Quadriken – Klassifikation unter Kongruenz im Rn
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Quadriken 1 Quadriken – Klassifikation unter Kongruenz im Rn R Sei Q eine Quadrik in n . Dann gibt es eine Kongruenzabbildung f , natürliche Zahlen π̃, ν̃ und reelle Zahlen βi > 0, 1 ≤ i ≤ π̃ + ν̃, so dass die Quadrik f (Q) durch eine der folgenden Gleichungen beschrieben wird: π̃ X x2i i=1 βi2 π̃ X x2i i=1 βi2 π̃ X x2i i=1 Quadriken in (1) ν = 0, βi2 − − − π̃+ν̃ X x2i = 0, 2 i=π̃+1 βi π̃ ≥ ν̃, (1) π̃+ν̃ X x2i = 1, 2 i=π̃+1 βi (2) π̃+ν̃ X x2i = xπ̃+ν̃+1 , 2 i=π̃+1 βi π̃ + ν̃ < n. (3) R2 π = 1, x2 6 x21 = 0 Gerade - x1 ν = 1, π = 1, x21 − x22 = 0 β12 x2 6 Q Q Q Q QQ Q x1 QQ x1 = ±β1 x2 ν = 0, π = 2, x21 + x22 = 0 β12 x2 6 • zwei sich schneidende Geraden Punkt - x1 (2) ν = 1, π = 0, −x21 =1 β12 ν = 0, π = 1, x21 =1 β12 ∅ x2 6 −|β1 | ν = 2, π = 0, −x21 x22 − 2 =1 β12 β2 zwei parallele Geraden x1 - |β1 | ∅ Quadriken 2 ν = 1, π = 1, x22 x21 − =1 β12 β22 x2 6 −|β1 | ν = 0, π = 2, x21 x22 + =1 β12 β22 Hyperbel |β1 | - x1 x2 6 Ellipse |β2 | |β1 | (3) ν = 0, π = 1, x21 = x2 β12 - x1 x2 Parabel x1 R Quadriken in 2 sind Schnitte von Ebenen mit einem doppelten Kreiskegel, sie werden daher auch Kegelschnitte genannt. Hyperbel Quadriken in (1) ν = 0, Ellipse R3 π = 1, x21 = 0 Parabel eine Ebene Quadriken (2) 3 ν = 1, π = 1, x21 − x22 = 0 β12 ν = 0, π = 2, x21 + x22 = 0 β12 eine Gerade ν = 1, π = 2, x21 x22 + − x23 = 0 β12 β22 Ellipsenkegel ν = 0, π = 3, x21 x22 + + x23 = 0 β12 β22 Punkt ν = 1, π = 0, ν = 0, π = 1, ν = 2, π = 0, −x21 x22 − 2 =1 β12 β2 ν = 1, π = 1, x21 x22 − =1 β12 β22 −x21 =1 β12 x21 =1 β12 zwei sich schneidende Ebenen ∅ zwei parallele Ebenen ∅ Hyperbelzylinder Quadriken (3) 4 ν = 0, π = 2, x21 x22 + =1 β12 β12 ν = 3, π = 0, −x21 x22 x23 − − =1 β12 β22 β32 ν = 2, π = 1, x21 x22 x23 − − =1 β12 β22 β32 zweischaliges Hyperboloid ν = 1, π = 2, x23 x21 x22 + − =1 β12 β22 β32 einschaliges Hyperboloid ν = 0, π = 3, x21 x22 x23 + + =1 β12 β22 β32 ν = 0, π = 1, x21 = x2 β12 parabolischer Zylinder ν = 1, π = 1, x21 x22 − = x3 β12 β22 hyperbolisches Paraboloid ν = 0, π = 2, x21 x22 + = x3 β12 β22 elliptisches Paraboloid Ellipsenzylinder ∅ Ellipsoid
