N - Stephan Sigg

1- und 2-Wege QFAs
Stephan Sigg
09.12.2003
1. Einleitung und Überblick
2. Quantentheoretische Grundlagen
3. DFAs und QFAs
4. Einige bekannte Ergebnisse
5. Offene Fragen
6. Schluß
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1
Qubits
• Qubit als Analogon zum klassischen Bit
– Basiszustände |0i und |1i als Parallele zu 0 und 1

– |0i
=

1
0

 , |1i = 

0

1
– Aber auch ‘Zwischenzustände’ möglich:


|ψi = α|0i + β|1i = 
α

β
+ |β|2 = 1 und α, β ∈ C
– |||ψi|| = 1
– |α|2
• Punkt in komplexem Vektorraum mit innerem Produkt
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2
Mehrere Qubits
Verallgemeinerung auf mehrere Qubits:
Für αij
∈C:


α00

 α
 01
|ψi = α00 |00i + α01 |01i + α10 |10i + α11 |11i = 
 α10

α11
mit |||ψi||






=1
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3
Bemerkungen und Schwierigkeiten
• Beobachtung:
– Die Anzahl der Basiszustände verdoppelt sich mit jedem weiteren Qubit
• Messungen:
Pn
→ Sei |ψi = i=0 αi |qi i
– Erste Messung liefert |qi i mit Wahrscheinlichkeit |αi |2
Neuer Zustand ist |qi i
– Jede weitere Messung liefert |qi i mit Wahrscheinlichkeit 1
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4
Bausteine in Quantenschaltkreisen
• Bedingungen an die Bausteine
– Quadratische Matrix
– Unitarität : U † U
=I
– Alle Einträge aus C
– Noch weitere Einschränkungen, aber hier nicht wichtig
• Hadamard Gate als Beispiel für einen ein - Qubit Baustein:


1  1 1 
√
H=
2 1 −1
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Bausteine in Quantenschaltkreisen
• Bedingungen an die Bausteine
– Quadratische Matrix
– Unitarität : U † U
=I
– Alle Einträge aus C
– Noch weitere Einschränkungen, aber hier nicht wichtig
• Hadamard Gate als Beispiel für einen ein - Qubit Baustein:


1  1 1 
√
H=
2 1 −1
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6
Quantenbausteine
• Beispiel





1 1
α
α+β
1

 = √1 

H(α|0i + β|1i) = √ 
2 1 −1
2
β
α−β
(α + β)
(α − β)
= √
|0i + √
|1i
2
2
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7
DFAs
• M = (Q, Σ, q0 , δ, F )
– Endmarkierungen: a ; `
• Unterscheidung zwischen 1-DFAs und 2-DFAs
– 1-DFA: Kopf darf nur in eine Richtung wandern
δd : Q × Γ → Q
– 2-DFA: δd2
: Q × Γ → Q × {−1, 0, 1}
• Erkennen genau die regulären Sprachen
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8
DFAs
• Zustandsüberführung in Matrizenschreibweise
– Zustände werden durch Einheitsvektoren beschrieben
– Quadratische Matrizen
– Alle Matrixeinträge aus {0, 1}
– Jede Spalte darf nur maximal eine ’1’ enthalten
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9
Beispiel
δ(q0 , σ) = q1 und δ(q1 , σ) = q1

q0 = 

1
0

Vσ (q0 ) = 
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 ; q1 = 

0 0

1 1

Vσ (q1 ) = 


1
0

0 0
1 1

1
0

0
1

=
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
1

=

0

 = q1

0
1
 = q1
10
RFAs
• Reversible Automaten
– Spezieller DFA
– Verboten:
◦ δr (q 0 , σ) → q ∧ δr (q 00 , σ) → q
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RFAs
• Zustandsüberführung in Matrizenschreibweise
– Zustände werden durch Einheitsvektoren beschrieben
– Quadratische Matrizen
– Alle Einträge aus {0, 1}
– Permutationsmatrizen
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Beispiel
δ(q0 , σ) = q1 und δ(q1 , σ) = q0

q0 = 

1
0

Vσ (q0 ) = 
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 ; q1 = 

0 1

1 0

Vσ (q1 ) = 


1
0

0 1
1 0

1
0

0
1

=
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
1

=

0

 = q1

1
0
 = q0
13
1-QFAs
–M
= {Q, Σ, q0 , δq , Qacc , Qrej }
– Qnon
= Q \ (Qacc ∪ Qrej )
– Endmarkierungen: a ; `
– Zustände qi beschreiben Einheitsvektoren aus Cn
– Alle qi ∈ Q spannen komplexen Vektorraum auf
– Überlagerungen möglich: |ψi
=
Pn
αi |qi i
mit |||ψi|| = 1
i=1
– |ψi ist Punkt im komplexen Vektorraum
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Zustandsüberführung
– Überführungsfunktion δq
:Q×Γ×Q→C
– Auch als Überführungsmatrix Vσ
– Vσ |ψi
=
Pn
P
j=1
qi ∈Q
– Unitarität: Vσ† Vσ = I
ψj δ(qj , σ, qi )|qi i
Beispiel
δq (q0 , σ, q0 ) = α1 ; δq (q0 , σ, q1 ) = α2
δq (q1 , σ, q0 ) = α3 ; δq (q1 , σ, q1 ) = α4


α1 α2


Vσ =
α3 α4
→ RFAs sind spezielle QFAs
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15
Messungen
Für |ψi
=
Pn−1
i=0
αi |qi i
• Zustand aus Qacc wird mit Wahrscheinlichkeit
P
2
|α
|
gemessen
i
qi ∈ Qacc
– Der Automat stoppt und akzeptiert
• Analog für Qrej
P
• Zustand aus Qnon wird mit Wahrscheinlichkeit qi ∈ Qnon |αi |2 gemessen
P
– Der Automat fällt in die Überlagerung |ψneu i =
qi ∈ Qnon αi |ψi i
– |ψneu i muss noch normiert werden:
X
qi ∈ Qnon
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1
|||ψneu i||
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|ψi i
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Ablauf eines Rechenschrittes
Pn−1
= i=0 αi |qi i
– Lesen der Bandinschrift σ an Kopfposition
– Ausgangspunkt: |ψ1 i
– Anwenden der zugehörigen Überführungsfunktionen δq (qi , σ)
– Resultierende Überlagerung:
|ψ2 i =
n−1
X n−1
X
αi δ(qi , σ, qj )|qj i =
i=0 j=0
n−1
X
βi |qi i
i=1
– Messen der Überlagerung |ψ2 i
– Normieren
– Kopfbewegung
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17
Beispiel für einen 1-QFA, der Lab
= {a∗ b∗ }erkennt
• Problem:
– Überführungsmatrizen müssen unitär sein
– DFA kann deswegen nicht einfach übertragen werden
• Lösung hier:
– Zulassen eines Fehlers 1 − p mit
p3 = 1 − p ⇒ p ≈ 0.68 . . .
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18
∈ Lab = {a∗ b∗ }
Startzustand: |q0 i
Eingabe: w
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19
Gelesenes Zeichen: a
resultierende Überlagerung:
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√
1 − p|q0 i +
√
p|q1 i
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20
Gelesenes Zeichen: a
resultierende Überlagerung:
√
p
√
1 − p((1 − p)|q0 i + p(1 − p)|q1 i + p|qrej i)
√
√ p
+ p( p(1 − p)|q0 i + p|q1 i − 1 − p|qrej i)
√
√
= 1 − p|q0 i + p|q1 i
Die Amplituden vor |qrej i heben sich gegenseitig auf !
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21
Überlagerung nach dem Normieren:
√
1 − p|q0 i +
√
p|q1 i
Der QFA bleibt in dieser Überlagerung, solange a gelesen wird
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22
Gelesenes Zeichen: b
Resultierende Überlagerung:
√
1 − p|qrej i +
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√
p|q1 i
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23
Zustände qi
√
∈ Qnon :
p
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24
Nach dem Normieren:
|q1 i
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25
Gelesenes Zeichen: b
Der Zustand bleibt unverändert
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26
Gelesenes Zeichen: `
Resultierende Überlagerung:
|qacc i
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27
Insgesamt
• w ∈ Lab = {a∗ b∗ }
< 12
– QFA akzeptiert mit Wahrscheinlichkeit 1 − (1 − p) = p
– QFA verwirft mit Wahrscheinlichkeit 1 − p
• w∈
/ Lab = {a∗ b∗ }
– QFA verwirft mit Wahrscheinlichkeit p
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2-QFAs
– Kopf darf sich nach links, rechts oder gar nicht bewegen
– Überführungsfunktion δq
: Q × Γ × Q × {−1, 0, 1} → C
– Überführungsmatrix Vσ ist unitär
– Die Kopfbewegung wird durch den erreichten Zustand bestimmt :
D(qi ) = d ; d ∈ {−1, 0, 1}
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Bekannte Ergebnisse
• Ein 1-QFA kann von einem 2-RFA simuliert werden
Kondacs, Watrous (1997)
• 1-QFAs können L∗a = {a, b}∗ a nicht erkennen
Kondacs, Watrous (1997)
• 1-QFAs mit größerer Fehlerwahrscheinlichkeit können mehr Sprachen erkennen
Ambainis, Freivalds (1998);
Ambainis, Bonner, Freivalds, Golovkins, Karpinski (1999)
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30
2-QFAs sind mächtiger als 2-DFAs
• 2-QFAs können alle regulären Sprachen erkennen
– Ein 1-DFA kann von einem 2-RFA simuliert werden - Kondacs, Watrous (1997)
– Ein 2-RFA ist ein spezieller 2-QFA
• Ein 2-QFA kann die nicht-reguläre Sprache Leq = {ak bk |k ∈ N} erkennen
Kondacs, Watrous (1997)
• Es gibt einen 2-QFA, der die nicht-kontextfreie Sprache
L3eq = {am bm cm |m ∈ N} erkennt
Kondacs, Watrous (1997)
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2-QFA, der Leq
= {an bn |n ∈ N} erkennt
MN erkennt Leq = {an bn |n ∈ N} mit einseitigem Fehler ²
– N ist frei wählbar und bestimmt den Fehler ²
– für w
∈ Leq akzeptiert MN mit Wahrscheinlichkeit 1
1
– ansonsten verwirft MN mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1 − N
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32
Beweis
Phase 1: Jede Eingabe w mit w
Phase 2: Eingaben w mit w
1−
∈
/ {au bv |u, v ∈ N} wird von MN verworfen
∈ {au bv |u 6= v} werden mit Wahrscheinlichkeit
1
N verworfen
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33
33-1
33-2
33-3
33-4
33-5
Beweis - Phase 2
Wieviele Schritte benötigt jeder Pfad für w
= au bv ?
• Für jeden der N Pfade:
– Für jeden Buchstaben b werden N
− j + 2 Schritte benötigt
– Für jeden Buchstaben a werden j + 1 Schritte benötigt
– Insgesamt also: (j + 1)u + (N − j + 2)v + 1 Schritte
• Unter der Annahme j 6= j 0 gilt
u=v⇔
(j + 1)u + (N − j + 2)v + 1 =
(j 0 + 1)u + (N − j 0 + 2)v + 1
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Beweis - Phase 2
Wieviele Schritte benötigt jeder Pfad für w
= au bv ?
• Für jeden der N Pfade:
– Für jeden Buchstaben b werden N
− j + 2 Schritte benötigt
– Für jeden Buchstaben a werden j + 1 Schritte benötigt
– Insgesamt also: (j + 1)u + (N − j + 2)v + 1 Schritte
• Unter der Annahme j 6= j 0 gilt
u=v⇔
(j + 1)u + (N − j + 2)v + 1 =
(j 0 + 1)u + (N − j 0 + 2)v + 1
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Beweis - Phase 2
• Für w ∈ {au bv |u = v}:
– Jeder Pfad erreicht die Markierung a zur selben Zeit
• Andernfalls
– erreicht jeder der Pfade die linke Endmarkierung zu einem anderen Zeitpunkt
• Quanten Fourier Transformation
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Einschub: Fourier-Transformation
• Klassischer Fall
– Eingabe: x0 , . . . , xN −1 ∈ C
– Ausgabe: y0 , . . . , yN −1 ∈ C mit
N −1
1 X
yk = √
xj e2πijk/N
N j=0
• Quanten Fourier-Transformation
– Orthonormale Basis |0i, . . . , |N − 1i
– Ausgabe:
N −1
1 X 2πijk/N
|ji → √
e
|ki
N k=0
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Beweis - Phase 2
• Nach der Fourier-Transformation
– Fall 1: w ∈ Leq = {an bn |n ∈ N}:
N N
1 X X ( 2πi
e N jl) |sl , 0i
N
j=1
l=1
N
N
−1 X
N
X
2πi
1 X ( 2πi
1
N j)
(
N
=
|sN , 0i +
e
e N jl) |sl , 0i
N j=1
N
l=1 j=1
|
|
{z
}
{z
}
=1
=0
= |sN , 0i
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Beweis - Phase 2
• Nach der Fourier-Transformation
– Fall 1: w ∈ Leq = {an bn |n ∈ N}:
N N
1 X X ( 2πi
e N jl) |sl , 0i
N
j=1
l=1
N
N
−1 X
N
X
2πi
1
1 X ( 2πi
N j)
(
N
|sN , 0i +
=
e
e N jl) |sl , 0i
N j=1
N
l=1 j=1
|
|
{z
}
{z
}
=1
=0
= |sN , 0i
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Beweis - Phase 2
• Nach der Fourier-Transformation
– Fall 1: w ∈ Leq = {an bn |n ∈ N}:
N N
1 X X ( 2πi
e N jl) |sl , 0i
N
j=1
l=1
N
N
−1 X
N
X
2πi
1
1 X ( 2πi
N j)
(
N
|sN , 0i +
=
e
e N jl) |sl , 0i
N j=1
N
l=1 j=1
|
|
{z
}
{z
}
=1
=0
= |sN , 0i
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40
Beweis - Phase 2
• Falls w ∈
/ Leq = {an bn |n ∈ N} :
– Die Pfade erreichen die Markierung a einzeln
N
X 1
1 X ( 2πi
kl
)
√
√ |ri,vi i
e N
|sl , 0i +
N l=1
N
i6=k
mit vi
∈ {0 . . . N − 1}
– Für den k -ten Pfad:
N
−1
X
2πi
1 ( 2πi
1
√ e N kN ) |sN , 0i + √
e( N kl) |sl , 0i
N
N l=1
N −1
1
1 X ( 2πi
= √ |sN , 0i + √
e N kl) |sl , 0i
N
N l=1
– Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert
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Beweis - Phase 2
• Falls w ∈
/ Leq = {an bn |n ∈ N} :
– Die Pfade erreichen die Markierung a einzeln
N
X 1
1 X ( 2πi
kl
)
√
√ |ri,vi i
e N
|sl , 0i +
N l=1
N
i6=k
mit vi
∈ {0 . . . N − 1}
– Für den k -ten Pfad:
N
−1
X
2πi
1 ( 2πi
1
√ e N kN ) |sN , 0i + √
e( N kl) |sl , 0i
N
N l=1
N −1
1
1 X ( 2πi
= √ |sN , 0i + √
e N kl) |sl , 0i
N
N l=1
– Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert
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42
Beweis - Phase 2
• Falls w ∈
/ Leq = {an bn |n ∈ N} :
– Die Pfade erreichen die Markierung a einzeln
N
X 1
1 X ( 2πi
kl
)
√
√ |ri,vi i
e N
|sl , 0i +
N l=1
N
i6=k
mit vi
∈ {0 . . . N − 1}
– Für den k -ten Pfad:
N
−1
X
2πi
1 ( 2πi
1
√ e N kN ) |sN , 0i + √
e( N kl) |sl , 0i
N
N l=1
N −1
1
1 X ( 2πi
= √ |sN , 0i + √
e N kl) |sl , 0i
N
N l=1
– Insgesamt wird nur mit Wahrscheinlichkeit 1/N akzeptiert
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Offene Fragen
• QFAs mit verallgemeinerten Messungen
• Konstruktion von unterschiedlichen QFA Varianten für verschiedene Sprachen ?
• ’Pumping Lemma’ für Quantenautomaten ?
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44
Danke für die Aufmerksamkeit !
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45