Abbildung durch paraxiale und meridionale Strahlen

Lichtbrechung
1
Brechungsgesetze
Fermatsches Prinzip
Nach dem Fermatschen Prinzip nimmt das Licht bei seiner Ausbreitung den Weg, zu dessen
Überwindung es die kürzeste Zeit benötigt. Daher ist im homogenen optischen Medium die
Ausbreitung des Lichtes geradlinig. Innerhalb des Mediums ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
des Lichtes von der Brechzahl n des Mediums abhängig.
Bei der Brechung (Refraktion) verläuft der einfallende und der gebrochene Lichtstrahl in der
Ebene, die durch den einfallenden Lichtstrahl und die Flächennormale, die im Auftreffpunkt des
Lichtstrahls auf der Grenzfläche zwischen den beiden Medien senkrecht steht, aufgespannt wird.
Im Vakuum mit der Brechzahl
n Vak = 1
beträgt die Lichtgeschwindigkeit
c ≈ 3 ⋅ 10 8 m/s
Im Medium mit der Brechzahl n hat das Licht folgende Ausbreitungsgeschwindigkeit
c
v=
n
Huygenssches Prinzip
Brechung eines Lichtstrahls an einer ebenen Fläche
Nach dem Huygensschen Prinzip, kann man jeden Punkt einer Wellenfront selbst als Ursprung
einer Elementarwelle ansehen. Die Überlagerung der Elementarwellen ergibt dann die
fortschreitende Wellenfront, auf der die Ausbreitungsrichtung senkrecht steht.
Trift eine ebene Welle auf die Grenzfläche zweier unterschiedlicher optischer Medien, so wird die
Welle gemäß der unterschiedlichen Brechzahlen der Medien gebrochen.
Medium mit
der Brechzahl
reflektierte
Welle
einfallende,
ebene Welle
Medium mit
der Brechzahl
n
nI
er
e
B
A
er
e
Blende
AC Wellenfront vor der
Grenzflaeche
eI
gebrochene
Welle
D
C
eI
BD Wellenfront hinter der
Grenzflaeche
Brechung und Reflexion einer Lichtwelle an einer ebenen Grenzfläche
Die Zeit t, in der das Licht die Strecke AB im optischen Medium mit der Brechzahl n und
gleichzeitig die Strecke CD im optischen Medium mit der Brechzahl n I durchläuft, beträgt unter
Beachtung der Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Brechzahl des optischen Mediums
AB
,
t =n
c
CD
.
t = nI
c
Mit den trigonometrischen Beziehungen
AB = BC sin e ,
CD = BC sin eI
erhält man das Snelliussche Brechungsgesetz
n sin e = nI sin eI ,
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
2
das zwischen dem Einfallswinkel e und dem Ausfallswinkel eI eine Beziehung herstellt, die auch
mit Hilfe des Fermatschen Prinzips gewonnen werden kann.
Bei der Reflexion der Lichtwelle gilt für den Einfallswinkel e und den Reflexionswinkel er
er = e .
Totale Reflexion tritt ein, wenn der Grenzwinkel eG überschritten wird. Für den Grenzwinkel gilt
sin eG =
n
nI
n > nI .
Brechung eines Lichtstrahls an einer konvexen sphärischen Fläche
Bei der Berechnung von Daten optischer Systeme unterscheidet man folgende Verfahren:
•
Optikrechnen
trigonometrische Berechnung für Strahlen in der Meridionalebene
• Optikrechnen
trigonometrische Berechnung für paraxiale Strahlen in der Meridionalebene
• Vektorrechnung
vektorielle Berechnung für Strahlen aus beliebigen Richtungen, auch außerhalb der
Meridionalebene
Zur Berechnung wichtiger Kenndatendaten eines Linsensystems, z.B. die Brennweite, ist das
Optikrechnen entwickelt worden. Es beruht auf der Trigonometrie. Die Besonderheit bei diesem
Verfahren ist, dass vorzeichenbehaftete Größen verwendet werden. Die Richtung vom Objekt zum
Bild ist ein Kennzeichen für eine positive Strecke, die umgekehrte Richtung ein Kennzeichen für
eine negative Strecke, und die Drehung von Winkelschenkeln im Uhrzeiger- oder
Gegenuhrzeigersinn ein Kennzeichen für einen positiven oder negativen Winkel. Um die
Besonderheit der vorzeichenbehafteten Größen herauszustellen, werden sie hier in Fettschrift
dargestellt.
Der Vorteil dieses Verfahrens liegt in der Möglichkeit, Linsensysteme mit Sammel- und
Zerstreuungslinsen schematisch durchzurechnen, ohne sich immer wieder über die
Brechungsvorgänge an den Linsenflächen Klarheit verschaffen zu müssen.
Nachteil dieses Verfahrens ist, dass nur meridionale Strahlen berücksichtigt werden können. In der
Meridionalebene liegen die Mittelpunkte der sphärischen Linsenflächen und die optische Achse.
Eine weitere Vereinfachung der Berechnung wird dadurch erzielt, dass in der Meridionalebene nur
Strahlen berücksichtigt werden, die parallel und in der Nähe der optischen Achse verlaufen. Diese
Strahlen werden als paraxiale Strahlen bezeichnet.
Die Verwendung der Vorzeichen bei den einzelnen Linsenkenndaten ist aus den folgenden
Zeichnungen zu erkennen. Die positive Richtung der entsprechenden Größe (Strecke oder Winkel)
weist immer vom Kreis zur Pfeilspitze.
Im Dreieck B ( PGPMP ) lautet der Sinussatzes unter Beachtung der Vorzeichen der Weiten, Winkel
und Radien gemäß den Regeln des Optikrechnens
sin(180o − ( + e )) ( − s ) + ( + r )
.
=
sin ( − s )
( +r )
Mit den Beziehungen
sin(180° − e ) = sin e ,
sin ( − s ) = − sin s
ergibt sich weiterhin
sin e s − r
.
=
sin s
r
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
3
Der Außenwinkel im Punkt P des Dreiecks B ( PGPMP ) beträgt
e = j + ( −s ) .
Der Höhenwinkel j des Punktes P ist demnach
j=e+s.
Im Dreieck B ( PMPBP ) lautet der Sinussatz unter Beachtung der Vorzeichen der Weiten, Winkel
und Radien
sin e I s I − r
=
r
sin sI
Der Außenwinkel im Punkt PM des Dreiecks B ( PMPBP ) entspricht dem Höhenwinkel j .
j = e I + sI
Um das Brechungsgesetz
sin e I n
=
=m
sin e n I
bei den weiteren Überlegungen verwenden zu können, müssen die beiden durch den Sinussatz
ermittelten Gleichungen durcheinander geteilt werden. Das ergibt die folgende Beziehung.
sin e I sin s s I − r
⋅
=
sin e sin sI s − r
Aus dieser Gleichung kann man eine Beziehung für die Bildschnittweite s I ableiten.
n sin s
sI = I ⋅
(s − r ) + r
n sin sI
Mit Hilfe der Außenwinkel der Dreiecke B ( PG PM P ) und B ( PM PB P ) ergibt sich für den
Neigungswinkel sI des gebrochenen Lichtstrahls gegen die optische Achse unter Beachtung der
besonderen Vorzeichenregeln die Beziehung
sI = e − e I + s .
Aus dem Sinussatz im Dreieck B ( PG PM P ) gewinnt man den Einfallswinkel e gegen das Lot.
s −r

sin s 
r


I
Den Austrittswinkel e erhält man durch die Anwendung des Brechungsgesetzes.
n s −r

eI = arcsin  I ⋅
sin s 
r
n

brechende Flaeche
e = arcsin 
Normale
(+)
(-)
e
Brechzahl n
(+)
P
j
(+)
h
s
n
(+)
e
j
S
PG
(-)
(+)
(+)
s
(-)
s
(e e )
(+)
e
(+)
s
PB
PM
s
(+)
(+)
s
r
Brechung eines Lichtstrahls an einer konvexen sphärischen Fläche
Bei einem optischen System mit mehreren brechenden Flächen wird die Brechung an jeder
einzelnen Fläche berechnet und somit der Lichtstrahl durch das ganze System vom Objekt bis zum
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
4
Bild verfolgt. Die Position der brechenden Fläche wird durch den tiefgestellten Index
k = 1, 2, 3. . . k ausgedrückt. Vor der k -ten brechenden Fläche beträgt der Einfallswinkel
s −r

ek = arcsin  k k sin sk 
 rk

und der Ausfallswinkel hinter der k -ten brechenden Fläche
n s −r

ekI = arcsin  kI ⋅ k k sin sk  .
rk
 nk

I
Der Neigungswinkel sk des Lichtstrahls gegenüber der optischen Achse hinter der k -ten
brechenden Fläche hat die Größe
skI = ek − ekI + sk .
Das führt zu der Bildschnittweite
n sin sk
s kI = kI ⋅
(sk − rk ) + rk .
nk sin skI
Die Bildschnittweite s kI kann durch die Berücksichtigung des Abstandes d k ,k +1 der brechenden
Flächen mit der Position k und k+1 über die folgende Gleichung in die Objektschnittweite s k+1
der nächsten brechenden Fläche überführt werden.
s k+1 = s k − d k,k+1
Der Neigungswinkel des Lichtstrahls gegenüber der optischen Achse bleibt zwischen den
brechenden Flächen unverändert.
sk+1 = skI
Brechung eines Lichtstrahls an einer konvexen sphärischen Fläche
Folgende Daten sind gegeben.
p
s = −12
rd
Brechzahlverhältnis
m = 0,5
Neigungswinkel des Lichtstrahls
180
s = −60 mm
Radius der brechenden Fläche r = 30 mm
Objektschnittweite
Rechnungsgang
1.
Einfallswinkel
s −r

sin s 
 r

e = 0,674 rd
 n s −r

sin s 
⋅
I
r
n

e I = 0,317 rd
e = arcsin 
2.
Austrittswinkel
e I = arcsin 
3.
4.
Neigungswinkel
skI = ek − ekI + sk
sI = 0,147 rd
Einfallshöhe h
h = 13,428 mm
Berechnung der Einfallshöhe h durch Schnittbildung der Geraden
y = x ⋅ tan( s )
mit dem Kreis
(x − s
−r
)
2
+ y2 = r
2
Brechung eines Lichtstrahls an einer Sammellinse
Folgende Daten sind gegeben.
Neigungswinkel des Lichtstrahls
s1 = −12 ⋅
Brechzahlverhältnisse
Linsendicke
Objektschnittweite
m1 = 0,5
14.5.2004
p
180
d = 40 mm
s1 = −60 mm
rd
m2 = 2
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
5
r1 = 30 mm
Radien der brechenden Flächen
r 2 = −30 mm
Rechnungsgang
1.
Einfallswinkel
 s 1 − r1
e1 = arcsin 

2.
r1

⋅ sin ( s1 ) 

e1 = 0,674 rd
Austrittswinkel

e1I = arcsin  m1

s1 − r1
sin ( s1 ) 
r1

e1I = 0,317 rd

Neigungswinkel
s1I = e1 − e1I + s1
s1I = s2
Bildschnittweite
sin ( s1 )
s1I = m1 ⋅
⋅ ( s1 − r1 ) + r1
sin s1I
3.
4.
s1I = 0,147 rd
s1I = 93,913 mm
( )
5.
Objektschnittweite
s 2 = s1I − d
Einfallswinkel
s −r

e2 = arcsin  2 2 ⋅ sin s1I 
 r2

Austrittswinkel


s −r
e2I = arcsin  m2 2 2 sin s1I 
r2


Neigungswinkel
s2I = e2 − e2I + s1I
Bildschnittweite
6.
s 2 = 53,913 mm
( )
7.
e2 = −0,422 rd
( )
8.
9.
s 2I = m2
10.
( ) (s
sin ( s )
sin s1I
I
2
2
e2I = −0,96 rd
s2I = 0,685 rd
− r2 ) + r2
s 2I = 8,854 mm
Objektbildabstand
b = s 2I − s1 + d
b = 108,851 mm
n1 = n 2
Brechzahl n1
n
P1
(+) e 1
P2
(-)s 1
h
p
S1
PG
(-)
(+) e1
(-)e2
(-) e 2
PL2
PL1
s1
S2
(+) s2
(+) s 1=(+) s2
PB
P
(+)
s1
s
r
(+) 2
(+) 1
(-)
r2
d
b
Brechung eines Lichtstrahls an einer Sammellinse
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
6
Brechung eines Lichtstrahls an einer Zerstreuungslinse
p
Neigungswinkel des Lichtstrahls
s1 = −6,5
rd
180
Brechzahlverhältnisse
m1 = 0,5
m2 = 2
Linsendicke
d = 10 mm
Objektschnittweite
s1 = −85 mm
Radien der brechenden Flächen
r1 = −40 mm
r 2 = 40 mm
Rechnungsgang
1.
Einfallswinkel
 sr

sin ( s1 ) 
 r

e1 = −0,128 rd
e1 = arcsin 
2.
Austrittswinkel

e1I = arcsin  m1
3.
4.

s1 − r1
sin ( s1 ) 
r1


Neigungswinkel
s1I = e1 − e1I + s1
s1I = s2
Bildschnittweite
sin ( s1 )
s1I = m1
( s1 − r1 ) + r1
sin s1I
s1I = −0,177 rd
s1I = −54, 431 mm
( )
5.
6.
Objektschnittweite
s 2 = s1I − d
Einfallswinkel
s −r
e2 = arcsin  2 2 sin s1I
 r2
Austrittswinkel

s −r
e2I = arcsin  m2 2 2 sin
r2

Neigungswinkel
s2I = e2 − e2I + s1I
Bildschnittweite
s 2 = −64,431 mm

( )
7.
e2 = 0,479 rd


(s )
8.
9.
s = m2
I
2
10.
( ) (s
sin ( s )
sin s1I
I
2
Objektbildabstand
b = s 2I − s1 + d
14.5.2004
2
e1I = −0,064 rd
I
1
− r2 ) + r2

e2I = 1,172 rd
s2I = −0,871 rd
s 2I = −8,202 mm
b = 86,798 mm
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
b
7
(-)
Brechzahl
n1
s2
n2
n1 = n2
(+)e2
(-) s1 (-) s2
PG
(-) e1
(-)e1
PG2
PL1
r
(-) 1
(-)
s1
(-)
s2
(-)
(+)e2
S 1 PB
S2
r
(+) 2
(-) s2
(-)s2
PL2
DL
s1
d
Brechung eines Lichtstrahls an einer Zerstreuungslinse
Berechnung von Linsenkenndaten für paraxiale meridionale Strahlen
Eine Vereinfachung der Berechnung sphärischer Linsensysteme nach dem Verfahren des
Optikrechnens ergibt sich dadurch, dass nur Lichtstrahlen in der Meridionalebene und im
paraxialen Bereich berücksichtigt werden. Paraxialstrahlen haben nur geringe Neigung und
geringen Abstand gegenüber der optischen Achse, d.h. der Neigungswinkel s des in das System
eintretenden Lichtstrahls und der Neigungswinkel sI des austretenden Lichtstrahls sind relativ
klein. Diese Einschränkung ermöglicht die Definition von charakteristischen Daten optischer
Systeme wie z.B. Brennweiten und die Lage der Hauptebenen. Die Zuordnung der Vorzeichen zu
den Winkeln, Weiten und Radien zeigen die entsprechenden grafischen Darstellungen. Eine
Schlüsselgleichung für das vereinfachte Rechenverfahren ist die Beziehung für die
Bildschnittweite.
Bei der Lichtbrechung sind für ein konvexe brechende Fläche die folgenden Gleichungen
Ausschlag gebend.
n sin s
sI = I ⋅
(s − r ) + r
n sin sI
n
m= I
n
I
s = e − eI + s
s −r

e = arcsin 
sin s 
 r

 n s −r

e I = arcsin  I ⋅
sin s 
r
n

Für sie sind noch keine Einschränkung bezüglich des Neigungswinkels s bzw. sI notwendig. Für
relativ kleine Neigungswinkel des Lichtstrahls gegenüber der optischen Achse, d.h. bei kleinem
Abstand h des Auftreffpunktes des Lichtstrahls auf die brechende Fläche von der optischen Achse,
gelten folgende Vereinfachungen.
h
sin s ≈ tan s
tan s ≈
s
sin sI ≈ tan sI
tan sI ≈
h
sI
I
 sin s  s
=
 s
s →0  sin sI 
Schließlich erhält man für die Bildschnittweite folgende Näherungsformel
lim 
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
8
1
sI =
.
n  1 1 1
 − +
nI  s r  r
Diese Beziehung wird in der Literatur auch als Schnittweitengleichung bezeichnet.
Für eine Sammellinse mit zwei brechenden Flächen ergeben sich folgende Beziehungen.
1
s1I =
n1  1 1  1
 − +
n1I  s1 r1  r1
s 2 = s1I − d
1
s 2I =
n2  1
1 1
− +
I 
n2  s 2 r 2  r 2
Für die k -te brechende Fläche ergibt sich folgende Bildschnittweite.
1
s kI =
nk  1
1 1
−
+
I 
nk  s k r k  r k
Die Objektschnittweite für die nächste Fläche beträgt dann
s k+1 = s kI − d k,k+1 .
Bei einem Linsensystem, das aus mehreren Linsen besteht, müssen die Abstände der brechenden
Flächen auf der optischen Achse nummeriert werden, um sie unterscheiden zu können.
Lichtstrahlen, die als Paraxialstrahlen parallel zur optischen Achse verlaufen, schneiden sich hinter
der Linse im Brennpunkt. Mit dieser Voraussetzung lässt sich die Bildschnittweite des
Brennpunktes definieren.
r 2 ( r1 − d (1 − m1 ) )
I
s 2F
I =
(1 − m1 ) m2 r 2 + (1 − m2 ) ( r1 − d (1 − m1 ) )
Mit den Brechzahlverhältnissen
n
n
m1 = 1I
m2 = 2I
n1
n2
(Glas)
n1 = n2I = 1
(Luft)
n1I = n2 = nL
ergibt sich die folgende Beziehung für die Bildschnittweite
r 2 ( nL r1 − d ( nL − 1) )
I
s 2F
I =
( nL − 1)  nL ( r2 − r1 ) + d ( nL − 1) 
Die Brennweite errechnet sich unter der Bedingung
s1 = ∞
durch folgende Beziehungen.
f I = s1I
fI=
s 2I
s2
nL r1r 2
( nL − 1)  nL ( r 2 − r1 ) + d ( nL − 1) 
f I = −f
Vektorielles Brechungs- und Reflexionsgesetz
Brechung eines Lichtstrahls an einer ebenen Fläche
Licht als elektromagnetische Welle kann umso mehr als Strahlenbündel betrachtet werden je
kleiner die Wellenlänge ist. Durch die Strahlenstruktur bietet sich für die Berechnung der Brechung
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
9
eines Lichtstrahls in unterschiedlich optischen Medien die trigonometrische oder die vektorielle
Betrachtungsweise an.
Der Raum, in dem sich das Licht strahlenförmig ausbreitet, wird durch ein räumliches dreiachsiges
Koordinatensystem erfasst. Dadurch wird die Verfolgung von Lichtstrahlen, die z.B. in sphärischen
optischen Systemen innerhalb und auch außerhalb der Meridionalebene liegen, ermöglicht. Der
G0
G 0I
Einheitsstrahlenvektor s des einfallenden und s des gebrochenen Lichtstrahls zeigen in die
G0
jeweilige Ausbreitungsrichtung des Lichtes. Der Einheitsnormalenvektor n steht auf der
Grenzfläche zwischen den beiden unterschiedlichen optischen Medien im Auftreffpunkt des
Strahles senkrecht und ist von der Lage des Auftreffpunktes und der Form der brechenden Fläche
abhängig. Er zeigt in das optische Medium, in das der gebrochene Strahl eintaucht.
Ausgehend vom Snelliusschen Brechungsgesetz
n sin ε = nI sin ε I
G0
G 0I
lässt sich das vektorielle Brechungsgesetz mit Hilfe der Einheitsstrahlenvektoren s und s sowie
G0
des Einheitsnormalenvektors n nach den Regeln der Vektorrechnung in folgender Weise
ableiten.
G0 G0
G0 G0
sin ε = s × n = s n sin ε
G
G
G G
sin ε I = s 0I × n0 = s 0I n0 sin ε I
Werden diese Beziehungen in das Brechungsgesetz eingesetzt, ergibt sich das Vektorprodukt
G0 G0
G 0I G 0
n s × n = nI s × n .
(
)
(
)
Um den Entwicklungssatz
G G G
G G G
G G G
a × b × c = (a c ) b − a b c
(
)
( )
anwenden zu können, wird das Vektorprodukt durch vektorielle Multiplikation mit dem
G0
Einheitsnormalenvektor n erweitert.
G0
G0 G0
G0
G
G0
n n × s ×n
= nI n × s 0I × n
(
))
(
(
))
(
Die Anwendung des Entwicklungssatzes führt zu folgender Gleichung.
G0 2 G0
G0 G0 G0
G 0 2 G 0I
G 0 G 0I G 0
n n s − n s n = nI n s − n s n
((
G0
Wegen n
( )
)
(
) ((
)
)
(
)
)
2
= 1 lässt sich die Beziehung vereinfachen.
G0
G0 G0 G0
G 0I
G 0 G 0I G 0
n s − n s n = nI s − n s n
G 0I
Die Auflösung nach dem Einheitsstrahlenvektor s und die Einführung des Brechzahlverhältnisses
n
m= I
n
G0 G0
G 0 G 0I
führt nach Umwandlung der skalaren Produkte n s und n s zum vektoriellen Brechungsgesetz.
G0 G0 G0 G0
n s = n s cos ε
G 0 G 0I G 0 G 0I
n s = n s cos ε I
(
(
) )
(
(
) )
cos ε I = 1 − sin2ε I
sin ε I = m sin ε
cos ε I = 1 − m 2 sin2 ε
(
cos ε I = 1 − m 2 1 − cos2 ε
(
G G
cos ε I = 1 − m2 1 − n0 s 0
(
)
)
2
)
(
G 0I G 0
G0 
G0 G0
G0 G0
s = s m − n  m n s − 1 − m2 1 − n s

(
14.5.2004
)
(
)
2
) 
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
10
Bei einem optischen System mit mehreren brechenden Flächen wird die Brechung an jeder
einzelnen Fläche berechnet und somit der Lichtstrahl durch das ganze System von der
Objektebene bis zur Bildebene verfolgt.
G
G
G
G G
G G
sκ0I = sκ0 mκ − nκ0  mκ nκ0 sκ0I − 1 − mκ2 1 − nκ0 sκ0 


Die Indizes κ = 1,2,3,... beziffern die in Lichtrichtung hintereinander liegenden brechenden
Flächen. Bei der Verfolgung des Lichtstrahls durch das Linsensystem muss dieser immer wieder
mit den brechenden Flächen zum Schnitt gebracht und im Schnittpunkt die Flächennormale der
brechenden Fläche ermittelt werden, damit Ein- und Ausfallswinkel ermittelt werden können.
G
Bei der Reflexion oder Spiegelung zeigt der Einheitsstrahlenvektor sr0 in die Richtung des
reflektierten Lichtstrahls.
G
G
für n I = − n oder m = −1
sr0 = −s 0I
G
G
G G G
sr0 = s 0 − 2 n0 s 0 n0
(
(
( (
)
))
)
Erfolgt die Reflexion an der κ -ten brechenden oder reflektierenden Fläche, ergibt sich folgende
Form der Reflexionsgesetzes.
G
G
G G G
sr0κ = sκ0 − 2 nκ0 sκ0 nκ0
(
)
Vektorielles Brechungs- und Reflexionsgesetz
Folgende Daten sind gegeben.
Einfallswinkel des Lichtstrahls.
e = p/ 4
Brechzahlverhältnis
m= 0,5
G0 G0
Normale der brechenden Fläche
n =x
G
G
G
Vektor des einfallenden Lichtstrahls
s 0 = x 0 cos e + y 0 sin e
Rechnungsgang
1. Vektor des gebrochenen Lichtstrahls
G 0I G 0
G0 
G0 G0
G0 G0
s = s m − n  m n s − 1 − m2 1 − n s

G 0I G 0
G
s = x 0,935 + y 0I 0,354
2. Vektor des reflektierten Strahls
G
G
G G G
sr0 = s 0 − 2 n0 s 0 n0
G
G
G
sr0 = − x 0 0,707 + y 0 0,707
(
(
)
(
(
)
2
) 
)
Brechung eines Lichtstrahls an einer sphärischen Fläche
Im Gegensatz zur Wellenoptik geht man in der Geometrischen Optik vereinfachend von der
Strahlenstruktur des Lichtes aus. Dadurch wird die mathematische Behandlung von
Lichtstrahlverläufen in optischen Systemen erleichtert. Eigenschaften optischer Systeme, die von
der Wellenstruktur des Lichtes abhängen, lassen sich allerdings geometrisch nicht ermitteln.
In der folgenden Betrachtung verläuft der Lichtstrahl in der Meridionalebene. In dieser Ebene
liegen der Objektpunkt, der Auftreffpunkt des Lichtstrahls, der Krümmungsmittelpunkt der
sphärischen Fläche und der Bildpunkt bei Abbildungen mit sphärischen Linsen. Die
Meridionalebene soll in der folgenden Betrachtung in der (x, y)-Ebene eines dreiachsigen (x, y, z)Koordinatesystems liegen.
G
Ein einfallender Lichtstrahl wird durch den Einheitsstrahlenvektor s 0 gekennzeichnet. Er weist vom
Objekt- oder Gegenstandspunkt PG , dem Koordinatenursprung des Koordinatensystems, zum
Auftreffpunkt P des Lichtstrahls aufGder brechenden Fläche. Der Mittelpunkt der brechenden
Fläche wird durch den Ortsvektor ρM bestimmt. Der Radius der brechenden Fläche beträgt r. Zur
Berechnung des Auftreffpunktes ist es notwendig, die Strahlenlänge e = PGP zwischen dem
Objektpunkt PG und dem Auftreffpunkt P zu bestimmen. Da sich die Brechung in der
Meridionalebene abspielt, kann man das Problem auf den Schnitt einer Geraden mit einem Kreis
zurückführen. Die Kreisgleichung lautet
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
G
Lichtbrechung
G
11
( ρ Kreis − ρ M )2 = r 2 .
Die vektorielle Geradengleichung lautet
G
G
ρGerade = s 0e .
Die Gerade verkörpert den Lichtstrahl. Der Faktor e hat bei der Ermittlung des Schnittpunktes die
Funktion eine
. Im Schnittpunkt muss gelten
G s Parameters
G
ρ Kreis = ρ Gerade
Das führt zu einer Bestimmungsgleichung für die Entfernung e
G
G 2
s 0 e − ρM = r 2 ,
G
aus der man unter Beachtung von (s 0 ) 2 = 1 die Strahlenlänge e berechnen kann.
G 2
G G
e2 − 2es 0 ρM + ( ρ M ) − r 2 = 0
G G
G G
G
e = s 0 ρM ± (s 0 ρM )2 − ( ρM )2 + r 2
Bei konvexen brechenden Flächen gilt für die Wurzel das negative Vorzeichen. Zum Auftreffpunkt
P des einfallenden Lichtstrahls gehört der Ortsvektor
G G
ρ = s 0e .
G0
Der Einheitsnormalenvektor n der brechenden Fläche im Auftreffpunkt P zeigt in das Gebiet, in
das der gebrochene Strahl eintaucht. Im vorliegenden Beispiel trifft der Lichtstrahl auf eine
konvexe Fläche.
G
G
G 0 ρM − ρ
n =
r
Der Einfallswinkel ε des Lichtstrahls beim Auftreffen auf die brechende Fläche lässt sich mit Hilfe
G G
des skalaren Produkts n0 s 0
G G
ε = arccos(n0s 0 )
(
)
berechnen. Der Ausfallswinkel ε I lässt sich über das Snelliussche Brechungsgesetz ermitteln.
G G
ε I = arcsin(m n0s 0 )
G
Der Einheitsstrahlenvektor s 0I hinter der brechenden Fläche errechnet sich aus folgender
Beziehung.
G 0I G 0
G0 
G0 G0
G0 G0 2 
s = s m − n  m n s − 1 − m2 1 − n s



Der durch diesen Einheitsstrahlenvektor charakterisierte Lichtstrahl schneidet die optische Achse
im Bildpunkt PB . Die Länge des Lichtstrahls zwischen dem Auftreffpunkt P und dem Bildpunkt PB
beträgt
(
)
(
(
)
)
G
eB
(ρ)
=− G
(s )
y
0I
,
y
wobei die durch den Index y gekennzeichneten Vektoren deren y-Komponente (Ordinate) gemeint
ist. Für die Lage (Abszisse) des Bildpunktes PB auf der optischen Achse bekommt man dann
folgenden Ausdruck
G
G
xB = ρ + eBs 0I
Der Strahl verläuft in der in der Meridionalebene, d.h. in der (x, y)-Ebene des räumlichen (x, y, z)Koordinatensystems.
Verlauf eines Lichtstrahls in einer sphärischen Sammellinse
In der nachfolgenden Betrachtung wird die Brechung eines Meridionalstrahls in einer sphärischen
Linse mit Hilfe der Vektorrechnung untersucht. Da jetzt mehrere brechenden Flächen vorhanden
sind, müssen alle Größen, die sich auf jeweils eine bestimmte Fläche beziehen, nummeriert
werden.
G
Ein einfallender Lichtstrahl wird durch den Einheitsstrahlenvektor s10 gekennzeichnet. Er weist vom
Objekt- oder Gegenstandspunkt PG zum Auftreffpunkt P1 des Lichtstrahls auf die brechende
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
G
12
Fläche. Der Mittelpunkt der ersten brechenden Fläche wird durch den Ortsvektor ρM1 und der
G
zweiten brechenden Fläche durch den Ortsvektor ρ M2 bestimmt. Die Radien der brechenden
Flächen betragen r1 und r2 . Zur Berechnung des ersten Auftreffpunktes ist es notwendig die
Strahlenlänge e1 = PGP1 zwischen dem Objektpunkt PG und dem Auftreffpunkt P1 zu bestimmen.
Da sich die Brechung in der Meridionalebene abspielt, kann man das Problem auf den Schnitt
einer Geraden mit einem Kreis zurückführen.
Die folgende Betrachtung ist ähnlich der im Kapitel Brechung eines Lichtstrahls an einer
sphärischen Fläche.
Bei gegebenem Azimut χ G und Zenitwinkel ψ G im Objekt- oder Gegenstandpunkt beträgt der
Einheitsstrahlenvektor
G
G
G
G
s10 = x 0 sinψ G cos χ G + y 0 sinψ G cos χ G + z 0 cosψ G .
Die Entfernung zwischen dem Objekt- oder Gegenstandspunkt beträgt
G 2
G G
G G 2
e1 = s10 ρM1 − s10 ρM1 − ( ρM1 ) + r12 .
(
)
Der Ortsvektor im Auftreffpunkt des Lichtstrahls auf der ersten brechenden Fläche hat folgende
Größe.
G G G
ρ1 = ρG + s10e1
Der Einheitsnormalenvektor im Auftreffpunkt P1 ist
G
G
G
ρ − ρ1
n10 = M1
.
r1
Einfalls- und Ausfallswinkel im Auftreffpunkt betragen
G G
ε1 = arccos(n10s10 )
G G
ε 1I = arcsin m1 n10s10
(
)
Der Einheitsstrahlenvektor hinter der ersten brechenden Fläche beträgt
G
G
G 
G G
G G 2 
s10I = s10m1 − n10  m1 n10s10 − 1 − m12 1 − n10s10 


G
Der Einheitsstrahlenvektor s20 des auf die zweite brechende Fläche einfallenden Lichtstrahls
beträgt
G
G
s20 = s10I
Zur Berechnung des Auftreffpunktes P2 in der zweiten brechenden Fläche ist es notwendig, die
Strahlenlänge e2 zwischen den Auftreffpunkten P1 auf der ersten und P2 auf der zweiten
brechenden Fläche zu bestimmen. Da der Lichtstrahl in der Meridionalebene liegt, muss er mit
dem Kreis, der in dieser Ebene die brechende Fläche darstellt, zum Schnitt gebracht werden. Die
Berechnung geschieht nach der gleichen Methode wie im Kapitel Brechung eines Lichtstrahls
an einer sphärischen Fläche. Der Index muss entsprechend der Nummerierung der brechenden
Fläche eingesetzt werden.
G G
G G
G
e2 = s20 ρM1 + (s20 ρM1 )2 − ( ρM2 )2 + r22
(
)
(
(
)
)
Zum Auftreffpunkt P2 gehört der Ortsvektor
G G G
ρ2 = ρ1 + s20e2
G
Der Einheitsnormalenvektor n 20 der zweiten brechenden Fläche im Auftreffpunkt P2 lautet
G G
G 0 ρ2 − ρ M2
n2 =
.
r2
Einfalls- und Ausfallswinkel im Auftreffpunkt P2 betragen
G G
ε 2 = arccos(n20s20 ) ,
G G
ε 2I = arcsin m2 n20s20 .
(
)
Der Einheitsstrahlenvektor hinter der zweiten brechenden Fläche errechnet sich aus der folgenden
Beziehung
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
(
13
)
G
G
G 
G G
G G 2 
s 20I = s 20m2 − n20  m2 n20s 20 − 1 − m22 1 − n20s 20  .


Nach dem Verlassen der Linse schneidet der Lichtstrahl die Auffangebene. Wenn der Schnittpunkt
des Lichtstrahls mit der optischen Achse in der Auffangebene liegt, tritt eine Fokussierung aller
Lichtstrahlen ein, die ausgehend vom Gegenstandspunkt unter dem gleichen Neigungswinkel
gegen die optische Achse auf die erste brechende Fläche der Linse fallen. Die Entfernung
zwischen dem Auftreffpunkt P2 in der zweiten brechenden Fläche und dem Bildpunkt PB auf der
optischen Achse beträgt
(
)
(
)
G
( ρ2 ) y
eB = − G 0I
s2
( )
,
y
wobei die Klammer mit dem tiefgestellten Index y die y-Komponente des Vektors symbolisiert.
Der Schnittpunkt des austretenden Lichtstrahls mit der optischen Achse lässt sich in folgender
Weise ermitteln.
G
G
G
ρB = ρ2 + eBs20I
y
Brechzahl n1
P1 0I
s1
e1
s10
n10
e1I
e2
c
PG
PM2
xM2
n 2I
n1I = n2
s10I = s20
r2
P2
s 20I
n20
e2I
PB
PM1
PB1 x
r1
xM1
Verlauf eines Lichtstrahls in einer sphärischen Sammellinse
Folgende Daten sind gegeben.
G
Einheitsstrahlenvektor s10
Azimut χ = 12°
Zenitwinkel ψ = 90°
Brechzahlverhältnisse
m1 = 0,5
m2 = 2
Mittelpunkte der brechenden Flächen
xM1 = 90 mm
xM2 = 70 mm
Radien der brechenden Fläche
r1 = 30 mm
r2 = 30 mm
Objekt- oder Gegenstandspunkt
xG = 0
yG = 0
zG = 0
Der Lichtstrahl verläuft in der Meridionalebene der Linse und in der (x, y) -Ebene des
Koordinatensystems
Rechnungsgang
1. Einheitsstrahlenvektor
G
G
G
G
s10 = x 0 sinψ G cos χ G + y 0 sinψ G cos χ G + z 0 cosψ G
s1x = 0,978
2. Strahlenlänge
G G
e1 = s10 ρM1 −
s1y = 0,208
G0 G
(s
1
G
s1z = 0
ρM1 ) − ( ρM1 ) + r12
2
2
e1 = 64,584 mm
3. Auftreffpunkt in der ersten brechenden Fläche
G G G
ρ1 = ρG + s10e1
x1 = 63,173 mm
4. Einheitsnormalenvektor
14.5.2004
y1 = 13, 428 mm
z1 = 0
Brechungsgesetze.doc
G
n10 =
G
Lichtbrechung
G
14
ρM1 − ρ1
r1
n1x = 0,894
5. Einfallswinkel
G G
ε1 = arccos(n10s10 )
ε1 = 38,589°
6. Ausfallswinkel
G G
ε 1I = arcsin m1 n10s10
(
n1y = −0,448
n1z = 0
)
ε = 18,172°
I
1
7. Einheitsstrahlenvektor
G
G
G 
G G
G G
s10I = s10m1 − n10  m1 n10s10 − 1 − m12 1 − n10s10

s2x = 0,989
s2y = −0,146
(
(
)
(
)
2
) 
G
G
s10I = s20
s2z = 0
8. Strahlenlänge
G G
G G
G
e2 = s20 ρM1 + (s20 ρM1 )2 − ( ρM2 )2 + r22
e2 = 36,089 mm
9. Auftreffpunkt
G G G
ρ2 = ρ1 + s20e2
x2 = 98,873 mm
10. Einheitsnormalenvektor
G G
G
ρ − ρ M2
n20 = 2
r2
n2x = 0,962
11. Einfallswinkel
G G
ε 2 = arccos(n20s20 )
ε 2 = 24,171°
12. Ausfallswinkel
G G
ε 2I = arcsin m2 n20s20
(
y2 = 8,145 mm
z2 = 0
n2y = 0,271
n2z = 0
)
ε = 54,977°
I
2
13. Einheitsstrahlenvektor
G
G
G 
G G
G G
s 20I = s 20m2 − n20  m2 n20s 20 − 1 − m22 1 − n20s 20

I
I
s2x = 0,775
s2y
= −0,632
(
(
)
(
)
2
) 
I
s2z
=0
14. Entfernung des Bildpunktes
G
( ρ2 ) y
eB = − G 0I
s2
( )
eB = e2I
y
eB = 12,88 mm
15. Bildpunktabstand
G
G
G
ρB = ρ2 + eBs20I
xB = 108,851 mm
yB = 0
zB = 0
Verlauf eines Lichtstrahls in einer sphärischen Zerstreuungslinse
Gegenüber der Berechnung des Strahlenverlaufs in einer Sammellinse ergeben sich hier bei den
G
Berechnungsformeln der Strahlenlängen eκ und der Einheitsnormalenvektoren nκ0 , ( κ = 1, 2
Flächennummerierung) Unterschiede, die sich aus der Form der brechenden Flächen ergeben,
d.h. ob sie vorgewölbt oder eingebuchtet sind.
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
G G
e1 = s10 ρM1 +
G
n10 =
G
G
1
G
ρM1 ) − ( ρM1 ) + r12
2
2
ρ1 − ρM1
r1
G G
e2 = s20 ρM2 −
G
n20 =
G0 G
(s
15
G
G
G0 G
(s
2
G
ρM2 ) − ( ρM2 ) + r22
2
2
ρM2 − ρ2
r2
DL
y
Brechzahl n1
s10
c
e1I
0I
P1 s1
s20I
P2
n20
e2I
e2
n10
PB1
PG
n2I
n1I = n2
s10I = s20
PM2 x
PB
PM1
e1
r1
xM1
r2
xM2
Verlauf eines Lichtstrahls in einer sphärischen Zerstreuungslinse
Folgende Daten sind gegeben.
G
Einheitsstrahlenvektor s10
Azimut χ = 6,5°
Zenitwinkel ψ = 90°
Brechzahlverhältnisse
m1 = 0,5
m2 = 2
Mittelpunkte der brechenden Flächen
xM1 = 45 mm
xM2 = 135 mm
Radien der brechenden Fläche
r1 = 40 mm
r2 = 40 mm
Objekt- oder Gegenstandspunkt
xG = 0
yG = 0
zG = 0
Der Lichtstrahl verläuft in der Meridionalebene der Linse und in der (x, y) -Ebene des
Koordinatensystems
Rechnungsgang
1. Einheitsstrahlenvektor
G
G
G
G
s10 = x 0 sinψ G cos χ G + y 0 sinψ G cos χ G + z 0 cosψ G
s1x = 0,994
2. Strahlenlänge
G G
e1 = s10 ρM1 +
s1y = 0,113
G0 G
(s
1
G
s1z = 0
ρM1 ) − ( ρM1 ) + r12
2
2
e1 = 84,385 mm
3. Auftreffpunkt in der ersten brechenden Fläche
G G G
ρ1 = ρG + s10e1
x1 = 83,843 mm
4. Einheitsnormalenvektor
G G
G 0 ρ1 − ρM1
n1 =
r1
n1x = 0,971
y1 = 9,553 mm
z1 = 0
n1y = 0,239
n1z = 0
5. Einfallswinkel
14.5.2004
Brechungsgesetze.doc
Lichtbrechung
16
G G
ε1 = arccos(n10s10 )
ε1 = 7,317°
6. Ausfallswinkel
G G
ε 1I = arcsin m1 n10s10
(
)
ε = 3,651°
I
1
7. Einheitsstrahlenvektor
G
G
G 
G G
G G
s10I = s10m1 − n10  m1 n10s10 − 1 − m12 1 − n10s10

s 2x = 0,984
s 2y = 0,176
(
8. Strahlenlänge
G G
e2 = s20 ρM2 −
G0 G
(s
2
G
(
)
2
) 
G
G
s10I = s20
s2z = 0
ρM2 ) − ( ρM2 ) + r22
2
e2 = 13,168 mm
9. Auftreffpunkt
G G G
ρ2 = ρ1 + s20e2
x2 = 96,804 mm
10. Einheitsnormalenvektor
G
G
G 0 ρM2 − ρ2
n2 =
r2
n2x = 0,955
11. Einfallswinkel
G G
ε 2 = arccos(n20s20 )
ε 2 = 27,438°
12. Ausfallswinkel
G G
ε 2I = arcsin m2 n20s20
(
(
)
2
y2 = 11,877 mm
z2 = 0
n2y = −0,297
n2z = 0
)
ε 2I = 67,160°
13. Einheitsstrahlenvektor
G
G
G 
G G
G G
s 20I = s 20m2 − n20  m2 n20s 20 − 1 − m22 1 − n20s 20

I
I
s2x = 0,644
s2y
= 0,765
(
(
)
(
)
2
) 
I
s2z
=0
14. Entfernung des Bildpunktes
G
( ρ2 ) y
eB = − G 0I
s2
( )
y
eB = −15,53 mm
15. Bildpunktabstand
G
G
G
ρB = ρ2 + eBs20I
xB = 86,798 mm
14.5.2004
yB = 0
zB = 0
Brechungsgesetze.doc