Vergleich von Gruppen I - t-Test und einfache Varianzanalyse (One
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Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Vergleich von Gruppen I
t-Test und einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA)
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Werner Brannath
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
VO Biostatistik im WS 2006/2007
Inhalt
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
1
Der unverbundene t-Test mit homogener Varianz
Beispiel
Modell
Teststatistik und p-Wert
Nullverteilung
2
Einfache Varianzanalyse (One Way ANOVA)
Vom t-Test zur ANOVA
One Way ANOVA für drei Gruppen
One Way ANOVA für k Gruppen
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Der unverbundene t-Test für homogene
Varianzen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichproben
bezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit
(Erwartungswerte) verschieden sind.
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte in
jeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungen
in beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzen
homogen sind.
Der unverbundene t-Test für homogene
Varianzen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichproben
bezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit
(Erwartungswerte) verschieden sind.
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte in
jeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungen
in beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzen
homogen sind.
Der unverbundene t-Test für homogene
Varianzen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichproben
bezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit
(Erwartungswerte) verschieden sind.
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte in
jeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungen
in beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzen
homogen sind.
Der unverbundene t-Test für homogene
Varianzen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Zum Vergleich zweier unverbundener Stichproben
bezüglich eines metrischen Merkmals.
Testet ob die Mittelwerte der Grundgesamtheit
(Erwartungswerte) verschieden sind.
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Setzt voraus, dass die arithmetischen Mittelwerte in
jeder Gruppe normalverteilt sind.
Setzt voraus, dass die Varianzen der Beobachtungen
in beiden Gruppen gleich gross sind, d.h. die Varianzen
homogen sind.
Beispiel für t-Test für zwei unverbundene
Stichproben
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Geburtsgewicht von 50 Kindern mit schwerem „idiopathic
respiratory distress syndrom”
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
1.130
2.600
1.410
2.570
Überlebende Kinder (n1 = 23)
1.575 1.680 1.760 1.930 2.015
2.700 2.950 3.160 3.400 3.640
1.715 1.720 2.040 2.200 2.400
3.005
2.090
2.830
2.550
1.050
1.750
1.225
1.940
Verstorbene Kinder (n2 = 27)
1.175 1.230 1.310 1.500 1.600
1.770 2.275 2.500 1.030 1.100
1.262 1.295 1.300 1.550 1.820
2.200 2.270 2.440 2.560 2.730
1.720
1.185
1.890
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Boxplots
3.5
Vergleich von
Gruppen I
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
2.0
t-Test
Geburtsgewicht (kg)
Inhalt
2.5
3.0
Werner
Brannath
One Way ANOVA für
drei Gruppen
1.5
Vom t-Test zur
ANOVA
1.0
One Way ANOVA für
k Gruppen
Baby verstorben
Baby lebt
Mittelwerte und Standardabweichungen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Überlebende Kinder (n1 = 23):
Pn1
Mittelwert
ȳ1 =
Inhalt
Modell
n1
= 2.307
rP
t-Test
Beispiel
j=1 y1j
Standardabweichung
n1
2
j=1 (y1j −ȳ1 )
s1 =
n1 −1
= 0.665
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Verstorbene Kinder (n2 = 27):
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Pn2
Mittelwert
ȳ2 =
j=1 y2j
n1
= 1.692
rP
Standardabweichung
s2 =
n2
2
j=1 (y2j −ȳ2 )
n2 −1
= 0.518
Mittelwerte und Standardabweichungen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Überlebende Kinder (n1 = 23):
Pn1
Mittelwert
ȳ1 =
Inhalt
Modell
n1
= 2.307
rP
t-Test
Beispiel
j=1 y1j
Standardabweichung
n1
2
j=1 (y1j −ȳ1 )
s1 =
n1 −1
= 0.665
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Verstorbene Kinder (n2 = 27):
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Pn2
Mittelwert
ȳ2 =
j=1 y2j
n1
= 1.692
rP
Standardabweichung
s2 =
n2
2
j=1 (y2j −ȳ2 )
n2 −1
= 0.518
Fragestellung im Beispiel
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durch
reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .
H0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) ein
identisches mittleres Geburtsgewicht.
Fragestellung im Beispiel
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Sind die Unterschiede im mittleren Geburtsgewicht durch
reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .
H0 : Die beiden Gruppen haben (in Wirklichkeit) ein
identisches mittleres Geburtsgewicht.
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufall
erklärbar, d.h. gilt . . .
H1 : Die beiden Gruppen unterscheiden sich in ihrem
mittleren Geburtsgewicht.
Vergleich der Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Differenz der Mittelwerte: ȳ1 − ȳ2 = 0.615
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Gemeinsame Varianz
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s2 =
(n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
= 0.348
48
√
Gemeinsame Standardabweichung: s = s2 = 0.590
=
Vergleich der Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Differenz der Mittelwerte: ȳ1 − ȳ2 = 0.615
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Gemeinsame Varianz
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s2 =
(n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
= 0.348
48
√
Gemeinsame Standardabweichung: s = s2 = 0.590
=
Vergleich der Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Differenz der Mittelwerte: ȳ1 − ȳ2 = 0.615
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Gemeinsame Varianz
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s2 =
(n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
= 0.348
48
√
Gemeinsame Standardabweichung: s = s2 = 0.590
=
Vergleich der Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Differenz der Mittelwerte: ȳ1 − ȳ2 = 0.615
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Gemeinsame Varianz
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s2 =
(n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
= 0.348
48
√
Gemeinsame Standardabweichung: s = s2 = 0.590
=
Vergleich der Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Differenz der Mittelwerte: ȳ1 − ȳ2 = 0.615
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Gemeinsame Varianz
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s2 =
(n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
n1 + n2 − 2
22 · 0.6652 + 26 · 0.5182
= 0.348
48
√
Gemeinsame Standardabweichung: s = s2 = 0.590
=
Zweiseitiger unverbundener t-Test mit
homogenen Varianzen (Software R)
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
>
t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)
Zweiseitiger unverbundener t-Test mit
homogenen Varianzen (Software R)
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
>
t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)
Zweiseitiger unverbundener t-Test mit
homogenen Varianzen (Software R)
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
>
t.test(sirdsa,sirdsd,var.equal=T)
Inhalt
t-Test
Two Sample t-test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
data: sirdsa and sirdsd
t = 3.6797, df = 48, p-value = 0.0005902
alternative hypothesis: true difference
in means is not equal to 0
sample estimates:
mean of x mean of y
2.307391 1.691741
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Überlebende Kinder:
Geburtsgewicht normalverteilt
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
µ1
σ
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteilt
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
µ2
σ
Inhalt
t-Test
Beispiel
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
Dichte
Geburtsgewicht normalverteilt
µ1
σ
Modell
Teststatistik und
p-Wert
0
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
1
2
Gewicht (kg)
Nullverteilung
One Way
ANOVA
0.4
0.6
Überlebende Kinder:
0.2
Werner
Brannath
0.0
Vergleich von
Gruppen I
0.8
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteilt
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
µ2
σ
3
4
Inhalt
t-Test
Beispiel
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
Dichte
Geburtsgewicht normalverteilt
µ1
σ
Modell
Teststatistik und
p-Wert
0
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
1
2
Gewicht (kg)
Nullverteilung
One Way
ANOVA
0.4
0.6
Überlebende Kinder:
0.2
Werner
Brannath
0.0
Vergleich von
Gruppen I
0.8
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Verstorbene Kinder:
Geburtsgewicht normalverteilt
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
µ2
σ
3
4
Inhalt
t-Test
Beispiel
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
Dichte
Geburtsgewicht normalverteilt
µ1
σ
0.4
0.6
Überlebende Kinder:
0.2
Werner
Brannath
0.0
Vergleich von
Gruppen I
0.8
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Modell
Teststatistik und
p-Wert
0
1
2
3
4
3
4
Gewicht (kg)
One Way ANOVA für
k Gruppen
0.6
Verstorbene Kinder:
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
Dichte
Geburtsgewicht normalverteilt
µ2
σ
0.4
One Way ANOVA für
drei Gruppen
0.2
Vom t-Test zur
ANOVA
0.0
One Way
ANOVA
0.8
Nullverteilung
0
1
2
Gewicht (kg)
Inhalt
t-Test
Beispiel
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
Dichte
Geburtsgewicht normalverteilt
µ1
σ
0.4
0.6
Überlebende Kinder:
0.2
Werner
Brannath
0.0
Vergleich von
Gruppen I
0.8
Modell = Annahmen über Grundgesamtheit
Modell
Teststatistik und
p-Wert
0
1
2
3
4
3
4
Gewicht (kg)
One Way ANOVA für
k Gruppen
0.6
Verstorbene Kinder:
Erwartungswert (Mittelwert)
Standardabweichung
Dichte
Geburtsgewicht normalverteilt
µ2
σ
0.4
One Way ANOVA für
drei Gruppen
0.2
Vom t-Test zur
ANOVA
0.0
One Way
ANOVA
0.8
Nullverteilung
0
Geburtsgewichte unabhängig
1
2
Gewicht (kg)
Dichten der Normalverteilung
0.4
Vergleich von
Gruppen I
t-Test
Beispiel
−2
0
4
Dichte
0.2
0.1
Inhalt
versch. Mittelwerte
0.3
Werner
Brannath
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
0.0
Modell
−10
−5
0
5
10
Dichten der Normalverteilung
0.4
Vergleich von
Gruppen I
−2
0
4
0.1
t-Test
0.2
Dichte
Inhalt
versch. Mittelwerte
0.3
Werner
Brannath
Beispiel
0.0
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
−10
0.8
One Way
ANOVA
0
5
10
0.5
1
1.5
0.4
Dichte
10
0.2
One Way ANOVA für
k Gruppen
5
0.0
One Way ANOVA für
drei Gruppen
0
versch. Standardabw.
0.6
Vom t-Test zur
ANOVA
−5
−10
−5
Teststatistik t
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
n1 , n2 Stichprobenumfänge; ȳ1 , ȳ2 die Mittelwerte
s die gemeinsame Standardabweichung
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Teststatistik des unverbundenen t-Tests
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
t=q
1
1
n1
+
1
n2
· (ȳ1 − ȳ2 )/s
Je grösser der Absolutwert von t desto unplausibler H0 .
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mit
zwei Stichproben der Größe n1 = 23 und n2 = 27,
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 gilt,
ansonsten alles wie in der Grundgesamtheit
unserer Studie ist, d.h.:
die Geburtsgewichte normalverteilt sind und
die Varianz σ 2 wie in unserer Studie ist.
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Man denke an zweite unabhängige Studie ebenfalls mit
zwei Stichproben der Größe n1 = 23 und n2 = 27,
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Stichproben aus einer Grundgesamtheit in der
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
die Nullhypothese H0 : µ1 = µ2 gilt,
ansonsten alles wie in der Grundgesamtheit
unserer Studie ist, d.h.:
die Geburtsgewichte normalverteilt sind und
die Varianz σ 2 wie in unserer Studie ist.
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
Defintion des p-Werts
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t ∗
grösser als der Absolutwert von t?
p − Wert = P(t∗2 > t 2 )
One Way ANOVA für
k Gruppen
Welche Verteilung hat t∗2 ?
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
Defintion des p-Werts
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t ∗
grösser als der Absolutwert von t?
p − Wert = P(t∗2 > t 2 )
One Way ANOVA für
k Gruppen
Welche Verteilung hat t∗2 ?
Der p-Wert als Plausibilitätswert für H0
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Bezeichnen mit t∗ die t-Teststatistik der zweiten Studie.
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
Defintion des p-Werts
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Absolutwert von t ∗
grösser als der Absolutwert von t?
p − Wert = P(t∗2 > t 2 )
One Way ANOVA für
k Gruppen
Welche Verteilung hat t∗2 ?
Bestimmung der H0 -Verteilung von t 2
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Quadrat der t-Teststatistik
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
t2 =
Teststatistik und
p-Wert
(ȳ1 − ȳ2 )2
1
1
2
+
n1
n2 · s
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
=
(ȳ1 − ȳ2 )2
σ 2 · n11 + n12
One Way ANOVA für
k Gruppen
= Zähler/Nenner
s2
σ2
Verteilung vom Zähler
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
ȳ1 − y¯2 normalverteilt mit E(ȳ1 − y¯2 ) = µ1 − µ2
und Var (ȳ1 − y¯2 ) = Var (ȳ1 ) + Var (y¯2 ) =
σ2
n1
+
σ2
n2 .
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Falls H0 : µ1 = µ2 , dann
√
ȳ1 − ȳ2
Zähler = q
σ2
σ2
n1 + n2
∼
N(0, 1)
Damit ist auch die H0 -Verteilung vom Zähler bekannt!
Verteilung vom Zähler
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
ȳ1 − y¯2 normalverteilt mit E(ȳ1 − y¯2 ) = µ1 − µ2
und Var (ȳ1 − y¯2 ) = Var (ȳ1 ) + Var (y¯2 ) =
σ2
n1
+
σ2
n2 .
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Falls H0 : µ1 = µ2 , dann
√
ȳ1 − ȳ2
Zähler = q
σ2
σ2
n1 + n2
∼
N(0, 1)
Damit ist auch die H0 -Verteilung vom Zähler bekannt!
Verteilung vom Zähler
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
ȳ1 − y¯2 normalverteilt mit E(ȳ1 − y¯2 ) = µ1 − µ2
und Var (ȳ1 − y¯2 ) = Var (ȳ1 ) + Var (y¯2 ) =
σ2
n1
+
σ2
n2 .
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Falls H0 : µ1 = µ2 , dann
√
ȳ1 − ȳ2
Zähler = q
σ2
σ2
n1 + n2
∼
N(0, 1)
Damit ist auch die H0 -Verteilung vom Zähler bekannt!
Definition der χ2k -Verteilung
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Definition
Z1 , Z2 , . . . , Zk unabhäng und N(0, 1)-verteilt
Inhalt
t-Test
Beispiel
Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
X 2 = Z12 + Z22 + . . . + Zk2
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
die χ2 -Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 ∼ χ2k
Beispiel
Wenn H0 : µ1 = µ2 dann Zähler ∼ χ21
Definition der χ2k -Verteilung
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Definition
Z1 , Z2 , . . . , Zk unabhäng und N(0, 1)-verteilt
Inhalt
t-Test
Beispiel
Man nennt die Verteilung der Zufallsvariablen
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
X 2 = Z12 + Z22 + . . . + Zk2
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
die χ2 -Verteilung mit k Freiheitsgraden, kurz X 2 ∼ χ2k
Beispiel
Wenn H0 : µ1 = µ2 dann Zähler ∼ χ21
Dichten der χ2k -Verteilungen
0.25
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
0.20
Inhalt
t-Test
Freiheitsgrade
Beispiel
1
2
48
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Dichte
Teststatistik und
p-Wert
0.10
0.15
Modell
0.00
One Way ANOVA für
k Gruppen
0.05
One Way ANOVA für
drei Gruppen
0
5
10
15
Summeneigenschaft
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Summeneigenschaft der χ2 -Verteilungen
Wenn
X12 ∼ χ2k1
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
und
X22 ∼ χ2k2
und X12 und X22 sind unabhängig, dann ist
One Way
ANOVA
X12 + X22
Vom t-Test zur
ANOVA
∼
χ2k1 +k2
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Beispiel
X12 ∼ χ222 und X22 ∼ χ226 , dann X12 + X22 ∼ χ248
Summeneigenschaft
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Summeneigenschaft der χ2 -Verteilungen
Wenn
X12 ∼ χ2k1
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
und
X22 ∼ χ2k2
und X12 und X22 sind unabhängig, dann ist
One Way
ANOVA
X12 + X22
Vom t-Test zur
ANOVA
∼
χ2k1 +k2
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Beispiel
X12 ∼ χ222 und X22 ∼ χ226 , dann X12 + X22 ∼ χ248
Verteilung vom Nenner
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Nenner:
s2
(n1 − 1) · σ12 + (n2 − 1) ·
s2
=
n1 + n2 − 2
σ2
s22
σ2
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Es ist bekannt, dass
(n1 − 1) ·
s12
∼ χ2n1 −1
σ2
und (n2 − 1) ·
Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.
s22
∼ χ2n2 −1
σ2
Verteilung vom Nenner
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Nenner:
s2
(n1 − 1) · σ12 + (n2 − 1) ·
s2
=
n1 + n2 − 2
σ2
s22
σ2
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Es ist bekannt, dass
(n1 − 1) ·
s12
∼ χ2n1 −1
σ2
und (n2 − 1) ·
Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.
s22
∼ χ2n2 −1
σ2
Verteilung vom Nenner
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Nenner:
s2
(n1 − 1) · σ12 + (n2 − 1) ·
s2
=
n1 + n2 − 2
σ2
s22
σ2
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Es ist bekannt, dass
(n1 − 1) ·
s12
∼ χ2n1 −1
σ2
und (n2 − 1) ·
Ausserdem sind s1 und s2 unabhängig.
s22
∼ χ2n2 −1
σ2
Verteilung vom Nenner
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Wegen der Summeneigenschaft der χ2 -Verteilung
X 2 = (n1 − 1) ·
t-Test
s12
s22
+
(n
−
1)
·
2
σ2
σ2
∼
χ2n1 +n2 −2
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Somit ist die Verteilung von
Nenner = {(n1 − 1) ·
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s12
s22
+
(n
−
1)
·
}/(n1 + n2 − 2)
2
σ2
σ2
die χ2 -Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteilt
durch n1 + n2 − 2
Symbolisch:
Nenner ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2).
Verteilung vom Nenner
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Wegen der Summeneigenschaft der χ2 -Verteilung
X 2 = (n1 − 1) ·
t-Test
s12
s22
+
(n
−
1)
·
2
σ2
σ2
∼
χ2n1 +n2 −2
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Somit ist die Verteilung von
Nenner = {(n1 − 1) ·
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s12
s22
+
(n
−
1)
·
}/(n1 + n2 − 2)
2
σ2
σ2
die χ2 -Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteilt
durch n1 + n2 − 2
Symbolisch:
Nenner ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2).
Verteilung vom Nenner
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Wegen der Summeneigenschaft der χ2 -Verteilung
X 2 = (n1 − 1) ·
t-Test
s12
s22
+
(n
−
1)
·
2
σ2
σ2
∼
χ2n1 +n2 −2
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Somit ist die Verteilung von
Nenner = {(n1 − 1) ·
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
s12
s22
+
(n
−
1)
·
}/(n1 + n2 − 2)
2
σ2
σ2
die χ2 -Verteilung mit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden geteilt
durch n1 + n2 − 2
Symbolisch:
Nenner ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2).
Verteilung von t 2
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
t 2 = Zähler/Nenner
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Zähler ∼ χ21
Nenner ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2),
Zähler und Nenner sind unabhängig.
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Die Verteilung von t 2 heißt
F -Verteilung mit 1 und n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden.
Verteilung von t 2
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
t 2 = Zähler/Nenner
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Zähler ∼ χ21
Nenner ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2),
Zähler und Nenner sind unabhängig.
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Die Verteilung von t 2 heißt
F -Verteilung mit 1 und n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden.
ANOVA für Geburtsgewichte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Gruppe
Residuals
Df
1
48
Sum Sq
4.71
16.69
Mean Sq
4.71
0.35
F value
13.5
Pr(>F)
0.0006
ANOVA für Geburtsgewichte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Gruppe
Residuals
Df
1
48
Sum Sq
4.71
16.69
Mean Sq
4.71
0.35
F value
13.5
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
Pr(>F)
0.0006
ANOVA für Geburtsgewichte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Gruppe
Residuals
Df
1
48
Sum Sq
4.71
16.69
Mean Sq
4.71
0.35
F value
13.5
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
Pr(>F)
0.0006
ANOVA für Geburtsgewichte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Gruppe
Residuals
Df
1
48
Sum Sq
4.71
16.69
Mean Sq
4.71
0.35
F value
13.5
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t 2 = 3.862
Pr(>F)
0.0006
ANOVA für Geburtsgewichte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Gruppe
Residuals
Df
1
48
Sum Sq
4.71
16.69
Mean Sq
4.71
0.35
F value
13.5
Pr(>F)
0.0006
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t 2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
ANOVA für Geburtsgewichte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(sirds ∼ Gruppe))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Gruppe
Residuals
Df
1
48
Sum Sq
4.71
16.69
Mean Sq
4.71
0.35
F value
13.5
Pr(>F)
0.0006
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
ANOVA für zwei Gruppen ist equivalent zum t-Test:
F value . . . ist identisch zu t 2 = 3.862
Pr(>F) . . . ist identisch zum p-Wert des t-Tests
Erkläre als nächstes Mean Sq
und Sum Sq !
Definition von Mean Sq
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
(ȳ1 − ȳ2 )2
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
t
2
=
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
=
.
( n11 +
1
n2 )
{(n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22 }/(n1 + n2 − 2)
Mean Sq Gruppe
4.71
=
= 13.5
Mean Sq Residuals
0.35
Defintion von Sum Sq Residual
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Sum Sq Residuals
Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
=
n1
X
j=1
(y1j − ȳ1 )2 +
n2
X
(y2j − ȳ2 )2
j=1
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der
individuellen Beobachtungen vom jeweiligen
Gruppenmittelwert;
. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen
(sum of squares within groups) genannt.
Defintion von Sum Sq Residual
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Sum Sq Residuals
Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
=
n1
X
j=1
(y1j − ȳ1 )2 +
n2
X
(y2j − ȳ2 )2
j=1
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der
individuellen Beobachtungen vom jeweiligen
Gruppenmittelwert;
. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen
(sum of squares within groups) genannt.
Defintion von Sum Sq Residual
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Sum Sq Residuals
Sum Sq Residuals = (n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
=
n1
X
j=1
(y1j − ȳ1 )2 +
n2
X
(y2j − ȳ2 )2
j=1
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der
individuellen Beobachtungen vom jeweiligen
Gruppenmittelwert;
. . . wird auch Quadratsumme innerhalb der Gruppen
(sum of squares within groups) genannt.
Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Betrachten den Gesamtmittelwert:
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Pn1
ȳ =
j=1 y1j
+
Pn2
n1 + n2
j=1 y2j
=
n1
n2
· ȳ1j +
· ȳ2j
n1 + n2
n1 + n2
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Man kann ausrechnen, dass
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
2
Sum Sq Gruppe = (ȳ1 − ȳ2 )
(
1
1
+ )
n1 n2
= n1 · (ȳ1 − ȳ )2 + n2 · (ȳ2 − ȳ )2
Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Betrachten den Gesamtmittelwert:
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Pn1
ȳ =
j=1 y1j
+
Pn2
n1 + n2
j=1 y2j
=
n1
n2
· ȳ1j +
· ȳ2j
n1 + n2
n1 + n2
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Man kann ausrechnen, dass
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
2
Sum Sq Gruppe = (ȳ1 − ȳ2 )
(
1
1
+ )
n1 n2
= n1 · (ȳ1 − ȳ )2 + n2 · (ȳ2 − ȳ )2
Sum Sq Gruppe bei zwei Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Betrachten den Gesamtmittelwert:
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Pn1
ȳ =
j=1 y1j
+
Pn2
n1 + n2
j=1 y2j
=
n1
n2
· ȳ1j +
· ȳ2j
n1 + n2
n1 + n2
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Man kann ausrechnen, dass
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
2
Sum Sq Gruppe = (ȳ1 − ȳ2 )
(
1
1
+ )
n1 n2
= n1 · (ȳ1 − ȳ )2 + n2 · (ȳ2 − ȳ )2
Definition Sum Sq Gruppe
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Sum Sq Gruppe
Inhalt
t-Test
Beispiel
Sum Sq Gruppe = n1 · (ȳ1 − ȳ )2 + n2 · (ȳ2 − ȳ )2
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zwei
Gruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;
One Way ANOVA für
k Gruppen
. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum of
squares between groups) genannt.
Definition Sum Sq Gruppe
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Sum Sq Gruppe
Inhalt
t-Test
Beispiel
Sum Sq Gruppe = n1 · (ȳ1 − ȳ )2 + n2 · (ȳ2 − ȳ )2
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zwei
Gruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;
One Way ANOVA für
k Gruppen
. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum of
squares between groups) genannt.
Definition Sum Sq Gruppe
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Sum Sq Gruppe
Inhalt
t-Test
Beispiel
Sum Sq Gruppe = n1 · (ȳ1 − ȳ )2 + n2 · (ȳ2 − ȳ )2
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
. . . ist Summe der Abweichungsquadrate der zwei
Gruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert;
One Way ANOVA für
k Gruppen
. . . wird Quadratsumme zwischen den Gruppen (sum of
squares between groups) genannt.
Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(n1 + n2 − 2)
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(n1 + n2 − 2)
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Beziehung zwischen Sum Sq und Mean Sq
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(n1 + n2 − 2)
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ21 /1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼
χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2)
χ21 /1
= F1,n1 +n2 −2
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ21 /1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼
χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2)
χ21 /1
= F1,n1 +n2 −2
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ21 /1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼
χ2n1 +n2 −2 /(n1 + n2 − 2)
χ21 /1
= F1,n1 +n2 −2
Vergleich von drei Gruppen - Beispiel
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
22 Patienten mit künstlicher Beatmung wurden
drei Beatmungsgruppen per Zufall zugeteilt (randomisiert)
Gruppe A: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemisch
für 24 Stunden.
Gruppe B: 50% Stickoxid und 50% Sauerstoffgemisch
nur wärend der Operation.
Gruppe C: kein Stickoxid, 35-50% Sauerstoff für 24
Stunden.
Endpunkt: Die Wirkung der Beatmung wird durch die
Blutplättchenzahl nach 24 stündiger Beatmung beurteilt.
Beispiel: Fragestellung
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Unterscheiden sich die drei Methoden in
ihrer Wirkung auf die Bluttplättchenzahl?
Beispiel: Blutplättchenzahl
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
arithm. Mittel
Standardabw.
Gruppe A
n=8
Gruppe B
n=9
Gruppe B
n=5
243
251
275
291
347
354
380
392
206
210
226
249
255
273
285
295
309
241
258
270
293
328
316.6
58.7
256.4
37.1
278.0
33.8
Beispiel: Boxplots der Blutblättchenzahl
Vergleich von
Gruppen I
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
250
t-Test
Blutplättchenzahl
Inhalt
300
350
Werner
Brannath
One Way ANOVA für
drei Gruppen
200
One Way ANOVA für
k Gruppen
A
B
Gruppe
C
Beispiel: Vergleich der Mittelwerte
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Sind die Unterschiede in der mittleren Blutplättchenzahl
durch reinen Zufall erklärbar, d.h. gilt . . .
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
H0 : Die drei Beatmungsmethoden wirken (in Wirklichkeit)
gleich auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
oder sind die Unterschiede nicht alleine durch Zufall
erklärbar, d.h. gilt . . .
One Way ANOVA für
k Gruppen
H1 : Die Beatmungsmethoden unterscheiden sich in ihrer
Wirkung auf die durchschnittliche Blutplättchenzahl.
ANOVA für Blutplättchenzahl
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Group
Residuals
Df
2
19
Sum Sq
15516
39716
Mean Sq
7758
2090
F value
3.7113
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Im folgenden betrachten wir:
Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Pr(>F)
0.04359
ANOVA für Blutplättchenzahl
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Group
Residuals
Df
2
19
Sum Sq
15516
39716
Mean Sq
7758
2090
F value
3.7113
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Im folgenden betrachten wir:
Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Pr(>F)
0.04359
ANOVA für Blutplättchenzahl
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Group
Residuals
Df
2
19
Sum Sq
15516
39716
Mean Sq
7758
2090
F value
3.7113
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Im folgenden betrachten wir:
Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Pr(>F)
0.04359
ANOVA für Blutplättchenzahl
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
> summary(aov(Foliate Group,data=redcell))
Inhalt
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Group
Residuals
Df
2
19
Sum Sq
15516
39716
Mean Sq
7758
2090
F value
3.7113
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Im folgenden betrachten wir:
Sum Sq Group und Sum Sq Group
Mean Sq Group und Mean Sq Group
F value und seine Verteilung.
Pr(>F)
0.04359
Defintion der Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Quadratsumme zwischen den Gruppen
Sum Sq Gruppe = n1 ·(ȳ1 − ȳ )2 +n2 ·(ȳ2 − ȳ )2 +n3 ·(ȳ3 − ȳ )2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Quadratsumme innerhalb der Gruppen
Sum Sq Residuals =
One Way ANOVA für
drei Gruppen
= (n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22 + (n3 − 1) · s32
One Way ANOVA für
k Gruppen
=
n1
X
j=1
2
(y1j − ȳ1 ) +
n2
X
j=1
2
(y2j − ȳ2 ) +
n3
X
j=1
(y3j − ȳ3 )2
Defintion der Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Quadratsumme zwischen den Gruppen
Sum Sq Gruppe = n1 ·(ȳ1 − ȳ )2 +n2 ·(ȳ2 − ȳ )2 +n3 ·(ȳ3 − ȳ )2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
Quadratsumme innerhalb der Gruppen
Sum Sq Residuals =
One Way ANOVA für
drei Gruppen
= (n1 − 1) · s12 + (n2 − 1) · s22 + (n3 − 1) · s32
One Way ANOVA für
k Gruppen
=
n1
X
j=1
2
(y1j − ȳ1 ) +
n2
X
j=1
2
(y2j − ȳ2 ) +
n3
X
j=1
(y3j − ȳ3 )2
Mittlere Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(n1 + n2 + n3 − 3)
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Mittlere Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(n1 + n2 + n3 − 3)
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Mittlere Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(n1 + n2 + n3 − 3)
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ22 /2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1 +n2 +n3 −3 /(n1 + n2 + n3 − 3)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼ F2,n1 +n2 +n3 −3
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ22 /2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1 +n2 +n3 −3 /(n1 + n2 + n3 − 3)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼ F2,n1 +n2 +n3 −3
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = µ3
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ22 /2
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2n1 +n2 +n3 −3 /(n1 + n2 + n3 − 3)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼ F2,n1 +n2 +n3 −3
ANOVA mit k Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
k . . . Gruppen
ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )
P
N = ki=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i
σ 2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Modell
yij = µi + εij ,
εij ∼ N(0, σ 2 ) unabhängig
Hypothesen
H0 : µ1 = · · · = µk ,
H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j
ANOVA mit k Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
k . . . Gruppen
ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )
P
N = ki=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i
σ 2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Modell
yij = µi + εij ,
εij ∼ N(0, σ 2 ) unabhängig
Hypothesen
H0 : µ1 = · · · = µk ,
H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j
ANOVA mit k Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
t-Test
k . . . Gruppen
ni . . . Stichprobengrösse der Gruppe i (i = 1, . . . , k )
P
N = ki=1 ni . . . Gesamtzahl der Beobachtungseinheiten
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
µi . . . Mittelwert der Grundegesamtheit in Gruppe i
σ 2 . . . gemeinsame Varianz in der Grundgesamtheit
One Way
ANOVA
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Modell
yij = µi + εij ,
εij ∼ N(0, σ 2 ) unabhängig
Hypothesen
H0 : µ1 = · · · = µk ,
H1 : µi 6= µj für mind. eine i und j
Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups)
Inhalt
t-Test
Beispiel
Sum Sq Gruppe =
k
X
ni · (ȳi − ȳ )2
i=1
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Sum Sq Residuals =
k
X
i1
(ni − 1) · si2
=
ni
k X
X
i=1 j=1
(yij − ȳi )2
Defintion der Qudratsummen bei k Gruppen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Quadratsumme zwischen Gruppen (between groups)
Inhalt
t-Test
Beispiel
Sum Sq Gruppe =
k
X
ni · (ȳi − ȳ )2
i=1
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Quadratsumme innerhalb der Gruppen (within groups)
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
Sum Sq Residuals =
k
X
i1
(ni − 1) · si2
=
ni
k X
X
i=1 j=1
(yij − ȳi )2
Mittlere Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
k −1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(N − k )
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Mittlere Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
k −1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(N − k )
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Mittlere Qudratsummen
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe =
Sum Sq Gruppe
k −1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals =
Vom t-Test zur
ANOVA
Sum Sq Residuals
(N − k )
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic =
Mean Sq Gruppe
Mean Sq Residual
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ2k −1 /k − 1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k /(N − k )
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼ Fk −1,N−k
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ2k −1 /k − 1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k /(N − k )
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼ Fk −1,N−k
Verteilungen unter H0 : µ1 = µ2 = . . . = µk
Vergleich von
Gruppen I
Werner
Brannath
Inhalt
Mean Sq Gruppe ∼ χ2k −1 /k − 1
t-Test
Beispiel
Modell
Teststatistik und
p-Wert
Nullverteilung
One Way
ANOVA
Mean Sq Residuals ∼ χ2N−k /(N − k )
Vom t-Test zur
ANOVA
One Way ANOVA für
drei Gruppen
One Way ANOVA für
k Gruppen
F Statistic ∼ Fk −1,N−k
