Beugung am Spalt, am Steg und an der kreisförmigen

LD
Handblätter
Physik
Optik
Wellenoptik
Beugung
P5.3.1.1
Beugung am Spalt, am Steg
und an der kreisförmigen
Lochblende
Versuchsziele
Untersuchung der Beugung am Spalt bei verschiedenen Spaltbreiten und Bestimmung der Breite eines Spaltes.
Untersuchung der Beugung am Steg und Bestätigung des Babinetschen Prinzips.
Untersuchung der Beugung an der kreisförmigen Lochblende bei verschiedenen Lochdurchmessern und Bestimmung
des Durchmessers eines Loches.
Grundlagen
Die Natur des Lichtes war lange umstritten. Christiaan Huygens
interpretierte das Licht 1690 als ein Wellenphänomen; Isaac
Newton beschrieb 1704 den Lichtstrahl als einen Strom von
Teilchen. Die Quantenmechanik löste diesen Widerspruch und
schuf das Bild vom Welle-Teilchen-Dualismus. Experimente
zur Beugung belegen die Wellennatur des Lichtes.
Bei der Fresnelschen Beugung befindet sich die Lichtquelle
und der Beobachtungsschirm im endlichen Abstand vom Beugungsobjekt. Bei größer werdenden Abständen gleichen die
Fresnelschen Beugungsbilder mehr und mehr den Fraunhoferschen. Die Berechnungen von Beugungsbildern bekannter
Beugungsobjekte sind bei der Fraunhoferschen Betrachtungsweise einfacher. Daher wird bei den hier beschriebenen Versuchen die Fraunhofersche Betrachtungsweise zugrundegelegt.
Beugungserscheinungen treten grundsätzlich auf, wenn die
freie Ausbreitung des Lichtes durch Hindernisse – wie z. B.
Lochblenden oder Spalte – geändert wird. Die dabei zu beobachtende Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung des
Lichtes bezeichnet man als Beugung.
Beugungserscheinungen an einem Spalt lassen sich mit dem
intensiven und kohärenten Licht eines Lasers deutlich zeigen.
Durch Beugung des parallel einfallenden Lichtes an der Spaltöffnung breitet sich das Licht auch im geometrischen Schatten
(in Fig. 1 grau unterlegt) der Spaltblende aus. Außerdem beob-
Für die Untersuchung von Beugungserscheinungen werden
zwei Fälle der experimentellen Ausführung unterschieden:
Bei der Fraunhoferschen Beugung werden parallele Wellenfronten des Lichtes vor und hinter dem Beugungsobjekt untersucht. Dies entspricht auf der einen Seite einer unendlich weit
vom Beugungsobjekt entfernten Lichtquelle und auf der anderen Seite einem unendlich weit vom Beugungsobjekt entfernten Beobachtungsschirm. Experimentell wird dies mit Hilfe von
Sammellinsen realisiert, die beispielsweise zwischen der Lichtquelle und dem Beugungsobjekt in den Strahlengang gesetzt
werden.
0713-Bi
Fig. 1
1
Schematische Darstellung zur Beugung des Lichtes am Spalt
b: Spaltbreite
L: Abstand des Schirmes vom Spalt
x2: Abstand des zweiten Intensitätsminimums vom Zentrum
␣2: Richtung, in welcher die zweite Auslöschung beobachtet wird
⌬s2: Gangunterschied
S: Beobachtungsschirm
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Geräte
1 Blende mit 3 Einfachspalten . . . . . . .
1 Blende mit 3 Beugungslöchern . . . . . .
1 Blende mit 3 Beugungsstegen . . . . . .
469 91
496 96
469 97
1 He-Ne-Laser, linear polarisiert . . . . . .
471 830
1 Halter mit Federklemmen . . . . . . . . .
1 Linse f = +5 mm . . . . . . . . . . . . . .
1 Linse f = +50 mm . . . . . . . . . . . . .
460 22
460 01
460 02
1 Optische Bank, Normalprofil 1 m . . . . .
4 Optikreiter, H = 60 mm/B = 36 mm . . . .
460 32
460 353
1 Durchscheinender Schirm . . . . . . . .
1 Sockel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441 53
300 11
achtet man auf dem Schirm ein System aus hellen und dunklen
Streifen. Dies kann mit den Gesetzen der geometrischen
Strahlenoptik nicht erklärt werden.
Fig. 2
Eine Erklärung ist nur möglich, wenn dem Licht Welleneigenschaften zugeschrieben werden und die auf dem Schirm beobachtete Beugungsfigur als Überlagerung (unendlich) vieler
von der Spaltöffnung ausgehender Teilbündel betrachtet wird.
Die Überlagerung der Teilbündel führt in bestimmten Richtungen zur Auslöschung bzw. zur Verstärkung der Intensität. In
einem einfachen Ansatz lässt sich an Hand von Fig. 1 plausibel
machen, dass dunkle Streifen dort auftreten, wo es zu jedem
Teilbündel aus der einen Spalthälfte genau ein Teilbündel aus
der anderen Spalthälfte gibt und beide sich auslöschen. Dies
ist für die unter dem Winkel ␣n austretenden Teilbündel jedes
Mal dann erfüllt, wenn der Gangunterschied ⌬sn zwischen
Mittelpunktstrahl und Randstrahl ein ganzzahliges Vielfaches
n der halben Wellenlänge ␭ des Lichtes ist:
⌬sn = n ⋅
␭
2
n = 1,2,3,…
Diese Beziehung stellt einen Zusammenhang zwischen der
Wellenlänge ␭ und der Versuchsgeometrie her. Bei bekannter
Spaltbreite b kann mit Gl. (III) die Wellenlänge ␭ des Lichtes
bestimmt werden. Umkehrt kann aus einem Beugungsexperiment mit monochromatischem Licht bekannter Wellenlänge
die Größe des Beugungsobjektes ermittelt werden.
Für eine genaue Berechnung der Beugungsfigur summiert man
die Schwingungszustände aller vom Spalt ausgehenden Teilbündel unter Berücksichtigung ihrer Phasendifferenzen auf
und erhält die Feldstärkenamplitude A des gebeugten Lichts
an einem beliebigen Ort x auf dem Schirm. Aus der so berechneten Amplitudenverteilung A(x) erhält man unmittelbar die
Intensitätsverteilung I(x) = A2(x). In Fig. 2 ist die Intensitätsverteilung für verschiedene Spaltbreiten b dargestellt. Die Intensitätsminima des Beugungsbildes sind äquidistant. Die Intensitätsmaxima niederer Ordnung sind zum Hauptmaximum
0-ter Ordnung hin verlagert. Die Nebenmaxima liegen um so
besser in der Mitte zwischen zwei Nebenminima, je größer die
Ordnungszahl ist.
(I)
Für kleine Beugungswinkel ␣ und großen Schirmabstand L
lässt sich näherungsweise setzen:
2 ⋅ ⌬sn
xn
艐 ␣n 艐
b
L
(II)
Fig. 3
Aus der Auslöschungsbedingung (I) folgt damit für die Wellenlänge:
␭=
xn b
⋅
n L
Intensitätsverteilung des Beugungsbildes eines Spaltes
(III)
Sicherheitshinweise
Der He-Ne-Laser genügt den „Sicherheitstechnischen
Anforderungen für Lehr-, Lern- und AusbildungsmittelLaser; DIN 58126 Teil 6“ für Laser Klasse 2. Bei Beachtung der entsprechenden Hinweise in der Gebrauchsanleitung ist das Experimentieren mit dem He-Ne-Laser
ungefährlich.
Nicht in den direkten oder reflektierten Laserstrahl
blicken.
Überschreitung der Blendungsgrenze vermeiden (d. h.
kein Beobachter darf sich geblendet fühlen).
2
Intensitätsverteilung des Beugungsbildes einer kreisförmigen Lochblende (diametraler Schnitt)
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Zur Beugung am Spalt ist die Beugung an einem Steg gleicher
Breite komplementär. Daher ist die Amplitudenverteilung A’(x)
des Beugungsbildes eines Stegs komplementär zur Amplitudenverteilung A(x) eines Spalts; d. h. A(x) und A’(x) addieren
sich zur Amplitudenverteilung A0(x), die ohne Beugungsobjekt
auf dem Schirm messbar wäre (Babinetsches Prinzip). Außerhalb des Bildes der Lichtquelle auf dem Schirm ist A0(x) = A(x)
+ A’(x) = 0. Dort stimmen somit die zugehörigen Intensitäten
I(x) und I’(x), die sich aus den Quadraten der Amplituden
berechnen, überein. Mit anderen Worten: Die Beugungsbilder
eines Stegs und eines Spaltes sind außerhalb des Bildes der
Lichtquelle gleich. Das bedeutet, dass die für die Spaltbeugung gültige Beziehung (II) auch für die Beugung am Steg gilt.
Fig. 4
Versuchsaufbau (oben) und schematischer Strahlengang
(unten) zur Beobachtung der Beugung am Spalt, am Steg
und an der kreisförmigen Lochblende.
L1: Linse f = +5 mm
L2: Linse f = +50 mm
H: Halter für Beugungsobjekte
S: Beobachtungsschirm
Aufbau
Hinweis: Justierung in einem leicht verdunkelten Raum durchführen.
Auch Beugungserscheinungen an einer Lochblende lassen
sich mit Laserlicht deutlich zeigen. Ein Sonderfall, der für die
Erklärung der Beugung bei Beugungsobjekten beliebiger Form
eine grundlegende Rolle spielt, ist das ringförmige Beugungsmuster bei Löchern mit kreisförmiger Begrenzung. Doch schon
für diesen Sonderfall ist die theoretische Bestimmung der
Richtungen, in denen Auslöschung oder Verstärkung auftritt,
mathematisch relativ aufwendig. Deshalb wird hier ohne Herleitung auf das Ergebnis verwiesen. Für die Auslöschung gilt:
Der gesamte Versuchsaufbau ist in Fig. 4 dargestellt. Die Kugellinse L1 mit Brennweite f = +5 mm weitet den Laserstrahl
zunächst auf. Die folgende Sammellinse L2 mit der Brennweite
f = +50 mm wird so positioniert, dass sich ihr Brennpunkt
etwas unterhalb des Brennpunktes der Kugellinse befindet.
Auf diese Weise wird erreicht, dass der Laserstrahl etwas
aufgeweitet ist und annähernd parallel entlang der optischen
Achse verläuft.
– He-Ne-Laser entsprechend Fig. 4 mittels eines Optikreiters
dn
␭
= kn ⋅
(IV)
2⋅L
D
mit k1 = 1,220, k2 =2,232, k3 = 3,238, … und n = 1,2,3, …
D = Radius der Lochblende
dn = Durchmesser des n-ten dunklen Ringes auf dem Schirm
L = Abstand zwischen Schirm und Lochblende
auf der Optischen Bank befestigen.
– Schirm S ca. 1,90 m vom Laser entfernt aufstellen.
– Laser auf den Schirm ausrichten und einschalten.
– Halter für Beugungsobjekte H mit eingespannter Blende
Ein diametraler Schnitt durch die Intensitätsverteilung auf dem
Beobachtungsschirm ist in Fig. 3 für verschiedene Lochdurchmesser D dargestellt. Die Intensitätsminima des Beugungsbildes sind hier nicht äquidistant, da die Koeffizienten kn in Gl.
(IV) keinen konstanten Abstand aufweisen. Dieser Abstand
nähert sich erst mit wachsendem n dem Wert 1.
–
–
3
mit 3 Einfachspalten in ca. 50 cm Abstand vom Laser auf
die Optische Bank stellen.
Höhe des Lasers so ausrichten, dass der Laserstrahl die
Mitte der Blende durchsetzt.
Kugellinse L1 der Brennweite f = +5 mm in ca. 1 cm Abstand vor den Laser stellen (der Laserstrahl soll die Blende
gut ausleuchten).
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– Halter für Beugungsobjekte H wieder herausnehmen.
– Sammellinse L2 der Brennweite f = +50 mm in ca. 55 mm
–
–
Messbeispiel
a) Beugung am Spalt:
Abstand hinter der Kugellinse L1 positionieren und auf der
Optischen Bank in Richtung Kugellinse L1 verschieben, bis
der Laserstrahl auf dem Schirm scharf abgebildet wird.
Sammellinse L2 auf der Optischen Bank dann noch ein
wenig in Richtung der Kugellinse L1 verschieben, bis sich
der Durchmesser des Laserstrahls auf dem Schirm auf
ca. 6 mm aufweitet (der Laserstrahl sollte dann entlang der
optischen Achse ein konstantes kreisrundes Profil aufweisen).
Zur Überprüfung, ob der Strahldurchmesser zwischen Linse und Schirm konstant ist, ein Blatt Papier in den Strahlengang halten und das Strahlprofil entlang der optischen
Achse verfolgen.
Mit abnehmender Spaltbreite b wird die Intensität im Zentrum
geringer. Die Intensitätsmaxima werden breiter und die Intensitätsminima wandern auseinander. D.h. das Beugungsbild
wandert immer mehr in den geometrischen Schatten der Spaltblende hinein.
Tab. 1: Abstände xn der Intensitätsminima vom Intensitätsmaximum 0-ter Ordnung
– Halter für Beugungsobjekte H wieder in den Strahlengang
–
stellen und so verschieben, dass der Abstand d zwischen
Schirm und Beugungsobjekt 1,50 m beträgt.
Eventuell Linse L2 noch geringfügig verschieben, bis das
Beugungsbild scharf abgebildet ist.
Ordnung des
Intensitätsminimums
xn
mm
xn/n
mm
1
4,5
4,50
2
8,5
4,25
3
12,5
4,17
4
16,1
4,03
5
20,0
4,00
6
23,5
3,92
7
27,5
3,93
8
31,5
3,94
Durchführung
Mittelwert:
a) Beugung am Spalt:
– Nacheinander die Spalte C (b = 0,48 mm), B (b = 0,24 mm)
Entfernung des Schirms: L = 1,50 m
– Spalt B erneut einschieben und Beugungsbild auf dem
–
n
Wellenlänge: ␭ = 633 nm
und A (b = 0,12 mm) in den Strahlengang schieben und die
Beugungserscheinung in Abhängigkeit von der Spaltbreite
b untersuchen.
–
冓 xn 冔 = 4,093 mm
b) Beugung am Steg:
Schirm scharf abbilden.
Ein Papier auf den Schirm halten und mit weichem Bleistift
die Orte der Intensitätsminima (dunkle Streifen) markieren.
Die Abstände xn messen und Werte xn/n berechnen.
Bis auf die Hauptmaxima in der Mitte der Beugungsfigur entsprechen die Beugungsbilder des Steges denen des Einzelspaltes.
b) Beugung am Steg:
– Nacheinander die Stege B (b = 0,4 mm) und A (b = 0,2 mm)
c) Beugung an der Lochblende:
– Die Beugungserscheinung beobachten und mit der des
Mit abnehmendem Lochdurchmesser D wird die Intensität im
Zentrum geringer. Die hellen Ringe werden breiter, die dunklen
wandern auseinander. Das Beugungsbild wandert immer mehr
in den geometrischen Schatten der Lochblende hinein.
in den Strahlengang schieben.
Spalts vergleichen.
c) Beugung an der Lochblende:
Tab. 2: Durchmesser dn der Intensitätsminima
– Nacheinander
die Löcher C (D = 0,48 mm), B
(D = 0,24 mm) und A (D = 0,12 mm) in den Strahlengang
schieben und die Beugungserscheinung in Abhängigkeit
vom Lochdurchmesser D untersuchen.
– Lochblende C erneut einschieben und Beugungsbild auf
–
–
dem Schirm scharf abbilden.
Ein Papier auf den Schirm halten und mit weichem Bleistift
die Orte der Intensitätsminima (dunkle Ringe) markieren.
Die Durchmesser dn der dunklen Ringe messen und Werte
dn/kn berechnen.
Ordnung des
Intensitätsminimums
dn
mm
dn / kn
mm
1
4,8
3,93
2
8,6
3,85
3
12,5
3,86
Mittelwert
Hinweis: Das Ringmuster ist bei kleinem Lochdurchmesser
mitunter etwas gestört, da sich geringe Abweichungen der
Blende von der Kreisform bemerkbar machen.
冓 dk 冔 = 3,883 mm
n
n
Wellenlänge: ␭ = 633 nm
Entfernung des Schirms: L = 1,50 m
4
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Bei kleinen Spaltbreiten ist also auf dem Schirm auch Intensität
an Stellen zu beobachten, die nach den Gesetzen der geometrischen Optik im Schatten der Spaltblende liegen würden.
Auswertung
a) Beugung am Spalt:
Mit den Messwerten
冓xn 冔 = 4,093 mm
b) Beugung am Steg:
n
␭ = 633 nm
L = 1,50 m
ergibt sich mit Umstellung von Gl. (III) für die Spaltbreite
b=
␭⋅L
冓 冔
= 0,23 mm
Die Beugung am Steg ist komplementär zur Beugung am Spalt.
Daher sind die Beugungsbilder außerhalb des Bildes der Lichtquelle auf dem Schirm gleich.
c) Beugung an der Lochblende:
xn
n
Beim Durchgang des Laserlichtes durch ein kreisförmiges
Loch erscheint auf dem Schirm ein Beugungsbild aus konzentrischen Kreisen.
b) Beugung am Steg:
s. Messbeispiel.
c) Beugung an der Lochblende:
Mit den Messwerten
冓dk 冔 = 3,883 mm
Auch außerhalb des Zentrums sind helle Ringe zu beobachten.
Deren Abstand zum Zentrum ist umso größer, je kleiner der
Lochdurchmesser ist.
Bei kleinen Lochdurchmessern ist also auf dem Schirm auch
Intensität an Stellen zu beobachten, die nach den Gesetzen
der geometrischen Optik im Schatten der Lochblende liegen.
n
n
␭ = 633 nm
L = 1,50 m
Zusatzinformation
ergibt sich mit Umstellung von Gl. (IV) für den Lochdurchmesser
D=
␭⋅L
冓 冔
= 0,49 mm
dn
kn
Ergebnis
a) Das Wellenmodell des Lichtes erlaubt eine anschauliche
Erklärung aller Erscheinungen des Lichtes, die mit Lichtausbreitung zu tun haben, auch der einfachen, wie sie vom Strahlenmodell der geometrischen Optik bekannt sind. Die Anwendbarkeit des Wellenmodells reicht über den Ausschnitt des
sichtbaren Spektrums weit hinaus und umfasst das gesamte
Gebiet des elektromagnetischen Spektrums von Radiowellen
bis zu ionisierender Strahlung.
Beim Durchgang des Laserlichtes durch einen Spalt erscheint
auf dem Schirm ein streifenförmiges Beugungsbild.
b) Aus Gl. (III) ist ersichtlich, dass die Beugungserscheinungen
besonders deutlich werden, wenn die Wellenlänge des Lichtes
in der Größenordnung des Beugungsobjektes ist und je größer
die Wellenlänge des benutzten Lichtes ist.
Auch außerhalb des Zentrums sind helle Streifen zu beobachten. Deren Abstand zum Zentrum ist umso größer, je kleiner die
Spaltbreite ist.
c) Zwischen den Koeffizienten kn in Gl. (IV) und den Nullstellen
zn der Besselfunktion 1. Ordnung J1(z) besteht der Zusammenhang: zn = kn ⋅ ␲.
a) Beugung am Spalt:
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