Kapitel 5 Kompakte Mengen

Kapitel 5
Kompakte Mengen
5.1
Charakterisierung relativ kompakter und kompakter Mengen
X sei im weiteren ein Banachraum.
Definition 5.1. Eine Menge K ⊂ X heißt kompakt, wenn aus jeder offenen Überdeckung
von K eine endliche Überdeckung ausgewählt werden kann.
Definition 5.2. Eine Menge K ⊂ X heißt relativ kompakt (oder präkompakt), wenn jede
Folge {xn } ⊂ K eine in X konvergente Teilfolge besitzt.
Beispiel 5.3. X = R, K = (0, 1) ist relativ kompakt in R (Satz von Bolzano-Weierstraß),
K ist nicht kompakt, weil
∞
[
1
(0 , 1 − )
K=
n
n=2
erlaubt keine Auswahl einer endlichen Überdeckung.
Bemerkung: Man kann auch Kompaktheit über den Folgenzugang aus Definition 5.2 definieren. Dann ist K kompakt, wenn K relativ kompakt ist und die auftretenden Grenzelemente aller konvergenten Teilfolgen selbst zu K gehören, d.h. die Menge K ist kompakt,
wenn sie relativ kompakt und abgeschlossen ist.
Definition 5.4. Eine Menge N ⊂ X heißt ε-Netz für K ⊂ X, wenn
∀ x ∈ K ∃ xε ∈ N : kx − xε k < ε.
Beispiel 5.5. X = K = R2 mit k·k = k·k2 , N = Z2 (Paare ganzer Zahlen) ist wenigstens
ein 1-Netz.
Satz 5.6 (Satz von Hausdorff). Eine Teilmenge K eines Banachraums X ist genau dann
relativ kompakt, wenn es für jedes ε > 0 ein endliches ε-Netz zu K gibt.
Folgerung 5.7. Jede relativ kompakte Menge ist beschränkt.
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Beweis. K sei relativ kompakt, wählen ε > 0. N sei endliches ε-Netz für K.
=⇒ kxk ≤ M ∀ x ∈ N =⇒ kyk ≤ M + ε ∀ y ∈ K
Beweis. vom Satz von Hausdorff
”
”
=⇒ “ Sei K relativ kompakt und ε > 0 vorgegeben. Desweiteren sei x1 ∈ K beliebig.
Wenn kx − x1 k < ε ∀ x ∈ K =⇒ N = {x1 } fertig. Ansonsten ∃ x2 ∈ K mit
kx1 − x2 k ≥ ε. Entweder N = {x1 , x2 } ist endliches ε-Netz oder ∃ x3 ∈ K mit
kx1 − x3 k ≥ ε und kx2 − x3 k ≥ ε usw.
Fall 1) Nach endlich vielen Schritten ist {x1 , x2 , . . . , xn } ein ε-Netz.
Fall 2) Prozeß bricht nicht ab =⇒ ∃ Folge {xn }∞
n=1 , xn ∈ K mit kxi −xj k ≥ ε ∀i 6= j.
Solche Folgen können keine konvergenten Teilfolgen haben =⇒ Widerspruch zur
relativen Kompaktheit von K.
⇐= “ Zu jedem ε > 0 existiere ein endliches ε-Netz Nε für K. Wählen Nullfolge εn mit
(n)
(n)
εn > 0, und Nεn = {z1 , . . . , zkn }
Es sei {xn }∞
n=1 ⊂ K eine beliebige Folge und M = {xn , n ∈ N} die Menge voneinander verschiedener xn . Ist M endlich, so muss {xn } eine konvergente Teilfolge
enthalten (trivial).
Ist M unendlich, so überdeckt wegen
M⊂
k1
[
(1)
Bε1 (zi ).
i=1
(1)
mindestens eine dieser Bε1 (zi )-Kugeln unendlich viele Elemente von M . Diese Elemente bilden die Menge T1 . Wegen
T1 ⊂
k2
[
(2)
Bε2 (zi ).
i=1
überdeckt mindestens eine dieser Kugeln unendlich viele Elemente von T1 . Diese
Elemente bilden die Menge T2 . Führt man dies fort, so erhält man die Mengen Tn
mit M ⊃ T1 ⊃ T2 ⊃ . . ..
Wir wählen xn1 ∈ T1 und finden xn2 6= xn1 mit xn2 ∈ T2 und n2 > n1 . Dazu
findet man ein xn3 ∈ T3 , n3 > n2 usw. Man zeigt, dass {xnk } wegen εn → 0 eine
Cauchyfolge ist. Die Vollständigkeit von X sichert die Existenz des Grenzwertes der
Folge.
Es gilt die folgende Verallgemeinerung:
Satz 5.8. Eine Teilmenge K eines Banachraums X ist genau dann relativ kompakt, wenn
es für jedes ε > 0 ein relativ kompaktes ε-Netz zu K gibt.
72
Beweis.
”
”
=⇒ “ Sei K relativ kompakt =⇒ ∀ ε > 0 ∃ endliches ε-Netz. Dieses ist wie alle endlichen
Mengen relativ kompakt.
⇐= “ Für alle ε > 0 existiere ein relativ kompaktes ε-Netz Nε für K. Zu gegebenem ε > 0
findet man ein relativ kompaktes 2ε -Netz N 2ε für K. Finden zu N 2ε ein endliches
ε
-Netz M 2ε . Offenbar ist M 2ε ein endliches ε-Netz für K.
2
Satz 5.9 (Satz von Heine-Borel). Im endlichdimensionalen Raum Rn ist K ⊂ Rn genau
dann relativ kompakt, wenn K beschränkt ist und genau dann kompakt, wenn K beschränkt
und abgeschlossen ist.
Beweis: findet man in vielen Analysislehrbüchern, z.B. Wendland/Steinbach, S. 70.
Definition 5.10. Ein linearer Unterraum L ⊂ X eines linearen normierten Raumes X
heißt echter linearer Unterraum, falls L 6= X gilt.
Lemma 5.11 (Lemma von Riesz über die Fastsenkrechte). Ist L ein echter linearer
Unterraum eines linearen normierten Raumes X, dann existiert zu jedem ε > 0 ein y ∈ X
mit kyk = 1 und ky − xk ≥ 1 − ε ∀ x ∈ L.
Beweis: siehe Ljusternik/Sobolev.
Bemerkung. Im Hilbertraum gilt speziell: Ist L ein abgeschlossener linearer Unterraum,
dann haben wir die Äquivalenz
y ⊥ L ∧ kyk = 1 ⇐⇒ ky − xk ≥ 1
∀ x ∈ L ∧ kyk = 1.
Satz 5.12. Ein linearer Unterraum L eines Banachraumes X ist genau dann endlichdimensional, wenn jede beschränkte Menge von L relativ kompakt ist.
Beweis.
”
”
=⇒ “ L sei endlichdimensional mit dim L = n. Dann ist L isomorph zum Raum Rn .
M ⊂ L sei beschränkt, M ⊂ L ←→ N ⊂ Rn , N beschränkt =⇒ N relativ kompakt
=⇒ M relativ kompakt (vgl. späteres Lemma 5.17)
⇐= “ Jede beschränkte Menge von L sei relativ kompakt.
Sei x1 ∈ L mit kx1 k = 1. Falls L = span{x1 } gilt, dann ist dim L = 1. Anderenfalls ist span{x1 } ein echter Unterraum von L =⇒ ∃ x2 ∈ L mit kx2 k = 1 und
kx2 − x1 k ≥ 21 . Falls L = span{x1 , x2 } gilt, dann ist dim L = 2.
Dieser Prozess bricht entweder nach n Schritten ab oder wir finden eine Folge
1
{xn }∞
n=1 ⊂ L mit kxn k = 1 ∀ n und kxi − xj k ≥ 2 (i 6= j). Damit ist die Menge der xn beschränkt und nach Voraussetzung relativ kompakt. Dies ist aber ein
Widerspruch, da keine konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann.
Satz 5.13. Die abgeschlossene Einheitskugel in einem linearen normierten Raum X ist
genau dann kompakt, wenn die Dimension des Raumes X endlich ist.
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5.2
Kompakte Mengen in C[a, b]
Definition 5.14. Sei M eine Menge von Funktionen x : [a, b] −→ R.
Die Funktionen aus M heißen gleichgradig stetig, wenn für alle Funktionen x ∈ M gilt:
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : |x(t1 )−x(t2 )| < ε sobald |t1 −t2 | < δ (δ hängt nicht ab von x).
Die Funktionen aus M heißen gleichmäßig beschränkt, wenn eine Konstante C > 0 existiert, sodass
sup |x(t)| ≤ C für alle x ∈ M.
t∈[a,b]
Beispiel 5.15. Seien c > 0 und M := {x : x(t) :=
Rt
z(s) ds, z ∈ C[a, b], |z(s)| ≤ c}.
a
Dann haben wir
• gleichmäßige Beschränktheit:
Zt
|x(t)| ≤
Zt
|z(s)| ds ≤
a
c dt ≤ (b − a) c ∀ x ∈ M, ∀ t ∈ [a, b]
a
• gleichgradige Stetigkeit (o.B.d.A. t1 < t2 )
t
Z 2
|x(t1 ) − x(t2 )| = z(s) ds ≤ (t2 − t1 ) c unabhängig von x
t1
Satz 5.16 (Satz von Arzelá-Ascoli). Eine Menge K ⊂ C[a, b] ist genau dann relativ
kompakt, wenn sie gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist.
Beweis.
”
=⇒ “ Es sei K relativ kompakt, dann folgt mit Folgerung 5.7 die gleichmäßige Beschränktheit. Gleichgradige Stetigkeit: Zu gegebenem ε > 0 existiert ein endliches 3ε -Netz
N 3ε = {x1 (t), . . . , xk (t)} zu K. Da alle xi gleichmäßig stetig sind, existiert ein δ(ε)
mit |xi (t1 ) − xi (t2 )| < 3ε falls |t1 − t2 | < δ(ε) (für alle i = 1, 2, ..., k gleichzeitig, da
es nur endlich viele Funktionen sind).
Es sei nun x ∈ K gegeben und |t1 − t2 | < δ(ε), dann gilt für das passende i
|x(t1 ) − x(t2 )| ≤ |x(t1 ) − xi (t1 )| + |xi (t1 ) − xi (t2 )| + |x(t2 ) − xi (t2 )| < ε
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
ε
ε
ε
<
<
<
3
3
3
=⇒ gleichgradige Stetigkeit.
”
⇐= “ Es seien alle Funktionen in K ⊂ C[a, b] gleichmäßig beschränkt und gleichgradig
stetig.
Sei ε > 0 vorgegeben und |x(t1 ) − x(t2 )| < ε falls |t1 − t2 | < δ(ε) für alle x ∈ K.
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Unterteilen [a, b] in n Intervalle gleicher Länge ∆ = b−a
so groß, dass ∆ < δ gilt.
n
Setzen ti := a+i ∆, i = 0, 1, . . . , n, und ordnen jedem x ∈ K eine stetige, stückweise
lineare Funktion xn = xn (x) zu:
xn (ti ) = x(ti ), i = 0, 1, . . . , n, xn linear auf (ti−1 , ti ), xn stetig.
Man überlegt sich (macht etwas Mühe), dass
max |x(t) − xn (t)| < ε
t∈[a,b]
gilt. Also ist N := {xn (x) : x ∈ K} ein ε-Netz zu K. Wir zeigen, dass N relativ
kompakt ist und damit wegen Satz 5.8 K relativ kompakt ist. Dazu betrachten wir
die Bijektion
N ⊂ C[a, b] ←→ E ⊂ Rn+1 ,
xn ←→ (xn (t0 ), . . . , xn (tn )),
welche sich als stetig erweist. Die gleichmäßige Beschränktheit |xn (ti )| ≤ c über alle
xn ∈ N folgt aus der gleichmäßigen Beschränktheit aller Funktionen aus K. Damit
ist E eine beschränkte Menge des Rn+1 .
Lemma 5.17. Ist die lineare oder nichtlineare Abbildung F : X −→ Y zwischen
den linearen normierten Räumen X und Y stetig und die Teilmenge K ⊂ X relativ
kompakt, so ist auch die Bildmenge F (K) ⊂ Y relativ kompakt.
Beweis. {yn } ⊂ F (K), mit yn = F (xn ), xn ∈ K, K ist relativ kompakt =⇒
Teilfolge {xnk } konvergiert, xnk → x für k → ∞, F stetig =⇒ ynk = F (xnk ) →
F (x) = y.
Nun ist N := F (E) das stetige Bild von E ⊂ Rn+1 . Jedoch ist E als beschränkte
Menge in Rn+1 relativ kompakt, also ist auch auch N in C[a, b] relativ kompakt.
Beispiel 5.18.
1. Für beliebige Konstanten c > 0 ist die Menge
Zt
K = {x ∈ C[a, b] : x(t) =
z(s) ds,
|z(s)| ≤ c, a ≤ t, s ≤ b}
a
relativ kompakt in C[a, b] nach dem Satz von Arzelá-Ascoli.
2. Ebenso ist für beliebige Konstanten c > 0 ist die Menge
Zt
K = {x ∈ C[a, b] : x(t) =
k(t, s) z(s) ds,
|z(s)| ≤ c, a ≤ t, s ≤ b}
a
relativ kompakt in C[a, b], wenn k eine auf [a, b] × [a, b] stetige Kernfunktion ist,
denn die Menge ist
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– gleichmäßig beschränkt:
Zt
|x(t)| ≤ M
a
|z(s)| ds ≤ M (b − a) c
| {z }
=C
mit M :=
max |k(t, s)|
(t,s)∈[a,b]2
– und gleichgradig stetig (o.B.d.A. t1 < t2 ):
t
Z 1
Zt2
|x(t1 ) − x(t2 )| = k(t1 , s) z(s) ds − k(t2 , s) z(s) ds
a
at
Z 1
Zt1
≤ k(t1 , s) z(s) ds − k(t2 , s) z(s) ds
a
a
t
Z 1
Zt2
+ k(t2 , s) z(s) ds − k(t2 , s) z(s) ds
a
a
Zt1
≤ c
Zt2
|k(t1 , s) − k(t2 , s)| ds + M
a
≤ c (b − a)
t1
|k(τ1 , η1 ) − k(τ2 , η2 )| +M c |t1 − t2 |.
{z
}
→ 0 für |t1 − t2 | → 0
max
|(τ1 ,η1 )−(τ2 ,η2 )|≤|t1 −t2 |
|
5.3
|z(s)| ds
Schwache Kompaktheit (kurzer Überblick)
Sei in diesem Abschnitt wieder X stets ein Banachraum.
Noch einmal, aber nun im Banachraum X, das Problem: Unter welchen Bedingungen
hat eine Menge M ⊂ X normkleinste Elemente oder anders formuliert wann existiert
min kxk? Im Hilbertraum hatten wir das für spezielle M bereits geklärt.
x∈M
Definition 5.19. Eine Teilmenge M eines Banachraumes X heißt relativ schwach kompakt1 ,
wenn in jeder Folge {xn }∞
n=1 ⊂ M eine schwach konvergente Teilfolge zu finden ist, d.h. es
gilt
∃ {xnk } : xnk * x, k → ∞.
Analog heißt M ∗ ⊂ X ∗ relativ schwach∗ -kompakt2 , wenn jede Folge {fn } ⊂ M ∗ eine
schwach∗ -konvergente Teilfolge enthält, d.h. es gilt
∗
∃ {fnk } : fnk * f, k → ∞.
Satz 5.20 (Satz von Banach-Alaoglu). Ist X ein separabler Banachraum, so ist jede
Kugel aus X ∗ relativ schwach∗ -kompakt.
1
2
präzise Bezeichung (auch im weiteren Text): relativ schwach folgenkompakt
präzise Bezeichung (auch im weiteren Text): relativ schwach*-folgenkompakt
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Folgerung 5.21. Ist X separabel, dann ist jede beschränkte Menge von X ∗ relativ schwach∗ kompakt.
Folgerung 5.22. Ist X separabel und reflexiv, so ist jede beschränkte Menge relativ
schwach kompakt.
Definition 5.23. Eine Menge M ⊂ X heißt schwach abgeschlossen, wenn die Implikation
{xn } ⊂ M , xn * x0 =⇒ x0 ∈ M gilt. Analog heißt M ⊂ X ∗ schwach∗ -abgeschlossen,
∗
wenn die Implikation {fn } ⊂ M , fn * f0 =⇒ f0 ∈ M gilt.
Satz 5.24. Eine konvexe und (stark) abgeschlossene Menge M ⊂ X eines linearen Raumes X ist auch schwach abgeschlossen.
Beweisskizze: M sei abgeschlossen und konvex, xn * x0 , n → ∞, xn ∈ M . Dann folgt
die Aussage aus dem Satz von Mazur:
Es existiert eine Folge zn konvexer Linearkombinationen der xn , d.h.
zn :=
kn
X
kn
X
(n)
ci x i ,
(n)
ci
= 1, ci ≥ 0 ∀ i
i=1
i=1
mit der Eigenschaft, dass diese Folgen in der Norm gegen ein Element des linearen Raum
konvergiert, d.h. zn → x0 .
Wegen der Konvexität von M gilt zn ∈ M und da M abgeschlossen ist auch x0 ∈ M .
Definition 5.25. Ein Funktional f : X −→ R heißt schwach halbstetig von unten, wenn
xn * x0 =⇒ f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ).
n→∞
Satz 5.26. Ein konvexes und (stark) stetiges Funktional f : X −→ R ist schwach
halbstetig von unten.
Beispiel 5.27. f (x) = kxk ist ein konvexes, stetiges Funktional und damit auch schwach
halbstetig von unten, d.h. xn * x0 =⇒ kx0 k ≤ lim inf kxn k.
n→∞
Bereits für Hilberträume gezeigt :
Satz 5.28. Sei X separabel und reflexiv, M ⊂ X nichtleer, abgeschlossen, konvex. Dann
besitzt M ein normkleinstes Element, d.h. ∃ x0 ∈ M mit kx0 k ≤ kxk ∀ x ∈ M .
Beweis. Wegen kxk ≥ 0 existiert α := inf kxk und ∃ {xn } ⊂ M mit kxn k → a, n → ∞.
x∈M
Wegen der Beschränktheit der Menge {xn } und mit Folgerung 5.22 gilt: ∃ {xnk } mit
xnk * x0 , k → ∞. M konvex und abgeschlossen =⇒ M ist schwach abgeschlossen =⇒
x0 ∈ M . f (x) = kxk stetig und konvex =⇒ f ist schwach halbstetig von unten und es
gilt:
α = lim kxnk k = lim inf kxnk k ≥ kx0 k.
k→∞
k→∞
Andererseits gilt aufgrund der Definition von α:
kx0 k ≥ α =⇒ kx0 k = α.
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