Neutrino-Oszillationen - Fakultät für Physik

Universität Bielefeld
Fakultät für Physik
Neutrino-Oszillationen
Bachelorarbeit
von
Daniel Grewe
Betreuer und 1. Gutachter: Prof. Dr. Dietrich Bödeker
2. Gutachter: Denis Besak
Matrikelnummer:
Bielefeld, den 19. August 2011
1886324
Danksagung
Ganz besonders möchte ich meinem Betreuer Prof. Dr. Dietrich Bödeker für
den Vorschlag dieses spannenden Themas danken und dafür, dass er immer ein
offenes Ohr für Fragen hatte. Weiterer Dank geht an Denis Besak, der sich
freundlicherweise bereit erklärte, meine Bachelorarbeit als zweiter Gutachter
durchzusehen.
Meinem Studienkollegen Michael danke ich für den Austausch nützlicher LATEXBefehle und das eifrige Korrekturlesen. Zuletzt möchte ich mich bei Isabelle
bedanken. Sie war ein willkommener und liebreizender Grund, die Arbeit auch
mal ruhen zu lassen und so neue Motivation zu sammeln.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
4
1.1
Paulis Neutrino-Hypothese
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Erste Messversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Sind Neutrinos masselos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Die drei Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Das solare Neutrino-Rätsel
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Neutrino-Massen
9
2.1
Dirac- und Majorana-Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Lepton-Mischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Neutrino-Oszillationen
3.1
3.2
14
Flavour-Oszillationen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.1.1
Vereinfachung für zwei Neutrino-Generationen . . . . . .
18
3.1.2
Spezialfälle bei drei Neutrino-Generationen . . . . . . . .
18
Flavour-Oszillationen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Experimentelle Ergebnisse
22
4.1
Eine Erklärung für das solare Neutrino-Rätsel? . . . . . . . . . .
22
4.2
Das Verschwinden der atmosphärischen Neutrinos . . . . . . . . .
26
4.3
4.4
Experimente mit Neutrinos aus Reaktoren und Beschleunigern .
28
4.3.1
Reaktor-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.3.2
Beschleuniger-Experimente (Long-Baseline) . . . . . . . .
29
4.3.3
Beschleuniger-Experimente (Short-Baseline) . . . . . . . .
30
Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5 CP-Verletzung
35
5.1
Der entscheidende Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2
Ein Maß für die Stärke der leptonischen CP-Verletzung . . . . .
36
5.3
Die Lösung für das LSND-Problem? . . . . . . . . . . . . . . . .
37
A Verwendete Formeln
40
B Mathematica-Notebook
42
Kapitel 1
Einleitung
In diesem Kapitel wird kurz der Werdegang des Neutrinos von Paulis Hypothese
bis zu Pontecorvos Neutrinooszillation beschrieben. Der Text orientiert sich am
1. Kapitel und am Anfang des 4. Kapitels von [Cal01].
1.1
Paulis Neutrino-Hypothese
Am Anfang des 20. Jahrhunderts stand die Physik vor einem Dilemma: Der Satz
von der Energie- und Impulserhaltung schien bei Kernprozessen seine Gültigkeit zu verlieren. So erhielt man beim β-Zerfall entgegen der Berechnungen ein
kontinuierliches Energiespektrum des Elektrons. Niels Bohr spielte bereits mit
dem Gedanken, den bisher unantastbaren Erhaltungssatz aufzugeben. Wolfgang
Pauli war dieser Ansatz jedoch zu radikal. Am Ende des Jahres 1930 teilte er
anderen bedeutenden Physikern in Briefen seine Idee von einem leichten und
elektrisch neutralen Fermion mit, das als drittes Zerfallsprodukt beim β-Zerfall
auftritt und so die Energie- und Impulserhaltung rettet. Enrico Fermi, der Paulis Idee begeistert aufnahm, taufte das Teilchen etwa zwei Jahre später auf den
Namen Neutrino.
Pauli stellte sich die Neutrinos offensichtlich als Bestandteile des Atomkerns
vor. In Fermis Theorie zum β-Zerfall werden Elektron und Neutrino hingegen
erst dann erzeugt, wenn sich ein Neutron in ein Proton umwandelt. Anhand des
Elektron-Energiespektrums stellte er fest, dass die Neutrino-Masse entweder
”
Null oder, in jedem Fall, sehr klein im Vergleich zur Elektron-Masse“ [Cal01]
sein muss.
Wie Hans Bethe und Rudolf Peierls herausfanden, impliziert Fermis Theorie
einen vernachlässigbar kleinen Wirkungsquerschnitt von Neutrinos mit Materie.
So haben Neutrinos mit einer β-Zerfall-typischen Energie von einigen MeV in
Wasser eine mittlere freie Weglänge von 1000 Lichtjahren. Deshalb waren viele
5
Einleitung
der Meinung, es sei unmöglich, Neutrinos experimentell zu finden. Pauli selbst
sagte: Ich habe etwas schreckliches getan. Ich habe ein Teilchen postuliert, das
”
nicht nachgewiesen werden kann“ [Cal01].
1.2
Erste Messversuche
Zunächst sollte er recht behalten. Zwar wurden neben dem β-Zerfall viele Prozesse gefunden, in denen Neutrinos oder möglicherweise auch zugehörige Antiteilchen vermutet wurden (z.B. Elektroneneinfang, Pion-Zerfall, Myon-Zerfall),
aber ein direkter Nachweis gelang vorerst nicht.
Erst in den 50er Jahren, nachdem das Manhattan-Projekt zur Entwicklung der
Atombombe eine starke Neutronen- und Neutrinoquelle hervorbrachte, hatten
die Physiker Frederick Reines und Clyde Cowan den entscheidenen Einfall. Sie
verwendeten neu entwickelte Flüssig-Szintillatoren, die ihnen erlaubten, einen
Detektor zu bauen, der groß genug war, um Neutrino-Ereignisse zu detektieren.
Sie errichteten einen Flüssig-Szintillator-Tank, der 300 Liter fasste und von 90
Fotozellen beobachtet wurde, nahe der Atomreaktoren, die Plutonium für das
Manhattan-Projekt erzeugten. Dort untersuchten sie die Reaktion
ν̄ + p → n + e+ ,
die bei Antineutrino-Einfang zwei Lichtblitze in einem bestimmten zeitlichen
Abstand liefern sollte. Ein Reaktor-abhängiges Signal konnte jedoch kaum ausgemacht werden.
Ein weiteres Experiment wurde am neu errichteten Savannah River Reaktor,
der in 11 m Entfernung einen Neutrinofluss von 1013 cm−2 s−1 lieferte, unterirdisch installiert. Das führte zu einer besseren Abschirmung der kosmischen
Strahlung. Der Detektor bestand aus drei Flüssig-Szintillator-Tanks, die je von
110 Fotozellen beobachtet wurden und zwei Wassertanks mit gelöstem CdCl2
zum Einfang der in der Reaktion entstehenden Neutronen. Wenn der Reaktor
in Betrieb war, wurden etwa 3 Ereignisse pro Stunde gezählt, was die Anzahl
der Hintergrundereignisse deutlich überstieg. Im Juni 1956 informierten Reines
und Cowan schließlich Pauli über ihren Neutrino-Nachweis.
1.3
Sind Neutrinos masselos?
In den folgenden Jahren wurde eine wichtige Eigenschaft der Neutrinos und
der schwachen Wechselwirkung entdeckt. Tsung-Dao Lee und Chen-Ning Yang
veröffentlichten 1956 ihre Theorie, nach der die schwache Wechselwirkung nicht
invariant unter Raumspiegelung (Parität) ist. Mehrere Experimente, wie das
Wu-Experiment oder das Goldhaber-Experiment bestätigten diese Vermutung.
In letzterem wurde eine mittlere Neutrino-Helizität von −1 gemessen. Daraus
6
Einleitung
ergibt sich, dass nur linkshändige Neutrinos schwach wechselwirken. Antineutrinos sind hingegen immer rechtshändig. In der Theorie erreicht man das durch
eine verschwindende Neutrino-Masse und der Tatsache, dass Neutrino und Antineutrino verschiedene Teilchen sind.
Im sogenannten Standardmodell der Teilchenphysik, dass die vereinheitlichte
elektroschwache Wechselwirkung enthält, wird die Wechselwirkung von Neutrinos mittels geladener Ströme (W -Bosonen) und dem neutralen schwachen Strom
(Z-Boson) beschrieben. Auch in dieser Theorie wird das Neutrino als masselos
angenommen.
1.4
Die drei Familien
Ein großes Geheimnis blieb bis zum Anfang der 60er Jahre, ob die Teilchen, die
in Pion- und Myon-Zerfällen emittiert werden, die gleichen Neutrinos wie beim
β-Zerfall sind. Um dieser Frage nachzugehen, betrachtete Melvin Schwartz die
Neutrinos aus Pion-Zerfällen. Die Pionen wurden erzeugt, indem Protonen auf
ein Beryllium-Target geschossen wurden. Durch eine 12 m dicke Abschirmung
aus Stahl wurden dann alle geladenen Teilchen absorbiert, so dass ein reiner
Neutrino-Strahl übrig blieb. In einer Funkenkammer ließen sich die Wechselwirkungs-Ereignisse dieser Neutrinos messen. Schwartz und seine Mitarbeiter
stellten fest, dass es sich dabei hauptsächlich um Ereignisse handelte, bei denen Myonen erzeugt wurden. Falls es nur einen Neutrino-Typ gegeben hätte,
”
dann müssten ebenso viele elektronartige wie myonartige Ereignisse auftreten“
[Cal01], argumentierte Schwartz.
So stellte sich heraus, dass das Neutrino, das zusammen mit einem Myon im
Pion-Zerfall erzeugt wird (Myon-Neutrino), verschieden von dem ist, das zusammen mit einem Elektron im β-Zerfall entsteht (Elektron-Neutrino). Man
bezeichnet die Neutrinos mit νµ bzw. νe . Um die korrekte Leptonzahl zu erhalten, wird zudem zwischen Teilchen und Antiteilchen unterschieden: So treten
zum Beispiel beim Zerfall des positiven Pions Myon-Neutrinos (νµ ) mit positiver Leptonzahl, beim Zerfall des negativen Pions hingegen Myon-Antineutrinos
(ν̄µ ) mit negativer Leptonzahl auf.
Eine dritte Familie von Leptonen und Quarks wurde Anfang der 70er Jahre von
Makoto Kobayashi und Toshihide Maskawa vorgeschlagen, denn so ergab sich
in der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung die CP-Verletzung, also
die Verletzung der Invarianz unter kombinierter Raumspiegelung und Ladungskonjugation, die in einigen Kaon-Zerfällen gemessen worden war. Einige Jahre
später wurde das τ -Lepton als erstes Familienmitglied in Elektron-PositronStößen erzeugt. Außerdem wurde der Zerfall
τ − → π − + ντ
gemessen, so dass es im Sommer 1978 kaum noch einen Zweifel an der Existenz
des Tau-Neutrinos gab. Die direkte Messung eines freien Tau-Neutrinos gelang
jedoch bis zum Jahr 2000 nicht. Die Schwierigkeit lag darin, einen Strahl dieser
7
Einleitung
Neutrinos zu produzieren, der stark genug war, um sie eindeutig zu identifizieren.
Nachgewiesen wurde das ντ schließlich im DONUT-Experiment am FermiLab.
Messungen der Zerfallsbreite des Z-Bosons am SLAC sowie am CERN zeigten,
dass es genau drei schwach wechselwirkende Neutrinos mit Massen kleiner als der
halben Z-Masse geben muss. Sollte ein vierter Neutrino-Typ existieren, so muss
dieser entweder steril, d.h. nicht elektroschwach wechselwirkend oder schwerer
als 45,5 GeV sein.
1.5
Das solare Neutrino-Rätsel
Neuere Theorien und Erkenntnisse, die Neutrinos betreffen, hängen mit dem
Rätsel um die solaren Neutrinos zusammen. Solare Neutrinos sind ElektronNeutrinos, die in Kernreaktionen im Inneren der Sonne entstehen. Die physikalischen Prozesse innerhalb der Sonne werden in Standard-Sonnenmodellen
beschrieben, denen die folgenden Annahmen zu Grunde liegen: Die zu 73,5%
aus Wasserstoff und zu 25% aus Helium bestehende Sonne entwickelte sich unter Aufrechterhaltung eines lokalen Gleichgewichts zwischen Gravitationskraft
und Gradient des Strahlungsdrucks. Dadurch bleibt sie stabil. Die Energie, die
den Strahlungsdruck erzeugt, wird in Kernprozessen im Inneren der Sonne freigesetzt. Der größte Teil davon entsteht durch die Reaktionsketten, in denen vier
Wasserstoffkerne (Protonen) zu einem Heliumkern fusionieren (pp-Kette), der
Rest im sogenannten CNO-Zyklus, in dem die Endprodukte ebenfalls Heliumkerne sind. Im Inneren der Sonne wird die Energie durch Strahlung transportiert,
an der Oberfläche durch Konvektion. Die Modelle wurden so eingeschränkt, dass
sie den Radius, die Masse und die Leuchtstärke der heutigen Sonne vorhersagen.
In der folgenden Tabelle sind die neutrino-erzeugenden Prozesse der pp-Kette
und des CNO-Zyklus’ mit der zugehörigen Neutrino-Energie [Cal01] sowie dem
theoretisch erwarteten Neutrinofluss nach Berechnungen von BPS08 [Pdg10]
aufgeführt.
Prozess
p+p
p + p + e−
3
He + p
7
Be + e−
8
B
13
N
15
O
17
F
→
→
→
→
→
→
→
→
2
H + e+ + νe
H + νe
4
He + e+ + νe
7
Li + νe + (γ)
8
Be∗ + e+ + νe
13
C + e+ + νe
15
N + e+ + νe
17
O + e+ + νe
2
Energie in MeV
0 bis 0,42
1,44
0 bis 18,77
0,38 oder 0,86
0 bis 15
0 bis 1,20
0 bis 1,73
0 bis 1,74
Neutrinofluss in
5,97 × 1010
1,41 × 108
7,90 × 103
5,07 × 109
5,94 × 106
2,88 × 108
2,15 × 108
5,82 × 106
1
cm2 s
Tabelle 1.1: Neutrinoerzeugende Prozesse in der Sonne.
Eine grafische Darstellung nach Berechnungen von Bahcall und Serenelli im
Jahre 2005 befindet sich am Ende des Kapitels (Abbildung 1.1). Messungen des
Neutrinoflusses der verschiedenen Energien bestimmen die relativen Beiträge
Einleitung
8
der entsprechenden Reaktionen zur gesamten Energieproduktion in der Sonne,
denn die Neutrinos entkommen dem Inneren der Sonne relativ ungehindert. Der
entscheidende Parameter für die relative Häufigkeit ist in den meisten Sonnenmodellen die Temperatur im Zentrum der Sonne, die etwa 1,55 × 107 Kelvin
beträgt. Bei dieser Temperatur dominiert die als ppI bezeichnete Reaktionskette, bei der nur die ersten beiden Reaktionen der Tabelle zum Neutrinofluss
beitragen.
Die ersten Messergebnisse für solare Neutrinos wurden 1968 von Ray Davis Jr.
und seinen Mitarbeitern am Brookhaven National Laboratory veröffentlicht. Der
Detektor, ein über 300 000 Liter fassender C2 Cl4 -Tank, befand sich tief in der
Homestake-Goldmine in South Dakota. Die Neutrinos wurden dort mithilfe der
Reaktion
37
Cl + νe → 37 Ar + e−
nachgewiesen. Der gemessene Neutrinofluss war nur etwa ein Drittel des Flusses, der nach Standard-Sonnenmodellen erwartetet worden war. Auch Nachfolgeexperimente wie SAGE und GALLEX stellten ein Neutrino-Defizit fest.
Zunächst wurde versucht die Standard-Sonnenmodelle an den gemessenen Neutrinofluss anzupassen, jedoch stellte es sich als unmöglich heraus, das Modell so
zu verändern, dass der Neutrinofluss für alle verschiedenen Reaktionen mit dem
gemessenen übereinstimmte.
Eine naheliegende Möglichkeit, um die Abweichungen zu erklären, ist ein neues
Verständnis von Neutrinos. Die Idee von sogenannten Neutrino-Oszillationen,
d.h. Flavour-Umwandlungen von Neutrinos kam von Maki, Nakagawa und Sakata, nachdem Bruno Pontecorvo bereits 1957 auf die Möglichkeit einer NeutrinoAntineutrino-Oszillation hingewiesen hatte [Pov09].
Abbildung 1.1: Neutrinofluss aus verschiedenen solaren Prozessen als Funktion
der Neutrino-Energie nach Berechnungen von Bahcall und Serenelli, 2005 [Gon07].
Kapitel 2
Neutrino-Massen
Viele Physiker waren lange der Meinung, Neutrinos seien masselos. Der Grund
dafür war, dass keine Wechselwirkungen von rechtshändigen Neutrinos beobachtet wurden. Durch einen Lorentz-Boost kann für massive linkshändige Neutrinos
jedoch immer ein Koordinatensystem gefunden werden, in dem sie rechtshändig
sind. Daher wurden die Neutrinos im Standardmodell als masselos angenommen.
Bei dem Versuch, das solare Neutrino-Rätsel mithilfe von Flavour-Oszillationen
zu erklären, benötigt man Neutrino-Massen. Dabei müssen zwei Typen betrachtet werden: Einerseits die Dirac-Masse, die auch für die übrigen Fermionen auftritt und andererseits die Majorana-Masse, für den Fall, dass ein Neutrino sein
eigenes Antiteilchen ist.
2.1
Dirac- und Majorana-Massen
Im Standardmodell sind Neutrinos stets linkshändig und werden mit νL bezeichnet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Modell um Neutrino-Massen
zu erweitern. Alle haben gemeinsam, dass sie der Theorie entweder neue Teilchen hinzufügen, die Eichinvarianz verletzen oder die Renormierbarkeit aufheben. Eine Möglichkeit ist die Einführung von sterilen Neutrinos νs als Singulett
unter der Eichgruppe des Standardmodells. Damit kann mithilfe von spontaner
Symmetriebrechung aus der eichinvarianten Yukawa-Wechselwirkung mit φ̃ ein
Massenterm der Form
(2.1)
Lm = −m (νL νs + νs νL )
konstruiert werden. Darin ist m die Masse, während die vierkomponentigen
Spinoren νL (x) und νs (x) die Neutrinos beschreiben. Dieser Term, der analog
zum Massenterm geladener Fermionen aufgebaut ist, erhält die Leptonzahl L
und wird Dirac-Massenterm genannt. Tritt für Neutrinos nur dieser Massenterm
in der Lagrangedichte auf, dann werden sie Dirac-Neutrinos genannt.
10
Neutrino-Massen
Der zweite mögliche Massenterm wird als Majorana-Massenterm bezeichnet. Er
kann mithilfe des ladungskonjugierten Spinors νsc := C νs T für sterile Neutrinos
als bloßer Massenterm1
m0
(νs νsc + νsc νs )
2
m0
=−
νs C νs T + νsT Cνs .
2
Lm0 = −
(2.2)
eingeführt werden. Der Term ist eichinvariant, da sterile Neutrinos per Definition
als Singulett νs 7−→ νs transformieren. C ist der Operator der Ladungskonjugation mit der Eigenschaft
T
C −1 γ µ C = −(γ µ ) ,
(2.3)
wobei γ µ mit µ ∈ {0, 1, 2, 3} die Dirac-Matrizen sind. Majorana-Massenterme für linkshändige Neutrinos verletzen die Eichinvarianz, können jedoch mit
nichtrenormierbaren Yukawa-Kopplungen oder in Theorien mit noch weiteren
Teilchen erzeugt werden.
An der zweiten Darstellung in (2.2) ist leicht zu erkennen, dass ein MajoranaMassenterm nicht invariant unter der U (1)-Transformation
νs 7−→ exp(−iϕL) νs ,
ϕ∈R
(2.4)
ist. Daher verletzt er die Erhaltung der Leptonzahl L in einer Theorie, in der
die übrigen Terme invariant unter dieser Transformation sind. Für geladene
Teilchen ist eine Verletzung der Leptonzahl-Erhaltung gleichbedeutend mit der
Nichterhaltung der elektrischen Ladung. Somit kann ein Majorana-Massenterm
nur für elektrisch neutrale Teilchen auftreten.
Er führt außerdem dazu, dass massive Neutrinos die Majorana-Bedingung
ν = ν c erfüllen, also ihre eigenen Antiteilchen sind [Pdg08]. Sie werden in diesem Fall Majorana-Neutrinos genannt. Eine Konsequenz ist der neutrinolose
doppelte β-Zerfall, der bei Leptonzahl-Erhaltung verboten wäre. Bisher konnte
das Auftreten dieses Prozesses experimentell nicht bestätigt werden.
2.2
Lepton-Mischung
Die Kopplung der Leptonen an die W -Bosonen in der elektroschwachen Wechselwirkung ist gegeben durch den geladenen Strom (charged current)
g 0 µ 0 −
γ νL Wµ + h.c. ,
(2.5)
LCC = − √ lL
2
0
wobei g die Kopplungskonstante der Wechselwirkung ist und lL
und νL0 Vektoren
sind, die Spinoren für die geladenen Leptonen bzw. die entsprechenden Neutrinos
enthalten2 .
1 Es
ist also keine Yukawa-Wechselwirkung nötig.
Dirac-Matrizen γ µ werden im n-dimensionalen Flavour-Raum als Skalare behandelt,
die nur auf die einzelnen Komponenten (die Spinoren) wirken.
2 Die
11
Neutrino-Massen
Für n Generationen von Leptonen haben beide Vektoren n Komponenten. Die
0
wechselwirkenden Zustände lL
und νL0 haben im Allgemeinen keine definierte
Masse, sondern sind eine koheränte Überlagerung von massiven Teilchen. Für
die n geladenen Leptonen sind nur Dirac-Massen erlaubt (vgl. Kapitel 2.1).
Diese lassen sich zusammenfassen zu
0 M l0 + h.c.
LMl = −lR
l L
(2.6)
mit der n×n-Matrix Ml . Diese Matrix kann durch eine biunitäre Transformation
Wl† Ml Vl = Ml
(2.7)
mit unitären n × n-Matrizen Vl und Wl diagonalisiert werden. Die Elemente
der Diagonalmatrix Ml sind die Massen der geladenen Leptonen. Anschließend
können die neuen Lepton-Felder
0
lL := Vl† lL
,
0
lR := Wl† lR
.
(2.8)
eingeführt werden, so dass der Massenterm sich zu
0 M l0 + h.c.
LMl = −lR
l L
0 W M V † l0 + h.c.
= −lR
l
l l L
(2.9)
= −lR Ml lL + h.c.
vereinfacht. Die eingeführten Felder sind die physikalischen Felder definierter
Masse. Die Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung ist mit Ausnahme des geladenen Stroms invariant unter dieser Ersetzung. Dieser Term wird
erst nach der Einführung des Neutrino-Massenterms genauer betrachtet.
Durch die Erweiterung des Standardmodells um n sterile Neutrinos, die als
rechtshändige Gegenstücke νR zu den n linkshändigen Neutrinos identifiziert
werden, lässt sich sowohl ein Dirac- als auch ein Majorana-Massenterm erzeugen. Hier soll der einfachere Fall betrachtet werden, in dem die Neutrinos Dirac-Teilchen sind. Wie später (4.25) gezeigt wird, spielt die Majorana-Natur
von Neutrinos für Flavour-Oszillationen keine Rolle. Analog zu den geladenen
Leptonen erhält man
0 M ν 0 + h.c.
LMν = −νR
ν L
0 W M V † ν 0 + h.c.
= −νR
ν
ν ν L
(2.10)
= −νR Mν νL + h.c.
mit der beliebigen n × n-Matrix Mν , die durch
Wν† Mν Vν = Mν
(2.11)
mit zwei weiteren unitären Matrizen Vν und Wν diagonalisiert wird, und den
massiven Neutrino-Feldern
νL := Vν† νL0 ,
0
νR := Wν† νR
.
(2.12)
12
Neutrino-Massen
Auch die Redefinition der Neutrino-Felder lässt die gesamte Lagrangedichte mit
Ausnahme des geladenen Stroms unverändert. Dieser Term (2.5) muss jetzt
genauer untersucht werden. Durch Einsetzen der massiven Felder ergibt sich
g 0 µ 0 −
LCC = − √ lL
γ νL Wµ + h.c.
2
g = − √ lL Vl† γ µ Vν νL Wµ− + h.c.
(2.13)
2
g
= − √ lL γ µ U νL Wµ− + h.c.
2
mit3 der leptonischen Mischungsmatrix U := Vl† Vν .
Die Mischungsmatrix wird zu Ehren der Pioniere auf dem Gebiet der Neutrino-Oszillationen auch häufig als Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix bezeichnet. Sie ist das leptonische Gegenstück zur Cabbibo-Kobayashi-MaskawaMatrix bei den Quarks. Aufgrund der Gleichung
†
U U † = Vl† Vν Vl† Vν = Vl† Vν Vν† Vl = 11
(2.14)
ist U unitär. Die Unitarität kann auch durch die einzelnen Matrixelemente ausgedrückt werden. Das ist nützlich für Berechnungen, in denen diese Eigenschaft
verwendet wird. U ist genau dann unitär, wenn die Beziehung
UU
†
αβ
=
n
X
∗
Uαk Uβk
= δαβ
(2.15)
k=1
für alle α, β ∈ {1, . . . , n} gilt.
Parameter der Mischungsmatrix für Dirac-Neutrinos: Das Ziel dieses
Unterabschnitts ist eine geeignete Parametrisierung von U zu finden. Dazu soll
zunächst errechnet werden, durch wieviele unabhängige reelle Parameter sich
eine unitäre n × n-Matrix ausdrücken lässt.
Eine beliebige komplexe n × n-Matrix A ist durch 2n2 reelle Parameter
bestimmt. Ist A zusätzlich selbstadjungiert, d.h. A = A† , dann gelten die n2
unabhängigen Relationen
Aij = A∗ji
∀ i, j ∈ {1, . . . , n} mit j ≤ i
(2.16)
und für die vollständige Parametrisierung reichen 2n2 − n2 = n2 reelle Zahlen
aus. Da sich die unitäre n × n-Matrix U durch
U = exp(iA)
(2.17)
mit selbstadjungiertem A darstellen lässt, ist U ebenfalls durch n2 Parameter
ausdrückbar. Wären die Matrixelemente zusätzlich reell, dann wäre U orthogonal, das heißt U T U = 11. Sie wäre dann durch 21 n(n − 1) Parameter darstellbar4 .
3 Da die Komponenten der Matrizen V † und V komplexe Zahlen sind, vertauschen sie
ν
l
problemlos mit den Gamma-Matrizen.
4 Eine reelle Matrix hat n2 Parameter und aus der Orthogonalität folgen 1 n(n + 1) Rela2
tionen.
13
Neutrino-Massen
Für eine komplexe unitäre Matrix können diese Parameter als Winkel gewählt
werden. Die übrigen n2 − 21 n(n − 1) Parameter müssen also Phasen sein. Einige
von diesen sind jedoch physikalisch bedeutungslos, da sie lediglich einer U (1)Transformation der Felder
li → exp(iαi )li ,
νj → exp(iβj )νj
(2.18)
mit i, j ∈ {1, . . . , n} entsprechen. Es handelt sich dabei um 2n − 1 unabhängige
Phasen, denn alle Phasen der gleichwertigen Transformationen der Matrixelemente
Uij → exp (i(βj − αi )) Uij
(2.19)
sind durch die Kenntnis von βj − αj und αj − α1 für alle j eindeutig festgelegt.
Es ist somit leicht zu berechnen, dass U genau 12 (n − 1)(n − 2) physikalisch
relevante Phasen enthält.
An dieser Stelle sollen die Ergebnisse noch einmal zusammengefasst werden: U
ist durch 12 n(n − 1) Winkel und 12 (n − 1)(n − 2) Phasen darstellbar. Für zwei
Generationen von Leptonen bedeutet das, dass nur ein Winkel nötig ist, um die
Mischungsmatrix zu parametrisieren:
cos(θ) sin(θ)
U=
(2.20)
− sin(θ) cos(θ)
In drei Generationen ist eine mögliche Darstellung [Cal01]

c12 c13
s12 c13
U = −s12 c23 − c12 s13 s23 eiδ c12 c23 − s12 s13 s23 eiδ
s12 s23 − c12 s13 c23 eiδ −c12 s23 − s12 s13 c23 eiδ
gegeben durch

s13 e−iδ
c13 s23 
(2.21)
c13 s23
mit cij := cos(θij ) und sij := sin(θij ), also mit den vier Parametern θ12 , θ13 , θ23
und δ.
Parameter der Mischungsmatrix für Majorana-Neutrinos: Bisher wurde die Parametrisierung der Mischungsmatrix für Dirac-Neutrinos betrachtet.
Gibt es stattdessen n Majorana-Neutrinos, dann folgt eine kleine Änderung:
Die Neutrino-Felder νj dürfen nicht redefiniert werden wie in (2.18). Somit entfallen nur die n Phasen, die den Redefinitionen der geladenen Lepton-Felder
entsprechen und es verbleiben 21 n(n − 1) Phasen in der Mischungsmatrix. Die
hinzugewonnenen Phasen verletzen jedoch die Leptonzahlerhaltung.
Eine geeignete Parametrisierung für drei Generationen von Majorana-Neutrinos
ist [Pdg08]


exp( iα21 )
0
0
(2.22)
Ũ = U · D mit D = 
0
exp( iα22 ) 0
0
0
1
mit der Mischungsmatrix U aus (2.21) und den Majorana-Phasen α1 , α2 . Mit
dieser Mischungsmatrix kann später gezeigt werden, dass die Majorana-Natur
der Neutrinos für die Oszillationen unerheblich ist. Streng genommen gilt diese
Parametrisierung nicht, falls die Majorana-Massen sehr viel größer als die DiracMassen sind, jedoch ist die Abweichung nur sehr klein [Gon07].
Kapitel 3
Neutrino-Oszillationen
Eine interessante Konsequenz und der Grund für die Einführung der NeutrinoMassen sind Neutrino-Oszillationen. Dabei wechselwirkt ein Neutrino νi , das bei
einem Prozess zusammen mit dem geladenen Lepton lα erzeugt wird, anschließend mit dem Lepton lβ des Flavours β 6= α. Der zugehörige Wechselwirkungsterm in der Lagrangedichte ist der geladene Strom (2.13). Der Prozess kann, wie
später gezeigt wird, auch durch eine Oszillation des Neutrinos
να → νβ
beschrieben werden.
3.1
Flavour-Oszillationen im Vakuum
Zunächst wird dazu der n-dimensionale Vektor
NL := U νL
(3.1)
mit den gleichen Bezeichnungen wie in Kapitel 2 definiert. Dann gelten für die
einzelnen Felder die Beziehungen
(NL )α =
n
X
Uαi (νL )i
(3.2)
i=1
für alle α ∈ {1, . . . , n}. Die (NL )α lassen sich als Neutrinos mit Flavour α
verstehen, denn jedes dieser Felder koppelt gemäß (2.13) an das massive Lepton
mit dem Flavour α. Sie besitzen aber selbst keine definierte Masse. Im Folgenden
wird der Index L zugunsten einer besseren Lesbarkeit weggelassen.
Im Sinne der Quantenmechanik kann man die Zeitentwicklung eines Neutrinos,
das zum Zeitpunkt 0 mit Flavour α entstanden ist, als Zustand im Schrödinger-Bild beschreiben, auf den der Zeitentwicklungsoperator wirkt. Dafür muss
15
Neutrino-Oszillationen
angenommen werden, dass es sich um ein freies Teilchen handelt. Da Neutrinos nur sehr schwach wechselwirken, ist diese Näherung meistens sehr gut. Im
Ruhesystem des Neutrinos gilt zur Eigenzeit τ
|Nα (τ )i = exp(−iĤτ ) |Nα i
X
=
Uαi exp(−iĤτ ) |νi i
i
=
X
(3.3)
Uαi exp(−imi τ ) |νi i .
i
mit dem Hamilton-Operator Ĥ. Wegen der Lorentz-Invarianz des Vierer-VektorSkalarprodukts gilt dann in einem beliebigen Laborsystem
X
|Nα (t, L)i =
Uαi exp(−iEi t + ipi L) |νi i
(3.4)
i
mit der Energie Ei und dem Impuls pi des massiven Neutrinos, sowie der verstrichenen Zeit t und dem zurückgelegten Weg L. In Experimenten werden
hochenergetische Neutrinos gemessen. Deshalb wird der Ausdruck in der Näherung t ' L ausgewertet. Mit der zusätzlichen Annahme, dass die Neutrinos
unabhängig von ihrer Masse mit dem Impuls p erzeugt werden, kann wegen
p mi die Reihen-Entwicklung
s
2
q
mi
m2
Ei = p2 + m2i = p · 1 +
'p+ i
(3.5)
p
2p
vorgenommen werden. Alternativ kann man auch annehmen, dass die Neutrinos
eine bestimmte Energie E haben. Aufgrund der Relation E mi lässt sich dann
der Term
r
q
m 2
m2
i
2
2
'E− i
(3.6)
pi = E − mi = E · 1 −
E
2E
entwickeln. Da für hochenergetische Neutrinos jedoch auch p ' E gilt, vereinfacht sich der Zustand in beiden Fällen zu
X
m2i L
|Nα (L)i '
Uαi exp −i
|νi i .
(3.7)
2E
i
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass dieses Neutrino nach der Strecke
L den Flavour β angenommen hat, ist
X
m2 L
∗
hNβ | Nα (L)i '
Uβj
Uαi exp −i i
hνj | νi i
2E
i,j
(3.8)
X
m2 L
∗
=
Uβi
Uαi exp −i i
.
2E
i
16
Neutrino-Oszillationen
Die Wahrscheinlichkeit selbst ergibt sich zu
2
Pαβ := |hNβ | Nα (τ )i|
m2j L
m2 L
'
exp −i i + i
2E
2E
i,j
X
L
∗
∗
=
Uβi
Uαi Uβj Uαj
exp −i ∆m2ij
2E
i,j
X
∗
∗
=
Uβi
Uαi Uβj Uαj
exp(−2i ∆ij ).
X
!
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
(3.9)
i,j
Dazu wurden die zwei Abkürzungen
∆m2ij := m2i − m2j
und
∆ij := ∆m2ij
L
4E
(3.10)
eingeführt. Die Wahrscheinlichkeit Pαβ lässt sich so umschreiben, dass alle Terme reell sind. Dazu werden einige Formeln aus dem Anhang verwendet. Aufgrund der Unitarität der Mischungsmatrix gilt die Identität
δαβ
= δαβ · δβα
X
∗
∗
=
Uβi
Uαi Uβj Uαj
(2.15)
i,j
=
X
(A.3)
=
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
+
X
i=j
i>j
X
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
+
X
i=j
i>j
∗
∗
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
+ Uβj
Uαj Uβi Uαi
∗
∗
2 Re(Uβi
Uαi Uβj Uαj
).
(3.11)
17
Neutrino-Oszillationen
Damit ergibt sich schließlich
X
∗
∗
Pαβ '
Uβi
Uαi Uβj Uαj
exp(−2i ∆ij )
i=j
+
X
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
exp(−2i ∆ij )
i6=j
=
X
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
i=j
+
X
+
X
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
exp(−2i ∆ij )
i>j
∗
∗
Uβj
Uαj Uβi Uαi
exp(2i ∆ij )
i>j
=
X
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
i=j
+
X
+
X
∗
∗
2 Re(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) cos(2∆ij )
i>j
(3.12)
∗
∗
2 Im(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) sin(2∆ij )
i>j
(A.1)
=
X
∗
∗
Uβi
Uαi Uβj Uαj
+
i=j
−
X
+
X
X
∗
∗
2 Re(Uβi
Uαi Uβj Uαj
)
i>j
∗
∗
4 Re(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) sin(∆ij )2
i>j
∗
∗
2 Im(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) sin(2∆ij )
i>j
(3.11)
= δαβ
X
∗
∗
−
4 Re(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) sin(∆ij )2
i>j
+
X
∗
∗
2 Im(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) sin(2∆ij ).
i>j
Es ist leicht zu sehen, dass diese Wahrscheinlichkeit tatsächlich eine Oszillation
beschreibt. Der entscheidende Parameter dafür ist
∆ij = ∆m2ij
∆m2ij L GeV
L
≈ 1, 27
.
4E
eV2 km E
(3.13)
Ein typisches Experiment ist durch den Abstand L des Detektors zur Neutrinoquelle und die Energie E der in der Quelle erzeugten Neutrinos charakterisiert.
Falls alle Differenzen der Massenquadrate klein sind, d.h. ∆m2ij E/L, dann ist
das Experiment nicht sensitiv für Neutrino-Oszillationen. Um möglichst kleine
Massendifferenzen aufzulösen, muss also ein Experiment mit sehr großen Werten
für L/E gebaut werden.
18
Neutrino-Oszillationen
3.1.1
Vereinfachung für zwei Neutrino-Generationen
Der allgemeine Ausdruck für die Oszillations-Wahrscheinlichkeit lässt sich nun
für bestimmte Fälle vereinfachen. Gäbe es nur zwei Generationen von Neutrinos,
die auch nur an zwei Generationen von Leptonen koppelten, dann wäre n = 2.
In diesem Fall gibt es nur eine Massendifferenz und man erhält mit (2.15)
∗
∗
∗
∗
∗
Uβ2
Uα2 Uβ1 Uα1
= Uβ2
Uα2 δαβ − Uβ2
Uα2 Uβ2 Uα2
2
2
= |Uα2 | δαβ − |Uβ2 | .
(3.14)
Da dieser Term offensichtlich reell ist, verschwindet der Imaginärteil in der
Wahrscheinlichkeit (3.12) und der Ausdruck vereinfacht sich zu
2
2
Pαβ = δαβ − 4 |Uα2 | δαβ − |Uβ2 | sin(∆21 )2 .
(3.15)
Durch Einsetzen der Matrixelemente aus (2.20), also durch die Wahl einer bestimmten Parametrisierung, ergibt sich die häufig verwendete Form
(
sin(2θ)2 sin(∆21 )2 ,
falls α 6= β
Pαβ =
.
(3.16)
1 − sin(2θ)2 sin(∆21 )2 , falls α = β
3.1.2
Spezialfälle bei drei Neutrino-Generationen
Da es nach jetzigem Kenntnisstand drei Generationen geladener Leptonen gibt,
liegt es nahe anzunehmen, dass es auch drei Neutrino-Generationen gibt. Entsprechende Hinweise liefert auch der Zerfall des Z-Bosons (siehe Kapitel 1.4).
In diesem Fall gibt es drei Winkel und ein oder drei Phasen in der Mischungsmatrix, je nachdem, ob die Neutrinos Dirac- oder Majorana-Teilchen sind.
Ein Spezialfall, der sich nach den Ergebnissen einiger Experimente möglicherweise als höchst relevant herausstellen könnte, ist, dass die drei Neutrinos ν1 , ν2
und ν3 einer bestimmten Massenhierarchie genügen, so dass die Massendifferenz
zwischen ν1 und ν2 klein gegenüber der Massendifferenz der beiden zu ν3 ist.
Dann gilt bei näherungsweise festem Abstand und fester Energie
|∆21 | |∆31 | ' |∆32 | .
(3.17)
In dieser Näherung können für einen geeigneten1 Quotienten von L und E die
von ∆21 abhängigen Terme in der Wahrscheinlichkeit (3.12) vernachlässigt werden. Außerdem verlieren die Winkelfunktionen ihre Abhängigkeit von den Summationsindizes. So ergibt sich mit der Unitarität der Mischungsmatrix (2.15)
1 geeignet
bedeutet in diesem Fall, dass |∆21 | 1
19
Neutrino-Oszillationen
der Ausdruck
Pαβ = δαβ
∗
∗
∗
∗
− 4 Re Uβ3
Uα3 Uβ1 Uα1
+ Uβ3
Uα3 Uβ2 Uα2
sin(∆31 )2
∗
∗
∗
∗
+ 2 Im Uβ3
Uα3 Uβ1 Uα1
+ Uβ3
Uα3 Uβ2 Uα2
sin(2∆31 )
= δαβ
(3.18)
∗
∗
∗
− 4 Re Uβ3
Uα3 δαβ − Uβ3
Uα3 Uβ3 Uα3
sin(∆31 )2
∗
∗
∗
+ 2 Im Uβ3
Uα3 δαβ − Uβ3
Uα3 Uβ3 Uα3
sin(2∆31 )
2
2
= δαβ − 4 |Uα3 | δαβ − |Uβ3 | sin(∆31 )2 .
Das bedeutet, dass eine Drei-Neutrino-Oszillation bei obiger Massenhierarchie in
guter Näherung durch eine Zwei-Neutrino-Oszillation (3.15) beschrieben werden
kann. Die Vereinfachung ist auch anschaulich einfach zu verstehen: Die Massendifferenz zwischen ν1 und ν2 ist in einem Experiment mit geeigneten Werten
für L und E unsichtbar. Daher wird in diesem Experiment nur die Oszillation
zwischen dem Paar ν1 -ν2 , das sich wie ein einzelnes Neutrino verhält, und ν3
beobachtet. Dabei spielt es keine Rolle, ob ν3 das schwerste oder das leichteste
Neutrino ist.
3.2
Flavour-Oszillationen in Materie
Bisher wurden die Flavour-Oszillationen im Vakuum, d.h. in Abwesenheit von
Wechselwirkungen, betrachtet. Diese Annahme ist jedoch bei der Betrachtung
von solaren Neutrinos nicht haltbar. Dazu herrscht in der Sonne eine zu hohe
Dichte an schwach wechselwirkender Materie, besonders Elektronen, Protonen
und Neutronen.
In diesem Kapitel wird der Effekt von Materie am Beispiel der νe νµ -Oszillation,
also der Mischung von nur zwei Lepton-Generationen eingeführt. Das Problem
wird dabei analog zu den Vakuum-Flavour-Oszillationen im Formalismus der
Quantenmechanik gelöst, so wie auch in [Pas07]. Neben den zwei Masseneigenzuständen |ν1 i und |ν2 i gibt es dann die beiden Flavour-Eigenzustände |Ne i
und |Nµ i. Bezeichnet man die Vektoren, die die jeweiligen Zustände als Komponenten enthalten, mit |νi und |N i, dann lässt sich Gleichung (3.7) als
|N (L)i ' U exp(−iLH) |νi
(3.19)
schreiben, wobei die Matrix
1
H=
2E
m21
0
0
m22
(3.20)
den Hamilton-Operator in der Massen-Basis darstellt. Um den Einfluss von Materie zu beschreiben, muss der Hamilton-Operator in die Flavour-Basis transformiert werden, denn die schwache Wechselwirkung koppelt an die Flavour-
20
Neutrino-Oszillationen
Zustände. Mit der Mischungsmatrix aus (2.20) ergibt sich
H := U HU †
1 cos(θ)2 m21 + sin(θ)2 m22
sin(θ) cos(θ)∆m2
=
sin(θ) cos(θ)∆m2
sin(θ)2 m21 + cos(θ)2 m22
2E
m2 + m22 1 0
∆m2 − cos(2θ) sin(2θ)
+
.
= 1
0 1
sin(2θ)
cos(2θ)
4E
4E
(3.21)
Dabei wurden im letzten Schritt die Relationen (A.1) und (A.2) genutzt. Die
Wechselwirkung mit den Elektronen, Protonen und Neutronen kann in einem
elektrisch neutralen Medium als Potential
(
√
− 21 nn + ne für Ne
(3.22)
V = 2GF ·
− 21 nn
für Nµ
beschrieben werden [Pas07], wobei ne = np und nn für die entsprechenden Teilchenzahldichten stehen. Addiert man dieses Potential zum Hamilton-Operator
im Vakuum und lässt den zur Einheitsmatrix proportionalen Term weg, dann
erhält man die symmetrische Matrix
√
∆m2 − cos(2θ) + 2A sin(2θ)
2 2GF Ene
HM :=
.
(3.23)
, A :=
sin(2θ)
cos(2θ)
4E
∆m2
Die Elektronendichte ne ist im Allgemeinen abhängig vom Ort, soll hier jedoch
als konstant angenommen werden. HM stellt den Hamilton-Operator in Materie
dar und soll nun mithilfe einer neuen unitären Mischungsmarix
cos(θM ) sin(θM )
UM :=
(3.24)
− sin(θM ) cos(θM )
wieder diagonalisiert werden. Der vernachlässigte Term hat keinen Einfluss auf
den neuen Mischungswinkel θM und die Differenz der Eigenwerte, was im Anhang (A.5 bis A.11) bewiesen wird. Außerdem wird dort gezeigt, dass die transformierte Matrix
†
HM := UM
HM UM
(3.25)
genau dann diagonal ist, wenn für den Mischungswinkel
tan(2θM ) =
sin(2θ)
cos(2θ) − A
(3.26)
gilt. Aus der Differenz der Eigenwerte folgt darüber hinaus die Differenz der
effektiven Massenquadrate
p
∆m2M = ∆m2 A2 − 2 cos(2θ)A + 1
q
(3.27)
2
2
= ∆m (A − cos(2θ)) + sin(2θ)2 .
Das fanden die beiden russischen Physiker Stanislav Mikheyev und Alexei Smirnov 1985 nach theoretischer Vorarbeit von Lincoln Wolfenstein (1978) heraus
[Pas07]. Im dem Fall, dass die Elektronendichte ne vernachlässigbar klein wird,
folgt A → 0 und es ergeben sich der Mischungswinkel sowie die Massendifferenz
der Vakuum-Oszillationen.
21
Neutrino-Oszillationen
Ein anderer Fall ist in der Sonne realisiert. Im Inneren, wo eine sehr große
Elektronendichte ne herrscht, entstehen Elektron-Neutrinos und es gilt näherungsweise
2θ
(3.28)
tan(2θM ) ' − .
A
Dieser Term ist immer negativ und nähert sich für wachsendes A gegen null.
Das ist beim Tangens für einen positiven Mischungswinkel gerade dann der Fall,
falls θM ' π/2. Für den zweiten effektiven Massen-Eigenzustand innerhalb der
Sonne folgt mit diesem Winkel
∗
∗
|νM 2 i = UM
e2 |Ne i + UM µ2 |Nµ i
= sin(θM ) |Ne i + cos(θM ) |Nµ i
(3.29)
' |Ne i .
Außerhalb der Sonne (also im Vakuum) ist der Zustand hingegen
|νM 2 i ' |ν2 i
∗
∗
= Ue2
|Ne i + Uµ2
|Nµ i
(3.30)
= sin(θ) |Ne i + cos(θ) |Nµ i .
Also verändert sich beim Verlassen der Sonne die Flavour-Zusammensetzung
der Neutrinos. Dieses Phänomen wurde nach Mikheyev, Smirnov und Wolfenstein als MSW-Effekt bekannt. Er beschränkt sich auf Oszillationen, an denen
Elektron-Neutrinos oder sterile Neutrinos beteiligt sind, da das Potential V für
Neutrinos, die genau gleich mit der umgebenden Materie wechselwirken, nur
Terme proportional zur Einheitsmatrix enthält.
Kapitel 4
Experimentelle Ergebnisse
Es soll nun überprüft werden, ob die theoretischen Vorhersagen das Verschwinden der solaren Neutrinos erklärt und welche Parameter sich aus den entscheidenden Experimenten ergeben. Dazu beinhaltet dieses Kapitel zunächst einen
Überblick über alle entscheidenden Experimente, die Neutrinos aus der Sonne,
aus der Atmosphäre, aus Reaktoren und aus Beschleunigern erfassen. Als Quelle
diente wenn nicht anders vermerkt [Gon07]. Außerdem wurden [Pdg08], [Pdg10]
und [Min10] herangezogen.
Die folgende Tabelle gibt einen groben Überblick über diesen Abschnitt. Angegeben sind, neben dem Flavour der Neutrinos bei ihrer Entstehung, die Größenordnungen der Energie E, der Distanz L und der so minimal messbaren Massendifferenz ∆m2min . Bei Reaktor- und Beschleuniger-Neutrinos muss zwischen
Experimenten mit kurzer und langer Distanz unterschieden werden.
Neutrinoquelle
Sonne
Atmosphäre
Reaktor
Flavour
νe
νe , ν̄e , νµ , ν̄µ
ν̄e
Beschleuniger
νµ , ν̄µ
E in GeV
10−3
1
10−3
1
L in km
108
104
1
102
1
103
∆m2min in eV2
10−11
10−4
10−3
10−5
10−3
10−4
Tabelle 4.1: Sensitivität verschiedener Oszillations-Experimente [Pdg10].
4.1
Eine Erklärung für das solare Neutrino-Rätsel?
Wie bereits im ersten Kapitel erwähnt, brachten die Ergebnisse der folgenden
Experimente Hinweise auf Flavour-Oszillationen der solaren Neutrinos. Diese
werden in diesem Kapitel gemäß ihrem Erstehungsprozess in der Sonne (siehe
Tabelle 1.1) benannt.
Experimentelle Ergebnisse
23
Homestake Experiment: Das in Kapitel 1.5 beschriebene Experiment weist
Neutrinos mithilfe des induzierten Beta-Zerfalls von Chlor nach. Die für den Prozess benötigte Schwellenenergie beträgt 0,814 MeV, daher tragen vor allem die
7
Be- und 8 B-Neutrinos zur Messung bei. Vergleicht man die mittlere Ereignisrate RCl , die in über zwanzig Jahre andauernden Messungen ermittelt wurde mit
der Ereignisrate RSSM , die nach Standardsonnenmodellen erwartet wird, dann
erhält man
RCl
= 0,30 ± 0,03.
(4.1)
RSSM
SAGE, GALLEX und GNO: Das Soviet-American Gallium Experiment
(SAGE, seit 1990) in Russland, das Gallium Experiment (GALLEX, 1991 bis
1997) in Italien und sein Nachfolgeprojekt, das Gallium Neutrino Observatory
(GNO, 1998 bis 2003) verwenden bzw. verwendeten anstelle des Chlors Gallium
zum Nachweis von Neutrinos. Die Reaktion
71
Ga + νe → 71 Ge + e−
(4.2)
hat den Vorteil, dass die Schwellenenergie nur bei 0,233 MeV liegt. Aus diesem
Grund ist der Wirkungsquerschnitt mit den häufigeren pp-Neutrinos besonders
hoch. Natürlich ist ein Gallium-Detektor auch für die 7 Be- und 8 B-Neutrinos
empfindlich. Die relative mittlere Ereignisrate RGa aller drei Experimente ist
RGa
= 0,52 ± 0,03.
RSSM
(4.3)
Kamiokande und Super-Kamiokande: Das Kamioka Nucleon Decay Experiment1 (Kamiokande, 1987 bis 1995) in Japan und sein Nachfolgeprojekt
Super-Kamiokande (seit 1996) funktionieren grundlegend anders als die radiochemischen Detektoren auf Chlor- oder Gallium-Basis. Hier wird in einem Tank
mit 2140 t bzw. 45000 t Wasser die elastische Streuung von solaren (und auch
atmosphärischen) Neutrinos an Elektronen
να + e− → να + e−
(4.4)
registriert. Das geschieht durch die Messung der Tscherenkow-Strahlung, die
von den gestreuten Elektronen abgegeben wird, mithilfe von Photomultipliern.
Die elastische Streuung (ES) kommt im Gegensatz zu den radiochemischen Prozessen auch für die anderen Flavour vor, denn der Prozess kann auch durch den
Austausch eines Z-Bosons vermittelt werden. Den größten Anteil hat jedoch
der geladene Strom, so dass der Wirkungsquerschnitt für Elektron-Neutrinos
wesentlich größer ist. Außerdem haben die Kamiokande-Projekte eine höhere
Schwellenenergie (zwischen 5 und 8 MeV). Aufgrund dieser Tatsache werden
fast nur 8 B-Neutrinos gemessen. Der am Super-Kamiokande ermittelte Fluss
ΦSK dieser Neutrinos beträgt im Verhältnis zum vorhergesagten
ΦSK
= 0,413 ± 0,014.
ΦSSM
(4.5)
1 ursprünglich sollte der Detektor der Beobachtung des Protonzerfalls dienen, aber seit der
Supernova 1987A werden mit ihm Neutrinos nachgewiesen
24
Experimentelle Ergebnisse
Der große Vorteil von Tscherenkow-Detektoren ist, dass sie die Neutrino-Ereignisse in Echtzeit aufzeichnen, das heißt zeitaufgelöst. Da jedes gestreute Elektron etwa die Richtung des Neutrinos beibehält, lässt sich die Position der Sonne ermitteln und vergleichen. Darüber hinaus können aufgrund der Menge der
erzeugten Tscherenkow-Strahlung Rückschlüsse auf die Energie des Neutrinos
gezogen werden.
Sudbury Neutrino Observatory (SNO): Dieses kanadische Experiment,
das ebenfalls aus einem von Photomultipliern umgebenen Wassertank besteht,
begann im Jahr 1999 Daten aufzunehmen. Der Tank befindet sich wie die meisten Neutrino-Experimente zur Abschirmung kosmischer Strahlung tief unter der
Erde und enthält etwa 1000 t schweres Wasser D2 O. Das ermöglicht die folgenden drei Reaktionen zum Nachweis von Neutrinos heranzuziehen:
να + e− → να + e−
(4.6)
να + D → να + n + p
(4.7)
−
νe + D → e + p + p
(4.8)
Der erste Prozess (ES) ist bereits vom Kamiokande und Super-Kamiokande bekannt (4.4). Der nächste ist eine NC-Wechselwirkung, die für alle NeutrinoFlavour gleichermaßen auftritt. Ihre Schwellenenergie ist 2,225 MeV, so dass
auch hier fast nur 8 B-Neutrinos erfasst werden. Durch den großen Reaktionsquerschnitt dieses Prozesses ist SNO deutlich sensitiver für Myon- und TauNeutrinos als alle Experimente zuvor. Der induzierte β-Zerfall (4.8) findet nur
für Elektron-Neutrinos statt, denn die Energie solarer Neutrinos reicht nicht
aus, um Myonen oder gar Tau-Leptonen zu erzeugen. Es handelt sich um einen
CC-Prozess mit einer Schwelle von über 5 MeV. Die jeweiligen Ergebnisse sind:
ΦES
SNO
= 0,41 ± 0,05
ΦSSM
ΦNC
SNO
= 0,87 ± 0,08
ΦSSM
ΦCC
SNO
= 0,29 ± 0,02
ΦSSM
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Erst SNO ermöglichte eine vom vorhergesagten Neutrinofluss ΦSSM unabhängige
Auswertung, denn das Verhältnis von CC- und NC-Ereignissen gab Aufschluss
über den Fluss von Myon- und Tau-Neutrinos. Dieser sollte – ungeachtet des
verwendeten Sonnenmodells – ohne Flavour-Oszillationen verschwinden.
Borexino: Das Borexino-Experiment in Italien, das 2007 die ersten Daten
lieferte, ist genau wie das Super-Kamiokande noch Heute (Stand 2010) in Betrieb. Es benutzt einen Flüssig-Szintillator, der genug Licht produziert, um die
elastische Streuung von Elektronen und Neutrinos bei niedrigen Energien zu
messen. Ein Ziel dieses Versuchs ist die Messung des Flusses der monoenergetischen 7 Be-Neutrinos (0,862 MeV). Das Verhältnis der mittleren Ereignisrate
25
Experimentelle Ergebnisse
zur vorhergesagten beträgt für diese Neutrinos laut [Gon07]
RBorexino
= 0,63 ± 0,18.
RSSM
(4.12)
Zusammenfassung: An dieser Stelle sollen die Ergebnisse der Versuche mit
solaren Nautrinos zusammengefasst und kurz analysiert werden. Aus den Messwerten der verschiedenen Experimente können zunächst zwei Dinge abgelesen
werden:
- Bis auf die NC-Messung am SNO ergaben alle Experimente einen deutlich
kleineren Fluss als den vorhergesagten.
- Das Defizit unterscheidet sich für verschiedene Experimente. Das deutet
darauf hin, dass das Phänomen energieabhängig ist.
Den Schlüssel zur Lösung des solaren Neutrino-Rätsels lieferte SNO. Die Beiträge der Flavour zu den drei Prozessen sind
ΦES
SNO ' Φνe + 0,15 Φνµ ντ
(4.13)
ΦNC
SNO
ΦCC
SNO
= Φνe + Φνµ ντ
(4.14)
= Φνe
(4.15)
wobei Φνe der Elekton-Neutrinofluss und Φνµ ντ der Myon- und Tau-Neutrinofluss ist. Ohne Flavour-Oszillationen müssten also alle drei Messungen die
gleichen Ergebnisse ergeben. Man fand aber heraus, dass der Myon- und TauNeutrinofluss nicht null ist, sondern dass der Anteil der Elektron-Neutrinos am
gesamten Neutrinofluss nur
Φν e
' 0, 340
Φνe + Φνµ ντ
(4.16)
[Pdg08] beträgt. Das ist ein überzeugendes Indiz für Neutrino-Oszillationen als
Ursache für das solare Neutrino-Rätsel, das oft als smoking gun evidence“ be”
zeichnet wird. Der gesamte Neutrinofluss stimmt außerdem gut mit den Vorhersagen nach Standard-Sonnenmodellen überein [Pdg08], so dass für die Erklärung
des Rätsels keine zusätzlichen sterilen Neutrinos benötigt werden. Um die Oszillationen auch quantitativ richtig zu erfassen, muss man den MSW-Effekt mit
einbeziehen. Nachdem vor SNO noch vier mögliche Parameterregionen für die
Differenz der Massenquadrate und den Mischungswinkel in Frage kamen2 , ergab
die Analyse aller solaren Neutrinodaten und der Daten des KamLAND (siehe
Kapitel 4.3), dass die Oszillationen durch die LMA-Lösung
∆m2 = 7,59 × 10−5 eV2 und sin(2θ )2 = 0,87
(4.17)
[Pdg10] korrekt beschrieben werden.
2 Die drei erlaubten Regionen mit MSW-Effekt wurden als MSW small mixing angle (SMA),
MSW large mixing angle (LMA) und MSW low mass (LOW) bezeichnet.
Experimentelle Ergebnisse
4.2
26
Das Verschwinden der atmosphärischen Neutrinos
Wenn kosmische Strahlung auf die Stickstoff- und Sauerstoff-Atome in der Atmosphäre trifft, entstehen in einer Höhe von etwa 15 Kilometern Pionen. Diese
zerfallen unter anderem in hochenergetische Elektron- und Myon-Neutrinos und
-Antineutrinos:
π − → ν̄µ + µ−
→ ν̄µ + e− + ν̄e + νµ
π + → νµ + µ+
(4.18)
→ νµ + e+ + νe + ν̄µ
Neben weiteren Neutrinos aus selteneren Zerfällen (wie dem Kaon-Zerfall) werden diese als atmosphärische Neutrinos bezeichnet. Naiv werden zwei Myon(Anti-)Neutrinos pro Elektron-(Anti)-Neutrino erwartet, also eine Rate 2 : 1.
Myonen mit sehr großen Energien zerfallen möglicherweise nicht mehr, bevor
sie den Detektor erreichen, wodurch die Rate tatsächlich etwas größer ist.
Kamiokande und Super-Kamiokande: Neben der Messung von solaren
Neutrinos sind das Kamiokande und das Super-Kamiokande auch für ihre interessanten Ergebnisse bei atmosphärischen Neutrinos bekannt. Da man den absoluten Fluss dieser Neutrinos nur ungenau voraussagen konnte, verglich man nur
die gemessenen und erwarteten Flavour-Verhältnisse. Im Gegensatz zu den solaren Neutrinos kann aufgrund der sehr viel höheren Energie3 für atmosphärische
Neutrinos auch die CC-Wechselwirkung von Myon-Neutrinos beobachtet werden. Die Messungen am Kamiokande ergaben ein Flavour-Verhältnis, das nur
etwa 60% des erwarteten entsprach [Gon07]. Es war allerdings nicht möglich zu
sagen, ob das gemessene Flavour-Verhältnis durch zu wenige Myon-Neutrinos
oder zu viele Elektron-Neutrinos hervorgerufen wurde. Außerdem wurde diskutiert, ob die falsche Rate nur ein systematischer Fehler sein könnte, denn frühe
Experimente mit Eisen-Kaloriemetern (Frejus, NUSEX) konnten keine Abweichung feststellen.
Das Kamioka Observatory veröffentlichte für die Multi-GeV-Neutrinos auch die
Abhängigkeit des Neutrinoflusses vom Winkel zum Zenit ϑ. Senkrecht von oben
kommende Neutrinos werden durch cos(ϑ) = 1, senkrecht von unten kommende
durch cos(ϑ) = −1 und horizontal eintreffende durch cos(ϑ) = 0 beschrieben.
Die Ergebnisse vom Kamiokande deuteten darauf hin, dass der Effekt vorrangig
für von unten kommende Neutrinos auftritt. Das ließ sich durch den längeren Weg der Neutrinos zum Detektor erklären: Während die Neutrinos von
”
oben“ nur etwa 15 km zurücklegen, durchqueren die Neutrinos von unten“
”
die Erde mit einem Durchmesser von über 104 km. Der Super-KamiokandeDetektor mit höherer Präzision und größeren Datenmengen manifestierte diese Erklärung und im Juni 1998 wurde der Nachweis von Flavour-Oszillationen
3 Die
Energie atmosphärischer Neutrinos liegt im Sub- bis Multi-GeV-Bereich.
Experimentelle Ergebnisse
27
bei atmosphärischen Myon-Neutrinos verkündet. Abbildung 4.1 zeigt die Anzahl der gemessenen Ereignisse in Abhängigkeit vom Kosinus des Zenit-Winkels
cos(ϑ).
Abbildung 4.1: Abhängigkeit der Anzahl an Neutrino-Ereignissen von cos(ϑ) für
verschiedene Energiebereiche und Flavour. Die grauen Balken zeigen die erwarteten Werte ohne Oszillationen (mit stat. Fehler) und die schwarze Linie stellt den
besten
mit den beiden Parametern sin(2θatm )2 = 1,0
Fit2 für
νµ ντ -Oszillationen
2
und ∆matm = 0,0035 eV dar [Sch99].
Da die Verteilungen der νe sehr gut mit den Erwartungen ohne Oszillationen
übereinstimmen, kann auf ein Verschwinden der νµ als Ursache für die falschen
Flavour-Verhältnisse geschlossen werden. Außerdem stellte man noch eine Energieabhängigkeit fest: Das Defizit an Myonen, die den Detektor verließen, war
kleiner, als das Defizit der im Detektor gestoppten Myonen, also ist das Verschwinden eines νµ mit höherer Energie unwahrscheinlicher. Diese drei Phänomene – das Verschwinden der Myon-Neutrinos, die Abhängigkeit von der Distanz
und die Abhängigkeit von der Energie – lassen sich am einfachsten mit νµ ντ Oszillationen im Vakuum4 erklären.
Soudan2 und MACRO: Soudan2 und das Monopole, Astrophysics and Cosmic Ray Observatory (MACRO) sind Eisen-Kaloriemeter. Diese bestehen abwechselnd aus Eisenschichten als Target und Schichten zur Rekonstruktion der
Myon-Spuren sowie Messung der Elektron-Ereignisse. Beide Experimente bestätigten die Ergebnisse aus Kamioka und räumten so die Sorgen um systematische
Fehler bei Wasser-Tscherenkow-Detektoren aus.
4 Im Fall dieser Flavour gibt es keinen Unterschied zur Oszillation in Materie (siehe Ende
Kapitel 3).
Experimentelle Ergebnisse
4.3
28
Experimente mit Neutrinos aus Reaktoren
und Beschleunigern
Neben den natürlichen Neutrinoquellen lassen sich natürlich auch in Atomreaktoren und Teilchenbeschleunigern produzierte Neutrinos untersuchen. In Reaktoren werden stets Elektron-Antineutrinos ν̄e mit einer geringen Energie5
erzeugt. In Beschleunigern wird der Neutrinostrahl hingegen meist aus PionZerfällen gewonnen. Dabei werden die Myonen nach relativ kurzer Distanz gestoppt, so dass der Strahl neben einigen elektronartigen vor allem hochenergetische myonartige Neutrinos bzw. Antineutrinos enthält. Diese Experimente
sind daher gut zur Überprüfung der Ergebnisse für atmosphärische Neutrinos
geeignet.
4.3.1
Reaktor-Experimente
CHOOZ: Es gab einige ν̄e -Detektoren in der näheren Umgebung von Atomreaktoren, die alle keine Anzeichen für Flavour-Oszillationen fanden. Darunter
sind die Experimente Gösgen, Krasnoyarsk, Bugey, Palo Verde und CHOOZ.
Letzteres liegt in der gleichnamigen Gemeinde in Frankreich und die Distanz
des Detektors zum Reaktor beträgt etwa 1 km. Hier wurde für den Fluss von
Elektron-Antineutrinos das Verhältnis
RCHOOZ = 1,01 ± 2,8% (statistisch) ± 2,7% (systematisch)
(4.19)
zwischen gemessenem und erwartetem Fluss ermittelt. CHOOZ und die anderen
Reaktor-Experimente grenzen durch ihre negativen Resultate die möglichen Parameter für die Antineutrino-Oszillation ν̄e → ν̄µ sehr stark ein. Unter Annahme
von CPT-Invarianz, das heißt Invarianz der physikalischen Gesetze unter kombinierter Ladungs-, Raum- und Zeitumkehr, gelten die Einschränkungen auch
für die Neutrinooszillation νµ → νe .
KamLAND: Der Kamioka Liquid Scintillator Antineutrino Detector (KamLAND) ist Teil des Kamioka Observatoriums in Japan. Der Flüssig-SzintillatorDetektor wurde an der Stelle errichtet, an dem zuvor der Kamiokande-Detektor
stand und ist seit 2002 in Betrieb. KamLAND erfasst Elektron-Antineutrinos
aus mehreren japanischen Atomkraftwerken mit einer mittleren Entfernung von
150 bis 210 km. Das Verhältnis zwischen gemessenem und erwartetem Fluss ist
nach ersten Ergebnissen [Gon07]
RKamLAND = 0,611 ± 0,094
(4.20)
für Energien über 3,4 MeV. Bei diesen größeren Entfernungen gibt es also auch
bei Reaktor-Experimenten positive Ergebnisse für Neutrino-Oszillationen. Die
KamLAND-Resultate zeigen ebenso wie die Messungen von solaren und atmosphärischen Neutrinos eine Energieabhängigkeit. Beide Oszillations-Parameter
5 Typisch
sind Energien im MeV-Bereich.
Experimentelle Ergebnisse
29
für die solaren Neutrinos werden durch KamLAND eindrucksvoll bestätigt. Die
in Kapitel 4.1 angegebenen Werte (4.17) wurden in einer gemeinsamen Analyse
mit allen solaren Daten gefunden6 .
4.3.2
Beschleuniger-Experimente (Long-Baseline)
K2K und MINOS: Das erste Long-Baseline-Experiment (1999 bis 2004) mit
Neutrinostrahlen aus einem Teilchenbeschleuniger war das KEK to KamiokaProjekt (K2K), mit einer Entfernung von 235 km zwischen dem Beschleuniger
am KEK und dem Super-Kamiokande in Kamioka. Das Main Injector Neutrino
Oscillation Search-Experiment (MINOS) läuft seit 2003. Es besteht aus einem
Beschleuniger sowie einem Nah-Detektor am Fermilab, Illinois und einem größeren Fern-Detektor, der ca. 730 km entfernt im Norden Minnesotas steht.
Beide Experimente bestätigen sowohl im beobachteten Defizit des Myon-Neutrinoflusses als auch in der Energieabhängigkeit die vorherigen Messungen am
Super-Kamiokande. Die gemessenen Werte sind verträglich mit den dort gefundenen Parametern für atmosphärische Neutrinos. Die von MINOS veröffentlichten Parameter für die νµ ντ -Oszillation sind
sin(2θatm )2 > 0,92 und ∆m2atm = 2,43 × 10−3 eV2
(4.21)
[Pdg10].
6 Die
Daten dürfen nur zusammengefasst werden, wenn CPT eine gültige Symmetrie ist.
Experimentelle Ergebnisse
4.3.3
30
Beschleuniger-Experimente (Short-Baseline)
LSND und KARMEN: Die meisten Experimente mit Neutrinostrahlen aus
Beschleunigern sind nur einige hundert Meter vom Beschleuniger selbst entfernt
und werden Short-Baseline-Experimente genannt. Mit einer Ausnahme hat keines dieser Experimente einen Hinweis auf Neutrino-Oszillationen gefunden. Das
ist auf die geringe Distanz zurückzuführen.
Die Ausnahme machte der Liquid Scintillator Neutrino Detector (LSND, 1993
bis 1998) an der Los Alamos Meson Physics Facility, USA. Er sollte in etwa 30m
Entfernung νe und ν̄µ aus dem µ+ -Zerfall messen. Dabei trat ein Überschuss an
ν̄e auf, der mithilfe der Antineutrino-Oszillation ν̄µ → ν̄e erklärt werden kann.
Das Karlsruhe Rutherford Medium Energy Neutrino-Experiment (KARMEN)
in Großbritannien ist dem LSND sehr ähnlich, allerdings beträgt die Distanz
zwischen Beschleuniger und Detektor dort nur ungefähr 18m. KARMEN konnte
den ν̄e -Überschuss nicht bestätigen, sondern schloss die vom LSND favorisierten
Parameter teilweise aus (siehe Abbildung 4.2).
Abbildung 4.2: Erlaubte Regionen (90% bzw. 99% CL) für die Parameter der
Antineutrino-Oszillation ν̄µ → ν̄e nach dem LSND-Experiment im Vergleich mit
den von KARMEN und anderen Experimenten ausgeschlossenen (zu 90% CL)
Regionen. Die ausgeschlossenen Parameter liegen immer rechts von der Linie
[Gon07].
Es gibt jedoch auch Gebiete im Parameterraum, die nicht ausgeschlossen werden
konnten. Eine gemeinsame Analyse beider Experimente zeigt, dass die folgenden
Parameter beide Experimente erklären könnten [Pdg08]:
∆m2LSND ∈ 0,2 eV2 ; 1 eV2
und sin(2θLSND )2 ∈ (0,003; 0,030) (4.22)
∆m2LSND ' 7 eV2 und sin(2θLSND )2 ' 0,004.
(4.23)
Experimentelle Ergebnisse
31
MiniBooNE: Da KARMEN die Ergebnisse des LSND nicht vollständig wiederlegen konnte, wurde ein weiteres Experiment geplant, um sie zu überprüfen:
Das MiniBooNE (BooNE steht für Booster Neutrino Experiment) am Fermilab,
USA. Im ersten Suchlauf von 2002 bis 2005 wurde nach dem Prozess νµ → νe
in einem νµ -Strahl gesucht. Das Verhältnis L/E wurde so gewählt, dass es in
der Größenordnung 1 km/GeV liegt, wie das am LSND. Im Energiebereich
475 MeV < E < 3 GeV stellte man jedoch keinen signifikanten Überschuss
an νe fest. Lediglich für kleinere Energien war ein Überschuss messbar, dessen
Ursprung jedoch noch ungeklärt ist7 [Min10]. Eine gemeinsame Analyse der
LSND- und MiniBooNE-Daten schloss die Hypothese von einer Zwei-NeutrinoOszillation als Erklärung der LSND-Resultate mit einer stat. Sicherheit von 98%
zunächst aus [Gon07].
Seit 2006 wird das Projekt mit einem ν̄µ -Strahl fortgeführt, was ein noch genauerer Test der LSND-Daten ist. Neueste Ergebnisse [Min10] zeigen, dass für
die ν̄µ im gleichen Energiebereich (475 MeV < E < 3 GeV) ein Überschuss an
ν̄e gemessen wird. Diese Tatsache bestätigt das LSND-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Überschuss nur mit Hintergrund-Strahlung erklärt
werden kann, liegt bei 0,5%. Der beste Fit hat sich für die Parameter
∆m2LSND ' 0,064 eV2 und sin(2θLSND )2 ' 0,96
(4.24)
ergeben. Dieser Mischungswinkel wird jedoch vom Reaktor-Experiment Bugey
ausgeschlossen. Abbildung 4.3 zeigt die erlaubten Regionen nach der neuen Messung.
7 Es
gibt mehrere Hypothesen, unter anderem eine Neutrino-Photon-Kopplung oder Flavour-Oszillationen mit zusätzlichen sterilen Neutrinos, die eine CP- oder CPT-Verletzung mit
sich bringen.
Experimentelle Ergebnisse
Abbildung 4.3: Erlaubte Regionen (68%, 90% und 99% CL von innen nach
außen) für die Parameter der Antineutrino-Oszillation ν̄µ → ν̄e nach den neuesten
MiniBooNE-Resultaten im Vergleich mit Abbildung 4.2 [Min10].
32
33
Experimentelle Ergebnisse
4.4
Zusammenfassung der Ergebnisse
Für eine gemeinsame Analyse aller Neutrinodaten (mit Ausnahme der LSNDund MiniBooNE-Ergebnisse) werden mindestens drei Neutrinos benötigt. Die
Parameter, die bestimmt werden können, sind dann einerseits zwei unabhängige
Massendifferenzen und andererseits die vier Parameter in der Mischungsmatrix
(2.21). Die zusätzlichen Majorana-Parameter sind durch Neutrino-Oszillationen
nicht zu bestimmen, denn es gilt mit (2.22)
X
∗
∗
Pαβ '
Uβi
Uαi Uβj Uαj
exp(−2i ∆ij )
i,j
=
X
=
X
=
X
∗
∗
∗
∗
Ũβi
Dii Ũαi Dii
Ũβj Djj
Ũαj
Djj exp(−2i ∆ij )
i,j
∗
∗
∗ ∗
Ũβi
Ũαi Ũβj Ũαj
Dii Dii
Djj Djj exp(−2i ∆ij )
(4.25)
i,j
∗
∗
Ũβi
Ũαi Ũβj Ũαj
exp(−2i ∆ij ).
i,j
Auch die absoluten Massen können auf diesem Weg nicht gemessen werden.
Die Ergebnisse aus den Experimenten werden mit den folgenden Parametern
identifiziert:
∆m221 := ∆m2 = 7,59 × 10−5 eV2
∆m232 := ∆m2atm = 2,43 × 10−3 eV2
sin(2θ12 )2 := sin(2θ )2 = 0,87
(4.26)
sin(2θ23 )2 := sin(2θatm )2 > 0,92.
Das bedeutet per Definition, dass ν1 und ν2 an der solaren Neutrino-Oszillation
beteiligt sind und ν2 die größere Masse hat. Da die Massendifferenz zwischen ν3
und ν2 aber viel größer ist, kommen nur noch zwei Massenhierarchien in Frage.
Eine wird als normal und die andere als invertiert bezeichnet:
m1 < m2 < m3
bzw.
m3 < m1 < m2 .
(4.27)
Die bisherigen Daten erlauben keine Entscheidung für eine der beiden, deshalb
kann ∆m232 nur bis auf das Vorzeichen festgelegt werden. Die Differenz ∆m231
ergibt sich für drei Neutrinos in jedem Fall über
∆m231 = ∆m221 + ∆m232 .
(4.28)
Der fehlende Mischungswinkel θ13 kann durch Reaktor-Experimente wie CHOOZ
eingeschränkt werden8 , denn mit Gleichung (3.18) folgt
CHOOZ
Pee
' 1 − 4 sin(θ13 )2 1 − sin(θ13 )2 sin(∆31 )2
(4.29)
= 1 − sin(2θ13 )2 sin(∆31 )2 .
8 Voraussetzung
dafür ist wieder CPT-Invarianz
34
Experimentelle Ergebnisse
Die Differenz der Massenquadrate, die in dieser Gleichung auftritt, ist zwar nicht
CHOOZ
exakt bekannt aber durch (4.28) sehr beschränkt. Aus der Messung von Pee
ergab sich für den Mischungswinkel die obere Schranke
sin(2θ13 )2 < 0,15.
(4.30)
Der letzte fehlende Parameter mit Einfluss auf Neutrino-Oszillationen ist die
CP-verletzende Phase δ (siehe Kapitel 4). Für sie gibt es momentan noch keine
experimentellen Einschränkungen, da sie selbst durch sin(2θ13 )2 unterdrückt ist.
In Abbildung 4.4 ist ein Vergleich von Elektron-Neutrino-Oszillationen ohne θ13
und mit maximalem θ13 nach (4.30) zu sehen.
P
P
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
L
10
100
1 000
104
105
E
L
10
100
1 000
104
105
E
Abbildung 4.4: Wahrscheinlichkeit für νe → νe (blau), νe → νµ (rot) und
νe → ντ (gelb) aufgetragen gegen L/E in km/GeV (logarithmisch) mit normaler
Massenhierarchie und δ = 0 (B.1).
Die positiven Ergebnisse für den Prozess ν̄µ → ν̄e vom LSND und vom MiniBooNE lassen sich mit Oszillationen für drei Neutrinos nicht erklären, denn
die zusätzliche Differenz der Massenquadrate ∆m2LSND lässt sich nicht mit Gleichung (4.28) vereinbaren. Wenn die aktuellen Messergebnisse vom MiniBooNE
sich weiter bestätigen, gibt es einen Unterschied zwischen den Prozessen νµ → νe
und ν̄µ → ν̄e , das bedeutet eine Verletzung der CP-Invarianz.
Kapitel 5
CP-Verletzung
Das letzte Kapitel behandelt die Verletzung der CP-Invarianz für Leptonen.
Als Literatur diente besonders [Nir01]. Zunächst soll die Ursache für CP-Verletzung bei Leptonen ausgemacht werden und anschließend die Stärke des Effekts
abgeschätzt werden.
5.1
Der entscheidende Parameter
Im Standardmodell der Teilchenphysik wird die CP-Symmetrie nur durch den
Kobayasha-Maskawa-Mechanismus bei Quarks verletzt. Die Quelle der CP-Verletzung ist dort die komplexe Phase in der Mischungsmatrix. Wenn Neutrinos jedoch massiv sind, dann gibt es für mindestens drei Neutrino-Generationen auch
in der leptonischen Mischungsmatrix (2.21) eine solche Phase. In der StandardParametrisierung wird sie mit δ bezeichnet.
Eine einfache Erklärung, warum diese Phase die CP-Invarianz verletzt, ist folgende: Da die Lagrangedichte hermitesch ist, tauchen nach der Diagonalisierung
der Massenterme im geladenen Strom (2.13) paarweise Terme der Form
∗
νLj γ µ lLi Wµ+
Uij lLi γ µ νLj Wµ− + Uij
(5.1)
auf. Bei kombinierter Anwendung von Ladungskonjugations- und Paritätsoperator werden diese Terme zu
∗
Uij νLj γ µ lLi Wµ+ + Uij
lLi γ µ νLj Wµ− .
(5.2)
∗
Das heißt, dass der geladene Strom LCC nur für reelle Koeffizienten Uij = Uij
invariant ist. Wenn also eine komplexe Phase in der Mischungsmatrix auftritt, wird automatisch die Invarianz unter der CP-Transformation verletzt. Die
zusätzlichen Phasen α1 und α2 bei Majorana-Neutrinos führen daher ebenfalls
36
CP-Verletzung
zu einer CP-Verletzung, die jedoch zusätzlich mit einer Verletzung der Leptonzahlerhaltung einhergeht, was in Kapitel 2 bereits gezeigt worden ist. Im direkten Zusammenhang mit Neutrino-Oszillationen spielen diese Phasen jedoch
keine Rolle, da sie in der Oszillationswahrscheinlichkeit verschwinden.
5.2
Ein Maß für die Stärke der leptonischen CPVerletzung
Im Hinblick auf die experimentellen Abweichungen zwischen den beiden Prozessen νµ → νe und ν̄µ → ν̄e , die von LSND und MiniBooNE gemessen wurde, liegt
es nahe, an diesem Beispiel den Effekt der CP-Verletzung berechnen. Gilt dabei
CPT-Invarianz, dann ist der zweite Prozess gleichbedeutend mit νe → νµ . Mit
(3.12) folgt für die Abweichung der Wahrscheinlichkeit des ersten vom zweiten
Prozess der Ausdruck
Peµ − Pµe = δeµ − δµe
X
∗
∗
−4
Re(Uµi
Uei Uµj Uej
) sin(∆ij )2
i>j
+4
X
+2
X
−2
X
∗
∗
Re(Uei
Uµi Uej Uµj
) sin(∆ij )2
i>j
∗
∗
Im(Uµi
Uei Uµj Uej
) sin(2∆ij )
i>j
∗
∗
Im(Uei
Uµi Uej Uµj
) sin(2∆ij )
i>j
= −4
X
∗
∗
Re(Uµi
Uei Uµj Uej
) sin(∆ij )2
(5.3)
i>j
+4
X
∗
∗
Re(Uei Uµi
Uej
Uµj ) sin(∆ij )2
i>j
+2
X
+2
X
∗
∗
Im(Uµi
Uei Uµj Uej
) sin(2∆ij )
i>j
∗
∗
Im(Uei Uµi
Uej
Uµj ) sin(2∆ij )
i>j
= +4
X
∗
∗
Im(Uµi
Uei Uµj Uej
) sin(2∆ij )
i>j
= −4 JCP · (sin(2∆32 ) + sin(2∆21 ) − sin(2∆31 ))
mit dem neu eingeführten Parameter
JCP := sin(θ12 ) cos(θ12 ) sin(θ13 ) cos(θ13 )2 sin(θ23 ) cos(θ23 ) sin(δ),
(5.4)
37
CP-Verletzung
der sich durch Einsetzen der Matrixelemente von U in der Standard-Parametrisierung (2.21) ergibt. Dieser Parameter kann auch unabhängig von einer Parametrisierung der Mischungsmatrix über die Gleichungen
∗
∗
Im(Uβi
Uαi Uβj Uαj
) ≡ JCP
3
X
αβγ
γ=1
3
X
ijk
∀α, β, i, j ∈ {1, 2, 3}
(5.5)
k=1
definiert werden [Nir01]. Für die CP-Verletzung bei anderen Flavour-Übergängen taucht also dieselbe Konstante JCP auf, nur die Vorzeichen unterscheiden
sich:
|Peµ − Pµe | = |Peτ − Pτ e | = |Pµτ − Pτ µ | .
(5.6)
5.3
Die Lösung für das LSND-Problem?
Mit dem ermittelten Parameter JCP lässt sich nun leicht abschätzen, ob die CPVerletzung aus der leptonischen Mischungsmatrix für den gemessenen Überschuss der ν̄e am LSND und MiniBooNE verantwortlich sein kann. Mit den
Werten aus (4.26) folgt für ein Experiment mit L/E ' 1 km/GeV
|Peµ − Pµe | = 4 |JCP | · |sin(2∆32 ) + sin(2∆21 ) − sin(2∆31 )|
(4.30)
< 0,177 · |sin(2∆32 ) + sin(2∆21 ) − sin(2∆31 )|
(5.7)
< 6,71 × 10−10
sowohl für die normale als auch für die invertierte Massenhierarchie. Das liegt
mehrere Größenordnungen unter dem am LSND gemessenen Überschuss, der
einer Oszillationswahrscheinlichkeit von etwa 2,64 × 10−3 entspricht [Gon07].
Nimmt man die in (4.26) zusammengefassten Parameter als richtig an, dann
scheidet dieser Effekt innerhalb des Modells von drei massiven Neutrinos als
mögliche Erklärung aus.
Wird der Effekt der maximalen CP-Verletzung für größere Quotienten L/E betrachtet, wie sie zum Beispiel bei Long-Baseline-Experimenten oder Experimenten mit atmosphärischen Neutrinos vorkommen, dann lässt sich feststellen, dass
er sehr stark schwankt und für θ13 nahe der oberen Schranke stellenweise einer
Differenz von über 40% in der Oszillationswahrscheinlichkeit entspricht (siehe
Abbildung 5.1). Dann müssten tatsächlich die bisher angenommenen Werte aus
den Experimenten mit solaren und atmosphärischen Neutrinos in Frage gestellt
und genau überprüft werden. Eine Analyse unter Einbeziehung aller Parameter für Drei-Neutrino-Oszillationen legten jedoch θ13 ' 0 nahe [Gon07]. Da
JCP ∝ sin(θ13 ) cos(θ13 )2 ist, wird der CP-Effekt dann auch für große L/E stark
unterdrückt.
In diesem Kapitel sind bisher nur Flavour-Oszillationen im Vakuum betrachtet
worden. Könnte das LSND-Problem durch die Einbeziehung der Materie gelöst
werden? Die Reise der Neutrinos durch unseren Planeten führt zu einem CPverletzenden Effekt wegen des unausgeglichenen Verhältnisses von Materie zu
38
CP-Verletzung
DP ¤
0.4
0.3
0.2
0.1
L
20 000
40 000
60 000
80 000
100 000 E
Abbildung 5.1: Maximale CP-Verletzung ausgedrückt durch die Differenz der
Oszillationswahrscheinlichkeiten aufgetragen gegen L/E in km/GeV mit normaler
Massenhierarchie. Die zugehörigen Parameter sind δ = π/2 und θ13 = 0,198 (B.1).
Antimaterie. Für Short-Baseline-Experimente erweist sich die Abweichung aber
nach [Ruj98] als zu klein. Damit scheidet wohl auch dieser Erklärungsversuch
aus. Ein Ausweg aus dem Dilemma könnte die Einführung von weiteren sterilen Neutrinos sein, die zu zusätzlichen Phasen in der Mischungsmatrix führen
würden (siehe Kapitel 2).
Ein vielversprechender Ansatz ist der Seesaw-Mechanismus, der schwere Majorana-Neutrinos vorhersagt, die nur bei sehr hohen Temperaturen (wie sie zum
Beispiel kurz nach dem Urknall herrschten) erzeugt werden [Pdg08]. Beim Zerfall
dieser schweren Neutrinos kurz nach dem Urknall könnte CP-Verletzung zur Bevorzugung von geladenen Leptonen gegenüber geladenen Antileptonen geführt
(Leptogenese) und so zu dem Verhältnis Materie zu Antimaterie, wie es heute
im Universum herrscht, beigetragen haben. Ihre hohe Masse ist gleichzeitig die
Erklärung dafür, dass sie heute nicht mehr gemessen werden.
CP-Verletzung
39
Trotz spektakulärer experimenteller Ergebnisse ist noch lange kein Ende in der
Neutrinoforschung abzusehen. Die wichtigsten Ziele aktueller oder sich in Planung befindender Experimente sind [Pdg10]
- die Verbesserung der Genauigkeit aller gemessenen Parameter.
- die Bestimmung der Natur – Dirac- oder Majorana – der massiven Neutrinos.
- die Bestimmung des Vorzeichens von ∆m32 . Daraus folgt für drei massive
Neutrinos direkt die Massenhierarchie.
- die Bestimmung der absoluten Neutrino-Massen.
- weitere Einschränkung von θ13 . Das hat direkte Auswirkungen auf die
maximale Stärke der CP-Verletzung.
- die Bestimmung der Phase δ selbst.
Außerdem müssen die vorgeschlagenen Erweiterungen des Standardmodells geprüft werden. Mit viel Glück und Geduld wird sich uns dann vielleicht sogar die
geheimnisvolle Abwesenheit der Antimaterie in unserem Universum erschließen.
Anhang A
Verwendete Formeln
In diesem Anhang sind einige Formeln aus der Mathematik zu finden, die sich
für die Berechnungen als nützlich herausgestellt haben. Ihre Verwendung ist an
den entsprechenden Stellen vermerkt.
Winkelfunktionen: Die Produkte von Winkelfunktionen lassen sich häufig
vereinfachen. Nützlich sind zum Beispiel die beiden Gleichungen
cos(2x) = 1 − 2 sin(x)2
∀x ∈ R,
(A.1)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ∀x ∈ R.
(A.2)
Komplexe Zahlen: Bei der Addition einer komplexen Zahl z mit ihrer komplex Konjugierten gelten die Beziehungen
z + z ∗ = 2 Re(z) ∀z ∈ C,
(A.3)
z − z ∗ = 2i Im(z)
(A.4)
∀z ∈ C.
41
Verwendete Formeln
Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix: Eine beliebige symmetrische 2 × 2-Matrix
a b
M=
(A.5)
b d
lässt sich mithilfe einer orthogonalen Matrix O diagonalisieren. Wähle dazu die
orientierungserhaltende Drehmatrix
cos(x) sin(x)
O=
(A.6)
− sin(x) cos(x)
mit Drehwinkel x und verwende die beiden Abkürzungen c := cos(x) und s :=
sin(x). Dann gilt: Die transformierte Matrix
a c2 − 2b cs + d s2 (a − d) cs + b c2 − s2
M := OT M O =
(A.7)
(a − d) cs + b c2 − s2
a s2 + 2b cs + d c2
ist genau dann diagonal, wenn für den Winkel x die Gleichung
(a − d) cs + b c2 − s2 = 0
b
cs
=
⇔
c2 − s2
d−a
2b
⇔ tan(2x) =
d−a
(A.8)
gilt. Die Eigenwerte λ1,2 der Matrix M ergeben sich zu
det(M − λ · 11) = 0
⇔ (a − λ)(d − λ) − b2 = 0
⇔ λ2 − λ(a + d) − b2 + ad = 0
r
a+d
(a + d)2
⇔ λ1,2 =
±
+ b2 − ad
2
4
a+d
b
⇔ λ1,2 =
±
.
2
sin(2x)
(A.9)
Der Winkel x und somit auch die Differenz der Eigenwerte
∆λ =
2b
sin(2x)
(A.10)
sind unabhängig von Termen proportional zur Einheitsmatrix in M , denn auch
mit den neuen Diagonaltermen a + z und d + z gilt nach wie vor
tan(2x) =
2b
2b
=
.
(d + z) − (a + z)
d−a
(A.11)
Anhang B
Mathematica-Notebook
Die selbst erstellten Abbildungen im Text wurden mithilfe des folgenden Mathematica-Notebooks erzeugt.
Abbildung B.1: Notebook zur Erzeugung der Grafiken, erstellt mit der Software
Wolfram Mathematica 7.
Literaturverzeichnis
[Cal01]
David O. Caldwell (Ed.), Current Aspects of Neutrino Physics (2001)
[Gon07] M. C. Gonzalez-Garcia, Phenomenology with Massive Neutrinos
(2007, arXiv:hep-ph/0704.1800v2)
[Kug97] Taichiro Kugo, Eichtheorie (1997)
[Min10] The MiniBooNE Collaboration, Observed Event Excess in the MiniBooNE Search for ν̄µ → ν̄e Oscillations
(2010, arXiv:hep-ex/1007.1150v1)
[Nir01]
Yosef Nir, CP Violation – A New Era (2001, arXiv:hep-ph/0109090v1)
[Pas07]
Emmanuel A. Paschos, Electroweak Theory (2007)
[Pdg08] C. Amsler et al. (Particle Data Group), Physics Letters B667, 1 (2008)
[Pdg10] K. Nakamura et al. (Particle Data Group), J. Phys. G 37, 075021
(2010)
[Pov09]
Bogdan Povh et al., Teilchen und Kerne (2009)
[Ruj98]
A. De Rujula et al., Neutrino Oscillation Physics with a Neutrino
Factory (1998, arXiv:hep-ph/9811390v2)
[Sch99]
Kate Scholberg, Atmospheric Neutrinos at Super-Kamiokande (1999,
arXiv:hep-ex/9905016v1)
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst
und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe,
dass alle Stellen der Arbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen
übernommen wurden, als solche kenntlich gemacht sind und dass die Arbeit in
gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegt wurde.
Bielefeld, den 19. August 2011
Unterschrift