x - an der HTWG Konstanz

Modellierung von Unsicherheit
in Systemen
!  Motivation
!  Systeme
Zeitdiskrete, lineare und nicht-­‐lineare Systeme, Beispiele !  Wahrscheinlichkeiten
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsdichten, mehrdimensionale Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Gesetze !  Normalverteilung
Ein-­‐ und mehrdimensional, Fehlerellipsen, Summe und Produkt, Fehlerfortpflanzung, Beispiele !  Monte-Carlo-Simulation
ParFkelmengen, Fehlerfortpflanzung, Beispiele Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Konstanz
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WS 16/17
3-1
Motivation
t1
!  Roboter befindet sich zum
Zeitpunkt t1 an Position x1 und
misst Abstand z1 zur Wand.
z1
x
x1
d
z2
t2
x
x2
!  Roboter bewegt sich im
nächsten Zeitschritt um d nach
vorne in den Zustand x2 und
misst erneut den Abstand zur
Wand z2.
Typische Fragestellungen:
!  Wie ungenau ist die Positionsschätzung bei ungenauer Sensormessung
und ungenauer Kenntnis der Wand?
!  Wie pflanzt sich die Ungenauigkeit in der Position fort, wenn Bewegung nur
ungenau gemessen werden kann?
!  Wie lässt sich die Ungenauigkeit der Position verbessern, wenn erneut
Sensormessung verfügbar ist?
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-2
Zeitdiskrete Systeme
!  Wir betrachen Systeme zu diskreten Zeitpunkten t0, t1, t2 , ...
!  Der Abstand zwischen den Zeitpunkten ist typischerweise konstant
(Abtastintervall) T = tk+1 - tk .
!  Die Systemgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Zustand xk
zum Zeitpunkt tk und dem Folgezustand xk+1 zum Zeitpunkt tk+1:
xk
uk
x k +1 = f k (x k ,uk )
fk
xk+1
!  xk: n-dimensionaler Zustandsvektor zum Zeitpunkt tk
€
!  uk: m-dimensionaler Eingangsvektor (Steuervektor) zum Zeitpunkt tk
!  fk kann von der Zeit abhängen
!  zeitinvariantes System, falls fk nicht von der Zeit abhängt.
!  im allgemeinen ist fk nicht-linear.
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-3
Lineare Systeme
!  Ein wichtiger Spezialfall sind lineare Systeme
x k +1 = A k x k + B k uk
!  Ak:
n*n-dimensionale Systemmatrix
!  Bk:
n*m-dimensionale Steuermatrix
! €Ak und Bk können von der Zeit abhängen
!  sonst zeitinvariantes System
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-4
Beispiel 1
!  Roboter wird mit konstantem
a horizontal beschleunigt
(z.B mit einem
Elektromotor).
a
x
!  Systemzustand besteht aus Position und Geschwindigkeit:
⎛ x k ⎞
x k = ⎜ ⎟
⎝ v k ⎠
!  Steuervektor ist die Beschleunigung
€
uk = a
!  Unter der Annahme, dass in der Zeitspanne T die Geschwindigkeit konstant ist,
ergibt sich folgendes lineares und zeitinvariantes System:
€
⎛ x k +1 ⎞ ⎛1 T ⎞⎛ x k ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ $a
v
0
1
v k ⎠ ⎝ T ⎠ u k
⎝!"
k +1 ⎠
$
# ⎝!"#⎠⎝$
x k+1
A
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€
xk
B
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WS 16/17
3-5
Bemerkung
!  Eigentlich sind Systeme kontinuierlich.
!  Systemgleichung ist dann eine
Differentialgleichung.
Für den beschleunigten Roboter wäre das:
a
x
⎛ x˙ k ⎞ ⎛0 1⎞⎛ x k ⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ !a
˙
v k ⎠ ⎝0 0⎠⎝ v k ⎠ ⎝ 1⎠ u k
⎝!
"#$ ! !
x˙ k
A
xk
B
x˙ k = Ax k + Buk
!  Die zeitdiskreten Systeme sind eine numerische Approximation.
Die Approximationsfehler sind jedoch weitaus geringer als die Fehler,
€
die später durch Sensorik und Aktorik in den Systemen entstehen.
!  Zeitdiskrete Systeme sind einfacher zu behandeln.
!  In der Praxis sind Robotersysteme diskret gesteuert.
Typisches Abstastintervall ist dabei T = 0.01 sec.
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-6
Beispiel 2
!  Horizonal geworfener Ball
y
!  Systemzustand besteht aus Position und
Geschwindigkeit in x und y-Richtung:
(
x k = xk
yk
v xk
v yk
)
T
v0
h
g
!  Anfangszustand:
€
Flugbahn
x
x 0 = (0 h v 0
0)
T
!  Steuervektor ist die Gravitation:
€
€
uk = g
!  Systemgleichung ist linear und zeitinvariant:
⎛ x k +1 ⎞ ⎛1 0 T 0 ⎞⎛ x k ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y
0
1
0
T
⎜ k +1 ⎟ = ⎜
⎟⎜ y k ⎟ + ⎜ 0 ⎟ g
⎜v x k+1 ⎟ ⎜0 0 1 0 ⎟⎜ v x k ⎟ ⎜ 0 ⎟ %
⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u k
⎟
v y k+1 ⎠ ⎝0 0 0 1 ⎠⎝ v y k ⎠ ⎝ T ⎠
⎝!
#% %
"# !$$"$$
x k+1
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A
xk
B
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3-7
Modellierung von Unsicherheit
in Systemen
!  Motivation
!  Systeme
Zeitdiskrete, lineare und nicht-­‐lineare Systeme, Beispiele !  Wahrscheinlichkeiten
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsdichten, mehrdimensionale Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Gesetze !  Normalverteilung
Ein-­‐ und mehrdimensional, Fehlerellipsen, Summe und Produkt, Fehlerfortpflanzung, Beispiele !  Monte-Carlo-Simulation
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3-8
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsdichte
!  In der Robotik werden Positionen, Sensorwerte, Steuerbefehle, usw. als
Zufallsvariablen modelliert.
!  Eine Zufallsvariable kann beliebige, reelle Werte annehmen (wir
betrachten hier nur stetige Zufallsvariablen).
!  Einer Zufallsvariablen x ist eine Wahrscheinlichkeitsdiche (probability
density function, pdf) zugeordnet p(x):
p(x)
x
!  Für die Wahrscheinlichkeit, dass x im Intervall [a,b] liegt, gilt:
b
P(a ≤ x ≤ b) =
∫ p(x)dx
a
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3-9
Verteilungsfunktion
!  Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte muss gelten:
+∞
∫ p(x)dx = 1
−∞
p(x)
€
x
!  Zur einer Wahrscheinlichkeitsdichte p gibt es
eine Verteilungsfunktion F:
a
F(a) = P(x ≤ a) =
∫ p(x)dx
−∞
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3-10
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
!  Zufallsvariablen könen auch mehrdimensional (Zufallsvektor) sein
x = ( x1, x 2 , ..., x n )
€
T
!  Beispiel: Eine Roboterposition (x,y,θ) ist
eine 3-dimensionale Zufallsvariable.
!  Die zugehörige
Wahrscheinlichkeitsdichte p ist dann
ebenfalls mehrdimensional und es gilt:
+∞
+∞
∫ ... ∫ p(x , x ,..., x
1
−∞
2
n
)dx1 ...dx n = 1
−∞
€
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3-11
Mittelwert, Varianz und Kovarianz
!  Der Mittelwert µ (Mean) einer Zufallsvariablen x (skalar oder
mehrdimensional) wird definiert als der Erwartungswert E(x).
µx = E(x) =
∫ x p(x) dx
!  Varianz einer skalaren Zufallsvariablen x:
σx2 = E((x − µx ) 2 )
€
!  Kovarianz zweier skalaren Zufallsvariablen x und y:
€
σxy = E((x − µx )(y − µy ))
€
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3-12
Kovarianz einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen
!  Kovarianz einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen
(Zufallsvektor) x:
Σ x = E((x − µx ) (x − µx )T )
!  Für einen zweidimensionalen Zufallsvektor x =(x, y)T ergibt sich:
€
⎛⎛ x − µx ⎞
Σ x = E ⎜⎜⎜
⎟ x − µx
⎝⎝ y − µy ⎠
(
⎞ ⎛ σ x2 σ xy ⎞
y − µy ⎟⎟ = ⎜
2 ⎟
⎠ ⎝σ xy σ y ⎠
)
€
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
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3-13
Lineare Transformation von Zufallsvariablen
Skalarer Fall
Skalare Zufallsvariable y geht aus x durch eine lineare Transformation
hervor:
y = ax + b
Dann folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte:
µy = aµx + b und σ y2 = a 2σ x2
€
Mehrdimensionaler Fall
€
n-dimensionaler Zufallsvektor y geht aus m-dimensionalen Zufallsvektor x
durch eine lineare Transformation hervor:
y = Ax + B
Dann folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte :
µy = Aµx + B und Σ y = AΣx A T
€
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3-14
Summe von Zufallsvariablen
!  Seien zwei unabhängige Zufallsvariablen x und y
(skalar oder mehrdimensional) gegeben.
!  Dann gilt für z = x + y:
µz = µx + µy
und
Σz = Σx + Σy
•  Für skalare Zufallsvariablen ist σ2 statt Σ zu nehmen.
€
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3-15
Modellierung von Unsicherheit
in Systemen
!  Motivation
!  Systeme
Zeitdiskrete, lineare und nicht-­‐lineare Systeme, Beispiele !  Wahrscheinlichkeiten
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsdichten, mehrdimensionale Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Gesetze !  Normalverteilung
Ein-­‐ und mehrdimensional, Fehlerellipsen, Summe und Produkt, Fehlerfortpflanzung, Beispiele !  Monte-Carlo-Simulation
ParFkelmengen, Fehlerfortpflanzung, Beispiele Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Konstanz
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3-16
Eindimensionale Normalverteilung
!  Eine normalverteilte Zufallsvariable x mit Mittelwert µ und Varianz σ2 hat
folgende Wahrscheinlichkeitsdichte (Gaußsche Glockenkurve):
!  Schreibweise: x ∼ N(x;µ,σ2)
!  Nützliche Fakten:
p(x)
P(µ-σ ≤ x ≤ µ+σ ) = 68%
P(µ-2σ ≤ x ≤ µ+2σ ) = 95.5%
µ
P(µ-3σ ≤ x ≤ µ+3σ ) = 99.7%
-σ
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σ
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x
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3-17
Mehrdimensionale Normalverteilung
!  Ein normalverteilter Zufallsvektor x der Dimension n mit Mittelwert µ und
Kovarianz Σ hat folgende Wahrscheinlichkeitsdichte:
p(x) =
1
n
(2π ) det(Σ)
e
1
− (x − µ )T Σ −1 (x − µ )
2
!  Schreibweise: x ∼ N(x,µ,Σ)
€
µ
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3-18
σ-Ellipsen
!  Für die einfache Darstellung von zweidimensionalen Normalverteilungen eignen sich die
Höhenlinien (Punktmengen mit gleichen Wahrscheinlichkeitsdichten) besonders gut.
!  Wir führen dazu den Mahalanobis-Abstand d zwischen x und µ ein:
d(x, µ) = (x − µ)T Σ −1 (x − µ)
!  Für d(x,µ) = r2 = konstant ergeben sich Ellipsen mit dem Mittelpunkt µ.
!  Die Ellipsen für r = 1, 2, … werden auch 1σ-Ellipsen, 2σ-Ellipsen, … genannt.
€
1σ-Ellipse
µ
2σ-Ellipse
!  Veranschaulichung im eindimensionalen Fall:
d(x,µ) = 1 ergibt im eindimensionalen Fall:
(x - µ)2/ σ2 = 1
x=µ±σ
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(68%-Intervall)
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3-19
Beispiel für σ-Ellipse
Normalverteilte 2-dimensionale Variable (x,y) ~ N(µ,Σ) mit:
1σ-Ellipse
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-20
Vorgehensweise zum Zeichnen einer σ-Ellipse
!  Ermittle für Σ-1 die Eigenwerte λ1 , λ2 und
die Eigenvektoren V = (v1, v2).
!  Berechne Punktmenge für Einheitskreis:
{(y1,y2) / y1 = cos(t) und y2 = sin(t) mit t = 0, h, 2h, …, 2π}
!  Dehne bzw. quetsche Einheitskreis (d.h. Punktmenge) so,
dass Ellipse mit Achsenabschnitte 1/√λ1 und 1/√λ2 entsteht.
!  Drehe Ellipse mit Rotationsmatrix V
!  Verschiebe Ellipse um µ.
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2-21
Beispiel
!  Normalverteilung gegeben:
µ = ( µx
µy )T = (5 3)T
⎛ σ x2 σ xy ⎞ ⎛ 12.25 15 3 4 ⎞
Σ = ⎜
⎟
2 ⎟ = ⎜
σ
σ
15
3
4
4.75
⎝
⎠
⎝ xy
y ⎠
!  Eigenvektoren und Eigenwerte von Σ-1:
Nicht gedrehte Ellipse
mit Hauptachsenabschnitte 4 und 1.
€
Mit V gedrehte
Ellipse
!  Hauptachsenabschnitte der Ellipse:
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3-22
Summe von Normalverteilungen
!  Um Wahrscheinlichkeitsdichten mit mehreren relativen Maxima zu
modellieren, lassen sich Summen von Normalverteilungen bilden
(Gausssche Mischdichten):
p(x) = ∑ w i N(x, µi ,Σ i )
i
!  Die Gewichte wi der einzelnen Normalverteilungen addieren sich zu 1.
€
+
=
N(x,2,0.25)
€
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N(x,5,1)
€
0.5 * N(x,2,0.25) + 0.5 * N(x,5,1)
€
Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-23
Beispiel
!  Roboter stellt aufgrund seiner Sensorik eine Türe mit einer gewissen
Unsicherheit fest.
!  Aufgrund seiner Umgebungskarte muss er sich entweder
bei x = 2 oder x = 4 befinden.
!  Beide Hypothesen sind gleich wahrscheinlich und
mit der gleichen Unsicherheit versehen.
!  Die Schätzung des Zustands kann als Summe von Normalverteilungen
modelliert werden.
2
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x
4
0.5 * N(2,0.16) + 0.5 * N(4,0.16)
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€
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3-24
Produkt von Normalverteilungen
!  Das Produkt zweier Normalverteilungen N(x,µ1,Σ1) und N(x,µ1,Σ1) ist
(geeignet normiert) wieder eine Normalverteilung mit:
!  Für den eindimensionalen Fall
ergibt sich:
1
1
µ
+
µ
σ12 1 σ 22 2
µ=
1
1
+
σ12 σ 22
€
1
1
1
=
+
σ 2 σ12 σ22
€
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N(x,1,4) * N(x,7,16) = N(x,µ,σ2) mit µ=11/5 und σ2 =16/5.
Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-25
Beispiel
!  Roboter steht vor einer Wand und misst mit zwei unterschiedlichen
Sensoren den Abstand d zur Wand: z1 = 5 m bzw. z2 = 5.3 m.
!  Die Unsicherheit ist dabei σ1= 0.2 m bzw. σ1= 0.1 m.
!  Messung 1: d ∼ N(d, 5, 0.04)
!  Messung 2: d ∼ N(d, 5.3, 0.01)
!  Fusionierung der beiden Messwerte: d ∼ N(d,5,0.04) * N(d,5.3,0.01)
d
N(5, 0.04) * N(5.3, 0.01)
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WS 16/17
3-26
Skalare lineare Transformationen
Falls
x ~ N(x, µx ,σ x2 )
y = ax + b
dann
€
y ~ N(y, µy ,σ y2 ) mit
µy = aµx + b und
σ y2 = a 2σ x2
€
Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Konstanz
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3-27
Lineare Vektor-Transformation
Falls
x ~ N(x, µx ,Σ x )
y = Ax + b
dann
€
y ~ N(y, µy ,Σ y ) mit
µy = Aµx + b und
Σ y = AΣx A T
€Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Konstanz
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3-28
Beispiel
!  lineares, zeitdiskretes System:
x k +1 = 2x k +10
!  Anfangszustand x0 ist nur mit einer gewissen Unsicherheit bekannt:
x 0 ~ N(x 0 ,1,1)
€ !  Fortplanzung der Unsicherheit:
€
x k +1 ~ N(x k +1, 2x k +10, 2σx2k )
€
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3-29
Nichtlineare Transformation (1)
!  Anwendung einer
nichtlinearen Transformation
zerstört die Normalverteilung
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WS 16/17
3-30
Nichtlineare Transformation (2)
Linearisierung von g durch
Tangente an der Stelle x=µ:
g(x) ≈ g( µ) + gʹ′( µ)(x − µ)
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€
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3-31
Nichtlineare Transformation (3)
!  Qualität der Linearisierung hängt von σx ab:
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-32
Nichtlineare Vektor-Transformation
Gegeben:
x ~ N( µx ,Σ x ) x n − dimensional
y = g(x) y m − dimensional
Linearisiere g
(G ist die sogenannte Jakobi-Matrix oder Ableitungsmatrix):
€
g(x) ≈ g( µx ) + G( µx )(x − µx ) = G( µx )x + g( µx ) − G( µx ) µx
∂g
mit G( µx ) = ( µx )
∂x
Nun mit Gesetz für lineare Vektor-Transformation:
€
y ~ N( µy ,Σ y ) mit
µy = g( µx ) und
Σ y = G( µx )Σ x G( µx )T
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€
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WS 16/17
3-33
Jakobi-Matrix
⎛ x1 ⎞
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x
y 2 ⎟
2 ⎟
⎜
⎜
wobei x =
und y =
⎜ ! ⎟
⎜ ! ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x
⎝ n ⎠
⎝ y m ⎠
!  Gegeben:
y = g(x)
!  g läßt sich
ausführlicher €
schreiben:
⎛ y1 ⎞ ⎛ g1 (x) ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
y 2 ⎟ ⎜ g2 (x) ⎟
⎜
y=
=
⎜ ! ⎟ ⎜ ! ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
y
g
(x)
⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠
!  Jakobi-Matrix€
G:
⎛ ∂g1
⎞
∂g1
⎜ ∂x (x) ! ∂x (x) ⎟
n
∂g
⎜ 1
⎟
G(x) = (x) = ⎜ "
#
" ⎟
∂x
⎜ ∂gm (x) … ∂gm (x)⎟
⎜ ∂x
⎟
∂x n
⎝ 1
⎠
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-34
Beispiel
!  Roboter erkennt in Entfernung d und Winkel α ein Objekt
⎛σ d2 0 ⎞
⎛ d ⎞
x = ⎜ ⎟ und Unsicherheit Σ x = ⎜
2 ⎟
⎝α ⎠
⎝ 0 σα ⎠
!  x = (d, α)T soll in kartesiche Koordinaten y = (x,y)T umgerechnet werden:
€
⎛ x ⎞
y = ⎜ ⎟ und Unsicherheit Σ y
⎝ y ⎠
!  Nicht lineare Vektorgleichung:
€
Σy
y
⎛ x ⎞ ⎛ g1 (x) ⎞ ⎛ d cos α ⎞
⎜ ⎟ = ⎜
⎟ = ⎜
⎟
y
g
(x)
d
sin
α
⎝!⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝"
$#$
%⎠
y
d
α
g(x )
!  Jacobi-Matrix:
€
⎛ ∂g1
⎜ ∂d (x)
G(x) = ⎜
∂g
⎜ 2 (x)
⎝ ∂d
!  Damit:
x
⎞
∂g1
(x) ⎟ ⎛cos α
∂α
=
∂g2 ⎟ ⎜⎝ sin α
(x)⎟
⎠
∂α
−d sin α ⎞
⎟
d cos α ⎠
Σ y = G(x)Σ x G(x)T
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€
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WS 16/17
3-35
Modellierung von Unsicherheit
in Systemen
!  Motivation
!  Systeme
Zeitdiskrete, lineare und nicht-­‐lineare Systeme, Beispiele !  Wahrscheinlichkeiten
Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsdichten, mehrdimensionale Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Gesetze !  Normalverteilung
Ein-­‐ und mehrdimensional, Fehlerellipsen, Summe und Produkt, Fehlerfortpflanzung, Beispiele !  Monte-Carlo-Simulation
ParFkelmengen, Fehlerfortpflanzung, Beispiele Prof. Dr. O. Bittel, HTWG Konstanz
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WS 16/17
3-36
Motivation und Idee
!  Bei komplexen Umgebungen
und sehr ungenauer Kenntnis
der Position können
Wahrscheinlichkeitsdichten
sehr unhandlich werden.
!  Monte-Carlo-Verfahren lösen
komplexe Probleme, indem
zahlreiche Zufallsexperimente
durchgeführt werden.
!  Wahrscheinlichkeitsdichten
werden durch eine Menge von
zufällig gezogenen
Stichproben (Partikel)
angenähert.
!  Für jeden Partikel können je
nach Problemstellung die
gewünschten
Transformationen
durchgeführt werden.
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Jeder rote Punkt ist ein Partikel und ist eine
mögliche Position des Roboters.
Die Gesamtheit der Partikel stellt eine
Wahrscheinlichkeitsdichte für die Roboterposition
dar.
Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-37
Partikelmengen
!  Jeder Partikel stellt eine
Hypothese
(d.h. einen konkreten Wert)
für den Zustand x dar.
!  Partikelmenge:
χ = {x[1], x[1], .., x[M]},
wobei x[m] ein Partikel ist.
!  M ist üblicherweise groß
(z.B. M = 1000)
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-38
Generierung von Partikelmengen aus Dichten
!  Genererierung eine Partikelmenge χ aus einer
Wahrscheinlichkeitsdichte p:
Algorithm generateParticle(p):
χ = ∅;
i = 0;
while i < M do
generiere Zufallszahl x aus [a,b];
generiere Zufallszahl q aus [0,c];
if q < p(x) then
i = i+1;
χ = χ ∪ {x};
endif
endwhile
c
p
a
b
return χ;
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Mobile Roboter - Modellierung von Unsicherheit
WS 16/17
3-39
Transformation einer Partikelmenge
Wahrscheinlichkeitsverteilung
und Partikelwolke nach
Anwendung der Funktion g.
Menge von Partikeln die
gemäß der
Normalverteilung p(x)
zufällig generiert wurden.
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3-40
Generierung von Dichten aus Partikelmengen
(a)
Menge von Partikeln die gemäß der Verteilung p(x) zufällig generiert wurden.
(b) Aus der Partikelmenge gewonnene Normalverteilung, indem aus der Partikelmenge
Mittelwert und Varianz ermittelt wird.
(c)
Aus Partikelmenge gewonnenes Histogramm.
(d)
Stetige Variante (Kerndichteschätzer, kernel density estimation)
Bilde Summe aus Normalverteilungen, wobei jeder Partikel eine
Normalverteilung bildet.
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3-41
Genauigkeit der Verteilungsapproximation in Abh. von der Partikelanzahl
•  25 Partikel
•  250 Partikel
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3-42
Beispiel
!  lineares, zeitdiskretes System:
x k +1 = 2x k +10
!  Anfangszustand x0 ist nur mit einer gewissen Unsicherheit bekannt:
x 0 ~ 0.5 * N(x 0 ;0,1) + 0.5 * N(x 0 ;5, 0.25)
€ !  Partikelmenge wird gemäß der Verteilung des Anfangszustands generiert.
!  Auf jeden Partikel wird solange Systemgleichung angewendet, bis x4 erreicht wird.
€
x0
Partikelwolke (grüne) besteht aus jeweils 200
Partikeln.
Wahrscheinlichkeitsdichten (blau) wurden mit
einem Kerndichteschätzer generiert.
x4
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