Notizen zu Fermats letztem Satz (FLT)

Fermat.nb
Hausarbeit im Fach Mathematik zum Hauptseminar im SS 98:
"Ausgewählte Themen aus "Zahlen" und "Zahlentheorie""
Dozent: Prof.Dr.Wolfgang Gräßle
vorgelegt von
Stefan Jaitner
Notizen zu
Fermats letztem Satz (FLT)
In dieser Arbeit möchte ich diophantische² Gleichungen der Form xn + yn =zn mit n±µ und x, y, z ±µ betrachten.
Wenn keine zusätzlichen Angaben gemacht werden, suche ich nach nichttrivialen (triviale Lösungen sind x=0 Ñ
y=0 Ñ z=0 ; z.B. x=0 Á yn =zn Á Lösungsmenge L={ (0,y,z)±´3| y=z}) Lösungstripeln (x, y, z) ± ´3. Eine
Verallgemeinerung der Lösungen von ´ auf À oder · werde ich in der Regel nicht betrachten, owohl diese sehr
einfach zu erhalten sind.
²: Diophant lebte im ägyptischen Alexandria, was über Jahrhunderte hinweg das wissenschaftliche Zentrum der
antiken Welt war. Die Zeit seines Wirkens läßt sich nur auf 500 Jahre genau eingrenzen (man spricht i.d.R. von der
Zeit um 250 n. Chr.). Während seiner Zeit in Alexandria sammelte er die schon gelösten Probleme und erfand neue,
die er zu einer großen, ausschließlich der Zahlentheorie gewidmeten Abhandlung mit dem Titel Arithmetica
zusammenstellte. Von den dreizehn Bänden dieses Werkes überlebten nur sechs die Wirren des Mittelalters. Als
Claude Gaspar Bachet de Méziriac, der als gelehrtester Mann Frankreichs galt, 1621 seine lateinische Übersetzung
der Orginalausgabe der Arithmetica veröffentlichte, wurden weite Bereiche des in Vergessenheit geratenen
mathematischen Wissens der Antike wiederbelebt.
Diophant zu Ehren werden unbestimmte Gleichungen des Typs P( X1,..., Xk )=0 , P±[ X1,..., Xk ] für die man Lösungen
(x1, ..., xk )±Àk bzw. ±·k sucht , als
diophantische Gleichungen bezeichnet.
Der Fall n=1:
Die Gleichung x+y=z hat unendlich viele Lösungen (x, y, z)±´ . Es ist offensichtlich , daß für alle x, y±´ genau ein
z±´ existiert, so daß x+y=z ist. Dies spiegelt die Tatsache wieder, daß´ mit der Addition ein abelsches Monoid
bildet.
Der Fall n=2:
Die ältesten bekannten Lösungen (x, y, z)±´ der Gleichung x2+ y2=z2 (Satz des Pythagoras) stammen von einer
babylonischen Tontafel aus der Zeit um 1500v. Chr., die verschiedene pythagoräische Tripel nennt. Man vermutet
daher auch, daß die Babylonier (und die Chinesen) den Satz des Pythagoras schon 1000 Jahre vor Pythagoras kannten.
Pythagoras soll bereits die unendlich vielen Lösungstrippel der Form (2k2 +2k, 2k+1, 2k2+2k+1) mit k=1, 2,.. gekannt
haben. Die Kenntnis dieser Lösungstrippel ist uns in dem zehnten Band von Euklids "Elementen" überliefert.
Pythagoräische Tripel:
Def (1): Trippel (a, b, c) ±´3 mit a2+b2=c2 nennt man pythagoräisch.
Sei a2+b2=c2ein pythagoräisches Tripel, dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl q
1
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2
ein Tripel der Form +a q/2+ +b q/2=(a2 q2/+(b2 q2/=(a2 b2/ q2=+c q/2=c2*q2.
D.h.: Aus jedem Tripel erhält man neue Tripel, indem man die entsprechende Gleichung mit einer Quadratzahl q2±´
multipliziert.
(1) Betrachten wir also die diophantische Gleichung a2 +b2 =c2 für den Fall, daß a, b, c keinen gemeinsamen
Faktor besitzen (in diesem Fall nennt man die Tripel primitiv).
Á a, b, c sind paarweise teilerfremd, sonst hätten z.B. a und b bzw. c einen gemeinsamen Faktor q, so daß man sie in
folgender Form schreiben könnte: a=q*m , b=q*n bzw. c=q*sÁ a2+b2=+q m/2++q n/2=q2*(m2+n2)=c2 bzw. c2- a2
2
2
2
2
2
2
+q s/ - +q m/ =q *(s - m )=b . Dies würde jedoch (1) widersprechen.
Á nicht alle drei Zahlen a, b, c sind gerade, da sie sonst den Faktor q (q–2) gemeinsam haben.
Á nicht alle drei Zahlen a, b, c sind ungerade, da die Summe bzw. die Differenz zweier ungerader Zahlen a=2n+1 und
b=2m+1, also a+b=2(n+m+1), eine gerade Zahl ergibt.
Á es muß also genau eine Zahl gerade sein, da bei zwei geraden Zahlen die Summe bzw. die Differenz wieder gerade
wäre, d.h. alle Zahlen wären gerade, was aber im Widerspruch zur obigen Folgerung steht.
Á in der Gleichung a2+b2=c2 kann c nicht die gerade Zahl sein, sonst wäre c2= +2 n/2= 4*n2und c ein Vielfaches von
4. Da a=2m+1 und b=2r+1, also a und b ungerade wären, würde sich folgendes ergeben:
a2+b2= +2 m 1/2+ +2 r 1/2=4m2+4m+1+4r2+4r+1=4(m2+m+r2+r)+2=c2, also wäre c2kein Vielfaches von 4.
3. Bin.
Sei nun a die gerade Zahl unseres pythagoräischen Tripels. Umformen der Gleichung a2+b2=c2 ergibt a2=c2- b2
(c-b) (c+b). Alle Faktoren sind also gerade Zahlen, daher können wir a=2n (I), c-b=2v (II), c+b=2w (III) setzen.
((II)Á c=2v+b (IV), (II)in (III) Á 2v+2b=2w Á b=w-v, in (IV)Ác=2v+w-v=v+w)
vw . Á v und w müssen teilerfremd und
Á a2=4n2=c2- b2=+v w/2- +w v/2=(v2+2vw+w2)-(w2-2vw+v2)=4 vw Á a=2r
nicht beide ungerade(*) sein (sonst hätten ja b=v-w und c=v+w einen gemeinsamen Teiler). In der Gleichung
r
a=2 vw bzw. n2=vw sind die Faktoren teilerfremd, daher müssen v und w Quadrate sein.
(Zur Begründung dieser Aussage wird folgender Hilfssatz bewiesen. Der Beweis nutzt die eindeutige
1 für n 0
ergänzen), was bei
Primfaktorzerlegung in ´ bzw. in À/{0} aus (man würde die Zerlegung um sign(n)=
1 für n ! 0
den Fällen n>2 zu einem Stolperstein wird.):
Satz(H,1): Gilt ni = vw mit v, w, n, i ±´ und sind v, w teilerfremd, so existieren teilerfremde v1,w1±´, so daß v =vi
und w = wi gilt (d.h. v und w sind i-te Potenzen).
Bew.:
Sei n = ¾kj 1 pakk die Primfaktorzerlegung von n, dann kann man das Produkt folgendermaßen aufteilen: n = ¾kj 1 pakk
= ¾kk 1 pakk * ¾kk 1 pakk =: v1*w1 Á ni =vi wi =vw. Da v und wi nach Konstruktion teilerfremd sind, muß gelten wi |w,
pk « v
also w= d*
qed.)
pk « w
wi1
und daher vi1=d*v mit d ±´. Sei nun p eine d teilende Primzahl, dann gilt p|w und p| v1, also p|v Á d=1.
Um eine Regel zu finden, die uns unendlich viele pythagoräische Tripel liefert, kehren wir unsere Schlußfolgerung
einfach um. Seien v und w teilerfremde Quadrate, dann wählen wir v= p2 und w=q2mit q>p und p+q ungerade (*)(p
und q sind teilerfremde Zahlen, da ihre Quadrate teilerfremd sind).
r
(I)-(IV)Á a=2 vw =2pq, b=w-v=q2- p2= (q+p)(q-p) (q+p muß ungerade sein, da sonst b gerade wäre) , c=v+w=q2+
p2.
2
Die natürlichen Zahlen a, b, c sind nach Konstruktion teilerfremd und es gilt a2+ b2 =+2 pq/2+ +q2 p2/ =4 p2q2+ q42
2 p2q2+ p4= q4+ 2 p2q2+ p4=+q2 p2/ =c2.
Die gefundenen Lösungstripel haben also die Form (2pq, q2- p2, q2+ p2), wobei q und p teilerfremd mit q>p und p+q
ungerade sind.
Setzt man q=k+1 und p=k (k=1, 2,...) so sind q und p teilerfremd mit q>p und p+q ungerade und die Tripel haben
die Form (2k2 +2k, 2k+1, 2k2+2k+1) mit k=1, 2,.... Es gibt also unendlich viele pythagoräische Tripel.
Hieraus folgt der folgende
Satz(2): Alle primitiven pythagoräische Tripel sind von der Form (2pq, q2 - p2 , q2 + p2 ) bzw. (q2 - p2 ,2pq , q2 + p2 ),
3
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wobei p,q ±´ teilerfremde Zahlen mit q>p und p+q ungerade sind.
Drei anschauliche Interpretationen der Gleichung für n=2:
1. Knotenseil: Der Satz des Pythagoras liefert uns eine Gleichung, die den rechten Winkel selbst definiert. Wir
betrachten hierfür das Lösungstripel (4, 3, 5). Wird ein geschlossenes Seil mit 12 (3+4+5=12) äquidistanten Knoten
am 1., 4. und 8. Knoten festgehalten und dann zu einem Dreick gespannt, so entsteht am 4. Knoten ein rechter
Winkel.
Die Abb. zeigt ein Dreieck mit dem ersten Knoten in der linken oberen Ecke. Beim Durchlaufen im Uhrzeigersinn
befindet sich der rechte Winkel beim 4. Knoten.
2. Einheitsquadrate: Eine weitere Möglichkeit zur Veranschaulichung ist die Neuanordnung von Quadraten. Seien
ein 3×3 Quadrat aus 9 Teilquadraten und ein 4×4 Quadrat aus 16 Teilquadraten gegeben, dann kann man alle 25
Teilquadrate zu einem neuen, 5×5 Quadrat zusammenlegen, wie die folgende Abbildung zeigt.
3. rationale Punkte auf dem Einheitskreis:
2
Teilt man die Gleichung x2+ y2=z2 durch z2œ0, so erhält man die Gleichung + ccccxzc /2+ + ccccczyc / =1. Die ganzzahligen
Lösungen x, y, z dieser Gleichung entsprechen den Punkten mit rationalen Koordinaten am Einheitskreis. Wie oben
bewiesen, gibt es unendlich viele solcher rationaler Punkte. Die Abb. zeigt den Einheitskreis.
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Fermats Letzter Satz:
(Fermatsche Vermutung, großer Fermat, FLT etc.)
Pierre de Fermat wurde am 20.08.1601 in der südwestfranzösischen Stadt Beaumont de Lomagne geboren. Sein Vater
Fermat.nb
war ein wohlhabender Lederhändler und daher bekam Fermat eine hervorragende Schulbildung im
Franziskanerkloster Grandselve, der sich ein Studium an der Universität von Toulouse anschloß. Nach Beendigung
des Studiums schlug er auf das Drängen der Familie hin eine juristische Laufbahn ein. Aufgrund seiner raschen
Karriere im Staatsdienst gewann er Zugang zu führenden gesellschaftlichen Kreisen sowie das Recht, ein "de" im
Namen zu führen. Er wurde u.a. zum leitenden Richter am obersten Gerichtshof von Toulouse ernannt. Obwohl
Fermats richterliche Verpflichtungen einen Großteil seiner Zeit in Anspruch nahmen, widmete er jedoch die geringe
verbleibende Freizeit ausschließlich der Mathematik. Fermat gilt als Begründer der modernen Zahlentheorie, wobei er
auch die analytische Geometrie, die Infinitesimalrechnung, und auch die moderne Wahrscheinlichkeitsrechnung
nachhaltig prägte. Viel Zeit verbrachte er mit dem Studium der "Arithmetica" des Diophantos ( aber auch mit
Euklids "Elemente" und Schriften von Archimedes) in der lateinischen Übersetzung von Bachet. Seit der
Verbrennung der Bibliothek von Alexandria (642 n. Chr.) durch die Moslems hatte die Zahlentheorie keine
Fortschritte mehr gemacht. Die "Arithmetica" enthält über hundert Probleme, für die Diophantos je eine exakte
Lösung formulierte. Beim Studium dieser Probleme fielen Fermat häufig ähnliche und noch kompliziertere Probleme
ein, die er zusammen mit kargen Kommentaren und Schlußfolgerungen auf die großzügigen Randspalten der
"Arithmetica" notierte. Häufig gab er seine Behauptungen in Briefen an zeitgenössische Mathematiker wie Pascal
weiter, um diese zum Beweis aufzufordern. Fermat ging es nie darum, diese Ergebnisse zu publizieren (1636 wurden
seine Gedanken zur analytischen Geometrie unter dem Titel "Einführung in die ebenen und räumlichen Örter"
publiziert, die auch Beiträge zu elliptischen Kurven lieferten) und so verdanken wir seinem ältesten Sohn
Clement-Samuel, daß uns Fermats Arbeiten erhalten blieben. Nach Fermats Tod am 12.01.1665 verbrachte
Clement-Samuel fünf Jahre damit, die Aufzeichnungen und Briefe seines Vaters zu sammeln und die Randnotizen in
seiner Ausgabe der "Arithmetica" zu entziffern. Im Jahre 1670 veröffentlichte er in Toulouse alle Anmerkungen
seines Vaters in einer besonderen Ausgabe der "Arithmetica". Neben der Orginalübersetzung Bachets ins Lateinische
waren hier achtundvierzig Bemerkungen Fermats abgedruckt. Seine Anmerkungen enthielten eine Reihe
mathematischer Sätze, zu denen jedoch entweder jede Erklärung fehlte, oder sich nur eine Andeutung des
zugrundeliegenden Beweises fand. Die Bemerkungen waren jedoch gerade so ausführlich, daß sie die Mathematiker
von der Existenz eines Beweises überzeugten. 1840 war nur noch einer seiner Sätze (bzw. Vermutungen, da sie nie
ausführliche Beweise enthielten) unbewiesen, der unter dem Namen "Fermats letzter Satz" in die Geschichte einging
und an dessen Beweis (bis 1994) sich über 300 Jahre lang die besten Mathematiker ohne Erfolg versucht hatten.
Neben dem Problem 8 des zweiten Buches der "Arithmetica" ("Ein gegebenes Quadrat soll in die Summe zweier
Quadrate zerlegt werden" x finde Trippel (a, b, c) ±´3 mit a2+b2=c2) vermerkte Fermat folgenden Satz (Fermats
letzter Satz):
"Es kann aber nicht eine Kubikzahl die Summe zweier Kubikzahlen sein, eine vierte Potenz nicht die Summe zweier
vierter Potenzen, oder allgemein eine Potenz, deren Exponent größer als zwei ist, nicht die Summe zweier Potenzen
derselben Art. Ich habe einen wundervollen Beweis dieser Behauptung entdeckt, aber dieser Rand ist zu eng, um ihn
hier niederzuschreiben."
xSatz (3): Es gibt keine nichttrivialen Lösungen (x, y, z)±´3 der Gleichung xn+ yn=zn für n>2.
( Nicht zu verwechseln mit der Fermatschen Vermutung ist der sog. Kleine Fermatsche Satz(4): Ist g ± ´ eine
natürliche Zahl, so gilt: p|(gp1-1) für alle Primzahlen p , g. x Sei p eine Primzahl und g70 (mod p), so gilt: g p1
1(mod p)
Bsp.: a5-a=a(a4-1) ist nach (4) durch 5 teilbar für alle a± ´, die nicht Vielfache von 5 sind. a=2Á25- 2= 2(16 - 1)=30
Á5|15 Á 5|30 )
Der Fall n=4 (bewiesen durch Fermat):
In einer Randbemerkung zu Problem 20 im sechsten Buch von Diophantos' "Arithmetica" beschäftigte sich Fermat
mit pythagoräischen Dreiecken, das heißt mit rechtwinkligen Dreiecken, deren Seitenlängen ganzzahlig sind. Er
bewies, daß der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks keine Quadratzahl sein kann, oder anders: Es gibt keine Zahlen
x, y, z, u ±´ die die Gleichungen x2+ y2=z2 und ccc1c xy=u2erfüllen. Diese Aussage ist zu der folgenden äquivalent: Es
gibt keine nichttrivialen Lösungen der diophantischen Gleichung x4+ y4=z2 . Wenn es also keine natürlichen Zahlen z
4
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5
gibt, die die Gleichung x4+ y4=z2 lösen , gibt es auch keine natürliche Zahlen l mit l2=z die die Gleichung x4+ y4=l4
lösen, was der Fermatschen Vermutung für den Fall n=4 entspricht.
Satz(5): Die Gleichung x4 + y4 = z2
(2,I)
hat keine nichttrivialen Lösungen mit x,y,z±µ (triviale Lösungen sind x=0Ñy=0Ñz=0)
Beweis:
2
2
Wir schreiben die Gleichung (2,I) um in +x2/ ++ y2/ =z2. Von dieser Gleichung wissen wir aber durch (1), daß alle
Lösungen folgende Gestalt haben, wenn o.B.d.A. x2 gerade ist , sowie p,q ±´ teilerfremde Zahlen mit q>p und p+q
ungerade sind:
x2=2pqk , y2=+q2- p2/k (2,II) , z=(q2+ p2)k
Da 2pq und q2- p2 teilerfremd sind, kann ein Primteiler s von k nicht in beiden Zahlen enthalten sein, s muß also in
gerader Potenz in k aufgehen. Á
Es existiert eine Lösung (x1, y1, z1) ±´3 von (2,I) mit k=1 wie folgt:
x2=2 p1q1 , y2=q2- p2 (2,II) , z1=q2+ p2.
(2,II)Á p21+ y21=q21 (2,III)
In (2,III) sind p1,q1, y1 (paarweise) teilerfremde Zahlen. Da y1 ungerade ist (denn y21 ist ungerade), muß p1 gerade
sein. Zu (2,III) gibt es nach (1) wieder teilerfremde Zahlen s, t ±´ mit s>t und s+t ungerade, so daß
p1=2st , y1= s2-t2 , q1=s2+ t2 gilt.
Nun ist x2=2 p1q1=4st(s2+ t2). Da 2st und s2+ t2 teilerfremd sind, müssen s, t und s2+ t2 nach dem oben bewiesenen
Hilfssatz Quadrate natürlicher Zahlen x2, y2und z2 sein, mit
s=x2 , t= y2 , s2+ t2=z2.
Á (x2, y2, z2)±´3 ist Lösung der Gleichung x4 + y4 =s2 + t2 = z2, wobei 0<z2 <z2= q1<z1.
Zu dieser Lösung gäbe es nun wieder teilerfremde Zahlen p2,q2±´ mit q2! p2 und p2+q2 ungerade, so daß
x2=2 p2q2k , y2=q2- p2k, z2=q2+ p2k.
Á p2+ y2=q2
usw.
Die Annahme der Existenz einer nichttrivialen Lösung (x1, y1, z1) ±´3 von (2,I) führt somit zur Konstruktion einer
unendlichen Folge + +xk , yk , zk / /k 1,2,... nichttrivialer Lösungen von (2,I) in natürlichen Zahlen, die der Bedingung
z1>z2> ...>zk >... >0 genügen, die jedoch in ´ nicht erfüllbar ist.
qed.
Diese Beweismethode ist eine von Fermat entwickelte Form des Widerspruchsbeweises, genannt descent infini oder
unendlicher Abstieg.
Anschauliche Interpretation für n=4
Keine rationalen Punkte auf der "Einheitskurve":
Teilt man die Gleichung x4+ y4=z4 durch z4œ0, so erhält man die Gleichung + ccccxzc /4+ + ccccczyc /4=1. In diesem Fall existieren
keine ganzzahligen Lösungen x, y, z der Gleichung, d.h. außer den "trivialen Punkten"
{(0,1);(1,0);(0,-1);(-1,0)}existieren keine Punkte mit rationalen Koordinaten auf der "Einheitskurve". Diese Tatsache
ist erstaunlich, da die Kurve für n=4 dem Einheitskreis etwas ähnelt, der ja unendlich viele rationale Punkte hat. Die
Abb. zeigt sowohl die Kurve für n=4 (außen) als auch den Einheitskreis (innen).
1
0.5
-1 -0.5
0.5
-0.5
-1
1
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6
Der Fall n=3:
Der Satz, daß die Gleichung x3+ y3=z3 keine nichttrivialen Lösungen (x, y, z) ±´3enthält, wurde zwischen 1753 und
1770 von Euler gezeigt. Eine kleine Lücke in dem Beweis konnte 1830 von Legendre geschlossen werden.
Statt x3+ y3=z3 betrachten wir die äquivalente Gleichung z3-x3= y3
(z-x)(z2+zx+x2)=z3+z2x+zx2-xz2-zx2-x3=z3-x3= y3
Mit der "Mitternachtsformel" löst man z2+zx+x2=0 wie folgt:
3x
x x x x
z1,2=- ccccxc ±
cccccx4cc x2 x z1,2=- cc2xcc ±
ccxc4ccccc cc4ccccccccc
4 c x z1,2 =- cccc
2c ± ccccc4ccccccc x z1,2 =- ccc2c ± cccc
2c
2
2
r
2
2
3 Áz1=- ccc2xc + cccc2xc
r
r
1 3
3 = ccccccccc
cccccccccc
2 ccccccccccc x
r
,
3
3 = ccccccc1cccccccccc
2 ccccccccccccc x.
3 - 3 =(z-x)(z- 1 3 x)(z- 1 3 x) = 3 (**)
y
Áz x
ccccccccccccccccccc
cccccccccccccc2cccccccccccccccc
2 ccccccccccc
1 3
Die Zerlegung benötigt also die komplexe Zahl ]3= cccccc
cccccccccc2 ccccccccccc sowie das Komplex-Konjugierte dieser Zahl (wenn
z=a+bi ist, dann ist zr =a-bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Sie entsteht durch Spiegelung an der reellen Achse)
rrrr 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 3 2 3 2 1 3
2 rrr
2 1 1 3
]3= ccccccccccccccccccccccccccc = c cccccccccc2c ccccccccccccc = cccccccccccccccccccccccccccccccccc
4 ccccccccccccccccccccccccc = ccccccccccccccccccccccc4cccccccccccccccccccccccc = ccccccccccccc4cccccccccccccc = cccccccccccccccccc
2 ccccccccc =]3 =]3 =-1-]3 = cccc + cccccccccccccccccccccc
2 cccccccccccccccccc =
2 1 1 3
1 3
c c cc cccccccccccccccccccccc2 ccccccccccccccccccccccccc = ccccccccccccccccc
2 cccccccccc .
1 3
1 3
3
1 3
3
1 3 3 3
2
]3 =]3 ]3= c cccccccccc2ccccccccc ccccc ccccc1ccccccccc
2cccccccccccc = ccccccccccccccccccccccccccccc4cccccccccccccccccccccccccccccc = ccccccccccccccccccccccccccc
4 cccccccccccccccccccc =1 (***) . ]3 ist also eine dritte Einheitswurzel.
rrr
1 1 3
1 3
122 3
2
-]3 =-]3 = ccccccccccccccccccccccc
2 ccccccccccccccccc = c cccccccc2cccccccccccc = ccccccccccccccccc2ccccccccccccccccccc =1+]3 .
und z2=- cccc2xc cc2xcc
r
,
,
r
0
0
0
r
,
0
r
r
r
,
+
/
,
r
r
r
0,
r
0
r
r
r
,
r
0
r
0
r
,
,
0
r
r
0
,
r
r
r
0,
0
r
r
r
r
/
r
1
3
1
3
Satz(6): die Gleichung y3 =(z- c c c c c c c2c c c c c c c x)(z- c c c c c c c2c c c c c c c x)(z-x) = (z- ]30 x)(z- ]31 x)(z- ]32 x) z3 - x3 besitzt keine
nichttrivialen (xyzœ0) Lösungen (x, y, z) ±O33 mit O3 := {a+b]3 | a,b±Á} . Diese Aussage ist äquivalent zum Fall
n=3 der Fermatschen Vermutung, denn für a±Á gilt a ! (a+ 0]3 ) ±O3 .
+
Im@zD
3
2π
3
ζ3 1
-4
-2
2
4
Re@zD
ζ23-1
-2
-3
Abb. zeigt die Teilmenge O3 von ©, deren Elemente durch Punkte gekennzeichnet sind. Die Basisvektoren der
aufgespannten Ebene (bzw. des Gitters) sind durch die beiden Linien verdeutlicht. Die 6 existierenden Einheiten
liegen auf dem Einheitskreis, sie bilden die Ecken eines regelmäßigen 6-Ecks.
EXKURS:
Bem.:O3 bildet zusammen mit der Addition O und Multiplikation O einen Integritätsring.
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Es wird nur die Abgeschlossenheit bez. O und O gezeigt.
Seien s=(a1+b1]3) und t=(a2+b2]3) (Anm.: Das Plus in der Darstellungsform der Elemente aus O3={a+b]3| a,b±À}
hat nichts mit der uns bekannten Addition zu tun, da man genauso gut die Darstellung (a, b) mit a, b±À für die
Elemente aus O3 benutzen könnte, wobei (1,0) und (0, ]3) die zugehörigen Basisvektoren wären. Man könnte auch die
r
Darstellung O' ={a+b 3 | 2a, 2b ±À} benutzen.) mit a1,a2,b1,b2±À also s,t ±O3.
Die Addition wird wie folgt definiert (die Addition und Multiplikation aus © wird auf den Unterring O3vererbt):
sO t=(a1+b1]3)O (a2+b2]3)= ((a1À a2)+(b1À b2)]3) . Da a1À a2, b1À b2±À ist sO t ±O3.
Die Multiplikation wird wie folgt definiert:
sO t=(a1+b1]3)O (a2+b2]3)=a1À a2O (a1À b2)]3O (b1À a2)]3O (b1À b2)]32= (a1À a2+0]3)O
(0+(a1À b2)]3)O (0+(b1À a2)]3)O (b1À b2)(-1+-1]3)=
(((a1À a2)À (-b1À b2))+((a1À b2)À (b1À a2)À (-b1À b2))]3). Da ((a1À a2)À (-b1À b2)),
((a1À b2)À (b1À a2)À (-b1À b2)) ±À ist sO t ±O3.
Def.(2): Sei R ein Integritätsring.
(i) Ein Element a ± R heißt Teiler von b± R (in Zeichen a | b), falls es c ±R mit ac=b gibt.
(ii) Ein Element a ± R heißt Einheit in R falls a | 1 x a1 ± R.
(iii) Ein Element a ± R heißt zu b± R assoziiert (in Zeichen a a b), wenn a | b und b | a.
Á Ist a zu b assoziiert, so folgt, daß a=be, wobei e± R Einheit ist.
(iv) Ein Teiler a von b mit a, b ± R, der keine Einheit und nicht zu b assoziiert ist, heißt echter Teiler von b.
(v) Ein Element a ± R heißt irreduzibel in R , wenn a nicht Einheit ist und keinen echten Teiler besitzt.
(vi) Ein Element p ± R heißt Primelement in R , wenn p keine Einheit ist und aus p | ab stets folgt, daß p | a
oder p | b.
Satz(7): Jedes Primelement ist irreduzibel.
Bew.: Aus p | ab folgt p | a Ò p | b und wegen Def.(2 ,vi) p | a Ñ p | b, so daß p a a Ñp a b. p hat also keinen echten
Teiler.
Bem.: In À und in O3 gilt auch die Umkehrung von Satz(7), in beiliebigen Integritätsringen gilt die Umkehrung von
Satz(7) jedoch nicht.
Á In O3 läßt sich jedes Element a±O3 in der folgenden Form darstellen: a=¾ki Sni i , wobei ni ±´ eindeutig und Si±
O3irreduzibel (und prim) und bis auf Einheitsfaktoren eindeutig sind. Außerdem besitzen je zwei Elemente einen im
wesentlichen eindeutig bestimmten größten gemeinsamen Teiler.
Bsp.: Einheiten (das sind die Elemente in O3, deren komplexer Betrag gleich 1 ist) in O3sind: 1=]33, da 11=(1+0]3)
(1+0]3)= (1+0]3)=1
-1=-]33, da -1-1=(-1+0]3) (-1+0]3)= (1+0]3)=1
]3, da ]3]32=(0+1]3)(-1-1]3) (1+0]3)=1
-]3, da ]3 ]32=(0-1]3)(1+1]3) (1+0]3)=1
]32, da ]32]3=(-1-1]3)(0+1]3) (1+0]3)=1
-]32, da -]32 ]3=(1+1]3)(0-1]3) (1+0]3)=1
1
Irreduzibel (und prim) in O3 ist z.B. (1+2]3)= 3 =S3, da cccccccccccccc
c ²O3 und (1+0]3)(1+2]3) =1
3
3 =(1+2]3) = 3 .
+/
+
/
r
r
r
r
Beweis von Satz 6:
Anmerkung: Im Beweisgang halten wir uns nicht an die Version von Euler sondern an eine von Gauss posthum
publizierte Variante des Beweises, da sie ein einfaches Beispiel für Kummers Ansatz (siehe unten) darstellt.
r
Die Rolle, die die Zahl 3 in À spielt, wird in O3 von dem Element S3:= 3 übernommen, da 3 in O3 nicht
r r
irreduzibel ist (3=- 3 3 = (-1-2]3) (1+2]3)=-1-4]3-4]32=-1-4]3+4 (1+]3)=3).
Wir zeigen zuerst, daß für das Tripel (x, y, z)± O33, welches die Gleichung x3+ y3= z3 erfüllt gilt, daßS3 | xyz , d.h. wir
beweisen den ersten Fall von Fermats letzem Satz für n=3 (Bedeutung von "1.Fall":siehe unten):
8
Fermat.nb
Seien a, b ±À, dann ist
1) a3- a =a (a-1)(a+1) durch 3 teilbar, da eine der drei aufeinanderfolgenden Zahlen (a-1), a, (a+1) durch 3 teilbar sein
muß.
2) Desweiteren ist
r
r
r 2
r
,
0 r
r
21 3
3 1
3 12
3 3
2
b]3-b=(-1+]3)b=, ccccc
ccccccccccc2ccccccccccccccccc 0b=, ccccccccccccc
2 cccccccccccccccc 1b= 3 , ccccccccccccccccc
2cccccccccccccc 0b=- cccccccccccccccccccccccc
2 cccccc 0b= 3 , ccccccccccccccccc
2 cccccccccccc 0b= 3 (]3 +1)b=-]3 3 b durch S3
3
3
r
r
r
3 teilbar, wobei -]32 eine Einheit in O3 ist.
3) Außerdem ist nach der trinomischen Formel a b ]3 3- (a3+b3)= 3(a2b]3+ ab2] 2) durch 3 teilbar.
Erw. mit 0
4) Für alle Zahlen u=(a b ]3) ±O3 ist u3- u durch S3 teilbar, denn u3- u = a b ]3 3- (a b ]3)
a b ]3 3 2
(a3 +b3 ) + (a3 +b3 ) - (a b ]3). Nun ist aber nach 3) a b ]3 3 - (a3+b3) durch 3= - 3 teilbar, und (a3+b3) Erw. mit 0 3
(a b ]3)=(a3-a) + (b3- b ]3)
(a -a) + (b3- b ]3) -b +b = (a3-a)+ (b3-b)+ (b-b ]3). Nach 1) wissen wir, daß (a3-a)
und (b3-b) durch 3 teilbar sind und nach 2), daß (b-b ]3) durch S3
3 teilbar ist. Da alle Summanden durch
S3teilbar sind, muß auch u3- u selbst durch S3teilbar sein.
Erw. mit0 3
5) Es gilt x3- (z-y)= z3- y3-(z-y)=(z3-z)- ( y3-y), was nach 1) durch S3teilbar ist. Außerdem ist x3- (z-y)
x -x+x3
3
3
(z-y) = (x - x ) + [x - (z-y) ] x x - (z-y) - (x - x ) = x - (z-y), also ist auch x - (z-y) durch S3teilbar, d.h O S3=x - (z-y)
x x = (z-y) + O S3 x (z-y)=x + P S3
6) Beh.: S3 | xyz
r
r
+
/
+
+
/
/
,
r
+
/
0
r
Bew.: Es ist x3+ y3- z3- 3 y2z + 3yz2= 3yz(z-y),
da x3+ y3- z3=0.
(I)
2
3
Nach 5) ist x = (z-y) + O S3, also x3= +z y/3+ 3OS3+z y/2+3O2S2(z-y)+O3S3 3
z3-3z2y+3z y2nach I
3yz(z-y)= S33[-O+z y/2-O2S3(z-y)+O3] x yz(z-y)=
y3+S33[-O+z y/2-O2S3(z-y)+O3]x (x3+ y3-z3)+ 3z2y - 3z y2
S3[O+z y/2+ O2S3(z-y) - O3]=S3Q, d.h. yz(z-y) ist durch S3teilbar.
S
+ /
7) yz(z-y)
yz(x + P S3)=S3Q = xyz + yz P S3 Á xyz = (Q- yz P) S3. qed.
Unsere Meßzahl (im Fall n=4 war das z, was ja nicht beliebig klein werden konnte!) wird die maximale Potenz
sein, mit der S3 xyz teilt.
3
3
3
Hilfssatz (H,2): Sei (x', y', z')±O3 mit x' y' z'œ 0 und gilt u1 y' = u2 z' - u3 x' , wobei u3i =1 (ui i±{1, 2, 3} sind also
Einheiten), so gilt S3 | x' y' z'.
Bew.: Analog zu oben.
Zweiter Fall von Fermats letztem Satz für n=3:
Für die Betrachtung des Abstiegsprozesses erweitern wir die Menge der betrachteten Gleichungen: Wir nehmen an,
daß (x, y, z) ±O3 mit xyzœ 0 , zusätzlich seien x, y, z paarweise teilerfremd und für eine Zahl i±{0, 1, 2} gelte:
]i y3=z3- x3= (z- ] 0x)(z- ] 1x)(z- ] 2x). Für i=0 erhalten wir also eine Lösung der Fermat-Gleichung. Da x, y, z nach
Voraussetzung paarweise teilerfremd sind, können wir o.B.d.A. annehmen, daß S3 | y und S3 ist teilerfremd zu zx. Sei
S ein gemeinsamer Primteiler von z-x und z- ]1x. Á S | z- ] 1x -(z-x) = (1-]1)x , also entweder S | (1-] 1) oder S | x. Da
auch S | z-x und S | z- ]31x Á S | z. Da x und z aber nach Vorraussetzung teilerfremd sind Á S = S3. Man findet also
eine Dastellung y3= (z- ]30x)(z- ]31x)(z- ]32x) = S33l1l2l3, wobei li zu l j für iœj teilerfremd ist.
Wegen der eindeutigen Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, die in O3 gleich den Primelementen sind, können
wir auch hier mit einer etwas modifizierten Form von Satz(H,1) argumentieren, daß die teilerfremden Faktoren selbst
(bis auf geeignete Potenzen von ]3 und S3) dritte Potenzen in O3 sein müssen. Es gibt also Elemente D1, D2, D3 aus O3,
so daß
(z- ]30x)=S3 P1D13 x z= x + S3 P1D31 (I)
(z- ]31x)=S3 P2D23 (II)
(z- ]32x)=S3 P3D33 (III)
mit P3i =1 ist. ( Pi i±{1, 2, 3} sind also Einheiten, d.h. Pi ±{1, -1, ]3, -]3, ]32, -]32})
Wir eliminieren nun x und z:
(I) in (II) Á S3 P2D32=(z- ]31x)= x + S3 P1D31 -]31x = (1-]31)x + S3 P1D31 x
(1-]31)x = S3 P2D32 - S3 P1D31 ( I '/
nach 5/
9
Fermat.nb
(I) in (III) ÁS3 P3D3=(z- ] 2x)= x + S3 P1D3 -] 2x = (1-] 2)x + S3 P1D3
(1-] 1)(1+]1)x + S3 P1D3
x (1-] 1)(1+] 1)x =S3 P3D3 - S3 P1D3 (II')
(I '/ in (II') Á (1+] 1)[ S3 P2D3 - S3 P1D3] = S3 P3D3 - S3 P1D3
x (1+] 1)[ P2D3 - P1D3] = P3D3 - P1D3= P2D3 - P1D3+]1 P2D3 - ] 1 P1D3 x P3D3=(1+] 1) P2D3 - ] 1 P1D3x ] 1 P1D3=
(1+] 1) P2D3- P3D3
3. Bin.
1]31 ]32 k
k
k
¿vvvvvvvvvvÁ ]31 D31= ]32 D32 - ]33 D33 für geeignete ki ±{0, 1, 2}.
Aus Hilfssatz(H,2) folgt, daß S3 | D1 D2 D3 , und wir können o.B.d.A. annehmen, daß S3 | D1 und S3 teilerfremd zu D2
n
n
D3 ist, und erhalten mit D1 = S3 D'1, daß S33 D'1 3 = ]31 D23 - ]32 D33 mit ni ±{0, 1, 2} ist. Wir haben fast eine weitere
Lösung "vom selben Typ" wie (x, y, z) gefunden, es stört nur noch, daß n1œ n2 sein kann.
n2
n
' 3
' 3
3
3
n
n
n
n n
n1 n2
n2
S3
] 2 S3 D'1 3 D33
3
D3
3 D 1 ]3 D 3
3 D1 =
=
+
Es ist jedoch ]31 D23 = S33 D'1 + ]32 D33 x ]31 = cccccccc
cccccccccccccDcccccc23 ccccccccccccccccccccc x ]31 2 = cccccccc3ccccccccccc3ccccccccc
c
ccccccccc
c
ccccccccc
c
cc
c
x
]
cccccccc
c
]
S
cccccccc
c
cccccccc
3
3
3 c
3
3
3
D2
D2
D2
' 3
3
n
n
n
D
c cDc ccc3c + ] 2 S3 ccccccccccc1c , d.h. ] 1 2 ist eine dritte Einheitswurzel, die (bis auf einen Korrekturfaktor, der durch S3 teilbar
,
0
+
,
,
D2
0
3
3
-
D2
1
/
0
,
0
,
3
0
3
ist) als Quotient zweier dritter Potenzen von Elementen aus O3 darstellbar ist und daher muß ]3
=1 sein. Mit D1 =
3
n
D
2
1
S3 D'1 folgt, daß 1= cccccccc
ccccccccc
D31 = D32 - D33 , d.h (D3, D1, D2)±O33 ist eine Lösung von ]3n2 Y3=Z3- X 3.
3 c + ]3
3 cc x ]3
D2
D2
n 1 n 2
3
D3
n2
Was hat uns diese Betrachtung gebracht ?
v
Da y3= (z- ]30x)(z- ]31x)(z- ]32x) = S3 P1D13 S3 P2D32 S3 P3D33 1 2 3 3 ]3vS33D31D32D33 ist, teilt S3 zwar D1 (denn D1 = S3 D1'),
v
cccccc
aber mit einer niedrigeren Potenz, als es y teilt (denn y= S3D1D2D3]33 ). Da wir den Abstiegsprozess auch auf (D3, D1,
D2) anwenden können, müssen wir schließlich zu einem Widerspruch zu der im ersten Fall gezeigten Aussage
kommen.
qed.
Eine Verallgemeinerung der Betrachtungen zu O3 wird im Abschnitt "Kummers Arbeit" vorgenommen.
P
P P
]
Anschauliche Interpretation für n=3
1. Keine rationalen Punkte auf der "Einheitskurve":
3
Teilt man die Gleichung x3+ y3=z3 durch z3œ0, so erhält man die Gleichung + ccccxzc /3+ + ccccczyc / =1. In diesem Fall existieren
keine ganzzahligen Lösungen x, y, z der Gleichung, d.h. außer den "trivialen Punkten"
{(0,1);(1,0);(0,-1);(-1,0)}existieren keine Punkte mit rationalen Koordinaten auf der "Einheitskurve". Diese Tatsache
ist erstaunlich, da die Kurve für n=3 im ersten Quadranten des Koordinatensystems dem Einheitskreis etwas ähnelt.
Die Abb. zeigt sowohl die Kurve für n=3 (innen) als auch die Kurve für n=5 (außen). Allgemein läßt sich sagen, daß
die Kurven für wachsendes n im ersten Quadranten immer "eckiger" werden, wobei die Funktionen y=1 und x=1
obere Schranken für die Funktionenfolge ++ ccccxzc /n + ccccczyc /n 1/n 2,3,... bilden. Fermats letzter Satz besagt nun, daß keine
Kurve mit n>2 (nichttriviale) rationale Punkte enthält.
1.5
1
0.5
-1 -0.5
0.5 1 1.5
-0.5
-1
2. Einheitswürfel:
Seien ein 6×6×6 Würfel aus 216 Teilwürfeln und ein 8×8×8 Würfel aus 512 Teilwürfeln gegeben, dann kann man
alle 728 Teilwürfel nur so zu einem neuen, 9×9×9 Würfel zusammenlegen, daß ein Teilwürfel fehlt (denn93=729) wie
die folgende Abbildung zeigt. Allgemein kann man sagen, daß der Optimalfall der ist, daß ein Teilwürfel fehlt oder
Fermat.nb
10
übrigbleibt. Fermats letzter Satz sagt also, daß man keine zwei Würfel findet, deren Bausteine zusammengefügt einen
dritten, größeren Würfel ergeben.
Sophie Germains Theorem:
Die in Paris geborene Französin Sophie Germain (1776-1831) , die unter dem Pseudonym Monsieur Le Blanc schrieb,
brachte sich die Mathematik im Selbststudium bei und wurde die erste Frau in der Neuzeit, die Bedeutendes in der
Mathematik leistete. Hauptsächlich durch die Ergebnisse von Sophie Germains Arbeit ist es üblich geworden, Fermats
letzten Satz in zwei Fälle zu unterteilen:
- 1. Fall: Keine der drei Zahlen x, y, z ist durch n teilbar; oder ausführlich: Es gibt keine nichttrivialen Lösungen (x,
y, z)±´3 der Gleichung xn + yn =zn wenn gilt, daß n>2 Ò n , x Ò n , yÒ n , z.
(Anm.: n , x x x70 (mod n))
- 2. Fall: Genau eine dieser drei Zahlen ist durch n teilbar; oder ausführlich: Es gibt keine nichttrivialen Lösungen (x,
y, z)±´3 der Gleichung xn + yn =zn wenn gilt, daß n>2 Ò ((n | x Ò n , yÒ n , z) Ñ (n , x Ò n | yÒ n , z) Ñ (n , x Ò n , yÒ
n | z)).
Der Fall, daß zwei der drei Zahlen x, y, z durch n teilbar sind, führt sofort dazu, daß alle drei Zahlen durch n teilbar
sind. Seien nämlich o.B.d.A. x=na und y=nb mit n>2 und a,b±´, so folgt aus xn + yn =+na/n ++nb/n =nn (an +bn )=zn . Nun
wäre auch ( ccccnxc , ccnycccc , ccccnzc )±´3 eine Lösung und wir hätten diesen Fall auf einen der oberen zwei Fälle zurückgeführt.
Satz(8): Ist n eine ungerade Primzahl und ist 2n+1 ebenfalls prim, so folgt, daß für Lösungen (x, y, z)±´3 von
xn + yn =zn gilt: x , y oder z ist durch n teilbar.
Dieser Satz von Sophie Germain beweist den ersten Fall von Fermats letztem Satz für alle Primzahlen n mit der
Eigenschaft, daß 2n+1 ebenfalls prim ist. Will man nun Fermats letzten Satz für solche Primzahlen n beweisen, muß
man nur noch zeigen, daß der zweite Fall nicht eintreten kann (siehe Beweis von Satz(6)).
Noch allgemeiner formuliert lautet Sopie Germains Theorem wie folgt:
Satz(9): Sei n eine Primzahl. Gibt es eine weitere Primzahl p mit den Eigenschaften
(i) xn + yn +zn  0 (mod p) impliziert, daß eine der drei Zahlen x, y oder z durch p teilbar ist;
(ii) xn  n (mod p) ist unmmöglich;
so gilt für n der erste Fall von Fermats letztem Satz.
Diese Verallgemeinerung des Satzes ist deshalb sinnvoll, weil sie auch über die folgenden Fälle eine Aussage macht:
n ist prim und (2n+1Ñ 4n+1 Ñ 8n+1 Ñ 10n+1 Ñ16n+1Ñ...) ist prim, da in diesen Fällen (ii) und auch (i) immer erfüllt
ist. Aus dem Kleinen Fermatsche Satz (4) folgt nämlich für geeignete a, falls x70 (mod an+1) , daß
x an1 1=xan=+xn /a  1(mod an+1) Á xn  ±1(mod an+1) . xn kann also entweder gleich ± 1 (mod an+1) oder gleich 0
(mod an+1) sein, aber nicht n (mod an+1), womit (ii) erfüllt wäre.
Sophie Germain gelang es, mit Hilfe ihres Satzes, den ersten Fall von Fermats letztem Satz für alle
Primzahlexponenten n<100 zu beweisen.
+
/
Der Fall n=5:
Der Satz, daß die Gleichung x5+ y5=z5 keine nichttrivialen Lösungen (x, y, z) ±´3enthält ,wurde 1825 vom Peter
Gustav Lejeune Dirichlet (er war zu dieser Zeit gerade 20 Jahre alt) und unabhängig von ihm 1828 von Adrien-Marie
Legendre (der bereits über 70 Jahre alt war) gezeigt. Bei Beweisen für einzelne Primexponenten n (und n=4) ist die
Eigenschaft der eindeutigen Zerlegbarkeit in irreduzible Faktoren der Prüfstein gewesen, an dem allgemeine
Beweisversuche scheiterten. Im Fall n=3 also im Zahlensystem O3 war diese gegeben. Im Fall n=5, also in einem
Fermat.nb
11
Zahlensystem mit Zahlen der Form (a+b 5 ) (nicht zu verwechseln mit O5) ist die eindeutige Faktorisierung nicht
r
möglich (z.B.: hat die Zahl 6 dann zwei mögliche Zerlegungen in irreduzible Elemente: 6=23=(1+ 5 )
r
2
(1- 5 )= 1- 5 + 5 -, 5 0 . Das Element 2 hat keinen echten Teiler, ist also irreduzibel; aber es ist kein
r
r
Primelement, denn es teilt das Produkt 6=(1+ 5 )(1- 5 ), ohne einen der Faktoren zu teilen.). Beim Beweis von
n=5 wurde von der eindeutigen Faktorisierung kein Gebrauch gemacht. Zum Beweis rechnete Legendre mit Zahlen
r
r
r
r
der Form (a+b 5 )=, p q 5 0 wobei a, b ±À. Die Lösung des Falles n=5 zeigte, daß der bis dahin verwendete
Ansatz in dem Maße, wie die Anforderungen an die Algebra stiegen, nicht mehr geeignet war, das Problem zu lösen.
r
r
5
Der Fall n=6:
Schreibt man die zu betrachtende Gleichung x6+ y6=z6nach den bekannten Rechenregeln für Potenzen um, so erhält
3
3
3
man folgende, äquivalente Gleichung +x2/ ++ y2/ =+z2/ , von der wir jedoch schon wissen, daß sie keine Lösung hat. Es
gibt nämlich keine Tripel (x2, y2, z2) ±´3die die Gleichung x3+ y3=z3 lösen.
Verallgemeinert man dieses Prinzip, so findet man, daß man Fermats letzen Satz nur für n=4 und ungerade
Primzahlexponenten beweisen muß, da man dann jeden Exponenten n>2 als n=kp schreiben kann wobei p=4 oder
p
p
p
p eine ungerade Primzahl ist Á xn + yn =zn =+xk / ++ yk / =+zk / .Betrachten wir z.B. den Fall n=42: Die Gleichung
3
3
3
x42+ y42=z42=+x14/ ++ y14/ =+z14/ hat keine Lösung, da es keine Tripel (x14, y14, z14) ±´3 gibt,die die Gleichung
x3+ y3=z3 lösen.
Der Fall n=7:
1893 bewies Gabriel Lamé den Fall n=7, wobei er sich mit großem Einfallsreichtum einige eng mit der Zahl 7
verbundene Eigenschaften zunutze machte. Gerhard Frey schrieb, daß Lamés Beweis ein wahrer Kraftakt sei. Auch
der Beweis für n=7 beruht auf der Durchführung einer Faktorisierung und der Verwendung der Methode des
unendlichen Abstiegs (wie schon bei n=3, 4, 5). Durch eine (unerlaubte) Verallgemeinerung dieses Verfahrens,
glaubte Lamé 1847 die Fermatsche Vermutung bewiesen zu haben.
Um zu einer Faktorisierung von xn + yn =zn bzw. zn - yn =xn zu gelangen, betrachtete Lamé die komplexe Gleichung
n
xn -1=0=(x-1)(x-]n )(x-]n2)...(x-]nn1) wobei x= ccccczyc mit z,y œ0. Á , ccccczyc 0 -1=0 | yn
Á zn - yn =( ccccczyc -1)( ccccczyc -]n )( ccccczyc -]n2)...( ccccczyc -]nn1) y y... y=( ccccczyc -1) y( ccccczyc -]n ) y( czycccc -]n2) y...( czycccc -]nn1) y=(z-y)(z - y ]n )(z y]n2)...(z - y]nn1). Sein vermeindlicher Beweis beruhte im wesentlichen auf folgender Aussage: Wenn die Faktoren (z y]ni ) i=0,...,n-1 keine gemeinsamen Teiler besitzen (er zeigte zusätzlich noch, daß man immer eine Zerlegung in
teilerfremde Linearfaktoren erhalten kann), dann bedeutet dies, wegen der Gleichheit von zn - yn und xn , daß jeder der
Faktoren eine n-te Potenz sein muß (siehe (H,1)). Mit diesem Ergebnis konnte er nun den Beweis durch unendlichen
Abstieg führen, ähnlich wie Euler bzw. Gauss im Fall n=3.
Der Denkfehler in Lamés Beweis war folgender:
Er hatte zwar gezeigt, daß keine zwei Faktoren einen gemeinsamen Teiler besitzen, doch der Schluß, daß dann jeder
Faktor eine n-te Potenz darstellte, war unzulässig. Die Tatsache, daß dieser Schluß im Fall n=2 bzw. n=4 erlaubt war,
hing entscheidend mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung zusammen (siehe den Beweis des Hilfssatzes (H,1)), die
bei ganzen Zahlen in Kreisteilungskörpern nicht in jedem Fall gegeben ist. Den Beweis des Satzes, daß die eindeutige
Primzahlzerlegung für die ganzen Zahlen in Kreisteilungskörpern im allgemeinen nicht gilt, hatte Ernst Eduard
Kummer bereits 1844 (also drei Jahre vor Lamés gescheiterten Beweisversuch) in einem Artikel der völlig
unbekannten "Gratulationsschrift der Universität Breslau zur Jubelfeier der Universität Königsberg" veröffentlicht.
Im
1
0.5
-1-0.5 0.5 1 Re
-0.5
-1
Fermat.nb
12
j
j2S
j2S
Die Abb. zeigt die komplexen Lösungen der Gleichung x11- 1=0 , also die Punkte ]11
=cos cccccccc
c + isin cccccc
cccc {j=0,1,...,10},
j
die j-te Potenzen der 11-ten komplexen Einheitswurzel darstellen. Die komplexen Zahlen ]n nennt man auch
Kreisteilungszahlen.
Kummers Arbeit:
Als Lamé 1847 von Kummers Beweis erfuhr, hatte Kummer bereits eine Theorie begründet, mit der der Begriff der
eindeutigen Primfaktorzerlegung so modifiziert werden konnte, daß die ganzen Zahlen in Kreisteilungskörpern der
Zahlentheorie zugänglich gemacht werden konnten.
Diese Theorie möchte ich im Folgenden nur knapp in Bezug auf Fermats letzten Satz darstellen.
Satz&Def.(3): Sei S ein Integritätsring und R ein Unterring von S mit 1, dann ist R[X]:={½ni 0 ai xi | x± S Òai ± R Ò
i,n±´} ein Integritätsring.
j
j2S
j2S
Bsp.: Op :=À[]p ]={½ pj 01 ai ] pj | ] pj ± ª Òai ± Á Ò j,p-1±´}, wobei ] pj = e cccccccp i2S =cos ccccccc
p cc + i sin ccccpcccccc die j-te Potenz der
+
/
p-ten komplexen Einheitswurzel bezeichnet und p eine Primzahl ist.
1 3
Speziell sei hier nochmals O3 genannt: O3=À[]3]=À[ ccccccccccccc
cccccccccccccc ]={a0+ a1]3+ a2] 2 | ]3,] 2± ª Òa0,a1,a2± Á}={a0+ a1]3+
a2(-1-]3) | ]3± ª Òa0,a1,a2± Á}={a0+ a1]3-a2- a2]3 | ]3± ª Òa0,a1,a2± Á}={+a0-a2/+ +a1- a2/]3 | ]3± ª Òa0,a1,a2±
Á}={a + b]3 | ]3± ªÒ a,b± Á}.
Die Integritätsringe Op werden auch als Kreisteilungsringe bezeichnet (siehe Abb.). In Op läßt sich jedes Element a±
Op mit a œ 0 (nicht unbedingt eindeutig !!) als Produkt von Potenzen von irreduziblen Elementen bi ±Op darstellen.
r
Eine besondere irreduzible Zahl in Op ist S p =1-[p (in O3 ist S3=i |1-[3| = 3 ), die in der Zahl p genau als (p-1)-te
Potenz aufgeht ( S32= « 1 [3 «2 =-3 und -3=-13). Übrigens ist p die einzige Primzahl, die von einem irreduziblen
Element mit einer Potenz größer 1 geteilt wird, man sagt, daß alle Primzahlen ungleich p inOp
unverzweigt sind.
Wenden wir uns nochmals der faktorisierten Darstellung der Gleichung Zp -Y p =¾ pj 01 +Z ]pj Y) zu, deren Lösungen (x,
y, z) die Gleichung zp - yp =xp =¾ pj 01 +z ]pj y) erfüllen. Der größte gemeinsame Teiler von+z ] pj y/und +z ] pj y/ mit
jœ j und 0†j, j †p-1 ist höchstens S p , falls z, y ±Op und z zu y teilerfremd ist.
Aus dieser Tatsache folgerte Lamé bekanntlich, daß die Zahlen z ] pj y selbst, bis auf geeignete Potenzen von Sp und
]p , p-te Potenzen seien, womit man den unendlichen Abstieg analog zum Fall n=3 beginnen könnte. Der Denkfehler
an diesem Schluß ist, daß irreduzible Elemente nicht mehr notwendig Primelemente sein müssen (um zu zeigen, daß
die Zahlen+z ] pj y/ n-te Potenzen sind, benötigt man den Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung; siehe (H,1)) .
Kummers Ansatz zur Beseitigung dieses Problems war nun, die Elemente a ±Op durch die von a erzeugten
Hauptideale (a) in Op zu ersetzen.
Wir betrachten nun die elementaren Begriffe der Teilbarkeitslehre in Op .
Def.(4): Sei R ein Integritätsring. Eine Teilmenge I° R mit Iœ{} heißt Ideal in R , wenn gilt:
(i) (I, R) ist eine kommutative Gruppe
(ii) a±I r±R gilt: aRr±I und r Ra ±I.
Bem.: ((i)Ò(ii)) x I ist nicht leer, und jede Linearkombination r1a1+...+ rk ak von Elementen ai ±I mit Koeffizienten
ri ±R liegt wieder in I.
In jedem Ring bildet die Menge der Vielfachen eines bestimmten Elementes a±R, also die Menge der Elemente, die
durch a teilbar sind, ein Ideal.
Def.(5): Sei R ein Integritätsring und a±R , dann heißt (a) :={ar | r± R } das von a erzeugte Hauptideal ( (a) wird
also von nur einem Element, nämlich a, erzeugt.).
Def.(6): Seien I1:=(a1,...,ak )={r1a1+...+ rk ak | ri ±R } und I2:=(b1,...,bl )={s1b1+...+ sl bl | si ±R } Ideale in R. Das
Produkt I1 I2 ist wie folgt definiert:
I1 I2=(a1,...,ak )(b1,...,bl )=(a1b1,...,a1bl ,...,ak bl )={t1a1b1+tl a1bl +tkl ak bl | ti ±R }.
Bem.: Die so definierte Multiplikation von Idealen ist kommutativ, assoziativ und (1) ist das neutrale Element.
Satz(10):
(i) Das Produkt von zwei Hauptidealen ist wieder ein Hauptideal: Ist I1:=(a) und I2:=(b), so ist I1 I2=(ab).
r
Fermat.nb
13
(ii) Sei I1:=(a) ein Hauptideal, und I2 ein beliebiges Ideal mit I1, I2¯ R . Dann ist I1 I2={½i ri abi | bi ± I2Òri ±R}.
Wir wenden nun Def.(2) auf Ideale an.
Def.(7): Seien I1, I2,Ip beliebige Ideale in R.
(i) I1 heißt Teiler von I2 (in Zeichen I1 | I2 ), falls I1 ¬ I2.
(ii) I1 heißt Einheit, falls I1=(1)={1r | r± R } wobei 1±R das Einselement in R ist.
(iii) I1 heißt zu I2 assoziiert, falls I1 = I2.
(iv) Ein Teiler I1 von I2, mit (1)¬I1¬ I2ÒI1 œ I2 heißt echter Teiler von I2.
(v) I1 heißt irreduzibel, wenn I1œ(1) ist und keinen echten Teiler besitzt.
(vi) I p heißt Primideal, wenn I p œ(1) ist und aus Ip ¬ I1 I2 stets folgt, daß I p ¬ I1 oder Ip ¬ I2.
Bem.: Die zu Primelementen gehörenden Hauptideale sind Primideale.
Hauptsatz der Arithmetik in Op (9): Jedes Ideal läßt sich in eindeutiger Weise als Produkt von Potenzen von
Primidealen darstellen.
Mit Hilfe der Idealtheorie kann man nun schließen: Falls (x, y, z) die Gleichung xp + yp =zp mit p ist Primzahl löst, so
gilt eine Gleichung für Hauptideale wie folgt: +z ]pj y/=+Sp /Gj Apj ,
wobei +z ] pj y/={r+z ] pj y/| r ,+z ]pj y/±Op }und +S p /={r S p | r±Op }und Apj ein Hauptideal in Op ist, aber A j kein
Hauptideal sein muß.
Def.(8): Eine Primzahl p heißt regulär, falls jedes Ideal vonOp , dessen p-te Potenz ein Hauptideal ist, schon selbst ein
Hauptideal ist.
Mit dieser Definition erhalten wir nun, daß die teilerfremden Hauptideale +z ] pj y/ (bis auf geeignete Potenzen von
S p j) p-te Potenzen von Hauptidealen Aj sind, sofern p eine reguläre Primzahl ist. Da Hauptideale (a) mit a±Op eben
+
/
nach Konstruktion genau die Vielfachen des Elementes a enthalten, können wir diese wieder durch das Element a
ersetzen und erhalten somit die Gleichung z ]pj y=+Sp /Gj apj in Op . Mit diesem Ergebnis können wir nun in Lamés
Programm (die p teilerfremden Linearfaktoren sind p-te Potenzen, wenn p eine reguläre Primzahl ist !) fortfahren und
den unendlichen Abstieg beginnen, womit wir den folgenden Satz erhalten:
Satz(11): Sei p eine reguläre Primzahl, dann hat die Gleichungzp - yp =xp x xp + yp =zp keine nichttrivialen Lösungen
(x, y, z)±À3x Fermats letzter Satz ist richtig für reguläre Primzahlen.
Glücklicherweise leitete Kummer noch ein relativ einfaches Kriterium für die Regularität von Primzahlen her:
ˆ
i
t
t
t2
t3
t
Def.(9): Sei ccccc
Bi ccitcccc die Reihendarstellung von ccccccc
etcccccccc =1+ B1 cccccc +B2 ccccccc +B3 c ccccc +.... =1+Å
et cccccc , dann heißen die Bi ±·
i 1
mit B2 i1 =0 (i=1, 2,....) Bernoullische Zahlen.
1
691
3617
Bem.: B0=1, B1=- ccc1c , B2= cccc1c , B4=- ccccccc
c , B6= ccccccc1 c , B8=- ccccccc1 c , B10= ccccccc5 c , B12=- cccccccccc
cccc , B14= cccc7c , B16=- ccccccc
ccccccc , limn‘ˆ sup|B2 n «=ˆ.
Eine weitere Möglichkeit, die Bernoullischen Zahlen Bi zu berechnen ist, die Gleichungen +B 1/n1- Bn1 =0 mit n–1
zu lösen, wobei jedes BQ durch BQ ersetzt wird, also: 2B1+1=0; 3B2+3B1+1=0; 4B3+6B2+4B1+1=0 usw..
Def.&Satz(10): Eine Primzahl p ist regulär x p teilt keinen der Zähler der Bernoullischen Zahlen B0, B1, B2,...,
Bp3. Teilt p mindestens einen der Zähler der Bernoullischen Zahlen B0, B1, B2,..., Bp3 so heißt p irregulär.
Man kann leicht nachrechnen, daß alle ungeraden Primzahlen p < 100 und ungleich 37 (37 teilt den Zähler von B32) ,
59 und 67 regulär sind. Hiermit haben wir also auf einen Schlag die Fälle n=3,5,7,11 usw. bewiesen. Leider bewies
K.L.Jensen 1915, daß es unendlich viele irreguläre Primzahlen gibt, und daß somit ein allgemeiner Beweis von
Fermats letztem Satz für alle Exponenten n>3 mit den damals vorhandenen Verfahren nicht gelingen konnte (man
weiß bis heute noch nicht, ob es endlich oder unendlich viele reguläre Primzahlen gibt).Trotzdem ist mit Kummers
Arbeit ein rechnerischer Weg zum Testen von Fermats letztem Satz für viele Exponenten eröffnet worden und selbst
für irreguläre Primzahlen kann oft durch vereinfachte Betrachtungen (z.B. durch von Kummer selbst gefundene
sogenannte Kummer-Kongruenzen) ein dem Kummerschen Satz entsprechendes Ergebnis hergeleitet werden, was
sich dann durch den Einsatz von Computern überprüfen läßt. So gelang es, zu zeigen, daß es keine nichttrivialen
Lösungen (x, y, z)±À3 der Gleichung xp + yp =zp für Exponenten p<125000 gibt. Für p>125000 hätte die
kleinstmögliche Lösung mindestens106 Stellen (1993 konnte man Fermats letzen Satz bereits bis pž4
106nachprüfen). Aus moderner Sicht kann man sagen, daß Kummer durch das Studium der Arithmetik von Op zu den
Begründern der Algebraischen Zahlentheorie gehört.
Fermat.nb
14
Wolfskehl
Durch die Arbeit von Kummer wurde die Hoffnung, einen Beweis für Fermats letzten Satz zu finden, stark erschüttert.
Die Zahlentheorertiker der nächsten Generation betrachteten ihn wie Chemiker die Alchemie. Im Jahre 1908 jedoch
sollte sich diese Einstellung gegenüber Fermats letztem Satz schlagartig ändern. Verantwortlich hierfür war Paul
Wolfskehl (1856-1906), dessen Familie bekannt für ihren Reichtum und ihr künstlerisches bzw. wissenschaftliches
Mäzenatentum war. Der aus Darmstadt stammende Industrielle hatte Mathematik studiert und widmete sich in seiner
freien Zeit, in der er sich nicht wie üblich um die Verwaltung des Familienimperiums kümmerte, der Zahlentheorie.
Obwohl Wolfskehl keinen wesentlichen Beitrag zu Fermats letztem Satz leistete, sollte sein Name trotzdem nachhaltig
mit Fermats Problem in Beziehung stehen. Aufgrund einer unerwiederten Liebschaft zu einer Dame, beschloss
Wolfskehl, sich das Leben zu nehmen. Nachdem er in der besagten Nacht seine Abschiedsbriefe verfaßt hatte, nutzte
er die verbleibende Zeit (Wolfskehl hatte den Suizid bis ins kleinste Detail geplant), um sich ein letztes Mal mit
Kummers Arbeit zu befassen. Plötzlich entdeckte er eine Annahme in Kummers Arbeit, die Kummer scheinbar nicht
gerechtfertigt hatte. Sofort begann Wolfskehl die Richtigkeit der Annahme zu prüfen, wobei sich herausstellte, daß sie
durchaus erlaubt war. Mittlerweile war jedoch die festgestzte Zeit für seinen Freitod verstrichen, und er war so stolz
darauf, eine Lücke in Kummers Arbeit gefunden zu haben, daß er die Abschiedsbriefe zerriß und sein Testament
umschrieb. Als im Jahr 1908 nach Wolfskehls Tod das Testament verlesen wurde, mußte seine Familie entsetzt
feststellen, daß er ein Preisgeld von 100 000 Mark für den, der Fermats letzten Satz beweisen konnte, ausgesetzt hatte.
Dies war der Dank für die "Rettung" seines Lebens. Die Königliche Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen
sollte das Geld verwalten und darüber entscheiden, wem der Preis zuzuerkennen ist. Der Preis sollte frühestens zwei
Jahre nach Veröffentlichung des Beweises vergeben werden, um der "Mathematikergemeinde" die Möglichkeit zu
geben, Einwände einzubringen. Die Stiftung trat am 27.06.1908 in Kraft und sollte auf den Zeitraum bis zum
13.10.2007 befristet sein.
Die Nachricht vom Wolfskehl-Preis verbreitete sich wie ein Lauffeuer. Die Berufsmathematiker zeigten dem
Fermatproblem jedoch weiterhin die kalte Schulter. Wie oben bereits bemerkt, schrieb Fermat jedoch in seiner
Randbemerkung: "Ich habe einen wundervollen Beweis dieser Behauptung entdeckt, aber dieser Rand ist zu eng, um
ihn hier niederzuschreiben." Da man davon ausgehen konnte, daß Fermat nicht mehr mathematische Verfahren
kannte, als die Schulmathematik heute bereitstellt, schien es vielen Menschen durchaus möglich, das Problem ohne
eine solide Fachbildung angehen zu können.
Das hatte zur Folge, daß man in Göttingen seit 1908 mit einer Flut von vermeintlichen Beweisen zu kämpfen hatte,
die massenweise von Amateurtüftlern eingesandt wurden. Man vermutet sogar, daß fast jeder Mathematikfachbereich
der Welt eine Schublade voll angeblicher Beweise hat. Dr. F. Schlichting, der in den siebziger Jahren verantwortlich
für die Bearbeitung der Einsendungen in Göttingen war (daher beziehen sich die Angaben auch auf diese Zeit), sprach
von drei Regalmetern archivierter Korrespondenz zum Fermatproblem. Es folgen einige kuriose Zitate aus einem
Brief von Schlichting an Paulo Ribenboim (nachzulesen in Ribenboims Buch; siehe Quellenangabe):
-"Monatlich sind etwa drei bis vier Briefe zu beantworten, und darunter ist eine Menge komisches Zeug. Einer hat
z.B. die erste Hälfte seiner Lösung eingeschickt und die zweite Hälfte versprochen, falls wir ihm 1000 DM im voraus
zahlen würden. Ein anderer hat mir ein Prozent seiner Gewinne aus Veröffentlichungen und Radio- und
Fernsehinterviews angeboten, wenn er berühmt sein würde, ich müßte ihn jetzt nur unterstützen; falls nicht, drohe er
damit, die Lösung an einen mathematischen Fachbereich in Rußland zu schicken und uns den Ruhm vorzuenthalten,
ihn entdeckt zu haben."
-"Einige der Manuskripte habe ich Ärzten übergeben, die schwere Schizophrenien diagnostiziert haben."
Für den Liebhaber seien hier noch einige weitere Bearbeitungsmethoden der Fachbereiche erwähnt:
-Edmund Landau (von 1909 bis 1934 Fachbereichsleiter für Mathematik in Göttingen) ließ hunderte von Karten mit
der Aufschrift "Sehr geehrte/r...., ich danke Ihnen für Ihr Manuskript zum Beweis der Fermatschen Vermutung. Der
erste Fehler findet sich auf: Seite.......Zeile........Ihr Beweis ist daher wertlos. gez. Professor E.M.Landau" drucken und
pflegte, jede neue Einsendung zusammen mit einer Karte einem seiner Studenten zu übergeben, der die Karte dann
ausfüllte.
- Ein anderer Professor schrieb den Absendern zurück, daß er nicht kompetent sei, den Beweis zu überprüfen. Er
Fermat.nb
15
wolle ihm jedoch Name und Adresse eines Experten auf diesem Gebiet mitteilen, der weiterhelfen könne - die genaue
Anschrift des letzen Amateurs, der ihm einen "Beweis" geschickt hatte.
- Ein weiterer schrieb den Absendern zurück: "Ich habe eine bemerkenswerte Widerlegung Ihres Beweisversuchs,
doch ist diese Seite leider nicht groß genug, um sie zu fassen."
EXKURS: Elliptische Kurven, Diskriminanten und Modulformen
Def.(11): Eine elliptische Kurve ist eine Menge von Paaren (x, y) die Lösungen der Gleichung E: y2=x3+ax2+bx+c
sind, wobei a, b, c ±À. (Elliptische Kurven sind keine Ellipsen, sondern sie tragen ihren Namen, weil Lösungen von E
elliptische Funktionen sind. Einige spezielle elliptische Funktionen spielen bei der Berechnung von Bogenlängen
von Ellipsen eine Rolle.) In der Zahlentheorie sind speziell Lösungen (x, y)± · von E, also rationale Lösungen, von
Interesse.
Gleichungen ersten Grades (y=ax+b) sind Geraden und haben stets unendlich viele rationale Punkte. Gleichungen
zweiten Grades (ax2 +b y2+cxy+dx+ey+f=0) sind Kegelschnitte (Ellipse bzw. Kreis, Parabel, Hyperbel), die entweder
keine oder unendlich viele rationale Punkte haben und es ist nicht schwer zu entscheiden, welcher Fall vorliegt.
Hyperelliptische Kurven (das sind Kurven vom Grad – 4) haben entweder keine oder nur endlich viele rationale
Punkte (diese Aussage wurde 1983 von Gerd Faltings bewiesen). Bei elliptischen Kurven ist es besonders schwierig.
Sie können nämlich entweder keine, endlich viele oder unendlich viele rationale Lösungen haben und die
Entscheidung, welcher Fall vorliegt, ist nicht leicht. Deshalb bedient man sich eines Kunstgriffs. Man betrachtet die
Gleichung in einem Zahlenbreich von endlicher Größe. Sei ¬ p der Körper mit den p Elementen 0, 1, 2,....,p-1,
wobei p eine Primzahl ist. Glücklicherweise gilt folgender
Satz(12): Zu jeder Primzahlpotenz pr gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit pr Elementen.
Wegen der Eindeutigkeit bis auf Isomorphie können wir also genau so gut statt ¬ p den Restklassenkörper À p
betrachten. Die Addition und Multiplikation in À p sind wie folgt erklärt:
Def.(12):Seien a, b ±À p dann ist a À p b  (a À b) mod p
und a À p b  (a À b) mod p.
[Anm.: Satz(13): Seien a, b ±À, dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen q±À und r±´ mit 0†r <b, so daß a=qb+r
gilt. Man nennt r den Rest von a bei Division durch b und benutzt die Schreibweise r = a mod b. Bsp.: 13 mod 3 =1,
da 13=43+1; -13 mod 3 =2, da -13= -53+2.]
In À p lassen sich Lösungen von E: y2=x3+ax2+bx+c sehr leicht bestimmen, da die Werte von x und y ganzzahlig sein
müssen und nicht größer werden können als p. Hierzu ein Beispiel:
Wir betrachten die elliptische Kurve C: x3-x2= y2+y in À5.
Die Lösungen von C sind (0, 0); (0, 4) ; (1, 0) ; (1, 4). Die Lösung (1, 4) findet man wie folgt: x3-x2= y2+y x
13-12=42+ 4 x 0=20=4*5+0=0. Die Anzahl der Lösungen von C in À5 beträgt a5= 4.
Um Einsicht in das ursprüngliche Problem zu erhalten, untersucht man nun, wie sich die Anzahl der Lösungen
verändert, wenn p variiert. Wenn man das Problem nun nach und nach in allen Körpern À p betrachtet, wobei p immer
größer wird, erhält man eine für die untersuchte elliptische Kurve charakteristische Liste von ganzen Zahlen ap (ap ist
die Anzahl der Lösungen der elliptischen Kurve betrachtet im Restklassenkörper À p oder anders ausgedrückt: ap ist
die Anzahl der Paare (x, y) ±À mit 0† x, y † p-1 für die gilt: Die Zahl y2- x3-ax2- bx - c ist durch p teilbar. Da der
Punkt (0,1,0) in der gewählten Darstellungsweise der elliptischen Kurve nicht enthalten ist, existieren also ap +1
Punkte auf E modulo p. ) Diese Liste erzeugt die sogenannte (Dirichletsche) L-Reihe der elliptischen Kurve.
ˆ
b2
b3
b4
L(E,s)=1+ cccccc
bn ns.
s c + cccccscc + cccccscc +.... =½n
In dieser unendlichen Reihe ist der Koeffizient bp der Potenz ps, falls p eine Primzahl ist, wie folgt zu errechnen:
bp =p - ap . Der Exponent s=x+iy ist eine komplexe Zahl mit y> cccc3c . Ist der Index j von b j keine Primzahl, so wird der
Wert von b j aus den entsprechenden Werten für die Primfaktoren von j berechnet. Die L-Reihe entsteht nämlich durch
1
Ausmultiplizieren des folgenden unendlichen Produkts: L(E,s):= ¾ p ist Primzahl+1 bp ps p12 s/ .
Die L-Reihe soll die charakteristischen Eigenschaften von E in sich tragen.
Eine interessante Eigenschaft von elliptischen Kurven ist, daß man auf ihnen eine Addition definieren kann. Für
spezielle elliptische Kurven E mit E: y2=x3+ax+b sieht das z.B. folgendermaßen aus:
Fermat.nb
16
Def(13): Seien P1=(x1, y1) und P2=(x2, y2) Punkte der elliptischen Kurve E : y2=x3+ax+b, dann gilt:
(i) -P1=(x1, - y1),
U, falls P1 P2
(ii) P1+P2= P2, falls P1 U , wobei P1-P1=U das Nullelement bezeichnet,
P1, falls P2 U
y1 y2
cccccccccc
c , falls P1 œ P2
x1 cxcccccc
2
2
(iii)P1+P2= (x3, y3), mit x3= -x1-x2+ m und y3= - y1 + m (x1- x3), wobei m= 3 x2 a
.
1
,
falls
P
P
cccccccccc
c
1
2
2 yccccccccc
1
Anschaulich beudeutet das Folgendes: Sucht man die Summe P1+P2 zweier Punkte P1 und P2 der elliptischen Kurve,
findet man diese im allgemeinen, indem man eine Gerade durch P1 und P2 zieht, die die Kurve in einem dritten Punt
Q schneidet. Der Punkt -Q, den man durch Spiegelung von Q an der x-Achse erhält, entspricht dann der gesuchten
Summe P1+ P2. Die Abb. zeigt das Schaubild der Kurve y2=x3-4x+1, mit P1=(-2,-1), P2=(0,1), Q=(3,4), P1+
P2=(3,-4).
10
7.5
5
Q
2.5 P
2
-2
P1
4
2
-2.5
-5
P1 +P2
-7.5
-10
Bem.: Auch die Addition auf elliptischen Kurven kann im Restklassenkörper À p betrachtet werden, was sehr
vorteilhaft ist, da die so konstruierte additive Gruppe nur endlich viele Elemente hat. Auf diese Eigenschaft kommen
wir weiter unten, im Abschnitt "Freys Idee und Ribets Beweis", nochmal zu sprechen.
Eine weitere, standardmäßig berechnete Größe ist die Diskriminante. Auch hierzu zuerst ein motivierendes Beispiel:
Sei f(x):= x2+ px + q, dann sind x1=- cccccpc +
ccccp4cccc q und x2=- cccccpc -
cccp4ccccc q Lösungen von f(x)=0.
2
2
Á f(x)=(x-x1)(x-x2)= x2+ px + q. Die Diskriminante von f(x) ist
'(f)= x2 x1 2= ccccp2c +
/
-
cccccc4 cc q ccccc2pc p2
2
ccc4ccccc q = 2
p2
1
-
Anzahl und die Art der Lösungen;
! 0 es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen für f +x/
'(f)=
2
ccccccc4 c q =4( ccccpcccc q). '(f) gibt also Auskunft über die
p2
2
1
0
0 es gibt eine mehrfache Lösung für f +x/ 0, bzw . der Scheitel der Parabel ist +0, 0/
0 es gibt keine reellen Lösungen für f +x/ 0, jedoch zwei komplexe Lösungen .
Allgemein gilt:
Def.(13): Sei f(x):=¾ni +x ai / die Zerlegung von f(x) in Linearfaktoren, dann heißt '(f):=¾i! j +ai a j /2 die
Diskriminante von f(x).
Speziell für elliptische Kurven gilt also folgendes: Sei E: y2=x3+ax2+bx+c = fE (x) und fE (x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3) die
Zerlegung von fE (x) in Linearfaktoren, dann ist 'E :=+a3 a2/2+a3 a1/2+a2 a1/2 die Diskriminante von E.
Auch zu völlig anderen mathematischen Objekten, den sogenannten Modulformen, gibt es eine Art L-Reihe. Als
Modulformen bezeichnet man spezielle Klassen von Funktionen in ®:={x+iy | x,y±¸Òy>0}, die also von komplexen
Zahlen abhängen, wobei deren Koeffizienten rationale Zahlen sind. Das Interessante an Modulformen ist ihre
ungewöhnlich hohe Symmetrie. Besonders erwähnenswert sind hier die sog. Spitzenformen F, da sie in ® durch die
(Fourier-)Reihe F(z)=½nˆ bn e2 Sinz beschrieben werden können, wobei z eine komplexe Variable und die bn komplexe
Zahlen sind.
Def.(14): Eine elliptische Kurve E: y2=x3+ax2+bx+c heißt modular, falls die L-Reihe von E, L(E,s) =½nˆ bn ns zu
Fermat.nb
17
einer Spitzenform F(z)=½nˆ bn e2 Sinz führt.
Um diese Hausarbeit nicht zu einer Einführung in die Funktionentheorie ausarten zu lassen, sei der interessierte Leser
zum weiteren Studium von elliptischen Kurven und Modulformen auf das Buch: E.Freitag;R.Busam,
Funktionentheorie, 2.Aufl., Springer 1995 verwiesen !
Faltings Resultate
In den siebzieger Jahren wurde erstmals der Versuch unternommen, Parallelen zwischen der Differentialgeometrie
und der Zahlentheorie aufzuzeigen. Man verband damit die Hoffnung, bislang unbeantwortete Probleme der
Zahlentheorie lösen zu können, imdem man die entsprechenden Fragen in der Differentialgeometrie untersuchte, die
dort schon beantwortet waren. 1983 konnte Gerd Faltings durch die Untersuchung der geometrischen Formen der
Lösungsmengen der Gleichung xn + yn = zn zeigen , daß es höchstens endlich viele Lösungstripel (x, y, z)±À gibt, die
xn + yn = zn erfüllen.
Die Taniyama-Shimura Vermutung
Die Beziehung zwischen Yutaka Taniyama (1927- 1958; Tod durch Selbstmord) und Goro Shimura (geb. 1928)
begann 1954, als beide Mathematiker, die zu dieser Zeit am Anfang ihrer Karriere standen, in der
Fachbereichsbibliothek der Universität Tokio gleichzeitig die Ausgabe 24 der Annals of Mathematics nachfragten und
dabei bemerkten, daß sie beide (unabhängig voneinander) am selben Problem arbeiteten und an genau der gleichen
Stelle festzustecken schienen. Aus dieser zufälligen Begegnung sollte eine lebenslange fachliche wie auch
freundschaftliche Verbindung entstehen, deren Auswirkungen die Mathematik noch bis heute in Atem hält. Da im
Japan der Nachkriegszeit die Professoren "müde, verblaßt und desillusioniert" waren, organisierten die Studenten
autonome Seminare und lernten viele Dinge im Selbststudium aus Büchern. Daher behandelte man in den Seminaren
auch häufig Themen, die in Europa und Amerika schon nicht nehr Gegenstand der aktuellen Forschung waren. Ein
besonders aus der Mode gekommenes Thema, das Taniyama und Shimura gleichermaßen faszinierte, waren
Modulformen. Die Modulformen, die erstmals von dem französischen Universalgelehrten Henri Poincaré (1854-1912)
untersucht wurden, stellten damals ein weitgehend eigenständiges Feld der Mathematik dar. Beim Studium der
Modulkurven stieß Taniyama auf merkwürdige Zusammenhänge zu elliptischen Gleichungen, wozu er 1955 auf
einem internationalen Symposium in Tokio einige ungelöste Fragen formulierte, die aber weitgehend unbeachtet
blieben. Diese Fragen enthielten schon die wesentlichen Inhalte der später formulierten:
Taniyama-Shimura Vermutung (noch nicht vollständig bewiesen !)(14): Jede elliptische Kurve E, ist modular.
Wiles beweist folgenden Spezialfall der Vermutung:
Satz(15): Jede semistabile Kurve, die über den rationalen Zahlen definiert werden kann, ist eine modulare elliptische
Kurve, und insbesondere ist für jede Primzahl p die zweidimensionale Galoisdarstellung von E modulo p modular.
Nach Taniyamas Tod versuchte Shimura, die Vermutung seines Freundes noch weiter zu untermauern, da er (als
einziger !?) von deren Wahrheit überzeugt war. Anfang der sechziger Jahre gelangte die Taniyama-Shimura
Vermutung in den Westen, wo sie von dem bekannten Zahlentheoretiker André Weil erstmals publiziert wurde. Weil
fand noch einige weitere Hinweise für die Wahrheit der Taniyama-Shimura Vermutung, worauf diese einen
regelrechten Siegeszug in den Reihen der Mathematiker antrat, da man ihre weitreichenden Auswirkungen auf die
Mathematik langsam erkannte.
Freys Idee und Ribets Beweis
Im August 1984 fand in Oberwolfach, einem kleinen Ort im Schwarzwald, eine Tagung über algebraische
Zahlentheorie statt. Dort berichtete Gerhard Frey (Professor am Institut für Experimentelle Mathematik an der
Universität Essen; Frey arbeitet in verschiedenen Projekten der Deutschen Forschungsgemeinschaft mit. 1996 wurde
er mit der Gauss-Medaille der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft für seine Forschung im Bereich
der Zahlentheorie und Arithmetischen Geometrie ausgezeichnet) von seiner Idee zu einem neuen Ansatz, Fermats
letzten Satz zu beweisen. Ich möchte diese Idee kurz skizzieren, da sie für die weitere Entwicklung von Bedeutung
ist.
Fermat.nb
18
Angenommen Fermats letzter Satz sei falsch. Á Es gibt zwei n-te Potenzen natürlicher Zahlen, deren Summe wieder
eine n-te Potenz einer natürlichen Zahl ist (*). Man kann nun eine elliptische Kurve (genannt Frey Kurve) definieren,
wie folgt:
EFrey: y2=x3+(bn - an )x2- an bn x =x (x - an )(x + bn ),
wobei an , bn , bn - an o.B.d.A. ganze Zahlen sind und a, b ±À wegen (*) . Die Diskriminante der Frey-Kurve ist
'EFrey =+ bn an /2+ bn 0/2+ an 0/2=+ bn an /2b2 n a2 n .
Mit bn an cn und c±À folgt, daß 'EFrey = +a2 b2 c2/ . Falls nun Fermats letzter Satz falsch wäre, gäbe es also eine
Diskriminante einer elliptischen Kurve, die eine n-te Potenz ist. Ein Beweis, daß die Diskriminante einer elliptischen
Kurve keine n-te Potenz sein kann, würde also auch Fermats letzten Satz beweisen. Leider führt die Lösung dieses
Problems auf den Beweis von Fermats letzten Satz, was ja derzeit recht aussichtslos schien. Die geniale Idee von Frey
war nun, daß eine elliptische Kurve, deren Diskriminante eine n-te Potenz ist, nicht modular sein kann (falls sie
überhaupt existiert !). Dies würde jedoch der Taniyama-Shimura Vermutung widersprechen.
Freys Ansatz lautete also wie folgt:
(1) Wenn die Taniyama-Shimura Vermutung zutrifft, ist jede elliptische Kurve über · modular. Á (2) Kann man
zeigen, daß EFrey nicht modular ist, folgt daraus, daß EFrey nicht existieren darf (Widerspruch zu (1)). Á Wenn EFrey
nicht existiert, gibt es keine nichttrivialen Lösungen (x, y, z)±´3 der Gleichung xn + yn =zn mit n>2. Á Fermats letzter
Satz ist wahr.
Hiermit hatte Frey eine geniale Strategie für den Beweis von Fermats letztem Satz gefunden, aber selbst der Beweis,
daß EFrey nicht modular sein kann, fiel den Mathematikern äußerst schwer. Professor Ken Ribet von der Berkeley
University in Kalifornien, versuchte sich auch an diesem Beweis. Im Sommer 1986 fand in Berkeley ein
internationaler Mathematikerkongress statt, zu dem auch Ribets Kollege, Professor Barry Mazur geladen war. Zu
dieser Zeit war es Ribet bereits für einen sehr speziellen Fall gelungen, die Behauptung, daß EFrey nicht modular sein
kann, zu beweisen. Während einem Gespräch mit Mazur bei einer Tasse Cappucino im Cafe Strada, schilderte Ribet
Mazur seine Probleme bei der Verallgemeinerung seines gefundenen Resultates. Mazur lauschte aufmerksam den
Ausführungen seines Kollegen, bis er ihm plötzlich den entscheidenden Hinweis geben konnte, den Ribet bis dahin
übersehen hatte. In seinem Beweis nutzte Ribet im wesentlichen die Tatsache aus, daß sich die Eigenschaft einer
elliptische Kurve, modular zu sein, auf die endlichen Gruppen, die man bei der Betrachung im Restklassenkörper Àp
erhält, vererbt. Er zeigte nämlich, daß eine spezielle endliche Gruppe zur Frey Kurve EFrey nicht modular sein kann,
woraus folgt, daß EFrey selbst nicht modular sein kann. Die Nachricht von Ribets Beweis verbreitete sich auf dem
Kongress wie ein Lauffeuer. Nun stand Fermats letzter Satz unwiderruflich mit der Taniyama-Shimura Vermutung in
Beziehung. Ein Beweis der Taniyama-Shimura Vermutung würde also sofort auch Fermats letzten Satz beweisen.
Aber auch beim Beweis der Taniyama-Shimura Vermutung sind die Mathematiker in den letzten Jahrzehnten nicht
erfolgreich gewesen. In den siebziger Jahren begann man, Auswirkungen der Taniyama-Shimura Vermutung zu
untersuchen, indem man annahm, daß sie wahr sei. Auf dieser Grundlage wurden einige interessante Aussagen
gefunden, die durch den Beweis der Taniyama-Shimura Vermutung auch wahr werden würden.
+/
n
A.Wiles Beweis der Fermatschen Vermutung
Andrew Wiles wurde 1953 in Cambridge, England geboren. Bereits im Alter von zehn Jahren begeisterte sich Wiles
für Mathematik und knifflige Logeleien. Zu dieser Zeit traf er auch erstmals (in der Stadtbücherei von Cambridge) auf
Fermats letzten Satz, dessen schlichte Gestalt ihn von nun an in seinen Bann ziehen sollte. 1975 begann Wiles
schließlich seine Laufbahn als Doktorand an der Universität Cambridge. Auf Anraten seines Doktorvaters John Coates
wurden die elliptische Kurven zu seinem Spezialgebiet. Nach Abschluß seiner Arbeit bei John Coates wurde Wiles
Professor an der Princeton University. Seine leidenschaftliche Bindung zu Fermats letztem Satz hatte er nie
aufgegeben, obwohl er selbst bislang nicht ernsthaft an einem Beweis gearbeitet hatte, was sich jedoch schlagartig
ändern sollte. (Zitat von A.Wiles in: Simon Singh, Fermats letzter Satz, Hanser, S.237) " Es war im Spätsommer
1986. Ich war zu Besuch im Hause eines Freundes und nippte an meinem Eistee. Mitten im Gespräch erwähnte der
Freund nebenbei, Ken Ribet habe nachgewiesen, daß zwischen der Taniyama-Shimura Vermutung und Fermats
letztem Satz tatsächlich ein Zusammenhang besteht. Ich war ganz aus dem Häuschen. Mir war klar, daß ich nach
Fermat.nb
19
Hause gehen und mir die Taniyama-Shimura Vermutung vornehmen würde. Mir fiel ein Mathematiker ein, der über
die Taniyama-Shimura Vermutung geschrieben und süffisant angemerkt hatte, es handle sich um eine Übung für den
interessierten Leser. Ja, jetzt war ich sehr wohl interessiert! Mein Leben lang war ich die romantische Neigung zu
Fermats letztem Satz nicht losgeworden, und nun war er mit einem Problem verknüpft, mit dem man sich auch
professionell befassen konnte. Ich konnte versuchen, bestimmte Zwischenresultate zu erzielen, was sich mathematisch
immerhin gelohnt hätte, auch wenn mir der ganze Beweis nicht gelingen sollte." In den folgenden sieben Jahren zog
sich Wiles so weit wie möglich aus dem öffentlichen Leben zurück und verbrachte jede freie Minute in der
Dachkammer seines Hauses, wo er ungestört seine Strategien für den Beweis der Taniyama-Shimura Vermutung
ausarbeiten konnte. Er beschloß niemandem von seinem Vorhaben zu erzählen, um dem etwaigen Wirbel um seine
Person zu entgehen. Nach und nach gelangen Wiles eine Reihe außergewöhnlicher Entdeckungen, von denen keine
diskutiert oder veröffentlicht werden sollte, solange der Beweis nicht vollständig war. Um keinen Verdacht zu
erregen, beschloß Wiles, alle halbe Jahre ein kleineres Papier zu veröffentlichen, was einzelne Teilergebnisse eines
seiner größeren Forschungsvorhaben von Beginn der achtziger Jahre enthielt. Ursprünglich wollte er seine
Ergebnisse komplett veröffentlichen, aber nun wurden sie zu einer perfekten "Tarnung", mit der er seinen Kollegen
vermeindliche Produktivität vortäuschen konnte. Die einzige Eingeweihte war seine Farau Nada, die er kurz nach
Beginn seiner Arbeit am Beweis von Fermats letztem Satz geheiratet hatte. Wiles beschrieb seine Erfahrungen mit der
Mathematik als Gang durch ein dunkles, fremdes Haus:"Man betritt den ersten Raum und er ist dunkel. Man stolpert
herum und stößt gegen die Möbel, doch allmählich wird klar, wo was steht. Endlich, nach vielleicht einem halben
Jahr, findet man den Lichtschalter, und plötzlich liegt alles im Hellen. Man kann genau sehen, wo man ist. Dann geht
man in den nächsten Raum und verbringt noch ein halbes Jahr im Dunkeln. Diese Durchbrüche, für die man
manchmal nur einen Augenblick braucht, ein andermal ein oder zwei Tage, sind daher allesamt Errungenschaften der
vielen Monate des Herumstolperns im Dunkeln, ohne die es sie nicht gäbe."
Am 08.März 1988 erschienen in der Washington Post und der New York Times Artikel ,in denen zu lesen war, daß der
dreißigjährige Yoichi Miyaoka von der Universität Tokio Fermats letzten Satz bewiesen habe. Auch Miyaoka glaubte,
ähnlich wie Faltings, das Problem aus dem Blickwinkel der Differentialgeometrie angehen zu können. Zu dem
Zeitpunkt, als die Artikel erschienen, hatte Miyaoka seinen Beweis noch nicht veröffentlicht, sondern ihn nur
während einem Seminar am Max-Plack-Institut für Mathematik in Bonn in groben Zügen skizziert. Zwei Wochen
später veröffentlichte er seinen Beweis, der im Widerspruch zu einem anderen, bereits bewiesenen Satz der
Differntialgeometrie stand, was man schon zwei Tage später erkannte. Hiermit wurde Miyaokas Beweis hinfällig, und
diverse Reparaturversuche durch andere Zahlentheoretiker schlugen auch fehl. Miyaoka hatte jedoch mit seinem
gescheiterten Beweis neue und interessante Mathematik geschaffen.
Als Wiles die Nachricht von dem gescheiterten Beweisversuch durch Miyaoka hörte, war er sichtlich erleichtert. Doch
1990 schien sein Fortschritt ins Stocken zu geraten. Schließlich begann er, mit der Iwasawa-Theorie, einem Verfahren
zur Analyse elliptischer Kurven, zu arbeiten. Er hoffte, diese Theorie soweit ausbauen zu können, um sie für seine
Belange verwertbar zu machen. Im Sommer 1991 glaubte Wiles, daß er den Kampf um die Anpassung der
Iwasawa-Theorie verloren hatte. Um sich Anregungen für einen anderen möglichen Zugang zu seinem Problem zu
holen, fuhr Wiles nach Boston, um dort, nach über fünfjähriger Abstinenz, an einer wichtigen Konferenz über
elliptische Kurven teilzunehmen. Dort berichtete ihm sein Doktorvater John Coates, "einer seiner Studenten namens
Matheus Flach schreibe gerade an einer wunderbaren Analyse elliptischer Kurven. Er stütze sich auf ein neues, von
Victor A. Kolyvagin von der Johns-Hopkins-Universität in Baltimore (Maryland) entwickeltes Verfahren, und
offenbar paßte dieses Verfahren genau zu meinem Problem. Es schien genau das zu sein, was ich brauchte,
wenngleich ich wußte, daß ich auch diese sogenannte Kolywagin-Flach-Methode noch weiterentwickeln mußte. Ich
gab den alten Ansatz völlig auf und arbeitete Tag und Nacht an der Weiterentwicklung von Kolyvagin-Flach." Mit
Hilfe dieser Methode gelangen ihm nun nach und nach die erhofften Durchbrüche. Nach sechsjähriger intensiver
Anstrengung hatte Wiles schon das erfolgreiche Ende seiner Bemühungen in Sicht. Um die
Kolywagin-Flach-Methode nutzen und weiterentwickeln zu können, mußte Wiles viel neue, ihm vorher unbekannte
Mathematik lernen. Da er einen groben Fehler bei der Verwendung der Kolywagin-Flach-Methode vermeiden wollte,
entschloß er sich, seinen Kollegen Professor Nick Katz vom Fachbereich Mathematik der Universität Princeton
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"einzuweihen", um mit ihm zusammen seinen Argumentationsgang überprüfen zu können. Da Wiles Theorie zu
umfangreich war, um sie beiläufig im Büro erläutern zu können, tarnten sie das ganze als eine Vorlesungsreihe für
Doktoranden des Fachbereichs mit dem nichtssagenden Titel "Berechnungen zu elliptischen Kurven". Nick Katz
berichtet:"Kein Mensch hätte dahinter kommen können, um was es hier wirklich ging. Es war so aufgezogen, daß die
Berechnungen, wenn man nicht wußte, wozu sie gut waren, unglaublich technisch und langweilig schienen. Und
wenn man nicht weiß, wofür die Rechnerei gut sein soll, kann man ihr unmöglich folgen. Es ist ohnehin schon
ziemlich schwer, ihr zu folgen, selbst wenn man weiß, wozu sie dient. Jedenfalls verschwanden die Doktoranden einer
nach dem anderen, und nach ein paar Wochen war ich der einzige Zuhörer." Nachdem Katz jeden Schritt in Wiles
Beweis sorgfältig verfolgt hatte, lautete sein Urteil, daß die Kolywagin-Flach-Methode tadellos zu funktionieren
schien. Vom 21.-23. Juni 1993 sollte am Isaac Newton Institut der Universität Cambridge ein Workschop zur
Zahlentheorie mit dem Titel "L-Funktionen und Arithmetik" stattfinden. Wiles, der bis zuletzt Stillschweigen über
seine grandiose Leistung bewahrt hatte, dachte, daß dies eine wunderbare Gelegenheit wäre, seinen Beweis der
Fachwelt zu präsentieren.
Wiles Vortrag mit dem unscheinbaren Titel "Modulformen, elliptische Kurven und Galoisdarstellungen" verteilte sich
über die ganzen drei Tage, doch schon nach dem ersten Teil seines Vortrages brodelte die Gerüchteküche, obwohl bis
dahin noch keine wirklichen Anzeichen dafür vorlagen, daß er Fermats letzten Satz beweisen würde. Am zweiten Tag
waren schon deutlich mehr Zuhörer im Publikum, aber Wiles spannte sie wieder auf die Folter und verlor weiterhin
kein Sterbenswort über seine Absichten. Am Mittwoch, den 23. Juni 1993 begann Andrew Wiles seinen dritten und
letzten Vortragsteil. Alle, die etwas zu dem Beweis beigesteuert hatten, wie Mazur, Ribet, Kolyvagin und viele andere
waren anwesend. Die Gerüchte hatten sich inzwischen so stark verbreitet, daß die gesamte Mathematikergemeinde
von Cambridge zu diesem Vortrag erschien und die Zuhörer sowohl auf dem Gang und am Fenster einen Platz finden
mußten, da der Raum restlos überfüllt war. Die Leute waren aufgeregt, weil sie das Gefühl hatten, an einem
historischen Moment teilzuhaben. Einige hatten Fotoapparate in den Vorlesungssaal geschmuggelt und der
Institutsdirektor hatte vorsichtigerweise schon einmal eine Falsche Champagner mitgebracht. Nach einiger Zeit
wandte sich Wiles ein letztes Mal der Tafel zu und ein paar weiteren Zeilen mit Schlußfolgerungen folgte dann
Fermats letzter Satz. Danach drehte er sich zum Publikum und sagte bescheiden:"Ich denke, das genügt!", worauf es
langen Beifall gab. Barry Mazur schilderte seine Eindrücke so:"Ich habe nie einen so großartigen Vortrag erlebt, mit
so vielen glänzenden Ideen, voll dramatischer Spannung, und so gut aufgebaut. Es gab nur eine mögliche Pointe." Am
nächsten Tag überschwemmten Fernsehteams und Wissenschaftsreporter das Isaac Newton Institut, um mit "dem
größten Mathematiker des Jahrhunderts" ein Interview zu führen.
Professor Shimura erfuhr vom Beweis seiner Vermutung durch die Titelseite der New York Times. Für die
Mathematiker war der Beweis eines großen Teils der Taniyama-Shimura-Vewrmutung viel bedeutsamer, da dieser,
wie bereits oben erwähnt, große Auswirkungen auf viele andere Sätze hat. Nachdem sich die Euphorie wieder etwas
gelegt hatte, reichte Wiles sein vollständiges Manuskript bei der Zeitschrift Inventiones Matematicae ein , deren
Herausgeber Barry Mazur eine Gruppe von sechs Gutachtern auswählte, um es Zeile für Zeile prüfen zu lassen. Bei
einem Beweis mit einem Umfang von 200 Seiten konnte das schon eine ganze Weile dauern und Wiles wartete
gespannt auf das Urteil der Gutachter. Nick Katz prüfte das 70 Seiten umfassende Kapitel 3. Am 23. August 1993
entdeckte Katz einen unterschwelligen Fehler, den Wiles bis dahin völlig übersehen hatte, und der darauf hindeutete,
daß es keine Garantie gab, daß die Kolyvagin-Flach-Methode im Sinne von Wiles funktionierte. Wiles drohte nun die
Demütigung, einen Fehler eingestehen zu müssen und daher versuchte er mit allen Kräften, diesen zu beheben, bevor
die Mathematikergemeinde überhaupt davon erfuhr. Nachdem ihm dies bis zum Dezember 1993 nicht gelungen war
und der Druck der Fragen an ihn immer größer wurde, nahm er erstmalig Stellung zu den Vermutungen, wobei er
sich sehr zuversichtlich zeigte.
Schließlich suchte Wiles Hilfe bei einem weiteren Gutachter names Professor Richard Taylor von der Universität
Cambridge, der die Kolyvagin-Flach-Methode fachmännisch beherrschte. Gemeinsam mit ihm lotete Wiles sämtliche
Möglichkeiten aus, wie man die Kolyvagin-Flach-Methode doch noch zum Laufen bringen könnte. Im September
1994 war Wiles davon überzeugt, daß die Kolyvagin-Flach-Methode nicht mehr zu reparieren war, jedoch wollte er
klären, warum sie nicht funktionierte. Am Montag, den 19. September 1994 hatte er dann plötzlich eine Eingebung:
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Der Grund, warum die Kolyvagin-Flach-Methode scheiterte, war eben gerade für den Erfolg des Zugangs über die von
ihm 1991 verworfene Iwasawa-Theorie verantwortlich. Wiles beschrieb diese Situation wie folgt:"So ging ich also am
ersten Abend nach Hause und schlief darüber. Am nächsten Morgen ging ich es noch einmal durch, und gegen elf war
ich mir sicher. Ich ging hinunter und sagte zu meiner Frau:'Ich hab's! Ich glaube, ich hab's gefunden.' Das kam so
unvermittelt, daß sie meinte, es ginge um ein Spielzeug der Kinder, und sie fragte:'Was gefunden?' Ich sagte: 'Den
Beweis. Ich hab' ihn hingekriegt." Am 25. Oktober wurden dann zwei Manuskripte freigegeben:
1)Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz, von Andrew Wiles
und
2)Ringtheoretische Eigenschaften bestimmter Hecke-Algebren, von Richard Taylor und Andrew Wiles.
Das erste Manuskript (lang: ca.110 Seiten) enthält unter anderem den Beweis von Fermats letztem Satz, wobei für
einen entscheidenden Schritt auf das zweite Manuskript (kurz: ca.20 Seiten) zurückgegriffen wird. Im Mai 1995
wurden diese beiden wohl am gründlichsten geprüften Manuskripte in der Geschichte der Mathematik in der
Zeitschrift Annals of Mathematics veröffentlicht.
Für seinen Beweis von Satz(15) ging Wiles wie folgt vor:
Unter Benutzung der Gruppeneigenschaft der Menge der Punkte auf elliptischen Kurven und unter Zuhilfenahme
eines Satzes von Robert P. Langlands der besagt, daß es innerhalb jeder elliptischen Kurve aus der von Wiles
untersuchten Klasse eine spezielle Gruppe von Punkten gibt, die modular ist, konstruiert er eine Art Induktionsbeweis.
Der Satz von Langlands ist für Wiles eine notwendige, jedoch nicht hinreichende Bedingung, da Wiles zeigen muß,
daß alle Untergruppen der elliptischen Kurve modular sind, um schließen zu können, daß die Kurve selbst modular
ist. Bei der von Wiles zu untersuchenden Kurve hat die von Langlands gefundene Untergruppe neun Elemente. Wiles
Induktionsanfang war also der Satz von Langlands. Der Induktionsschritt mußte also zeigen: Wenn die Untergruppe
(der elliptischen Kurve) mit 9k Elementen modular ist, folgt daraus, daß die Untergruppe mit 9k1 Elementen auch
modular ist. Die Vereinigung dieser unendlich vielen endlichen Gruppen hat unendlich viele Elemente. Wiles konnte
zeigen, daß auch diese Menge eine modulare Gruppe ist, womit gezeigt war, daß auch die ursprüngliche Gruppe als
Ganzes modular ist.
Im Juni 1997 versammelten sich dann endlich ca. 1000 Gelehrte aller Fachrichtungen in der Aula der Universität
Göttingen, um mitzuerleben, wie Wiles den Wolfskehl-Preis entgegennahm. Das zu vergebende Preisgeld betrug
75.000 DM. Damit endete für Wiles schließlich eine fast zehnjährige fieberhafte Suche nach dem Beweis von Fermats
letztem Satz.
Anhang:
Definitionen einiger Strukturen der Algebra
Def: Gegeben seien zwei Mengen M und N. Die Menge M×N:={(x, y)| x ±M Òy ±N}heißt das Kartesische Produkt
von M und N.
Def: Eine Teilmenge X ¯ M×N heißt Relation.
Def: R bildet eine Äquivalenzrelation über einer Menge A : y R ¯ A×A ist eine Relation mit folgenden
Eigenschaften:
(i) x ± A :
(x, x) ± R
(Reflexivität)
(ii) x, y ± A : (x, y) ± R w (y, x) ± R
(Symmetrie)
(iii) x, y, z ± A: (x, y) ± R Ò (y, z) ± R w (x, z) ± R (Transitivität)
Die Äquivalenzklasse[x] von x± A bezüglich R ist die Menge [x]:={y ± A | (x, y) ± R}.
Def: Seien M und N Mengen und X ¯ M×N eine Relation mit folgenden Eigenschaften:
(i) x±M y±N: (x, y) ± X (Linksvollständigkeit)
(ii) (x, y), (x', y') ± X : x=x'w y= y' (Rechtseindeutigkeit),
so nennt man das Tripel (M, N, X) eine Abbildung von M nach N.
Def: Gegeben sei eine Menge M und eine Abbildung ( M × M, M, X) mit X:={((a, b), aÎb) ± (M × M)× M}, dann
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heißt Î eine Verknüpfung auf M .
Es existieren folgende Gesetze für Verknüpfungen :
(1) a, b, c ± M : (a Î b) Î c = a Î (b Î c) (Assoziativgesetz).
(2) a ± M e ± M : e Î a = a Î e = a
(e heißt neutrales Element)
(3) a ± M b ± M : a Î b = b Î a = e (b heißt das zu a inverse Element)
(Kommutativgesetz)
(4) a, b ± M : a Î b = b Î a
(Vereinbarung: Wird die Verknüpfung additiv geschrieben, also Î| M , so e | 0 M . Wird die Verknüpfung
multiplikativ geschrieben, also Î | M , so e | 1 M .)
Im Folgenden soll die Klammerkonvention gelten, d.h. die Verknüpfung  soll stärker binden als die Verknüpfung Î
, also (ab) Î (ac) =: ab Î ac .
(Distributivgesetz)
(5) a, b, c ± M : a  (b Î c) = ab Î ac: = (ab) Î (ac)
Def: Eine Halbgruppe ist ein Paar (M, Î), wobei M eine Menge und Î eine Verknüpfung auf M sei, für die (1) (also
das Assoziativgesetz) gilt. Gilt auch (4) (also das Kommutativgesetz), so heißt das Paar (M, Î) eine kommutative oder
abelsche Halbgruppe.
Def: Eine Halbgruppe mit M œ ©, für deren Verknüpfung auch (2) (Existenz eines neutralen Elements) gilt, heißt
Monoid. Gilt auch (4), so heißt das Paar (M, Î) ein kommutatives oder abelsches Monoid.
Def: Ein Monoid, für dessen Verknüpfung auch (3) (Existenz des inversen Elements) gilt, heißt Gruppe. Gilt auch (4),
so heißt das Paar (M, Î ) eine kommutative oder abelsche Gruppe.
Def: Ein Tripel (M, M , M ), bestehend aus einer nicht leeren Menge M und zwei verschiedenen Verknüpfungen
M und M auf M, heißt ein Ring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i) M ist bezüglich M eine abelsche Gruppe.
(Das neutrale Element bezüglich M aus M heißt das Nullelement des Rings und wird mit 0 M oder kurz 0
bezeichnet)
(ii) M ist bezüglich M eine Halbgruppe.
(iii) Es gilt (5) wobei Î =: M und =: M .
Gilt für die Halbgruppe bezüglich M auch (2), so heißt das neutrale Element bezüglich M das Einselement des
Rings und wird mit 1 M oder kurz 1 bezeichnet. Gilt auch (4) bezüglich M , so heißt das Tripel (M, M , M ) ein
kommutativer Ring .
Def: Sei 9: =(M, M , M ) ein Ring und a ± M. Man nennt a einen Linksnullteiler in 9 genau dann, wenn es ein b ±
M, b œ 0 M mit a M b = 0 M gibt. Man nennt a einen Rechtsnullteiler in 9 genau dann, wenn es ein c ± M, c œ 0 M
mit c M a = 0 M gibt. Man nennt a einem Nullteiler genau dann,wenn a ein Links- oder ein Rechtsnullteiler ist, sonst
heißt a auch ein Nichtnullteiler. Die Menge der Nichtnullteiler in 9 bezeichnen wir mit M .
Def: Ein Ring 9 heißt nullteilerfrei, wenn jedes von 0 M verschiedene Element in 9 ein Nichtnullteiler ist. Ein Ring
heißt ein Bereich genau dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i) 9 ist nullteilerfrei.
(ii)9 ist nicht der Nullring (Ein Ring, der nur das Nullelement enthält, heißtNullring)
(es gilt also M = M \ { 0 M }; M ist in diesem Fall nicht leer, da M nicht leer ist.)
(iii) 9 besitzt ein Einselement.
Ein kommutativer Bereich heißt ein Integritätsbereich oder ein Integritätsring.
Def: Sei 9 ein Ring. Die Gruppe der invertierbaren Elemente der kommutativen Halbgruppe mit Einselement
bezüglich M in 9 heißt die Einheitengruppe von 9. Sie wird mit 9— bezeichnet. Ihre Elemente heißen die
Einheiten in 9.
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Def: Ein Ring 9 heißt ein Divisionsbereich (oder ein Schiefkörper), wenn 9 nicht der Nullring ist und alle a ± M , a
œ 0 M , Einheiten in 9 sind. Gilt auch (4), so heißt 9 ein Körper.
Def: Sei (M, M ) eine Gruppe. a, b ±M gilt: a-b:= a M (-b), wobei -b±M das inverse Element von b bezüglich M
ist.
Quellen:
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-J.Buchmann, Faktorisierung großer Zahlen, Spektrum der Wissenschaft Ausgabe Februar 1992 (S.80-87)
-P.Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, 3.Aufl., Springer 1996
-A.Dahan Dalmedico, Sophie Germain, Spektrum der Wissenschaft Ausgabe August 1993 (S.14-16)
-K.Devlin, Sternstunden der modernen Mathematik, 4.Aufl., Deutscher
Taschenbuch Verlag 1997
-dtv-Atlas zur Mathematik:Tafeln und Texte (Band 1), 10.Aufl., Deutscher
Taschenbuch Verlag 1994
-H.M.Edwards, Fremat's Last Theorem, Springer 1977
-G.Faltings, Moderne Mathematik, Spektrum 1996
-E.Freitag;R.Busam, Funktionentheorie, 2.Aufl., Springer 1995
-G.Frey, Über A. Wiles' Beweis der Fermatschen Vermutung, Mathematische Semesterberichte 40 (1993)
-Illustrierte Wissenschaft, Meister der Mathematik, Heft Nr.3 März 1998 (S.54-57)
-K.Jacobs, Resultate Band1: Proben mathematischen Denkens, Vieweg 1987
-K.Jacobs, Resultate Band2: Der Aufbau der Mathematik, Vieweg 1990
-H.Koch, Zahlentheorie, Vieweg 1997
-G.Kropp, Geschichte der Mathematik: Probleme und Gestalten., 2.Aufl., Aula Verlag 1994
-V.Kumar Murty, Seminar on Fermat's Last Theorem, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings
Vol.17, 1995
-C.Pöppe, der Beweis der Fermatschen Vermutung, Spektrum der Wissenschaft Ausgabe August 1993 (S.14-16)
-P.Ribenboim, 13 Lectures on Fremat's Last Theorem, Springer 1979
-W.Scharlau; H.Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer 1980
-H.Scheid, Zahlentheorie, 2.Aufl., BI-Wissenschaftsverlag 1994
-S.Singh, Fermats letzter Satz: Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels, Hanser 1998
-S.Singh; K.Ribet, Die Lösung des Fermatschen Rätsels, Spektrum der Wissenschaft Ausgabe Januar 1998 (S.96-103)
-Der Spiegel, Griff nach dem Gral, Der Spiegel 26/1993 (S.203-204)
-Vieweg Mathematik Lexikon, 3.Aufl., Vieweg 1995
-A.Wiles, Modular Eilliptic Curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics, Band 141 (1995)
-A.Wiles; R.Taylor, Ring Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras, Annals of Mathematics, Band 141 (1995)