3. ¨Ubung (KW 19/20)

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Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013
— Lösungen —
3. Übung (KW 19/20)
3. Übung (KW 19/20)
Aufgabe 1
(T 4.5 Carnot-Wärmekraftmaschine“)
”
Eine Carnot-Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen den Temperaturen Th und
Tt . Während der isothermen Expansion vergrößert sich das Volumen von VA auf VB .
Der Arbeitsstoff ist Luft der Masse m.
(a) Welche Arbeit W gibt die Maschine in einer Periode ab?
(b) Welches maximale Volumen nimmt das Gas während des Prozesses an?
(c) Berechnen Sie das Verhältnis aus größtem und kleinstem Druck (pmax/pmin )!
Th = 580 K, Tt = 290 K, VA = 1.13 l, VB = 11.3 l, m = 0.1 kg, Mr = 29, κ = 1.40
Aufgabe 2
(T 4.4 Nutzeffekt“)
”
Einer Maschine, die nach dem Carnot-Prozess arbeitet, wird bei tiefer Temperatur
ϑ2 eine Wärme |Q2 | zugeführt. Bei hoher Temperatur ϑ1 wird |Q1 | abgeführt.
(a) Zu welchem Zweck kann die Maschine eingesetzt werden?
(b) Man berechne die Arbeit W für eine Periode! Wie wird sie im p(V )-Diagramm
veranschaulicht?
(c) Durch welche Beziehungen wird der Nutzeffekt der Maschine beschrieben, und
wie groß ist er?
(d) Wie errechnet sich ϑ1 , wenn ϑ2 , |Q1 | und |Q2 | gegeben sind?
(e) Wie groß ist die Masse des Gases, mit dem die Maschine arbeitet? Es ist bekannt, dass sich das Gas (Wasserstoff) bei der tiefen Temperatur von Va auf Vb
ausdehnt.
ϑ2 = 20 ◦C, |Q1 | = 921 kJ, |Q2 | = 837 kJ, Va = 100 l, Vb = 200 l, Mr (H2 ) = 2
Aufgabe 3
(T 4.7 Kältemaschine“)
”
Eine Kältemschine wird von einem Motor der Leistung P angetrieben. Das Kältegefäß besitzt die Temperatur ϑ2 , das Kühlgefäß die Temperatur ϑ1 . Wie groß ist die
Masse m des Eises der Temperatur ϑ2 , das die Maschine stündlich aus Wasser der
Temperatur ϑ3 liefert, wenn man voraussetzt, dass sie nach einem Carnot-Prozess
arbeitet?
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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3. Übung (KW 19/20)
P = 10 kW, ϑ1 = 30 ◦C, ϑ2 = −18 ◦C, ϑ3 = 20 ◦C,
qf = 332 kJ kg−1 (Schmelzwärme des Eises)
cE = 2.09 kJ kg−1 K−1 (spezifische Wärmekapazität des Eises)
cW = 4.19 kJ kg−1 K−1 (spezifische Wärmekapazität des Wassers)
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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3. Übung (KW 19/20)
Lösung zu Aufgabe 1
(a) Die pro Zyklus von der Maschine verrichtete Arbeit W ließe sich anhand des
Wirkungsgrades η berechnen, falls die vom oberen Wärmereservoir aufgenommene
Wärmemenge Qh bekannt wäre:
η=
W
Qh
⇐⇒
W = ηQh .
(1.1)
Da unsere Maschine nach dem Carnot-Prozess arbeitet, beträgt ihr Wirkungsgrad
η=
Th − Tt
,
Th
was in (1.1) eingesetzt wird:
W =
Th − Tt
Qh .
Th
(1.2)
Um die noch fehlende Wärmemenge Qh zu ermitteln, betrachten wir die Einzelprozesse des Carnot-Prozesses, der aus einer isothermen Expansion, einer adiabatischen Expansion, einer isothermen Kompression und einer adiabatischen Kompression besteht. Während der beiden adiabatischen Zustandsänderungen wird (per
Definition) gar keine Wärme transportiert, d. h. nur während der bei der hohen
Temperatur durchgeführten isothermen Expansion wird dem oberen Temperaturbad Wärme entnommen. Da hierbei die Temperatur und damit die Innere Energie
konstant bleiben, gilt 0 = ∆U = Qh − Wh , d. h.
Qh = Wh .
(1.3)
Die Volumenarbeit, die das Gas dabei verrichtet errechnen wir mit dem entsprechenden Integral zu
ZVB
ZVB
νRTh
VB
Wh = dV p(V ) = dV
.
= νRTh ln
V
VA
VA
(1.4)
VA
Jetzt müssen wir noch die Stoffmenge ν durch die Masse m ausdrücken. Dies geschieht über die molare Masse Mm :
m
m
m
m
Mm =
⇐⇒ ν =
=
· mol g−1
(1.5)
−1 =
ν
Mm
Mr · g mol
Mr
Die Gleichungen (1.2) – (1.5) setzen wir ineinander ein und erhalten das gewünschte
Ergebnis
VB m
W = R (Th − Tt ) ln
· mol g−1
VA Mr
11.3 l
0.1 kg
−1 −1
= 8.314 J mol K · (580 K − 290 K) · ln
·
· mol g−1
1.13 l
29
= 19.1 kJ .
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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(b) Das Gas erreicht sein maximales Volumen VC am Ende der adiabatischen Ausdehnung, bevor es isotherm komprimiert wird. Der Zustand B am Anfang der adiabatischen Ausdehnung ist vollständig bekannt: Temperatur Th und Volumen VB sind
gegeben und Druck pB lässt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases bestimmen. Vom Zustand C hingegen ist vorläufig nur dessen Temperatur Tt bekannt.
Um das gesuchte VC zu ermitteln, wenden wir die Zustandsgleichung des idealen
Gases auf die beiden Zustände B und C an und verknüpfen diese beiden Zustände
mit Hilfe der Adiabatengleichung:
pB VB = νRTh
pC VC = νRTt
pB VBκ = pC VCκ .
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Die Gleichungen (1.6) – (1.8) bilden zusammen ein Gleichungssystem für die drei
Unbekannten pB , pC und VC . Wir lösen es, indem wir (1.6) und (1.7) jeweils nach p
auflösen und in (1.8) einsetzen:
νRTh κ νRTt κ
V =
V
VB B
VC C
⇐⇒ Th VBκ−1 = Tt VCκ−1
1
κ−1
Th
⇐⇒ VC =
VB .
Tt
(1.9)
Das größte vom Gas beanspruchte Volumen beträgt somit
VC =
580 K
290 K
1
1.40−1
· 11.3 l = 63.9 l .
(c) Das Druckmaximum des Gases wird im Zustand A und das Druckminimum im
Zustand C angenommen. Wir beginnen mit der Idealgasgleichung, angewendet auf
die beiden Zustände A und C:
νRTh
VA
νRTt
pC =
VC
pA =
(1.10)
(1.11)
Das Volumen VC wurde in (b) berechnet, wir können also (1.9) in (1.11) einsetzen:
νRTt
pC =
VB
Tt
Th
1
κ−1
(1.12)
und (1.10) durch (1.12) dividieren:
pmax
pA
VB Th
=
=
pmin
pC
VA Tt
Th
Tt
1
κ−1
1+ 1
κ
VB Th ( κ−1 ) VB Th κ−1
=
=
= 10 · 23.5 = 113 .
VA Tt
VA Tt
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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3. Übung (KW 19/20)
Lösung zu Aufgabe 2
(a) Die Maschine transportiert einen Nettowärmestrom vom kalten Reservoir ins
warme Reservoir, kann also als Wärmepumpe oder als Kältemaschine eingesetzt
werden. Im Falle einer Wärmepumpe interessiert man sich für das Erwärmen des
oberen und im Falle einer Kältemaschine für das Kühlen des unteren Wärmereservoirs.
(b) Nach einer vollständigen Periode hat man denselben Zustand wie vor dem Zyklus
erreicht, die Innere Energie hat sich also nicht geändert und somit gilt ∆U = 0. Aus
dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt somit
W = Q = Q2 + Q1 = |Q2 | − |Q1 | = 837 kJ − 921 kJ = −84 kJ .
|{z} |{z}
>0
<0
Hierbei habe ich das Vorzeichen so gewählt, dass Wärme positiv gezählt wird, wenn
sie von der Maschine aufgenommen und negativ, wenn Wärme von der Maschine abgegeben wird. Die Maschine verrichtet pro Periode die negative Arbeit W = −84 kJ,
d. h. die Umwelt verrichtet an der Maschine die positive Arbeit W 0 = +84 kJ. Im
p(V )-Diagramm entspricht
R 2die Arbeit dem von der Kurve eingeschlossenen Flächeninhalt, denn es gilt W = 1 dV p(V ).
(c) Je nachdem, ob man die Maschine als Wärmepumpe oder als Kältemaschine
betreibt, wird der Nutzeffekt durch die Leistungszahlen εW bzw. εK mit
|Q1 |
|Q1 |
=
= 11.0
|W |
|Q2 + Q1 |
|Q2 |
|Q2 |
=
= 10.0 .
εK =
|W |
|Q2 + Q1 |
εW =
beschrieben. Je höher der Nutzeffekt ist, desto mehr Wärme wird pro aufgebrachter
Arbeit in das obere Reservoir transportiert (Wärmemaschine) bzw. aus dem unteren
Reservoir abgeführt (Kältemaschine). Im vorliegenden Beispielt bedeutet dies, dass
man für jedes Joule Arbeit, das man in die Maschine hineinsteckt (z. B. in Form von
elektrischem Strom), 10 Joule Wärme aus dem unteren Temperaturreservoir abführt
und 11 Joule Wärme in das obere Reservoir hineintransportiert; die hineingesteckte
Arbeit von einem Joule wird in Wärme umgewandelt und zusammen mit den 10
Joule aus dem unteren Reservoir in das obere Reservoir gebracht.
(d) Da wir es mit einem Carnot-Prozess zu tun haben, lauten die Nutzwerte wie
folgt:
T1
T1 − T2
T2
εK =
.
T1 − T2
εW =
(2.1)
(2.2)
Beide Gleichungen können nun benutzt werden, um die gesuchte Temperatur T1 zu
berechnen. Ich wähle die zweite Gleichung, da dort das T1 nur einmal vorkommt
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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3. Übung (KW 19/20)
und diese deshalb einfacher nach T1 aufzulösen ist:
T2
(2.1) ⇐⇒ T1 = T2 +
εK
1
⇐⇒ T0 + ϑ1 = (T0 + ϑ2 ) · 1 +
εK
1
◦
⇐⇒ ϑ1 = (273.15 K + 20 C) · 1 +
− 273.15 K
11.0
= 49.3 ◦C .
(e) Wie erlangen wir Kenntnis über die Masse des verwendeten Wasserstoffs? Indem
wir ausnutzen, dass die von der Maschine (d. h. vom Gas) verrichtete Arbeit von
der Stoffmenge und somit von der Masse des Gases abhängt. Betrachten wir die
Arbeit, die das Gas während der isothermen Expansion (bei der tiefen Temperatur)
verrichtet:
ZVB
ZVB
VB
νRT2
= νRT2 ln
(2.3)
W2 = dV p(V ) = dV
V
VA
VA
VA
Andererseits wissen wir, dass bei einem isotherm geführten Prozess die Innere Energie unverändert bleibt, ∆U2 = 0, demzufolge die vom Gas verrichtete Arbeit zu
hundert Prozent aus der vom unteren Temperaturbad entnommenen Wärmemenge
stammt: 0 = ∆U2 = Q2 − W2 , d. h.
W2 = Q2 .
(2.4)
Die Stoffmenge des Wasserstoffs ergibt sich aus (2.3) und (2.4) zu
ν=
Q2
,
RT2 ln VVAB
so dass sich die gesuchte Wasserstoffmasse zu
m = Mm (H2 )ν = Mm (H2 )
Q2
Q2 Mr (H2 )
=
· g mol−1
VB
VB
RT2 ln VA
RT2 ln VA
837 kJ · 2 g mol−1
=
= 0.99 kg
200 l
8.314 J mol−1 K−1 · 293.15 K · ln 100
l
berechnet.
Lösung zu Aufgabe 3
Unsere Eismaschine arbeitet nach dem Carnot-Prinzip zwischen den beiden Temperaturen T1 und T2 , d. h. sie entnimmt dem unteren Wärmebad (bei T2 ) die Wärmemenge |Q2 | und gibt die Wärmemenge |Q1 | an das obere Wärmebad (bei T1 ) ab,
wobei von außen die Arbeit W 0 zugeführt wird. Die dem unteren Wärmereservoir
entnommene Wärmemenge |Q2 | ist genau diejenige Wärmemenge, die bei der Eisproduktion abfällt. Die Eisproduktion umfasst dabei die folgenden drei Teilschritte:
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013
— Lösungen —
3. Übung (KW 19/20)
1. Abkühlen des für die Eisproduktion benötigten Wasser von der Ausgangstemperatur T3 auf die Gefriertemperatur (bzw. Schmelztemperatur) T0 .
2. Gefrieren des Wassers, d. h. Übergang vom flüssigen Wasser zum festen Eis.
3. Abkühlen des Eises von der Gefriertemperatur T0 auf die Endtemperatur T2 .
Für die bei der Eisherstellung von dem Eis der Masse m an die Maschine abgegebene
Wärmemenge gilt somit
|Q2 | = mcW (T3 − T0 ) + mqf + mcE (T0 − T2 ) .
(3.1)
Die Leistungszahl εK der Eismaschine verknüpft diese Wärmemenge |Q2 | mit der
von außen an der Maschine verrichteten Arbeit W 0 , und zwar gilt
|Q2 | = εK |W 0 | .
(3.2)
Uns interessiert die während der Zeit ∆t erzeugte Eismenge. Um diese zu bestimmen,
benötigen wir die in der Zeit ∆t an die Maschine abgegebene Arbeit, die wir über
die bekannte Leistung P des Motors herausbekommen:
|W 0 | = P ∆t .
(3.3)
Wir setzen (3.1) und (3.3) in (3.2) ein und lösen nach der Masse auf:
mcW (T3 − T0 ) + mqf + mcE (T0 − T2 ) = εK P ∆t
⇐⇒
m=
εK P ∆t
cW (T3 − T0 ) + qf + cE (T0 − T2 )
Die Kühlleistungszahl einer Carnot-Maschine lautet εK =
auf das Ergebnis
m=
T2
T1 −T2
, was schließlich
T2
P ∆t
T1 −T2
cW (T3 − T0 ) + qf + cE (T0 − T2 )
=
273.15−18
· 10 kW
(273.15+30)−(273.15−18)
−1
4.19 kJ kg−1 K−1 · (20 − 0)·K + 332 kJ kg
= 422 kg
· 3600 s
+ 2.09 kJ kg−1 K−1 · (0 − (−18))·K
führt. Die Maschine erzeugt stündlich etwa 422 kg Eis.
Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik_2_hydro
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
http://iktp.tu-dresden.de/index.php?id=839
Jens Patommel <patommel@xray-lens.de>
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