Aufgaben zu Messfehlern

Aufgaben zu Messfehlern
1. Aufgabe
Ein Spannungsmesser zeigt 135V, das sind 2,5% zuviel . Wie groß ist der absolute Fehler und
der wahre Wert ?
2. Aufgabe
Ein Spannungsmesser zeigt an einer Eichspannungsquelle Uq=1,000V 1,5% zu wenig an .
a) Welcher Messwert wird angezeigt ?
b) Wie groß ist der absolute Fehler ?
3.Aufgabe :
Sie messen eine Spannung mit 3 verschiedenen Voltmetern und bekommen folgende
Ergebnisse :
1. Voltmeter : 7,3V
2. Voltmeter : 7,26V
3. Voltmeter : 7,48V
Die Geräte haben folgende Daten :
1.Voltmeter : Klasse 1.5 , Messbereich 20V
2.Voltmeter : Klasse 0.5 , Messbereich 10V
3. Voltmeter : Klasse 1, Messbereich 20V
In welchem Bereich kann die tatsächliche Spannung liegen ?
4.Aufgabe
Sie sollen an einem Messpunkt eine Spannung von 5,3V mit einer Abweichung von max. +/1% einstellen . Welche Geräteklasse muss ein Voltmeter mit 10V-Bereich besitzen, damit
dies zuverlässig gelingt ?
Können Sie mit dem gleichen Messgerät auch 3,7V /+/-1% einstellen ?
5. Aufgabe
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Sie wollen den Strom in einem Stromkreis mit zwei Widerständen dadurch bestimmen , dass
Sie die anliegende Spannung über beiden Widerstand messen und das ohmsche Gesetz
anwenden . – Der Innenwiderstand des Messgerätes sei vernachlässigbar . Die Widerstände
sind 7,5 kΩ , E12 ( 10%) und 18kΩ , E24 (5%) . Sie messen mit einem Voltmeter der Klasse
0.5 eine Spannung von 3,4V im 10V-Bereich .
Mit welchem relativen Fehler ist für den Strom zu rechnen ?
6.Aufgabe
Sie nehmen eine Messreihe auf mit 10 Werten :
5,45V 5,78V 3,94V 5,04V 5,50V 5,65V 6,03V 5,43V 5,33V 5,48V .
Bestimmen Sie den Mittelwert und die empirische Standardabweichung . Welche statistische
Sicherheit haben Sie, dass Messwerte im Bereich von +/-0,1V um den „wahren Wert“ liegen ?
( Nehmen Sie Mittelwert als Erwartungswert und die empir. Standardabweichung für σ. )
Wie verändert sich die Sicherheit, wenn Sie den Median als Erwartungswert nehmen ?
7.Aufgabe
Sie überwachen die Fertigung von 10kΩ – Widerständen , die mit einer Toleranz von 2%
hergestellt werden . Welchen Qualitätswert σ müssen Sie fordern , damit von einer 5000-er
Rolle höchstens 10 Widerstände außerhalb der Toleranzgrenze liegen ?
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Lösung 1. Aufgabe :
135V =ˆ 102,5%
x =ˆ 100%
135V ⋅ 100%
⇒x=
= 131,7V
102,5%
absoluter Fehler : F= 135V-131,7V=3,3V
Lösung 2. Aufgabe:
a)
x − 1,000V
1,000V
⇒ −1,5% ⋅ 1,000V = x − 1,000V
⇒ x = 1,5% ⋅ 1,000V + 1,000V = 0,985V
− 1,5% =
b)
F=0,985V-1,000V=-0,015V
Lösung 3.Aufgabe :
1.Voltmeter hat Klasse 1.5 , d.h. +/- 1,5% vom Messbereichsende als Fehler
bei 20V Messbereich beträgt der max.Fehler +/- 0,3V , die gemessenen 7,3V
bedeuten also einen Bereich von 7,0...7,6V
2.Voltmeter hat Klasse 0.5 , d.h. +/-0,5% vom Messbereichsende als Fehler
bei 10V Messbereich beträgt der max. Fehler +/- 0,05V , die gemessenen
7,26V bedeuten also einen Bereich von 7,21..7,31V
3.Voltmeter hat Klasse 1 -> max.Fehler beträgt +/- 0,2 V -> Bereich 7,28V..7,68V
Daraus folgt also durch Vergleich der drei Toleranzbereiche , dass der Messwert zwischen
7,28V ... 7,31V liegen muss.
Lösung 4.Aufgabe :
Die zulässige Toleranz ist 5,3V * 0,01 = 0,053V . Sie dürfen also im 10V-Bereich max. +/0,053V Fehler zulassen
G = ( F/ xE ) * 100% = 100% * 0,053V / 10V = 0,53 -> die Klasse muss mind. 0.5 sein .
Die Einstellung von 3,7V gelingt nicht, da der zulässige Fehler überschritten wird.
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Lösung 5.Aufgabe :
Klassenfehler 0.5% bei 10V -> +/-0,05V , damit ist der absolute Fehler +/- 0,05V
Der rel. Fehler beträgt fR = F/x = +/- 0,05V / 3,4V => +/- 1,47%
Die Berechnung des Stromes erfolgt per ohmschem Gesetz I = U/(R1+R2)
Zuerst berechne ich also den Fehler bei der Addition R1 + R2 :
FR1 = +/- 0,75k
FR2 = +/- 0,9k
=>
R1+R2 = 25,5k +/- 1,65k
Daraus der rel. Fehler fR = F/R = 1,65k/25,5k = 0,0647 -> 6,47%
Jetzt kann der max.rel. Gesamtfehler bestimmt werden
fmax = +/- ( |1,47%| + |6,47%|) = 7,94 % für den berechneten Strom
Lösung Aufgabe 6:
Mittelwert :
1 10
1
U i = (5,45V + 5,78V + 3,94V + 5,04V + 5,50V + 5,65V + 6,03V + 5,43V + 5,33V + 5,48V)
∑
10 i =1
10
= 5,363V
U =
s=
1 10
∑ (U i − U )²
10 − 1 i =1
1
2
⋅ (5,45V − 5,36V ) + (5,78V − 5,36V )² + ... + (5,48V − 5,36V )²
10 − 1
= 0,565V
=
[
]
Grenzwert ∆U=+/-0,1V
s=σ=0,56V=5,6*∆U
Die Grenze ∆U entspricht dem Wert von 1/5,6 * σ = 0,179∗σ
aus der Tabelle ergibt sich daraus ein Wert von besser als 15,9% (0,2σ)
( Für eine genauere Aussage müsste man das Integral über die Dichtefunktion mit den
Grenzen –σ und +σ bilden )
Setzt man anstelle des Mittelwertes den Median ein , führt das zum Wert ;
3,94V 5,04V 5,33V 5,43V 5,45V 5,48V .5,50V 5,65V 5,78V 6,03V .
Dieser Wert ( 5,45V oder 5,48V, da Anzahl geradzahlig) liegt höher als der Mittelwert
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Auswirkung auf die Standardabweichung s, wenn der höhere Wert U=5,48V genommen wird:
s=0,578V
Daraus folgt für die Grenze +/−0,1 = 0,173σ kein wesentlich anderer Wert für die statistische
Sicherheit
Lösung Aufgabe 7:
2% von 10kΩ : ∆Rmax = 10kΩ * 0,02 = 200Ω
10 von 5000 Widerständen = 0,2%
=> 99,8% der Widerstände müssen im Bereich 10kΩ+/-200Ω liegen
Aus der Tabelle ergibt sich für 99,8% der Wert +/-3σ ( 99,7%) als nächstliegender Wert
d.h. also 200Ω = 3σ => σ=200/3Ω
Es muss ein Wert für σ= 66,67Ω gefordert werden.
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