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Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 10
2. Semester
ARBEITSBLATT 10
SATZ DES PYTHAGORAS
Definition:
Kathete
Kathete
Hypotenuse
Jene beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden (a,b) nennt man Katheten,
die dritte und längste Seite nennt man die Hypotenuse ( c ).
SATZ DES PYTHAGORAS: In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:
a 2 + b2 = c 2
Die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten ist gleich der Fläche des Quadrates über der Hypotenuse. (Vergleiche dazu Zeichnung in REICHEL 4; Seite 156; ganz unten).
Beispiel: Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Seiten a=20 mm
und b=48 mm. Berechne die Seite c, den Umfang und den Flächeninhalt des
Dreiecks.
Lösung:
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c 2 = 20 2 + 48 2 ⇒ c 2 = 2704 ⇒ c = 2704 ⇒ c = 52mm
U = a + b + c ⇒ U = 20 + 48 + 52 ⇒ U = 120mm
A=
a⋅b
20 ⋅ 48
⇒A=
⇒ A = 480mm 2
2
2
Beispiel: Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Seiten a=24 mm
und c=51 mm. Berechne die Seite b, den Umfang und den Flächeninhalt des
Dreiecks.
Lösung:
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ b 2 = c 2 − a 2 ⇒ b 2 = 512 − 24 2 ⇒ b 2 = 2025 ⇒ b = 45mm
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Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 10
2. Semester
U = a + b + c ⇒ U = 120mm
A=
a ⋅b
⇒ A = 540 mm2
2
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgabe 129
Satz: Für ein rechtwinkeliges Dreieck gilt:
c
2
a⋅b
Inkreisradius ρ =
U
Umkreisradius r =
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 130 - 131
Beispiel: In einem rechtwinkeligen Dreieck verhalten sich die Katheten wie
12:5. Der Umfang des Dreiecks beträgt 180 mm. Berechne die drei Seitenlängen.
Lösung:
Wir wissen a : b = 12 : 5 . Dies bedeutet, dass a 12 Teile lang ist, b 5 Teile.
Wir müssen uns also die Länge eines Teiles errechnen. Für 1 Teil schreiben wir t. Formal gilt also:
a = 12t
b = 5t
Da es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt, gilt der pytharoräische Lehrsatz: c 2 = a 2 + b 2
Wir setzen für a und b ein:
c 2 = (12t ) + (5t )
2
2
c 2 = 144 t 2 + 25t 2
c 2 = 169t 2
c = 13t
Nun können wir den bekannten Umfang ausnützen:
U =a+b+c
Wir setzen die bekannten Werte ein:
180 = 12t + 5t + 13t
180 = 30t
t =6
Wir wissen nun, daß 1 Teil 6 mm lang ist. Nun setzen wir wieder in unsere
Terme für a,b,c ein:
a = 12t = 72mm
b = 5t = 30mm
c = 13t = 78mm
2
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Arbeitsblatt 10
2. Semester
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 132 - 133
Anwendungen des pythagoräischen Lehrsatzes:
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 134 - 135
Anwendung im Rechteck und Quadrat
Angenommen, wir kennen in einem Rechteck die Seitenlängen a und b. Wie
lang ist dann die Diagonale d?
D
C
b
d
A
a
B
Da wir mit den Eckpunkten A,B,C ein rechtwinkeliges Dreieck erhalten, muss
hier der pythagoräische Lehrsatz gelten:
d 2 = a2 + b2
Um d zu erhalten ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel:
d = a2 + b2
Satz: Für die Diagonale d eines Rechtecks (a,b) gilt: d = a 2 + b 2
Beispiel: Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 4 cm und b = 3 cm. Wie lang
ist die Diagonale d?
Lösung:
d = a 2 + b 2 ⇒ d = 4 2 + 3 2 ⇒ d = 25 ⇒ d = 5cm
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 136 - 139
Das Quadrat ist nun ja lediglich ein besonderes Rechteck. Es gilt: a = b. Wir
schreiben nun in der Formel für die Berechnung der Diagonale eines Rechtecks statt b a:
d = a2 + a2
d = 2a 2
d = 2 ⋅ a2
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Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
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2. Semester
d = a⋅ 2
Satz: für die Diagonale d eines Quadrates mit der Seitenlänge a gilt: d = a ⋅ 2
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 140 - 142
Anwendung am gleichschenkeligen Dreieck
Beispiel: Von einem gleichschenkeligen Dreieck ABC kennt man die Seiten
a=96 mm und c=148 mm. Berechne die Höhe hc, den Flächeninhalt und die
Höhe ha des Dreiecks.
Lösung: Wir machen uns zunächst eine Skizze:
Wir sehen, daß sich ein rechtwinkeliges Dreieck ergibt (schraffiert eingezeichnet). Von diesem kennen wir zwei Seiten (a,
c
). Folglich können
2
wir uns die dritte Seite h ausrechnen:
2
⎛c⎞
h = a −⎜ ⎟
⎝2⎠
2
2
h = 96 − 74 2
h 2 = 3740
h = 61,16mm
2
2
Nun können wir die Fläche ermitteln:
c ⋅h
2
148 ⋅ 61,16
A=
= 4525,84mm 2
2
A=
Damit wir noch ha berechnen, nützen wir die Fläche aus. Für diese muss
ja außerdem gelten:
A=
a ⋅h a
2
96 ⋅h a
/⋅ 2
2
9051,68 = 96 ⋅h a /:96
4525,84 =
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2. Semester
ha = 94,29mm
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 143 – 145
Anwendung am gleichseitigen Dreieck
Für das gleichseitige Dreieck können wir uns mittels des pythagoräischen Lehrsatzes spezielle Formeln für die Höhe und den Flächeninhalt herleiten. Zunächst machen wir uns eine Skizze:
C
a
a
h
A
a
B
Wir erhalten offensichtlich ein rechtwinkeliges Dreieck (schraffiert eingezeichnet). In diesem gilt also der Satz des Pythagoras.
⎛a⎞
h = a −⎜ ⎟
⎝2⎠
a2
h2 = a2 −
4
2
3a
h2 =
4
2
h=
h=
2
2
3a 2
4
3 ⋅ a2
4
a⋅ 3
h=
2
Für die Fläche setzen wir nun in die uns bekannte Flächenformel für beliebige
Dreiecke ein:
a⋅h
2
1
a⋅ 3
A = ⋅a ⋅
2
2
2
a ⋅ 3
A=
4
A=
5
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Satz: Im gleichseitigen Dreieck gelten folgende Formeln:
a⋅ 3
2
2
a ⋅ 3
Flächeninhalt A =
4
Dreieckshöhe h =
Beispiel: Von einem gleichseitigem Dreieck ABC kennt man die Höhe
h=64 mm. Berechne die Länge der Seite und den Flächeninhalt.
Lösung:
Aus der bekannten Höhe können wir uns zunächst die Dreiecksseite a ermitteln. Wir setzen in die Formel für die Höhe ein:
a⋅ 3
2
a⋅ 3
64 =
/⋅ 2
2
128 = a ⋅ 3 /: 3
a = 73,9mm
h=
Nun lässt sich die Fläche leicht ermitteln:
A=
a 2 ⋅ 3 73,9 2 ⋅ 3
=
= 2364,77mm 2
4
4
Übungen: Übungsblatt 10; Aufgaben 146 - 148
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