Ubungen zur Linearen Algebra 2 — Blatt 11

Übungen zur Linearen Algebra 2 — Blatt 11
Prof. Dr. K. Wingberg
Dr. A. Maurischat
Sommersemester 2013,
Abgabe: Di 9.7.2013, 9.00 Uhr
44. Aufgabe: (4 Punkte) (Invarianten berechnen)
Es seien F = Z3 und M der von
   
 
2
3
0
2 , 2 und 10
4
2
8
erzeugte Z-Untermodul von F . Bestimmen Sie eine Basis B = {b1 , b2 , b3 } von F und nichtnegative
ganze Zahlen n1 , n2 , n3 ∈ Z so, dass {n1 · b1 , n2 · b2 , n3 · b3 } eine Basis von M bilden.
45. Aufgabe: (4 Punkte) (Anwendung der Struktursätze)
Bestimmen Sie die Zerlegung in zyklische p-Untermoduln sowie die Invarianten der folgenden
R-Moduln mit R = Z bzw. R = Q[t]:
(a) Z/(15) ⊕ Z/(27) und Z/(3) ⊕ Z/(7) ⊕ Z/(15),
(b) Q[t]/(t2 + 1) ⊕ Q[t]/(t2 − 1).
46. Aufgabe: (4 Punkte) (Annulatorideal)
Es seien R ein Hauptidealring, M ein endlich erzeugter R-Modul und
Ann(M ) := {r ∈ R | r · m = 0 für alle m ∈ M }.
Zeigen Sie:
(a) Ann(M ) ist ein Ideal in R.
(b) M ist genau dann ein Torsionsmodul, wenn Ann(M ) 6= 0 gilt.
(c) Ist M Torsionmodul mit Invarianten q1 , . . . , ql (nach Teilbarkeit geordnet, d.h. q1 teilt q2
etc.), so wird das Ideal Ann(M ) von ql erzeugt.
47. Aufgabe: (4 Punkte) (K[t]-Modul als Vektorraum mit Endomorphismus)
Es seien K ein Körper, K[t] der Polynomring über K und V ein K[t]-Modul, der via K ,→
K[T ], a 7→ a · t0 auch als K-Vektorraum aufgefasst wird (vgl. Aufgabe 39(a)).
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕt : V → V, v 7→ t · v eine K-lineare Abbildung ist (d.h. in
EndK (V ) liegt).
(b) Bestimmen Sie für λ ∈ K, n ∈ N und V := K[t]/(t − λ)n die Koordinatenmatrix der
linearen Abbildung ϕt bzgl. der Basis {1, t, . . . , tn−1 }.
(c) Bestimmen Sie für λ ∈ K, n ∈ N und V := K[t]/(t − λ)n die Koordinatenmatrix der
linearen Abbildung ϕt bzgl. der Basis {1, t − λ, . . . , (t − λ)n−1 } ⊆ V .
Bemerkung: Genau genommen müssten in (b) und (c) als Basiselemente nicht 1, t etc. stehen,
sondern die Restklassen von 1, t etc. in K[t]/(t − λ)n . Wegen der Übersichtlichkeit wurde darauf
verzichtet.
Verständnisfragen
Diese Fragen, sollen dazu dienen, sich die Grundlagen weiter zu verinnerlichen und ein besseres
Verständnis für den behandelten Stoff zu bekommen.
Zum Thema Stuktursätze:
R sei ein Hauptidealring.
1) Wie sieht die Invariantenzerlegung eines zyklischen R-Moduls aus?
2) Wie sieht die Zerlegung von Z/(4) ⊕ Z/(6) in zyklische p-Untermoduln aus (sog. Primärzerlegung)? Wie die Invariantenzerlegung?
Zum Thema endlich erzeugte abelsche Gruppen:
1) Wie viele zueinander nicht isomorphe abelsche Gruppen gibt es jeweils mit 2, 3, 4, 5 bzw. 6
Elementen?
2) Wie viele zueinander nicht isomorphe abelsche Gruppen gibt es mit 2013 Elementen?
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra 2 finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/la2-ss2013