Schriftliche Ausarbeitung zum Thema Optionsbewertung

Schriftliche
Ausarbeitung zum
Thema
Optionsbewertung
Von Ralph Schunn und Nina Schieferbein
Gliederung
I.)
II.)
III.)
IV.)
V.)
VI.)
Einleitung : (Nina Schieferbein)
1.) Bedeutung der Optionen am Finanzmarkt
2.) Definition von Optionen und grundlegenden
Begriffen
Differenzierung zw. Optionspreis und Optionswert
(Nina Schieferbein)
1.) Preis einer Option
2.) Wert einer Option
Sensitivitätsanalyse (Ralph Schunn)
Wertbeeinflussende Faktoren (Ralph Schunn)
Modellüberblick und Systematisierung (Ralph Schunn)
Einzelne Modelle im Fokus
1.) Binomialmodell (Ralph Schunn)
2.) Black Scholes Modell (Nina Schieferbein)
a.) Prämissen
b.) Hedgingprinzip
c.) Differentialgleichung
VII.) Fazit (Nina Schieferbein)
1
I.) Einleitung (Nina Schieferbein)
1.) Bedeutung der Optionen am Finanzmarkt
Im Laufe der Jahre hat das Volumen notierter Optionen an den Börsen immer
weiter zugenommen. Besonders Optionen auf Aktien und Aktienindizes
gehören heute zur Gruppe der wichtigsten Finanzinstrumente.1 Ein Grund dafür
könnte sein, dass Optionen für eine Vielzahl von verschiedensten Zwecken
eingesetzt werden können. Man kann Optionen ebenso zur Absicherung von
Risiken verwenden, als auch zur Spekulation. Attraktiv ist für viele Anleger
sicherlich auch die Hebelwirkung von Optionen, die es ermöglicht mit
verhältnismäßig geringem Kapitalaufwand einen hohen Gewinn zu erzielen. 2
3
Abb 1: Anzahl notierter Optionsscheine an der Börse Stuttgart
Da wir nun gezeigt haben, dass es sich bei Optionen um ein Finanzinstrument
von hoher Wichtigkeit handelt, ist es lohnenswert, sich mit dem Thema
einmal genauer auseinander zu setzen.
1
Vgl. Merk Andreas: Optionsbewertung in Theorie und Praxis.Theoretische und empirische Überprüfung des
Black/Scholes-Modells. Gabler Verlag. S.1.
2
Schaeffer Bernie: Millionen mit Optionen.Finanzverlag: Juni 2000. S.7
3
Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003
2
2.) Definition von Optionen und grundlegenden
Begriffen
„Eine Option gibt dem Käufer das Recht (aber nicht die Pflicht) ein
Vertragsangebot zeitlich befristet anzunehmen.“4 Konkret bedeutet das, dass
der Käufer entscheiden kann, ob er die gekaufte Option ausüben, oder
verfallen lassen möchte. Dieses Recht kann er aber maximal bis zum
Verfallsdatum der Option ausüben. Dabei unterscheidet man zwischen
Optionen die zu jedem Zeitpunkt der Laufzeit ausgeübt werden können
(= amerikanische Optionen) und jenen, die ausschließlich am Verfallsdatum
geltend gemacht werden können (= europäische Optionen).5 Diese
Bezeichnungen haben allerdings heute nichts mehr mit dem geographischen
Raum zu tun, in dem sie gehandelt werden können. Europäische Optionen
können ebenso an amerikanischen Börsen gehandelt werden, wie
amerikanische Optionen an europäischen Börsen gehandelt werden können.6
Daneben gibt es noch die weniger populären Bermuda-Optionen, deren
Ausübung lediglich zu vorher bereits fixierten Zeitpunkten erfolgen kann.7
Kauft ein Anleger das Recht, einen Basiswert zu einem festgelegten Preis zu
kaufen, nennt man das eine Call-Option. Eine Call-Option ist also der Kauf eines
Kaufrechtes. Die Gegenposition dazu ist eine Put-Option. Diese gibt dem Käufer
das Recht den Basiswert (engl.: Underlying) zu verkaufen. Es handelt sich also
um den Erwerb eines Verkaufsrechtes.8
Die Unterscheidung dieser beiden Optionsarten spielt besonders auch bei der
Betrachtung des Optionspreises und des Optionswertes eine große Rolle, auf
die wir im Folgenden näher eingehen möchten.
4
http://www.boerse.de/boersenlexikon/Option. Stand 17.05.2014
Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate.7. Auflage. Pearson Studium S.232
6
Vgl.: Winkler, Dennis: http://dennis-winkler.de/html/europaische_und_amerikanische_.html Stand:
17.05.2014
7
Vgl.: http://boerse.ard.de/boersenwissen/boersenlexikon/bermuda-option-100.html. Stand: 17.05.14
8
Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate.7. Auflage. Pearson Studium.S. 232
5
3
II.) Differenzierung zwischen Optionspreis
und Optionswert (Nina Schieferbein)
Häufig werden die Begriffe „ Wert“ und „Preis“ im Alltag synonym verwendet.
Wenn man aber das Thema der Optionsbewertung genauer betrachten
möchte, ist es wichtig, diese beiden Begriffe voneinander zu differenzieren.
1.) Preis einer Option
Unter dem Preis einer Option versteht man die Prämie, die der Käufer einer
Option dem Verkäufer, als Gegenleistung für die Bereitstellung des
Optionsrechts zum Basispreis, bezahlen muss. Diese Prämie wird im
Allgemeinen durch die Marktkräfte von Angebot und Nachfrage bestimmt.
Diese Prämie wird auch fällig, wenn die Option nicht ausgeübt wird, da durch
sie nur die Bereitstellung des Rechtes vergütet wird. 9
Der Preis einer Option besteht aus zwei Komponenten: dem inneren Wert und
dem Zeitwert. Unter dem inneren Wert versteht man den Betrag, der bei
sofortiger Ausübung der Option realisiert werden könnte, ohne die
Transaktionskosten zu berücksichtigen. Das bedeutet, dass der innere Wert die
Differenz aus dem aktuellen Kurs des Underlyings und des Basispreises
darstellt. Der innere Wert kann minimal null werden, aber nie negativ sein. Dies
aus dem Grund, da der Anleger nicht zur Ausübung einer Option verpflichtet ist
und daher im Falle eines Verlustes, die Option nicht nutzen würde.10
Wenn man beispielsweise eine Call-Option auf eine Aktie gekauft hat, deren
Ausübungspreis 40 € beträgt und deren aktueller Kurs sich auf 50 € beläuft, hat
diese Call-Option einen inneren Wert von 10 €. Würde der aktuelle Kurs dieser
Aktie allerdings 20 € betragen, so wäre der innere Wert null, da jeder rationale
Anleger diese Option ungenutzt verstreichen lassen würde.
Optionen werden oft nach ihrem inneren Wert in Klassen eingeteilt. Eine
Option ist „in the money“, wenn ihr innerer Wert positiv ist. „At the money“,
sagt aus, dass der Basispreis und der aktuelle Kurs des Underlyings identisch
sind. Von „out of the money“ spricht man im Falle einer Call-Option, wenn der
9
Vgl. : „ Börsenlexikon“. http://boersenlexikon.faz.net/optpreis.htm (abgerufen am 12.05.2014)
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 23 f.
10
4
Basispreis höher ist, als der aktuelle Kurs. Im Falle einer Put-Option befindet
sich diese „out of the money“ wenn der aktuelle Kurs des Basiswertes über
dem Basispreis liegt. Die Kennzahl, die für diese Einteilung häufig verwendet
wird ist die Moneyness. Diese berechnet man indem man den aktuellen Kurs
des Basiswertes durch den Ausübungspreis teilt.11
12
Abb.: Moneynesskategorien bei Optionsscheinen
In der Realität ist der Marktpreis häufig nicht identisch mit dem inneren Wert
einer Option. Deshalb muss noch ein weiterer Faktor beachtet werden: der
Zeitwert.13 Der Zeitwert stellt nicht nur eine Vergütung des Risikos dar, sondern
spiegelt auch die Chance auf einen Gewinn am Ende der Laufzeit wider. Er
errechnet sich durch die Differenz des Marktpreises und des inneren Wertes.
Beeinflussende Größen des Zeitwertes sind der Basispreis, die Restlaufzeit und
die Volatilität des Underlyings. Denn die Chancen auf einen Gewinn sind umso
höher, je länger die Restlaufzeit ist und je höher die Volatilität des Underlyings
ist. Eine längere Restlaufzeit wirkt sich deshalb positiv auf den Zeitwert aus, da
die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Option gewinnbringend entwickelt, bei
einer längeren Laufzeit höher ist, als bei einer kürzeren. Auch eine hohe
Volatilität ist erstrebenswert, da sie zur Erhöhung der Gewinnchance beiträgt.
Dies liegt an der für Optionen charakteristischen asymmetrischen
Risikoverteilung. Man kann bei der Risikoverteilung deshalb von asymmetrisch
sprechen, da sich der Verlust für den Käufer einer Option auf die
Optionsprämie beschränkt, der Gewinn kann theoretisch allerdings unbegrenzt
hoch sein. Diese Hebelwirkung ist typisch für eine Option. Ist die Gewinnchance
11
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 24 f.
Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 24 f.
13
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 25
12
5
einer Option hoch, ist zugleich auch ihr Zeitwert hoch. Ebenso wie der innere
Wert, kann auch der Zeitwert null werden (z.B am Verfallstag), negativ kann er
aber nie sein.14
Da der Preis einer Option ja bekanntlich durch die Marktkräfte Angebot und
Nachfrage bestimmt wird, kann man also davon ausgehen, dass der innere
Wert und der Zeitwert einer Option am Markt laufend neu bewertet werden. 15
2.) Wert einer Option
Wie wir bereits gezeigt haben, versteht man unter dem Preis einer Option, die
Prämie, die für die Bereitstellung eines Kaufs- oder Verkaufsrechtes entrichtet
werden muss und deren Höhe sich durch die marktmäßige Bewertung ergibt.16
Der Wert einer Option wird nicht durch Angebot und Nachfrage bestimmt,
sondern ist das Ergebnis einer modellgestützten Berechnung. Man könnte den
Wert einer Option also als „theoretisch[…] „fairen“ Preis“17 interpretieren.
Welche verschiedenen Variationen es an Bewertungsmodellen gibt und worin
sie sich voneinander unterscheiden, möchten wir in einem der folgenden
Kapitel noch genauer ausführen.
III.) Sensitivitätsanalyse (Ralph Schunn)
Nachdem in den meisten Optionsbewertungsmodellen bekannt ist, das der
Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis, der risikolose Zinssatz, die Dividende,
die Laufzeit der Option und die Volatilität des Basiswertes den Optionspreis
beeinflussen können kann es beim Black-Scholes-Modell zu hohen
Fehlbewertungen kommen. Dadurch wird dieses Bewertungsmodell als nicht
sinnvoll erachtet. Ohne ausschlaggebende Bewertungsmodelle würde auch das
Risikomanagement eines Portfolios oder einer Option sinnlos sein. Aus diesem
Grunde wird die Sensitivitätsanalyse durchgeführt. Sie soll zum Verständnis
beitragen, wie Abweichungen zwischen Modell- und Marktpreisen entstehen
können und soll helfen die Gewichtungen einzelner Parameter einschätzen zu
können. Die Sensitivitätsanalyse besteht aus folgenden Parametern:
14
Vgl.: Feingold, Benjamin: Handeln mit Futures und Optionen: ein Leitfaden für den Privatanleger.
FinanzbuchVerlag 2004. S.66.
15
Vgl. : „ Börsenlexikon“. http://boersenlexikon.faz.net/optpreis.htm (abgerufen am 12.05.2014)
16
Vgl. Abschnitt II.) 1.) Der Wert einer Option
17
Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 33.
6





Delta
Gamma
Theta
Vega
Rho
Δ :
Γ :
Θ:
Λ :
Ρ :
Partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswert
Sensitivität des Deltas gegenüber dem Asset-Price
Partielle Ableitung nach der Zeit
Partielle Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität
Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber dem Zinssatz
Aufgrund der griechischen Abkürzungen werden diese Parameter auch als „The
Greeks“ bezeichnet. Diese Sensitivitätskennziffern werden aus Sicht der ceteris
paribus betrachtet d.h. alle anderen Parameter werden konstant gehalten. 18
Beispiel für die Sensitivitätsanalyse:
Neu für
Delta
Alt
Stock Price 43,50$ 44,50$
Neu für
Gamma
Neu für
Theta
Neu für
Vega
Neu für Rho
44,50$
Strike Price 45,00$
Interest
Rate
4,00%
5,00%
Volatitlität 20,00%
Restlaufzeit 90
21,00%
89
Alt
Diff. / Option
Price
Option Price
1,06981
1,50091 Diff. 0,43110
Delta
0,37791
0,46834 Ø 0,42313
Gamma
0,09013
0,09185 Ø 0,09099
Theta
-0,01079
Vega
0,07811
Rho
0,03787
Diff. / Option Price
0,46890
18
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 57
– 76.
7
Eigene Darstellung aus Microsoft Excel;
Berechnung mit dem Optionspreisrechner von InteractiveBrokers zu finden unter:
https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=toolswidgets am 05.05.2014
Delta
Das Delta wird definiert als Sensitivität des Optionspreises nach dem Basiswert.
Delta gibt hierbei die Steigung der Kurve an, welche in Relation zwischen
Optionspreis und Basiswert steht.19
Der Wertebereich eines Deltas ist fix und erstreckt sich von -1 über +1. Dieser
Wertebereich wird jedoch in zwei verschiedene Bereiche unterteilt die zum
einen von -1 bis 0 erstrecken, für das Delta einer Verkaufsoption und zum
anderen einer Kaufoption mit einem Bereich von 0 bis +1. Notiert Delta bei
einer Kaufoption einen aufsteigenden Wert hingehend zu +1 so spricht man
von einer Option die sich im Geld befindet. Umgekehrt ist zu erwähnen, wenn
der Wert sich 0 annähert, spricht man von einer Option die sich aus dem Geld
bewegt.20
Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Delta wie folgt erklären:
Steigt der Stock Price (Aktienkurs) von 43,50 $ auf 44,50 $, sprich um nur 1 $ so
verändert sich der Optionspreis um einen Wert von 0,43110. Berechnet man
nun das Delta für den Stock Price von 43,50 $ bekommt man einen Wert des
Deltas von 0,37791 heraus. Der Wert des Deltas für einen Stock Price von 44,50
$ ist 0,46834. Davon muss man nun den Durchschnitt nehmen und es entsteht
ein Wert von Ø 0,42313. Vergleicht man die Differenz des Optionspreises mit
dem durchschnittlichen Delta, so kann erkannt werden, dass
Ø Delta nahezu gleich mit der Differenz des Optionspreises ist.21
Gamma
Gamma ist die zweite partielle Ableitung des Optionspreises nach dem
Basiswert. Dieser „Grieche“ gibt an wie sehr sich das Delta verändert, wenn
sich der Basiswert verändert. Daraus lässt sich ableiten dass eine in-the-money
19
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.449.
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 59
– 64.
21
Vgl.: https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=courses am 05.05.2014: Options 102
„The Greeks“.
20
8
befindliche Option den größtmöglichen Wert annimmt wohingegen eine outof-the-money und eine in-the-money Option im Wert abfällt. Nimmt Delta
einen Wert von 1 an so hat Gamma einen Wert von 0.22 Man kann auch sagen
das ein kleines Gamma ein sich langsam änderndes Delta angibt. Anders herum
ist bei einem hohen Gamma eine sehr schnelle und empfindliche Reaktion des
Deltas auf Preisveränderung zu vermerken.23
Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Gamma wie folgt erklären:
Bei einem Stock Price von 43,50 $ hat Gamma einen Wert von 0,09013. Hebt
man nun den Stock Price um 1 $ an auf 44,50 $ so ändert sich mit ihm auch der
Gamma Wert auf 0,09185. Hiervon muss nun das durchschnittliche Gamma
berechnet werden. Ø Gamma = 0,09099. Addiert man Ø Gamma mit dem alten
Wert von Delta 0,37791, so erhält man einen neuen errechneten Delta Wert
von 0,46890. Vergleicht man nun das errechnete Delta mit dem tatsächlichen
Delta von 0,46834 so ist zu sehen das nur eine geringe Abweichung zwischen
dem errechneten und dem tatsächlichen Delta vorhanden ist.24
Theta
Theta gibt an wie sensibel sich der Optionspreis auf Veränderung der
Restlaufzeit verändert. Somit ist Theta die erste Ableitung des Optionspreises
nach der Zeit/Restlaufzeit. Der sich täglich ändernde Zeitwert, aufgrund von
Veränderung/Verminderung der Restlaufzeit, gibt Theta die Rate an, mit
welcher sich der Zeitwert einer Option verringert. Nach der ceteris paribus
Annahme gibt der Wert des Theta den Wert an, um den sich die Option täglich
verringert.25
22
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 65
– 71.
23
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.459.
24
Vgl.: https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=courses am 05.05.2014: Options 102
„The Greeks“.
25
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 73
– 75.
9
Alt
Neu für
Theta
Option
Price
1,06981 1,05943
Delta
0,37791
Diff.
Neu für
Vega
0,01038 1,14793
Diff.
Neu für
Rho
0,07812 1,10769
Diff
0,03788
Gamma 0,09013
Theta
0,01079 -0,01083
Vega
0,07811
Rho
0,03787
0,07783
0,03877
Darstellung aus Microsoft Excel;
Berechnung mit dem Optionspreisrechner von InteractiveBrokers zu finden unter:
https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=toolswidgets am 05.05.2014
Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Theta wie folgt erklären:
Aufgrund der Angaben des beigefügten Beispiels ändert sich die Restlaufzeit
von 90 Tagen auf 89 Tagen. Dies hat zur folge das Theta einen Wert von 0,01083 annimmt und der Optionspreis von 1,06981 auf 1,05943 abfällt mit
einem Abfall von -0,01038. Bei Vergleich des Thetas mit der Preisveränderung
ist zu erkennen, das Theta fasst identisch mit der tatsächlichen
Wertveränderung ist.26
Vega
Das Vega einer Option gibt die Veränderung des theoretischen Optionspreises
bei sich ändernder impliziter Volatilität an.27 Bei einem hohen Wert von Theta
reagiert der Optionspreis auf eine sich ändernde Volatilität sehr empfindlich.
Hingegen bei einem niedrigen Wert von Theta ändert sich der Optionspreis nur
relativ geringfügig.28
26
Vgl.: https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=courses am 05.05.2014: Options 102
„The Greeks“.
27
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 71
– 73.
28
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.463.
10
Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Vega wie folgt erklären:
Die Volatilität der Option steigt um 1%. Dabei entsteht ein neues Vega bei einer
neuen Volatilität (21 %) von 0,07783. Vergleicht man nun diesen Wert mit dem
neu entstandenen Optionspreis, welcher sich um 0,07812 erhöht hat so ist zu
erkennen, das dass errechnete Vega relativ nah an der tatsächlichen
Veränderung des Optionspreises liegt.29
Rho
Rho gibt an wie sensibel sich der Optionspreis verändert bei sich änderndem
Zinssatz. Eine Erhöhung des Zinssatzes hat einen steigenden Optionspreis zur
Folge. Der Einfluss von Rho nimmt zu, je mehr sich die Option im Geld befindet.
Jedoch ist zu vermerken, dass der Zinssatz den geringsten Einfluss auf den
Optionspreis mit sich bringt. Nur bei Optionen die sich tief im Geld befinden
und eine lange Restlaufzeit aufweisen macht sich der Zinseffekt bemerkbar.30
Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Rho wie folgt erklären:
Der Zinssatz steigt von 4 % auf 5 % so bringt dies eine Optionspreisveränderung
von 0,03788 mit sich. Bei 4 % hatte Rho einen Wert von 0,03787 und bei 5 %
hat Rho einen Wert von 0,03877. Dieser Wert liegt sehr nahe an der
tatsächlichen Optionspreisveränderung.31
III Angebot und Nachfrage - auch beim Optionspreis bestimmen diese
Marktkräfte den Wert einer gehandelten Option. Wie bei anderen
Wertpapiergeschäften auch beeinflussen viele Faktoren Angebot und
Nachfrage und somit auch den Preis einer Option. Am Tag der Ausübung
entspricht der Wert einer Option ihrem Inneren Wert. Zudem ist bekannt, dass
der Basispreis konstant ist und damit bleibt lediglich der zukünftige Aktienkurs
als Unbekannte.32
29
Vgl.: https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=courses am 05.05.2014: Options 102
„The Greeks“.
30
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 75
– 76.
31
Vgl.: https://www.interactivebrokers.com/de/index.php?f=3734&p=courses am 05.05.2014: Options 102
„The Greeks“.
32
Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler
Verlags auf S.52 – 53.
11
Somit sind folgende Faktoren wertbeeinflussend für den Optionspreis:
Aktueller Aktienkurs und Basispreis
Der aktuelle Aktienkurs hat dahingehend Einfluss auf den Optionspreis einer
Kaufoption, dass falls er steigt auch mit ihm der Optionspreis steigt. Hingegen
wenn der Basispreis der Aktie steigt, so fällt der Optionspreis auf die Aktie.
Verkaufsoptionen verhalten sich dem entgegengesetzt, bei steigendem
Aktienkurs fällt der Optionspreis auf die Aktie ab. Wenn aber der Basispreis der
Aktie steigt, gewinnen die Verkaufsoptionen an Wert (Optionspreis steigt). 33
Restlaufzeit der Option
Unter der Restlaufzeit einer Option versteht man die Zeitspanne, die vom
Zeitpunkt des Kaufes oder des Betrachtungszeitpunktes bis hin zum Verfallstag
der Option verläuft. Tendenziell ist zu sagen, je höher die Laufzeit einer Aktie
ist desto höher wird die Wahrscheinlichkeit eines steigenden Optionspreises
und analog dazu umso niedriger das der Optionspreis sinkt. Somit reduziert sich
der Optionspreis für einen Call (Kaufoption) bei sinkender Restlaufzeit.34
Risikoloser Zinssatz
Risikolose Zinssätze beeinflussen die Optionspreise weniger stark als die
Restlaufzeit oder der aktuelle Aktienkurs. Jedoch lässt sich aus dem Zinssatz der
Wirtschaft ableiten, dass bei steigenden Zinssätzen der Wirtschaft die
Renditeforderungen der Anleger für die Aktien ebenso steigen. Somit sinkt der
Barwert jeder zukünftigen Einzahlung für den Optionsinhaber. Dies bewirkt für
Kaufoptionen einen steigenden Wert und für Verkaufsoptionen einen
sinkenden Wert.35
Dividende
33
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.258.
Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler
Verlags auf S.54.
35
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.259.
34
12
Bei der Dividende ist ebenso wie beim aktuellen Aktienkurs, ein
entgegengesetztes Verhalten von Kauf- und Verkaufsoptionen festzustellen.
Denn werden Dividenden an die Aktionäre ausgezahlt, so reduziert sich der
Aktienpreis am Ausschüttungstag. Dies bewirkt einen sinkenden Optionspreis
für Kaufoptionen (Call) und einen steigenden Optionspreis für
Verkaufsoptionen (Put).36
Volatilität
Die Volatilität des Aktienkurses ist ein Maß für die Unsicherheit der zukünftigen
Bewegung des Kurses. Mit Wachsender Volatilität nimmt auch die
Schwankungen des Aktienkurses zu und die Wahrscheinlichkeit das der Kurs
steigt oder sinkt nimmt zu. Für Kaufoptionen lässt sich sagen das die Volatilität
den möglichen Kursanstieg vorzeigt und für Verkaufsoptionen den möglichen
Kursabfall. Aufgrund dessen kann man festhalten, dass sich eine
steigende/zunehmende Volatilität positiv auf Kaufoptionen wie auch auf
Verkaufsoptionen auswirkt.37
IV.) Erläuterung wertbeeinflussender
Faktoren (Ralph Schunn)
Angebot und Nachfrage - auch beim Optionspreis bestimmen diese Marktkräfte
den Wert einer gehandelten Option. Wie bei anderen Wertpapiergeschäften
auch beeinflussen viele Faktoren Angebot und Nachfrage und somit auch den
Preis einer Option. Am Tag der Ausübung entspricht der Wert einer Option
ihrem Inneren Wert. Zudem ist bekannt, dass der Basispreis konstant ist und
damit bleibt lediglich der zukünftige Aktienkurs als Unbekannte.38
Somit sind folgende Faktoren wertbeeinflussend für den Optionspreis:
36
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.259.
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.259.
38
Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler
Verlags auf S.52 – 53.
37
13
Aktueller Aktienkurs und Basispreis
Der aktuelle Aktienkurs hat dahingehend Einfluss auf den Optionspreis einer
Kaufoption, dass falls er steigt auch mit ihm der Optionspreis steigt. Hingegen
wenn der Basispreis der Aktie steigt, so fällt der Optionspreis auf die Aktie.
Verkaufsoptionen verhalten sich dem entgegengesetzt, bei steigendem
Aktienkurs fällt der Optionspreis auf die Aktie ab. Wenn aber der Basispreis der
Aktie steigt, gewinnen die Verkaufsoptionen an Wert (Optionspreis steigt). 39
Restlaufzeit der Option
Unter der Restlaufzeit einer Option versteht man die Zeitspanne, die vom
Zeitpunkt des Kaufes oder des Betrachtungszeitpunktes bis hin zum Verfallstag
der Option verläuft. Tendenziell ist zu sagen, je höher die Laufzeit einer Aktie
ist desto höher wird die Wahrscheinlichkeit eines steigenden Optionspreises
und analog dazu umso niedriger das der Optionspreis sinkt. Somit reduziert sich
der Optionspreis für einen Call (Kaufoption) bei sinkender Restlaufzeit.40
Risikoloser Zinssatz
Risikolose Zinssätze beeinflussen die Optionspreise weniger stark als die
Restlaufzeit oder der aktuelle Aktienkurs. Jedoch lässt sich aus dem Zinssatz der
Wirtschaft ableiten, dass bei steigenden Zinssätzen der Wirtschaft die
Renditeforderungen der Anleger für die Aktien ebenso steigen. Somit sinkt der
Barwert jeder zukünftigen Einzahlung für den Optionsinhaber. Dies bewirkt für
Kaufoptionen einen steigenden Wert und für Verkaufsoptionen einen
sinkenden Wert.41
Dividende
Bei der Dividende ist ebenso wie beim aktuellen Aktienkurs, ein
entgegengesetztes Verhalten von Kauf- und Verkaufsoptionen festzustellen.
Denn werden Dividenden an die Aktionäre ausgezahlt, so reduziert sich der
Aktienpreis am Ausschüttungstag. Dies bewirkt einen sinkenden Optionspreis
39
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.258.
Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler
Verlags auf S.54.
41
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.259.
40
14
für Kaufoptionen (Call) und einen steigenden Optionspreis für
Verkaufsoptionen (Put).42
Volatilität
Die Volatilität des Aktienkurses ist ein Maß für die Unsicherheit der zukünftigen
Bewegung des Kurses. Mit Wachsender Volatilität nimmt auch die
Schwankungen des Aktienkurses zu und die Wahrscheinlichkeit das der Kurs
steigt oder sinkt nimmt zu. Für Kaufoptionen lässt sich sagen das die Volatilität
den möglichen Kursanstieg vorzeigt und für Verkaufsoptionen den möglichen
Kursabfall. Aufgrund dessen kann man festhalten, dass sich eine
steigende/zunehmende Volatilität positiv auf Kaufoptionen wie auch auf
Verkaufsoptionen auswirkt.43
V.) Modellüberblick und Systematisierung
(Ralph Schunn)
Es gibt viele verschiedene Optionsgeschäfte und die verschiedensten Modelle
für deren Bewertungen. Dafür benötigt man oft einen groben Überblick dieser
Bewertungsmodelle. Diesen Überblick versuchen wir in dieser Arbeit zu
verdeutlichen.
Die Modelle lassen sich zunächst in zwei Kategorien unterteilen: in die
Optionswertmodelle und Kennzahlenverfahren (naive Ansätze). Wobei die
Optionswertmodelle darauf abzielen, einen monetären Optionswert zu
ermitteln. Wohingegen die Kennzahlenverfahren auf den Bewertungsvergleich
von Marktpreisen fokussiert sind.
Die Optionswertmodelle können nun wieder unterteilt werden in
Gleichgewichtsmodelle und empirisch-ökonomische-Modelle. Wir wollen uns in
dieser Arbeit auf die Gleichgewichtsmodelle beschränken.
Bei den Gleichgewichtsmodellen kann man wieder in zwei Spalten unterteilen,
zum einen sind dies die verteilungsabhängigen Gleichgewichtsmodelle und zum
anderen die verteilungsfreien (und präferenzfreien) Gleichgewichtsmodelle.
42
43
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.259.
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.259.
15
Verteilungsfreie (und präferenzfreie) Gleichgewichtsmodelle gibt es
beispielsweise von Merton und Smith, diese werden auch nicht weiter
unterteilt. Die verteilungsabhängigen Gleichgewichtsmodelle hingegen werden
weiter unterteilt in partielle und vollständige Gleichgewichtsmodelle. Partielle
Gleichgewichtsmodelle existieren unter anderem von Bachelier, Sprenkle,
Boness und Samuelson. Sie werden auch als präferenzabhängige
Gleichgewichtsmodelle bezeichnet.
Die vollständigen Gleichgewichtsmodelle lassen sich wieder in zwei Gruppen
auftrennen: in Modelle mit stetigem Kursverlauf oder unstetigem Kursverlauf
mit konstanter Streuung.
Bei den Modellen mit stetigem Kursverlauf lässt sich wiederum eine
Unterteilung finden in konstante Streuung und variable Streuung. Das bekannt
Black-Scholes-Modell zählt zu den Modellen mit konstanter Streuung.
Wohingegen das ebenfalls bekannte CRR-Binomialmodelle bei den Modellen
mit unstetigem Kursverlauf aber konstanter Streuung eingeordnet wird. 44
Abb.: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. Dipl.-Volkswirt Stefan Hagl. S 6.
44
Vgl.: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. Dipl.-Volkswirt Stefan Hagl. S 65 – 76.
16
VI.) Einzelne Modelle im Fokus
Da wir schon einen groben Überblick über die Vielzahl von Modellen gegeben
haben, wollen wir uns nun auf zwei Modelle konzentrieren.
1.) Das Binomialmodell (Ralph Schunn)
Das ursprünglich von Sharpe entwickelte und im Anschluss von Cox, Ross,
Rubinstein, Rendlemann und Bartter publizierte Modell (1979) ist erst sechs
Jahre nach dem Black-Scholes-Modell erschienen. Das CRR-Binomialmodell ist
das gebräuchlichste Modell zur Optionsbewertung, dass basierend auf diskreter
Zeit auch ein Mehrperioden-Modell darstellt. Normalerweise sollten im Namen
des CRR-Binomialmodell auch die Namen/Kürzel der Entwickler Sharpe,
Rendleman und Bartter enthalten sein. Jedoch bezeichnet man das Modell nur
als Cox-Ross-Binomialmodell.
Die Berechnung des Optionspreises wird hierbei numerisch durchgeführt,
wohingegen das Black-Scholes-Modell auf eine analytische Berechnung
zurückgreift. Dieses Bewertungsmodell erlaubt es dadurch amerikanische und
exotische Aktien-, Futures- und Währungsoptionen zu bewerten. Zudem nimmt
dieses Modell an, dass die Wahrscheinlichkeit des Aktienkurses im Zeitablauf
einer Binomialverteilung nur zwei Werten folgen kann: nach oben oder nach
unten. 45
Veranschaulicht anhand eines Einperioden Baumes lässt sich die Bewegung der
Werte nach oben und nach unten grafisch sehr gut darstellen. Bei Betrachtung
einer Aktie S0 und deren Option f stehen diese beiden Werte im Knotenpunkt
übereinander in der jeweiligen Periode n . Betrachtet wird hierbei die Zeit T .
Der Wert der Aktie S0 kann auf S0u mit der Wahrscheinlichkeit q steigen oder
auf S0d mit der Wahrscheinlichkeit q sinken wobei u > 1 und d <1 sein muss. Die
Option f dieser Aktie verhält sich genauso Sie steigt auf f u oder sinkt auf f d .
Das gleiche gilt für Zweiperioden oder Mehrperioden Bäume, wobei hierbei zu
beachten sind, die Punkte die sich treffen nach der zweiten Periode wenn der
Wert von der vorherigen Periode sinkt und der Wert der vorherigen Periode
45
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S.
26.
17
steigt. Dabei ergibt sich aus Sou und S0d ein S0ud für die Aktie und für die Option
46
f du aus f u und f d .
Einperioden-Baum
Quelle: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.302.
Zweiperioden-Baum
Quelle: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.308.
Die Berechnung des Optionpreises bei Calls Cn,i und Puts Pn,i lässt sich wie folgt
darstellen:
Cn,i = max {S0ui dn-i - K, 0} = e-rDt éëqCn+i,i+1 + (1- q) Cn+i,i ùû
Pn,i = max { K - S0 ui dn-i , 0} = e-rDt éëqPn+i,i+1 + (1- q) Pn+i,i ùû
46
Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.300 –
310.
18
Für die Wahrscheinlichkeit von steigenden Aktienkursen gilt:
ebDt - d
q=
u- d
Für die Wahrscheinlichkeit von sinkenden Aktienkursen gilt:
u- ebDt
1- q =
u- d
47
2.) Das Black-Scholes Modell (Nina Schieferbein)
1973 schafften Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton es nach
zweimaliger Ablehnung, ihre Bewertungsmethodik zu veröffentlichen und so
exorbitant zur Weiterentwicklung der finanzmarkttheoretischen Forschung
beizutragen. Das revolutionäre an ihrer Arbeit war, dass sie einen Weg fanden,
den Wert einer Option unabhängig von Risikopräferenzen bestimmen zu
können. Diese Leistung wurde 1997 auch durch einen Nobelpreis gewürdigt,
bedauerlicherweise war Fisher Black zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben.48
Da es sich um ein Modell handelt, darf nicht angenommen werden, dass man
mit dem Black-Scholes Modell die Wirklichkeit darstellen kann. Es hilft lediglich
die Wirklichkeit zu verstehen und besitzt nur Gültigkeit, wenn eine Reihe von
Annahmen erfüllt werden.49
a.) Prämissen
Das Black-Scholes Modell basiert auf der Annahme eines gleichgewichteten,
vollkommenen Marktes. Diesen zeichnet insbesondere aus, dass es keine
Möglichkeit gibt Abitragegewinne zu realisieren.50 Es ist also nicht möglich
47
Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S. 26
– 30.
48
Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage 2009.S.348.
49
Vgl. : http://www.wirtschaftslexikon24.com/d/modell/modell.htm (Stand: 18.05.2014)
50
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 84.
19
einen risikofreien Gewinn durch die Ausnutzung von Preisdifferenzen zu
erwirtschaften.51 Da das Black-Scholes Modell unter den verteilungsabhängigen
und präferenzfreien Gleichgewichtsmodellen einzuordnen ist, muss auch eine
bestimmte Annahme über den Kursverlauf des Underlyings getroffen werden.
In diesem Fall wird die geometrische Brown’sche Bewegung zu Grunde gelegt.52
Diese sagt aus, dass die „Aktienrenditen […] eine Normalverteilung mit
unabhängig vom Kursniveau konstantem Erwartungswert und konstanter
Varianz im Zeitablauf auf[weisen].“53
Abb.: Eigens bearbeitete Darstellung der Einordnung des Black-Scholes Modells54
Außerdem beruht die Black-Scholes Differentialgleichung auf der Bedingung,
dass der Preis eines jeden Derivates, dessen Underlying eine dividendenlose
Aktie ist, erfüllt werden muss. Außerdem müssen Transaktionskosten und
Steuern vernachlässigt werden und der risikolose Zins konstant sein.55
51
Vgl.: http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/arbitrage.html (Stand: 18.05.2014)
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 82.
53
Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 84.
54
Vgl. Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 69.
55
Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage 2009.S.358.
52
20
b.) Hedging-Prinzip
Wie bereits erwähnt, war das bahnbrechende an dem Black-Scholes Modell,
dass Risikopräferenzen vernachlässigt werden konnten. Diese Umgehung
konnte aufgrund des Hedging-Prinzips erreicht werden.56
„To hedge“ kommt aus dem englischen und bedeutet absichern.57
Die Idee von Black, Scholes und Merton war, die Zahlungscharakteristik durch
ein Hedge-Portfolio nachzustellen. Dieses gilt deswegen als risikolos, da es
zusammengestellt wird, durch negativ korrelierende Vermögenswerte, die sich
also gegenseitig ausgleichen. Diese Zusammenstellung wird fortlaufend an
Marktänderungen angepasst. Ergo muss gelten:
58
Dies bedeutet, das die Wertänderung des Portfolios null betragen muss,
ebenso wie die Summe aus den Produkten der Kursänderung der zum
Zeitpunkt t im Hedgeportfolio enthaltenen Aktien mit dem Bestand an Aktien
und dem Produkt der Kursänderungen der zum Zeitpunkt t im Hedgeportfolio
enthaltenen Calls mit dem Bestand an Calls. Durch ein solches
Mischungsverhältnis
kann
also
Risikofreiheit
und
somit
auch
59
Risikopräferenzfreiheit erzielt werden.
C.) Differentialgleichung
Um die Black-Scholes Formel mathematisch herzuleiten sind eine Reihe von
komplexen finanzmathematischen Schritten erforderlich. Wir wollen uns an
dieser Stelle aber nur auf die Betrachtung der herbeigeführten
Bewertungsformeln beschränken. Diese sehen wie folgt aus:60
𝑐 = 𝑆 𝑁(𝑑 ) − 𝐾𝑒
𝑁(𝑑 )
𝑝=K𝑒
𝑁(−𝑑 ) − 𝑆 𝑁(−𝑑 )
Mit:
56
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 83.
Vgl.: http://www.dict.cc/englisch-deutsch/hedge.html (Stand: 18.05.2014)
58
Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 85.
59
Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. 2003. S. 83.
60
Formelverwendung nach Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage
2009.S.364.
57
21
𝑑 =
(
) (
)
und
√
𝑑 =
(
) (
)
√
Dabei entspricht:
𝑆 = Aktienkurs
K = Striking price
r = risikofreier Zins
T = Restlaufzeit
𝜎 = Volatilität (SAW)
Zur Verdeutlichung der Wirkungsweise soll abschließend ein Rechenbeispiel
durchgeführt werden:
Eine europäische Option mit einer Restlaufzeit von einem halben Jahr, weist einen
Aktienkurs von 40€ auf. Der Basispreis beträgt 38€, der risikolose Zins 5% p.a. und
die Volatilität 20%.
Daraus ergibt sich:
S0 = 40
K = 38
r = 0,05
= 0,2
T = 0,5
Setzt man dies nun in obige Formel ein ergibt sich:
d1 =
d2 =
( ) (
)
= 0,610186
√
( ) (
)
= 0,468764
√
Ke-rT = 38 e- 0,025 = 37,062
Im Falle einer Call-Option beträgt ihr Wert also:
C = 𝑆 𝑁(𝑑 ) − 𝐾𝑒
𝑁(𝑑 ) = 40*N(0,610186) – 37,062*N(0,468764) =
40*0,7291307 – 37,062*0,68038083 = 3,95
Im Falle einer Put-Option beträgt ihr Wert also:
𝑝 = K 𝑒 𝑁(−𝑑 ) − 𝑆 𝑁(−𝑑 ) = 37,062*N(-0,468764)-40*N(-0,610186) =
37,062*0,31961917-40*0,2708693 = 1,01
Unter Vernachlässigung des Zeitwertes, müsste der Aktienkurs um 1,95 € steigen,
damit der Käufer eines Calls in die Gewinnzone eintritt. Ein Käufer eines Puts tritt
in die Gewinnzone ein, wenn der Aktienkurs um 3,01 € fallen würde.61
61:
22
Eigenes Rechenbeispiel nach .: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage
2009.S.367.
VII.) Fazit
Abschließend kann man sagen, dass die Optionsbewertung ein wichtiges
finanztheoretisches Thema ist und auch in der Praxis Anwendung findet. Zwar
schafft es keines der verschiedenen Bewertungsmodelle die Wirklichkeit exakt
abzubilden, aber sie tragen dennoch zu einem besseren Verständnis der
Realität bei. Gerade auch das Black Scholes Modell und das CRR-Modell, auf die
wir unseren Fokus gesetzt haben, zählen auch heute noch zu den
grundlegendsten Modellen der Optionsbewertung. Durch zahlreiche
Erweiterungen und Verallgemeinerungen kann mithilfe dieser Modelle zwar
nicht ein exaktes, aber dennoch schon ein sehr gutes Abbild der Wirklichkeit
erschaffen werden.
23