t-Test Zweifaktorielle ANOVA

t-Test
= Test der Differenz der Mittelwerte zweier Gruppen auf Signifikanz:
H0: μ1 = μ2
• Standardfehler der Differenz: σˆ ( x1 − x2 ) =
• Testgröße: t n1 + n2 − 2;1−α / 2 =
σ 12 σ 22
+
n1 n2
x1 − x 2
σˆ ( x1 − x2 )
• Zum Vergleich - Konfidenzintervall: x KI = x ±
σ
⋅ t n −1; 1−α / 2
n
• Voraussetzungen:
• Normalverteilung (bei kleinen Stichproben)
• Homogenität der Varianzen
• Unabhängigkeit der Stichproben
Zweifaktorielle ANOVA
• f=2 Faktoren (A, B), p Stufen, n Wiederholungen => N = 2·p·n
• gleichzeitige Überprüfung von 3 Hypothesen:
1. Es gibt keinen Effekt des Faktors A (H0: μ1A = μ2A = μ3A = ...)
2. Es gibt keinen Effekt des Faktors B (H0: μ1B = μ2B = μ3B = ...)
3. Es gibt keine Wechselwirkungen zwischen den Faktoren A und B
(H0: μAB = μA + μB - μ)
1
Zweifaktorielle ANOVA:
Quadratsummenzerlegung
• 2 Faktoren (UV) A, B, mit jeweils p Stufen und n Wiederholungen => N = p2·n
• Quadratsummen:
1-faktoriell
2-faktoriell
QStot
QStot
= QSZellen + QSFehler = QSA + QSB + QSAxB + QSFehler
QSFehler
QSFehler
QStreat
QSZellen = QSA + QSB + QSAxB
QSA, QSB
QSAxB
Beispiel
2
Quadratsummenzerlegung
2 Faktoren (UV) A, B, mit jeweils p Stufen und n Wiederholungen => N = p2·n
n⋅ p
QStot = ∑ ( xi − x ) 2
• QStot:
QStot = QS Zellen + QS Fehler
i =1
• Zelle: alle Wiederholungen der gleichen Behandlung (A, B) und der gleichen
Behandlungsstufe
p
2
QSZellen:
QS Zellen = n ⋅ ∑∑ ( xki − x ) 2
k =1 I =1
2
p
n
QS Fehler = ∑∑∑ ( xkim − xki ) 2
• QSFehler:
k =1 i =1 m =1
p
QS A = p ⋅ n ⋅ ∑ ( x Ai − x ) 2
• QSA, QSB:
I =1
p
QS B = p ⋅ n ⋅ ∑ ( xBi − x ) 2
I =1
QS Zellen = QS A + QS B + QS AxB
• QSAxB:
Zweifaktorielle ANOVA:
Freiheitsgrade
• 2 Faktoren (UV) A, B, mit jeweils p Stufen und n Wiederholungen => N = p2·n
1-faktoriell
2-faktoriell
dfA = p - 1
dfB = p - 1
dfAxB = p · p - (2p - 1) = (p - 1) · (p - 1)
dftreat = p - 1
dfZellen = p · p - 1 = dfA + dfB + dfAxB
dfFehler = p · (n -1)
dfFehler = p · p · (n -1)
dftot = (p · n) - 1
dftot = (p · p · n) - 1
3
Zweifaktorielle ANOVA:
Freiheitsgrade
• 2 Faktoren (UV) A mit p Stufen, B mit q Stufen und jeweils n Wiederholungen
=> N = p · q · n
1-faktoriell
2-faktoriell
dfA = p - 1
dfB = q - 1
dfAxB = p · q - (p + q - 1) = (p - 1) · (q - 1)
dftreat = p - 1
dfZellen = p · q - 1 = dfA + dfB + dfAxB
dfFehler = p · (n -1)
dfFehler = p · q · (n -1)
dftot = (p · n) - 1
dftot = (p · q · n) - 1
Beispiel
2
σˆ Fehler
=
FAxB =
QS Fehler
= 1,70
df Fehler
QS AxB
df AxB
2
= 15,94**
σˆ Fehler
QS A
df A
QS B
FB =
df B
FA =
2
σˆ Fehler
= 74,53**
2
σˆ Fehler
= 0,18
4
Post-hoc-Test
• ANOVA: Gibt es generell signifikante Effekte der einzelnen Faktoren?
• t-Test: Gibt es signifikante Unterschiede zwischen zwei Gruppen?
• Post-hoc-Test der ANOVA: Welche Zellen (Stufen der Faktoren)
unterscheiden sich signifikant?
→ im Gegensatz zum t-Test Berücksichtigung der Tatsache, dass
>2 Stichproben vorliegen
Beispiel:
- 20-maliges Ziehen von jeweils 10 Zufallszahlen
- Berechnung der Mittelwerte dieser 20 Stichproben
- Vergleich der Gruppe mit dem höchsten Mittelwert mit der Gruppe mit dem
niedrigsten Mittelwert ergibt gemäß t-Test mit hoher Wahrscheinlichkeit einen
signifikanten Unterschied
Aufgabe
1. Berechnen Sie „zu Fuß“ QStot, QSFehler, QSA, QSB, QSAxB, die
entsprechenden Freiheitsgrade und die F-Werte für einen der Parameter
(Cl, DOC, pH oder NO3) des Datensatzes.
2. Führen Sie in Statistica eine mehrfaktorielle ANOVA durch und vergleichen
Sie die Ergebnisse.
3. Stellen Sie zum Vergleich die Mittelwerte und Konfidenzintervalle der
Variablen grafisch dar. Kennzeichnen Sie signifikante Unterschiede mittels
unterschiedlicher Buchstaben.
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