Kapitel 06

§6 Kombinatorik
ô
PermutationenOhneWiederholung@n_IntegerD :=
Permutations@Range@nDD
PermutationenMitWiederholung@n_ListD :=
Permutations@Flatten@Table@Table@i, 8n@@iDD<D, 8i, Length@nD<DDD
KombinationenOhneWiederholung@n_Integer, k_IntegerD :=
Permutations@Join@Table@1, 8k<D, Table@0, 8n - k<DDD
KombinationenOhneWiederholungAlt@n_Integer, 1D := Table@8i<, 8i, 1, n<D
KombinationenOhneWiederholungAlt@n_Integer, k_IntegerD :=
Flatten@Map@Table@Append@, iD, 8i, Last@D + 1, n<D &, KombinationenOhneWiederholungAlt@n, k - 1DD,
1D
KombinationenMitWiederholung@1, k_IntegerD := 88k<<
KombinationenMitWiederholung@n_Integer, k_IntegerD :=
Flatten@Table@Map@Append@, iD &, KombinationenMitWiederholung@n - 1, k - iDD, 8i, 0, k<D, 1D
KombinationenMitWiederholungAlt@n_Integer, 1D := Table@8i<, 8i, 1, n<D
KombinationenMitWiederholungAlt@n_Integer, k_IntegerD :=
Flatten@Map@Table@Append@, iD, 8i, Last@D, n<D &, KombinationenMitWiederholungAlt@n, k - 1DD, 1D
VariationenOhneWiederholung@n_Integer, k_IntegerD :=
Flatten@Map@Permutations, KombinationenOhneWiederholungAlt@n, kDD, 1D
VariationenMitWiederholung@n_Integer, k_IntegerD :=
Distribute@Table@Table@i, 8i, 1, n<D, 8k<D, ListD
Bei Laplace-Experimenten läuft die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereingisses A Œ W auf die
Berechnung der Mächtigkeit der Mengen A und W hinaus. Oft handelt es sich bei diesen Mengen W dabei um
Mengen, welche in der Kombinatorik bereits bekannt sind.
Wir werden uns in diesem Abschnitt daher mit einigen Grundmengen der Kombinatorik befassen, diese Mengen
genau definieren, aufzeigen, in welchem Zusammenhang sie auftreten und Mathematica-Befehle kennen lernen,
mit denen sich diese Mengen erzeugen lassen.
6.1 Permutationen ohne Wiederholung
Bei Permutationen ohne Wiederholung geht es um das Anordnen von n Dingen, die mit den Zahlen 1,2,…,n
nummeriert sind.
6.1.1 Permutationen ohne Wiederholung: Jede mögliche Anordnung von n paarweise verschiedenen Dingen
nennt man eine Permutation ohne Wiederholung von n Dingen. Die Menge aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen entspricht der Menge
W = 88x1 , x2 , …, xn < ˝ x1 , x2 , …, xn œ 81, 2, …, n< paarweise verschieden<
Die Liste 8x1 , x2 , …, xn < œ W beschreibt dabei die Anordnung "auf dem ersten Platz liegt das Ding mit der
Nummer x1 , auf dem zweiten Platz liegt das Ding mit der Nummer x2 , …, auf dem n-ten Platz liegt das Ding
mit der Nummer xn ".
Jede mögliche Verteilung von n Kugeln auf n Urnen, wobei in jede Urne genau eine Kugel gelangt, kann als
Permutation ohne Wiederholung von n Dingen interpretiert werden. Die Liste 8x1 , x2 , …, xn < œ W beschreibt dabei
06_Kombinatorik.nb
2
8 1 2
n<
die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x1 -te Urne, die zweite Kugel gelangt in die x2 -te Urne, …, die n-te
Kugel gelangt in die xn -te Urne".
6.1.2 Satz: Für die Menge W aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen gilt
W = n!
Die Zahl n ! lässt sich dabei mit dem Befehl Factorial (oder kurz n !) aufrufen.
ô
Beweis: Wir überlegen, auf wieviele Arten sich Listen 8x1 , x2 , …, xn < œ W bilden lassen: Für x1 gibt es n
Möglichkeiten; ist x1 gewählt, so bleiben für x2 noch Hn - 1L Möglichkeiten übrig; sind x1 und x2 gewählt, so
bleiben für x3 noch Hn - 2L Möglichkeiten übrig; …; sind x1 , x2 , …, xn-1 gewählt, so bleibt für xn noch eine
einzige Möglichkeit übrig. Es gibt also insgesamt n µHn - 1L µ…µ 2 µ 1 = n ! derartige Listen.
Beispielsweise lassen sich 50 Bücher wegen
N@50 !D
3.04141 × 1064
auf etwa 3.04141 µ1064 verschiedene Arten anordnen.
Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen erzeugen (da
die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen bereits für kleine n riesig groß ist, sollte dieser
Befehl nur für n < 10 verwendet werden):
06_Kombinatorik.nb
3
à PermutationenOhneWiederholung@nD
erzeugt die Menge aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen.
ô
Beispielsweise gilt
PermutationenOhneWiederholung@4D
881,
82,
83,
84,
2,
1,
1,
1,
3,
3,
2,
2,
4<, 81,
4<, 82,
4<, 83,
3<, 84,
2,
1,
1,
1,
4,
4,
4,
3,
3<, 81, 3,
3<, 82, 3,
2<, 83, 2,
2<, 84, 2,
2,
1,
1,
1,
4<, 81,
4<, 82,
4<, 83,
3<, 84,
3, 4,
3, 4,
2, 4,
2, 3,
2<, 81, 4, 2,
1<, 82, 4, 1,
1<, 83, 4, 1,
1<, 84, 3, 1,
3<, 81,
3<, 82,
2<, 83,
2<, 84,
4,
4,
4,
3,
3, 2<,
3, 1<,
2, 1<,
2, 1<<
6.2 Permutationen mit Wiederholung
Bei Permutationen mit Wiederholung geht es um das Anordnen von n = n1 + n2 + … + nk Dingen, welche mit den
Zahlen
1, 1,®
…, 1, 2, 2,®
…, 2, …, k, k,®
…, k
n1 mal
n2 mal
nk mal
nummeriert sind. Dinge, welche die gleiche Nummer zugewiesen bekommen, sind dabei als identisch anzusehen.
6.2.1 Permutationen mit Wiederholung: Jede mögliche Anordnung von n = n1 + n2 + … + nk Dingen, von
denen jeweils n1 bzw n2 bzw … bzw nk Dinge identisch sind, nennt man eine Permutation mit Wiederholung
von n1 , n2 , …, nk Dingen. Die Menge aller Permutationen mit Wiederholung von n1 , n2 , …, nk Dingen
entspricht der Menge
W = 88x1 , x2 , …, xn < ˝ x1 , x2 , …, xn œ 81, 2, …, k< wobei jeweils ns der xi gleich s sind<
Die Liste 8x1 , x2 , …, xn < œ W beschreibt dabei die Anordnung "auf dem ersten Platz liegt das Ding mit der
Nummer x1 , auf dem zweiten Platz liegt das Ding mit der Nummer x2 , …, auf dem n-ten Platz liegt das Ding
mit der Nummer xn ".
Jede mögliche Verteilung von n = n1 +n2 + … +nk Kugeln auf k Urnen, bei der in die s-te Urne genau ns Kugeln
gelangen, kann als Permutation mit Wiederholung von n1 , n2 , …, nk Dingen interpretiert werden. Die Liste
8x1 , x2 , …, xn < œ W beschreibt dann die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x1 -te Urne, die zweite Kugel
gelangt in die x2 -te Urne, …, die n-te Kugel gelangt in die xn -te Urne".
6.2.2 Satz: Für die Menge W aller Permutationen mit Wiederholung von n1 , n2 , …, nk Dingen gilt
Hn1 + n2 + … + nk L !
W =
n1 ! n2 ! … nk !
Hn1 + n2 + … + nk L !
Die Zahl
lässt sich dabei mit dem Befehl Multinomial aufrufen.
n1 ! n2 ! … nk !
ô
Beweis: Aus Satz 6.1.2 folgt, dass sich n paarweise verschiedene Dinge auf n ! verschiedene Arten anordnen lassen.
Damit lassen sich n1 +n2 + … +nk Dinge an sich auf Hn1 +n2 + … +nk L ! Arten anordnen. Da aber jeweils
n1 , n2 , …, nk dieser Dinge identisch sind, sind nur
06_Kombinatorik.nb
4
Hn1 + n2 + … + nk L !
n1 ! n2 ! … nk !
dieser Hn1 +n2 + … +nk L ! Anordnungen tatsächlich voneinander verschieden.
Beispielsweise lassen sich die Buchstaben des Wortes SEEREISE wegen
Multinomial@2, 4, 1, 1D
840
auf 840 verschiedene Arten anordnen.
06_Kombinatorik.nb
5
Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Permutationen mit Wiederholung von n1 , n2 , …, nk Dingen
erzeugen (man beachte wieder, dass dieser Befehl nur für kleine Werte von n1 , n2 , …, nk und k sinnvoll ist):
à PermutationenMitWiederholung @8n1 , n2 , …, nk <D
erzeugt die Menge aller Permutationen mit Wiederholung von n1 , n2 , …, nk Dingen.
ô
Beispielsweise gilt
PermutationenMitWiederholung@82, 1, 2<D
881,
81,
81,
82,
83,
83,
1,
2,
3,
3,
1,
2,
2,
3,
3,
1,
2,
1,
3,
3,
1,
1,
1,
3,
3<, 81, 1, 3,
1<, 81, 3, 1,
2<, 81, 3, 3,
3<, 82, 3, 1,
3<, 83, 1, 2,
1<, 83, 2, 3,
2,
2,
2,
3,
3,
1,
3<, 81, 1, 3,
3<, 81, 3, 1,
1<, 82, 1, 1,
1<, 82, 3, 3,
1<, 83, 1, 3,
1<, 83, 3, 1,
3, 2<, 81, 2, 1,
3, 2<, 81, 3, 2,
3, 3<, 82, 1, 3,
1, 1<, 83, 1, 1,
1, 2<, 83, 1, 3,
1, 2<, 83, 3, 1,
3,
1,
1,
2,
2,
2,
3<, 81, 2,
3<, 81, 3,
3<, 82, 1,
3<, 83, 1,
1<, 83, 2,
1<, 83, 3,
3, 1, 3<,
2, 3, 1<,
3, 3, 1<,
1, 3, 2<,
1, 1, 3<,
2, 1, 1<<
6.3 Kombinationen ohne Wiederholung
Bei Kombinationen ohne Wiederholung geht es um das Auswählen von k § n Dingen aus n Dingen, welche mit den
Zahlen 1,2,…,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf (Ziehen
ohne Zurücklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, keine Bedeutung hat.
6.3.1 Kombinationen ohne Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von k § n Dingen aus n Dingen, wobei
jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge
ausgewählt werden, keine Bedeutung hat, nennt man eine Kombination ohne Wiederholung von k aus n
Dingen. Die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen entspricht der Menge
W = 88x1 , x2 , …, xn < ˝ x1 , x2 , …, xn œ 80, 1< mit x1 + x2 + … + xn = k<
Die Liste 8x1 , x2 , …, xn < œ W beschreibt dabei die Auswahl "es werden genau jene Dinge i œ 81, 2, …, n<
ausgewählt, für die xi = 1 ist".
6.3.2 Satz: Für die Menge W aller Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen gilt
n
W =K O
k
n
Die Zahl K O lässt sich dabei mit dem Befehl Binomial aufrufen.
k
ô
Beweis: Wir zeigen diese Aussage durch vollständige Induktion nach n und bemerken dazu zunächst, dass
880, 0, …, 0<< = 1 = K
n+1 mal
n+1
O
0
und
881, 1, …, 1<< = 1 = K
n+1 mal
n+1
O
n+1
gilt. Der springende Punkt unseres Induktionsbeweises liegt nun darin, dass für alle k œ 81, 2, …, n< offenbar
88x1 , x2 , …, xn , xn+1 < ˝ x1 , x2 , …, xn , xn+1 œ 80, 1< mit x1 + x2 + … + xn + xn+1 = k< =
= 88x1 , x2 , …, xn , 0< ˝ x1 , x2 , …, xn œ 80, 1< mit x1 + x2 + … + xn = k< ‹
06_Kombinatorik.nb
6
88 1
2
n
<˝ 1
2
n
8
<
1
2
n
<‹
88x1 , x2 , …, xn , 1< ˝ x1 , x2 , …, xn œ 80, 1< mit x1 + x2 + … + xn = k - 1<
gilt, wobei es sich dabei um eine disjunkte Vereinigung handelt. Wegen der Induktionsannahme gilt damit
88x1 , x2 , …, xn , xn+1 < ˝ x1 , x2 , …, xn , xn+1 œ 80, 1< mit x1 + x2 + … + xn + xn+1 = k< =
n
n
n+1
=K O+K
O=K
O
k
k-1
k
Beispielsweise gibt es beim Lotto "6 aus 45" wegen
Binomial@45, 6D
8 145 060
genau 8 145 060 verschiedene Möglichkeiten für einen Sechser.
Kombinationen ohne Wiederholung lassen sich auch noch auf eine andere Weise darstellen:
6.3.3 Kombinationen ohne Wiederholung (alternative Darstellung): Die Menge aller Kombinationen ohne
Wiederholung von k aus n Dingen entspricht auch der Menge
Walt = 88x1 , x2 , …, xk < ˝ x1 , x2 , …, xk œ 81, 2, …, n< mit x1 < x2 < … < xk <
Die Liste 8x1 , x2 , …, xk < œ W beschreibt dabei die Auswahl "es werden das x1 -te, das x2 -te, … und das xn -te
Ding ausgewählt".
06_Kombinatorik.nb
7
Mit den folgenden Befehlen lässt sich die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen
erzeugen (man beachte wieder, dass diese Befehle nur für kleine Werte von n und k sinnvoll sind):
à KombinationenOhneWiederholung@n, kD
erzeugt die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen.
à KombinationenOhneWiederholungAlt@n, kD
erzeugt die alternative Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen.
ô
Beispielsweise gilt
KombinationenOhneWiederholung@6, 3D
881,
81,
81,
80,
80,
1,
0,
0,
1,
0,
1,
1,
0,
1,
1,
0,
1,
1,
0,
1,
0,
0,
0,
0,
1,
0<, 81, 1,
0<, 81, 0,
1<, 81, 0,
1<, 80, 1,
0<, 80, 0,
0,
1,
0,
0,
1,
1,
0,
0,
1,
1,
0,
1,
1,
1,
0,
0<, 81,
0<, 81,
1<, 80,
0<, 80,
1<, 80,
1, 0, 0,
0, 1, 0,
1, 1, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0,
1,
0,
0,
0,
1,
0<, 81, 1,
1<, 81, 0,
0<, 80, 1,
1<, 80, 1,
1<, 80, 0,
0,
0,
1,
0,
0,
0, 0,
1, 1,
0, 1,
0, 1,
1, 1,
1<,
0<,
0<,
1<,
1<<
KombinationenOhneWiederholungAlt@6, 3D
881, 2, 3<, 81, 2, 4<, 81, 2, 5<, 81, 2, 6<, 81, 3, 4<, 81, 3, 5<,
81, 3, 6<, 81, 4, 5<, 81, 4, 6<, 81, 5, 6<, 82, 3, 4<, 82, 3, 5<, 82, 3, 6<,
82, 4, 5<, 82, 4, 6<, 82, 5, 6<, 83, 4, 5<, 83, 4, 6<, 83, 5, 6<, 84, 5, 6<<
Man beachte dabei, in welcher Weise einander die beiden Listen entsprechen.
6.4 Kombinationen mit Wiederholung
Bei Kombinationen mit Wiederholung geht es um das Auswählen von k Dingen aus n Dingen, welche mit den
Zahlen 1,2,…,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf (Ziehen mit
Zurücklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, keine Bedeutung hat.
6.4.1 Kombinationen mit Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von k Dingen aus n Dingen, wobei jedes
einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge ausgewählt werden, keine Bedeutung hat, nennt man eine Kombination mit Wiederholung von k aus n Dingen. Die
Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Dingen entspricht der Menge
W = 88x1 , x2 , …, xn < ˝ x1 , x2 , …, xn œ 80, 1, …, k< mit x1 + x2 + … + xn = k<
Die Liste 8x1 , x2 , …, xn < œ W beschreibt dabei die Auswahl "das erste Ding wird x1 mal, das zweite Ding
wird x2 mal, …, das n-te Ding wird xn mal ausgewählt".
6.4.2 Satz: Für die Menge W aller Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Dingen gilt
n+k-1
O
k
n+k-1
Die Zahl K
O lässt sich dabei mit dem Befehl Binomial aufrufen.
k
W =K
ô
Beweis: Wir bezeichnen für diesen Beweis die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen
k
k
06_Kombinatorik.nb
8
mit Cnk und die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Dingen mit Dkn . Aus der Tatsache, dass
k
die Abbildung f : Dkn Ø Cn+k-1
mit
f @8x1 , x2 , …, xn <D = 81, 1, …, 1, 0, 1, 1, …, 1, 0, …, 0, 1, 1, …, 1<
x1 mal
x2 mal
xn mal
offenbar bijektiv ist, folgt aus Satz 6.3.2 unmittelbar
k
Dkn = Cn+k-1
=K
n+k-1
O
k
Werden beispielsweise bei einer Übung mit n = 8 Teilnehmern diese Teilnehmer insgesamt k = 20 mal zufällig
aufgerufen, so gibt es dafür wegen
Binomial@8 + 20 - 1, 20D
888 030
genau 888 030 verschiedene Möglichkeiten.
Kombinationen mit Wiederholung lassen sich auch noch auf eine andere Weise darstellen:
06_Kombinatorik.nb
9
6.4.3 Kombinationen mit Wiederholung (alternative Darstellung): Die Menge aller Kombinationen mit
Wiederholung von k aus n Dingen entspricht auch der Menge
Walt = 88x1 , x2 , …, xk < ˝ x1 , x2 , …, xk œ 81, 2, …, n< mit x1 § x2 § … § xk <
Die Liste 8x1 , x2 , …, xk < œ W beschreibt dabei die Auswahl "es werden das x1 -te, das x2 -te, … und das xk -te
Ding ausgewählt".
Mit den folgenden Befehlen lässt sich die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Dingen
erzeugen (man beachte wieder, dass diese Befehle wieder nur für kleine Werte von n und k sinnvoll sind):
à KombinationenMitWiederholung@n, kD
erzeugt die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Dingen.
à KombinationenMitWiederholungAlt@n, kD
erzeugt die alternative Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Dingen.
ô
Beispielsweise gilt
KombinationenMitWiederholung@4, 3D
883,
81,
82,
80,
0,
1,
0,
0,
0,
1,
0,
2,
0<, 82,
0<, 80,
1<, 81,
1<, 81,
1,
2,
1,
0,
0,
1,
0,
0,
0<, 81, 2,
0<, 81, 0,
1<, 80, 2,
2<, 80, 1,
0,
2,
0,
0,
0<, 80,
0<, 80,
1<, 81,
2<, 80,
3, 0,
1, 2,
0, 1,
0, 1,
0<, 82, 0, 1,
0<, 80, 0, 3,
1<, 80, 1, 1,
2<, 80, 0, 0,
0<,
0<,
1<,
3<<
KombinationenMitWiederholungAlt@4, 3D
881, 1, 1<, 81, 1, 2<, 81, 1, 3<, 81, 1, 4<, 81, 2, 2<, 81, 2, 3<,
81, 2, 4<, 81, 3, 3<, 81, 3, 4<, 81, 4, 4<, 82, 2, 2<, 82, 2, 3<, 82, 2, 4<,
82, 3, 3<, 82, 3, 4<, 82, 4, 4<, 83, 3, 3<, 83, 3, 4<, 83, 4, 4<, 84, 4, 4<<
Man beachte wieder, in welcher Weise einander die beiden Listen entsprechen.
6.5 Variationen ohne Wiederholung
Bei Variationen ohne Wiederholung geht es um das Auswählen von k § n Dingen aus n Dingen, welche mit den
Zahlen 1,2,…,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf (Ziehen
ohne Zurücklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, wesentlich ist.
6.5.1 Variationen ohne Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von k § n Dingen aus n Dingen, wobei jedes
einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge
ausgewählt werden, wesentlich ist, nennt man eine Variation ohne Wiederholung von k aus n Dingen. Die
Menge aller Variationen von k aus n Dingen ohne Wiederholung entspricht der Menge
W = 88x1 , x2 , …, xk < ˝ x1 , x2 , …, xk œ 81, 2, …, n< paarweise verschieden<
Die Liste 8x1 , x2 , …, xk < œ W beschreibt dabei die Auswahl "beim ersten Zug wird das x1 -te Ding, beim
zweiten Zug wird das x2 -te Ding, …, beim k-ten Zug wird das xk -te Ding ausgewählt".
Jede mögliche Verteilung von k § n Kugeln auf n Urnen, wobei in jede Urne höchstens eine Kugel gelangen darf,
kann als Variation ohne Wiederholung von k aus n Dingen interpretiert werden. Die Liste 8x1 , x2 , …, xk < œ W
06_Kombinatorik.nb
10
8 1 2
k<
beschreibt dabei die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x1 -te Urne, die zweite Kugel gelangt in die x2 -te
Urne, …, die k-te Kugel gelangt in die xk -te Urne".
6.5.2 Satz: Für die Menge W aller Variationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen gilt
W =
n!
Hn - kL !
ô
Beweis: Wir überlegen, auf wieviele Arten sich Listen 9x1 , x2 , …, xk = œ W bilden lassen: Für x1 gibt es n
Möglichkeiten; ist x1 gewählt, so bleiben für x2 noch Hn - 1L Möglichkeiten übrig; sind x1 und x2 gewählt, so
bleiben für x3 noch Hn - 2L Möglichkeiten übrig; …; sind x1 , x2 , …, xk-1 gewählt, so bleiben für xk noch
Hn - k + 1L Möglichkeiten übrig. Es gibt also insgesamt
n Hn - 1L … Hn - k + 1L =
derartige Listen.
n!
Hn - kL !
06_Kombinatorik.nb
Sollen beispielsweise k = 6 Kugeln so auf n = 9 Urnen verteilt werden, dass in jede Urne höchstens eine Kugel
gelangt, so gibt es dafür wegen
9 ! ê H9 - 6L !
60 480
genau 60 480 verschiedene Möglichkeiten.
Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Variationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen erzeugen
(man beachte wieder, dass dieser Befehl nur für kleine Werte von n und k sinnvoll ist):
à VariationenOhneWiederholung@n, kD
erzeugt die Menge aller Variationen ohne Wiederholung von k aus n Dingen.
ô
Beispielsweise gilt
VariationenOhneWiederholung@4, 3D
881, 2, 3<, 81, 3, 2<, 82, 1, 3<, 82, 3, 1<, 83, 1, 2<, 83, 2, 1<, 81, 2, 4<, 81, 4, 2<,
82, 1, 4<, 82, 4, 1<, 84, 1, 2<, 84, 2, 1<, 81, 3, 4<, 81, 4, 3<, 83, 1, 4<, 83, 4, 1<,
84, 1, 3<, 84, 3, 1<, 82, 3, 4<, 82, 4, 3<, 83, 2, 4<, 83, 4, 2<, 84, 2, 3<, 84, 3, 2<<
6.6 Variationen mit Wiederholung
Bei Variationen mit Wiederholung geht es um das Auswählen von k Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen
1,2,…,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf (Ziehen mit Zurücklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, wesentlich ist.
6.6.1 Variationen mit Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von k Dingen aus n Dingen, wobei jedes
einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge ausgewählt werden, wesentlich ist, nennt man eine Variation mit Wiederholung von k aus n Dingen. Die Menge
aller Variationen mit Wiederholung von k aus n Dingen entspricht der Menge
W = 88x1 , x2 , …, xk < ˝ x1 , x2 , …, xk œ 81, 2, …, n<<
Die Liste 8x1 , x2 , …, xk < œ W beschreibt dabei die Auswahl "beim ersten Zug wird das x1 -te Ding, beim
zweiten Zug wird das x2 -te Ding, …, beim n-ten Zug wird das xn -te Ding ausgewählt".
Jede mögliche Verteilung von k § n Kugeln auf n Urnen, wobei in jede Urne auch mehrere Kugeln gelangen
dürfen, kann als Variation mit Wiederholung von k aus n Dingen interpretiert werden. Die Liste
8x1 , x2 , …, xk < œ W beschreibt dabei die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x1 -te Urne, die zweite Kugel
gelangt in die x2 -te Urne, …, die k-te Kugel gelangt in die xk -te Urne".
6.6.2 Satz: Für die Menge W aller Variationen mit Wiederholung von k aus n Dingen gilt
W = nk
ô
Beweis: Wir überlegen, auf wieviele Arten sich Listen 8x1 , x2 , …, xk < œ W bilden lassen: Für jedes der Elemente
11
06_Kombinatorik.nb
12
8 1 2
k<
k
x1 , x2 , …, xk gibt es n Möglichkeiten. Also gibt es insgesamt n derartige Listen.
Sollen beispielsweise k = 6 Kugeln auf n = 9 Urnen verteilt werden, wobei in jede Urne auch mehrere Kugel
gelangen dürfen, so gibt es dafür wegen
06_Kombinatorik.nb
13
96
531 441
genau 531 441 verschiedene Möglichkeiten.
Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Variationen mit Wiederholung von k aus n Dingen erzeugen
(man beachte wieder, dass dieser Befehl nur für kleine Werte von n und k sinnvoll ist):
à VariationenMitWiederholung@n, kD
erzeugt die Menge aller Variationen mit Wiederholung von k aus n Dingen.
ô
Beispielsweise gilt
VariationenMitWiederholung@4, 3D
881,
81,
81,
82,
82,
83,
83,
84,
84,
1,
3,
4,
2,
4,
2,
3,
1,
3,
1<, 81,
1<, 81,
4<, 82,
3<, 82,
2<, 82,
1<, 83,
4<, 83,
3<, 84,
2<, 84,
1,
3,
1,
2,
4,
2,
4,
1,
3,
2<, 81,
2<, 81,
1<, 82,
4<, 82,
3<, 82,
2<, 83,
1<, 83,
4<, 84,
3<, 84,
1, 3<, 81,
3, 3<, 81,
1, 2<, 82,
3, 1<, 82,
4, 4<, 83,
2, 3<, 83,
4, 2<, 83,
2, 1<, 84,
3, 4<, 84,
1, 4<,
3, 4<,
1, 3<,
3, 2<,
1, 1<,
2, 4<,
4, 3<,
2, 2<,
4, 1<,
81, 2,
81, 4,
82, 1,
82, 3,
83, 1,
83, 3,
83, 4,
84, 2,
84, 4,
1<, 81,
1<, 81,
4<, 82,
3<, 82,
2<, 83,
1<, 83,
4<, 84,
3<, 84,
2<, 84,
2, 2<, 81, 2, 3<, 81, 2, 4<,
4, 2<, 81, 4, 3<,
2, 1<, 82, 2, 2<,
3, 4<, 82, 4, 1<,
1, 3<, 83, 1, 4<,
3, 2<, 83, 3, 3<,
1, 1<, 84, 1, 2<,
2, 4<, 84, 3, 1<,
4, 3<, 84, 4, 4<<