zur gleichen Zeit.
(Bem.: Dies ist nicht notwendigerweise immer der Fall ! Bsp. Anschlag der Oszillatoren in der Wellenmaschine, gesamte
nichtlineare Optik. Wir gehen hier jedoch von der Gültigkeit dieses Prinzips aus, nichtlineare Effekte seien vernachlässigt)
Erlaubt, komplizierte Wellenformen in einfache Elementarbestandteile zu zerlegen.
Þ Fourier - Zerlegung (genau wie bei Schwingungen)
Mathematisch: Satz von Fourier
15
•
periodische Funktion f(t) = f(t + T) kann durch folgende Reihenentwicklung dargestellt
werden:
f(t) = ½ a0 + a1⋅cos ωt + b1⋅sin ωt + a2⋅cos 2ωt + b2⋅sin 2ωt + a3⋅cos 3ωt + b3⋅sin 3ωt...
∞
å{
}
=
1
⋅a +
a ⋅ cos(n ⋅ ωt) + bn ⋅ sin(n ⋅ ωt)
2 0 n =1 n
=
1
⋅a +
C ⋅ einωt + Cn∗ ⋅ e−inωt
2 0 n = −∞ n
=
1
C ⋅ eiωt
2 n =−∞ n
∞
å{
}
Cn = an − ibn
∞
wobei ω =
å
2π
; an, bn := Fourier – Koeffizienten
T
berechenbar durch
T
an =
2
⋅ f ( t) ⋅ cos(n ⋅ ωt)dt
T
ò
0
T
(n ≥ 0) und
bn =
2
⋅ f ( t) ⋅ sin(n ⋅ ωt)dt
T
ò
0
Bild
•
nicht periodische Funktion f(t)
[Einzelimpuls auf einem Seil oder einer Wellenmaschine] kann formal beschrieben werden als:
16
Bild
Tà∞
Þ ω=
2π
T
à 0
Þ ∆ω = (n + 1)⋅ω - nω = ω
à dω
Þ Fourier – Reihe (Summe)
f ( t) =
∞
åC
n
n =−∞
inωt
⋅e
à Integral (Fourier – Integral)
1
à f ( t) =
⋅
2π
∞
ò C(ω ) ⋅ e
dω
−∞
∞
mit C(ω ) =
iωt
ò f ( t) ⋅ e
iωt
dt
−∞
Fourier – Transformierte von f(t)
Fazit: Man kann jede beliebige Welle (oder Schwingung f(t) durch Überlagerung harmonischer (Schwingungen) darstellen.
Beispiel einer speziellen Überlagerung:
Stehende Wellen durch Überlagerung zweier harmonischer Wellenzüge gleicher Amplitude und Wellenlänge, welche sich in entgegengesetzten Richtungen ausbreiten.
Definition:
H
H
s( r , t ) = s0 ( r ) ⋅ cos(ωt − α )
H
Auslenkung an allen Orten r schwingen mit gleicher Frequenz und Phase, aber mit
H
ortsabhängiger Amplitude w 0 ( r ) .
Beispiele:
1) Überlagerung entgegengesetzt laufender harmonischer ebener Wellen mit gleichem
ω, λ, s0.
s1(z,t) = s0 ⋅ sin(ωt – kz)
s2(z,t) = s0 ⋅ sin(ωt + kz)
s(z,t)
= s1(z,t) + s2(z,t)
= s0 ⋅ {sin(ωt – kz) + sin(ωt – kz)}
= s0 ⋅ {sin ωt cos kz – cos ωt sin kz + sin ωt cos kz + cos ωt sin kz}
17
= 2s0 cos kz
ß stehende Welle
Bild
charakteristisch für stehende Wellen:
•
existieren Orte, an denen sich die Welle zu allen Zeiten auslöschen („Knoten“)
Þ kein Energietransport!
•
Innerhalb einer Halbwelle schwingen alle Punkte mit gleicher Phase
•
zwischen benachbarten Halbwellen besteht ein Phasenunterschied der Größe π
2) Eigenschwingungen (von Systemen endlicher Länge)
Beobachtung:
H
Bei endlicher Ausdehnung des Systems entlang der Ausbreitungsrichtung k werden Wellen i.a. an den Systemenden reflektiert. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
-
offenes Ende
am offenen Ende kann Auslenkung s beliebige Werte annehmen
Þ Phasengleichheit d. einlaufenden und reflektierten Welle
18
Bild
-
festes Ende
(am festen Ende ist stets Auslenkung s = 0)
Þ Phasensprung um π bei der Reflexion
Bild
Anschaulich:
Im allgemeinen werden sich bei mehrfacher Reflexion einer Welle mit beliebigem λ die
Phasen entlang z statistisch entlang verteilen.
Þ + s ist genauso wahrscheinlich wie – s
Þ Auslöschung
Ausnahme:
Bei Reflexion an beiden Enden entsteht dieselbe Welle wieder.
19
Bild
Es entsteht eine stehende Welle, falls die Länge L zur Wellenlänge λ “paßt”.
Die mit diesen Wellen verbundenen Schwingungen nennt man “Eigenschwingungen” des
Systems (“Eigen – Moden”)
Zur Realisierung solcher Eigenschwingungen gibt es im Prinzip mehrere Möglichkeiten:
a) beide Enden fest
λ1 = 2L;
ν1 =
v
v
=
λ1 2L
“Grundschwingung”
æ 2π ö
s( z, t ) = s 0 ⋅ sinçç
⋅ z ÷÷ ⋅ cos(2πν 1t )
!
è λ1 ø
ω1
Bild
λ2 = L;
ν2 =
v
L
“1. Oberschwingung”
Bild
20
allgemein:
λn =
2L
n
Þ
kn =
2π π
= ⋅n
λn L
νn =
v
v
=
⋅n
λn 2L
(n-1)-te Oberschwingung
v := Ausbreitungsgeschwindigkeit
b) ein festes und ein loses Ende
λ1 = 4L;
ν1 =
v
4L
“Grundschwingung”
Bild
λ2 = 4/3 L;
ν2 =
3v
= 3ν1
4L
“1. Oberschwingung”
Bild
allgemein:
λn =
4L
Þ
2n + 1
νn = (2n + 1) ⋅
v
2L
(n-1)-te Oberschwingung
21
c) 2 offene (lose) Enden
λ1 = 2L;
ν1 =
v
2L
“Grundschwingung”
Bild
λ2 = 2/2 L;
ν2 =
v
= 2ν1
L
“1. Oberschwingung”
Bild
allgemein:
λn =
2L
n
Þ
νn = n ⋅
v
= n ⋅ ν1
2L
Fazit:
Randbedingungen bestimmen die Eigenschwingungen (je nach System entweder Knoten
oder bauch am Ende).
1.9 Überlagerung von harmonischen Wellen mit (leicht) verschiedenen Frequenzen
Sei
s1 = s0 ⋅cos [(ω + ∆ω)⋅t – (k + ∆k)⋅z]
s2 = s0 ⋅sin [(ω - ∆ω)⋅t – (k - ∆k)⋅z]
Dann ist
α = ωt – kz
s(z,t)
und
∆α = ∆ωt – ∆kz
= s1(z,t) + s2(z,t)
= s0⋅cos(α + ∆α) + s0⋅cos(α - ∆α)
= 2s0⋅cos ∆α ⋅cos α
22
Þ s(z,t)
= 2s0⋅cos(∆ωt - ∆kz)⋅cos(ωt – kz)
mit cos(∆ωt - ∆kz) := Modulation und cos(ωt – kz) := Wellenzüge
Bild
Existieren 2 Ausbreitungsgeschwindigkeiten.
Wellenzüge:
ωt – kz = const.
Þ vPh =
z ω
=
t k
(z.B. π/2)
“Phasengeschwindigkeit”
Wellengruppen:
∆ωt – ∆kz = const.
Þ v gr =
∆ω
∆k
Im Grenzfall sehr kleiner Unterschiede ∆ω,
∆k
à
0
Fazit:
Es existieren zwei i. a. verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten
vPh
beschreibt das Voranschreiten einer festen Phase einer einzelnen harmonischen
Welle
v Ph =
vgr
ω
k
beschreibt das Voranschreiten der Einhüllenden einer Wellengruppe aus mehreren
eng benachbarter harmonischer Wellen
v gr =
dω
dk
Zusammenhang von vPh mit der Frequenz ν und der Wellenlänge λ:
23
ω=
2π
= 2π ⋅ ν
T
k=
2π
λ
v Ph = λ ⋅ ν =
λ
T
Warum beschäftigt man sich mit harmonischen Wellen?
Antwort:
Nach Fourier – Theorem läßt sich jede Welle als Superposition harmonischer Wellen darstellen!
1-Dimensional:
•
harmonische Welle
sk(z,t) = s0(k)⋅ei(kz - ωt)
•
Superposition
s( z, t ) = å s0 (k ) ⋅ei(kz −ωt ) = å sk ( z, t )
k
•
(s periodisch)
k
Integraldarstellung
s( z, t ) =
∞
1
⋅ ò C(k ) ⋅ ei (kz−ω( k ) t )dk
2π − ∞
Dabei:
C(k) dk ist k- abhängige Amplitude, beschreibt den Beitrag der k- Welle zum Gesamtsignal.
Beispiel:
(zeitliche Schnappschüsse der Welle bei t = 0)
24
Bild
25
Wichtige Beziehung:
∆k =
1
∆z
Fazit:
H
•
einzelne harmonische Wellen mit genau bestimmtem ω, k ist Sonderfall (Þ Ausbreitung mit vPh)
•
alle anderen Wellenformen stellen Wellengruppen bzw. Wellenpakete dar (Þ AusbreiH
tung mit v gr )
Verallgemeinerung auf 3-Dimensionen:
•
•
()
HH
H
H
skH ( r , t ) = s 0 k ⋅ e i (k r −ωt )
ebene harmonische Welle
H
H
H
H (r, t)
s( r , t ) = å
s
k
H
Superposition (genügt, falls s( r , t ) periodisch)
k
•
H
s( r , t ) =
HH
H
i (k r −ωt )
S
(
k
)
⋅
e
d³k
ò
∞ ∞ ∞
òò
Integraldarstellung
−∞ −∞ −∞
1.10
Dispersion von Wellen(paketen)
Bisher stets angenommen:
Ausbreitungsgeschwindigkeit vPh einer ebenen harmonischen Welle, unabhängig von Frequenz ω bzw. Wellenlänge λ.
Þ
ω
= const.
k
⇔
dω ω
=
dk k
Þ vgr = vPh
Alle Störungen (Wellengruppen) breiten sich mit der selben Geschwindigkeit aus.
Aber:
Beobachtung in vielen Systemen:
vPh = vPh(ω)
bzw.
vPh(k)
bzw.
vPh(λ)
Grund z.B., dass das System aus einzelnen Segmenten besteht mit der Ausdehnung a und
dass λ in die Größenordnung von a kommt.
Bild
26
wegen v Ph =
ω
, Effekt formal beschreibbar durch ω(k) – Zusammenhang
k
"Dispersionsrelation"
Bild „Dispersionsrelation“
Folgerung für Wellenausbreitung:
Verschiedene Teilwellen der Fourierzerlegung laufen mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit
Þ Pulsform f(z) = s(z,t1)
ändert sich bei der Ausbreitung
Bild
Bezeichnung: „Dispersion“ des Wellenpaketes
Definition:
Welle ohne Dispersion:
vgr = vPh
normale Dispersion:
vgr < vPh
anomale Dispersion:
vgr > vPh
27
Wichtig:
♦ Dispersion ist eine Eigenschaft des Mediums, in welchem sich Wellen ausbreiten.
♦ nur dispersionsfreie Wellen erhalten die Form eines Wellenpaketes bei der Ausbreitung.
Verallgemeinerung auf 3-Dimensionen:
H
ω = ω(k )
Dispersionsrelation
Definition:
H
H
( )
H
Isotropes Medium, falls ω = ω (k ) = ω k unabhängig von der Ausbreitungsrichtung k
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in 3-Dimensionen:
H
H
vPh || k und
v *gr =
H
ω
v Ph = H
k
∂ω
∂ω
, v *gr =
...
∂k y
∂k x
H
ω H
Þ v Ph = H ⋅ k
k²
H
H
Þ v gr = ∇ k ω
Beachte:
•
H
H
H
H
H
vPh || k , aber i.a. unterschiedliche Richtungen von v gr und vPh , k
•
Energie eines Wellenpaketes breitet sich in Richtung v gr aus!
H
1.11
Beispiele physikalischer Wellen
1. Seilwelle
Bild Auslenkung einer in z – Richtung vorgespannten Saite.
Gehe aus von konstanter Kraft F entlang der Saite (Spannung der Saite)
Þ Auslenkung von x an der Stelle z eine rücktreibende Kraft
28
dFx = (F ⋅ sin ϑ)z+ dz − (F ⋅ sin ϑ)z
= (F ⋅ sin ϑ)z +
=
∂
(F ⋅ sin ϑ)dz − (F ⋅ sin ϑ)z
∂z
∂
(F ⋅ sin ϑ)dz
∂z
Für kleine Auslenkungen x ist ϑ 8 1
Þ sin ϑ ≈ ϑ ≈ tan ϑ =
Þ dFx = F ⋅
∂x
∂z
und
ds ≈ dz
∂²x
dz
∂ z²
Weiter:
Masse des Längenelementes ds:
dm = ρ s ⋅
π 2
⋅ d s ⋅ ds
4
ρs := Dichte der Saite
ds := Durchmesser der Saite
π
dm = ρ s ⋅ ⋅ d 2s ⋅ ds = µ s ⋅ d s ≈ µ s ⋅ dz
"4 "!
: =µ s
Þ Newton - Gleichung
dm ⋅
∂²x
= dFx
∂ t²
µ s ⋅ dz ⋅
∂²x
∂²x
= F⋅
⋅ dz
∂ t²
∂ z²
∂²x
F ∂²x
=
⋅
∂ t ² µ s ∂ z²
F
2
= vPh
µs
à
Wellengleichung
v Ph =
F
µs
welle
Folgerungen:
•
Phasengeschwindigkeit beeinflußbar durch
-
Spannung der Saite
Phasengeschwindigkeit einer Seil-
29
•
Dichte bzw. Durchmesser der Saite
Bei vorgegebener Saitenlänge L sind Eigenschwingungen festgelegt durch
λn =
2L
n
Þ
νn =
v Ph
=
λn
n⋅
F
µs
2L
Þ Schwingungsfrequenz (= Tonhöhe eines Saiteninstruments) variierbar durch
-
Saitenspannung
(ν
n
≈ F
)
„Stimmen des Instruments“
-
Material und Dicke der Saite
æ
ç νn ≈
ç
è
-
Saitenlänge
1ö
æ
ç νn ≈ ÷
Lø
è
Frage:
Welche der Eigenschwingungen wird angeregt?
Antwort:
Abhängig von Randbedingungen
1
µs
ö
÷
÷
ø
30
Bild
2. Elastische Wellen in Festkörpern
a) Longitudinalwellen
Betrachte (langen) Stab mit dem Querschnitt A
Bild
31
Schichten, die ⊥ zur z- Achse stehen, werden in z- Richtung um Auslenkung s ausgelenkt (aus Ruhelage)
s(z + dz ) = s( z) +
∂s
⋅ dz
∂z
Dadurch Änderung der Länge dz um ∂(dz ) =
ε=
∂s
⋅ dz ⇔ relative Längenänderung
∂z
∂ (dz ) ∂ s
=
∂z
dz
Dies erzeugt mechanische Zugspannung
σ = E⋅ε
(Hooke’sches Gesetz)
E := Elastizitätsmodul
Þ Spannung an der Stelle z:
æ∂sö
σ( z ) = E ⋅ ç
÷
è∂zøz
Spannung an der Stelle z + dz:
ìïæ ∂ s ö
∂ ²s üï
∂ ²s
æ∂sö
dz ý = σ( z ) + E ⋅
dz
σ( z + dz ) = E ⋅ ç
= E ⋅ íç
÷
÷ +
ï
è ∂ z ø z+ dz
"∂ z²"!
îè ∂ z ø z ∂ z² ï
þ
dσ
Þ gesamte rücktreibende Kraft:
dF = A ⋅ dσ = A ⋅ E ⋅
∂ ²s
dz
∂ z²
Newton – Gleichung:
dm ⋅
∂ ²s
= dF
∂ t²
ρ ⋅ A ⋅ dz ⋅
∂ ²s
∂ ²s
= A ⋅E ⋅
dz
∂ t²
∂ z²
∂ ²s E ∂ ²s
= ⋅
∂ t² ρ ∂ z²
Wellengleichung
Phasengeschwindigkeit v Ph =
per.
b) Transversalwellen
E
entspricht der Schallgeschwindigkeit im Festkörρ
32
Herleitung analog zur Longitudinalwelle, jetzt jedoch Auslenkung s ⊥ z- Richtung
Bild
∂s
dz
s( z + dz ) − s( z ) ∂ z
∂s
α≈
=
=
dz
dz
∂z
Þ Schubspannung
τ = G⋅α
Hooke’sches Gesetz
G := Schub-, Scher-, Torsionsmodul
G
ρ
Phasengeschwindigkeit einer Transversalwelle im Festkörper
Weitere Behandlung wie für Longitudinalwellen
Beispiel:
Bild
Þ v Ph =
33
3. Schallwellen in Gasen
Entscheidender Unterschied zum Festkörper:
Keine Scherkraft in Gasen ⇔ G = 0
Daher ausschließlich Longitudinalwellen möglich!
Betrachte wieder das Element dϑ und ∂(dϑ)
Bild
Volumenänderung durch Auslenkung s(z) und s(z + dz)
∂ (dV ) = A ⋅
Diese
1.12
∂s
∂s
dz =
dV
∂z
∂z
Volumenänderung
bewirkt
Druckänderung
um
dp.
Nun Anleihe an die Wärmelehre (vgl. später):
Verknüpfung von Druck, Temperatur und Volumen (Zustandsgrößen) eines Gases
durch „Zustandsgleichung“.
Hier anzuwenden: „ Adiabatische Zustandsänderung“, bei welcher kein Wärmeaustausch zwischen Gasvolumen (dV) und Umgebung erfolgt.
p⋅Vκ = const.
„Adiabatengleichung“
κ := Adiabaten – Koeffizient = Cp/Cv, abhängig von molekularen
Eigenschaften des Gases
damit wird
κ=
5
3
für atomare Gase
κ=
7
5
für Luft (2-atomige Moleküle)
34
p=
const. dp
const.
p ⋅ Vκ
1
=
=
(
−
κ
)
⋅
=
(
−
κ
)
⋅
= (− κ ) ⋅ p ⋅
κ
κ −1
κ −1
dV
V
V
V
V
Þ dp = − κ ⋅ p ⋅
Hier:
dV
V
Änderung d. Volumens dV und ∂(dV)
Þ dp = − κ ⋅ p ⋅
∂ (dV )
∂s
= −κ ⋅ p ⋅
dV
∂z
Diese Druckänderung (z- abhängig!) führt zu Druckkräften
dF(z ) = − A ⋅ dp(z )
∂ (dp ) ü
ì
dF(z + dz ) = − A ⋅ dp(z + dz ) = − A ⋅ ídp( z ) +
dz ý
∂z
î
þ
und damit zur rücktreibenden Gesamtkraft
dF = dF(z + dz ) − dF(z ) = − A ⋅ (− κ ) ⋅ p ⋅
∂ ²s
dz
∂ z²
Nun wieder Newton – Gleichung
∂ ²s
∂ ²s
ρ ⋅ A ⋅ dz ⋅
= A ⋅ κ ⋅p ⋅
dz
" "
! ∂ t²
∂"z²"!
"
"
dm
dF
Þ
∂ ²s
p ∂ ²s
= κ⋅ ⋅
∂ t²
ρ ∂ z²
Wellengleichung
Schallgeschwindigkeit in Gasen = Phasengeschwindigkeit
c = v Ph = κ ⋅
p
ρ
(Laplace – Beziehung)
Diskussion:
•
Schallgeschwindigkeit scheint mit abnehmendem Gasdruck zu sinken!
Aber: Gasdruck ρ ∝ p (intuitiv klar)
Quantitative Diskussion wieder durch Anleihe an Thermodynamik (kinetische Gastheorie):
ρ=
p
⋅M
k⋅T
für ideales Gas
35
M := Masse eines Gasmoleküls (-atoms)
T := absolute Temperatur
k := Boltzmann – Konstante
(1,38⋅10-23 J/K)
Damit wird
c=
•
κ⋅
k⋅T
M
nur abhängig von T und M!
Schallausbreitung ist offenbar an Gasteilchen als schwingendes Medium gebunden
Þ keine Schallausbreitung in Vakuum!
Akustik
Beispiel:
Tonerzeugung (in der Musik)
Saiteninstrument = stehende Seilwelle
Bild
Blasinstrumente = stehende Schallwelle in einer Gassäule
musikalisch
-
Ton:
reine harmonische Schwingung
-
Klang:
periodische, aber nicht harmonische Schwingung, zerlegbar in
Grund- und Oberschwingungen
-
Geräusch: unperiodische Schwingung
Beispiel eines Tonerzeugers à Orgelpfeife
- Tonhöhe (Frequenz des Grundtons) wird eingestellt über Resonatorlänge („Stimmung“)
36
ν n = (2n + 1) ⋅
c
4L
- aber: Stimmung abhängig von der Gaszusammensetzung und -temperatur
Wichtig in der Musik:
§
Tonintervalle = Frequenzverhältnisse zweier Töne ν2/ν1
Aus dem subjektiven Hörempfinden selektieren wir als „wohlklingend“ solche rationalen
Intervalle
ν 2 n2
=
ν1 n1
mit möglichst kleinen nat. Zahlen n2 und n1
Beispiel:
§
ν2/ν1
Bezeichnung
2
Oktave
3/2
Quinte
4/3
Quart
5/4
Terz (gr.)
6/5
Terz (kl.)
9/8
Sekunde
Tonleitern = Tonfolge beginnend mit beliebigem Grundton ν0 und endet bei 2ν0
Beispiel: „Dur – Tonleiter“
ν2/ν1
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2
Bezeichnung
do
re
mi
fa
so
la
ti
do
Beispiel
c
d
e
f
g
a
h
c
ν [Hz]
264
297
330
352
396
440 „Kammerton“
495
528
37
4. Longitudinalwellen auf Federkette
Bild
Wichtig:
diskretes Medium, d.h. z = n⋅a
Þ s(z,t) = s(n⋅a,t) = sn(t)
Kraft auf Masse n bei z = n⋅a:
Fn = -D(sn – sn-1) + D(sn+1 – sn)
Newton – Gleichung:
Fn = m ⋅
Þ
∂ ² sn
∂ t²
∂ ²s n ( t ) D
= sn = ⋅ {sn+1( t ) − 2s n ( t ) + s n−1( t )}
∂ t²
m
Bewegungsgleichung, Wellengleichung
Betrachte als Lösungsansatz die harmonischen Wellen:
s n ( t ) = s 0 ⋅ e i(ωt −kz ) = s 0 ⋅ e i(ωt −kna )
einsetzen liefert:
− ω² ⋅ s n ( t ) =
{
}
D
⋅ e −ika − 2 + e +ika ⋅ s n ( t )
m
Dies muß gelten für alle Zeiten t Þ Vorfaktoren von sn(t) müssen gleich sein, mit
e ika + e − ika
= cos(ka )
2
(Euler – Gleichung)
38
ergeben sich
ω² =
D
⋅ {2 − 2 ⋅ cos(ka )}
m
Weiter:
æαö 1
sin ²ç ÷ = ⋅ (1 − cos α )
è2ø 2
Þ ω² = 4 ⋅
(siehe Formelsammlung)
D
æ ka ö
⋅ sin ²ç ÷
m
è 2ø
D
æ ka ö
ω(k ) = 2 ⋅
⋅ sinç ÷
m
è 2ø
!
Dispersionsrelation!
ωmax
k max ⋅ a π
=
2
2
Þ
k max =
Bild
Resultierende Wellengeschwindigkeit:
v Ph
ω(k )
=
= ωmax ⋅
k
sin
k ⋅a
k ⋅a
sin
a
2 = ⋅ω ⋅
2
max
k ⋅a
k
2
2
Gruppengeschwindigkeit:
v gr =
dω
a
æk ⋅aö
= ωmax ⋅ ⋅ cosç
÷
dk
2
è 2 ø
Beachte:
vgr à 0
für k à kmax = π/a
Þ kein Energietransport für k = kmax, da z.B. an jedem Ort z = n⋅a ein Nulldurchgang
π
a
39
Grenzübergang zum kontinuierlichen Medium durch a à 0 (λ >> a).
Damit wird:
k⋅a
<< 1 für alle k
2
æ k ⋅ aö ~ k ⋅ a
÷−
è 2 ø
2
Þ sinç
a
Þ ω(k ) ~
− ωmax ⋅
⋅k
2
" "
!
v =v
gr
Ph
•
linear
Dispersion rührt ausschließlich von der Diskretisierung des Mediums her!
Þ Auch elastische Longitudinalwelle im Festkörper wird Dispersion zeigen, wenn λ in
die Größenordnung des Atomabstandes kommt.
("Phononen" im Festkörper)
Minimale Wellenlänge ist λmin = 2⋅a
•
(Schwingungsknoten an jeder Position z = n⋅a)
Grund:
Medium kann zwischen einer Welle mit k = k0
(0 ≤ k0 ≤ π/a) und Welle mit k = π/a + k0 nicht unterscheiden.
1.13
Energietransport in einer Welle
Beispiel 1: „elastische Longitudinalwelle“
v Ph =
E
= v gr
ρ
(keine Dispersion)
s(z,t) = Auslenkung eines Massenelementes aus der Ruhelage
v( z, t ) = s ( z, t ) =
∂ s( z, t )
∂t
= Momentane Geschwindigkeit d. Massenelements
Þ kinetische Energie des Massenelements
dE kin =
1
1
æ ∂s( z, t ) ö
⋅ dm ⋅ s ² = ⋅ dm ⋅ ç
÷
2
2
è ∂t ø
2
Þ kinetische Energiedichte = kinetische Energie pro Volumeneinheit
40
2
1
æ ∂s ö
⋅ ρ ⋅ dV ⋅ ç ÷ ( z, t )
dE kin
1
2
è∂tø
= ⋅ ρ ⋅ s ²
( z, t ) =
dV
2
dV
dm = ρ⋅dV
Weiter:
Elastische (potentielle) Energie durch Dehnung bzw. Stauchung
Betrachte wieder Längenänderung eines inf. Elements dz um ε⋅dz
Þ ε=
Spannung
σ = E⋅ε = E⋅
∂s F
=
∂z A
Potentielle Energie durch Arbeit, um von dz aus dz(1 + ε) zu stauchen / dehnen.
ε
dE pot = dW = dz ⋅ ò σ ⋅ A ⋅ dε'
0
ε
= dz ò E ⋅ ε'⋅A ⋅ dε'
0
= dz ⋅ A ⋅ E ⋅
1
⋅ ε²
2
2
=
1
æ∂sö
⋅E ⋅ A ⋅ ç
÷ dz
2
è∂zø
Þ Elastische (pot.) Energiedichte
dE pot
dV
=
dW
1
æ∂sö
= ⋅E ⋅ç
÷
A ⋅ dz 2
è∂zø
2
Betrachte ebene harmonische Wellen z.B.
s(z,t)=s0⋅cos(k⋅z - ω⋅t)
als Lösung der Wellengleichung.
s ( z, t ) = ω ⋅ s 0 ⋅ sin(kz − ωt )
∂s
( z, t ) = −k ⋅ s 0 ⋅ sin(kz − ωt )
∂t
2π ö
æ
Þ über eine Schwingungsperiode ç T =
÷ gemittelte Energiedichte
ωø
è
∂s
∂z
41
T
æ dE kin ö 1 é dE kin
ù
( z, t )ú dt
ç
÷ = òê
è dV ø T 0 ë dV
û
T
æ dE pot
çç
è dV
Mit
=
11
⋅ ρ ω² ⋅ s 02 ⋅ sin ²(kz − ωt )dt
" "
!
T 2 ò0
x
=
1
ì1
ü
⋅ ρ ⋅ í ⋅ ω2 ⋅ s 02 ý
2
î2
þ
=
1
⋅ ρ ⋅ ω² ⋅ s 02
4
dt = −
dx
ω
T
ö 1
1
1
ü 1
ì1
÷÷ = ⋅ E ⋅ ò k ² ⋅ s 02 ⋅ sin(kz − ωt )dt = ⋅ E í ⋅ k ² ⋅ s 02 ý = ⋅ E ⋅ k ² ⋅ s 20
2
2
T
2
þ 4
î
ø
0
ω²
E
2
= v Ph
=
ergibt sich
k²
ρ
æ E pot
1
æ dE kin ö 1 E ⋅ k ²
⋅ ω² ⋅ s 02 = ⋅ E ⋅ k ² ⋅ s 02 = çç
ç
÷= ⋅
4
è dV ø 4 ω²
è dV
ö
÷÷
ø
(mittlere kinetische und potentielle Energiedichte ist gleich und unabhängig von z)
Gesamte Energiedichte einer harmonischen Welle:
æ dE ö æ E pot
ρE = ç kin ÷ + çç
è dV ø è dV
ö 1
1
÷÷ = ⋅ E ⋅ k ² ⋅ s 20 = ⋅ ρ ⋅ ω² ⋅ s 02
2
ø 2
Definition:
„Intensität“ oder „Energieflußdichte“ einer harmonischen Welle = Energie, die pro Zeiteinheit durch eine zur Ausbreitungsrichtung ⊥ Flächeneinheit transportiert wird.
Bild
42
Da Energie einer ebenen harmonischen Welle mit der Phasengeschwindigkeit vPh transportiert wird gilt:
I = v Ph ⋅ ρ
=
ρE ⋅ A ⋅ v Ph ⋅ dt
A ⋅ dt
=
1
⋅ v Ph ⋅ ρ ⋅ ω² ⋅ s 20
2
I=
1
⋅ v Ph ⋅ E ⋅ k ² ⋅ s 02
2
Beachte:
•
ρE und I sind proportional zum Quadrat der Amplitude und Frequenz bzw. Wellenzahl
•
Bei Superposition zweier harmonischer Wellen dürfen ρE und I nicht addiert werden!
(Nur die Auslenkung s!)
•
Einheiten:
[ρE] = J/m³
[I] = J/m² s = W/m²
Beispiel 2: Schallwelle
Wieder:
s(z,t) = s0⋅cos(kz - ωt)
dE kin 1
1
= ⋅ ρ ⋅ s ² = ⋅ ρ ⋅ s 20 ⋅ ω² ⋅ sin 2(kz − ωt )
2
dV
2
æ E pot ö
æ dE ö 1
÷÷
Þ ç kin ÷ = ρ ⋅ ω² ⋅ s 20 = çç
è dV ø 4
è dV ø
Þ ρE =
1
⋅ ρ ⋅ ω² ⋅ s 02
2
Þ I = v Ph ⋅
1
⋅ ρ ⋅ ω² ⋅ s 20
2
Beachte:
I = I(ω), d.h. für kleine Frequenzen muß die Amplitude s0 größer werden (für gleiche Intensität)
43
menschliches Ohr:
Imin = 10-12 W/m²
(Hörschwelle bei ν = 1 kHz)
Imax = 10 W/m²
(Schmerzgrenze)
Wichtig:
Lautstärkeempfindung wächst proportional zum Logarithmus der Schallintensität
Þ „Lautstärke“
L = 10 ⋅ log⋅
I(ν )
(ν )
I min
Einheit:
[L] := „Phon“ bzw. „Dezibel“ (dB)
Beispiel:
Verdopplung der Schallintensität = Erhöhung um 3 dB
Beispiele für Phonzahlen einiger Schallerzeuger
leises flüstern
10 dB
deutliche Sprache
50 dB
Preßlufthammer (in 1m Abstand)
130 dB
Konzert der Popgruppe Motörhead
136 dB
1.14
Wellen bei bewegten Quellen (Doppler-Effekt)
Bisher wurde stets angenommen, daß Erzeugung einer Welle durch zeitliche Änderung der
H
H
Ausdehnung s( r , t ) am festen Ort r0 .erfolgt
Beispiel:
Martinshorn in Bewegung (bewegte Schallquelle)
Wichtig für die Diskussion: „Beobachtung“ einer Welle.
44
Meist:
H
H
„Beobachter sitzt am festen Ort r ′ und beobachtet die Schwingung s( r ′, t )
Unterscheide 2 Fälle:
1) Quelle in Ruhe, Beobachter bewegt sich mit v relativ zur Quelle.
Quelle sende Welle aus mit Frequenz ν0
•
ruhender Beobachter sieht während Periodendauer T0 =
•
bewegter Beobachter sieht ∆n =
ν ⋅ T0
zusätzliche Wellenzüge während T0
λ
Bild
Þ wahrgenommene Schwingungsfrequenz
ν = ν0 +
∆n
v ⋅ T0
v
= ν0 +
= ν0 +
λ0 ⋅ T0
λ0
T0
mit λ0⋅ν0 = vPh (z.B. Schallgeschwindigkeit)
ν = ν0 +
1
genau einen Wellenzug
ν0
æ
v
v ö
÷
⋅ ν = ν0 ç 1 ±
vPh 0
v
è
Ph ø
„+“ : Beobachter bewegt sich auf die Quelle zu
„-„ : Beobachter bewegt sich von der Quelle weg
45
2) Beobachter in Ruhe, Quelle bewegt sich mit v relativ zum Beobachter
Bild
Beobachter registriert Welle mit
λ=
vPh æ
v ö
÷
⋅ ç1 −
ν0 è vPh ø
{
λ0
zugehörige Frequenz
ν=
vPh
λ
æ
ö
ç
÷
1 ÷
ç
Þ ν = ν0
v ÷
ç
ç1±
÷
vPh ø
è
„+“ : Quelle bewegt sich auf den Beobachter zu
„-„ : Quelle bewegt sich vom Beobachter weg
Beobachte:
•
Fälle 1) und 2) sind für Schallwellen nicht äquivalent!
(Grund: Schallwellen sind an schwingungsfähiges Medium gebunden, ansonsten z.B. f
Lichtwellen / vgl. später)
•
Falls beide (Quellen und Beobachter) bewegt mit vQ bzw. vB
46
Bild
vB
vPh
ν = ν0 ⋅
v
1− Q
vPh
1−
(= ν0 für vQ = vB!)
Wichtig:
ν/ν0 kann nicht einfach durch Relativgeschwindigkeit (vQ - vB) ausgedrückt werden!
•
Bei beliebiger Richtung der Geschwindigkeiten
Bild
Betrachte die Projektion der Geschwindigkeit auf die Verbindungsachse QB (Näherung
für kleine v, d.h. v⋅T0 << r)
47
vB ⋅ cos β
vPh + vB ⋅ cos β
vPh
= ν0 ⋅
ν = ν0 ⋅
vQ ⋅ cos β
vPh − vQ ⋅ cos β
1−
vPh
1−
1.15
Wellenfronten
Betrachte punktförmige Schallquelle, die sich mit der Geschwindigkeit v in z- Richtung bewegt und dabei Kugelwellen der Frequenz ν0 aussendet.
Bild
Wellenlänge, die der Beobachter B wahrnimmt:
λ=
c æ
v
ö
⋅ ç 1 − ⋅ cos α ÷
è
ø
c
ν0
c = vPh
(Näherung für kleine v, d.h. v⋅sin α << c)
Frage:
Für α = 0:
Was geschieht für v à c?
λv → c =
c æ
vö
⋅ ç1 − ÷
ν0 è c ø
→ 0!
48
Bild
Alle während der bisherigen Bewegung ausgesendeten Schallwellen überlagern sich in
Phase am jeweiligen Ort der Schallerzeugers
Þ „Kopfwelle“ = nicht harmonische Stoßfront mit großer Druckamplitude
Effekt:
Die Kopfwelle hemmt die Bewegung des Schallerzeugers („Schallmauer“)
49
Für v > c:
Bild
sin γ =
n ⋅ λ0
=
n ⋅ v ⋅ T0
c
n ⋅ λ0
=
v
v
n ⋅ ⋅ λ0
c
Die Stoßfront bildet einen Kegel mit dem Öffnungswinkel γ.
„Mach’scher Kegel“
(v/c := Machzahl)
(verantwortlich für die Druckwelle beim Überfliegen eines Flugzeuges mit Überschallgeschwindigkeit).
Bild
50
1.16
Interferenz und Beugung
Erinnerung:
H
H
Überlagerung (Superposition) von Wellen durch Addition der Auslenkungen s1( r , t) , s 2 ( r , t)
H
H
H
s( r , t) = s1( r , t) + s 2 ( r , t)
Früher betrachtet:
s1, s2 harmonische Wellen mit (leicht) unterschiedlichen Frequenzen
Jetzt:
Betrachte die Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher
Phase
ö
æ
÷
ç
s1 (z, t ) = s ⋅ cosç kz
{ − ωt ÷
÷
çϕ
ø
è 1
s 2 (z, t ) = s
(1)
0
( 2)
0
ö
æ
÷
ç
ç
⋅ cos kz + ∆ϕ − ωt ÷
" "
!
÷
ç
÷
ç ϕ
2
ø
è
s = s1 + s2
= s (01) ⋅ cos(ϕ1 − ωt ) + s(02 ) ⋅ cos(ϕ 2 − ωt )
(
)
(
)
= s(01) ⋅ cos ϕ1 + s(02 ) ⋅ cos ϕ2 ⋅ cos ωt + s(01) ⋅ sin ϕ1 + s(02 ) ⋅ sin ϕ2 ⋅ sin ωt
= s 0 (z ) ⋅ cos[ωt − ϕ( z )]
mit
1
é 2
ù2
(1)
( 2 )2
(1)
(2)
ê
s 0 = s 0 + s 0 + 2 ⋅ s 0 ⋅ s 0 ⋅ cos ∆
ϕ ú
{
ê
ϕ1−ϕ2 úû
ë
tan ϕ =
s(01) ⋅ sin ϕ1 + s(02 ) ⋅ sin ϕ 2
s(01) ⋅ cos ϕ1 + s(02 ) ⋅ cos ϕ 2
51
Besonders interessant:
•
Phasendifferenz ∆ϕ = m⋅2π
s0 =
[
(1)2
s0
+
( 2 )2
s0
+
(1)
2 ⋅ s0
]
1
(2) 2
⋅ s0
(1)
(2)
= s0 + s0
„konstruktive Interferenz“, Teilwellen verstärken sich
•
Phasendifferenz ∆ϕ = (2m + 1)⋅π
[
2
2
s0 = s(01) + s(02 ) − 2 ⋅ s(01) ⋅ s(02 )
]
1
2
= s(01) − s(02 )
„destruktive Interferenz“, Teilwellen schwächen sich ab
(vollständige Auslöschung bei s(01) = s(02) )
Wichtige Voraussetzung für zeitlich stationäre Interferenzerscheinungen
Phasendifferenz ∆ϕ(z) muß zeitlich konstant sein
⇔ „räumliche Kohärenz“ der beiden Teilwellen
Wie erzeugt man so etwas?
Beispiel 1:
Erzeugung zweier ebener Wellen durch harmonische Schwingungen an zwei verschiedenen Orten z1, z2
Bild
52
s1 (z = z1, t ) = s '0 ⋅ cos ωt ü
ý Randbeding ungen d. WGL für s1 (z, t ) bzw. s 2 (z, t )
s 2 (z = z 2 , t ) = s '0 ⋅ cos ωt þ
ù
é
s1( z, t ) = s '0 ⋅ cos êk ⋅ (z − z1 ) − ωt ú ;
ú
ê " "!
ϕ1
û
ë
ù
é
s 2 ( z, t ) = s '0 ⋅ cos êk ⋅ (z − z 2 ) − ωt ú ;
ú
ê " "!
ϕ2
û
ë
Þ s( z, t ) = s1 + s 2 = 2s '0 ⋅ cos[k ⋅ (z 2 − z1 )] ⋅ cos(ωt − kz + ϕ)
""" """!
s0
sin ϕ1 + sin ϕ2
=
tan ϕ =
cos ϕ1 + cos ϕ2
ϕ1 + ϕ2
ϕ − ϕ2
⋅ cos 1
ϕ + ϕ2
2
2
= tan 1
ϕ1 + ϕ2
ϕ1 − ϕ2
2
⋅ cos
2 ⋅ cos
2
2
2 ⋅ sin
s 0 = 2s '0 ⋅ cos[ 21 k ⋅ (z 2 − z1 )]
welche stark von der Phasendifferenz ∆ϕ = k ⋅ ( z2 − z1 ) abhängt :
s0 = 2s0' üï
ý
s0 = 0 ïþ
ω
vPh
ϕ = 21 k (z1 + z 2 )
dies ist wieder eine ebene Welle mit Amplitude
∆ϕ = m ⋅ 2π
∆ϕ = (2m + 1) ⋅ π
k=
für alle z
Beispiel 2:
H H
Erzeugung zweier Kugelwellen an verschiedenen Orten r1, r2
53
Bild Geometrische Konstruktion einer Interferenzfigur
Folgerung:
Es existieren Punkte im Raum, in denen sich die Teilwellen stets konstruktiv bzw. destruktiv
überlagern.
Auslenkung in einem beliebigen Punkt P:
54
Bild
( )
~
s0
H
s2 rp , t =
⋅ cos ωt − kr2
r2
~
H
s
s1 rp , t = 0 ⋅ cos(ωt − kr1 ) ;
r1
( )
1
(
)
H
é1 1
ù2
2
1
ì
ü
⋅ cos{k ⋅ (r2 − r1 )}ú ⋅ cosíωt + k (r2 + r1 )ý
s(rp , t ) = ~
s0 ⋅ ê 2 + 2 +
⋅
r
r
2
r
r
î
þ
1
1
2
û
"ë"
""
""
"2 """""""!
s0
Þ Amplitude s0 abhängig vom „Gangunterschied“
∆ = k ⋅(r2 – r1)
und Ort auf der Hyperbel (r1 – r2) = const. = ∆/k
Bild
55
Wichtig:
Bei destruktiver Interferenz ∆ = (2m + 1)⋅π
1 1
s0 = ~
s0 ⋅ −
r2 r1
Þ niemals vollständige Auslöschung, da für r1 = r2 stets Verstärkung
Ermittlung des Gangunterschieds aus der Geometrie ( r2 – r1) Unterscheide 2 Grenzfälle:
a) r1, r2 >> d
H
H
Þ r1 ungefähr parallel zu r2
Þ r2 – r1 ≈ d⋅sin α
„Fernfeld – Interferenz“
b) r1, r2 nicht >> d
H
Þ r2 – r1 komplizierte Funktion von rp
„Nahfeld – Interferenz“
Interferenzprinzip ist entscheidend zur Beschreibung der räumlichen Ausbreitung von Wellen.
Betrachte hierzu zunächst ebene Welle, erzeugt durch Erregung s(z = 0,t) = s0⋅cos(ωt)
Bild
Diese Welle ist nicht unterscheidbar von einer zweiten Welle, welche z.B. bei z = λ/2 durch
Schwingung s0⋅cos(ωt + π) erzeugt wird.
Þ Beschreibung der Wellenausbreitung formal dadurch, daß in jedem Zeitpunkt t an jedem
Ort z einer Phasenfläche eine neue Welle erzeugt wird.
Verallgemeinerung dieses Prinzips auf 3-Dimensionen:
56
Von jedem Punkt einer Phasenfläche einer Welle werden zur gleichen Zeit Kugelwellen
(Elementarwellen) gleicher Phase ausgesendet, deren Überlagerung dann die eigentliche
Welle ergibt. (Christian Huygens, 1680).
Folgerung:
Konstruktion einer neuen Phasenfläche Fϕ0 ( t0 + ∆t) als Einhüllende (Tangentialfläche) an
Phasenflächen Fϕ' ' ( t 0 + ∆t ) der Elementarwellen, welche zum Zeitpunkt t0 von jedem Punkt
0
der Phasenfläche Fϕ0 ( t 0 ) ausgesandt werden.
Bild
Wichtig:
•
Alle Elementarwellen [EW], welche zur selben Zeit von Punkten einer Phasenfläche
ausgesandt werden, überlagern sich kohärent.
•
Nach dem Huygens – Prinzip ist die Interferenz durch Herausfiltern zweier Elementarwellen äquivalent zur Erzeugung zweier Kugelwellen (im Gebiet z > 0)
57
Bild
Þ Beschreibung von der Wellenausbreitung bei Behinderung durch Grenzflächen
Wichtige Konsequenzen des Huygens – Prinzip:
1) Reflexion von Wellen
Betrachte eine ebene Welle, welche unter dem Winkel α auf eine Wand trifft.
Bild
58
•
Zum Zeitpunkt t0 erreicht Punkt A der Phasenfläche die Wand und sendet von dort
eine Elementarwelle aus
•
Zum Zeitpunkt t0 + ∆t erreicht B die Wand
•
Phasenfläche der Elementarwelle aus A für t0 + ∆t:
∆t = s/vPh
Kugel vom Radius vPh⋅∆t.
•
Geometrisch ergibt sich eine neue Phasenfläche mit β = α, welche von der Wand
wegläuft.
„Reflektierte Welle“
mit α = β
„Reflexionsgesetz“
(Ausfallswinkel = Einfallswinkel)
2) Brechung von Wellen
Betrachte eine ebene Welle, welche auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit trifft.
Bild
59
sin α =
Þ
(1)
⋅ ∆t
v Ph
a
(1)
sin α v Ph
= (2)
sin β v Ph
sin β =
(2)
⋅ ∆t
v Ph
a
„Brechungsgesetz“
3) Beugung von Wellen
Betrachte eine ebene Welle, welche auf ein Hindernis (irgend eine gerade Begrenzungsfläche) trifft.
gebeugte Welle existiert im Bereich hinter der Wand
Bild
Zur Beschreibung der in P registrierten Auslenkung
60
Bild
Betrachte N Quellen, welche gleichphasige Elementarwellen aussenden
Auslenkung durch Quelle Q1
(
i krn −ωt
( )
e
H
sn rp , t = ~
s0 ⋅
)
~
s0 := Amplitude
rn
Þ Gesamtauslenkung
N
N
H
H
e i(krn −ωt )
s(rp , t ) = å sn (rn , t ) = å ~
s0 ⋅
rn
n=1
n=1
Im Grenzfall beliebig vieler Quellen mit beliebig kleinem Abstand d à dx.
∞ ∞
i( kr ( x, y )−ωt )
( ) ò ò s ⋅ e r(x, y)
H
Þ s rp, t =
≈
0
dx dy
"Fresnel – Kirchhoff’sches Beugungsintegral"
−∞ −∞
≈
s0 := Amplitudendichte, Amplitude der Elementarwelle, welche von der Quelle dxdy bei
≈
(x,y) erzeugt wird : d~
s0 = s 0 dxdy
r(x,y) aus der Geometrie
r ( x, y ) = ( x − x0 )² + ( y − y 0 )² + z20
61
Bild
Zur Beobachtung einfacher Beugungserscheinungen betrachte wieder Kette von N diskreten Quellen und Fernfeld - Näherung (r >> N⋅d)
Bild
Dann sind alle rn ≈ r und αn ≈ α
~
s0 i(k⋅rn −ωt ) ~ ~
s N
⋅e
− 0 ⋅ å e i(k⋅rn −ωt )
r n=1
n=1 rn
N
Þ s(α, r ) = å
Gangunterschied benachbarter Quellen ist
∆ = k ⋅ d ⋅ sin α
Þ s(α, r ) =
æ N+1 ö
~
s0 N içè 2 −n ÷ø⋅∆ i(kr −ωt )
⋅åe
⋅e
r
n=1
"" ""!
A (α )
N
Mit
å
n =1
e− in∆ = e− i∆ ⋅
e− iN∆ − 1
e − i∆ − 1
N
( geometrische Reihe:
å
n =1
qn = q ⋅
qn − 1
)
q− 1
62
Amplitude in P (unter dem Winkel α) :
N
N
−i ∆
i ∆
N−1
~
~
s0 sin(N ⋅ ∆2 )
s0 e 2 − e 2
s0 i 2 ∆ e −iN∆ − 1 ~
=
⋅
⋅e
⋅ −i∆
=
⋅
A (α ) =
∆
∆
i
−i
r
sin( ∆2 )
r
r
e −1
2
2
e −e
Einsetzen für ∆ liefert
d
æ
ö
sinç N ⋅ π ⋅ ⋅ sin α ÷
~
~
1
(
)
⋅
⋅
⋅
α
sin
N
k
d
sin
s
s
λ
è
ø
2
= 0⋅
A( α ) = 0 ⋅
d
r
sin( 21 k ⋅ d ⋅ sin α )
r
æ
ö
sinç π ⋅ ⋅ sin α ÷
λ
è
ø
Diskussion:
•
A(α) besitzt Nullstellen dort, wo Zähler = 0 (und Nenner ≠ 0)
⇔ N⋅ π ⋅
•
d
⋅ sin α = m ⋅ π
λ
(m ≥ 1)
A(α) besitzt Hauptmaxima dort, wo Nenner = 0
⇔ π⋅
d
⋅ sin α = m ⋅ π
λ
Da sin α ≤ 1
d < λ:
Þ Unterscheide 2 Fälle:
d
⋅ sin α < 1
λ
für alle α
Þ kein Hauptmaximum außer für
Bild
d > λ:
d
⋅ sin α > 1
λ
m=0Þα=0
63
Þ Int (d/λ)
Hauptmaxima
Bild
Beispiel:
d = 3λ
Þ 3 Hauptmaxima außer α = 0
Läßt man bei konstanter Gesamtausdehnung N⋅d = D die zahl der Quellen à ∞ gehen
(d.h. d à 0), so ergibt sich
æ D
ö
æ D
ö
sinç π ⋅ ⋅ sin α ÷
sinç π ⋅ ⋅ sin α ÷
~
~
⋅
N
s
s0
è λ
ø ≈
è λ
ø
0
⋅
⋅
A( α ) =
D
D
r
r
æ
ö
π ⋅ ⋅ sin α
⋅ sin α ÷
sinç π ⋅
λ
è"N"⋅ λ ""!ø
<< 1
Damit ist die unter dem Winkel α gemessene Intensität:
æ D
ö
sin ²ç π ⋅ ⋅ sin α ÷
λ
è
ø = sin ² x
I(α ) ∝ A ²(α ) ∝
2
x2
D
æ
ö
sin
π
⋅
⋅
α
ç
÷
è N⋅ λ
ø
"Beugung an einem Spalt der Breite
D"
64
Bild
Auch hier ist der Verlauf I(α) wieder stark abhängig von D/λ.
Bild
Beachte: α kann nicht größer als π/2 werden.
2
Elektromagnetische Wellen
2.1 Wellengleichung
Der Name sagt bereits, daß hier elektrische und magnetische Felder beteiligt sind.
H
H
Aus Vorlesung „Grundlagen der Physik II“ ist bekannt, daß zeitlich veränderliche E - und B Felder sich gegenseitig beeinflussen.
Beschreibung durch Maxwell – Gleichungen
H
H H H
∂B
rot E = ∇ × E = ∂t
65
H
H H H
H
∂E
rot B = ∇ × B = µ 0 ⋅ j + ε 0 µ 0 ⋅
∂t
„Grundgleichungen der Elektrodynamik“
H H H ρ
div E = ∇ ⋅ E =
ε0
H H H
div B = ∇ ⋅ B = 0
Betrachte zunächst den materiefreien Raum (Vakuum)
Hier:
Ladungsdic hte
Stromdicht e
ρ = 0ü
H Hý
j = 0þ
da Ladung an Materie gebunden u. Strom = Ladungstra nsport
Dadurch:
H
H H
∂B
∇×E = ∂t
(1)
H
H H
∂E
(2)
∇ × B = ε0µ0 ⋅
∂t
Bilde Rotation von (1)
H
H H H H æ ∂Bö
H H
÷ = − ∂ ∇×B
∇ × ∇ × E = ∇ × çç ÷
∂t
è ∂tø
(
)
(
)
Einsetzen von (2) liefert
H
H H H
∂ æç
∂ E ö÷
ε 0µ 0
∇× ∇×E = −
∂ t çè
∂ t ÷ø
(
)
Benutze Vektoridentität:
H
H H
H H H
H H H
∇ × ∇ × V = ∇⋅ ∇⋅V − ∇⋅ ∇⋅V
(
Einschub:
(
)
H
æ ∂ Vx ∂ Vy ∂ Vz ö
÷
grad div V = gradçç
+
+
∂y
∂ z ÷ø
è ∂x
)
(
)
(
)
66
∂ Vy
æ ∂ Vx
ç
ç ∂x
H æ ∂
∂ ∂ ö ç ∂ Vx
÷÷ ⋅ ç
div grad V = çç
,
,
è∂ x ∂ y ∂ zø ç ∂ y
ç ∂ Vx
ç
è ∂z
(
∂x
∂ Vy
)
H
Þ divE = 0
Im Vakuum ist ρ = 0
∂y
∂ Vy
∂z
H
(
H
∂ Vz ö
÷
∂ x ÷ é ∆Vx ù
H
∂ Vz ÷ ê
ú
= ê ∆Vy ú := ∆V
÷
∂y ÷
ê ∆V ú
∂ Vz ÷ ë z û
÷
∂z ø
H
)
H
Þ ∇ × ∇ × E = − ∆E
H
H
∂ ²E
Þ ∆E = ε 0 µ 0 ⋅
∂ t²
H H
Wellengleichung für Vektor E( r , t)
H H
H H
Þ Existieren Wellen mit Auslenkung s( r , t) = E( r , t) welche sich im Vakuum mit der Geschwindigkeit
c0 =
1
ε0 ⋅ µ0
ausbreiten.
Wichtig: c0 unabhängig von ω, k ⇔ keine Dispersion !
H
Analoge Gleichung für B − Feld
H
H
∂ ²B
∆B = ε 0 µ 0 ⋅
∂ t²
H
H
E und B sind über Maxwell – Gleichung miteinander verknüpft.
Einfache Lösungen der Wellen – Gleichung:
HH
H H
H
i(ωt − kr ) ü
E( r , t) = E0 ⋅ e
ï
HH ý
H H
H
i(ωt − kr )
ïþ
B( r , t) = B0 ⋅ e
ebene harmonische Wellen
für diese Wellen (und nur für diese !) gilt:
Þ
H H
∂ E,B
( ) = iω (EH , BH )
und
∂t
aus (1) wird
(
)
HH
HH
H H
H
− i ⋅ k × E 0 ⋅ e i⋅(ωt −k r ) = −i ⋅ ω ⋅ B 0 ⋅ e i⋅(ωt −k r )
H H
H
Þ k × E0 = ω ⋅ B0
Analog:
∂
= iω
∂t
und
H H H
H
L H
∇ × E, B = −ik × E, B
( )
( )
H
H
∇ = −ik
67
aus (2) wird
H H
H
k × B0 = ε0 µ 0 ⋅ ω ⋅ E0
Folgerungen:
•
H
H
B0 ⊥ E0
Þ
H H
E ⊥B
•
H
H
B0 ⊥ k
Þ
H H
B⊥k
⇔
H
B ist Transversalwelle
•
H
H
E0 ⊥ k
Þ
H H
E⊥k
⇔
H
E ist Transversalwelle
H H
Þ Ebene elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen mit B ⊥ E
Bild
H
H
E und B schwingen in Phase
•
H H
H
k ⋅ B0 = ε 0µ 0 ⋅ ω ⋅ E0
•
ω
1
B0 = ε 0µ 0 ⋅ ⋅ E 0 =
⋅ E0
{ k
c0
{
1
c 02
c0
Þ magnetischer Anteil hat meist nur geringe Auswirkungen (Auge)
•
Elektromagnetische Wellen zeigen Polarisationserscheinungen
-
lineare Polarisation
-
elliptische Polarisation
-
zirkulare Polarisation
2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen
H
H
Benutze Energiedichte des E - bzw. B - Feldes (siehe „Grundlagen der Physik II)
dE EH
dV
=
1
⋅ ε 0 ⋅ E²
2
68
dE BH
dV
Þ
=
dE ges
1 1
⋅
⋅ B²
2 µ0
=
dV
1
1 1
⋅ ε 0 ⋅ E² + ⋅
2
2 µ0
H
æ 1
ö 1
1 ε µ
⋅ çç 2 ⋅ E² ÷÷ = ⋅ ε 0 ⋅ E² + ⋅ 0 0 ⋅ E² = ε 0 ⋅ E ²(r , t )
2
2 µ0
èc"0 "
!ø
B2
Mittelung über eine Schwingungsperiode liefert:
ρE =
1
⋅ ε 0 ⋅ E 02
2
(mittlere) Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Intensität einer ebene elektromagnetischen Welle (im Vakuum)
I = ρE ⋅ c 0
Þ
1
1
= ⋅ ε 0 ⋅ E 02 ⋅
2
ε 0µ 0
Definition:
I=
1 ε0
⋅
⋅ E 02
2 µ0
„Vektor der Energiestromdichte“
H H H
S = E×H
=
( im Vakuum)
(
H H
ε 0 ⋅ c 02 ⋅ E × B
)
„Poynting – Vektor“
H
Richtung von S = Richtung der Energietransports
H
Betrag von S
S = ε 0 ⋅ c 02 ⋅ E ⋅ B
HH
= ε 0 ⋅ c 20 ⋅ E 0 ⋅ B 0 ⋅ e 2i⋅(k r −ωt )
HH
= ε 0 ⋅ c 0 ⋅ E 02 ⋅ e 2i⋅(k r −ωt )
= S( t )
H
An einem bestimmten Ort r oszilliert S mit 2ω.
Im zeitlichen Mittel ist S = I
Einschub:
Erzeugung elektromagnetischer Wellen prinzipiell durch beschleunigte Ladungen
(Strom = q⋅v,
Beispiel:
dI
= q ⋅ v )
dt
Hertz’scher Dipol
69
Bild
Induktion eines Wechselstromes in einem geraden Leiter
⇔ Elektronen schwingen gegen (feststehende) positive Ionen
Þ Abstand der Ladungsschwerpunkte x(t) = x0⋅cos(ωt)
H
Þ zeitlich veränderliches Dipolmoment p( t ) = −q ⋅ x( t )
Þ Elektromagnetisches Feld des oszillierenden Dipols
( )
( )
H H H H
H × rH × rH
H H
H
H
H
H
3 ⋅ p ⋅ rˆ ⋅ rˆ − p
p
E(r , t ) = Eprimär (r , t ) + E sekundär (r , t ) =
+
4π ⋅ ε 0 ⋅ r ³
4π ⋅ ε 0 ⋅ c 02 ⋅ r ³
( )
H H H H
H
3 ⋅ p ⋅ rˆ ⋅ rˆ − p
:= zeitabhängiges Feld eines stationären Dipols
Eprimär =
4π ⋅ ε0 ⋅ r ³
(
)
H × rH × rH
p
H
E sekundär =
4π ⋅ ε 0 ⋅ r ³
Wichtig:
H
:= elektromagnetisches Feld, erzeugt durch zeitliche Änderung von p
70
•
Eprimär ∝
1
;
r³
Esekundär ∝
H
1
r
H
Þ für große r E → Esekundär
•
r ö
H Hæ
p = pç t − ÷
è c0 ø
„Retardierung“ wegen Laufzeit der Feldänderungen
Þ in großer Entfernung r:
~
E(r, ϑ , t) −
æ
r ö
ç t − ÷ ⋅ sin ϑ
p
è c0 ø
4π ⋅ ε0 ⋅ c 20 ⋅ r
Bild
æ
r ö
iω ⋅ç t − ÷
r ö
Hæ
Einsetzen von pç t − ÷ = − q ⋅ x0 ⋅ e è c 0 ø
è c0 ø
E(r, ϑ , t) ~
−
q ⋅ x0 ⋅ ω ² ⋅ sin ϑ
4π ⋅ ε0 ⋅ c20 ⋅ r
æ
r ö
iω ⋅ ç t − ÷
è c0 ø
⋅e
Abgestrahlte Energieflußdichte
1
q2 ⋅ x20 ⋅ ω 4 ⋅ sin2 ϑ
I(r,ϑ ) = c 0 ⋅ ⋅ ε0 ⋅ E20 =
2
32π 2 ⋅ ε0 ⋅ c 30 ⋅ r 2
71
Bild Elektrisches Feldlinienbild des Hertz’schen Dipols zu Zeitpunkten t = t0 + n⋅T/4. Die Verteilung ist rotationssymmetrisch
um die Dipolachse.
72
Bild Die räumliche Verteilung der elektrischen Feldlinien. Die Wellenlänge λ der abgestrahlten elektromagnetischen Welle
entspricht dem doppelten räumlichen Abstand zwischen zwei Nullstellen des elektrischen Feldes.
Bild Räumliche Verteilung der Leistungsabstrahlung eines schwingenden Dipols. Die Länge der Strecke r(ϑ) ist proportional
zur Energiestromdichte S.
73
Klassifizierung elektromagnetischer Wellen nach Frequenzen bzw. Wellenlänge.
Bild Übersicht des gesamten bisher bekannten elektromagnetischen Spektrums.
Wichtig für die Optik:
•
Licht ist eine elektromagnetische Welle
•
Im Vakuum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen
(und damit des Lichtes) unabhängig von der Frequenz.
Þ c0 = (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit
74
2.3 Elektromagnetische Wellen in Materie
In Materie gelten modifizierte Maxwell – Gleichungen
H
H H
∂B
∇ ×E = −
∂t
H
H H
æ H ∂D ö
÷
∇ × B = µ ⋅ µ 0 çç j +
÷
∂
t
ø
è
H
H
mit D = ε ⋅ ε 0 ⋅ E
„Dielektrische Verschiebungsdichte“
H H
∇×D = ρ
H H
∇ ⋅B = 0
ε := Dielektrizitätskonstante;
µ := relative Permeabilität
Unterscheide 2 Fälle:
•
Nichtleitendes Medium
•
Leitendes Medium
2.3.1
Nichtleitendes Medium
Im Isolator ist die Stromdichte
H
j = 0. Ebenso ist für elektrisch neutrales Medium: ρ = 0
Analog zur Herleitung der Wellengleichung im Vakuum:
H
H
∂ ²E
∆E = ε ⋅ ε 0 ⋅ µ ⋅ µ 0 ⋅
∂ t²
Dies ist wieder eine Wellengleichung, aber mit geänderter Ausbreitungsgeschwindigkeit:
c=
1
ε ⋅ ε0 ⋅ µ ⋅ µ0
=
1
ε ⋅ µ0
⋅ c0
Definition:
n=
c0
= ε⋅µ
c
„Brechungsindex“ des Mediums
Für nicht ferromagnetische Materialien ist |µ - 1| << 1, daher (in der Optik) µ ≈ 1
Þ n≈ ε
75
Frage:
Warum ist im Medium die Ausbreitungsgeschwindigkeit anders?
Grund:
Atome im Medium bilden Dipole, welche durch die eingestrahlte Welle zu erzwungenen
Schwingungen angeregt werden.
Bild
H
H
Auslenkung des Elektrons um x in Richtung des äußeren E - Feldes liefert:
•
Dipolmoment
•
Rücktreibendes E – Feld
Eine einfache Beschreibung dieses Phänomens benutzt das Modell des harmonischen Oszillators:
Rückstellkraft
FR = -D⋅x
Þ Bewegungsgleichung des Elektrons
m ⋅ x + b ⋅ x + D ⋅ x = −e ⋅ E 0 ⋅ e i(ωt −kz )
x + γ ⋅ x + ω02 ⋅ x = − e ⋅ E 0 ⋅ e i(ωt −kz )
m
Aus der Diskussion der erzwungenen Schwingung (siehe Grundlagen der Physik I) wissen
wir die stationäre ("eingeschwungene") Lösung dieser Bewegungsgleichung :
x( t ) = x 0 ⋅ e i ( ω t + ϕ )
harmonische Schwingung mit der
76
Amplitude
e
⋅ E0
m
x0 (ω ) =
ω02 − ω 2 + iγω
(
)
Phasenverschiebung
tan ϕ = −
γω
ω02 − ω 2
Bild Amplitude und Phase der erzwungenen Schwingung .
Damit ergibt sich ein zeitabhängiges Dipolmoment
p( t ) = −e ⋅ x( t ) = −e ⋅ x 0 ⋅ e i(ωt +ϕ )
welches in großem Abstand r >> x0 wieder ein elektromagnetisches Feld erzeugt
ED = −
e ⋅ x 0 ⋅ ω²
⋅e
4 π ⋅ ε 0 ⋅ c 02 ⋅ r
æ π ö
iωçç t − ÷÷
è c0 ø
1
ù
é
ê nur r − Term ú
ú
ê
π
ú
ê
Θ=
2
ú
ê
êϕ ≈ 0, d. h. ω << ω 0 ú
ú
ê
û
ë
Weiter:
Überlagerung der an verschiedenen Stellen des Mediums erzeugten Dipolfeldes.
77
•
Zahl der Dipole im Volumenelement dV = 2π r‘ dr‘ dz:
N⋅dV
•
N := Dipoldichte
r = z ² + r '²
∞
Þ dE s ( z ) = ò ED (r ' , z )dr '
0
e ⋅ x0 ⋅ ω ⋅ e
4π ⋅ ε 0 ⋅ c 02
iωt
e ⋅ x0 ⋅ ω ⋅ e
4π ⋅ ε 0 ⋅ c 02
iωt
2
=-
2
=-
∞
dz ò N ⋅
−iω
e
dz ò N ⋅
⋅ 2πr ' dr '
r
0
∞
r
c0
−iω
e
r
c0
r
r =z
∞
r
⋅ 2πr '⋅ ⋅ dr
r'
r
−iω
e ⋅ x 0 ⋅ ω2 ⋅ e iωt
=2π ò N ⋅ e c 0 dr
2
4π ⋅ ε 0 ⋅ c 0
r =z
é
e ⋅ x 0 ⋅ ω2 ⋅ e iωt
c
=dz 2π ê− 0
2
ê iω
4π ⋅ ε 0 ⋅ c 0
êë
∞
ù
r
−iω ü
ìï
ï
c0
ú
ý ú
íN ⋅ e
ï
ï
þ z úû
î
Der Term r à ∞ trägt nichts bei, da dort N à 0 (endliche Ausdehnung der einfallenden
Welle)
æ
z ö
iωçç t − ÷÷
iω ⋅ e ⋅ x 0 ⋅ N
c
dz ⋅ e è 0 ø
Þ dE s ( z ) = −
2ε 0 c 0
Einsetzen von x0 liefert
æ
z ö
iωçç t − ÷÷
ù
dz é
N ⋅ e²
è c0 ø
⋅
E
⋅
e
dE s ( z ) = −iω
ê
ú
0
2
2
c 0 ë 2ε 0m ω0 − ω + iγω û
[(
)
]
(*)
78
Die Gesamtfeldstärke an Ort z ergibt sich durch Überlagerung der einfallenden Welle
mit der der Sekundärwelle
E(z,t) = Ee(z,t) + dEs(z,t)
Makroskopisch:
Phasenverschiebung nach Durchlaufen der Mediumschicht der Dicke dz:
dϕ = ω
Þ
dz
dz
dz
−ω
= ω ⋅ (n − 1)
c0
c0 n
c0
E( z, t ) = E 0 ⋅ e
é æ z
i ê ωçç t −
ëê è c 0
ù
ö
÷ − dϕ ú
÷
ø
ûú
= E0 ⋅ e
æ z
iωçç t −
è c0
ö
÷
÷
ø
⋅ e −idϕ
(**)
Þ e− idϕ −~ 1 − idϕ
da dϕ << 1
æ z
iωçç t −
è c0
ö
÷
÷
ø
æ
z ö
iωçç t − ÷÷
dz
c
Þ E( z, t ) = E 0 ⋅ e
− iω (n − 1)
⋅ E0 ⋅ e è 0 ø
" "!
c0
"""" """"!
E e ( z, t )
dE s ( z, t )
Durch Vergleich mit D ergibt sich
n = 1+
N ⋅ e²
2
2
+ iγω
0 −ω
2ε m[(ω
0
]
)
Brechungsindex in der Näherung des klassischen harmonischen Oszillators.
Diskussion:
•
n ist eine komplexe zahl ! Þ n = n‘ +iκ
Ausrechnen liefert:
n' = 1 +
κ=
•
ω02 − ω2
Ne 2
⋅
2ε 0m ω02 − ω2 2 + γ 2 ω2
(
)
Ne 2
γω
⋅
2
2
2ε 0m ω0 − ω 2 + γ 2 ω2
(
)
physikalische Bedeutung von n‘ und κ:
Hierzu Integration d. Gl. (**) von z = 0 bis z, d.h. die Welle läuft ab z = 0 durch das Medium.
79
E( z, t ) = E 0 ⋅ e
æ z
iωçç t −
è c0
ö
÷
÷
ø
⋅e
iω
n ' −1
⋅z
c0
⋅e
−
ω
⋅κ⋅z
c0
=
−
ω
⋅κ⋅z
c0
E0 ⋅ e
" "!
ortsabhängige Amplitude
⋅
æ n' ö
iωçç t − ⋅z ÷÷
è c0 ø
e
" "
!
Welle, die sich mit
c0
ausbreitet
n'
Dies ist eine gedämpfte Welle mit
-
Ausbreitungsgeschwindigkeit
c=
c0
n'
Þ n‘ ist der Brechungsindex
Achtung: n‘ = n‘(ω) Þ c = c(ω)
n‘ beschreibt die Dispersion!
-
Amplitude E 0 ⋅ e
Þ I = I 0 ⋅ e −αz
−
ω
κ⋅z
c0
(Beer’sches Absorptionsgesetz)
Þ Energiedichte der Welle nimmt ab (Energie wird an das Medium abgegeben)
„Absorption der Welle“
α = 2⋅
ω
⋅κ
c0
„Absorptions – Koeffizient“
Schematisch:
Bild Absorptionskoeffizient α(ω) = 2k0 ⋅ κ(ω) und Realteil des Brechungsindex in der Umgebung einer Absorptionslinie bei ω0.
Bemerkung:
•
Elektronenbewegung muß eigentlich quantenmechanisch beschrieben werden.
80
Resultat: Es existieren mehrere Resonanzfrequenzen ω0, welche Übergängen zwischen bestimmten Energiezuständen des Elektrons entsprechen.
•
ω0 ~
− 1016
Im klassischen harmonischen Oszillator:
1
s
1
~
− 1014
s
Frequenzen des sichtbaren Lichts:
Þ n‘ nimmt zu mit zunehmendem ω (abnehmendem λ0)
(normale Dispersion)
•
Ebene Welle:
H
H
H
k = n ⋅ k 0 = (n'+iκ ) ⋅ k 0
k0 =
Aus Maxwell – Gleichung
ω
c0
H
H
H H
H
∂B
folgt (mit ∇ = −ik und ∂ ∂t = iω )
∇ ×E = −
∂t
H
H
Þ Phasenverschiebung zwischen E und B im absorbierenden Medium
2.3.2
Leitendes Medium
Hier existiert Leitfähigkeit σ
H
Þ Elektrisches Feld E erzeugt Stromdichte
H
H
j = σ ⋅E
Einsetzen in die Maxwell - Gleichungen liefert
H
H
H
1 ∂ 2E
∂E
∆E = 2 ⋅ 2 + (µ )µ 0 σ
∂t
c 0 ∂t
(*)
Ansatz zur Lösung dieser modifizierten Wellengleichung :
α
H
H
− z
E(z, t ) = E 0 ⋅ e 2 ⋅ e i(ωt −kz )
Einsetzen in die Wellengleichung liefert
2
H
H
1
æ α
ö H
2
ç − − ik ÷ E = 2 − ω E + iω(µ )µ 0 σE
c0
è 2
ø
(
Þ
)
α2
ω2
+ αik − k 2 = − 2 + iω(µ )µ 0 σ
4
c0
81
Þ
α2
ω2
− k2 = − 2
4
c0
und
α ⋅ k = ω(µ )µ 0 σ
Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ! Auflösen liefert :
α =
2
− 2ω2 + 4ω4 + 4ω2µ 20 σ
c 02
Im Grenzfall kleiner Frequenzen ω und hoher Leitfähigkeit σ kann man nähern
α≈
2ωσµ 0 ε 0
=
ε0
2ωσ
ε 0c 02
Folgerung:
•
Die Welle wird im Medium absorbiert !
•
Eindringtiefe δ der Welle ist bestimmt durch
δ=
1
=
α
ε 0 c 02
2σω
I(δ ) = I 0 e
"Skintiefe" für das Eindringen einer elektromagnetischen Welle
in ein leitendes Medium
2.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
Betrachte den Durchtritt einer ebenen Welle
H H
H
H
E e (r , t ) = E (0e ) ⋅ e i(ωt −k e ⋅r )
durch eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n1 und n2
Þ Aufspaltung der Welle in reflektierte und gebrochene Welle
H H
H H
H
E r (r , t ) = E 0(r ) ⋅ e i(ωt −kr ⋅r )
82
H H
H H
H
i (ωt −k g ⋅r )
E g (r , t ) = E 0(g ) ⋅ e
Bereits bekannt : α = α′
sin α n 2
=
sin β n1
(Reflexionsgesetz)
und
H
H
kr = ke
(Brechungsgesetz)
und
H
n H
kg = 2 ke
n1
Frage:
H
H
Wie groß sind die Amplituden E 0(r ) bzw. E 0(g ) und damit die Intensitäten der reflektierten und
gebrochenen Wellen ?
Zerlege hierzu die Amplitudenvektoren in Komponenten E 0 ⊥ und E 0 + senkrecht und
H H
H
parallel zur Einfallsebene ( = Ebene, welche durch k e , k r und k g aufgespannt wird)
Erinnerung an Elektrodynamik :
•
H
Tangentialkomponente von E ist an der Grenzfläche stetig
( ) + (E( ) ) = (E( ) )
Þ E (0e )
•
z
r
0
g
0
z
H
µ
Tangentialkomponenten von B verhalten sich wie 1 ≈ 1
µ2
wegen
(
H 1 H H
B = k ×E
ω
)
(kH
Ausmultiplizieren liefert :
Þ
(***)
z
e
H
× E 0(e )
) + (kH
x
(kH × EH )
0 x
r
H
× E0(r )
x
g
H
× E 0(g )
= k y (E 0 )z − k z (E 0 )y
{
=0
(k e )y ⋅ (E(0e ) )z + (k r )y ⋅ (E0(r ) )z = (k g )y ⋅ (E(0g) )z
Mit (k e )y = −(k r )y folgt :
) = (kH
)
x
für nicht ferromagnetische
Materialien
83
(k )
(E( ) ) − (E ( ) ) = (k ) ⋅ (E( ) )
e
0
r
0
z
g y
z
g
0
(****)
z
e y
k g ⋅ cos β
k e ⋅ cos α
=
n 2 cos β
:= a
n1 cos α
Aus (***) und (****) ergibt sich
(E( ) )
(E( ) )
=
1 − a n1 cos α − n2 cos β
=
1 + a n1 cos α + n2 cos β
(E( ) )
(E ( ) )
=
2n1 cos α
2
=
1 + a n1 cos α + n 2 cos β
r
0 ⊥
e
0 ⊥
g
0
e
0
⊥
⊥
=
sin(α − β)
= r⊥
sin(α + β)
= t⊥
Analoge Herleitung für die Parallelkomponenten liefert
(E( ) )
(E ( ) )
=
n 2 cos α − n1 cos β
n 2 cos α + n1 cos β
(E( ) )
(E ( ) )
=
2n1 cos α
n 2 cos α + n1 cos β
r
0 +
e
0 +
g
0
e
0
⊥
⊥
=
tg(α − β)
= r+
tg(α + β)
= t+
84
"Fresnel - Gleichungen", ermöglichen die Bereichnung des Reflexions- bzw.
Transmissionsvermögens einer Grenzfläche als Funktion des Einfallswinkels α und der
Brechungsindizes n1, n2
H 2
E 0(r )
I (r )
R = (e ) = H 2
I
E (0e )
Def. : Reflexionsvermögen
T = 1− R
Transmissionsvermögen
Zerlege wieder in Komponenten parallel bzw. senkr. zur Einfallsebene :
R⊥
(E( ) )
=
(E( ) )
æ n cos α − n 2 cos β ö
÷÷
= çç 1
è n1 cos α + n 2 cos β ø
R+
(E( ) )
=
(E( ) )
æ n cos α − n1 cos β ö
÷÷
= çç 2
è n 2 cos α + n1 cos β ø
r
0
2
⊥
e 2
0 ⊥
r
0
2
+
e 2
0 +
2
und
T⊥ = 1 − R ⊥
und
T+ = 1 − R +
2
Die Winkel α und β sind dabei über das Brechungsgesetz verknüpft.
Diskussion :
•
Für α = 0 ist auch β = 0
2
æ n − n2 ö
÷÷ = R +
R ⊥ = çç 1
è n1 + n 2 ø
Þ
•
Mit
n1 sin α
=
n 2 sin β
é sin(α − β) ù
R⊥ = ê
ú
ë sin(α + β) û
und Additionstheoremen für die Winkelfunktionen ergibt sich :
2
und
é tg(α − β) ù
R+ = ê
ú
ë tg(α + β) û
Da α, β ≤ π/2 und α ≠ β (für n2 ≠ n1)
Folgt
R⊥ ≠ 0
Aber : R + = 0
2
Þ α+β<π
(für n2 ≠ n1)
dann, wenn tg(α + β) → ∞
⇔
α+β =
π
2
Der zugehörige Einfallswinkel, für welchen diese Bedingung erfüllt ist,
heißt Brewster - Winkel αB
sin α B
=
sin β
sin α B
sin α B
n
=
= tg(α B ) = 2
n1
æπ
ö cos α B
sinç − α B ÷
è2
ø
85
Der Brewster-Winkel wird ausgenutzt, um z. B. für linear polarisiertes Licht die Reflexion
an Grenzflächen vollständig zu vermeiden.
•
Betrachte die Reflexion im Fall n2 > n1 ("Reflexion an optisch dichterem Medium")
Dann ist
sin β =
n1
sin α < sin α
n2
Þ
β<α
und es gilt für die
Senkrechtkomponente (⊥ Einfallsebene) :
sin(α − β) > 0 , da α, β ≤ π/2
Þ
r⊥ = −
sin(α − β)
<0
sin(α + β )
( )
H
Þ E 0(r )
⊥
ändert das Vorzeichen bei Reflexion
Da e iπ = −1 , bezeichnet man dies als einen "Phasensprung um π"
Parallelkomponente (|| Einfallsebene) :
tg(α − β) > 0 , aber tg(α + β) < 0 für α + β >
Þ r+ =
Þ
tg(α − β)
<0
tg(α + β)
für α > αB
Phasensprung um π für α > αB
kein Phasensprung für α < α
π
2