Zur Erstellung eines Boxplots.

„Kochrezept“ für das Erstellen eines Boxplots anhand
eines konkreten Beispiels
Die nachfolgenden fiktiven Messdaten sollen mit Hilfe eines Boxplots
dargestellt werden.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
1
1
3
3
15
1
4
26
5
4
2
9
3
4
4
9
3
3
1. Zunächst ordnen wir die Messdaten der Größe nach aufsteigend an:
x1
x2
x6
x11
x3
x4
x13
x17
x18
x7
x10
x14
x15
x9
x12
x16
x5
x8
1
1
1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
9
9
15
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1 Ergänzendes Material zur Vorlesung „Mathematik I für Studierende der Biologie und der Chemie“ im
Wintersemester 2014/2015 an der Universität zu Köln
Dozent: apl. Prof. Dr. Dirk Horstmann
2. Umbenennung/Neunummerierung der Messdaten:
Nun nennen wir die Messdaten wie folgt um:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
1
1
1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
9
9
15
26
Hierdurch wird sichergestellt, dass x1 den kleinsten und x18 den größten Wert
bezeichnet.
Des Weiteren gilt nun, dass
Die Ordnung der Messreihe spiegelt sich somit nun auch im Laufindex wider.
3. Ermittlung von xmin und xmax.
Wir sehen, dass xmin = x1 = 1 und xmax = x18 =26 ist.
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4. Berechnung des arithmetischen Mittel der Messdaten:
Das arithmetische Mittel xM der Messreihe ist gegeben durch die Formel:
Wir erhalten somit den Wert:
5. Berechnung des 25%-Quantils:
Zunächst einmal zur Wiederholung die allgemeine Vorgehensweise zur
Bestimmung eines α-Quantils: Die Formel zur Berechnung der Position, an der
sich das α-Quantil einer Messreihe befindet, besagt, dass man die Anzahl der
Messdaten mit α multipliziert und nun überprüft, ob der sich so ermittelte
Wert r ganzzahlig ist oder nicht. Ist r nicht ganzahlig, so geht man zur
nächstgrößeren ganzen Zahl über und nimmt die Zahl als α-Quantil, die sich
an dieser Stelle in der geordneten Messdatenreihe befindet. Ist r jedoch
ganzzahlig, so bildet man aus den Werten der geordneten Messdatenreihe, die
sich an der r-ten und der (r+1)-ten Position der Reihe befindet, das
arithmetische Mittel und setzt das gesuchte α-Quantil gleich diesem Mittelwert
der beiden Werte aus der Messdatenreihe.
Zur Berechnung des 25%-Quantils müssen wir nun zunächst r=18*1/4=4,5
bestimmen. r ist also nicht ganzzahlig, so dass wir zur nächstgrößeren ganzen
Zahl übergehen. Dies ist in unserem Fall die Zahl 5. Das 25%-Quantils ist
folglich der 5. Wert in der geordneten Messdatenreihe. Dies ist in unserem
Beispiel der Wert x5= 3.
6. Berechnung des 50%-Quantils (also Berechnung des Medians):
Zur Berechnung des Medians müssen wir zunächst r =18*1/2=9 bestimmen.
r ist nun ganzzahlig. Wir müssen also jetzt das arithmetische Mittel der beiden
Werte an der 9. und an der 10. Stelle der Messdatenreihe bilden. Dies sind die
Werte x9 = 3 und x10 = 4. So erhalten wir als 50%-Quantil den Wert
(3+4)/2=3.5. Dies ist der Median der Messreihe auch wenn dieser Wert in
der ursprünglichen Messdatenreihe gar nicht vorgekommen ist.
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Ergänzendes Material zur Vorlesung „Mathematik I für Studierende der Biologie und der Chemie“ im
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7. Berechnung des 75%-Quantils:
Zur Berechnung des 75%-Quantils müssen wir somit zunächst r
=18*3/4=13.5 bestimmen. r ist nicht ganzzahlig, so dass wir auch hier zur
nächstgrößeren ganzen Zahl übergehen. Dies ist im jetzigen Fall die Zahl 14.
Das 75%-Quantils ist daher der 14. Wert in der geordneten Messdatenreihe.
Dies ist in unserem Beispiel der Wert x14= 5.
8. Zeichnung des Boxplots über einer Werteskala:
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