Lösung Zettel 1 Mathematische Methoden der Physik SS 2016

Lösung Zettel 1
Mathematische Methoden der Physik SS 2016
Jürgen Dreher
[email protected]
Aufgabe 1:
~
a) Sei ~r der Ortsvektor des Teilchens bezüglich O. Drehimpuls L(t)
= ~r(t) × p~(t) und Newton
˙
~ = ~r˙ × p~ + ~r × p~˙ = 0. Erster Term verschwindet wegen ~r˙ = ~v k p~, zweiter
p~˙(t) = F~ (t) ergeben L
~
Term weil F n.V. Zentralkraft ist.
d
d m
d mP 2
mP
b) dt
Ekin = dt
v ·~v = m
v˙ ·~v +~v · ~v˙ ) = ~v · F~ . In Komponenten: dt
v · ~v˙ .
i vi = 2
i 2vi v˙i = m~
2~
2 (~
2
Aufgabe 2:
a) c: Energie pro Temperatur, in SI: J / K.
κ: Energie pro Zeit und Temperatur, in SI: J / s K .
b) Stückweise Lösung der Relaxations-Gleichung Ṫ = − κc T + κc K = − τ1 T + τ1 K mit konstantem K und der Abkürzung τ := κc (Dimension: Zeit).
Allg. Lösung der homogenen (K = 0) Gleichung: T = Ae−t/τ .
Partikuläre Lösung: Tp (t) = K = const.
Allgemeine Lösung: T (t) = K + Ae−t/τ
Um Anfangsbedingung T (tx ) = Tx zu erfüllen, muss A angepasst werden. Dies liefert
A = (Tx − K)etx /τ und dann
T (t) = K + (Tx − K)e−(t−tx )/τ
Die Lösung konvergiert also, zur Zeit tx bei Tx startend, für t → ∞ auf der Zeitskala
τ := κc gegen die Konstante K. Damit:
i) für t < t0 ist P = 0, somit K = T0 , und auch der Anfangswert ist T (t = −∞) = T0 .
Es folgt die triviale Lösung T (t < t0 ) = T0 = const.
ii) für t0 ≤ t ≤ t1 ist P = PM , und damit K = T0 +
T (t0 ) = T0 :
T (t0 ≤ t ≤ t1 ) = T0 +
PM
κ .
Die Anfangsbedingung lautet
PM
PM −(t−t0 )/τ
PM
−
e
= T0 +
(1 − e−(t−t0 )/τ )
κ
κ
κ
Zur Zeit t1 nimmt diese den Wert
PM −(t1 −t0 )/τ
T1 = T (t1 ) = T0 +
1−e
κ
an.
iii) für t > t1 ist P wieder null, somit K = T0 :
−(t−t1 )/τ
T (t > t1 ) = T0 + (T1 − T0 )e
PM t1 /τ
t0 /τ
= T0 +
e
−e
e−t/τ
κ
d.h. die Temperatur klingt wieder asymptotisch auf T0 ab.
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Lösung Zettel 1
Mathematische Methoden der Physik SS 2016
Jürgen Dreher
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c) Die asymptotische Temperatur bei fortwährender Leistungseinstrahlung wäre entsprechend ii) T∞ = T0 + PκM . Natütlich nur im Rahmen des Modells, d.h. wenn die Flüssigkeit
nicht z.B. siedet oder verdampft.
Interessant: Die Relaxationszeitskala τ hängt auch in ii) nur von Wärmekapazität c und dem
Wärmeaustauschkoeffizienten κ (z.B. Wärmeleitung) ab, nicht aber von der eingestrahlten Leistung P .
Zu b): Die Relaxationsgleichung kann etwas deutlicher auch als
geschrieben und unmittelbar für (T (t) − K) gelöst werden.
d
dt (T (t)
− K) = − τ1 (T (t) − K)
Aufgabe 3:
1 −1
a) A B − B A = 3i
−1 −1
b) Bezeichne mit Kleinbuchstaben die Matrixeinträge (Zahlen), also z.B. (Q)ij = qij etc.
P
Definition der Matrix-Multiplikation: (P Q)kl = α pkα qαl .
Transponierte: (P T )ij = pji . Adjungierte: (P † )ij = p?ji .
Betrachte damit das i-j-Element der Transponierten des Produkts:
X
(C D)T ij = (C D)ji =
cjα dαi
α
X
X
=
(C T )αj (DT )iα =
(DT )i,α (C T )αj = (DT C T )i,j
α
α
Entsprechend für die Adjungierte:
†
(C D)
!?
ij
=
(C D)ji
?
=
X
cjα dαi
α
=
X
c?jα d?αi
α
X
X
=
(C † )αj (D† )iα =
(D† )i,α (C † )αj = (D† C † )i,j
α
α
2