deterministisch

Vorlesung
Logik für Informatiker
15. Prädikatenlogik
– Tableaukalkül –
Bernhard Beckert
Universität Koblenz-Landau
Sommersemester 2006
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.1
Zur Erinnerung: Aussagenlogische Tableauregeln
α
konjunktiv
p∧q
α1
p
α2
q
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.2
Zur Erinnerung: Aussagenlogische Tableauregeln
α
konjunktiv
p∧q
α1
p
α2
q
β
β1 β2
disjunktiv
p∨q
p
q
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.2
Zur Erinnerung: Aussagenlogische Tableauregeln
α
konjunktiv
p∧q
α1
p
α2
q
β
disjunktiv
q
p
β1 β2
F
p∨q
Widerspruch
F
¬F
¬F
∗
∗
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.2
Instanzen der α- und β -Regel
Instanzen der α-Regel
P∧Q
¬(P ∨ Q)
¬(P → Q)
¬¬ P
P
¬P
P
P
Q
¬Q
¬Q
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.3
Instanzen der α- und β -Regel
Instanzen der α-Regel
P∧Q
¬(P ∨ Q)
¬(P → Q)
¬¬ P
P
¬P
P
P
Q
¬Q
¬Q
Instanzen der β -Regel
P∨Q
¬(P ∧ Q)
P→Q
P
¬P ¬Q
¬P Q
Q
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.3
Beispiel
M = ¬(((¬ A → B) → C) → ((¬ B → A) → C))
1
(¬ A → B) → C
¬((¬ B → A) → C)
¬B → A
¬C
¬(¬ A → B)
C
¬A
∗
¬B
¬¬ B
A
B
∗
∗
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.4
Zusätzliche: Prädikatenlogische Tableauregeln
γ
γ1 (t)
universell
∀xq(x)
q( f (a))
t bel. Grundterm
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.5
Zusätzliche: Prädikatenlogische Tableauregeln
γ
universell
γ1 (t)
∀xq(x)
q( f (a))
t bel. Grundterm
δ
δsk
existentiell
∃xp(x, y)
p( f (y), y)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.5
Instanzen der γ - und δ -Regel
Instanzen der γ -Regel
∀x F(x)
¬∃ F(x)
F(t)
¬ F(t)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.6
Instanzen der γ - und δ -Regel
Instanzen der γ -Regel
∀x F(x)
¬∃ F(x)
F(t)
¬ F(t)
Instanzen der δ -Regel
∃x F(x)
¬∀ F(x)
Fsk
¬ Fsk
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.6
Determinismus der Regeln
α- und β -Regeln
deterministisch
(wie in Aussagenlogik)
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.7
Determinismus der Regeln
α- und β -Regeln
deterministisch
(wie in Aussagenlogik)
γ -Regel
hochgradig nicht-deterministisch
muß für Vollständigkeit mehrfach angewendet werden (pro Ast)
Grund für Nicht-Terminierung
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.7
Determinismus der Regeln
α- und β -Regeln
deterministisch
(wie in Aussagenlogik)
γ -Regel
hochgradig nicht-deterministisch
muß für Vollständigkeit mehrfach angewendet werden (pro Ast)
Grund für Nicht-Terminierung
δ -Regel
nicht-deterministisch
muss dennoch nur einmal pro Ast und Formel angewendet werden
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.7
Prädikatenlogischer Tableaukalkül
Definition
Tableauast
geschlossener Ast
geschlossenes Tableau
Tableaubeweis
(für die Unerfüllbarkeit einer Formelmenge)
wie in der Aussagenlogik definiert
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.8
Korrektheit und Vollständigkeit des Tableaukalküls
Wie in der Aussagenlogik
Theorem
Eine Formelmenge M ist unerfüllbar
genau dann, wenn
es einen Tableaubeweis für (die Unerfüllbarkeit von) M gibt
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.9
Beispiel
Eine Aussage über Mengen
(1)
S∩Q
=
∅
(2)
P
⊆
Q∪R
(3)
P = ∅ ; Q 6= ∅
(4) Q ∪ R
⊆
S
(5)
6=
∅
P∩R
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.10
Beispiel
Eine Aussage über Mengen
Modellierung
(1)
S∩Q
=
∅
¬∃x(s(x) ∧ q(x)) ∧
(2)
P
⊆
Q∪R
∀x(p(x) → (q(x) ∨ r(x))) ∧
(3)
P = ∅ ; Q 6= ∅
(4) Q ∪ R
⊆
S
¬∃x(p(x)) → ∃ y(q(y)) ∧
∀x((q(x) ∨ r(x)) → s(x)) →
(5)
6=
∅
∃x(p(x) ∧ r(x))
P∩R
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.10
Beispiel
Modellierung
(¬∃x(s(x) ∧ q(x)) ∧
∀x(p(x) → (q(x) ∨ r(x))) ∧
¬∃x(p(x)) → ∃ y(q(y)) ∧
∀x((q(x) ∨ r(x)) → s(x)) →
∃x(p(x) ∧ r(x))
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.11
Beispiel
Modellierung
Unerfüllbarkeit der Menge M :
(¬∃x(s(x) ∧ q(x)) ∧
¬∃x(s(x) ∧ q(x))
∀x(p(x) → (q(x) ∨ r(x))) ∧
∀x(p(x) → (q(x) ∨ r(x)))
¬∃x(p(x)) → ∃ y(q(y)) ∧
∀x((q(x) ∨ r(x)) → s(x)) →
¬∃x(p(x)) → ∃ y(q(y))
∃x(p(x) ∧ r(x))
¬∃x(p(x) ∧ r(x))
∀x((q(x) ∨ r(x)) → s(x))
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.11
Beispiel
1
¬¬∃x(p(x))
∃x(p(x))
p(c)
¬(p(c) ∧ r(c))
¬r(c)
p(c) → (q(c) ∨ r(c))
¬ p(c) q(c) ∨ r(c)
∗q(c)
r(c)
∗
¬(s(c) ∧ q(c))
¬s(c)
¬q(c)
∗
(q(c) ∨ r(c)) → s(c)
¬(q(c) ∨ r(c)) s(c)
∗
¬q(c)
¬r(c)
∗
∃ y(q(y))
q(d)
¬ p(c)
∗
Logik für Informatiker, SS ’06 – p.12