Lösungen zu Übungsblatt 5

Analysis 3: Camillo de Lellis
HS 2007
Lösungen zu Übungsblatt 5
Lösung zu Aufgabe 1. (a)
• Q ist die abzählbare Vereinigung von Punkten. Punkte sind abgeschlossen. Daher ist R \ Q das Komplement einer abzählbaren
Vereinigung abgeschlossener Mengen, also ein abzählbarer Durchschnitt offener Mengen
• Die leere Menge ist offen.
• Das Intervall [0, 1] ist der Durchschnitt der offenen Intervalle (− n1 , 1 + n1 ) für
alle natürlichen Zahlen n.
• Die Funktion
e2πx cos x2 ist eine stetige Funktion in x. Ausserdem ist der
√
Punkt 3 abgeschlossen. Damit ist das Urbild auch abgeschlossen. Die in der
Aufgabe beschriebene Menge ist aber gerade das Komplement des Urbildes,
also offen.
(b)
• Q ist die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen (nämlich einpunktigen Mengen).
• Das Cantorsche Diskontinuum ist kompakt, siehe unten.
• Kompakte Mengen sind abgeschlossen, also sicher Fσ .
√
• Die Mengen Q+α 2 sind abzählbar für beliebiges α ∈ Q. Daher ist die Menge
in der Aufgabe die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen, also selbst
abzählbar. Damit ist es die abzählbare Vereinigung einpunktiger Mengen.
Lösung zu Aufgabe 2. (a) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass jede offene Menge
als die Vereinigung von Intervallen geschrieben werden kann, d. h.
O=
∞
[[
Iij ,
j∈N i=1
wobei die Intervalle Iij Würfel mit der Kantenlänge 21j sind. Nehmen wir nun das
Komplement, sehen wir, dass die abgeschlossene Menge gerade der (abzählbare)
Durchschnitt der Komplemente der Intervalle, also offener Mengen, ist.
(b) Q ist die abzählbare Vereinigung von einpunktigen Mengen. Diese sind abgeschlossen und somit nach (a) auch Gδ -Mengen. Daher ist Q eine Gδσ -Menge.
Lösung zu Aufgabe 3. (a) Wir nehmen zuerst an, dass E beschränkt ist. Dann gibt
es eine kompakte Menge C mit E ⊂ C. Da messbare Mengen von oben durch offene
Mengen approximiert werden können, finden wir zu beliebiegem ε > 0 eine offene
Menge O mit C \E ⊂ O und |O|−|C \E| < ε. Da wir |E| < ∞, folgt |O|+|E|−|C| <
ε. Wir definieren nun K := C \ O. Diese Menge ist als abgeschlossene Teilmenge
Seite 1
Analysis 3: Camillo de Lellis
HS 2007
einer kompakten Menge kompakt. Ausserdem gilt K ⊂ E und C ⊂ K ∪ O. Daher
können wir schliessen, dass
|C| ≤ |K ∪ O| ≤ |K| + |O| < |K| + |C| − |E| + ε.
Da alle auftretenden Mengen endliches Mass haben, folgt |E \ K| = |E| − |K| < ε.
Dies ist die Behauptung.
Sei nun E beliebig mit endlichem Mass. Wir verwenden hierfür den Teil (c). Dann
finden wir eine kompakte Menge K ⊂ E mit |E| < |K| + ε. Da E endliches Mass
hat, können wir dies umschreiben in |E \ K| < ε.
(b) Betrachte beispielsweise R. Jede kompakte Menge ist in einem kompakten Intervall
enthalten. Daher reicht es, kompakte Intervalle zu betrachten. Für jedes kompakte
Intervall [a, b] gilt nun aber, dass R \ [a, b] aus den zwei unbeschränkten Intervallen
(−∞, a) und (b, ∞) besteht, also unendliches Mass hat.
(c) Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit |E| > 0. Dann gibt es eine Konstante
C > 0 mit |E| > C. Wir definieren En := E ∩ B(0, n). Dann gilt Ej ⊂ Ej+1 für
alle j. Daher folgt limj→∞ |Ej | = |E|. Deshalb gibt es ein n mit |En | > C. Nun ist
En beschränkt. Also finden wir nach dem obigen Schritt (siehe (a)) eine kompakte
Menge K ⊂ En ⊂ E mit |K| > C. Daraus folgt nun aber
sup{|K| : K ⊂ E, K kompakt} > C.
Nach der beliebigen Wahl von C folgt |E| ≤ sup{|K| : K ⊂ E, K kompakt}. Die
andere Ungleichung ist klar.
Lösung zu Aufgabe 4.
(a) Die Menge A ist der Durchschnitt der Mengen En , wobei
En = {x ∈ [0, 1] : x = 0, a1 a2 a3 . . . , ai ungerade 1 ≤ i ≤ n}.
Nun ist E1 = [0.1, 0.2) ∪ [0.3, 0.4) ∪ [0.5, 0.6) ∪ [0.7, 0.8) ∪ [0.9, 1). Ausserdem ist
|E1 |e = 12 . Allgemein folgt nun induktiv, dass En die Vereinigung von 5n Intervallen
der Form [α, β) ist, wobei α = 0, a1 a2 . . . an und β = α+10−n mit ai ∈ {1, 3, 5, 7, 9}.
(Vergleiche dazu die Überlegungen zur Darstellung der Cantormenge als diejenigen
Zahlen mit bestimmter triadischer
Darstellung, siehe Aufgabe 5.) Damit erhalten
n
wir |En |e = 5n ·10−n = 12 . Wegen |E1 |e < ∞ folgt also |A|e = limn→∞ |En |e = 0.
Dann ist aber A messbar, da jede Menge mit äusserem Mass 0 Lebesgue-messbar
ist.
(b) Wir schreiben
B=
∞
[
Ai ,
i=1
wobei Ai = {x ∈ [0, 1] : x = 0, a1 a2 a3 . . . , am ungerade für m ≥ n}. Die Menge A1
ist also gerade die Menge aus (a). Wir zeigen, dass |An |e = 0 für alle n ist. Dann
Seite 2
Analysis 3: Camillo de Lellis
HS 2007
folgt wegen der σ-Subadditivität, dass |B|e = 0 und deshalb dass B messbar ist.
Sei also
∞
\
n
An =
Em
m=n+1
n
Em
n die Vereinigung von
mit
= {x : ai ungerade für n ≤ i ≤ m}. Dann ist Em
Intervallen [α, β) mit α = 0, b1 b2 . . . bn−1 an an+1 . . . am und β = α + 10−m , wobei
ai ∈ {1, 3, 5, 7, 9} und bi ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Es sind also 10n−1 · 5m−n+1 Intervalle
der Länge 10−m . Daraus folgt
m−n+1
1
n
n−m−1
m−n+1
|Em |e = 10
·5
=
→ 0 (m → ∞).
2
Also ist |An |e = 0. Damit folgt die Behauptung.
(c) Das Komplement der Menge C sind gerade die Zahlen, deren Dezimalentwicklung
ab einer bestimmten Stelle nur gerade Ziffern hat. Ersetzen wir in Teil (b) ungerade
durch gerade, so sehen wir, dass dann C c messbar ist mit |C c | = 0. Dann aber ist
auch C messbar und |C| = 1.
Lösung zu Aufgabe 5. Zuerst betrachten wir das Cantorsche Diskontinuum. Dazu
schreiben wir die Zahlen im Intervall [0, 1] in ihrer Tertiärdarstellung.
x=
∞
X
cj
, cj ∈ {0, 1, 2}.
3j
j=1
Falls diese Darstellung abbricht, das heisst, falls alle cj ab einer Stelle 0 sind und an der
letzten Stelle, die nicht 0 ist, eine 1 steht, so können wir die dazu äquivalenten Darstellung
x=
m−1
X
j=1
∞
X
cj
0
2
+
+
3j
3m
3j
j=m+1
wählen. Nun folgt aus der Konstruktion des Cantorschen Diskontinuums , dass im Schritt
von C0 zu C1 alle Zahlen entfernt werden mit c1 = 1 und allgemein im Schritt von Cn−1
zu Cn diejenigen mit cn = 1. Wir sehen also, dass wir die Menge schreiben können als


∞
X

cj
C=
, cj ∈ {0, 2} .


3j
j=1
Nun definieren wir g für x ∈ C mit der obigen Darstellung durch
g(x) :=
∞
∞
X
X
cj
aj
=
,
j+1
2
2j
j=1
j=1
wobei aj = 0, falls cj = 0 und aj = 1, falls cj = 2. Damit wird aber jede mögliche
Binärdarstellung angenommen. Also ist g surjektiv. Wir zeigen nun, dass g stetig ist.
Seite 3
Analysis 3: Camillo de Lellis
HS 2007
Offensichtlich ist sie streng wachsend. Wäre sie nicht stetig, so müsste sie eine Sprungstelle
haben. Dies aber würde der Surjektivität widersprechen. Also ist g stetig.
Wir wollen nun g stetig auf ganz R fortsetzen. Dazu berechnen wir


∞
∞
∞
∞
X
X
X
1X 1
1
1
2
1
2
=
= g
=
=
= .
g
j
j+1
j
j
3
3
2
2
4
2
2
j=2
j=2
j=2
j=0
Analog berechnen wir g( 32 ) = 21 . Wir sehen, dass wir die Funktion g zu einer Funktion
f auf ganz R stetig fortsetzen können, indem wir sie jeweils konstant in den herausgenommenen Intervallen setzen. Ausserhalb von [0, 1] setzen wir sie auch konstant 0
beziehungsweise 1.
Als nächstes betrachten wir die nicht messbare Menge A aus Aufgabe 4 auf dem letzen
Übungsblatt. Diese ist in [0, 1] enthalten. Nun gilt f −1 (A) ⊂ C. Aber C ist eine Nullmenge. Jede Teilmenge einer Nullmenge ist auch eine Nullmenge. Dann aber ist f −1 (A)
messbar, nicht jedoch A = f (f −1 (A)).
Seite 4