Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und
Klausuren
zu
Algebra für Informations- und
Kommunikationstechniker
bei
Prof. Dr. Kurzweil
Florian Franzmann∗
André Diehl†
Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33 Uhr
Inhaltsverzeichnis
1 Probeklausur vom 25.11.2004
2
2 Ferienprobeklausur
3
3 Klausur vom 1.4.2005
4
4 Nachholklausur
7
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
5.1 Der Ring der ganzen Zahlen . . . . .
5.2 Der Polynomring . . . . . . . . . . .
5.3 Die Teilbarkeit . . . . . . . . . . . .
5.4 Nullstellen von Polynomen . . . . . .
5.5 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . .
5.6 Das Rechnen im endlichen Körper .
∗
†
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8
8
10
11
13
14
16
[email protected]
[email protected]
1
1 Probeklausur vom 25.11.2004
5.7
5.8
5.9
Erweiterungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern . . . . . . . . . . . . . 19
Irreduzible Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Probeklausur vom 25.11.2004
Aufgabe 1.1
Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung 12. Bestimme die Untergruppen von G.
Lösung 1.1
Die additiven Untergruppen von G sind
k = 1 ⇒ h0i12 = {0}
k = 2 ⇒ h6i12 = {0; 6}
k = 3 ⇒ h4i12 = {0; 4; 8}
k = 4 ⇒ h3i12 = {0; 3; 6; 9}
k = 6 ⇒ h2i12 = {0; 2; 4; 6; 8; 10}
k = 12 ⇒ h1i12 = G
Aufgabe 1.2
Sei F = Z13 . Dann ist F Körper. Bestimmen Sie ein λ ∈ F, so daß jede Zahl aus F∗ eine
Potenz von λ ist.
Lösung 1.2
Sei λ = 11: λ0 = 1, λ1 = 11, λ2 = 4, λ3 = 5, λ4 = 3, λ5 = 7, λ6 = 12, λ7 = 2, λ8 = 9,
λ9 = 8, λ10 = 10, λ11 = 6.
Aufgabe 1.3
Bestimmen Sie in Z eine Zahl g, so daß h12i + h18i = hgi.
Lösung 1.3
g = ggT(12, 18) = 6
Aufgabe 1.4
Im Ring Z12 bestimme alle Potenzen von λ ∈ Z12 und zwar in den Fällen λ = 3 und
λ = 5.
Lösung 1.4
λ = 3 ⇒ λ0 = 1, λ1 = 3, λ2 = 9, λ3 = 3.
λ = 5 ⇒ λ0 = 1, λ1 = 5, λ2 = 1.
Aufgabe 1.5
Berechne die Additions- und Multiplikationstafeln des Rings Z6 .
Lösung 1.5
Siehe Tabelle 1.
2
Tabelle 1: Verknüpfungstabellen zu Z6
(a) Additionstabelle
(b) Multiplikationstabelle
+
0
1
2
3
4
5
·
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
0
1
0
1
2
3
4
5
2
2
3
4
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
3
3
4
5
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
4
4
5
0
1
2
3
4
0
4
2
0
4
2
5
5
0
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
2 Ferienprobeklausur
Aufgabe 2.1
Sei p = 5 und P = Zp . Zeige, daß das Polynom N = 1 + X + X 2 ∈ P[X] irreduzibel in
P[X] ist.
Lösung 2.1
Zu zeigen: N hat keine Nullstelle in P.
N (0) = 1
N (1) = 3
N (2) = 1 + 2 + 4 = 7 = 2
N (3) = 1 + 3 + 9 = 13 = 3
N (4) = 1 + 4 + 16 = 21 = 1
Aufgabe 2.2
Seien P, N wie in Aufgabe 2.1 und
A=X
B = 1 + X ∈ P2 [X]
Bestimme das Produkt A · B im Ring PN .
Lösung 2.2
A · B = ρN (X · (X + 1)) = ρN (X 2 + X) = 4
3
3 Klausur vom 1.4.2005
Aufgabe 2.3
Sei p = 2, P = Z2 und N = 1 + X 2 + X 3 ∈ P[X]. Im Körper F = PN bestimme das
Minimalpolynom von v = 1 + X.
Lösung 2.3
v 0 = 001
v 1 = 011
v 2 = 101
v 3 = 010
⇒ v0 + v1 + v3 = 0
A(v) = 0 mit A = 1 + x + x3
Da A normiert und irreduzibel ist folgt Mv = A = 1 + x + x3 .
Aufgabe 2.4
Sei F endlicher Körper mit 32 Elementen. Wie viele Untergruppen besitzt die multiplikative Gruppe?
Lösung 2.4
F enthält 31 von 0 verschiedene Elemente. Da 31 prim ist muß es zwei Untergruppen
geben.
Aufgabe 2.5
Bestimme die primitiven Elemente des Körpers F = Z7 .
Lösung 2.5
Primitive Elemente sind drei und fünf.
3 Klausur vom 1.4.2005
Aufgabe 3.1
Sei P der Körper Z3 = {0, 1, 2} und
N = X 2 + 1 ∈ P [X]
1. Zeigen Sie, daß N irreduzibel in P [X] ist.
2. Nach 1. ist PN ein Körper mit 9 Elementen. Bestimmen Sie die Additions- und
Multiplikationstafel von PN .
4
Lösung 3.1
1.
N (0) = 1
N (1) = 2
N (2) = 2
⇒ keine Nullstellen, Grad < 3 ⇒ P ist irreduzibel.
2. Siehe Tabelle 2.
Beispiele zum Lösungsweg (wichtig, sonst gibts Punktabzüge):
0
mod 3 = 0
1
mod 3 = 1
2
mod 3 = 2
3
mod 3 = 0
4
mod 3 = 1
ρN (X) = X
ρN (X 2 ) = 2
a) Additionstabelle
(X + 1) + (X + 2) = 2X + 3 = 2X
(2X + 2) + (2X + 1) = 4X + 3 = X
b) Multiplikationstabelle
4 X + 2X +2
X 2 + |{z}
(2X + 2) · (2X + 1) = |{z}
4 |{z}
2
1
| 1 {z
}
0
= 1
+ X} +2
(X + 2)(X + 1) = |{z}
X 2 + |2X{z
2
0
= 1
In den folgenden Aufgaben begründe man die Antwort!
Aufgabe 3.2
Sei F ein Körper mit 9 Elementen.
1. Wieviele primitive Elemente besitzt F?
2. Wieviele Untergruppen besitzt die multiplikative Gruppe F∗ ?
5
3 Klausur vom 1.4.2005
Tabelle 2: Verknüpfungstabellen zu Aufgabe 3.1
(a) Additionstabelle
+
1
2
X
X +1
X +2
2X
2X + 1
2X + 2
1
2
0
X +1
X +2
X
2X + 1
2X + 2
2X
2
0
1
X +2
X
X +1
2X + 2
2X
2X + 1
X
X +1
X +2
2X
2X + 1
2X + 2
0
1
2
X +1
X +2
X
2X + 1
2X + 2
2X
1
2
0
X +2
X
X +1
2X + 2
2X
2X + 1
2
0
1
2X
2X + 1
2X + 2
0
1
2
X
X +1
X +2
2X + 1
2X + 2
2X
1
2
0
X +1
X +2
X
2X + 2
2X
2X + 1
2
0
1
X +2
X
X +1
(b) Multiplikationstabelle
6
·
2
X
X +1
X +2
2X
2X + 1
2X + 2
2
1
2X
2X + 2
2X + 1
X
X +2
X +1
X
2X
2
X +2
2X + 2
1
X +1
2X + 1
X +1
2X + 2
X +2
2X
1
2X + 1
2
X
X +2
2X + 1
2X + 1
1
X
X +1
2X
2
2X
X
1
2X + 1
X +1
2
2X + 2
X +2
2X + 1
X +2
X +1
2
2X
2X + 2
X
1
2X + 2
X +1
2X + 1
X
2
X +2
1
2X
Lösung 3.2
Bemerkung: Teiler der Ordnung erzeugen echte Untergruppen, Teilerfremde der Ordnung
sind primitive Elemente.
1. Die Ordnung von F∗ ist acht. Teilerfremd zur acht sind eins, drei, fünf und sieben.
Deswegen gibt es vier primitve Elemente.
2. Zwei, vier und acht sind Teiler von acht. Deswegen gibt es drei Untergruppen zu
F∗ .
Aufgabe 3.3
Sei F ein Körper mit 32 Elementen.
1. Wieviele primitive Elemente besitzt F?
2. Wieviele Untergruppen besitzt die multiplikative Gruppe F∗ ?
Lösung 3.3
1. F∗ hat Ordnung 31. Da 31 Primzahl ist hat F 30 primitive Elemente.
2. Da 31 Primzahl ist hat F∗ zwei Untergruppen.
Aufgabe 3.4
Gibt es einen Körper mit 33 Elementen?
Lösung 3.4
Es gibt keinen Körper mit 33 Elementen, da 33 nicht Primzahlpotenz ist.
4 Nachholklausur
Aufgabe 4.1
Konstruiere einen Körper mit 25 Elementen.
Lösung 4.1
!
|FN | = |F|gradN = 25 = 52
Sei F = Z5 = {0; 1; 2; 3; 4}.
Gesucht: Irreduzibles Polynom N vom Grad 2. Sei N = X 2 + X + 1. Dann ist N
irreduzibel auf Z5 . Beweis:
N (0) = 1
N (1) = 3
N (2) = 1
N (3) = 1
N (4) = 1
Folglich ist FN Körper mit 25 Elementen.
7
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
Aufgabe 4.2
Sei F der Körper Z3 = {0, 1, 2} und N = X 3 + X 2 + 2 ∈ P [X].
1. Zeige, dass FN ein Körper mit 27 Elementen ist.
2. Sei a das Element X 2 + X in FN . Bestimme das Element a−1 .
Lösung 4.2
1. Wegen |FN | = |F|gradN = 33 = 27 ist FN Körper mit 27 Elementen.
2.
N
= aP + Q
N
= a·X +2
a = 2 · (2X 2 + 2X) + 0
⇒ 2 = N − aX
X ist invers zu X 2 + X, denn X · (X 2 + X) = X 3 + X 2 = 1.
Aufgabe 4.3
Bestimme die kleinste Zahl n ∈ N, n > 1, sodass es keinen Körper mit n Elementen gibt.
Lösung 4.3
Sei K Körper. Da |K| = n immer Primzahlpotenz ist und sechs die kleinste Zahl ist, die
keine Primzahlpotenz ist, ist sechs die kleinste Zahl in N, zu der es keinen Körper mit
entsprechender Anzahl Elementen gibt.
Aufgabe 4.4
Wieviel primitive Elemente besitzt ein Körper mit 25 Elementen?
Lösung 4.4
Die multiplikative Gruppe des Körpers mit 25 Elementen hat Ordnung 24. Sei a primitives Element des Körpers mit 25 Elementen. Dann sind die Primitiven Elemente dieses
Körpers die am , m ∈ N, m < 24 die teilerfremd zur Ordnung der multiplikativen Gruppe
sind, also a1 , a5 , a7 , a11 , a13 , a17 , a19 , a23 .
Folglich hat der Körper mit 25 Elementen acht primitive Elemente.
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
5.1 Der Ring der ganzen Zahlen
Aufgabe 5.1
Wie viele Nullteiler besitzt der Ring Z8 und wie viele der Ring Z13 ?
Lösung 5.1
Der Ring Z13 ist nullteilerfrei (nach Satz 1.8) da 13 eine Primzahl ist. Z8 hat 5 Nullteiler
(Multiplikationstabelle aufstellen und die Nullen zählen).
8
5.1 Der Ring der ganzen Zahlen
Tabelle 3: Multiplikationstafel des Rings Z7
·7
2
3
4
5
6
2
4
6
1
3
5
3
6
2
5
1
4
4
1
5
2
6
3
5
3
1
6
4
2
6
5
4
3
2
1
Aufgabe 5.2
Berechne die Multiplikationstafel des Rings Z7 .
Lösung 5.2
Siehe Tabelle 3
Aufgabe 5.3
Für welche Elemente a des Rings Z6 existiert ein b ∈ Z6 mit a ·6 b = 1?
Lösung 5.3
(1; 1), (5; 5)
Aufgabe 5.4
Wie viele Untergruppen besitzt die additive Gruppe Zn im Fall
1. n = 8?
2. n = 32?
Lösung 5.4
1. Es gibt in Z8 vier nicht teilerfremde zur Gruppenordnung, nämlich null, zwei, vier
und sechs. Folglich gibt es vier Untergruppen.
2. Da 31 Primzahl ist gibt es nur die beiden trivialen Untergruppen {0} und Z31 .
Aufgabe 5.5
Löse über dem Körper Z2 folgendes lineares Gleichungssystem:
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + x2 = 0
x2 + x3 = 1
9
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
Lösung 5.5
x1 = 0 ∧ x 2 = 0 ∧ x 3 = 1
5.2 Der Polynomring
Aufgabe 5.6
Sei F = Z2 . Schreibe ein Programm für die Polynomdivision in F[X] und teste es.
Lösung 5.6
Aufgabe 5.7
Sei F = Z7 und N = X 2 + 3X + 1. Bestimme die Zahlen λ ∈ F mit N (λ) = 0.
Lösung 5.7
N (0) = 1 6= 0
N (1) = 12 + 3 · 1 + 1 = 5 6= 0
N (2) = 22 + 3 · 2 + 1 = 4 6= 0
N (3) = 32 + 3 · 3 + 1 = 5 6= 0
N (4) = 42 + 3 · 4 + 1 = 1 6= 0
N (5) = 52 + 3 · 5 + 1 = 6 6= 0
N (6) = 62 + 3 · 6 + 1 = 6 6= 0
daraus und aus gradN = 2 folgt: N = X 2 + 3 · X + 1 ist irreduzibel in F = Z7 .
Aufgabe 5.8
Sei F = Z7 und N wie in Aufgabe 5.7); sei
A = 3X 5 + X 2 + 4X + 5 ∈ F[X]
Bestimme P, R ∈ F[X] mit
A = P N + R, gradR < 2
Lösung 5.8
P = 3 · X3 + 5 · X2 + 3 · X + 1 ∧ R = 5 · X + 4
Aufgabe 5.9
Sei F = Z11 und N = X 11 + X 3 + 8 ∈ F[X]. Wieviel Elemente besitzt der Ring FN ?
Lösung 5.9
Aus |F| = q = 11 und n = gradN = 11 folgt |FN | = q n = 1111 .
10
5.3 Die Teilbarkeit
Aufgabe 5.10
Sei F = Z3 und N = X 2 + 1 ∈ F[X]. Berechne die Additions- und Multiplikationstafel
des Rings FN .
Lösung 5.10
Sprengt hier ein wenig den Rahmen, sollten aber klar sein.
Aufgabe 5.11
Sei F = Z2 und N = X 3 + X 2 + 1 ∈ F[X]. Berechne die Additions- und Multiplikationstafel des Rings FN .
Lösung 5.11
Sprengt hier ein wenig den Rahmen, sollten aber klar sein.
5.3 Die Teilbarkeit
Aufgabe 5.12
In Z berechne ggT (−300, 135)
1. mittels Primfaktorzerlegung.
2. mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus.
Lösung 5.12
1.
300 = 1 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
135 = 1 · 3 · 3 · 3 · 5
Daraus folgt ggT((, 3)00, 135) = 3 · 5 = 15.
2.
300 = 2 · 135 + 30 ⇒ ggT(300, 135) = ggT(135, 30)
135 = 4 · 30 + 15 ⇒ ggT(135, 30) = ggT(30, 15)
30 = 2 · 15 + 0 ⇒ ggT(30, 15) = 15
Aufgabe 5.13
Bestimme Zahlen p, q ∈ Z mit 15 = p · 300 + q · 135.
Lösung 5.13
15 = 135 − 4 · 30
= 135 − 4 · (300 − 135 · 2)
= 135 − 4 · 300 + 8 · 135
= 9 · 135 − 4 · 300
Folglich sind die gesuchten Koeffizienten 9 und −4.
11
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
Aufgabe 5.14
Sei n = 625 und a = 62. Bestimme im Ring Zn ein Element b mit a ·n b = 1.
Lösung 5.14
Erweiterter Euklidischer Algorithmus:
625 = 10 · 62 + 5
62 = 12 · 5 + 2
5 = 2·2+1
Rückwärtseinsetzen:
1 = 5−2·2
= (625 − 10 · 62) −2 · (62 − 12 · 5)
{z
}
{z
}
|
|
5
2
= (625 − 10 · 62) − 2 · (62 − 12 · 625 + 120 · 62)
= 625 − 10 · 62 − 2 · 62 + 24 · 625 − 240 · 62
= 25 · 625 − 252 · 62
Das gesuchte Element ist −252 (= 373), denn −252 ·625 62 = −624 = 1.
Aufgabe 5.15
Sei F = Z3 und N = X 3 + 2 · X + 2.
1. Zeige, dass das Element A = X 2 im Ring FN ein inverses Element B besitzt.
2. Bestimme B.
Lösung 5.15
1. Nach 3.10 im Skript existiert ein Inverses zu A in FN , falls A und N zueinander
teilerfremd sind.
!
X 3 + 2X + 2 = 0
Dies ist in FN nie der Fall, folglich sind A und N teilerfremd wegen gradA <
gradN .
2. Wie bei der Bestimmung des Inversen bei Zahlen mit dem Erweiterten Euklidischen
Algorithmus:
N
= PA + Q
N
= X · A + 2X + 2
A = (2X + 2) · 2X + 2X
2X + 2 = 2X · 1 + 2
2X = 2 · X + 0
12
5.4 Nullstellen von Polynomen
dann Rückwärtseinsetzen
2 = (2X + 2) − 2X · 1
= (N − XA) − 1 · (A − (2X + 2) · 2X)
= (N − XA) − 1 · (A − (N − XA) · 2X)
= (N − XA) − A + N · 2X − 2X 2 A
= N (1 + 2X) + A(−X − 1 − 2X 2 )
2 = N · (2X + 1) + A · (X 2 + 2X + 2)
⇒ 1 = N · (X + 2) + A · (2X 2 + X + 1)
|
{z
}
:2
A−1 =B
5.4 Nullstellen von Polynomen
Aufgabe 5.16
Sei A ∈ F[X]. Zeige, dass A in F[X] irreduzibel ist, in folgenden Fällen:
1. F = Z2 und A = 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 .
2. F = Z5 und A = X 3 + 2 · X + 1.
3. F = Q und A = X 3 − 2.
4. F = R und A = X 2 + 2 · X + 30
Lösung 5.16
1. F = Z2 , A = 1 + X 2 + X 3 + X 4
A(0) = A(1) = 1 ⇒ A irreduzibel, da nullteilerfrei.
2. F = Z5 , A = X 3 + 2X + 1
A(0) = 1, A(1) = 4, A(2) = 3, A(3) = 4, A(4) = 3 ⇒ irreduzibel.
3.
!
X3 − 2 = 0
X3 = 2
√
3
2 6∈ Q
X =
Folglich ist A in Q irreduzibel.
4.
!
X 2 + 2X + 30 = 0
√
−2 ± 4 − 120
X1,2 =
2
√
= −1 ± j 20 6∈ R
Folglich ist A kein irreduzibles Polynom in R.
13
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
Aufgabe 5.17
Sei F = Z3 . Zeige, dass das Polynom P (X) = X 9 + 2 ∈ F[X] in Linearfaktoren zerfällt.
Lösung 5.17
P (0) = 2
P (1) = 0
Folglich ist P (X) kein irreduzibles Polynom und somit zerlegbar in Linearfaktoren.
Aufgabe 5.18
Sei F = Z5 und A = X 3 +2X +2. Dann ist A(1) = 0. Bestimme in F[X] die Faktorisierung
A = (X − 1)P .
Lösung 5.18
P
= (X 3 + 2X + 2) : (X − 1) = X 2 + X + 3
⇒ A = (X − 1)(X 2 + X + 3)
Aufgabe 5.19
Sei F = Z5 . In F[X] ist A = X 2 − 3X + 2 Teiler von N = X 25 − X (Beweis?), also ist
N = BA, B ∈ F[X]. Bestimme B(2) ohne B explizit zu berechnen.
Lösung 5.19
siehe Lemma 4.7 und Seite 40 im Skript.
= BA
N ′ (λ)
⇒ B(λ) =
A′ (λ)
25λ4 − 1
=
2λ − 3
−1
⇒ B(2) =
= −1 = 4
2∗2−3
N
5.5 Zyklische Gruppen
Sei G die multiplikative Gruppe des Körpers Z17 .
Aufgabe 5.20
Wieviel primitive Elemente besitzt G?
Lösung 5.20
n = |G| = |Z17 \ {0}| = 16
am ist primitives Element, falls m teilerfremd zu n ist. Folglich sind a1 , a3 , a5 , a7 , a9 ,
a11 , a13 und a15 primitive Elemente.
Es gibt acht primitive Elemente.
14
5.5 Zyklische Gruppen
Aufgabe 5.21
Bestimme sämtliche primitive Elemente von G.
Lösung 5.21
3 ist primitives Element der Z17 , denn
31 = 3
32 = 9
33 = 10
34 = 13
35 = 5
36 = 15
37 = 11
38 = 16
39 = 14
310 = 8
311 = 7
312 = 4
313 = 12
314 = 2
315 = 6
316 = 1
nach Satz 5.8 gilt, daß 3, 10, 5, 11, 14, 7, 12 und 6 die primitiven Elemente der Z17
sind.
Aufgabe 5.22
Bestimme Untergruppen U von G mit
1. |U | = 2
2. |U | = 4
3. |U | = 8
Lösung 5.22
nach Satz 5.7: Die Ordnung von G ist n = 16. Es gilt o(ag ) = ng , falls a Erzeuger von G
ist.
Sei a = 3. Dann gilt
1. |U | = 2 ⇒ U = a8
15
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
2. |U | = 4 ⇒ U = a4
3. |U | = 8 ⇒ U = a2
Aufgabe 5.23
Sei G die multiplikative Gruppe des Körpers Z13 . Bestimme zwei Untergruppen U1 , U2
von G, so dass
G = U1 × U2 ∧ |U1 | =
6 1 6= |U 2|
Lösung 5.23
Argumentation mit Satz 5.11 aus dem Skript:
G = G(m1 · m2 ) = G(m1 ) × G(m2 ) = G1 × G2
|G| = 12 ⇒ m1 = 3 ∧ m2 = 4
⇒ U1 = G(3) = a ∈ G : a3 = 1
U2 = G(4) = a ∈ G : a4 = 1
5.6 Das Rechnen im endlichen Körper
Aufgabe 5.24
Sei F = GF(q). Wie viele primitive Elemente besitzt F in den Fällen
1. q = 32
2. q = 16
3. q = 27
Lösung 5.24
1. |F∗ | = 31. Da 31 Primzahl ist, ist jedes Element in F∗ primitiv. Folglich gibt es 31
primitive Elemente.
2. |F∗ | = 15. Teilerfremd zu 15 sind 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Also gibt es acht primitive
Elemente in GF(16).
3. |F∗ | = 26. Teilerfremd zu 26 sind 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21 und 23. Folglich
gibt es elf primitive Elemente in GF(27).
Aufgabe 5.25
Sei F = Z2 und N = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 ∈ F[X]. Zeige, dass N irreduzibel aber nicht
primitiv ist.
Lösung 5.25
N zerfällt in F nicht in Linearfaktoren, denn N (0) = 1, N (1) = 1. N hat Grad 4 –
folglich kommt kein irreduzibles Polynom vom Grad 3 als Faktor in Frage. Die einzig
verbleibende Möglichkeit N zu faktorisieren ist (X 2 + X + 1)2 , da es keine weiteren
16
5.7 Erweiterungskörper
irreduziblen Polynome vom Grad 2 über F gibt. Wegen (X 2 + X + 1)2 = X 4 + X 2 + 1
ist N irreduzibel. N ist nicht primitiv, da X kein Erzeuger in FN ist:
X0 = 1
X1 = X
X2 = X2
X3 = X3
X4 = X3 + X2 + X + 1
X5 = X0 = 1
FN enthält aber |Z2 |gradN = 24 = 32 Elemente.
Aufgabe 5.26
Sei F = Z3 und N = X 2 + X + 2 ∈ F[X]. Dann ist N irreduzibel, also E = FN = GF(9)
Körper. Zeige:
1. N ist primitiv.
2. Bestimme die Beigleitmatrix Fx und ihre Potenzen (siehe 6.8 im Skript).
3. Bezüglich der Basis 1, x, x2 von EF bestimme die Matrix M (siehe 6.6 im Skript)
und berechne ein paar Produkte ab in 6.6.
Lösung 5.26
1. N ist primitiv, denn X erzeugt in FN die multiplikative Gruppe:
X0 = 1
X1 = X
X 2 = 2X + 1
X 3 = 2X + 2
X4 = 2
X 5 = 2X
X6 = X + 2
X7 = X + 1
X8 = X0 = 1
2. Es geht das Gerücht, daß die verbleibenden Übungsaufgaben dieses Kapitels nicht
klausurrelevant sind . . .
5.7 Erweiterungskörper
Sei v = X.
17
5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
Aufgabe 5.27
Im Anschluss an die eben gemachte Rechnung zeige, dass 1, v, x, xv Basis von EF ist,
und bestimme die Koeffiziententupel von a, b, c bez. der Basis 1, x, x2 , x3 . Sei F = Z2 ,
N = 1 + X + X 3 ∈ F[X] und E = FN .
Lösung 5.27
Sei F = Z2 , N = X 3 + X + 1 ∈ F[X] und E = FN .
Aufgabe 5.28
Bestimme für jedes v ∈ E das Minimalpolynom Mv ∈ F[X].
Lösung 5.28
Hier nur exemplarisch für v = X 2 :


 1 
 
 
0

v =1 = 
 0 
 
 
0
 
v1 = X 2
 0 
 
 

= 
 0 
 
 
1
 
 0 
 
 
2
2

v =X +X = 
 1 
 
 
1
 
 1 
 
 
3
2

v =X +1 = 
 0 
 
 
1
18
5.8 Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern

 1 0 0 1 0


 0 0 1 1 0



0 1 1 1 0








⇒ a0 = −a3 ∧ a2 = 0 ∧ a1 = −a3 . Per Definition (die hab ich nicht aus Kurzweils Skript,
sondern aus nem Algebrabuch – keine Ahnung ob Kurzweil das mal erwähnt, war zu faul
zum suchen . . . ) hat der Koeffizient des X mit dem höchsten Exponent den Wert 1.
a3 = 1
a2 = 0
a1 = −1 = 1
a0 = −1 = 1
Daraus folgt, daß das Minimalpolynom X 2 + X + 1 lautet.
Aufgabe 5.29
Zeige, dass N in F[X] in Linearfaktoren zerfällt.
Lösung 5.29
Nö. N (0) = 1, N (1) = 1.
Aufgabe 5.30
Sei Q := X 7 − 1 ∈ F[X]. Zeige, dass N Teiler von Q ist.
Lösung 5.30
5.8 Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern
5.9 Irreduzible Polynome
Aufgabe 5.31
Man berechne die zwei primitiven Polynome über F = Z2 vom Grad 4. Sei E = GF (28 ).
Lösung 5.31
Aufgabe 5.32
Wieviel primitive Elemente besitzt E?
Lösung 5.32
Aufgabe 5.33
Wieviel primitive Polynome vom Grad 8 gibt es über F = Z2 ?
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5 Übungsaufgaben aus dem Skript WS05/06
Lösung 5.33
Aufgabe 5.34
Wieviel irreduzible Polynome vom Grad 8 über F = Z2 gibt es?
Lösung 5.34
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