Quantitative Verfahren im Asset Management

Universität Hamburg – Dr. S. Kindermann – Prof. Dr. K. Wegscheider – Quantitative Verfahren im Asset Management - SoSe 2009
2. Sitzung
Grundlagen 22 // 22
Grundlagen
A)
A)
Diskrete und
und stetige
stetige Renditen
Renditen
Diskrete
B)
B)
Der Risikobegriff
Risikobegriff im
im Asset
Asset Management
Management
Der
C)
C)
Volatilität
Volatilität
D)
D)
Downside-Risikomaße
Downside-Risikomaße
D)
D)
Autokorrelation
Autokorrelation
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Diskrete Renditen
Berechnung einer diskreten Rendite
K t − K t −1
R =
mit K t = Kurs zum Zeitpunkt t
K t −1
d
t
Die diskrete Rendite beruht auf der einfachen Zinsrechnung,
wonach das Kapital Kt-1 zum Zeitpunkt t-1 innerhalb einer Periode
einmal mit dem Zins Rtd verzinst wird und die Zinsen zum Kapital
dazu addiert werden. (Vgl. Poddig Kap. 3.1.4)
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Verzinsung mit diskreten Renditen
Berechnung des Endwertes eines Investments nach einer Verzinsung
über n Jahre:
(
K n = K0 1 + R
d
)
n
Berechnung des Endwertes eines Investments nach einer über m
Teilperioden eines Jahres zusammengesetzten Verzinsung
(„Compounded Frequency“) :
 R 
= K 0 1 +

m


d
K n ,m
m⋅ n
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Verzinsung mit diskreten Renditen
 R 
= K 0 1 +

m


d
K n ,m
m⋅ n
Beispiel: Berechnung des Endwertes eines Investments von 100 USD
nach einem Jahr bei einem diskreten Zins von 10%:
Jährlich: $100 ⋅ (1 + 0,1) = $110
Halbjährlich: $100 ⋅ (1 + 0, 05 ) = $110, 25
2
Monatlich: $100 ⋅ (1 + 0, 008333) = $110, 47
12
Wöchentlich: $100 ⋅ (1 + 0, 001923) = $110, 51
52
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Aufgabe zur Verzinsung mit diskreten Renditen
 R 
= K 0 1 +

m


d
K n ,m
m⋅ n
Beispiel: Berechnung des Endwertes eines Investments von 100 USD
nach einem Jahr bei einem diskreten Zins von 10%:
Jährlich: $100 ⋅ (1 + 0,1) = $110
Halbjährlich: $100 ⋅ (1 + 0, 05 ) = $110, 25
2
Monatlich: $100 ⋅ (1 + 0, 008333) = $110, 47
12
Wöchentlich: $100 ⋅ (1 + 0, 001923) = $110, 51
52
Welcher Endwert ergibt sich, wenn m gegen unendlich geht?
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Lösung zur Verzinsung mit diskreten Renditen
Welcher Endwert ergibt sich, wenn m gegen unendlich geht?
g = lim K n , m
m →∞

Rd 
⇒ g = lim K 0 1 +

m →∞
m


m⋅n

 g 

Rd  
⇒ ln 
 m ⋅ n ⋅ ln 1 +
 = mlim

→∞
K
m


 0

 
Rd
 ln 1 +
 g 
m
 
⇒ ln 
=
lim
 m →∞ 
1
K
 0

m⋅n







(für g > 0)
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Lösung zur Verzinsung mit diskreten Renditen
Welcher Endwert ergibt sich, wenn m gegen unendlich geht?
 
Rd
 ln 1 +
 g 
m
 
⇒ ln 
=
lim
 m →∞ 
1
K
 0

m⋅n







1
 1
d
⋅
−
⋅
R

Rd
m2
 1+
 g 
m

⇒ ln 
 = mlim
1 1
 K 0  →∞ 
−
⋅

m2 n


 g 
d
⇒ ln 
 = n⋅R
 K0 
⇒ lim K n = K 0 ⋅ en⋅ R
m →∞
d




d

R
 = lim  n ⋅
 m →∞ 
Rd
 1+

m



Anwendung der
Regel von l´Hospital



 (Ableitung des Zählers
 dividiert durch Ableitung

des Nenners)
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Aufgabe zur Verzinsung mit diskreten Renditen
 R 
= K 0 1 +

m


d
K n ,m
m⋅ n
Welcher Endwert ergibt sich, wenn m gegen unendlich geht?
 R 
= lim K 0 1 +

m →∞
m


d
lim K n ,m
m →∞
m⋅n
= K 0e
R d ⋅n
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Die kontinuierlich zusammengesetzte Verzinsung
(„Continuous Compounded Rate“)
lim K n ,m = K 0 e
R d ⋅n
m →∞
Im vorhergehenden Beispiel ergibt sich somit:
lim : $100 ⋅ e0 ,1 = $110, 52
m →∞
Berechnet man den Zinssatz, der bei o. g. Grenzwertbetrachtung,
denselben Endwert liefert, wie die diskrete einmalig-jährliche, erhält
man die so genannte kontinuierlich zusammengesetzte Verzinsung,
die im Allgemeinen als stetige Rendite, Rs, bezeichnet wird:
$100 ⋅ e
Rs
(
= $100 1 + R d
)
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Die kontinuierlich zusammengesetzte Verzinsung
(„Continuous Compounded Rate“)
$100 ⋅ e
Rs
(
(
= $100 1 + R d
⇔ R s = ln 1 + R d
)
)
Betrachtet man mehr als n=1 Jahr, ergibt sich:
100$ ⋅ e
R s ⋅n
(
= 100$ ⋅ 1 + R
d
n
)
n
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Definition: Stetige Renditen
Berechnung einer stetigen Rendite
Rts = ln ( K t ) − ln ( K t −1 ) mit K t = Kurs zum Zeitpunkt t
Im Gegensatz zu der diskreten Rendite bezieht sich die stetige
Rendite Rts auf eine Situation, in der die Verzinsung kontinuierlich
statt findet. Eine einmalige (diskontinuierliche) Verzinsung liegt also
nicht vor. Die Verzinsungszeiträume bei stetiger Verzinsung werden
beliebig klein, während gleichzeitig die Anzahl dieser Zeiträume
beliebig – im Grenzfall unendlich – groß wird.
(Vgl. Poddig Kap. 3.1.4)
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Umrechnung von diskreten Renditen
in stetige Renditen und umgekehrt
Umrechnung einer diskreten Rendite in eine stetige Rendite
(
Rts = ln 1 + Rtd
)
Umrechnung einer stetigen Rendite in eine diskrete Rendite
Rts
R = e −1
d
t
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Berechnung für k-Perioden-Renditen
Berechnung einer diskreten Rendite für k Perioden
(
R (k ) = 1+ R
d
t
d
t
)(
⋅ 1+ R
d
t −1
)
(
⋅ ... ⋅ 1 + R
d
t − k +1
)
k −1
(
)
− 1 = ∏ 1 + Rtd−i − 1
i =0
Berechnung einer stetigen Rendite für k Perioden
(
R ( k ) = ln 1 + R
s
t
d
t
( k ))
k −1
k −1

 k −1
d
d
= ln 1 + ∏ 1 + Rt −i − 1 = ∑ ln 1 + Rt −i = ∑ Rts−i
i =0
i =0

 i =0
(
)
(
)
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Berechnung für k-Perioden-Renditen
Berechnung einer stetigen Rendite für k Perioden
k −1
R ( k ) = ∑ Rts−i
s
t
i =0
Fazit: Stetige Renditen besitzen im Gegensatz zu diskreten Renditen
die wünschenswerte Eigenschaft, dass bei der Betrachtung
mehrerer Perioden addiert werden können.
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Ausgewählte Gründe für die ausschließliche
Verwendung stetiger Renditen beim Einsatz
statistischer Verfahren
• Die Eigenschaften stetiger Renditen sind häufig Voraussetzung
verschiedener statistischer Verfahren
- Symmetrieeigenschaft (diskrete Rend. sind häufig rechtsschief)
- ZGS greift durch Summationsmöglichkeit stetiger Renditen
- Normalvert.-voraussetzung durch Summation stetig. Rend. eher gegeben
• Einhaltung des Renditeerhaltungssatzes (Marktseitensymmetriegesetz) ist
nur bei stetigen, nicht bei diskreten Renditen gegeben
• Berechnung stetiger Renditen ist wenig aufwendig und kann durch
einfache Differenzbildung einer (logarithmierten) Zeitreihe erfolgen
• Kaum Nachteile bei kleinen Renditen gegenüber den leichter
interpretierbaren diskreten Renditen , da bei kleinen Renditen die
Unterschiede sehr gering ausfallen (Daumenregel: „Vernachlässigbarer
Unterschied bei Renditen <15%, gilt aber nicht bei Kumulation)
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Literaturempfehlung zu stetigen und diskreten
Renditen
Dorfleitner, Gregor (2002)
Stetige versus diskrete Renditen: Überlegungen zur richtigen Verwendung
beider Begriffe in Theorie und Praxis,
in: Kredit und Kapital 35, S. 216-241, 2002
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Aufgaben zu stetigen und diskreten Renditen
Der Investor A kauft 1000 Aktien zu 89,30 Euro je Aktie. Nach einem Jahr
verkauft er das Aktienpaket zu 102.340 Euro. Dividenden wurde nicht gezahlt
und Transaktionskosten können vernachlässigt werden.
Der Investor B investiert in Investmentfonds und erzielt in demselben Zeitraum
eine stetige Rendite von 11,43%.
a)
Welche stetige Rendite und welche diskrete Rendite haben A und B
erzielt?
b)
Welches Endkapital hätte Anleger A, wenn er die Aktien noch für einen
weiteren Monat gehalten hätte und man unterstellt, dass die Rendite sich
in diesem Monat nicht geändert hat? (Zeigen sie die Berechnung sowohl
anhand der stetigen als auch anhand der diskreten Rendite)
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Ausgewählte statistische Kennzahlen
im Asset Management
- Überblick A. Bezogen auf Renditen (Kursdifferenzen):
•
Erwartungswert (Yield)
•
Varianz / Standardabweichung (Volatility)
•
Schiefe (Skewness)
•
Wölbung (Curtosis)
•
Korrelation (Correlation)
B. Bezogen auf Kursreihen
•
Autokovarianz
•
Autokorrelation, Autokorrelationsfunktion (ACF)
•
Partielle Autokorrelation, partielle Autokorrelationsfunktion (PACF)
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Der Risikobegriff
im Asset Management
•
Eine allgemeine Definition, was unter dem Risiko einer Investition / eines
Assets zu verstehen ist, gibt es nicht.
•
Entscheidend für die Risikobewertung einer Investition ist die Zielsetzung
des Investors.
•
Ein allgemeiner Ansatz für die Risikobestimmung besteht darin, die
Möglichkeit, ein im Voraus gesetztes (Rendite-) Ziel nicht zu erreichen, zu
quantifizieren.
•
Für unterschiedliche Zielsetzungen und Anlegerpräferenzen existieren
unterschiedliche Risikomaße. Die meisten Risikomaße sind statistisch
begründete Maßzahlen.
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Statistische Kennzahlen als Risikomaße
im Asset Management
- Überblick •
Varianzen
- Volatiltiät
- Tracking Error
•
Downside-Risikomaße
- Semivarianz
- Ausfallwahrscheinlichkeit
- Value at Risk
•
Korrelationskoeffizient
- Betamaße
- Sharp-Ratio
- Treynor-Maß
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Volatilität als zentrales Risikomaß
im Asset Management
•
Die Volatilität wird üblicherweise interpretiert als durchschnittliche
Abweichung der realisierten Rendite von der erwarteten Rendite eines
Assets in Prozentpunkten bezogen auf einen bestimmten Zeitraum.
•
Die Volatilität wird im Allgemeinen als Gesamtrisikomaß für ein Asset
verwendet. (Es wird das systematische und das unsystematische Risiko
mit der Volatilität erfasst).
•
Bei Verwendung der Volatilität als Risikomaß wird impliziert, dass positive
Abweichungen vom Erwartungswert genauso wie entsprechende negative
bewertet werden.
•
Die Volatilität lässt sich sowohl (historisch, zeitraumbezogen) explizit als
auch (zeitpunktbezogen) implizit (auf Basis von Derivaten auf das jeweilige
Asset) schätzen.
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Folie I - 6 - 3
Univariate Statistik – Streuungsmaße - II/IV
(measures of scale)
(= Dispersionsmaße
Dispersionsmaße == Variabilitätsmaße
Variabilitätsmaße == Präzisionsmaße)
Präzisionsmaße)
(=
Es sei x1 ,..., xn eine Stichprobe
Name
Name
Definition
Definition
1 n
2
s := ∑ ( xi − x )
n i =1
2
Varianz
Varianz
Var(x)
(x)
Var
Standardabweichung
Standardabweichung
(Streuung,standard
standarddeviation,
deviation,SD)
SD)
(Streuung,
___
1 n 2
2
=  ∑ xi  − x = x 2 − x 2
 n i =1 
1 n
2
s := s =
( xi − x )
∑
n i =1
2
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Die empirische Volatilität
Es sei
sei rr11,…,r
,…,rnn eine
eine Reihe
Reihe realisierter
realisierter Differenzen
Differenzen logarithmierter
logarithmierter Kurse
Kurse
Es
(stetige Renditen)
Renditen)
(stetige
Name
Name
empirische
empirische
Renditevarianz
Renditevarianz
Var(x)
(x)
Var
empirische Volatilität
Volatilität
empirische
Definition
Definition
1 n
2
s := ∑ ( ri − r )
n i =1
2
r
___
1 n 2
2
=  ∑ ri  − r = r 2 − r 2
 n i =1 
1 n
2
Volaempir . := s =
( ri − r )
∑
n i =1
2
r
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Folie I - 6 - 17
Transformationssätze
Transformation
Maß
yi = b ⋅ x i
yi = x i + a
yi = b ⋅ x i + a
Arithmetisches
Mittel
y = b⋅ x
y = x +a
y = b⋅ x + a
empirische
Varianz
s 2y = b 2 ⋅ s x2
s 2y = s x2
s 2y = b 2 ⋅ s x2
s y = b ⋅ sx
s y = sx
s y = b ⋅ sx
empir. Standardabweichung
Beispiele
Währungsumrechnung von
Euro in DM :
y = 1.95583 . x
Berücksichtigung von
fixen Kosten
a=fixe Kosten
Temperaturumrechnung
von °C in F:
y = 1.8 . x + 32
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Folie II - 5 - 50
Maximum Likelihood Entscheidungsfunktionen
Schätzung der Varianz bei NV-Annahme
{ N ( µ ,σ ) µ ∈ } , µ
2
Verteilungsannahme:
0
Likelihoodfunktion:
(
)
n
L σ , x1 , ..., xn = ∏ f NV
2
n
=∏
i =1
=
(
1
2π ⋅ σ
2π ⋅ σ
)
−n
⋅e
i =1
2
1 ( xi − µ 0 )
− ⋅
2
σ2
⋅e
−
1
2⋅σ
2
⋅( xi − µ 0 )
(µ
0 ,σ
2
)(
xi )
2
Standardmethode ergibt:
1 n
2
2
σˆ ML = ⋅ ∑ ( xi − µ 0 )
mit bekanntem µ 0 .
n i =1
0
fest, Θ = Universität Hamburg – Dr. S. Kindermann – Prof. Dr. K. Wegscheider – Quantitative Verfahren im Asset Management - SoSe 2009
Wichtige Resultate der Schätztheorie II
Varianz-Schätzer, Dispersionsschätzer
Folie II - 5 - 52
(scale estimators)
Sind die Zufallsvariablen normalverteilt, so gilt, wenn der
Erwartungswert µ unbekannt ist:
1
2
x
−
x
∑( i )
n
ist ML-Schätzer, aber nicht erwartungstreu für σ2.
Sind die Zufallsvariablen normalverteilt, so gilt, wenn der
Erwartungswert µ unbekannt ist:
1
2
x
−
x
(
)
∑ i
n −1
ist erwartungstreu, aber nicht ML-Schätzer für σ2.
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Standardverfahren für die Volatilitätsermittlung
im Asset Management:
Die geschätzte Volatilität (unter NV-Annahme für die Renditen)
Es sei
sei rr11,…,r
,…,rnn eine
eine Reihe
Reihe realisierter
realisierter unabhängig,
unabhängig, identisch
identisch
Es
normalverteilter stetiger
stetiger Renditen
Renditen
normalverteilter
Name
Name
(erwartungstreu)
(erwartungstreu)
geschätzte
geschätzte
Renditevarianz
Renditevarianz
Volatilität
Volatilität
Berechnung
Berechnung
1 n
2
σˆ :=
r
−
r
(
)
∑ i
n − 1 i =1
2
n 1 n 2
n  ___2
2
2 
=
r
−
r
=
r
−
r
∑i


n − 1  n i =1 
n −1 

1 n
2
Vola = σˆ := σˆ =
( ri − r )
∑
n − 1 i =1
2
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Standardannahme bei der Volatilitätsschätzung
im Asset Management:
Normalverteilung der (stetigen) Renditen
f (R)
σ
σ
µ
R
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Berechnung annualisierter Volatilitäten
Verteilungsannahme: Rt i.i.d (identically, independently distributed)
T
T
rann = ∑ ri (ex post)
Rann = ∑ Ri (Modell, ex ante)
i =1
σ
2
ann
i =1
T T
 T

= Var ( Rann ) = Var  ∑ Ri  = Var ( R1 ) + ... + Var ( RT ) + ∑∑ Cov Ri , R j
j =1 i =1
 i =1 
i≠ j
(
)
= 0 , da Unabhängigkeit
T
= ∑ Var ( Ri ) =
i =1
T ⋅σ 2
⇔ σ ann = T ⋅ σ
da identisch vert.
Um Volatilitäten vergleichen zu können, nutzt man die Annualisierung. Dabei
wird unterstellt, dass die Renditen unabhängig und identisch verteilt sind (die
NV-Annahme ist nicht erforderlich).
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Berechnung annualisierte Volatilitäten
- Überblick Verteilungsannahme: Rt i.i.d (identically, independently distributed)
σ ann = 4 ⋅ σ
mit σ = Volatilität der Quartalsrenditen
σ ann = 12 ⋅ σ
mit σ = Volatilität der Monatsrenditen
σ ann = 52 ⋅ σ
mit σ = Volatilität der Wochenrenditen
σ ann = 250 ⋅ σ
mit σ = Volatilität der Tagesrenditen
Um Volatilitäten vergleichen zu können, nutzt man die Annualisierung. Dabei
wird unterstellt, dass die Renditen unabhängig und identisch verteilt sind (die
NV-Annahme ist nicht erforderlich).
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Aufgaben zur Berechnung von Volatilitäten
Eine Aktie hatte in den letzten elf Handelstagen den folgenden (Schluss-)
Kursverlauf (in Euro):
k1 = 23, 25 k2 = 23, 48 k3 = 23, 84 k4 = 23, 92 k5 = 24, 05
k6 = 23, 72 k7 = 23, 02 k8 = 22, 54 k9 = 22, 90 k10 = 23, 01 k11 = 23, 47
a)
Schätzen Sie die 10-Tages-Volatilität erwartungstreu.
b)
Berechnen Sie aus der geschätzten 10-Tages-Volatilität die annualisierte
Volatilität
c)
Welche Annahmen haben Sie bei der Lösung von Aufgabe a) und welche
bei der Lösung von Aufgabe b) getroffen?
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Beispiel 1 zur Volatilitätenberechnung
DOW JONES
JONES INDUSTRIAL
INDUSTRIAL AVERAGE
AVERAGE (Index)
(Index)
DOW
von Januar
Januar 1900
1900 bis
bis Februar
Februar 2009
2009
von
Schätzung der "Tag-zu-Tag-"Volatilität: σˆTag :=
28672
1
2
r
−
r
( i ) = 1,075%
∑
28672 − 1 i =1
Annualisierung der "Tag-zu-Tag-"Volatilität: σˆ Ann := σˆ Tag 250 = 26,87%
(
5099
1
Schätzung d. "Montag-zu-Montag-"Vola.: σˆWoche :=
ri Mo − r Mo
∑
5099 − 1 i =1
)
2
= 2,75%
Annualisierung d. "Montag-zu-Montag-"Vola.: σˆ Ann := σˆWoche 52 = 19,82%
Wie ist
ist der
der Unterschied
Unterschied in
in den
den annualisierten
annualisierten Volatilitäten
Volatilitäten zu
zu erklären?
erklären?
Wie
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Berechnung annualisierter Volatilitäten
Verteilungsannahme: Rt i.i.d (identically, independently distributed)
T
T
rann = ∑ ri (ex post)
Rann = ∑ Ri (Modell, ex ante)
i =1
σ
2
ann
i =1
T T
 T

= Var ( Rann ) = Var  ∑ Ri  = Var ( R1 ) + ... + Var ( R1 ) + ∑ ∑ Cov Ri , R j
j =1 i = 1
 i =1 
i≠ j
(
)
= 0 , da Unabhängigkeit
T
= ∑ Var ( Ri ) =
i =1
T ⋅σ 2
⇔ σ ann = T ⋅ σ
da identisch vert.
Um Volatilitäten vergleichen zu können, nutzt man die Annualisierung. Dabei
wird unterstellt, dass die Renditen unabhängig und identisch verteilt sind (die
NV-Annahme ist nicht erforderlich).
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Alternative Ermittlungsverfahren für die Volatilität
im Asset Management
1.
Implizite Volatilität
Unter der Annahme eines informationseffizienten Optionsmarktes, kann
bei Unterstellung einer bestimmten Kursverlaufshypothese für den
Aktienkurs die in den Optionspreisen implizierte Volatilität (iterativ)
ermittelt werden und als Volatilitäts-Schätzer verwendet werden. Das
übliche Vorgehen im Asset Management verwendet dabei den Ansatz von
Black und Scholes.
Optionsbewertungs-Formel (eines europ. Calls) nach Black und Scholes:
C = S ⋅ Φ ( d1 ) − X ⋅ e − rT ⋅ Φ ( d 2 )
mit
σ2
S 
ln   +  r +
2
X 
d1 =
σ T

 ⋅T

und
d 2 = d1 − σ T
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Alternative Ermittlungsverfahren für die Volatilität
im Asset Management
2.
Volatility Cluster
Eine weitere Methode zur Ermittlung von Volatilitäten besteht darin, so
genannte „Volatility Cluster“ auszuwerten. Der Grundgedanke besteht
dabei darin, dass es Phasen gibt, in denen stärkerer Schwankungen sich
häufen und dass es anderen Perioden gibt, in denen kleinere Ausschläge
dominieren .
Ansätze, die auf diesem Grundgedanken beruhen, sind die ARCH- und
GARCH-Modelle. Die Namen leiten sich aus der Abkürzung für
Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity
ab. Diese Modelle unterstellen, dass die Volatilitäten nicht zeitkonstant
sind, sondern selbst einem Zeitreihenmodell (i. d. R. ARIMA-Modell)
folgen.
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Beispiel 2 zur Volatilitätenberechnung
Volatilitäten der einzelnen Wochentage
Annualisierte Volatilität DJI (1900-2009) nach Wochentagen
20,00%
19,50%
Annualisierte Volatilität
19,00%
18,50%
18,00%
17,50%
17,00%
16,50%
16,00%
Montag
Dienstag
Mittwoch
Donnerstag
Freitag
Wochentag
Benennen Sie
Sie Gründe
Gründe für
für das
das „Weekday-Volatility-W“!
„Weekday-Volatility-W“!
Benennen
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Beispiel 3a zur Volatilitätenberechnung
Volatilitäten der einzelnen Kalendermonate
Annualisierte Volatilität DJI (1900-2009) nach Kalendermonaten
24,00%
23,00%
Annualisierte Volatilität
22,00%
21,00%
20,00%
19,00%
18,00%
17,00%
16,00%
15,00%
14,00%
Jan
Feb
Mär
Apr
Mai
Jun
Jul
Aug
Sep
Okt
Kalendermonat
Benennen Sie
Sie Gründe
Gründe für
für den
den Kalendermonatsverlauf!
Kalendermonatsverlauf!
Benennen
Nov
Dez
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Beispiel 3b zur Volatilitätenberechnung
Volatilitäten der einzelnen Kalendermonate
ohne die Jahre 1929, 1987, 2001 und 2008
Annualisierte Volatilität DJI (1900-2009) nach Kalendermonaten
ohne die Jahre 1929, 1987, 2001, 2008
24,00%
23,00%
Annualisierte Volatilität
22,00%
21,00%
20,00%
19,00%
18,00%
17,00%
16,00%
15,00%
14,00%
Jan
Feb
Mär
Apr
Mai
Jun
Jul
Aug
Sep
Okt
Kalendermonat
Benennen Sie
Sie Gründe
Gründe für
für den
den Kalendermonatsverlauf!
Kalendermonatsverlauf!
Benennen
Nov
Dez
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Beispiel 4 zur Volatilitätenberechnung
Volatilitäten der einzelnen Jahre
Annualisierte Volatilität DJI (1900-2009) nach Jahren
1
0
Annualisierte Volatilität
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1901 1906 1911 1916 1921 1926 1931 1936 1941 1946 1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001 2006
Jahr
Interpretieren sie
sie den
den Jahrhundertverlauf
Jahrhundertverlauf der
der DJI-Volatilitäten!
DJI-Volatilitäten!
Interpretieren
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Der Tracking Error
Das Konzept des Tracking Error beruht auf einem Benchmark- (BM-) Vergleich
der Renditen eines Portfolios (einer Anlage). Das Risiko wird quantifiziert
durch
die
Standardabweichung
der
Differenzen
zwischen
realisierter
Portfoliorendite und Benchmarkrendite (rPF-rBM). Die Standardabweichung
wird dabei i.d.R. erwartungstreu (unter NV-Annahme) auf Basis historischer
Werte (Realisationen) geschätzt:
(
)
(
)
TE = σ ( rPF − rBM ) =
1 n
rPF , t − rBM , t ) − ( rPF − rBM )
(
∑
n − 1 t =1
=
1 n
∑ ( rPF , t − rPF ) − ( rBM , t − rBM )
n − 1 t =1
2
2
Der TE nimmt genau dann den Wert Null an, wenn die BM-Rendite exakt durch
das Portfolio nachgebildet wird.
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Downside Risikomaße
•
Neben der statistisch begründeten Kritik an der Volatilität wird auch
inhaltlich häufig bemängelt, dass negative Erwartungswertabweichungen
genauso wie positive behandelt werden.
•
Anleger sind häufig daran interessiert, Risikomaße zur Verfügung zu
haben,
die
lediglich
die
negativen
Erwartungswertabweichungen
berücksichtigen.
•
Asymmetrische Risikomaße, die ausschließlich negative Erwartungswertabweichungen erfassen, werden als Downside Risikomaße bezeichnet.
•
Die bedeutendsten Downside Risikomaße im Asset Management sind
- die Semivarianz
- der Value at Risk
- die Ausfallwahrscheinlichkeit
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Die empirische Semivarianz
Beim Konzept der Semivarianz werden lediglich die negativen
Abweichungen vom arithmetischen Mittel (aller) Renditen berücksichtigt:
−
σ
2
Semi
(
1 n
= ∑ ri− − r
n i =1
)
2
wobei ri− alle Renditen sind, die kleiner als r sind
und n − ist die Anzahl dieser Renditen.
Die entsprechende Semivolatilität erhalt man wiederum durch
Wurzelziehen:
−
σ Semi =
(
1 n
ri− − r
∑
n i =1
)
2
Die Annualisierung erfolgt wiederum durch entsprechende Multiplikation mit
einem Faktor analog zum Vorgehen bei der Volatilität.
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Aufgaben zur Berechnung der empirischen
Semivolatilität
Eine Aktie hatte in den letzten elf Handelstagen den folgenden (Schluss-)
Kursverlauf (in Euro):
k1 = 23, 25 k2 = 23, 48 k3 = 23, 84 k4 = 23, 92 k5 = 24, 05
k6 = 23, 72 k7 = 23, 02 k8 = 22, 54 k9 = 22, 90 k10 = 23, 01 k11 = 23, 47
a)
Berechnen Sie die empirische Semivolatilität.
b)
Berechnen Sie aus der Semivolatilität die annualisierte Semivolatilität.
c)
Wie ist der Unterschied zwischen der annualisierten Semivolatilität und
der Volatilität (26,72%) zu erklären?
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DJI-Index (1900-2009)
(Teil-)Histogramm der (stetigen) Renditen
4000
Volatilität
3000
Semivolatilität
2000
1000
Std.abw. = ,01
Mittel = ,000
N = 28672,00
0
,0
,0
,0
,0
49
35
21
7
1
5
9
07
0
-,0
2
-,0
3
-,0
4
-,0
r
Stetige Ein-Tages-Renditen
−
Annual. Semivola DJI: σ Semi , ann =
(
1 n
ri− − r
∑
n i =1
)
2
⋅ 250 = 0, 01625 ⋅ 250 = 18, 38%
Warum ist
ist die
die Semivolatilität
Semivolatilität kleiner
kleiner als
als die
die Volatilität
Volatilität (26,87%,
(26,87%, bzw.
bzw. um
um den
den
Warum
Faktor 0,68)
0,68) ??
Faktor
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Value at Risk
Der Value at Risk (VaR) ist definiert als der maximal mögliche Verlust einer
Anlage, welcher in einem vorgegebenen Zeitraum mit einer vorgegebenen
Wahrscheinlichkeit (1-α
α) nicht überschritten wird.
Der
VaR
findet
insbesondere
deshalb
häufig
Anwendung
im
Asset
Management, da er in Geldeinheiten gemessen wird und leicht interpretierbar
ist.
Beispiel: Ein 99%-VaR von 1 Mio. Euro für die nächsten 12 Monate
Ein 99%-VaR von einer Million Euro bedeutet, dass, sofern das unterstellte
wahrscheinlichkeitstheoretische Modell korrekt ist, ein Verlust von einer Mio.
Euro mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% nicht überschritten wird. (Das
bedeutet es kann durchaus ein größerer Verlust als 1 Mio. Euro entstehen, die
Wahrscheinlichkeit dafür ist jedoch <1%).
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Value at Risk
formale Darstellung
Eine allgemeine (implizite) Darstellung des VaR mit Hilfe von Zufallsvariablen
lässt sich (in Anlehnung an Poddig, Kap. 3.3.3) vornehmen (wobei Vt+1 der
Verlust am Ende der Betrachtungsperiode ist):
P (Vt +1 ≤ VaR ) = 1 − α
Der zukünftige Verlust ist dabei die Wertänderung eines Assets (Portfolios) im
Betrachtungszeitraum (wobei wt der aktuelle Wert ist und der Wt+1 Wert am
Ende der Betrachtungsperiode):
Vt +1 = wt − Wt +1
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Value at Risk
formale Darstellung bei einer Renditebetrachtung
Üblicherweise werden keine Dichtefunktionen für den Verlust eines Assets
(Portfolios) ermittelt sondern für die Rendite. Die implizite Formulierung
erfolgt dann anhand der Zufallsvariablen für die stetige Rendite der
Betrachtungsperiode, Rt+1:
(
)
P wt ⋅ e − Rt +1 ≤ VaR = 1 − α
Eine einfache Modellierung der Verteilung der Rt+1 erfolgt im Asset
Management häufig anhand der Normalverteilung (siehe Poddig 3.3.3):
Rt +1 ∼ NV ( µ ,σ )
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Value at Risk
formale Darstellung bei Normalverteilungsannahme
Werden für die Renditen vereinfachend Normalverteilungen unterstellt mit den
Parametern µ und σ lässt sich der VaR ausrechnen:
(
)
P wt ⋅ e − Rt +1 ≤ VaR = 1 − α
 lnVaR − ln wt − µ 
⇒ Φ
=α
σ



VaR 
⇒ P  − Rt +1 ≤ ln
 = 1− α
w
t 

⇒
 R − µ lnVaR − ln wt − µ 
⇒ P  t +1
≤
=α
σ
σ


⇒ VaR = eσ ⋅ zα + µ + ln wt
 lnVaR − ln wt − µ 
⇒ Φ
=α
σ


lnVaR − ln wt − µ
σ
= zα
Vola ⋅ zα + E ( Rt +1 )
⇒ VaR = wt ⋅ e
Hinweis: In der Praxis wird üblicherweise berücksichtigt, dass bei Renditeverteilungen
mehr Wahrscheinlichkeitsmasse in den Verteilungsflanken ist, als bei einer NV.
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Integrationsbeispiel aus dem Asset Management:
Value at Risk Berechnung eines Portfolios
f (R)
σ
α
σ
µ
„Grenzrendite“
Portfoliorendite,
R
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Aufgabe zur Value at Risk Berechnung
„Der Dow Jones Investor“
DOW JONES
JONES INDUSTRIAL
INDUSTRIAL AVERAGE
AVERAGE (Index)
(Index)
DOW
von Januar
Januar 1900
1900 bis
bis August
August 2005
2005
von
Schätzung der "Tag-zu-Tag-"Volatilität: σˆTag :=
28672
1
2
r
−
r
= 1,074973%
(
)
∑ i
28672 − 1 i =1
1 28672
Schätzung d. Tag-zu-Tag-Rendite :=
ri = 0,018638%
∑
28672 i =1
Ein Investor möchte für ein Jahr (250 Börsentage) in den DJI-Index durch Kauf
eines entsprechenden Zertifikates in Höhe von 1 Mio. USD investieren. Er
unterstellt, dass die Tag-zu-Tag-Renditen unabhängig, identisch normal
verteilt sind. Als Schätzungen für Volatilität und Renditeerwartungswert
möchte er die historischen Kurse der letzten 105 Jahre verwenden. Berechnen
Sie für den Investor auf Basis dieser Vorgaben den 99%-Value-at-Risk!
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Die Ausfallwahrscheinlichkeit als Risikomaß im
Asset Management
•
Bei der Risikokennzahl Ausfallwahrscheinlichkeit besteht die Fragestellung
darin, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Mindestrendite nicht
erzielt wird.
•
Dieser Ansatz ist dem des VaR ähnlich, da eine Renditeverteilung zur
Ermittlung erforderlich ist. Ähnlich, wie bei dem VaR-Ansatz werden diese
Verteilungen häufig anhand empirischer (historischer) Werte ermittelt.
•
Unter Normalverteilungsannahme (Standard) ergibt sich dann:
PAF
•
( R) 
 rmin − E
= P ( R < rmin ) = Φ 



Vola


Um den realen Kapitalmarktgegebenheiten Rechnung zu tragen, werden
häufig komplexere Verteilungsmodelle als die Normalverteilung verwendet.
Dieses gilt insbesondere für Ausfallwahrscheinlichkeiten von Anleihen.
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Folie I - 7 - 20
Varianzen und Kovarianz
Zur Erinnerung: Die empirischen Varianzen der einzelnen Anlagerenditen
werden wie folgt ermittelt:
___
1 n
1 n 2
2
2
s := ∑ ( xi − x ) = ∑ xi − x = x 2 − x 2
n i =1
n i =1
2
x
___
1 n
1 n 2
2
2
s := ∑ ( yi − y ) = ∑ yi − y = y 2 − y 2
n i =1
n i =1
2
y
Die Kovarianz der verbundenen Stichprobe lautet:
1 n
1 n
sxy := ∑ ( xi − x )( yi − y ) = ∑ ( xi ⋅ yi ) − x ⋅ y
n i =1
n i =1
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Folie I - 7 - 27
Bivariate Statistik: Definition Kovarianz
(covariance)
X , Y seien zwei kontinuierliche, intervallskalierte Merkmale,
die in einer Studie an denselben Beobachtungseinheiten
gemessen wurden.
Stichprobe: (sogen. verbundene Stichprobe) ( x1 , y1 ) , ... , ( xn , yn )
Name
Name
(empirische)
(empirische)
Kovarianz
Kovarianz
Cov(x)
(x)
Cov
Definition
Definition
1 n
s xy := ∑ ( xi − x )( yi − y )
n i =1
1 n
= ∑ ( x i ⋅ yi ) − x ⋅ y
n i =1
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Folie I - 7 - 28
Eigenschaften der Kovarianz 1 / 2
Eigenschaften der Kovarianz
1.
Die Kovarianz ist nach oben (unten) durch das (negative)
Produkt der Streuungen von xi und yi beschränkt:
− s y ⋅ sx ≤ s yx ≤ s y ⋅ sx
2.a)
Wenn alle Punkte (xi,yi) einer steigenden Geraden liegen, entspricht die Kovarianz dem Produkt der SD von xi und yi:
s yx = s y ⋅ sx
2.b)
Wenn alle Punkte (xi,yi) einer fallenden Geraden liegen, entspricht die Kovarianz dem negativen Prod. der SD von xi u. yi:
s yx = − s y ⋅ sx
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Folie I - 7 - 29
Eigenschaften der Kovarianz 2 / 2
x′ ⋅ y′ wird umso stärker positiv,
- je näher ( x′, y ′ ) an der Hauptdiagonalen liegt
- je weiter ( x′, y ′ ) vom Nullpunkt entfernt ist
x′ ⋅ y′ wird umso stärker negativ,
- je näher ( x′, y ′ ) an der Nebendiagonalen liegt
- je weiter ( x′, y ′ ) vom Nullpunkt entfernt ist
x′ ⋅ y′ nähert sich vom Betrag her umso mehr Null an,
- je näher ( x′, y ′ ) an den Achsen liegt
- je näher ( x′, y ′ ) am Nullpunkt liegt
x′ ⋅ y′ ist vom Betrag her umso größer,
je höher die Skalierung (Zahlenwerte) von ( x′, y ′ )
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Der Pearson-Bravais-Korrelationskoeffizient ryx
Definition:
r := ryx :=
s yx
s y sx
=
∑ ( x − x )( y − y )
∑( x − x ) ∑( y − y )
i
i
2
i
2
i
heißt (Pearson-Bravaisscher) Korrelationskoeffizient.
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Folie I - 7 - 30
Bivariate Statistik:
Pearson-Bravais-Korrelationskoeffizient
(correlation coefficient)
„ ryx ”
X , Y seien zwei kontinuierliche, intervallskalierte Merkmale,
die in einer Studie an denselben Beobachtungseinheiten
gemessen wurden.
Stichprobe: (sogen. verbundene Stichprobe) ( x1 , y1 ) , ... , ( xn , yn )
Name
Name
Pearson-Bravaisscher
Pearson-Bravaisscher
Korrelationskoeffizient
Korrelationskoeffizient
Definition
Definition
r :=
∑ ( x − x )( y − y )
∑( x − x ) ∑( y − y )
i
2
i
=
i
s yx
s y sx
i
2
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Folie I - 7 - 33
Herleitung des Korrelationskoeffizienten aus
transformierten Originaldaten
(Das Geheimnis des kleinen r )
Transformation („Standardisierung“):
xi′′ =
xi − x
sx
yi′′ =
yi − y
sy
Der Korrelationskoeffizient entspricht der Kovarianz der
transformierten Werte:
1 n
ryx := ∑ ( xi′′⋅ yi′′)
n i =1
1 n
( xi ⋅ yi ) − x ⋅ y s
∑
n 





x
−
x
y
−
y
1
n i =1
yx
i
= ∑  i
=
=




n i =1  sx   s y  
sx ⋅ s y
sx ⋅ s y
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Folie I - 7 - 34
Eigenschaften des
Pearson-Bravais-Korrelationskoeffizienten 1 / 2
Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten
1.
Die Korrelation ist nach oben (unten) durch 1 (-1)
beschränkt:
−1 ≤ ryx ≤ 1
2.
genau dann, wenn alle Punkte auf

 = +1 einer steigenden Geraden liegen



r =  ≈ 0 wenn die Punktwolke diffus ist


genau dann, wenn alle Punkte auf

=
−
1

einer fallenden Geraden liegen

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Folie I - 7 - 35
Eigenschaften des
Pearson-Bravais-Korrelationskoeffizienten 2 / 2
Transformationssätze
Transformation
Maß
Kovarianz
Korrelationskoeffizient
Beispiele
w i = c ⋅ xi c > 0
w i = xi + a
w i = c ⋅ xi + a
z i = d ⋅ yi d > 0
z i = yi + b
z i = d ⋅ yi + b
swz = cd ⋅ s xy
swz = s xy
swz = cd ⋅ s xy
rwz = rxy
Währungsumrechnung von
Euro in DM :
y = 1.95583 . x
rwz = rxy
Berücksichtigung von
fixen Kosten
a=fixe Kosten
rwz = (sgn c) ⋅ (sgn d ) ⋅ rxy
Temperaturumrechnung
von °C in F:
y = 1.8 . x + 32
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Folie I - 7 - 38
Interpretation des Korrelationskoeffizienten ryx
1/3
r ≠ 1 lässt offen, worauf die Abweichungen von der Geradengestalt
beruhen. r ≠ 1 kann vorliegen, weil
a)
die Punkte auf einer anderen Kurve als einer Geraden liegen,
b)
die Punkte um die “ideale” Kurve streuen,
c)
Ausreißer vorhanden sind.
Achtung:
Wovon r beeinflusst ist, kann nur die Betrachtung der
Punktwolke enthüllen.
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Folie I - 7 - 41
Interpretation des Korrelationskoeffizienten ryx
2/3
r ≠ 0 deutet zunächst nur auf einen rein zahlenmäßigen Zusammenhang
zwischen X und Y hin. Diese Assoziation kann folgende Ursachen haben:
a) XXbeeinflusst
beeinflusstYY
a)
b) YYbeeinflusst
beeinflusstXX
b)
c) YYund
undXXbeeinflussen
beeinflussensich
sichgegenseitig
gegenseitig
c)
(Wechselwirkung,Rückkopplung,
Rückkopplung,Regelkreis)
Regelkreis)
(Wechselwirkung,
d) YYund
undXXwerden
werdenvon
voneiner
einerdritten
drittenVariablen
VariablenZZbeeinflusst
beeinflusst
d)
e) YYund
undXXfolgen
folgenunabh.
unabh.voneinander
voneinanderdemselben
demselbenTrend
Trend(Scheinkorrelation)
(Scheinkorrelation)
e)
f)f)
undXXweisen
weisenkeinen
keinenZusammenhang
Zusammenhangauf,
auf, ≠≠00ist
istZufall.
Zufall.
YYund
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Folie I - 7 - 42
Interpretation des Korrelationskoeffizienten ryx
3/3
r ist abhängig vom Versuchsplan, insbesondere vom Messbereich.
Deswegen sind Richtlinien wie “r > 0.75 => starke Korrelation”
Unsinn.
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Folie I - 7 - 44
Korrelation und Kausalität
(nach Bortz)
Korrelation bedeutet lediglich Koinzidenz
Kausalität lässt sich durch Korrelation nie belegen,
höchstens widerlegen
Kausalitätsschlüsse benötigen zusätzliche Legitimation,
wie Einsicht in Gesetzmäßigkeiten oder Nachzeitigkeit
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Aufgabe zu Renditekorrelationen
Ausgewählte Tages-Renditen von DAX-Aktien
1995-2000
RMUE
RBAS
RBAY
RBMW
RVOW
RALV
RMUE
RBAS
RBAY
RBMW
RVOW
RALV
RALV
RALV
RMUE
RMUE
RBAS
RBAS
RBMW
RBMW
RBAY
RBAY
RVOW
RVOW
InterpretierenSie
Siedie
dieStreudiagramme
Streudiagrammeund
undschätzen
schätzenSie
Siedie
dieempirischen
empirischenKorrelationen!
Korrelationen!
Interpretieren
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Aufgabe zu Renditekorrelationen
Ausgewählte Tages-Renditen von DAX-Aktien
1995-2000
Korrelationen
RALV
RALV
RMUE
RBAS
RBAY
RBMW
RVOW
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-seitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-seitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-seitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-seitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-seitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-seitig)
N
1
.
1759
,693
,000
1759
,420
,000
1759
,391
,000
1759
,368
,000
1759
,396
,000
1759
RMUE
,693
,000
1759
1
.
1759
,375
,000
1759
,350
,000
1759
,367
,000
1759
,358
,000
1759
RBAS
,420
,000
1759
,375
,000
1759
1
.
1759
,691
,000
1759
,449
,000
1759
,489
,000
1759
InterpretierenSie
Siedie
dieempirischen
empirischenKorrelationen!
Korrelationen!
Interpretieren
RBAY
,391
,000
1759
,350
,000
1759
,691
,000
1759
1
.
1759
,441
,000
1759
,446
,000
1759
RBMW
,368
,000
1759
,367
,000
1759
,449
,000
1759
,441
,000
1759
1
.
1759
,544
,000
1759
RVOW
,396
,000
1759
,358
,000
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,489
,000
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,446
,000
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,544
,000
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1
.
1759
Universität Hamburg – Dr. S. Kindermann – Prof. Dr. K. Wegscheider – Quantitative Verfahren im Asset Management - SoSe 2009
Folie II - 3 - 41
Maßzahlen für zweidimensionale Zufallsvariable:
Der Erwartungswert
 X1 
X =   sei eine zweidimensionale Zufallsvariable,
 X2 
X1 , X 2 mindestens intervallskaliert.
Definition:
  ∑ k1 ⋅ f1 ( k1 ) 
  k1

 
k2 ⋅ f2 ( k2 ) 
 ∑
 k2

 E ( X1 )  
E(X) = 

 =   +∞
E
X
(
)
⋅
x
f
x
dx
2
(
)

  ∫ 1 1 1
1 
−∞


+∞


  ∫ x2 ⋅ f2 ( x2 ) dx2 
  −∞

( X1 , X 2
( X1 , X 2
diskret )
stetig)
heißt "Erwartungswert von X ".
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Folie II - 3 - 43
Maßzahlen für Zufallsvariable:
Die Varianz
Zur Erinnerung:
Var ( X1 ) = E ( X1 − E ( X1 ) )
Var ( X 2 ) analog
2
 ( k − E ( X ) )2 ⋅ f ( k )
1
1
1
1
∑
k1

=  +∞
 ( x1 − E ( X1 ) ) 2 ⋅ f1 ( x1 ) dx1
∫
 −∞
( X1 diskret )
 k 2 ⋅ f ( k ) − ( E ( X ) )2
1
1
1
1
∑
k1

=  +∞
 x 2 ⋅ f ( x ) dx − ( E ( X ) ) 2
1
∫ 1 1 1 1
 −∞
( X1 diskret )
( )
= E X12 − ( E ( X1 ) )
2
( X1 stetig)
( X1 stetig)
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Folie II - 3 - 45
Maßzahlen für zweidimensionale Zufallsvariable:
Die Kovarianz
 X1 
X =   sei eine zweidimensionale Zufallsvariable,
 X2 
X1 , X 2 mindestens intervallskaliert.
Definition:
σ 1,2 := Cov ( X1 , X 2 ) = E ( ( X1 − E ( X1 ) ) ⋅ ( X 2 − E ( X 2 ) ) ) = E ( X1 ⋅ X 2 ) − E ( X1 ) ⋅ E ( X 2 )
 ∑∑ k1 ⋅ k2 ⋅ f ( k1 , k2 ) − E ( X1 ) ⋅ E ( X 2 )
 k1 k2
=  +∞ +∞
 ∫ ∫ x1 ⋅ x2 ⋅ f ( x1 , x2 ) dx1dx2 − E ( X1 ) ⋅ E ( X 2 )
 −∞ −∞
heißt "Kovarianz von X ".
( X1 , X 2
diskret )
( X1 , X 2
stetig)
Universität Hamburg – Dr. S. Kindermann – Prof. Dr. K. Wegscheider – Quantitative Verfahren im Asset Management - SoSe 2009
Folie II - 3 - 46
Maßzahlen für zweidimensionale Zufallsvariable:
Der Korrelationskoeffizient
 X1 
X =   sei eine zweidimensionale Zufallsvariable,
 X2 
X1 , X 2 mindestens intervallskaliert.
Definition:
ρ X , X :=
= ρ12 =
1
2
Cov ( X1 , X 2 )
VarX1 ⋅ VarX 2
=
σ 12
σ 1 ⋅σ 2
heißt "Korrelationskoeffizient von X ".
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Folie II - 3 - 52
Zusammenhang zwischen
Unabhängigkeit und Kovarianz
 X1 
X =   sei eine zweidimensionale Zufallsvariable,
 X2 
X1 , X 2 mindestens intervallskaliert.
X1 , X 2 unabhängig ⇒ Cov ( X1 , X 2 ) = 0
( ⇒ E(X
1
⋅ X 2 ) = E ( X1 ) ⋅ E ( X 2 ) )
X1 , X 2 normalverteilt, Cov ( X1 , X 2 ) = 0 ⇒ X1 , X 2 unabhängig
Universität Hamburg – Dr. S. Kindermann – Prof. Dr. K. Wegscheider – Quantitative Verfahren im Asset Management - SoSe 2009
Folie II - 3 - 53
Maßzahlen für zweidimensionale Zufallsvariable:
Kovarianz und Korrelationskoeffizient
 X1 
X =   sei eine zweidimensionale Zufallsvariable,
 X2 
X1 , X 2 mindestens intervallskaliert.
Satz:
i)
Cov ( a ⋅ X1 + b, c ⋅ X 2 + d ) = a ⋅ c ⋅ Cov ( X1 , X 2 )
ii)
ρ ( a ⋅ X 1 + b, c ⋅ X 2 + d ) = ρ ( X 1 , X 2 )
a, c > 0 oder a, c < 0
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Autokorrelation und Autokovarianz
(einer Zeitreihe)
•
Betrachtet man bei einer empirischen Zeitreihe die Korrelation (Kovarianz)
der
Beobachtungen
(Beobachtung
mit
mit
der
„Lag
1“),
jeweils
vorhergehenden
spricht
man
von
der
Beobachtung
empirischen
Autokorrelation (Autokovarianz) erster Ordnung.
•
Betrachtet man größere Abstände zwischen den einzelnen Beobachtungen
(z. B. die jeweils vorvorhergehende Beobachtung, „Lag 2“), spricht man
von empirischen Autokorrelationen (Autokovarianzen) höherer Ordnung (z.
B. zweiter Ordnung).
•
Bei theoretischen Modellen für Zeitreihen (z. B. Kurs- oder Renditeverläufe)
werden
Autokorrelation
formuliert:
ρt ,k =
(Autokovarianz)
Cov ( Rt , Rt − k )
Var ( Rt )Var ( Rt − k )
Rt i . i . d .
=
als
theoretische
Cov ( Rt , Rt − k )
Var ( Rt )
Parameter
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Autokorrelation der DJI-Renditezeitreihe
(1900 – 2009)
,3
,2
,1
-,0
Tagesrendite
-,1
-,2
-,3
-,3
-,2
Vortagesrendite
-,1
-,0
,1
,2
,3
Autokorrelation = 0,041
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Autokorrelation der Intraday-Transaktionsrenditen
der Adidas-Aktie im Monat Juli 2002
,02
Innertages-Transaktionsrenditen
,01
0,00
-,01
-,02
-,02
-,01
0,00
Innertages-Transaktionsrenditen Lag 1
,01
,02
Autokorrelation = 0,828