Numerische Berechnung von Preis

Fachbereich Mathematik und Informatik
Diplomarbeit in Mathematik
Numerische Berechnung von Preis-Konsum
Quotienten in verallgemeinerten
Gleichgewichtsmodellen
eingereicht von
Jann-Philipp Zocher
Münster, 1. Juli 2010
Gutachter
Prof. Dr. Martin Burger
Prof. Dr. Nicole Branger
Abstract
Asset pricing models are an important part of today world of nance. This thesis was concerned
with the numerical approximation of the price-consumption ratio for a general equilibrium. The
Paper Explaining pre- and post-1987 crash asset prices Within a unied general equilibrium
framework from Benzoni, Collin-Dufresne and Goldstein aords the basic model for this thesis.
This nancial market model contains the price-consumption ratio as a fundamental part of it. In
particular the price-consumption ratio was analyzed with respect to the existence and uniqueness
of an analytic solution as well to the convergence of a numerical solution. Furthermore with the
numerical solution of the price-consumption ratio numerical simulations of the asset pricing
model from the basic paper were carried out.
Danksagung
Ich danke
Martin Burger und Nicole Branger, ohne die ich nicht zu dieser interessanten Arbeit gefunden
hätte. Sie haben sich immer Zeit genommen, um auf meine zahlreichen Fragen Antworten zu
nden.
Lars Ruthotto für sehr hilfreiche und vorantreibende Diskussionen und das Korrekturlesen meiner
Arbeit.
Mareike Drerup, Tanja Artiga González und Gerd Zocher für das nden unzähliger Rechtschreibfehler in meiner Arbeit.
Thomas Weitjes für die gute und unermüdliche Ablenkung vom Schreiben meiner Arbeit.
meinen Eltern für die grenzenlose Unterstützung über die ganzen Jahre.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1
I.
Grundlagen der Optionsbewertung
3
2. Grundlagen der Optionspreisberechnung
4
2.1.
Der Optionsbegri
2.1.1.
2.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Anwendungen von Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Das Modell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.
Stochastische Grundlagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2.
Die Dynamik des Modells
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.3.
Wichtige Modellwerte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3. Monte-Carlo Simulation
II.
7
22
3.1.
Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.
Grundsätzliche Vorgehensweise
23
3.3.
Allgemeine Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4.
Ermittlung zeitoptimaler Simulationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Modell und die Mathematik
27
4. Mathematische Analyse des Preis-Konsum-Quotienten
4.1.
29
Methode von Collin-Dufresne und Goldstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1.1.
30
Numerische Berechnung der Methode von Collin-Dufresne und Goldstein .
4.2.
Allgemeine Strukturbetrachtung der DGL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.
Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für elliptische DGL . . . . . . . . . . . . .
35
4.4.
Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für den Preis-Konsum Index . . . . . . . .
39
4.5.
Regularität der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5. Numerische Approximation des Preis-Konsum-Quotienten
5.1.
5.2.
Diskretisierung
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Lösen des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.2.1.
51
Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Numerische Approximation des Preis-Dividenden-Quotienten
53
6.1.
Diskretisierung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.2.
Lösen des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.2.1.
57
Successive Over-Relaxation-Verfahren
I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Simulation des Modells
58
7. Programmierung des Modells
59
7.1.
Implementierung der numerischen Approximation des Preis-Konsum-Quotienten .
7.2.
Implementierung der numerischen Approximation des Preis-Dividenden-Quotienten 62
7.3.
Implementierung der Monte-Carlo-Simulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7.3.1.
Implementierung der Hauptroutine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.3.2.
Implementierung der impliziten Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
8. Ergebnisse der Simulation
8.1.
8.2.
8.3.
59
72
Ergebnisse für die Berechnung des Preis-Konsum-Quotienten . . . . . . . . . . . .
72
8.1.1.
73
Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse für die Berechnung des Preis-Dividenden-Quotienten . . . . . . . . . .
74
8.2.1.
76
Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse für die Berechnung der impliziten Volatilität
8.3.1.
. . . . . . . . . . . . . .
78
Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
9. Fazit
82
A. Anhang
84
A.1. Finanzmathematik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
A.2. Funktionalanalysis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Literatur
88
II
Abbildungsverzeichnis
2.1.
Auszahlungsfunktionen von einer Kauf- und einer Verkaufsoption
. . . . . . . . .
5
2.2.
Ein Pfad der Standard Brownschen Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3.
Zwei Pfade des Diusionsprozesses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4.
Zwei Pfade eines Poisson Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.1.
Approximation des Preis-Konsum-Quotienten von Collin-Dufresne und Goldstein
33
8.1.
Preis-Konsum-Quotienten-Berechnung mit M=1000 . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.2.
Preis-Konsum-Quotienten-Vergleich zwischen M=2.000 und M=10.000
74
λ, M=7000 .
µν , M=7000
. . . . . .
8.3.
Preis-Konsum-Quotienten, Sensitivität von
. . . . . . . . . . . . . .
75
8.4.
Preis-Konsum-Quotienten, Sensitivität von
. . . . . . . . . . . . . .
75
8.5.
Preis-Dividenden-Quotienten-Berechnung mit M=1000 . . . . . . . . . . . . . . .
76
8.6.
Preis-Dividenden-Quotienten-Vergleich zwischen M=2.000 und M=10.000
8.7.
Preis-Dividenden-Quotienten, Sensitivität von
8.8.
Preis-Dividenden-Quotienten, Sensitivität von
8.9.
Monte-Carlo-Simulation für
T = 1/12
λ, M=7000 .
µν , M=7000
. . . .
77
. . . . . . . . . . . .
77
. . . . . . . . . . . .
78
mit n=100.000 . . . . . . . . . . . . . . . .
79
λ .
von µν
8.10. Monte-Carlo-Simulation, Senitivität von
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
8.11. Monte-Carlo-Simulation, Sensitivität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
III
1. Einleitung
Sei es der 7. Februar 1637, der Schwarze Montag am 19. Oktober 1987 oder das Jahr 2007, alle
diese Daten haben etwas gemeinsam. Sie alle sind Beispiele für Börsencrashs der letzten Jahrhunderte. Von daher liegt es nahe, dass sich die Wissenschaft schon früh mit der Problematik
beschäftigt hat, um die Gründe eines Börsencrashs zu verstehen.
Grundlegend für die Forschung in diesem Gebiet sind die Modelle der Finanzoptionsbewertung,
mit denen die Finanzoptionen auf beispielsweise Aktien bewertet werden. Das wohl bekannteste Optionsbewertungsmodell, welches auch zum Einstieg in viele andere Modelle benutzt wird,
ist das Optionsbewertungsmodell von Fischer Black und Myron Samuel Scholes aus dem Jahre
1973 [6]. In ihrer entwickelten Formel zur Bewertung von Finanzoptionen war zwar noch nicht
das Auftreten von Börsencrashs berücksichtigt, aber es war für den damaligen Forschungsstand
ein so enormer Schritt, dass Myron Samuel Scholes zusammen mit Robert C. Merton, der an der
Ausarbeitung ebenfalls beteiligt war, 1997 einen Nobelpreis dafür erhielten. Fischer Black war
bereits 1995 verstorben.
Nicht nur das Fehlen einer Modellierung von Börsencrashs im Black-Scholes Modell lud zu weiteren Modizierungen ein, sondern auch viele Finanzmarktgröÿen, die nicht im Modell berücksichtigt wurden. In den darauolgenden Jahren bis heute wurden immer mehr Weiterentwicklungen
des Black-Scholes-Modells erforscht und publiziert. Dabei wurden bestehende Modellansätze verworfen, übernommen oder verbessert, womit viele verschiedene Modelle entstanden.
Grundlegend für die vorliegenden Diplomarbeit ist das entwickelte Optionsbewertungsmodell
publiziert im Artikel [4] mit dem Titel Explaining Pre- and Post-1987 Crash Asset Prices Within a Unied General Equilibrium Framework von Luca Benzoni, Pierre Collin-Dufresne und
Robert S. Goldstein aus dem Jahre 2007. Die Autoren des Artikels betrachten in ihrer Arbeit
einen Modellansatz der Optionsbewertung, um die Veränderungen nach dem Schwarzen Montag
zu beschreiben. Dabei wird neben der Einführung einer zustandsbeschreibenden Gröÿe, die die
Stellung einer Inationsrate im Modell einnimmt, auch noch der Konsum und die getätigten
Dividendenzahlungen berücksichtigt. Des Weiteren wird ein Term in die zustandsbeschreibende
Gröÿe mit eingebaut, der die erforderlichen Eigenschaften hat, um einen Börsencrash realistisch
simulieren zu können.
In einem nachfolgenden Artikel [5] der Autoren aus dem Januar 2010 werden noch weitere Modellspezikationen vorgenommen, um noch genauer die Veränderungen nach einem Crash zu
erklären. Dies zeigt, dass es sich hierbei immer noch um eine aktuelle Problematik der Forschung
handelt, die noch nicht ausgereift ist. Es bleibt abzuwarten wie gut die Optionsbewertungsmodelle werden.
In dieser Diplomarbeit wird die Modellentwicklung des oben genannten Optionsbewertungsmodells von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein vorgestellt. Dabei wird bei der Vorstellung des
Modells die mathematische Sichtweise im Vordergrund stehen. Zu Beginn wird eine Einführung
in die Grundlagen der Optionsbewertung dargestellt, wobei die Begrie aus der Finanzmathematik deniert und erläutert werden. Anschlieÿend wird das Modell basierend auf stochastischer
Denitionen und Sätze eingeführt, sowie die wichtigsten Erkenntnisse für den späteren Verlauf
1
der Arbeit erläutert.
Ein wichtiger Teil der Arbeit für die Anwendung des Modells wird in Kapitel 3 behandelt. Hier
wird eine Methode der Optionsbewertung durch die Monte-Carlo Simulation vorgestellt.
Der Schwerpunkt der vorliegenden Diplomarbeit ist die Behandlung des im Optionsbewertungsmodells auftretenden Preis-Konsum Quotienten. Dabei wird der Preis-Konsum Quotient durch
das Lösen einer Dierentialgleichung bestimmt, die erfüllt sein muss, damit die zugrunde gelegte
Nutzenfunktion des Modells berechnet werden kann. Die Dierentialgleichung ist eine gewöhnliche
stochastische Dierentialgleichung zweiter Ordnung. Es wird in mehreren Schritten gezeigt, dass
eine Lösung dieser Dierentialgleichung existiert und auch eindeutig ist. Da es schwer möglich ist
eine explizite Lösung für die Gleichung anzugeben, wird danach eine numerische Approximation
berechnet, mit der die Lösung der gewöhnlichen stochastischen Dierentialgleichung bestimmt
werden kann. Hierbei werden auch die nötigen Voraussetzungen für das numerisches Verfahren
geprüft.
Anschlieÿend werden die Ergebnisse des Preis-Konsum Quotienten mit denen von Benzoni,
Collin-Dufresne und Goldstein verglichen. Dazu wird deren Preis-Konsum Quotient mit Hilfe
eines Standardansatzes aus der Ökonomie berechnet. In der Ergebnisanalyse zeigt sich dann,
inwieweit man den Standardansatz für die Lösung dieser Dierentialgleichung verwenden kann.
Als Anwendung des berechneten Preis-Konsum Quotienten wird eine Monte-Carlo Simulation
für die Bewertung einer Call-Option auf den S&P 500 Index durchgeführt und deren Ergebnisse
vorgestellt. Hierbei wird die implizite Volatilität des oben erwähnten Black-Scholes Modells für
die Betrachtung berechnet und danach ausgewertet. Es werden bei der Auswertung der impliziten
Volatiltäten Smiles erwartet, die auch in der realen Welt auftreten. Ansonsten wäre das Modell
keine gute Modellierung des Finanzmarktes.
2
Teil I.
Grundlagen der Optionsbewertung
3
2. Grundlagen der Optionspreisberechnung
Im folgenden Kapitel werden wir zu Beginn die grundlegenden Denitionen, die wir dann im
letzten Teil dieses Kapitels in unserem Modell aus dem Paper [4] von Benzoni, Collin-Dufresne
und Goldstein benötigen, für unsere Arbeit einführen. Der Aufbau sowie die Denitionen und
Erläuterungen sind nahe an die Diplomarbeit [30] angelehnt. In dieser ist das Optionsbewertungsmodell von Black-Scholes sowohl analytisch als auch numerisch ausgearbeitet worden. Da
das hier behandelte Modell eine Modizierung des Modells von Black and Scholes darstellt,
werden ähnliche Denitionen respektive Begrie benötigt. Die Denitionen und Erläuterungen
können auch unter [17] oder [18] nachgeschlagen werden.
2.1. Der Optionsbegri
Im Nachfolgenden wird der Begri einer Option deniert und näher erläutert. Wir werden die
Möglichkeiten eines Calls und eines Puts als Option darstellen, sowie auf den Unterschied einer
Europäischen Option und einer Amerikanischen Option aufmerksam machen. Der Schwerpunkt
der Arbeit liegt auf den Europäischen Optionen, da diese aufgrund ihres festgelegten Ausübungszeitpunktes (siehe Denition 1) einfacher zu behandeln sind.
Eine Option ist ein Derivat mit einer asymmetrischen Auszahlung, genauer:
Denition 1 (Call-Option, Put-Option).
Eine europäische Call-Option ist ein Vertrag zwischen
zwei Parteien, der dem Optionsnehmer (Käufer der Option) das Recht gibt, zum Verfallszeitpunkt (maturity )
T >t
eine festgelegte Menge (dem Basiswert) zu einem bei Vertragsabschluss
vereinbarten Ausübungspreis (strike price )
K
zu kaufen. Übt er das Recht nicht aus, verfällt die
Option zur Zeit T ohne weitere Konsequenzen.
Eine europäische Put-Option gibt dem Käufer das Recht, den Basiswert zum Verfallszeitpunkt
T
zu einem vereinbarten Ausübungspreis
K
zu verkaufen.
Der Inhaber einer amerikanischen Call-Option beziehungsweise einer amerikanischen Put-Option
kann sein Recht, den Basiswert zu kaufen bzw. zu verkaufen, vom Erwerb der Option bis zum
Verfallszeitpunkt
T
jederzeit ausüben.
Mit dieser Denition stellt sich die Frage:
Wann ist es für den Optionsnehmer sinnvoll, sein Recht auszuüben?
Wir betrachten aus Vereinfachungsgründen den europäischen Put zum Fälligkeitstermin
t=T
aus Sicht des Optionsnehmers. Es ergeben sich genau drei Ausgangsszenarien für den Kurs des
Basiswertes am Verfallstag der Option:
1. Der Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin
Ausübungspreis
K.
ST
ist
kleiner als der vorher vereinbarte
Die Option bendet sich im Geld (in the money ). Der Besitzer der
4
Put-Option übt sein Recht aus und erhält für den Verkauf des Basiswertes den höheren
Preis
K
anstatt dem am Markt gezahlten
ST
Geldeinheiten.
2. Der Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin
Ausübungspreis
K.
ST
ist
gleich
dem vorher vereinbarten
Die Option bendet sich am Geld (at the money ). Der Besitzer kann
sein Recht verfallen lassen oder ausüben, da er keine Vorteile oder Nachteile dadurch erhält.
3. Der Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin
Ausübungspreis
K.
ST
ist
gröÿer als der vorher vereinbarte
Die Option bendet sich aus dem Geld (out of the money ). Auch hier
würde der Optionsnehmer sein Verkaufsrecht nicht ausüben, da er am Markt den höheren
Preis erzielen kann.
Im 2. und 3. Fall ist die Option wertlos und verfällt am Laufzeitende. Es ist festzuhalten, dass
sich eine Call-Option gegensätzlich zur Put-Option verhält. Das Verhalten der Optionsbesitzer
ist anschaulicher, wenn man sich die Auszahlungsfunktionen (payo functions ) ansieht:
Call:
C(S, T ) = (ST − K)+ := max{0, ST − K},
(2.1a)
Put:
+
(2.1b)
P (S, T ) = (K − ST ) := max{0, K − ST }
Aus denen in Abbildung 2.1 abgetragenen Gleichungen (2.1a) und (2.1b) wird ersichtlich, dass
Abbildung 2.1.: Die linke Abbildung bildet die Auszahlungsfunktion einer Kaufoption aus Gleichung (2.1a) bei einem Ausübungspreis von
K = 50
ab. Die rechte Abbildung
bildet die Auszahlungsfunktion einer Verkaufsoption aus Gleichung (2.1b) bei
einem Ausübungspreis von
K = 50
ab. Beide Abbildungen wurden aus [30]
übernommen.
eine Option eine nichtnegative Zahlung in der Zukunft zusichert. Daher muss der Optionserwerber eine Optionsprämie beim Kauf der Option bezahlen. Es liegt die Frage nahe, welche
Parameter den Optionswert bestimmen, da die Höhe der Zahlung unsicher ist. In die allgemeine
Optionsbewertung ieÿen folgende Parameter ein:
1. Kurs des Basiswertes
S0
zum Zeitpunkt
t = 0,
5
2. Ausübungspreis
K,
3. Laufzeit der Option
T,
4. risikofreier Zinssatz
rf ,
5. Volatilität
σ
des Basiswertes,
wobei die Volatilität besonders für das Modell von Black-Scholes oder für darauf basierende
Modelle einen enormen Stellenwert hat. Die Berechnungen der Volatilität beziehungsweise der
impliziten Volatilität, die wir später noch durchführen werden, haben Auswirkungen auf die
Ergebnisse des Modells. Die Volatilität deniert sich genauer wie folgt:
Denition 2 (Volatilität).
Die Volatilität
σ des Basiswertes beschreibt die Unsicherheit, wie sich
der Kurs des Basiswertes in der Zukunft verhält; sie stellt die sogenannte Standardabweichung
des Log-Returns der Aktie dar.
Die Modelle können von weiteren Einüssen abhängen. Diese Einüsse werden durch zu implementierende Parameter im Modell repräsentiert und können von Modell zu Modell unterschiedlich sein. Die für uns relevanten Einüsse werden in Abschnitt 2.2.2 vorgestellt und ins Modell
implementiert.
2.1.1. Anwendungen von Optionen
Die Optionen werden in zwei groÿen Gebieten der Finanzwirtschaft verwendet. Einerseits sind es
Spekulationen, die bei Optionsgeschäften eine Rolle spielen, andererseits sind es Hedgegeschäfte,
die man auch als Kurssicherungen bezeichnet.
Spekulationsgeschäfte:
Bei Spekulationsgeschäften erwartet der Käufer einer Option, dass der
Preis des Basiswertes sich zum eigenen Vorteil im Vergleich zum Preis der Option verändert,
sodass er mit der Option Gewinn macht. Beim Besitz einer Call-Option muss der Preis des
Basiswertes steigen und beim Besitz einer Put-Option natürlich fallen. Wir werden dies anhand
eines Beispiels aus [30][Seite 5, Beispiel 1] für eine Call-Option auf eine Aktie verdeutlichen:
Beispiel (Spekulation).
Ein Spekulant, der davon ausgeht, dass der Kurs einer bestimmten Aktie
innerhalb der nächsten zwei Monate steigt, kauft Call-Optionen auf dieses Wertpapier.
Angenommen derzeit sei der Aktienpreis
einem Ausübungspreis von
beträgt
c=
EUR
1.
K =
EUR
35
S0 =
EUR
30
und der Wert einer Call-Option mit
und einer Laufzeit von zwei Monaten (T
= 0.1666)
Dann investiert der Spekulant in diesem Fall einen Betrag in Höhe von EUR
3.000. So kann er 3.000 Optionen erwerben.
Tritt nun der vorhergesagte Fall ein und der Wert der Aktie liegt zwei Monate später bei
EUR
EUR
50,
35,
so löst er seine Optionen ein und kauft die Aktien für den vereinbarten Preis
wobei er sie unmittelbar danach für den höheren Marktpreis
ST = EUR 50
ST =
K =
wieder ver-
kauft. Damit erzielt er einen Gewinn für den Optionskauf, wenn man die Dierenz der heutigen
zu leistenden Zahlungen mit den zukünftigen zu erhaltenen Zahlungen betrachtet, von insgesamt:
3.000 · (EUR 50 − EUR 35) − EUR 3.000 = EUR 42.000.
6
Bei direkter Investition seiner EUR 3.000 könnte der Spekulant heute 100 Aktien erwerben, die
zwei Monate später mit einem Verkauf einen Prot von:
100 · (EUR 50 − EUR 30) = EUR 2.000
erwirtschaftet hätten. Dieser ist aber nur 1/21 des Gewinns, den man mit der Optionsspekulation
erzielt hat. Allerdings muss an dieser Stelle auch darauf hingewiesen werden, dass der Verlust
beim Spekulieren mit Optionen bei entgegengesetzter Kursentwicklung höher gewesen wäre als
beim Spekulieren mit Aktien.
Angenommen der Aktienpreis beträgt nach den zwei Monaten
ST =
EUR
20,
so hätte der Op-
tionsspekulant seine erworbenen Optionen verfallen lassen, somit wäre der Kaufpreis von EUR
3.000 sein Verlust gewesen. Beim direkten Aktienkauf hätte er dagegen nur
100 · (EUR 30 − EUR 20) = EUR 1.000
verloren.
Hedgegeschäfte:
Der Kauf einer Option für Hedgegeschäfte (auch Kurssicherungsgeschäfte ge-
nannt) wird allgemein als Hedging bezeichnet. Hierbei wird die Option als Absicherung gegen
unerwünschte Preisschwankungen des Basiswertes benutzt. Wir verdeutlichen dies erneut an einem Beispiel aus [30][Seite 5., Beispiel 2].
Beispiel (Hedging).
Ein europäisches Unternehmen benötigt im kommenden Jahr eine Maschine
aus den Vereinigten Staaten für USD 1.000.000, die innerhalb eines Jahres bezahlt werden müssen. Um sich gegen die Wechselkursschwankungen zwischen den beiden Währungen abzusichern,
kauft das Unternehmen 10.000 Call-Optionen mit den folgenden Eigenschaften:
c = EUR 1, T = 1
Jahr,
K = EUR 1.
Jeder Optionsschein liefert das Recht, USD 100 zum Preis von 1 EUR/USD zu kaufen.
Beträgt der Wechselkurs nach einem Jahr 1.1 EUR/USD, so löst das Unternehmen die Optionsscheine ein und kauft USD 1.000.000 zum Kurs von 1 EUR/USD. Das Unternehmen hat also
insgesamt EUR 1.010.000 ausgegeben anstatt der sonst fälligen EUR 1.100.000. Damit erzielte
das Unternehmen einen Gewinn von EUR 100.000 abzüglich der gezahlten Optionsprämie.
Liegt der Wechselkurs nach einem Jahr dagegen bei 0.9 EUR/USD, so wird das Unternehmen
die USD 1.000.000 am Markt kaufen und die Optionsscheine verfallen lassen. Das Unternehmen
hat keinen Gewinn erzielt; sein Verlust entspricht gerade der Optionsprämie.
Die Gesamtkosten des Dollarkaufs betragen also in jedem Fall nicht mehr als EUR 1.000.000
zuzüglich dem Optionspreis von insgesamt EUR 10.000. Der Preis, den das Unternehmen für die
Call-Optionen zahlt, hat die Bedeutung einer Versicherungsprämie.
Insgesamt muss das Unternehmen also entscheiden, ob der mögliche Gewinn in Höhe von EUR
90.000 den möglichen Verlust von EUR 10.000 kompensiert und daraufhin seine Strategie festsetzen.
2.2. Das Modell
In diesem Abschnitt wird das allgemeine Gleichgewichtsmodell für Kapital und Optionspreise
aus dem Paper [4] von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein vorgestellt und näher erläutert.
7
Zunächst werden die nötigen stochastischen Denitionen eingeführt und die verwendeten Sätze
zitiert. Nachdem in Abschnitt 2.2.2 die Dynamik des Modells entwickelt wurde, werden in Abschnitt 2.2.3 die Ermittlung der wichtigen Finanzmarktgröÿen vorgestellt. Dabei ist es beim Verizieren des Preises der Aktie beispielsweise notwendig, die Dynamik unter einem weiteren Maÿ
mittels des Theorem von Girsanov A.1.2 zu berechnen. Die Ergebnisse für den Preis-KonsumQuotienten in Satz 2.2.3 sind für unsere spätere mathematische Betrachtung der Problematik
von besonderem Interesse.
Für tiefergehende Einblicke ist ergänzende Literatur zum Thema der Stochastik auf Finanzmärkten beispielsweise [26] sowie [13] zu empfehlen.Weiterhin werden in Abschnitt 2.2.3 ergänzende
Gröÿen des Modells eingeführt mit denen dann signikante Finanzmarktgröÿen beschrieben werden. Dabei werden bekannte Modelle wie der des Nutzenindex von Epstein und Zin aus [15]
sowie weitere marktbeschreibende Indizes in das von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein
entwickelte Modell eingebettet.
2.2.1. Stochastische Grundlagen
Im weiteren Verlauf des Kapitels wird die Dynamik des Modells erläutert. Die Dynamik besteht aus dem Zustandsverlauf, der vergleichbar mit dem erwarteten Wirtschaftswachstum ist,
dem Konsumverlauf als makroökonomischen Gröÿe und dem Dividendenverlauf als Gröÿe des Finanzmarktes. Um die Verläufe zu verstehen, benötigt man noch grundlegende Denitionen und
Erkenntnisse der Stochastik, die am Anfang dieses Abschnittes erläutert werden. Hierbei halten
wir uns mit den Denitionen und Sätzen an [23].
Der Wahrscheinlichkeitsraum
Zunächst werden wir einige aufbauende Denitionen aus der Stochastik einführen, um damit den
Wahrscheinlichkeitsraum denieren zu können. Diesen benötigen wir um mit den Unsicherheiten,
die wir später in das Modell mit einbauen werden, umgehen zu können. Wir beginnen mit
Denition 3
(Ergebnisraum)
.
Eine Menge
steht für alle möglichen Ereignisse
ω.
Ω
heiÿt Ergebnisraum, dass bedeutet die Menge
Ein Element
ω ∈ Ω repräsentiert
Ω
eine mögliche Realisation
von allen möglichen Ereignissen des Modells. Ein Ereignis ist eine Untermenge von
Ω.
Grundlage des im weiteren Verlauf einzuführenden Informationslters wird die folgende Denition sein:
Denition 4
von
Ω
1.
(σ -Algebra)
.
F
heiÿt
σ -Algebra
in
Ω,
falls
F
eine Sammlung von Untermengen
mit den Eigenschaften
Ω ∈ F,
2. für jede Menge
3. falls
F
in
F1 , F2 , . . . ∈ F
F
gilt, dass das Komplement
Fc ≡ Ω \ F
ist, dann ist auch die Vereinigung
∪∞
n=1 Fn
auch in
in
F. F
F
ist,
ist eine Sammlung
an Ereignissen, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann,
ist.
Bevor wir zum Wahrscheinlichkeitsraum kommen, sei an dieser Stelle noch das Wahrscheinlichkeitsmaÿ deniert:
8
Denition 5
(Wahrscheinlichkeitsmaÿ). P heiÿt Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf Ω, falls die FunkP : F → [0, 1] mit P(Ω)
1 die Eigenschaft hat, das für jede Sequenz A1 , A2 , . . . disjunkter
P=
∞
∞
Ereignisse P (∪m=1 Am ) =
m=1 P(Am ) gilt.
tion
Der für unser Modell benötigte Wahrscheinlichkeitsraum setzt sich aus den drei oberen Denitionen zusammen, genauer:
Denition 6
wobei
Ω
.
(Wahrscheinlichkeitsraum)
der Ergebnisraum,
F
Ein Trippel
σ -Algebra
die
und
P
(Ω, F, P)
heiÿt Wahrscheinlichkeitsraum,
das Wahrscheinlichkeitsmaÿ ist.
Ein mögliches Ereignis kann man formal als Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) ist eine reellF -messbar ist. F -messbar bedeutet, dass für jedes I ⊆ R die Menge
in F ist. Das heiÿt, es kann eine Wahrscheinlichkeit dafür festgesetzt
Zufallsvariable einen Wert in I trit.
modellieren. Eine Zufallsvariable
Ω,
{ω ∈ Ω | X(ω) ∈ I}
wertige Funktion auf
werden, dass die
die
Im Nachfolgenden werden wir die Ereignisse auf unserem Wahrscheinlichkeitsraum als Tagesereignisse betrachten. Die jeweiligen Werte für einen Tageszustand unseres Modells sind dann in
einem Ereignis gespeichert, sodass der Ergebnisraum
schritte umfasst. Sei
τ = {0, 1, 2, . . . T }
Ω
alle möglichen Ereignisse für alle Tages-
die aufsteigend geordnete Indexmenge der Zeitschritte,
die in unserem Modell gemacht werden.
Informationen
Für unser Modell ist es wichtig, die Informationen zu berücksichtigen, die in je-
dem Zeitschritt dazu gewonnen werden. Hierdurch schränken sich die Realisationskombinationen
der möglichen Ereignisse ein. Man bedenke beispielsweise die Dividende, die in einem Zeitpunkt
t∈τ
ausgezahlt wird oder die Konsums- und Investitionsentscheidungen, die von anderen Indi-
t getroen
(Ft )t∈τ ein.
viduen zum Zeitpunkt
wir die Filtrierung
Denition 7
genannt, falls
werden. Dies alles muss berücksichtigt werden. Hierfür führen
(Informationslter)
(Ft )t∈τ
.
(Ft )t∈τ
heiÿt Filtrierung oder hier auch Informationslter
aufsteigend geordnet ist, das heiÿt, dass für alle
s, s0 ∈ τ, s < s0 : Fs ⊆ Fs0
gilt.
Falls die Informationen
(Ft̃ )t̃∈τ
Ft̃ ∈ F
t̃
zum Zeitpunkt
bekannt sind, setzt sich der Informationslter
aus den festgesetzten Realisationen für die ersten
der möglichen Ereignisse für den Zeitraum ab
Bemerkung. Zu Beginn
t=0
des Modells ist
t̃
t̃-Zeitschritte
bis zum Endzeitpunkt
F0 = {∅, Ω}.
und den Kombinationen
T
zusammen.
Am Ende der Laufzeit
T
ist
FT
die
Kombination der realisierten Ereignisse.
Somit kann man zusammenfassend den gelterten Wahrscheinlichkeitsraum als
schreiben. Für das Modell wird es hinterher wichtig sein, den Informationsteil
t̃
(Ω, F, {Ft̃ }, P)
Ft̃
, der zur Zeit
bekannt ist, mit im Erwartungswert zu berücksichtigen.
Daher wird nun der bedingte Erwartungswert eingeführt. Der bedingte Erwartungswert berücksichtigt zum Zeitpunkt
t
die bekannten Informationen
Ft . Man schreibt
E [X | Ft ] = Et [X]
für den bedingten Erwartungswert.
9
Bemerkung. Wir nehmen an, dass die Informationen zum Zeitpunkt 0 trivial sind, das heiÿt:
E0 [X] = E [X]. Des Weiteren nehmen wir an, dass sich die möglichen
T in einer Realisation gefestigt haben, sodass ET [X] = X gilt.
Realisationen zum Zeit-
punkt
Ein wichtiges Theorem über bedingte Erwartungswerte, welches auch einen praktischen Hintergrund hat, ist das Gesetz der iterierten Erwartungswerte.
Satz 2.2.1
(Das Gesetz der iterierten Erwartungen). Falls F und G zwei σ -Algebren sind mit
F ⊆ G und X ist eine Zufallsvariable, dann gilt E [E [X | G] | F] = E [X | F]. Genauer, falls
(F)t∈τ ein Informationslter und t0 > t, haben wir
Et [Et0 [X]] = Et [X] .
Man kann diese Erkenntnis auf die Varianz und die Covarianz erweitern, da wir diese aber in
unserer Arbeit nicht benötigen, sei auf [23][Seite 19 .] verwiesen.
Stochastische Prozesse
Mit diesen Grundlagen ist es nun möglich, die stochastischen Prozesse einzuführen auf denen
die Modelldynamiken aufbauen. Es sei an dieser Stelle nochmals daran erinnert, dass eine Zufallsvariable eine Funktion von
aus
T
Ω
nach
ist. Ein stochastischer Prozess ist ein Vektor, der sich
R
Zufallsvariablen zusammensetzt, sodass für jeden Zeitpunkt ein Eintrag im Vektor mit
einer Zufallsvariablen vorhanden ist. Denieren wir zunächst noch die Martingale, die wir als
Spezialfall eines stochastischen Prozesses behandeln wollen.
Denition 8 (Martingale).
bezogen auf das Wahrscheinlichkeitsmaÿ
t, t0 ∈ τ
mit
t < t0
X = (Xt )t∈τ Martingal
Informationslter (Ft )t∈τ , falls für alle
Wir sagen zu einem stochastischen Prozess
P
und dem
Et [Xt0 ] = Xt
gilt. Das bedeutet, dass der Erwartungswert des zukünftigen Prozesses, der mit den Informationen zum Zeitpunkt
t
gebildet wird, dem Wert der Zufallsvariablen vom Zeitpunkt
t
entspricht.
Man bezeichnet diese Eigenschaft als faires Spiel.
Ein weiterer Spezialfall ist der Markov Prozess. Er sagt aus, dass alle Informationen aus der
Vergangenheit bereits im aktuellen Wert enthalten sind. Formal ausgedrückt:
P (Xt0 ∈ A | (Xs )s≤t ) = P (Xt0 ∈ A | Xt ) .
Es existieren viele stochastische Prozesse, die in den verschiedensten Modellen die Unsicherheit wiedergeben. In unserem Modell soll die Brownsche Bewegung diesen Teil übernehmen.
Wir werden im Folgenden die Standard Brownsche Bewegung denieren, sowie weiter Sätze und
Eigenschaften erläutern und danach unser Modell mit Hilfe der gewonnenen Erkenntnisse vorstellen.
Bisher sind wir von einem zeitdiskreten Modell ausgegangen. Wir verwenden im Folgenden die
Erkenntnisse aus dem zeitdiskreten Fall für das neue zeitstetigen Modell, welches wir betrachten
wollen. Dabei werden wir gröÿtenteils auf die Denitionen aus [23][Seite 26 bis 32] zurückgreifen.
10
Standard Brownsche Bewegung
Ein stochastischer Prozess
z = (zt )t∈[0,T ]
heiÿt Standard
Brownsche Bewegung, falls er folgende Bedingungen erfüllt:
z0 = 0,
1.
2. die Zuwächse sind normalverteilt, dass heiÿt für alle
3. für alle
0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn
t, t0 ≥ 0 mit t < t0 : zt0 −zt ∼ N (0, t0 −t),
sind die Zufallsvariablen
zt1 − zt0 , . . . , ztn − ztn−1
unabhängig
voneinander.
4. Die einzelnen Pfade von
z
sind
P-fast
sicher stetig.
Abbildung 2.2.: Dies ist ein realisierter Pfad der Standard Brownschen Bewegung im Intervall
[0, 1]
mit 200 Zeitschritten
Ein simulierten Pfad der Standard Brownschen Bewegung ist in der Abbildung 2.2 zu sehen.
Man beachte, dass es sich hierbei wirklich nur um eine Realisation der Brownschen Bewegung
handelt.
Diusionsprozess
Wir denieren mit Hilfe der Standard Brownschen Bewegung
konstanten Startwert
X0
σ(Xt , t)
und einem
den Diusionsprozess, der für unser Modell später eine tragende Rolle
einnimmt. Hierfür sind weitere Werte notwendig. Wir bezeichnen
und
z
µ(Xt , t)
als den Driftterm
als die Volatilität des stochastischen Prozesses. Hierbei ist zu beachten, dass der
Driftterm und die Volatilität jeweils Funktionen in Abhängigkeit der Zeit und des derzeitigen
Wertes von
Xt
sind. Es wird für einen innitesimal kleinen Zeitschritt
[t, t + dt] der stochastische
Prozess formal geschrieben als Diusionsprozess
dXt = µ (Xt , t) dt + σ (Xt , t) dzt ,
wobei
dzt
(2.2)
eine Standard Brownsche Bewegung ist. Man erkennt leicht, dass für ein innitesimal
kleines Intervall
[t, t + dt]
der Erwartungswert und die Varianz gegeben sind als
Et [dXt ] = µ (Xt , t) dt,
Vart
11
[dXt ] = σ (Xt , t)2 dt.
Man kann die Veränderung des Diusionsprozesses für jedes Intervall
schreiben als
Z
t0
Xt0 − Xt =
Z
nach [23][Seite 31]
t0
µu du +
t
[t, t0 ]
σu dzu .
(2.3)
t
Abbildung 2.3.: Dies sind zwei realisierte Pfade des Diusionsprozesses mit Startwert
X0 = 10
µ = 0.1, σ1 = 0.2
mit 200
und Parametern
und
σ2 = 0.5
im Intervall
[0, 1]
Zeitschritten.
Sprungprozesse
Es gab im letzten Jahrhundert einige Finanzmarkteinbrüche, zum Beispiel den
Schwarzen Montag 1987. Die plötzlichen und unerwarteten Bewegungen auf dem Finanzmarkt,
sollten auch in das Modell implementiert werden.
Um diese Sprünge einbauen zu können, eignen sich Poisson Prozesse.
Denition 9 (Poisson-Prozess).
(Ω, F, P)
heiÿt Poisson-Prozess
Ein stochastischer Prozess über dem Wahrscheinlichkeitsraum
Pλ,t
mit Intensität
λ
und
t ∈ [0; ∞),
falls folgende drei Bedin-
gungen erfüllt sind:
1
Pλ,0 = 0(P-fast
2
Pλ,t − Pλ,s ∼ f p ((t − s); λ)∀s < t.
sicher
Dabei bezeichnet die Poisson-Verteilung
nachfolgender Gleichung (2.5) mit Parameter
f p (n; λ)
aus
λ · (t − s).
n ∈ N eine Folge 0 < t1 < · · · < tn gegeben. Dann ist die Familie
Pλ,ti − Pλ,ti−1 | 2 ≤ i ≤ n von Zufallsvariablen stochastisch unabhängig.
3 Sei für
Allgemeiner deniert man einen Zählprozess, wovon der Poisson-Prozess ein Spezialfall ist.
Denition 10 (Zählprozess).
für Zwischenankunftszeiten
Ein stochastischer Prozess
(τi )i∈N
N = (N (t))t≥0
heiÿt Zählprozess, wenn
gilt:
N (t) =
X
i
12
1{τi ≤t}
(2.4)
Die Poisson-Prozesse sind zum Simulieren seltener Ereignisse sehr gut zu verwenden. Im Versicherungswesen werden damit zum Beispiel Störfälle an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen und Flugzeugabstürze modelliert. Die Poisson-Verteilung zu einem Parameter
λ
ist
gegeben durch
f p (n; λ) =
λn e−λ
.
n!
(2.5)
Sie ist eng verbunden mit der Exponentialverteilung
f e (n; λ) = 1 − λn e−λ
für
n ≥ 0.
Mit der Proposition 2.11 aus [13][Seite 47] folgt
Satz 2.2.2.
λ,
(τi )i≥1 unabhängig exponentialverteilte
jedes t > 0, dass die Zufallsvariable
Seien
dann gilt für
Nt = inf{n ≥ 1,
n
X
Zufallsvariablen mit dem Parameter
τi > t}
(2.6)
i=1
poissonverteilt ist mit Parameter
λt.
Beweis: Siehe Beweis der Proposition 2.11 in [13][Seite 47 .].
Bemerkung. Es sei noch anzumerken, dass der Erwartungswert im Intervall
[t, t + dt]
sich ergibt
als
E [dN ] = λdt.
(2.7)
Abbildung 2.4.: Dies sind zwei realisierte Pfade eines Poisson Prozesses mit unterschiedlichen
Parameter
λ1 = 2
und
λ2 = 5
im Intervall
[0, 1]
mit 200 Zeitschritten.
Wir haben nun alle notwendigen stochastischen Grundlagen eingeführt, um mit unserer Modellierung des Modells beginnen zu können. Für Fragen in diesem Bereich der Stochastik bieten sich
[13] und [23] an.
13
2.2.2. Die Dynamik des Modells
Wir nehmen für unser Modell die Existenz eines Standard ltrierten Wahrscheinlichkeitsraumes
(Λ, F, {Ft }, P) an, auf demP
ein Vektor z(t) mit drei unabhängigen Brownschen Bewegungen und
einem Zählprozess N (t) =
i 1{τi ≤t} für eine Sequenz von Zwischenankunftszeiten τi , i = 1, 2, . . .
existiert. Wir indizieren die drei unabhängigen Brownschen Bewegungen mit x, C und D um
ihre Zugehörigkeit zum Zustandsprozess, zum Konsumprozess und zum Dividendenprozess zu
signalisieren, das heiÿt, wir haben einen Vektor


zx (t)
z(t) := zC (t) .
zD (t)
N (t) ein reiner Sprungprozess und infolgedessen
z(t) (in dem Sinne, dass die quadratische Kovarianz gleich Null ist) ist. Vergleiche
Es sei hier angemerkt, dass nach Konstruktion
unabhängig von
zur Konstruktion [4][Appendix B.1].
Zustandsverlauf
Zunächst wird der Prozess
Xt
eingeführt. An diesem Prozess kann man den
Zustand des Modells ablesen. Man vergleicht ihn mit der erwarteten Wachstumsrate aus der
realen Welt. Er spiegelt also den Wohlstandsverlauf der Ökonomie wieder. Im Folgenden sei
dieser Prozess Zustandsprozess genannt. Der Zustandsprozess ist der Kern der Dynamik, da in
diesem Prozess der Sprungterm eingebaut ist und die anderen Prozesse von ihm abhängen. Wir
denieren unseren Zustandsprozess
dXt = µx (Xt )dt + σx (Xt )dzx (t) + ν̃dN (t)
als einen Markov Prozess mit den Parametern
µx (Xt ) = − κx Xt
√
σx (Xt ) =σx Ω,
und
κx die Rückholgeschwindigkeit (mean reversion parameter), Ω die Volatilität des Konsums
X0 = µν κλx der Startwert des Zustandsprozesses ist. Eingesetzt in die obere Gleichung ergibt
wobei
und
sich für den Zustandsverlauf
√
dXt = −κx Xt dt + σx Ωdzx (t) + ν̃dN (t)
(2.8a)
Betrachten wir nun den letzten Term in der Gleichung (2.8a), der unerwarteten Sprünge modelliert.
N (t)
ist ein Poisson Prozess, der die Sprungereignisse zählt (oben auch counting process
genannt). Somit weist
dN (t)
den gröÿten Teil der Zeit eine Null auf und nur ab und zu eine
Eins. Die Häugkeit des Auftretens einer Eins hängt von der Poissonsprungintensität
Erwartungswert von
dN (t)
[t, t + dt]
für ein innitesimal kleines Intervall
λ
ab. Der
ergibt sich als
E[d(N (t)] = λdt.
Da die Sprunghöhe nicht immer standardmäÿig die Gröÿe Eins haben soll, muss noch eine Zufallsvariable die Sprunghöhe steuern. Diesen Einuss übernimmt die normalverteilte Zufallsvariable
ν̃ . Sie ist zu den Parametern µν
(erwartete Sprunghöhe des Poisson Prozesses) und
abweichung des Sprungprozesses) normalverteilt. Die Dichte von
ν
σν
(Standard-
ist nach [19][Seite 9, Gleichung
2.21] gegeben durch
Φ(ν; µν , σν ) =
1
√
σν 2π
14
e
− 12
(ν−µν )2
2
σν
.
(2.8b)
Konsumverlauf
Der Konsumverlauf
Ct ,
der bereits mit seiner Volatilität
Ökonomie beeinusst, hängt vom Zustandsverlauf
Xt
Ω
den Zustand der
ab. Der Konsumverlauf ergibt sich als
√
dCt
= (µC + Xt )dt + ΩdzC (t),
Ct
wobei mit Anwenden der Itô Formel aus dem Anhang A.1.1, die Formel durch
ct ≡ log Ct
√
1
dct = µC + Xt − Ω dt + ΩdzC (t)
2
nach
(2.8c)
umgestellt werden kann. Die Berechnung ist ebenfalls als Anwendung der Itô Formel im Anhang
A.1 angeführt.
Dividendenverlauf
Als nächsten Schritt wird der Dividendenverlauf
Dt
modelliert. Hier ist dar-
auf zu achten, dass diesmal nicht nur eine direkte Abhängigkeit vom Zustandsverlauf im Driftterm
vorliegt, sondern zusätzlich zur Brownschen Bewegung des Dividendenprozesses
die Brownsche Bewegung des Konsumprozesses
zC
zD
auch noch
mit einem gewissen Korrelationskoezient
den Dividendenprozess beeinusst. Genauer
q
√ dDt
= (µD + φXt ) dt + σD Ω ρC,D dzC + 1 − ρ2C,D dzD ,
Dt
wobei
µD
φ die Gewichtung
σD die Standardab-
einen Einussfaktor auf die erwartete Wachstumsrate der Dividende,
Xt auf
und ρC,D
des Einusses vom Zustandsprozess
den Driftterm der Dividende,
weichung des Dividendenprozesses
(wie weiter oben schon angedeutet) die Korrelation
zwischen Konsum und Dividende wiederspiegelt. Wir können auch diesen Prozess mit Itô's Formel ähnlich zu den Berechnung des Konsumprozesses nach
δt ≡ log Dt
umstellen. Es ergibt sich
somit für den Dividendenverlauf
dδt =
q
√ 1 2
µD + φXt − σD
Ω dt + σD Ω ρC,D dzC + 1 − ρ2C,D dzD .
2
Bemerkung. Es sei hier angemerkt, dass der Index eines Wertes
(2.8d)
w, wie zum Beispiel wx in diesem
x ist. So kann der
Fall nicht die partielle Ableitung ist, sondern dies eine Zuordnung zum Prozess
Leser später die Werte von Zustand, Konsum, Dividende und Sprungterm auseinander halten.
Des Weiteren sei beispielsweise auf den Unterschied von
σx (Xt )
zu
σx
hingewiesen.
Es sind also in gewissen Zügen die Modelldynamiken wie auf dem Finanzmarkt miteinander
verknüpft. Die erwartete Wachstumrate (in unserem Modell der Zustandsprozess) wirkt sich auf
die Veränderung des Konsums und der Dividende aus und beeinusst sie damit direkt in ihrer
Entwicklung. Auch das Verhältnis von Konsum und Dividende wird mit Hilfe der Korrelation
berücksichtigt, dabei ist zu beachten, dass sich der Konsum mit seinen Schwankungen direkt
mit einem Dämpfungs- beziehungsweise Verstärkungsparameter (Φ
< 1
bzw.
Φ > 1)
auf die
Veränderung der Dividende auswirkt. In einem neueren Modell von Benzoni, Collin-Dufresne
und Goldstein aus dem Paper [5] wird versucht die Verknüpfung durch weitere stochastische
Prozesse und Abhängigkeiten zu optimieren und dadurch einen noch realistischeres Modell zu
gestalten.
15
2.2.3. Wichtige Modellwerte
Mit diesen drei Prozessen ist unsere Dynamik nun komplett. Wir haben die erwartete Wachstumsrate, den Konsum und die Dividende in das Modell mit eingebettet. Jetzt ist es möglich
das Modell weiter zu modizieren, indem weitere wichtige Modellspezikationen implementiert
werden.
Rekursiver Nutzen
Als nächster Schritt muss im Modell eine Möglichkeit bestehen, den Nut-
zenwert des Konsums zu bestimmen. Hierfür wird der rekursive Nutzen von Epstein und Zin [15]
eingeführt. Dieser hat den Vorteil, dass die Elastizität der intertemporalen Substitution (elasticity of intertemporal substition (EIS)) mit dem Koezienten
aversion) mit dem Risikoaversionskoezient
γ
voneinander getrennt in die Nutzengleichung (2.9)
mit eingehen. Wir verwenden den Nutzenindex
U (t) =
1−e
−βdt
Ct1−ρ
1
ρ und die Risikoaversion (risk
Ψ=
U (t),
+e
−βdt
der die rekursive Gleichung
1−γ
Et U (t + dt)
1−ρ
1
1−ρ
1−γ
(2.9)
erfüllt, um die Präferenzen eines repräsentativen Marktteilnehmers für den Konsumprozess
zu messen. Die Formulierung in diskreter Zeit von Gleichung (2.9) für
dt = 1
{Ct }
wurde von Kreps-
Porteus/Epstein-Zin als Spezialfall der zeitstetigen Formulierung in [4] behandelt.
Bemerkung. Falls EIS>
1
gilt, bedeutet dies, dass der intertemporale Substitutionseekt den
Wohlstandseekt dominiert. Damit folgt für ein höheres erwartetes Wachstum, dass die Nachfragefunktion der repräsentativen Marktteilnehmer steigt. Mit einer wachsenden Nachfrage, steigen
auch die Preise. Demnach wird der Preis-Konsum Quotient (später
Quotient (später
L)
I ) und
der Preis-Dividenden
wachsen. Wir werden später anhand der Gleichung für das Risikopremium
sehen, dass diese beiden Werte sich positiv auf das Risikopremium auswirken. Genauer bedeutet
dies, dass wenn das erwartete Wachstum sich gut entwickelt, die Rendite positiv ist beziehungsweise falls das erwartete Wachstum schlecht ist, die Rendite auch schlecht ausfällt. Zusammenfassend kann man sagen, dass diese Kausalität das Risikopremium steigen lässt.
ρ 6= 1 und γ 6= 1 und
ρ = 1 oder γ = 1 aus, bei dem eine mäÿige Risikoaversion
Wir beschränken uns in der weiteren Arbeit überwiegend auf die Hauptfälle
schlieÿen somit jeglichen Spezialfall mit
der Agenten und keine Dominanz vom intertemporalen Substitutionseekt oder Wohlstandseekt
vorliegt. Die Spezialfälle sind im Paper [4] nachzuschlagen. Bei den Hauptfällen überspringen wir
die Herleitung, weil sie in [4][Anhang B, Herleitung zur Proposition 1 und 2] ebenfalls zu nden
sind.
mers
1−γ
x
uγ (x) = (1−γ)
für γ 6= 1 denieren wir die Wertefunktion des MarktteilnehJ(t) = uγ (U (t)) oder auch normalisierter Nutzenindex genannt. Mit einigen Rechnungen,
Mit der Hilfsfunktion
Optimierungen, die wieder in [4] nachzuschlagen sind, und der Annahme, dass Markträumung
vorliegt, ergibt sich für den normalisierter Nutzenindex die Formel
J(t) =
wobei das
I
den
ect (1−γ) θ
β I(Xt )θ ,
1−γ
Preis-Konsum-Quotienten
(2.10)
bezeichnet. Das Lösen dieses Quotienten wird
das Hauptproblem im Verlauf dieser Arbeit darstellen, siehe für die mathematische Analyse des
Quotienten in Kapitel 4, für die numerisch Approximation des Quotienten in Kapitel 5 und für
die Implementierung des Quotienten in die Simulation in Abschnitt 7.1. Die weiter oben schon
16
angesprochene Proposition 1 im Anhang B von [4] verknüpft mit ihrer Aussage den normalisierten
Nutzenindex mit dem Preis-Konsum-Quotienten wie folgt
Satz 2.2.3
.
(Proposition 1)
Angenommen
I ∈ L∞ (U ) ∩ H 1 (U )
mit
U ⊂ R
löst die folgende
Gleichung
h
i
γ
0 =I (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ − κx xθIx
2 1
Ix
+ σx2 Ωθ (θ − 1)( )2 I + Ixx + λIJ I θ + θ
2
I
Z ∞
I(x + ν)
mit J I(x) =
g(ν)dν − 1
I(x)
−∞
und erfüllt die Transversalitätskonditionen (transversality condition:
(2.11)
limT →∞ E[J(T )] = 0), dann
ist die Wertefunktion gegeben durch die Gleichung (2.10). Der dazugehörige Pricing Kernel ist
durch folgende Gleichung
−
R t
Π(t) = e
0
(1−θ)
s)
βθ+ I(X
ds
(Ct )−γ (I(Xt ))(θ−1)
(2.12)
bestimmt.
Beweis: Beweis siehe allgemeinen Fall in [4][Seite 41].
Der in Gleichung (2.12) auftretende Pricing Kernel spiegelt den Wert einer monetären Einheit
im jeweiligen volkswirtschaftlichen Zustand wider. Das heiÿt, man multipliziert an eine zu bewertenden monetäre Einheit den Pricing Kernel und bekommt als Ergebnis den Wert der monetären
Einheit gemessen am aktuellen volkswirtschaftlichen Zustand respektive an der Nutzenfunktion
des repräsentativen Marktteilnehmers. Diese Anwendung ist bei der Bewertung von Optionen
ein Bestandteil, der berücksichtigt werden muss, da ansonsten nicht die nanzielle Situation des
Marktteilnehmers berücksichtigt würde, die eine wichtige Rolle bei nanziellen Entscheidungen
spielt. [31][Seite 12]
Bemerkung. Es sei hier noch kurz auf die Parameter in den Gleichungen (2.11) und (2.12) eingegangen. Bis auf wenige sind die meisten Parameter aus den Modelldynamiken bereits bekannt.
Der neu auftretende Parameter
θ
ist eine Funktion
θ :=
in Abhängigkeit vom Risikoaversionskoezient
(time discount factor coecient)
Risikofreie Zinsrate
β
1−γ
1−ρ
γ
und dem EIS
(2.13)
Ψ=
1
ρ . Der zeitliche Abzinsfaktor
ist ein weiterer wichtiger Parameter in unserem Modell.
Mit Hilfe der im oben angeführten Paragraphen gewonnenen Gleichung
für den Pricing Kernel (2.12) können wir dessen Dynamik als stochastischen Prozess über die
Zeit schreiben. Es ergibt sich für
Π
nach einer speziellen Anwendung von Itô's Formel unter
17
Berücksichtigung von Sprungprozessen die nachfolgende Gleichung
Z t
(1 − θ)
(1 − θ)
dΠ = exp −
β, θ +
· (Ct )−γ I(Xt )θ−1 dt
ds · −βθ +
I(X
)
I(X
)
s
t
0
Z t
(1 − θ)
β, θ +
+ exp −
ds · (−γ) · (Ct )−γ−1 dCtdi I(Xt )θ−1
I(Xs )
0
Z t
(1 − θ)
β, θ +
+ exp −
ds · (Ct )−γ · (θ − 1) I(Xt )θ−2 dItdi
I(Xs )
0
Z t
2
(1 − θ)
1
β, θ +
ds · (−γ)(−γ − 1) (Ct )−γ−2 dCtdi · I(Xt )θ−1
+ · exp −
2
I(Xs )
0
Z t
2
(1 − θ)
1
β, θ +
+ · exp −
ds · (Ct )−γ · (θ − 1) (θ − 2) I(Xt )θ−3 dItdi
2
I(Xs )
0
Z t
(1 − θ)
β, θ +
ds · (−γ) · (Ct )−γ−1 (θ − 1)I(Xt )θ−2 dCtdi dItdi
+ exp −
I(Xs )
0
Z t
(1 − θ)
β, θ +
ds · (Ct )−γ I(Xt + ∆X)θ−1 dN (t)
+ exp −
I(Xs )
0
Z t
(1 − θ)
− exp −
β, θ +
ds · (Ct )−γ I(Xt )θ−1 dN (t),
I(Xs )
0
die wir nun durch
Π
dividieren, um dann die Dynamik vom Pricing Kernel zusammengefasst
schreiben können als
√
√ dΠ
=r(Xt )dt + −γ Ω − (θ − 1) Ω dzC (t)
Pi
√
√
Ix
+ (θ − 1)
Ω + (Xt )σx Ω dzx (t)
I
θ−1
I (Xt + ν)
− 1 dN (t).
+
I θ−1 (Xt )
(2.14)
Nehmen wir nun den Erwartungswert dieser Dynamik, haben wir einen Ansatz zum Berechnen
der risikofreien Zinsrate. Nach Proposition 2 in Anhang B aus [4] wird die risikofreie Zinsrate
durch die Formel
!
kσC (x)k2
kσC (x)k2
r(x) =β + ρ µC (x) +
− γ(1 + ρ)
2
2
1
θ−1 θ
θ−1
− (1 − θ)σI (x) σC (x) + σI (x) + λ(x)
JI −JI
2
θ
gegeben. Hierbei kann man
σC
aus dem Prozess für den Konsumverlauf in Gleichung (2.8c)
ablesen. Die Bestimmung der Standardabweichung vom Preis-Konsum-Quotienten
dahingehend noch eine Berechnung. Die Standardabweichung von
σI (X) =
wobei
Ix (X)
die Ableitung von
(2.15)
I
nach
1
Ix (X)σx (X)1{ρ6=1} ,
I(X)
x
bezeichnet.
18
I
I
benötigt
ist wie folgt deniert
(2.16)
Risikoneutrale Modelldynamik
Wir kommen nun zur risikoneutralen Dynamik, die uns bei
der Bewertung von Optionen helfen wird. Denn in einer Wirtschaft hängen die Aktienpreise zum
gröÿten Teil vom Risiko ab. Normalerweise verlangen die Investoren eine Prämie für das Eingehen
von Unsicherheiten beim Halten der Aktie. Daher unterscheidet sich meistens der heutige Preis
einer Aktie, die den Anspruch auf die morgige mit Risiko belegte Auszahlung darstellt, vom
Erwartungswert der zukünftigen Zahlung. Gewöhnlich sind die Investoren risiko-avers und der
heutige Preis liegt unter den Erwartungen, womit dann derjenige belohnt wird, der das Risiko
hält.
Ein Ansatz der Aktienbewertung kalkuliert als erstes den Erwartungswert der Aktie für den
morgigen Tag und berücksichtigt danach das Risiko in seiner Bewertung. Unser Ansatz der
risikoneutralen Dynamik berücksichtigt zuerst das Risiko, indem wir einen Wechsel der Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Theorems von Girsanov (Theorem A.1.2) und der Radon-NikodymAbleitung (Theorem A.1.3) durchführen, und bestimmen danach den Erwartungswert der Aktie
unter dem neuen Wahrscheinlichkeitsmaÿ. Das risikoneutrale Maÿ, welches wir dabei benutzen,
ist nur für Bewertungszwecke nutzbar und man kann mit ihr keine Aussage über die reale Welt
treen.
Die risikoneutrale Dynamik leiten wir aus der normalen Modelldynamik aus Abschnitt 2.2.2 her.
Da die Modelldynamik der realen Welt
√
dXt = −κx Xt dt + σx Ωdzx (t) + ν̃dN (t)
√
1
dct = µC + Xt − Ω dt + ΩdzC (t)
2
q
√ 1 2
dδt = µD + φXt − σD Ω dt + σD Ω ρC,D dzC + 1 − ρ2C,D dzD
2
der Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Q
P
unterliegt, muss beim Wechsel zur risikoneutralen Dynamik eine neue
bestimmt werden, die den Einuss des Risikos aus der realen Welt in
unserer Dynamik heraus rechnet. Mit dem Theorem von Girsanov (Theorem A.1.2) aus dem
Anhang und der Dynamik des Pricing Kernels von Seite 18 wird der Maÿwechsel von
P
nach
Q
durchgeführt. Wir erhalten unter Betrachtung der Unsicherheitsfaktoren für den Pricing Kernel
die Gleichungen
√
√
Q
dzC (t) =(1 − θ − γ) Ωdt + ΩdzC
(t)
√
Ix
2
dzx (t) = −κx Xt + (θ − 1) · σx Ω + (Xt )σx Ω
dt + σx ΩdzxQ (t)
I
und
Q
dzD (t) =dzD
(t),
um sie für die Brownschen Bewegungen der Dynamik unter
19
P einzusetzen. Damit überführen wir
die Dynamik in die risikoneutrale Dynamik
√
Ix
2
dXt = −κx Xt − (1 − θ) (Xt )σx Ω dt + σx ΩdzxQ (t) + ν̃dN (t)
I
√
1
Q
dct = µC + Xt − Ω
(t)
+γ
dt + ΩdzC
2
1
dδt = µD + φXt − σD Ω
σD + ρC,D γ
dt
2
q
√ Q
Q
+ σD Ω ρC,D dzC
+ 1 − ρ2C,D dzD
,
wobei die Brownschen Bewegungen
Q
Q
{dzxQ , dzC
, dzD
}
(2.17b)
(2.17c)
durch die Konstruktion aus den ursprüngli-
chen Brownschen Bewegungen unkorreliert sind. Für den Poisson Sprungprozess
unter der Wahrscheinlichkeit
(2.17a)
N
ändert sich
die Intensität zur
Q
λQ = λE P
Q-Intensität
I θ−1 (Xt + ν̃)
,
I θ−1 (Xt )
(2.17d)
die wir auch durch die Dynamik des Pricing Kernels erhalten.
Des Weiteren muss die Sprunghöhe an die neue Wahrscheinlichkeit angepasst werden, sodass sich
die
Q-Wahrscheinlichkeitsdichte
für die Sprunghöhe ergibt als
I θ−1 (Xt +ν)
I θ−1 (Xt )
Q
π (ν̃ = ν) = π(ν̃ = ν)
h
E
= π(ν̃ = ν)
I θ−1 (Xt +ν̃)
I θ−1 (Xt )
i
(2.17e)
I θ−1 (Xt + ν)
.
E [I θ−1 (Xt + ν̃)]
|
{z
}
=:exp(g(ν,Xt ))
Wir können also die Verteilungsfunktion von
ν̃ Q
durch die Wahrscheinlichkeitstransformation
schreiben als
1
π (ν̃ = ν) = √
2πσν
Q
ν
1 2
2
exp − 2 (x − µν ) − 2g (ν, Xt ) σν dx,
2σν
−∞
Z
Q
(2.17f )
womit wir die gesamte risikoneutrale Dynamik vorgestellt haben.
Preis-Dividenden-Quotient
L.
Eine wichtige Gröÿe des Modell ist der Preis-Dividenden-Quotient
Der Quotient wird über den Aktienpreis
V
und die Dividende
L=
D
deniert, das heiÿt
V
.
D
(2.18)
Nachdem wir später die aus dem Pricing Kernel und der risikofreien Zinssatzrate hergeleitete
Dierentialgleichung (2.20) nach
Dividenden-Quotienten
L
L
gelöst haben, können wir mit Hilfe der Denition des Preis-
den Wert der Aktie
V
zum Zeitpunkt
T
errechnen.
Wir beginnen bei der Herleitung mit dem Erwartungswert der Rendite für den nächsten Zeitschritt unter der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit
Q. Dieser ist nämlich nach Konstruktion der
risikolose Zinssatz für einen Zeitschritt. Es ergibt sich die Gleichung
EtQ
dV + D dt
= r dt.
V
20
Wir verwenden die Gleichung (2.18) um die letzte Gleichung zu
1
1 Q dL dD dD dL
1 Q dV
r− = E
= E
+
+
L
dt
V
dt
L
D
D L
(2.19)
umzuschreiben, um dann die gewonnene gewöhnliche stochastische Dierentialgleichung nach
L
zu lösen. Dafür setzen wir in Gleichung (2.19) die auf Seite 20 erarbeiteten Erkenntnisse ein,
womit sich dann die stochastische Dierentialgleichung zweiter Ordnung
Ix (x)
2
0 = 1 − r(x)L + L (µD + Φx − γρC,D σD Ω) + Lx (−κx x) + Lx (θ − 1)
σx Ω
I(x)
1 2
σx Ω + λQ E Q [L(x + ν̃) − L(x)]
+ Lxx
2
ergibt, wobei noch zu anzumerken ist, dass die Gleichung mit
(2.20)
L multipliziert wurde. Wir schreiben
den Erwartungswertterm der Gleichung (2.20) mittels der Wahrscheinlichkeitstransformation um
zu
Q
Q
λ E [L(x + ν̃) − L(x)] = λ ·
1
h
i
θ−1
E I (x + ν̃) L(x + ν̃) − L(x)
P
I θ−1 (x)
Wie oben bereits erwähnt, können wir jetzt mittels der Lösung
L
aus der Gleichung (2.20)
und dem Dividendenverlauf aus Gleichung (2.8d) den Aktienpreisverlauf nach Gleichung (2.18)
berechnen. Wir werden das Approximieren einer Lösung für die Gleichung (2.20) in Abschnitt 6
besprechen.
21
3. Monte-Carlo Simulation
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Monte-Carlo Methode. Sie wurde erstmals von
Boyle 1977 zur Bewertung von Optionen vorgeschlagen. Sie ist neben dem Binomialmodell und
der Finite-Dierenzen-Methode eine der gebräuchlichsten Methoden. Wir werden uns vorwiegend an die Literatur von [28][Kapitel 5] halten, die die benötigten theoretischen Grundlagen,
die Konvergenzeigenschaften und die Simulationsgenauigkeiten der Monte-Carlo Simulation behandelt.
Wir wollen im Folgenden das Optionsbewertungsmodell für den S&P 500 Index aus dem Paper
[4] vorstellen. In die Bewertung der Option zum Zeitpunkt
T
und der Ausübungspreis
K
t ieÿt der Aktienpreis Vt , die Laufzeit
t = 0, so kann
ein. Setzen wir den Zeitpunkt der Bewertung auf
man mit den Formeln
Call:
Put:
h RT
i
C̃(V0 , Xt , K, T ) = E e− 0 r(Xs )ds C(VT , T )
h RT
i
P̃ (V0 , Xt , K, T ) = E e− 0 r(Xs )ds P (VT , T )
(3.1)
(3.2)
mit der Auszahlungsfunktion für Call-Optionen
C(VT , T ) = (VT − K)+ := max{0, VT − K},
und der Auszahlungsfunktion für Put-Optionen
P (VT , T ) = (K − VT )+ := max{0, K − VT }
den Wert der Optionen berechnen. Die Formel wird in vielen anderen Modellen und Arbeiten
ebenfalls verwendet, siehe hierzu [28] oder [30]. In [28] wird analog zu unserer Vorgehensweise der
Diskontfaktor
RT
0
r(Xs )ds
aus der risikolosen Momentanverzinsung durch Integration gewonnen.
Diese Arbeit wird mit der in diesem Kapitel vorgestellten Monte-Carlo Methode eine Simulation zur Berechnung des Wertes der europäischen Call-Option erläutern. Hierbei wird der Wert
der Option über den Erwartungswert vieler realisierter Pfade berechnet. Es sind auch andere
Methoden zur Berechnung der in der Gleichung (3.1) auftretenden Erwartungswertes aus der
Literatur bekannt. Es sind hier nur einige angeführt: das Binomialmodell von Cox, Ross und
Rubinstein (1979), die Finite-Dierenzen-Methode, Huangs Methode (1996) und die Methode
von Balakrishna [2], die alle in [30] angesprochen werden.
3.1. Theoretische Grundlagen
Das aus der Theorie der Optionsbewertung zugrundegelegte allgemeine Problem, welches durch
die Monte-Carlo Simulation versucht wird zu lösen, kann man wie folgt formulieren:
22
Sei
W
Xt der beeinussende stochastische Prozess, der sich auch auf
φ(Xt , t) der Diskontfaktor des Modells.
Optionswert zum Ausgangszeitpunkt t = 0 mittels
h
i
W (Xt , T ) = E e−φ(Xt ,t) g(XT ) .
(3.3)
der gesuchte Optionswert, sei
die Auszahlungsfunktion
Dann ergibt sich der
g(XT )
auswirkt und sei zudem
Vergleicht man dies mit unserem Bewertungsmodell (3.1), erkennt man sofort den Zusammenhang. Wir beschränken uns, wie oben schon erwähnt auf die Bewertung einer europäischen CallOption
h RT
i
C(V0 , Xt , K, T ) = E e− 0 r(Xs )ds max(0, VT − K) .
(3.4)
Wie oben kurz angeführt, ist das Ziel der Monte-Carlo Simulation, den Erwartungswert der
Gleichung mittels einer numerischen Schätzung zu bestimmen. Dazu benötigen wir noch einige
theoretische Grundlagen wie Kolmogorovs starkes Gesetz der groÿen Zahlen. Das starke Gesetz
der groÿen Zahlen tätigt eine Aussage über das Konvergenzverhalten einer Folge von Zufallsvariablen. Es besagt, dass der Mittelwert
1
Sn
n
Xn =
einer fortlaufenden Summe
Sn =
n
X
(3.5)
ξi
i=1
von unabhängig, identisch verteilten Zufallszahlen
E[ξi ] = µξ
ξi
fast sicher gegen dessen Erwartungswert
konvergiert. Das heiÿt, es gilt fast sicher
Xn → µξ .
(3.6)
Vergleiche dazu [28][Kapitel 5].
Des Weiteren benötigen wir noch den zentralen Grenzwertsatz, der uns eine Aussage über die
Verteilung der eben erwähnten identisch und unabhängig verteilten Zufallsvariable in (3.5) mit
Erwartungswert (3.6) liefert. Er sagt aus, dass eine neue Zufallsvariable
Zn =
für
n → ∞
Sn − nµξ
√
σξ n
gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Im Falle der Zufallsvariable aus
(3.5) bedeutet dies
→
Xn
D
N (µξ ,
σξ2
n ). Vergleiche auch hier mit [28] bzw. [19][S. 18 .].
3.2. Grundsätzliche Vorgehensweise
Wir wollen in diesem Abschnitt die allgemeine Vorgehensweise (aus [28][Seite 63]) bei Bewertungsproblemen von Call-Optionen mit der Bewertungsformel (3.1) darstellen. Die Modelldynamik sei in diesem Abschnitt mit dem Vektor
x
zu identizieren, der Vektor umfasst also un-
ter anderem den Zustandsverlauf (2.8a), den Konsumverlauf (2.8c) und den Dividendenverlauf.
(2.8d).
23
1 Simulation von
n
Zufallspfaden der zugrundeliegenden Modelldynamik
x,
wobei hier die
risikoadjustierte Wahrscheinlichkeitsverteilung berücksichtigt werden muss.
r(Xt ) diskontierten Auszahlungscharakterisg(xi ) für alle n simulierten Zufallspfade, sodass sich für unseren Fall die Zufallsvariablen
2 Berechnung der mit dem risikofreien Zinssatz
tik
ξi := e−
RT
0
ri (Xs )ds
max(0, VTi − K)
ableiten lassen.
3 Berechnung des Mittelwertes der diskontierten Auszahlungscharakteristiken
ξi
gemäÿ der
Gleichung (3.5) aus Kolmogorovs starkem Gesetz der groÿen Zahlen, wonach wir den Erwartungswert
µg
gewinnen. Mit dem in Abschnitt 3.1 vorgestellten zentralen Grenzwertsatz,
können wir die Verteilung von
ξ
als
N (µξ ,
σξ2
n ) validieren.
In Kapitel 7 werden wir die Implementierung des Modells zusammen mit der Monte-Carlo Methode genauer thematisieren. Die hieraus resultierenden Ergebnisse werden dann in Kapitel 8
vorgestellt und nachfolgend diskutiert und mit den Ergebnissen von [4] verglichen.
3.3. Allgemeine Fehlerabschätzung
Nachfolgend werden die diversen Fehlerarten der Monte-Carlo Simulation aufgrund zeitdiskreter
Approximationen stochastischer Prozesse aus [28][Abschnitt 5.2.5] vorgestellt. Es wird auf den
mittleren, den statistischen, den systematischen und den totalen Simulationsfehler sowie den
unvermeidbare Rundungsfehler eingegangen.
Mittlerer Simulationsfehler
Sei
n
1X
ξˆ =
ξi
n
i=1
der Monte-Carlo Schätzer für die Funktion
ξ(Xt )
als Durchschnitt vieler Einzelsimulationen
ξi ,
sodass sich der mittlere Simulationsfehler als
ˆm = ξˆ − µξ
deniert, wobei
µξ = E[ξ]
(3.7a)
ist.
Statistischer Simulationsfehler
die Verteilung des Schätzers
ξˆ
Wie wir nach dem zentralen Grenzwertsatz bereits wissen, ist
von der Form
N (µξ ,
σξ2
n ). Damit ist auf natürliche Weise der
statistische Simulationsfehler stat des Monte-Carlo-Schätzers
ξˆ durch die halbe Breite des (1−α)-
Kondenzintervalls
KI = [µξ − stat , µξ + stat ]
gegeben. Es lässt sich der statistische Simulationsfehler als
σξ
stat = z(1−α) √
n
24
(3.7b)
herleiten, wobei
α aus dem Intervall (0, 1) ist und die Varianz σξ2 der Zufallsvariablen ξ unbekannt
ist. Es stehen aber auch hier die statistischen Mittel des Schätzers zur Verfügung, wodurch wir
die beobachtete Varianz der Simulations als Schätzer für
v
u n
u1 X
σ̂ξ = t
ξi2 −
n
i=1
σξ
n
verwenden können.
1X
ξi
n
!2
(3.7c)
i=1
Dieser Schätzer wird in Teil III noch eine bedeutende Rolle einnehmen, da die geschätzte Varianz
in unserem Modell die Unsicherheit über den geschätzten Optionswerte wiederspiegelt. Wir benötigen später den geschätzten Optionswert um unseren Index mittels der impliziten Volatilität
aus dem Modell von Black und Scholes zu bewerten. Das
σ̂ξ
liefert also eine Aussage darüber,
wie genau die Schätzung vom Optionswert ist.
Systematischer Simulationsfehler
Als systematischen Simulationsfehler
sys
bezeichnen wir
den Fehler, der aus Ungenauigkeiten bei der Diskretisierung des stochastischen Prozesses resultiert. Er ist abhängig vom gewählten Diskretisierungsverfahren und insbesondere von der Breite
des Diskretisierungsintervalls
∆t.
Der systematische Fehler entspricht dem Betrag des Erwar-
tungswertes des mittleren Fehlers:
h
i
ˆ
sys = |E [ˆ
m (∆t)]| = E ξ(∆t)
− µξ ,
wobei man die Möglichkeit hat den Schätzwert
an Simulationen
n
h
i
ˆ
E ξ(∆t)
(3.7d)
durch eine hinreichend groÿe Anzahl
zu erhalten. [28]
Zusammenfassend können wir also für den systematischen Fehler folgenden Satz formulieren:
Satz 3.3.1.
Der systematische Fehler
sys
geht für
n→∞
gegen Null.
Beweis. Verwende die Gleichung (3.7d) und setze den Monte-Carlo Schätzer in die Gleichung
ein. Dann ergibt sich
h
i
ˆ
sys = E ξ(∆t)
− µξ n
h 1X
i
= E
ξi
− µξ n
{z }
| i=1
→ξ
für n→∞
= 0,
da
µξ = E [ξ]
gilt.
Totaler Simulationsfehler
Der totale Simulationsfehler wird deniert als Summe aus systema-
tischen und statischem Simulationsfehler.
tot = sys + stat
25
(3.7e)
Rundungsfehler
An dieser Stelle sei schon mal angemerkt, dass in unseren Simulationen Unge-
nauigkeiten auftreten können. Dies liegt neben den von uns verwendeten numerischen Verfahren
∆t. Aufgrund unser zur Verfügung stehenden Re-
auch an der gewählten Gröÿe des Zeitintervalls
chenresourcen ist es uns möglich diesen klein zu halten, aber es werden immer Fehler auftreten,
da wir nur eine endliche Anzahl an Dezimalstellen für unsere Intervallbreite benutzen können.
Irgendwann liefert eine Verkleinerung des Intervalls keine signikanten Verbesserung mehr. Wir
vernachlässigen diese relativ kleine Fehlerart in unseren Fehlerabschätzungen.
3.4. Ermittlung zeitoptimaler Simulationsparameter
In Anlehnung an [28][Kapitel 5.2.6.] wollen wir nun die Ermittlung zeitoptimaler Simulationsparameter für die Monte-Carlo Simulation verizieren. In die Berechnungen müssen die Fehlerabschätzungen für die verschiedenen Fehlerarten aus Abschnitt 3.3 berücksichtigt werden. Das Ziel
ist es also die optimalen Parameter für die Wiederholungszahl
∆t
bei vorgegebener Rechendauer
R
n und das Diskretisierungsintervall
zu nden. Die Formel zur Berechnung lautet
nopt (R) =
z
−2ω
2
2ω+1
T − t 2ω+1
,
2ωG
M (R)
(1−α) σ
(3.8)
wobei die Werte in (3.8) berechnet werden durch
M (R) =
mit Zeitdauer
τc
R − τc
τS
und
für die Initialisierungen und die Ausgabefunktionen sowie Zeitdauer
τS ,
die für
einen einzelnen Simulationsschritt aufgewendet werden muss. Aus der Denition für die schwache
Konvergenz
Denition 11
.
ω > 0
g
eine positive Konstante G existiert, die nicht von der Schrittweite ∆t und einem endlichen δ0 > 0
(Schwache Konvergenz)
einer zeitdiskreten Approximation
X
Schwache Konvergenz der Konvergenzordnung
gegen
Y
für
∆t → 0
liegt vor, wenn zu jedem Polynom
abhängt, so dass
|E [g(XT )] − E [g(YT )]| ≤ G∆tω
für jedes
∆t ∈ [0, δ0 ]
gilt.
erkennen wir die Analogie zur Gleichung (3.7d) und leiten damit eine weitere Abschätzung für
den systematischen Fehler her. Dies ergibt die Abschätzung
loga sys (n) ≤ loga G + ω loga
mit Konstante
G
und Konvergenzordnung
ω
1
n
des systematischen Fehlers. Das
Schätzwert aus der Gleichung (3.7c) ersetzt werden und der Wert
Quantil. Hierfür wäre beispielsweise
α = 0.5
z1−α
die Wahl des Medians.
26
σ
kann durch den
bezeichnet das
(1 − α)-
Teil II.
Das Modell und die Mathematik
27
Zu Beginn des zweiten Teils der Diplomarbeit wollen wir den Lösungsansatz der DGL (10) vom
Paper [4]
h
i
γ
0 =I (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ − κx xθIx
2
Ix 2
1 2
I + Ixx + λIJ I θ + θ
+ σx Ωθ [(θ − 1)(
2
Z ∞ I
I(x + ν)
mit J I(x) =
g(ν)dν − 1
I(x)
−∞
(3.9)
mit einer mathematisch sauber hergeleiteten Lösung vergleichen. Wir werden dazu als erstes
in Abschnitt 4.1 die Approximation durch die Methode von Collin-Dufresne und Goldstein aus
dem Working Paper [12] betrachten. Danach werden wir Schritt für Schritt eine mathematische
Lösung der DGL (10) herleiten. Dazu verwenden wir in Abschnitt 4.2 eine Transformation,
um die nichtlinearen Terme der Gleichung (3.9) in einen Term zu bündeln. Damit wird es dann
einfacher in den darauf folgenden Abschnitten mit der DGL umzugehen. Wir zeigen in Abschnitt
4.3 die Existenz und Eindeutigkeit einer elliptischen DGL mit Hilfe des Rieszschen Satzes (4.3.2).
Danach können wir dann unsere Erkenntnisse in Abschnitt 4.4 auf unsere spezielle elliptische
DGL erweitern und die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der DGL (10) aus [4] mit Hilfe
des Fixpunktsatzes von Schauder (4.4.1) und des schwachen Maximumprinzips (4.4.4) zeigen. In
Abschnitt 4.5 erhöhen wir die Regularität der gewonnenen Lösung
u ∈ H 1 (U ).
Mit dem Gezeigtem kann man dann nach einer numerischen Lösung suchen. Im 5 Kapitel strukturieren wir unser Vorgehen so, dass wir als erstes in Abschnitt 5.1 eine Diskretisierung der DGL
vornehmen. Somit können wir dann in Abschnitt 5.2 Stabilität und Konsistenz zeigen, um die
Konvergenz zu erhalten. In Unterabschnitt 5.2.1 widmen wir uns dann der Fehlerabschätzung
unseres konvergenten Verfahrens.
Zum Ende des zweiten Teils kommen wir weiterhin zum Preis-Dividenden-Quotienten, der durch
die Lösung der Dierentialgleichung
Ix (x)
2
0 = 1 − r(x)L + L (µD + Φx − γρC,D σD Ω) + Lx (−κx x) + Lx (θ − 1)
σx Ω
I(x)
1 2
+ Lxx
σ Ω + λQ E Q [L(x + ν̃) − L(x)]
2 x
für einen festen Zeitpunkt
t
(3.10)
gegeben ist. Wir beschränken uns bei der Betrachtung der Lösung
auf die Numerische Approximation der Gleichung (3.10). Wir gehen speziell in Abschnitt 6.1
auf die Dikretisierung der Gleichung (3.10) und in Abschnitt 6.2 auf das Lösen des Linearen
Gleichungssystems ein. Wir werden zudem in Unterabschnitt 6.2.1 unser aufgestelltes Lineares
Gleichungssystem modizieren, indem wir das Successive Over-Relaxation-Verfahren anwenden.
In analytischen Teil wurde vor allem auf die Literatur [8], [29], [16], [7] und speziell im numerischen Teil auf [25], [22] und [21] zurückgegrien.
28
4. Mathematische Analyse des
Preis-Konsum-Quotienten
4.1. Methode von Collin-Dufresne und Goldstein
In diesem Abschnitt stellen wir die von Benzoni, Collin-Dufresne und Goldstein [4], [12] benutzte
Methode vor, die ihrerseits auf die Campbell-Shiller Approximation aus dem Artikel [9] zurück-
I(x) = eA+Bx für die
DGL (3.9) zu erhalten. Pierre Collin-Dufresne und Robert Goldstein nehmen an, dass I(x) eine
ane exponentielle Lösung aufweist, wenn man den letzten Term auf der rechten Seite, d.h. θ ,
gegrien haben. Die Zielsetzung ist eine Lösung der angenommenen Form
weglässt. Die naheliegendste Möglichkeit ist also, diesen auf die linke Seite zu bringen. Als nächsten Schritt addiert man zu beiden Seiten
(n0 + n1 x)eA+Bx
hinzu, sodass man für die Gleichung
(3.9)
(n0 + n1 x)eA+Bx − θ = (n0 + n1 x)eA+Bx
h
i
γ
+ I (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ − κx xθIx
2
1 2
Ix 2
+ σx Ωθ (θ − 1)( ) I + Ixx + λIJ I θ
2
I
(4.1)
erhält. Wenn man also den Autoren folgt, kann man die rechte Seite von Gleichung (4.1) so
approximieren, dass sie identisch Null ist (RHS
= 0)
und man somit nach einer Lösung der
Form
I(x) = eA+Bx
(4.2)
suchen kann. Die auftretenden Terme in dieser Form sind entweder linear abhängig oder un-
x. Die Annäherung
n0 und n1 verwenden
anbhängig von
liefert also zwei Gleichungen, die wir zum Bestimmen der
Koezienten
können. Zu beachten ist hier, dass die beiden Koezienten
vom Term
B
der Lösung aus Gleichung (4.2) bestimmt wird. Die beiden Gleichungen sehen wie
folgt aus
γ
1
(1 − γ)Ω − βθ + σx2 Ω(θB)2 + λ χPθB − 1
2
2
−n1 =(1 − γ) − κx θB,
−n0 =(1 − γ)µC −
wobei wir
χPa
(4.3a)
(4.3b)
deniert haben als
1 2 2
χPa ≡ E eaν̃ = eaµν + 2 a σν .
Das Model wird also durch vier Parameter
{A, B, n0 , n1 }
bestimmt. Zu den zwei Gleichungen
(4.3a) und (4.3b) brauchen wir noch zwei weitere Gleichungen, damit wir das System lösen
können. Dazu betrachten wir nun die linke Seite der Gleichung (4.1), die so nah wie möglich auf
29
Null gebracht werden soll. Daher ergibt sich das zu minimierende Problem mit der Methode der
kleinsten Quadrate der unkonditionierten Erwartung
min E−∞
{A,B}
n
(n0 + n1 x)eA+Bx − θ
2 o
.
Hier verweisen wir auf das Working Paper von Collin-Dufresne und Goldstein aus 2005 [12],
die gezeigt haben, dass die Annäherung eine gute Approximation für die Problemlösung liefert.
Hier wird unter anderem auch auf die Campbell-Shiller Approximation aus [9] verwiesen, die
diese Problematik unter Ausschluss von Sprungtermen auf die Zustandsvariable
x
behandelt.
Wir erhalten also die zwei weiteren Bedingungen an das System folgende Gleichungen
"
#
A+Bx
0 = (n0 + n1 x)e
−θ
(4.3c)
"
#
∂
A+Bx
0=
(n0 + n1 x)e
−θ
∂x
zu lösen, wobei
x = E−∞ [x]
(4.3d)
gilt. Also müssen wir nur das Gleichungssystem (4.3) lösen und
dann die Parameter in die Gleichung
I(x) = eA+Bx
einsetzen.
4.1.1. Numerische Berechnung der Methode von Collin-Dufresne und Goldstein
Im folgenden Unterabschnitt werden wir das oben beschriebene System (4.3) numerisch mit Hilfe
des Programms
namens
PKQ.m
Matlab
lösen. Wir haben das Lösungsverfahren in ein aufzurufendes
m-file
implementiert, die durch den Befehl
[I,B]=PKQ(x,gamma,Omega,theta,sigma_x,lambda,kappa_x,mu_nu,sigma_nu,beta,mu_C)
aufgerufen wird und die relevanten Parameter übergeben bekommt. Das
m-file PKQ.m selber ist
folgendermaÿen aufgebaut:
%Berechnen der äquidistanten Schrittweite
h=x(2)-x(1);
%Berechne x=E_{-\infty}[x]
x_wert=h/(sigma_nu*sqrt(2*pi))*sum(x.*exp(-1/(2*sigma_nu^2).*...
...(x-mu_nu.*ones(size(x))).^2));
% Mache eine Vermutung fuer die Startwerte
x0 = [1;1;1;1];
%Definiere die zu optimierende Funktion
fh=@(x) [x(1)+(1-gamma)*mu_C-(gamma/2)*(1-gamma)*Omega-beta*theta+...
...(1/2)*(sigma_x)^2*Omega*(theta*x(4))^2+lambda*(exp(theta*x(4)*...
...mu_nu+(1/2)*(theta*x(4))^2*sigma_nu^2)-1);
x(2)+(1-gamma)-kappa_x*theta*x(4);
((x(1)+x(2)*x_wert)*exp(x(3)+x(4)*x_wert)-theta);
(x(2)*exp(x(3)+x(4)*x_wert)+(x(1)+x(2)*x_wert)*x(4)*...
...exp(x(3)+x(4)*x_wert));
30
];
%Gebe die Optionen fuer die Ausgabe des "fsolver"s ein
options=optimset('Display','iter');
%Rufe den Optimierer auf
[Parameter,~,~] = fsolve(fh,x0,options);
%Initalisiere einen Vektor mit Einsen der Laenge von x
Einsen=ones(size(x));
%Setze die Parameter A und B in die Funktion ein
I=exp(Parameter(3).*Einsen+Parameter(4).*x);
B=Parameter(4);
Zunächst berechnen wir die Schrittweite
h
und den
x-Wert,
um den optimiert werden soll. Dann
setzen wir den Startwert, die zu optimierende Funktion und die Optionen für den
und rufen den
fsolver
auf. In der Funktion
gungen eingebaut. Unser
{n0 , n1 , A, B}
fsolver
fh
fsolver
fest
sind die Gleichungen (4.3) als Nullstellenbedin-
löst dann das Nullstellenproblem und gibt uns die Parameter
als Lösung wieder.
Bemerkung. Im Programmcode sind die Parameter wie folgt deniert:
x(1) = n0
x(2) = n1
x(3) = A
x(4) = B
Als Output erhalten wir nach den Berechnungen dann unter anderem Folgendes
Iteration Func-count
0
5
1
10
2
15
3
20
4
21
5
26
6
31
7
32
8
37
9
38
10
43
11
48
12
53
13
54
14
59
15
60
16
65
17
70
18
75
f(x)
260.605
183.484
155.838
122.501
122.501
86.779
60.5924
60.5924
5.7918
5.7918
3.18183
2.03108
1.32779
1.32779
0.293941
0.293941
0.196213
0.128721
0.0937191
Norm of
step
1
1
1
2.5
0.625
1.5625
1.5625
0.390625
0.976563
0.244141
0.610352
0.610352
0.610352
0.152588
0.38147
0.0953674
0.0953674
0.238419
31
First-order
optimality
56.3
17.8
10.5
20.3
20.3
27.7
148
148
13.4
13.4
3.85
16.7
27
27
3.45
3.45
5.19
1.35
9.4
Trust-region
radius
1
1
1
1
2.5
0.625
1.56
1.56
0.391
0.977
0.244
0.61
0.61
0.61
0.153
0.381
0.0954
0.0954
0.238
19
20
21
22
23
80
85
90
95
100
0.0675449
0.0451575
3.84178e-06
2.74992e-14
7.95794e-31
0.238419
0.228132
0.0139585
0.000114873
7.2367e-09
10.6
12.1
0.129
1.13e-05
2.96e-15
0.238
0.238
0.238
0.238
0.238
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the default value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
Danach werden dann die Lösungen in unsere gesuchte Funktion
gegen
x
I = eA+Bx
eingelesen und
I
geplottet und abgespeichert.
%grafische Darstellung des Preis-Konsum-Quotienten
figure(1);
plot(x,Auswertung);
title('Preis-Konsum-Quotientenverlauf von Collin-Dufresne und Goldstein');
xlabel('Wohlstand "x"');
ylabel('Preis-Konsum-Quotient "I^{CDG}"');
Temp=gcf;
printFigurePDF(Temp,'Preis-Konsum-Quotient_Collin-Dufresne_und_Goldstein', eps);
%Daten von Auswertung abspeichern
save('Preis-Konsum-Quotient_Collin-Dufresne_und_Goldstein',...
...'x_Gitter','Auswertung');
4.2. Allgemeine Strukturbetrachtung der DGL
Um eine mathematisch sauber hergeleitete Lösung der DGL (10) vom Paper [4]
h
i
γ
0 =I (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ − κx xθIx
2 1 2
Ix 2
+ σx Ωθ (θ − 1)( ) I + Ixx + λIJ I θ + θ
2
I
Z ∞
I(x + ν)
mit J I =
g(ν)dν − 1, wobei g(ν) die Dichte
I(x)
−∞
zu bekommen, multiplizieren wir die Gleichung (4.4) mit
I θ−1
(4.4)
aus (2.8b) ist.
und setzen für
I θ (x) = u(x)
ein,
sodass der nichtlineare Anteil der Gleichung in einem Term gebündelt wird. Beachte hierbei
folgende Zusammenhänge:
u =I θ
ux =θI
uxx
(4.5)
θ−1
Ix
Ix2
θ−1
=θI
Ixx + (θ − 1)
I
32
Preis−Konsum−Quotientenverlauf von Collin−Dufresne und Goldstein
100
90
Preis−Konsum−Quotient "ICDG"
80
70
60
50
40
30
20
10
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
Wohlstand "x"
0.2
0.3
0.4
0.5
Abbildung 4.1.: Approximation des Preis-Konsum-Quotienten von Collin-Dufresne und Goldstein aus dem Paper [4]
Dies ergibt:
h
i
1
γ
0 = σx2 Ωuxx − κx xux + (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ u
2
2
1− θ1
+
λuJ
+θu
| {z u}
=−λu+λ
R∞
−∞
u(x+ν)g(ν)dν
oder äquivalent
h
i
γ
1
0 = σx2 Ωuxx − κx xux + (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ − λ u
2 Z
2
∞
1
u(x + ν)g(ν)dν + θu1− θ
+λ
(4.6)
−∞
U R= {x ∈ R | xminR ≤ x ≤ xmax }, wobei xmin und xmax so gewählt sind,
∞
dass für das Integral
−∞ u(x + ν)dν ≈ U u(x + ν)dν gilt und gleichzeitig die im Nachfolgenden
aufzustellenden Bedingungen an xmax und xmin erfüllt sind. Wir schreiben die Gleichung (4.6)
als Problem auf U mit der Form
Sei im Folgenden
Lu =F (u),
(4.7)
33
wobei
L
und
F
nah an den Strukturen des nichtvariationellen Problems aus [8][S. 58.] gehalten
sind.
L =L0 + L1 + L2
L0 = − a(x)
∂2
+ c(x)
∂x2
∂
+ d(x)
∂x
Z
u(x + ν)
L2 = − λ
dν
u(x)
U
1
a(x) = σx2 Ω = a
2
b(x) =κx x
L1 =b(x)
mit
c(x) = − (1 − γ)µC + λ = c
γ
d(x) = (1 − γ)Ω − (1 − γ)x + βθ
2
und
1
F (u) =θu1− θ
Bemerkung. Beachte, dass
a(x), b(x), c(x), d(x) ∈ C ∞ (Ū )
gilt. Zudem gilt für
(4.8)
|θ| ≥ 1
F (u) ∈ L2 (U )
für alle
u ∈ H 1 (U )
(4.9)
wie man an Folgendem sieht:
kF (u)kL2 (U )
Z 1− θ1 2
≤
θu
dx
U
Z 2
2
1− θ1 ≤ |θ|
u
max
dx < ∞
x∈U
{z
}
|U
<∞
Bei dem Operator
L
da H 1 (U ),→L∞ (U )
handelt es sich um einen elliptischen Operator, wie wir gleich mit der
Denition aus [16][S. 294] (siehe auch [29]) zeigen werden.
Denition 12
(elliptischer Operator)
tisch, wenn ein Konstante
>0
.
Wir sagen der partielle Dierentialoperator
L
ist ellip-
existiert, so dass
n
X
aij (x)ξi ξj ≥ | ξ |2
(4.10)
i,j=0
für
x∈U
und
∀ ξ ∈ Rn
gilt.
Bemerkung. Hierbei wird der partielle Dierentialoperator
Lu = −
n
X
ij
a (x)uxi xj +
i,j=0
n
X
i=0
in der Divergenzform betrachtet.
34
bi (x)uxi + c(x)u
(4.11)
Bei uns ist der partielle Dierentialoperator schon in der Divergenzform angegeben, da
∂a
∂x
gilt. Somit vereinfacht sich unter anderem auch durch die Betrachtung der Situation im
R
=0
die
Bedingung (4.10) zu:
a ξ 2 ≥ | ξ |2
Also
∃ > 0
für
x∈U
für
∀ξ ∈ R
und
1
a = σx2 Ω ≥ ⇒ L
2
ist elliptisch.
(4.12)
4.3. Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für elliptische DGL
In diesem Abschnitt werden wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für unseren elliptischen Dierentialoperator
L
f
zeigen, falls das
dabei noch nicht auf den Einuss von
u
auf
F
in Gleichung (4.13) aus
L2 (U )
ist. Wir gehen
ein. Wir vereinfachen, wie in der Literatur bereits
gezeigt wurde, als erstes unser Problem weiter, sodass
u
auf dem Rand Null ist. Danach gehen
wir dann weiter auf die aufgesplittete Form von unserem
L
ein und zeigen, dass mit Hilfe der
Kompaktheitseigenschaft unserer Operatoren sich die Operatorgleichung als kompakte Störung
der Identität darstellt. Hierfür sind die Riesz'schen Sätze bekannt mit deren Aussage wir zu
einem homogenen Problem gelangen, welches wir dann lösen werden, um die besagte Existenz
und Eindeutigkeit unter gewissen Bedingungen für unser Problem (4.13) zu erhalten.
Wir betrachten nun vorübergehend, wie oben angedeutet, das Problem
(
Lu = f
u=g
um zu zeigen, dass ein
u ∈ H 1 (U )
U
auf ∂U
in
existiert, für das
(4.13)
Lu = f
mit
f ∈ L2 (U )
gilt .
Es ist für das Nachfolgende noch einfacher (siehe [16][S. 297]) das Problem
(
Lũ = f˜
ũ = 0
U
auf ∂U
in
(4.14)
zu betrachten. Problem (4.14) ist äquivalent zu (4.13) mit
ũ := u − w ∈ H01 (U )
f˜ := f − Lw ∈ H −1 (U ),
wobei w aus der Spur von g ist.
Wir zeigen gleich mit der Variationsrechnung, dass eine schwache Lösung
1
Raum H0 existiert, womit wir schon eine schwache Lösung
u∈
ũ
von (4.14) aus dem
H 1 von (4.13) erhalten. Notwendig
ist es, unser Problem (4.14) in der schwachen Formulierung aufzustellen. Dafür multiplizieren wir
mit
ϕ
ϕ ∈ H01 (U ) folgt
Z Z
D
E
∂u ∂ϕ
∂u
a
+ b(x) ϕ + (d(x) + c(x))uϕ − λϕ
u(x + ν)dν dx = f˜, u ,
∂x ∂x
∂x
U
U
und integrieren mittels partieller Integration, so dass für alle
vergleiche mit [8, S. 58.].
35
(4.15)
Bemerkung. Der Term b(x) ist dabei nicht-symmetrisch in
u
und
ϕ.
Deshalb kann er auch nicht
aus der ersten Variation eines Energiefunktionals entstehen.
Des Weiteren treen wir bezüglich der Koezienten die folgenden Annahmen:
1 Für
a ∈ L∞ (U )
gibt es eine gleichmäÿige untere Schranke, d.h
a(x) ≥ α > 0
2 Für
c ∈ L∞ (U )
für fast alle
x ∈ U.
(4.16)
fordern wir nur eine untere Schranke, d.h
c(x) ≥ 0
für fast alle
x ∈ U.
(4.17)
3 Wir nehmen an, dass alle Koezienten beschränkt sind.
Bemerkung. Wir erlauben ein negatives
Da nach (4.8) die Koezienten in
Mit einem konstanten
a > 0
d.
C ∞ (Ū )
sind, brauchen wir nur noch die Schranken zu prüfen.
und einem konstanten
c(x) ≥ 0
sind die Annahmen 1. und 2.
erfüllt. Auch Annahme 3. ist erfüllt, da die Koezienten stetige Funktionen sind, die auf einem
kompakten Intervall durch ihr Minimum und Maximum beschränkt sind.
Für unsere drei Operatoren
L0 : H01 (U ) −→ H −1 (U ), u 7−→ −a(x)
∂2u
+ c(x)u
∂x2
∂u
L1 : H01 (U ) −→ L2 (U ), u 7−→ b(x)
+ d(x)u
Z∂x
u(x + ν)
L2 : H01 (U ) −→ L2 (U ), u 7−→ −λ
dν
u(x)
U
denieren wir unsere neuen Operatoren analog zu [8][S. 59]
L̃2 = IL2 →H −1 L2
L̃0 = L0 , L̃1 = IL2 →H −1 L1
und
die wie folgt operieren:
L̃i : H01 (U ) → H −1 (U ) i = 0, 1, 2.
Man erkennt sofort, dass
L0 , L1
und
L2
(wegen der kompakten Einbettung von
drei stetige lineare Operatoren sind, womit dann schon
L2 ,→ H −1 ) L̃1
und
L̃2
kompakte Operatoren nach
Denition (18) aus dem Anhang sind. Wir können also unsere Dierentialgleichung aus (4.14)
als
L̃0 ũ + L̃1 ũ + L̃2 ũ = f˜
(4.18)
schreiben. Mit dem nachstehendem Satz zeigen wir die eindeutige Existenz einer Lösung für die
Dierentialgleichung
Satz 4.3.1.
sei
L̃0 ũ = f˜,
Die Funktionen
f˜ ∈ H −1 (U ).
womit wir dann wissen, dass
a ∈ L∞ (U )
stetig invertierbar ist.
c ∈ L∞ (U )
erfüllen die obigen Annahmen. Weiter
1
Dann existiert ein eindeutiger Minimierer u ∈ H0 (U ) des Energiefunktionals
1
Ẽ =
2
Z
U
und
L̃0
!
2
D
E
∂u a(x) + c(x) |u|2 dx − f˜, u ,
∂x
36
der als eindeutige Lösung der Variationsgleichung
Z D
E
∂u ∂ϕ
a
+ cuϕ dx = f˜, u
∂x ∂x
U
∀ϕ ∈ H01 (U ),
charakterisiert ist.
Beweis: siehe für den Beweis [8, Beweis von Satz 3.18.]
Da
L̃0 die Voraussetzungen erfüllt, existiert eine stetige Inversese. Somit können wir die Gleichung
(4.18) umschreiben zu
˜
I + L̃−1
ũ = L̃−1
L̃
+
L̃
1
2
0
0 f
{z
}
|
{z
}
|
(4.19)
=:g
=:K
Wir haben demnach ein System der Form
(I + K) ũ = g
zu lösen, mit
g ∈ H01 (U )
und
K : H01 (U ) → H01 (U ).
(4.20)
Somit konstatieren wir eine ähnliche Aus-
gangssituation wie in [8][S. 59.] geschaen und fahren analog fort. Die Kompaktheit von
L̃2
impliziert die Kompaktheit von
K,
L̃1
und
womit wir eine spezielle Form der Operatorgleichung er-
halten. Diese spezielle Form nennt sich kompakte Störung der Identität. Es gelten die Riesz'schen
Sätze, die unter anderem aussagen, dass der Nullraum von
I+K
endlichdimensional und das
Bild abgeschlossen ist. Für uns ist der dritte Riesz'sche Satz wichtig:
Satz 4.3.2 (3. Rieszsche Satz).
injektiv, dann ist
I +K
Sei
K
ein kompakter Operator auf einem Hilbertraum. Ist
I +K
auch surjektiv und die Inverse ist beschränkt.
Für uns bedeutet dies, dass es genügt die Eindeutigkeit des homogenen Problems
(I + K)ũ = 0
zu überprüfen, um die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für eine beliebige rechte Seite
der Gleichung (4.15) zu erhalten. Das homogene Problem entspricht der Variationsgleichung
Z U
∂u ∂ϕ
∂u
a
+ b(x) ϕ + (d(x) + c(x))uϕ − λϕ
∂x ∂x
∂x
Z
u(x + ν)dν
dx = 0 ∀ϕ ∈ H01 (U ).
U
(4.21)
ϕ = u, womit folgt
Z Z
∂u ∂u
∂u2
2
a
+ b(x)
+ (d(x) + c(x))u − λu
u(x + ν)dν dx = 0
∂x ∂x
∂x
U
U
!
2 Z
Z
∂u ∂b(x)
2
=⇒
a + d(x) + c(x) −
u − λu
u(x + ν)dν dx = 0
∂x
∂x
U
U
2 !
Z
∂u ∂b(x)
=⇒
a + d(x) − (1 − γ)µC −
u2 dx
∂x
∂x
U
!
Z
Z
Z
+λ
u(x)2 dx −
u(x)
u(x + ν)dν dx = 0.
U
U
|U
{z
}
Wir wählen nun
=:(∗)
37
(4.22)
Wir betrachten nun
(∗)
genauer. Hier sei nochmals darauf hingewiesen, dass es sich bei dem
Integralterm um den Erwartungswert handelt. Daher existiert auch eine bisher vernachlässigte
g(ν) wie in [4, Anhang B], die in dem Integralterm
Integralterm (∗) wie folgt auf
Z Z
u(x)u(x + ν)g(ν)dν dx.
(∗) =
Dichtefunktion
unseren
U
auftaucht. Wir schreiben also
U
Wir wenden nun die Cauchy-Schwarz Ungleichung aus dem Anhang mit den Funktionen
p
u(x) g(ν)
und
v(x) :=
p
w(x) := u(x + ν) g(ν) an, sodass sich
sZ Z
sZ Z
u(x)2 g(ν) dxdν ·
u(x + ν)2 g(ν) dxdν
(∗) ≤
U
U
U
Rergibt. Mit einer Substitution von y = x + ν
U g(ν)dν ≈ 1 folgern wir die Abschätzung
sZ
und der Eigenschaft von unserer Dichtefunktion
u(x)2 dx ·
(∗) ≤
sZ
U
Z
U
u(y)2 dy
U
u(x)2 dx
=
U
Diese Abschätzung hat zur Folge, dass der letzte Term in (4.22) abgeschätzt
Z
Z
2
2
u(x) dx −
λ
u(x) dx
≥0
U
U
werden kann, wodurch sich für die Eindeutigkeit des homogenen Problems (4.21) die folgende
Bedingung ergibt:
Diese Bedingung
γ
∂b(x)
(1 − γ)Ω − (1 − γ)x + βθ − (1 − γ)µC −
≥ 0.
2
∂x
können wir zu einer Bedingung an x umformen, da alle anderen
(4.23)
auftretenden
Werte aus Modelldaten eingelesen werden und daher Konstante sind. Wir erhalten also aus
Gleichung (4.23)
x≤
als Bedingung an alle
γ
2 (1
− γ)Ω + βθ − (1 − γ)µC −
(1 − γ)
∂b(x)
∂x
x aus U . Hieraus folgt dann bei erfüllter Bedingung auch schon die Existenz
f˜ ∈ H −1 (U ). Wir haben also eine eindeutige schwache
und Eindeutigkeit für (4.15) mit beliebigen
Lösung des Problems (4.14). Wie oben schon gezeigt, ist (4.14) äquivalent zu (4.13). Also können
wir zusammenfassend das nachfolgende Lemma formulieren:
Lemma 1
L).
Sei der Dierentialoperator L
2
gegeben durch den in Gleichung (4.7) auftretenden Dierentialoperator und sei f ∈ L (U ), dann
1
existiert eine eindeutig schwache Lösung u ∈ H (U ) des Problems (4.13)
(Stetige Invertierbarkeit des Dierentialoperators
(
Lu = f
u=g
falls die Bedingung
x≤
für alle
x
aus
U
γ
2 (1
U
auf ∂U,
in
− γ)Ω + βθ − (1 − γ)µC − κx
(1 − γ)
erfüllt ist.
38
(4.24)
4.4. Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für den Preis-Konsum
Index
Wir wollen nun auch die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für unsere spezielle DGL, in
der auf der rechten Seite das
u
in
F
eingeht, zeigen. Dazu werden wir den Fixpunktsatz von
Schauder anwenden und hierfür als erstes die Voraussetzungen prüfen. Wir werden im Einzelnen schauen, ob der Operator kompakt ist und ob dieser auf einer nichtleeren kompakten und
konvexen Teilmenge eines Banachraumes operiert. Danach werden wir mit Hilfe der Maximums-
sätze aus z.B. [7] den Standardfall des Maximumprinzips auf unsere DGL übertragen, um die
Eindeutigkeit unserer Lösung zu erhalten.
Wir beginnen zunächst mit der Konstruktion der Menge M. Die Behauptung ist, dass wir mit
der Menge
M := u ∈ L2 (U ) | kuk2 ≤ R
(4.25)
schon die entsprechende Menge mit den gewünschten Eigenschaften haben. Wir überprüfen, dass
die Menge
1
2
3
M
nichtleer ist. Da u = 0 in der Menge M liegt, ist sie schon nichtleer.
beschränkt ist. Ist schon durch die Denition erfüllt.
abgeschlossen ist. Da das Komplement L2 (U ) \ M = u ∈ L2 (U ) | kuk2 > R oen ist,
ist die Menge
4
M
abgeschlossen.
konvex ist. Seien v, w ∈ M
und sei
S
die Verbindungsstrecke von
v
nach
w:
S = {tv + (1 − t)w : 0 ≤ t ≤ 1}
Es gilt:
t ≥ 0 (1 − t) ≥ 0
kvk2 ≤ R
kwk2 ≤ R
Daraus folgt
ktv + (1 − t)wk2 ≤ t kvk2 + (1 − t) kwk2
≤ tR + (1 − t)R ≤ R
Also ist die Menge konvex.
5 vom Operator
L−1 F
selbst wieder in die Menge M abgebildet wird. Wir bestimmen dazu
die zugehörige Bedingung, sodass
R ≥ L−1 F (u)2
erfüllt ist. Ausgehend von dieser Ungleichung erhalten wir mit Hilfe der Normeigenschaften
von
Lp -Räumen
die Abschätzung
R ≥ L−1 2 kF (u)k∞ .
Nun verwendet man die Abschätzung von
1
F (u) = θu1− θ
für ein
u ∈ M,
sodass man nach
kurzer Umformung die nachfolgende Bedingung
θ
R ≥ |θ| L−1 2
erhält.
39
(4.26)
Somit haben wir die Voraussetzungen des Satzes an die Menge erfüllt. Wir betrachten nun für
die Kompaktheit des Operators
F : H 1 (U ) ,→ C(U ) −→ C(U ) ,→ L2 (U ),
(4.27)
H 1 (U ) ,→ C(U ) durch den Einbettungssatz für Sobolevräume, siehe
1
dazu im Anhang Satz (A.2.1), gegeben ist. H (U ) ist kompakt eingebettet in C(U ), folglich ist
nach Denitionen (18) und (19) aus dem Anhang F eine kompakte Abbildung. Mit der Stetigkeit
−1 : L2 (U ) → H 1 (U ) und der Bemerkung im Anhang zur Stetigkeit kompakter Operatoren
von L
−1 F : L2 (U ) → L2 (U ).
erhalten wir die Kompaktheit der Abbildung L
wobei die erste Einbettung
Mit all diesen Vorbereitungen kommen wir nun zum Fixpunktsatz von Schauder.
Satz 4.4.1 (Fixpunktsatz von Schauder).
Es sei
M
eine nichtleere, beschränkte, abgeschlossene
und konvexe Teilmenge eines Banachraumes.
Ist dann
T :M →M
Die Teilmenge
kompakt und stetig, so besitzt
T
einen Fixpunkt.
n
θ o
M := u ∈ L2 (U ) | kuk∞ ≤ |θ| L−1 ∞
des Banachraumes
L2 (U )
erfüllt die
Voraussetzungen von Satz 4.4.1. Somit erhalten wir mit dem Satz von Schauder für die Abbildung
L−1 F : L2 (U ) −→ L2 (U )
einen Fixpunkt
u = L−1 F (u),
der mit der Gleichung (4.5)
u = Iθ
(4.28)
zurücktransformiert werden kann zu
I=
p
θ
L−1 F (u).
(4.29)
Somit können wir die oben bestimmten Bedingungen für die Existenz einer Lösung in folgenden
Satz zusammenfassen:
Satz 4.4.2 (Existenz).
Lösung des Problems
Sei
n
θ o
die Menge, auf der eine
M := u ∈ L2 (U ) | kuk∞ ≤ |θ| L−1 ∞
Lu = F (u)
Dann existiert eine Lösung
mit
u = Iθ
I ∈ H 2 (U )
für
gesucht ist.
θ ≤ −1
der Dierentialgleichung (4.4).
Fehlt also noch die Eindeutigkeit der Lösung, die wir mit dem schwachen Maximumprinzip zeigen
werden. Zuvor benötigen wir aber noch das starke Maximumprinzip um den Beweis des schwachen
Maximumprinzips führen zu können.
Satz 4.4.3 (starkes Maximumprinzip). Sei Lu < 0(> 0) mit L wie in (4.7). Dann gilt u ≤ 0(≥ 0)
oder
u
hat kein lokales Maximum (Minimum) im Innern von
U.
Beweis: Der Beweis folgt der Beweisstruktur des starken Maximumprinzips aus [7]. Wir nehmen
u, dass in einem Punkt x̄ im Innern von U angenommen wird,
u(x̄) > 0. Dann gilt wegen der notwendigen Bedingungen für lokale Maxima, dass ∂u
∂x (x̄) = 0
an, es existiert ein Maximum von
mit
gilt und der Koezient von
∂2u
negativ ist. Also folgt
∂x2
∂2u
∂u
Lu(x̄) = −a 2 (x̄) + b(x̄)
(x̄) + (c(x̄) + d(x̄)) u(x̄) + λ
∂x
|∂x{z }
|
=0
≥ −a
∂2u
∂x2
(x̄)
40
Z
U
u(x̄ + ν) dν
{z
}
≥λkukU,∞ ≥0
für die Bedingung
(c(x̄) + d(x̄) ≥ 0,
x≤
die für alle
γ
2 (1
x
aus
U
mit der Bedingung
− γ)Ω + βθ − (1 − γ)µC + λ
(1 − γ)
a > 0 ist, folgt
Ungleichung Lu(x̄) ≥ 0 und somit der Widerspruch zu Lu < 0. Im Falle Lu > 0 erhalten wir
entsprechende Aussage über Minima durch Anwendung des ersten Teils auf −u.
erfüllt ist. Somit haben wir eine obere Schranke
xmax
(4.30)
festgelegt für
U.
Da
die
die
Damit kommen wir nun zur schwächeren Version des Satzes, den wir eigentlich benötigen:
Satz 4.4.4
.
(schwaches Maximumprinzip)
u ≤ 0(≥ 0)
oder
u
Sei
Lu ≤ 0(≥ 0)
mit
L
wie in (4.7). Dann gilt
nimmt sein globales Maximum (Minimum) am Rand von
U
an.
Beweis: Der Beweis folgt der Beweisstruktur des schwachen Maximumprinzips aus [7]. Wir neh-
u
men an,
nimmt sein globales Maximum in einem inneren Punkt
betrachten die Funktion
uε (x) = u(x) + ε exp (k (x − x̄)).
x̄ ∈ U
an und
u(x̄) > 0.
Wir
Dann gilt
(Luε ) (x) = (Lu)(x) − ε k 2 a − kb(x) − c(x) − d(x) exp(k(x − x̄))
Z
u(x + ν) + ε exp (k (x + ν − x̄))
+ε λ
dν exp(k(x − x̄))
u(x) + ε exp (k (x − x̄))
U
2
≤ ε k a − kb(x) − c(x) − d(x) − λ exp(k(x − x̄)),
da
u(x + ν) + ε exp (k (x + ν − x̄))
dν ≥ min
ν∈U
u(x) + ε exp (k (x − x̄))
Z
U
für hinreichend groÿes
x
einer Umgebung von
gegen
u
k,
ε exp (k (x + ν − x̄))
kuk∞ ε exp (k (x − x̄))
≈1
welches wir geeignet groÿ wählen um zu erreichen, dass
Luε (x)
in
ε
(unabhängig von ε) negativ ist. Man sieht sofort, dass u gleichmäÿig
konvergiert. Da bei gleichmäÿiger Konvergenz globale Maxima gegen globale Maxima
konvergieren, gibt es
xε → x̄,
sodass
uε
ist aber ein Widerspruch zu Satz (4.4.3),
Seien nun
u1
xε ein Maximum annimmt und dort positiv
ε
ε
da Lu < 0 in einer Umgebung von x gilt.
in
ist. Dies
u2 zwei Lösungen des Dirichlet-Problems (4.7). Die Dierenz u = u1 −u2 erfüllt
Lu = 0 sowie die Randbedingung u = 0. Damit folgt 0 ≤ u ≤ 0 in U , d.h. u ≡ 0,
und
die Gleichung
wodurch wir dann mit dem soeben bewiesenen schwachen Maximumprinzip die Eindeutigkeit der
Lösung des Problems gezeigt haben. Damit können wir zusammenfassend für die Eindeutigkeit
den nachfolgenden Satz formulieren:
Satz 4.4.5 (Eindeutigkeit).
(4.4) mit
x̄
u=
Sei Lu = F (u) das transformierte Problem der Dierentialgleichung
θ
I . Der Dierentialoperator L erfülle die folgenden Eigenschaften für einen Punkt
im Inneren von
U:
1
u(x̄) > 0
2
a>0
3
c(x̄) + d(x̄) ≥ 0,
und
das bedeutet:
x̄ ≤
γ
2 (1
Dann gilt für eine existierende Lösung
I
− γ)Ω + βθ − (1 − γ)µC + λ
.
(1 − γ)
der Dierentialgleichung (4.4) schon, dass sie eindeutig
ist.
41
4.5. Regularität der Lösung
Wir prüfen nun die Regularität der schwachen Lösung. Wir wollen zeigen, dass
u
mindestens in
H 2 (U ) ist.
Wir betrachten unsere Ausgangsgleichung (4.7)
Wir dierenzieren nun (4.7) partiell nach
Lu = F (u)
welche eine Lösung
u ∈ H 1 (U )
hat.
x.
∂
(Lu) =
∂x
∂L
∂u
=
u+L
∂x
∂x
|{z}
∂
F (u)
∂x
∂
F (u)
∂x
=:v
Lv =
∂
∂L
F (u) −
u
∂x
∂x
∂
∂L
2
2
1
∂x F (u) ∈ L (U ) und ∂x u ∈ L (U ) gilt, dann muss schon v ∈ H (U )
∂u
2
sein. Aus der Denition von v :=
∂x folgt dann, dass u ∈ H (U ) ist. Also bleibt noch zu zeigen,
2
dass die beiden Summanden auf der rechten Seite in L (U ) liegen.
Wenn wir nun zeigen, dass
Wir wenden uns als erstes
∂
∂x F (u) zu:
Z ∂ 1− 1 2
∂x θu θ dx
U
2
Z − θ1 ∂ =
(θ − 1) u ∂x u dx
|U
{z
}
∂
k F (u)kL2 (U ) =
∂x
=(∗)
Zur Betrachtung von
(∗)
machen wir eine Fallunterscheidung für
dass wir von Vornherein alle Fälle für
für
θ
θ > −1
θ,
sowie für
u.
Zu beachten ist,
ausschlieÿen, da diese im nichtrelevanten Bereich
liegen.
−∞ < θ < −2
( 2
u− θ ≤ u
2
u− θ ≤ 1
θ = −2
,falls
,falls
u≥1
u<1
2
u− θ = u
−2 < θ ≤ −1
( 2
u− θ ≤ u2
2
u− θ ≤ u
Also kann
(∗)
2
u− θ
für
|θ| ≥ 1
,falls
,falls
gegen das Maximum auf
U
u≥1
u<1
abgeschätzt werden. Somit ergibt sich für
Folgendes:
2
− θ2
(∗) ≤ (θ − 1) max u
x∈U
|
{z
=:Konstante
42
Z ∂ 2
u dx < ∞,
∂x U
}
H 1 -Halbnorm ist und u ∈ H 1 (U ) gilt.
∂
folgt also, dass k
∂x F (u)kL2 (U ) < ∞ ist. Betrachten
da dies die
Somit
wir nun
∂L
∂x u:
Z 2
Z
∂
∂L ∂
u(x + ν)
∂
u =
−a(x)
+
b(x)
+
c(x)
+
d(x)
−
λ
dν
u dx
∂x
∂x ∂x
∂x
u(x)
U
U
! 2
Z ∂u(x+ν)
Z u(x) − u(x + ν) ∂u(x)
∂d(x)
∂b(x) ∂
∂x
∂x
−λ
+
dν
u
=
dx
2
∂x
∂x
∂x
u(x)
U
U
| {z }
| {z }
=κx
=−(1−γ)
Z
Z Z Z ∂u 2
∂u(x + ν) 2
2
2
κx dx +
dx dν
|(1 − γ)u| dx + |λ|
≤
∂x ∂x
U
U
U U
{z
}
|
{z
} |
|
{z
}
<∞,
<∞
<∞
da H 1 -Halbnorm
2
Z ∂u(x) 2
2 1 2
2
− |λ| ku(x)k∞ xmax
∂x dx < ∞,
u(x) ∞
U
|
{z
}
<∞
da
s.o.
u ∈ H 1 (U ).
Somit haben wir gezeigt, dass
∂
∂x F (u)
−
∂L
∂x u
∈ L2 (U )
gilt. Hieraus folgt:
u ∈ H 2 (U )
(4.31)
Wir haben in diesem Kapitel gezeigt, dass eine eindeutige Lösung der DGL (10) vom Paper
[4] existiert und diese sogar mindestens in
H 2 (U )
liegt. Mit diesen gewonnenen Erkenntnissen
streben wir im nächsten Kapitel die Berechnung für die numerische Lösung der DGL an.
43
5. Numerische Approximation des
Preis-Konsum-Quotienten
In diesem Abschnitt wollen wir eine numerische Lösung für unsere Gleichung (3.9) berechnen.
Dazu verwenden wir die Formulierung des Problems (4.7), da diese Formulierung numerisch
einfacher zu handhaben ist. Wir haben durch die obigen Abschnitte gewisse Bedingungen an die
Umgebung
U , auf der wir gezeigt haben, dass eine Lösung existiert und eindeutig ist, bekommen.
U:
Wir erhalten aus Gleichung (4.30) den oberen Rand von
xmax =
An die Wahl von
xmin
γ
2 (1
− γ)Ω + βθ − (1 − γ)µC + λ
(1 − γ)
ist keine Bedingung geknüpft. Wir wählen daher
Bemerkung. Es sei hier angemerkt, dass durch die Wahl von
xmax
(5.1)
xmin
hinreichend klein.
die folgende Gleichung erfüllt
ist:
c(x) + d(x) ≥ 0 ∀x ∈ U.
Wir benötigen noch Randbedingungen um unser Problem zu formulieren. Dafür betrachten wir
die Gleichung (4.6)
h
i
1
γ
0 = σx2 Ωuxx − κx xux + (1 − γ)µC + (1 − γ)x − (1 − γ)Ω − βθ − λ u
2 Z
2
∞
1
u(x + ν)g(ν)dν + θu1− θ .
+λ
−∞
Für ein
x
hinreichend groÿ bzw. klein gewählt, sind nur noch gewisse Summanden in der Glei-
chung dominant.
0 =κx ux − (1 − γ)u
0 = − κx ux + (1 − γ)u
Diese liefern uns dann Robin-Randbedingung
(1 − γ)
u
κx
(1 − γ)
0 =ux −
u
κ
| {zx }
0 =ux −
(5.2a)
(5.2b)
=:α
für unser aufzustellendes Problem. Wir formulieren es mit der Robin-Randbedingung folgendermaÿen
(
Lu = F (u)
αu(x) + ∂u(x)
∂x = 0
U = {x ∈ R | xmin ≤ x ≤ xmax }
auf ∂U = {xmin , xmax },
in
44
(5.3)
wobei sich der Dierentialoperator
L
F
und
mit ein paar Änderungen zum oben gestellten Pro-
blem wie folgt ergeben:
L = − a(x)
∂2
∂
+ b(x)
+ c(x) + d(x)
∂x2
∂x
mit
1
a(x) = σx2 Ω = a
2
b(x) =κx x
c(x) = − (1 − γ)µC + λ = c
γ
d(x) = (1 − γ)Ω − (1 − γ)x + βθ
2
und
Z
xmax
F (x, u(x)) =λ
1
u(x + ν)g(ν)dν + θu1− θ ,
xmin
wobei
g(ν)
die Dichte aus der Gleichung (2.8b) ist.
Wir werden als Erstes die Diskretisierungen für den Dierentialoperator, den Integraloperator
und die Robin-Randbedingung mit Anwendung der üblichen numerischen Methoden vornehmen,
bevor wir dann in Abschnitt 5.2 das zu lösende Gleichungssystem der Diskretisierung näher betrachten werden. Hier zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit der numerischen Lösung, sowie
deren Konvergenz gegen diese Lösung auf. Danach widmen wir uns in 5.2.1 der Fehlerabschätzung, die wir mit Hilfe mehrerer Sätze aus [7] bestimmen können.
5.1. Diskretisierung
Kommen wir also zur Diskretisierung. Als Erstes denieren wir uns ein Gitter
M +1
Gh
auf
U
mit
äquidistanten Gitterpunkten, sodass wir die Stützstellen
xmin = x0 < x1 < . . . < xM = xmax
(5.4)
xmin und xmax von Seite 33 übernommen werden. Dann ist xi = x0 + ih mit
−xmin
. Wir werten die Funktionen aus (5.3) auf den Stützstellen des
i = 0, 1, . . . , M und h = xmaxM
Gitters Gh aus und setzen u(xi ) = ui , b(xi ) = bi , d(xi ) = di und F (xi , u(xi )) = F (xi , ui ) = Fi .
erhalten, wobei
Wir befassen uns als Erstes mit dem Dierentialoperator und diskretisieren ihn mit den üblichen
numerischen Mitteln. Für den Term zweiter Ordnung wählen wir die Approximation
D2 ui =
ui+1 − 2ui + ui−1
.
h2
(5.5)
Im Falle des Terms erster Ordnung wählen wir aufgrund der Gefahr der Konvektionsdominanz
(d.h. bei relativ groÿen Werten von
bi )
den Rückwärtsdierenzenquotienten
Dr ui =
ui − ui−1
,
h
(5.6)
ui+1 − ui
.
h
(5.7)
anstatt des Vorwärtsdierenzenquotienten
Dv ui =
45
Daraus ergibt sich dann für den Dierentialoperator
Lh ui = −a
L
der Dierenzenoperator
ui+1 − 2ui + ui−1
ui − ui−1
+ bi
+ cui + di ui .
2
h
h
(5.8)
Kommen wir nun zur rechten Seite des Problems (5.3). Wir konzentrieren unser Augenmerk auf
den Integralterm
Z
∞
u(x + ν)g(ν)dν,
−∞
da der nichtlineare Teil von
F
Bemerkung. Beachte, dass wir
einfach auf den Stützstellen ausgewertet werden kann.
Gh
als gemeinsames Gitter für unseren approximierten Integral-
operator und Dierenzenoperator verwenden wollen, da wir ansonsten unsere Diskretisierung
auf zwei Gittern durchführen müssten. Dies führt spätestens bei der Implementierung zu einem
erhöhten Rechenaufwand.
Von unserem ursprünglichen Integraloperator
ne Substitution mit
R xmax
xmin
y = x+ν
u(y)g(y − x)dy .
R∞
−∞ u(x
+ ν)g(ν)dν
ausgehend, können wir ei-
durchführen und erhalten dadurch
Wir verwenden nun unser bekanntes Gitter
Gh
R∞
− x)dy ≈
M + 1 Gitter-
−∞ u(y)g(y
mit den
punkten, sodass wir die Stützstellen
x0 = y0 < y1 < . . . < yM = xM
erhalten, also mit unserem Gitter
Gh
übereinstimmen. Wir schreiben
gi (x) :=g(yi − x)
=
1
√
(5.9)
(y −x−µ )2
− 12 i 2 ν
σν
σν 2π
e
(5.10)
für die verschobene Dichte. Somit ergibt sich für die Diskretisierung des Integralterms mit der
zusammengesetzten Sehnentrapezformel
Z
xmax
xmin


M
−1
X
1
1
u(y)g(y − x)dy ≈ h  u1 g1 (x) + uM gM (x) +
uj gj (x) ,
2
2
(5.11)
j=1
ähnlich zur Diskretisierung des Integralterms aus der Diplomarbeit [25]. Das ergibt für
F (xi , ui )
die Diskretisierung

M
−1
X
1
1
1− 1
uj gj (xi ) + θui θ .
F̃h (xi , ui ) = λh  u1 g1 (xi ) + uM gM (xi ) +
2
2

j=1
Zusammengesetzt ergeben die Diskretisierungen (5.8) und (5.12) folgende Gleichung
a
a
bi
2a bi
ui−1 − 2 −
+ ui
+
+
c
+
d
+
u
− 2
i
i+1
h
h
h2
h
h


M
−1
X
1
1
1− 1
= λh  u1 g1 (xi ) + uM gM (xi ) +
uj gj (xi ) + θui θ .
2
2
j=1
46
(5.12)
Nachdem wir die Diskretisierungen des Dierentialoperators und des Integraloperators beendet
haben, betrachten wir jetzt den nichtlinearen Term genauer. Wir können diesen aufspalten. Der
nichtlineare Teil bleibt rechts und den linearen Teil bringen wir auf die linke Seite.
1− θ1
− θ1
= θ · ui · ui
θui
Damit ergibt sich
a
2a bi
a
bi
− θ1
+ ui
+
+
c
+
d
−
θu
+u
− 2
ui−1 − 2 −
i
i+1
i
h
h
h2
h
h }
|
{z
|
{z
}
|
{z
}
=:li
=:ri
=:di


M
−1
X
1
1
= λh  u1 g1 (xi ) + uM gM (xi ) +
uj gj (xi ),
2
2
j=1
{z
}
|
(5.13)
=:Fh (xi ,ui )
wobei das
ui
auf der linken Seite aus dem Iterationsschritt
k−1
ist, wenn wir uns im
rationsschritt benden. Das heiÿt, wir müssen unsere Diagonaleinträge
nach jedem Iterationsschritt mit den neu gewonnenen
Als nächstes müssen wir die Robinrandbedingung
ui 's
di
k -ten
Ite-
während der Iteration
updaten.
αu(x) +
∂u(x)
∂x
= 0
diskretisieren, um sie in
unser lineares Gleichungssystem einbauen zu können. Wir wählen für den linken Rand den Vorwärtsdierenzenquotienten (5.6) und für den rechten Rand den Rückwärtsdierenzenquotienten
ux in den Gleichungen (5.2a) beziehungsweise (5.2b). Damit
u(xmax ) = uM die folgenden zwei Bedingungen:
(5.7) für die auftretenden Ableitung
erhalten wir mit
u(xmin ) = u0
und
:=v
z
}|
{
κx
0 =u0 + u1 ·
hγ − h − κx
κx
0 =uM + uM −1 ·
,
h − hγ − κx
{z
}
|
(5.14a)
(5.14b)
:=w
die wir nun zusammen mit der Gleichung (5.13) in folgendes lineares Gleichungssystem zusammenfassen. Wir schreiben

1 v
l0 d1


 0 l1

 .. . .
.
.

0 . . .
0 ...
|
0
r1
0
0
d2
r2
..
..
Das Problem (5.15) ist mit

d˜1 r1

 l1 d2


 0 ...

 .. . .
.
.
0 ···
.
0
0
...
...
.
..
.
..
.
lM −2 dM −1
0
w
{z
Lh
d˜1 = d1 + vl0
0
r2
..
.
...
..
.
..
.
lM −3 dM −2
0
lM −2
 


u0
0
0

 

0 
  u1   (Fh )1 

  ..  
.
.
 .  

0 
.
=

.





.
.
.
.
.
.





.
.
.
 






rM −1
uM −1
(Fh )M −1 
1
uM
0
} | {z } |
{z
}
uh
Fh
d˜M −1 = dM −1 + wrM −1 äquivalent
  u   (F ) 
1
h 1
0
 u2   (Fh )2 

.
 

.

.
 

.
.

.
.




.
 .  
,
=
0 



.
.
  ..  
.

.

 

rM −2  u


(Fh )M −2 
M −2
d˜M −1
uM −1
(Fh )M −1
und
47
(5.15)
zu Folgendem
welches wir als
L̂h ûh = F̂h
(5.16)
Gh
gefunden, das heiÿt Lh : Gh → R (analog für L̂h ). Auf dem Gitter denieren wir eine Norm k.kh ,
die optimalerweise die gewünschte kontinuierliche Norm für h → 0 approximiert. Durch eine
2
Interpolation erhält man aus den Werten am Gitter auch eine Funktion ũh ∈ C (U ) beziehungs2
0
weise einen erweiterten diskreten Operator L̃h : C (U ) → C (U ), sodass (L̃h ũ)|Gh = Lh (u|Gh )
schreiben. Wir haben also eine Approximation unseres Dierentialoperators auf dem Gitter
gilt. Wir können uns also aussuchen, ob wir den diskreten oder kontinuierlichen Fall behandeln.
[7][Abschnitt 2.2.]
5.2. Lösen des linearen Gleichungssystems
Wir wollen also für unsere numerische Approximation ein lineares Gleichungssystem der Ordnung
M −1
lösen. Hierbei Stellen sich drei Fragen
1 Ist das lineare System stets lösbar und existiert eine eindeutige Lösung?
2 Was passiert mit der Lösung (bzw. mit dem System) im Fall
h → 0?
3 Wie gut ist die numerische Lösung?
1. Um Existenz und Eindeutigkeit zu zeigen, ist es wichtig, Eigenschaften über unsere Matrizen
zu erfahren. Beide Matrizen in den Gleichungen (5.15) und (5.16) sind stark diagonaldominant,
wie wir gleich zeigen werden.
Denition 13
(Diagonaldominanz)
.
Eine Matrix
A ∈ Rn×n
heiÿt (stark) diagonaldominant,
wenn gilt
(A)ii >
X
|(A)ij | .
j6=i
Wir betrachten daher folgende Ungleichung
a
bi a a bi a 2a bi −
≤
+
−
+
2 2 + 2 = 2 + h2
h
h
h
h
h
h
h
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
≥0
≥0
≥0
≥0
1
2a bi
2a bi
= 2 + < 2 + + ci + di − θ uiθ ,
h
h
h
h
|{z}
>0
wobei
θ < 0
gewählt ist und
(5.1) durch gewähltes
xmax
ci + di ≥ 0
für alle
i = 0, 1, . . . , M gilt, da U nach Bedingung
Lh und L̂h (stark) diagonaldominant. Des
begrenzt ist. Daher sind
Weiteren ist es möglich, unsere Matrizen in eine Klasse von Matrizen einzuordnen.
Denition 14.
Eine Matrix
aij ≤ 0
A ∈ Rn×n
nennt man
i 6= j ,
1
L0 -Matrix,
2
M -Matrix, falls A eine reguläre L0 -Matrix ist und jeder Eintrag von A−1
Satz 5.2.1.
falls
für alle
L0 -Matrix A ist genau dann
Ay > 0. Dann gilt zusätzlich
Eine
existiert, sodass
kA−1 k∞ ≤
eine
M -Matrix,
kyk∞
,
mink (Ay)k
48
falls ein
nicht-negativ ist.
y ∈ Rn
mit
y > 0
wobei
kyk∞ = maxi=1,...,n |yi |.
Beweis: [27][Seite 60 .]
Es ist sehr schnell zu sehen, dass die Matrizen
Lh
L̂h beide L0 -Matrizen sind. Durch den Satz
L̂h y > 0 durch die starke Diagonaldominanz
und
Lh y > 0 bzw.
y = (1, . . . , 1)T erfüllt sind, erhalten
(5.2.1), in dem die Voraussetzungen
mit einem gewählten
wir für die beiden Matrizen die Ei-
M -Matrizen zu sein. Es sei nochmals erwähnt, dass wir damit die Nicht-Negativität in
−1
−1
jedem Eintrag der Matrizen Lh und L̂h bekommen (siehe Denition (14)). Für uns ist wichtig,
dass bei einer M -Matrix das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
genschaft
2. Im Folgenden verwenden wir bei den Denition der Konsistenz und der Stabilität den kontinuierlichen Fall. Beginnen wir mit der Denition der Konsistenz
Denition 15
und
L̃h :
C k (U )
der Norm
k.k,
.
(Konsistenz)
→
Sei
L : C k (U ) → C 0 (U )
ein Dierentialoperator der Ordnung
falls
kL̃h u − Luk → 0
gilt. Die Konsistenzordnung der Approximation ist
m,
(5.17)
falls
kL̃h u − Luk ≤ Chm
für alle
k
C 0 (U ) eine diskrete Approximation. Die Approximation heiÿt konsistent in
u ∈ C k+m (U )
(5.18)
gilt.
Betrachten wir also die Dierenz zwischen Dierentialoperator
L
und Dierenzenoperator
Lh
in
der Norm.
kLh u − Lukh,∞
∂2u
∂u
= k − aD u + b(x)D u + (c + d(x))u − −a 2 + b(x)
+ (c + d(x))u kh,∞
∂x
∂x
∂u
∂2u
kh,∞
= k − a D2 u − 2 + b(x) Dr u −
∂x
∂x
∂2u
∂u
2
r
≤ k − a D u − 2 kh,∞ + kb(x) D u −
kh,∞
∂x
∂x
|
{z
}
|
{z
}
2
r
=:(∗)
Für den Term
(∗)
=:(∗∗)
erhalten wir mit der Taylor-Entwicklung die Abschätzung
∂2u
1 ∂4u
∂4u
kD u − 2 kh,∞ = k
(ξ+ ) − 4 (ξ− ) h2 kh,∞
∂x
24 ∂x4
∂x
4
4
1 ∂ u
∂ u
k
(ξ+ ) − 4 (ξ− ) k∞ h2 ,
24 ∂x4
∂x
|
{z
}
1
=:CKonsistenz
2
für ein
ξ± ∈ (x, x ± h).
Sowie für den Term
kDr u −
(∗∗)
(5.19)
die Abschätzung
∂u
h ∂2u
kh,∞ ≤ k 2 k∞ .
∂x
2 | ∂x{z }
2
CKonsistenz
49
(5.20)
Also ergibt sich für die obere Gleichung
1 2
1
kLh u − Lukh,∞ ≤ aCKonsistenz
h2 + CKonsistenz
kb(x)k∞ h
2
1
≤ aC1 + C2 kb(x)k∞ h,
2
{z
}
|
=:CKonsistenz
(5.21)
womit wir eine Konsistenzordnung 1 für unsere Diskretisierung bekommen.
Wenden wir uns nun der Stabilität zu mit der wir dann die Konvergenz der Approximation zeigen
können.
Denition 16 (Stabilität).
L : C k (U ) → C 0 (U ) die Approximation eines Dierentialopera−1
−1
tors. Dann heiÿt Lh stabil, wenn Lh existiert für h > 0 hinreichend klein und kLh k gleichmässig
in h beschränkt ist.
Sei
Mit der Hilfe des nachfolgenden Satzes nutzen wir das Maximumprinzip aus, um Stabilität zu
zeigen.
Satz 5.2.2.
Konstante
Sei L ein elliptischer Dierentialoperator wie in Denition
C > 0, sodass für Lösungen u von
(
Lu = f
in U
u + Cux = 0 auf ∂U
(12). Dann existiert eine
die Stabilitätsabschätzung
kuk∞ ≤ CStab max{kf k∞ , kux k∞ }
(5.22)
gilt.
Beweis: Führe den Beweis wie im [7][ Beweis von Satz 2.10.]. Ersetze dabei aber
kux k∞ ,
wobei hier erwähnt sei, dass
kux k∞ < ∞
kgk∞
durch
wegen (4.31) und Satz (A.2.1) gilt.
Wie wir schon gezeigt hatten erfüllt der Dierentialoperator die Bedingung zur Elliptizität. Daher
existiert nach Satz (5.2.2) so ein C, dass die Stabilitätsabschätzung für
(
Lu = F (u)
u + Cux = 0
U
auf ∂U
in
gilt. Somit haben wir folgende Abschätzung:
kuk∞ ≤ C max{kF (u)k∞ , kux k∞ }
Hier ist
kux k∞ = max{ux (xmin ), ux (xmax )} < ∞. Wenden wir uns
Z
1
kF (u)k∞ = k
u(x + ν)g(ν)dν + θu1− θ k∞
also
F (u)
zu:
U
=konst
Z z
}|
{
1
kθu1− θ k∞
ku(x + ν)g(ν)k∞ dν +
| {z }
|U
{z
} <∞ für 0<kuk∞ <∞
=konst
Also haben wir nun eine stabile und konsistente Approximation, womit wir Konvergenz für
unseren Dierenzenoperator
L2 (U )
Lh , der den Dierentialoperator L : H 1 (U ) ,→ C(U ) → C(U ) ,→
approximiert, folgern können.
50
Satz 5.2.3 (Konvergenz).
L̃h : C k (U ) → C 0 (U )
Sei
eine stabile und konsistente Approximation
m eines Dierentialoperators L : C k (U ) → C 0 (U ). Sei u die Lösung der
Dierentialgleichung Lu = f und ũh die Lösung von L̃h ũh = f˜h , sodass f˜h → f für h → 0. Dann
ist die Approximation konvergent, d.h. ũh → u für h → 0.
mit Konsistenzordnung
Zusätzlich gilt dann die Fehlerabschätzung der Form
ku − ũh k ≤ Chm
für eine Konstante
C > 0.
Beweis: siehe Beweise von Satz 1.2.2. und von Satz 1.2.3. (bzw. Satz 2.10.) in [7]
Wir erhalten eine Konvergenzordnung von
1
für unsere numerische Approximation.
5.2.1. Fehleranalyse
Wir greifen die Frage 3 aus Abschnitt 5.2 auf und machen nun eine Fehleranalyse unserer numerischen Approximation. Dazu müssen wir die rechte, sowie die linke Seite der Approximation
Lh uh = Fh (u)
mit
Lu = F (u)
E(ui ,h):=
}|
{ Z
z
F (ui ) − (Fh )i =
xmax
xmin
Z
vergleichen. Wir beginnen mit dem Fehler der rechten Seite.


M
−1
X
1
1
u(xi + ν)g(ν) dν − h  u1 g1 (xi ) + uM gM (xi ) +
uj gj (xi )
2
2
j=1
xmax
u(xi + ν)g(ν) dν
=
xmin
Z
xmax
−
xmin
mit Zwischenstelle
ζ
xmax − xmin 2 00
u(xi + ν)g(ν) dν − −
h u (ζ)
12
[xmin , xmax ].
xmax − xmin 2 00
=k −
h u (ζ) k∞
12
00 xmax − xmin 2
u (ν)
≤
h
max
xmin ≤ν≤xmax
12
aus dem Intervall
⇒ kE(ui , h)k∞
Mit
C1 : =
xmax − xmin
12
max
xmin ≤ν≤xmax
00 u (ν)
ergibt sich die Abschätzung
⇒ kE(ui , h)k∞ ≤ C1 h2 .
(5.23)
Kommen wir nun zum Fehler der linken Seite.
51
Satz 5.2.4.
L
Sei
u ∈ C 2 (Ū )
die Lösung der Dierentialgleichung
deniert in (4.7). Weiter sei
uh
Lu = F (u) mit dem Operator
Lh uh = Fh (u) und die
die Lösung der Dierenzengleichung
Diskretisierung ist stabil und konsistent. Dann gilt eine Fehlerabschätzung der Form
max |u(xi ) − (uh )i | ≤ Ch,
(5.24)
i=0,...,M
mit einer Konstanten
C
unabhängig von
h.
Beweis: Es gilt
Lh (ui − (uh )i ) = Lh ui − (Fh )i = Lh ui − (F (ui ) − E(ui , h))
| {z }
(Fh )i
=⇒ (Fh )i − F (ui ) + E(ui , h) = Lh ui − Lui +E(ui , h)
|
{z
}
=:(rh )i
Aus der Konsistenz und damit Gleichung (5.21) folgt
max |(rh )i | ≤ CKonsistenz h,
(5.25)
i=0,...,M
wobei
CKonsistenz
nur abhängig ist von
u.
Und aus Satz (5.2.2) mit Gleichung (5.22) folgt
max |ui − (uh )i | ≤ CStab max {k(rh )i + E(ui , h)k∞ , kg − gk∞ }
| {z }
i=0,...,M
i=0,...,M
=0
≤ CStab max |(rh )i | + CStab max |E(ui , h)|
i=0,...,M
i=0,...,M
≤ CStab CKonsistenz h + CStab C1 h2
≤ Ch
mit
CStab = kuk∞ .
Die Kombination dieser Abschätzung mit (5.25) liefert (5.24).
52
6. Numerische Approximation des
Preis-Dividenden-Quotienten
In diesem Abschnitt wollen wir die Lösung
L
auf
U = {x ∈ R | xmin ≤ x ≤ xmax }
für die
Gleichung (2.20) von Seite 21 berechnen. Dafür schreiben wir die Gleichung um zu
Ix (x)
2
σx Ω
0 =1 + L (−r(x) + µD + ΦXt − γρC,D σD Ω) + Lx −κx x + (θ − 1)
I(x)
1 2
+ Lxx
σ Ω + λQ E Q [L(x + ν̃) − L(x)]
2 x
!
E P I θ−1 (x + ν̃)
1 2
σ Ω + L −r(x) + µD + ΦXt − γρC,D σD Ω − λ
⇔ 0 =1 + Lxx
2 x
I θ−1 (x)
h
i
Ix (x)
1
+ Lx −κx x + (θ − 1)
σx2 Ω + λ · θ−1
E P I θ−1 (x + ν̃)L(x + ν̃)
I(x)
I (x)
(6.1)
Nachdem die Gleichung zusammengefasst ist, wollen wir unser Problem mit Hilfe eines zu denierenden Dierentialoperators aufschreiben. Vorher benötigen wir aber noch weitere vorbereitende
Bemerkungen, um unser Problem aufzustellen.
Bemerkung. Beachte, dass die Gleichung (6.1) ortsabhängig von
von
t
x
ist, aber nicht zeitabhängig
ist.
Wir erhalten durch analoges Vorgehen zum Preis-Konsum Quotienten die Robin-Randbedingung
0 =κx Lx + (ρ − Φ)L
0 = − κx Lx + (Φ − ρ)L,
die umgeformt
(ρ − Φ)
L
κx
(ρ − Φ)
0 =Lx +
L
κ
| {zx }
0 =Lx +
(6.2a)
(6.2b)
=:α
für das aufzustellende Problem des Preis-Dividenden Quotienten ergeben. Wir schreiben also
(
AL = F (L)
αL(x) + ∂L(x)
∂x = 0
U = {x ∈ R | xmin ≤ x ≤ xmax }
auf ∂U = {xmin , xmax },
in
53
(6.3)
für unser Problem, wobei sich der Dierentialoperator
A
und
F
mit ein paar Änderungen zum
oben gestellten Problem wie folgt ergeben:
∂2
∂
+ b(x)
+ c(x)
2
∂x
∂x
A = − a(x)
mit
1
a(x) = σx2 Ω
2
b(x) =κx x − (θ − 1)
Ix (x)
I(x)
σx2 Ω
E P I θ−1 (x + ν̃)
c(x) =rt − µD − Φx + γρC,D σD Ω + λ
I θ−1 (x)
und
F (x, L(x)) =1 + λ ·
1
I θ−1 (x)
h
i
E P I θ−1 (x + ν̃)L(x + ν̃) .
Durch eine analoge Vorgehensweise zu 4.2,4.3 und 4.4 bei den Beweisen für die Existenz und
Eindeutigkeit einer Lösung
L
erhalten wir die selben Aussagen, da die vorliegende lineare Dif-
ferentialgleichung (6.1) ein einfacherer Fall der in den vorherigen behandelten nichtlinearen Differentialgleichung (4.6) ist. Wir erhalten also auch eine Bedingung an die obere Grenze
U . Die ergibt sich mit Hilfe des
I(x) = eA+Bx ) aus Abschnitt 4.1 und
von
Ansatzes von Collin-Dufresne und Goldstein (Annahme:
mit
c(x)
wie folgt:
rt − µD + γρC,D σD Ω + λE P eθ−1B ν̃
=
Φ
x̃max
Bemerkung. Falls
xmax
x̃max < xmax
aus Abschnitt 5 ist, dann Ersetze
xmax
durch
x̃max
bei der
Berechnung des Preis-Konsum Quotienten, da wir ein einheitliches Gitter verwenden wollen.
Falls aber
x̃max ≥ xmax
gilt, behalten wir
xmax
für die obere Grenze von
U
bei.
Im Nachfolgenden werden wir die obere Grenze unabhängig von der Wahl weiter mit
xmax
bezeichnen.
Wir werden als Erstes in Abschnitt 6.1 die Diskretisierungen für den Dierentialoperator und
das Dierential in
F
mit Anwendung der üblichen numerischen Methoden vornehmen, bevor wir
dann in Abschnitt 6.2 das zu lösende Gleichungssystem der Diskretisierung näher betrachten
werden.
6.1. Diskretisierung
In diesem Abschnitt wird die Diskretisierung des Problems (6.3) durchgeführt. Dazu verwenden wir die bereits in Abschnitt 5.1 eingeführten Dierenzenquotienten, um die Diskretisierung
durchzuführen. Es wird wieder das Gitter
auf der selben Umgebung
U
Gh
aus dem Abschnitt 5.1 benutzt, da das Problem
gestellt ist. Wir haben haben also wieder äquidistante Stützstellen
xmin = x0 < x1 < . . . < xM = xmax
xmax −xmin
ist. Wir werten
M
die Funktionen aus (6.3) auf den Stützstellen des Gitters Gh aus und setzen L(xi ) ≈ Li und
mit der Eigenschaft
xi = x0 + ih
F (xi , L(xi )) = F (xi , Li ) ≈ Fi .
für
i = 0, 1, . . . , M ,
wobei
h =
Zudem führen wir für die Koezienten des Dierentialoperators
54
die Notationen
a(xi ) = ai , b(xi ) = bi , c(xi ) = ci
ein, die für jeden Ort
xi
für
i = 0, 1, . . . , M
berechnet werden.
Wir wenden uns als Erstes der Diskretisierung der Dierentialoperatoren zu, wobei wir die üblichen numerischen Mittel verwenden. Der Term 2. Ordnung im Dierentialoperator wird mit dem
zentralen Dierenzenoperator
D2 Li =
Li+1 − 2Li + Li−1
h2
diskretisiert. Im Falle des Terms 1.Ordnung wählen wir wieder aufgrund der Gefahr der Konvektionsdominanz (d.h. bei relativ groÿen Werten von
Dr Li =
bi )
Li − Li−1
.
h
Daraus ergibt sich dann für den Dierentialoperator
Ah Li = −at
den Rückwärtsdierenzenquotienten
A
(6.4)
der Dierenzenoperator
Li − Li−1
Li+1 − 2Li + Li−1
+ bt
+ ct Li .
2
h
h
(6.5)
Kommen wir nun zur rechten Seite des Problems (6.3). Analog zum Erwartungswertterms beziehungsweise Integralterms aus der Dierentialgleichung des Preis-Konsum Quotienten können wir
die Funktion
Fi
F
auf dem Gitter
Gh
diskretisieren. Somit erhalten wir dann für das diskretisierte
folgende Gleichung
Fh (xi , Li ) = 1 + λ ·
mit demselben
gj (xi )
#
M
−1
X
1
1
·
I1 · L1 g1 (xi ) + IM · LM gM (xi ) +
Ij · Lj gj (xi ) ,
2
2
"
1
Iiθ−1
(6.6)
j=1
aus Gleichung (5.10) wie bei der Diskretisierung der rechten Seite vom
Problem des Preis-Konsum Quotienten.
Zusammengesetzt ergibt sich die Diskretisierung durch die Diskretisierungen aus Gleichung (6.5)
und Gleichung (6.6) zu
h a i
bi 2ai
bi
ai
i
Li+1 − 2 + Li ci + + 2 + Li−1 − − 2
h
h
h
h
h
"
#
M
−1
X
1
1
1
= 1 + λ · θ−1 ·
I1 · L1 g1 (xi ) + IM · LM gM (xi ) +
Ij · Lj gj (xi ) .
2
2
Ii
j=1
Wir wollen für unser aufzustellendes lineares Gleichungssystem aber erreichen, dass es symmetrisch ist. Daher stellen wir das System um zu
=:di
=:li
=:ri
z
}|
zh }| i{
{
hz }|a i{
b
2a
ai
bi
i
i
i
Li+1 − 2 + Li ci + + 2 +Li−1 − 2 = 1 + Li−1
h
h
h
h
h
"
#
M
−1
X
1
1
1
+ λ · θ−1 ·
I1 · L1 g1 (xi ) + IM · LM gM (xi ) +
Ij · Lj gj (xi ) ,
2
2
Ii
j=1
sodass li
= ri
für alle
i
gilt.
55
(6.7)
Da wir nun die Dierentialgleichung diskretisiert haben, fehlen uns nur noch die Randbedingungen, die wir wieder analog zu (5.14) berechnen wollen. Es folgt
:=v
z
}|
{
κx
0 =L0 + L1 ·
ρh − Φh − κx
κx
0 =LM + LM −1 ·
.
Φh − ρh − κx
|
{z
}
(6.8a)
(6.8b)
:=w
Wir wollen analog zu Gleichung (5.13) aus Abschnitt 5.1 unsere Diskretisierung aus Gleichung
(6.7) in einem linearen Gleichungssystem darstellen, indem auch schon die Robin-Randbedingung
(6.8) eingebettet ist. Es ergibt sich für das Problem in Form eines linearen Gleichungssystems

1 v
r0 d1


 0 r1

 .. . .
.
.

0 ...
0 ...
0
r1
0
0
d2
r2
..
..
.
0
0
.
...
...
..
.
..
.
rM −2 dM −1
0
w

 

0
L0
0

 

0 
(Fh )1 + b0 L0
  L1  

  ..  

.
.

 

0 
.
 .  = 






.
.
.
.
.
.





.
.
 .  

rM −1  LM −1  (Fh )M −1 + bM −2 LM −2 
1
LM
0
Wir wollen das lineare Gleichungssystem aber in symmetrischer Form haben, daher formen wir
d˜1 := d1 + vr0 und d˜M −1 := dM −1 + wrM −1 um zu

 L  
(Fh )1 + b0 L0
1
r1
0
...
0


L2 
(Fh )2 + b1 L1

.
..
 

.

.
d2
r2
.




.
  ..  
.

.
 .  
..
..
..

=
.
.
.
0 



.
.
  ..  
.

.

..
 

. rM −3 dM −2 rM −2  


LM −2
(Fh )M −2 + bM −3 LM −3 
...
0
rM −2 d˜M −1
(Fh )M −1 + bM −2 LM −2
−1
{z
} | LM
{z } |
{z
}
das lineare Gleichungssystem mit
d˜1

 r1


0

 ..
.
0
|

=:Ah
womit unser Problem mit
Bemerkung.
Ah
Ah Lh = Fh
=:Lh
=:Fh
zu beschreiben ist.
ist nach Konstruktion symmetrisch.
Wir können mit einer analogen Vorgehensweise zu Seite 48 auf dem Gitter
denieren, die die kontinuierliche Norm für
funktion
(6.9)
h→0
Gh
wieder eine Norm
approximiert, womit wir dann eine Lösungs-
Lh ∈ C 2 (U ) mit dem zugehörigen Operatoren erhalten. Wir können uns daher entschei-
den, ob wir im Folgenden den diskreten oder kontinuierlichen Fall benutzen.
6.2. Lösen des linearen Gleichungssystems
In diesem Abschnitt wollen wir eine Lösung unseres linearen Gleichungssystem der Ordnung
M −1
nden. Wir überprüfen als erstes die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung von (6.9).
Ah aus, um dann die
Aussage des Satzes 5.2.1 zu benutzen, für den die Voraussetzungen für die ai,j ≤ 0 im Falle i 6= j
Dazu nutzen wir analog zu Abschnitt 5.2 die Diagonaldominanz der Matrix
56
erfüllt sind. Somit existiert eine eindeutige Lösung des Linearen Gleichungssystems (6.9). Vergleiche hierzu die analoge Vorgehensweise von Seite 48. Wir müssen also nur die Diagonaldominanz
aus Denition 13 überprüfen. Wir betrachten also die Ungleichung
ai
bi ai ai bi ai 2ai bi − 2 −
+ − 2 ≤ 2 + + 2 = 2 + h
h
h
h
h
h
h
h
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
≥0
≥0
≥0
=
2ai bi
2ai bi
+ < 2 + + ci
h2
h
h
h
aus der wir die Diagonaldominanz von Matrix
ci > 0
für alle
i
≥0
Ah
schlieÿen können, da durch die Wahl von
xmax
gilt.
Mit den bereits in Abschnitt 5.2 verwendeten Denitionen und Sätzen, können wir Aussagen über
unser Lineares Gleichungssystem tätigen. Nach Denition 15 hat das Lineare Gleichungssystem
(6.9) Konsistenzordnung 1 und ist zusammen mit der Aussage von Satz 5.2.2 (mit ursprünglichen
Voraussetzungen) über die Stabilität nach Denition 16 konvergent mit der Ordnung 1 nach Satz
5.2.3. Somit können wir zusammenfassend sagen, dass die Lösung des konvergenten Linearen
Gleichungssystem existiert und eindeutig ist.
6.2.1. Successive Over-Relaxation-Verfahren
Wir wollen in diesem Abschnitt unser im vorherigen Abschnitt aufgestelltes Lineares Gleichungs-
SOR-
system (6.9) modizieren. Dazu verwenden wir das Successive Over-Relaxation-Verfahren (
Verfahren), da wir mit diesem Verfahren die Möglichkeit haben, eine stabilere Konvergenz bei
schnell divergierenden Verfahren oder eine schnellere Konvergenz bei langsam konvergierenden
Verfahren zu ermöglichen. Für das erste Problem des schnell divergierenden Verfahrens wählt
man ein
ω<1
(underrelaxation genannt). Im Falle eines langsam konvergierenden Verfahren
wählt man sich heuristisch ein
ω
zwischen 1.5 und 2. Vergleiche hierzu [20].
Wir werden nun nach [20][Abschnitt 4.4] das SOR-Verfahren auf unser lineares Gleichungssystem
anwenden. Dabei stellt
k
den Iterationsschritt in der nachfolgenden Gleichung

Lk+1
= (1 − ω)Lki +
i
ω  t
Fi −
ati,i
i−1
X
j=1
ai,j Lk+1
−
j
M
X

ai,j Lkj 
(6.10)
j=i+1
dar. Für unser Verfahren folgt, aufgrund der in Abschnitt 6.2 gezeigten Diagonaldominanzeigenschaft der Matrix, die positive Denitheit. Mit der positiven Denitheit der symmetrischen
Matrix
Ath
und dem Satz von Ostrowski und Reich [20][Satz 4.18.] folgt die Konvergenz des eben
aufgestellten SOR-Verfahrens (6.10).
57
Teil III.
Simulation des Modells
58
7. Programmierung des Modells
In diesem Kapitel wird auf die Implementierung des Modells zur Berechnung des Optionswertes
und der damit verbundenen impliziten Volatilität aus der Black-Scholes-Merton Formel eingegangen. Es werden die Erkenntnisse aus den vorherigen Kapiteln in ein Programm von
eingebettet. Das Programm wird mit der Datei
main.m
Matlab
gestartet.
Nach dem Einlesen der Modelldaten und der Modellparameter wird als erstes die Numerische
Approximation des Preis-Konsum-Quotienten aus Kapitel 5 mit dem Aufruf der Datei
PreisKonsumQuotient.m
ausgewertet. Wir werden in Abschnitt 7.1 weiter darauf eingehen.
Danach fahren wir in Abschnitt 7.2 mit der Implementierung der Numerischen Berechnung für
den Preis-Dividenden Quotienten fort. Diese wird mit dem Aufruf der Datei
PreisDividendenQuotient.m gestartet und berechnet den Preis-Dividenden Quotienten auf dem
selben Gitter vom Preis-Konsum Quotienten. Bei der Berechnung des Preis-Dividenden Quotienten wird unter anderem auch der risikofreie Zinssatz benötigt, den wir mit dem Aufruf
RFIR.m
berechnen. Wir gehen auf dessen Implementierung auf Seite 62 ein. Mit der Lösung für den PreisKonsum-Quotienten, dem Preis-Konsum-Quotienten und des risikofreien Zinssatzes können wir
dann die Monte-Carlo-Simulation beginnen.
In Abschnitt 7.3 unterteilen wir das Monte-Carlo-Verfahren in die Hauptroutine
Hauptdatei.m
(Abschnitt 7.3.1) und in die Berechnung der impliziten Volatilität (Abschnitt 7.3.2). Ein Durchlauf der Hauptroutine
Hauptdatei.m
simuliert durch die stochastische Berechnung der Modell-
dynamik (Abschnitt 7.3.1) einen möglichen Verlauf des Finanzmarktes, woraufhin alle wichtigen Modellgröÿen des Finanzmarktes veriziert werden können. Die Hauptroutine wird in der
Monte-Carlo-Simulation
n-Mal durchlaufen, um mit den Resultaten dann in Abschnitt 7.3.2 den
Optionswert und die damit verbundene implizite Volatilität berechnen zu können.
7.1. Implementierung der numerischen Approximation des
Preis-Konsum-Quotienten
Dieser Abschnitt behandelt die Implementierung des Preis-Konsum-Quotienten. Wir werden hier
die Diskretisierung des Preis-Konsum-Quotienten aus Abschnitt 5.1 verwenden. Es werden im
Folgenden die Denitionen und Notationen aus dem Kapitel 5 beibehalten.
Mit der Zeile
[I,x]=PreisKonsumQuotient(M,x_min,x_max,...,Omega,...,sigma_nu);
in der Datei
main.m
wird die Funktion
PreisKonsumQuotient.m
aufgerufen. Dabei werden die
Modellparameter (Anzahl an Schritte und Intervallgrenzen) sowie die Modelldaten an die Funktion übergeben. In die Funktion
PreisKonsumQuotient.m
die dann aufgerufen werden.
59
sind weitere Funktionen eingebettet,
Als erstes wird das Gitter mit den äquidistanten Gitterpunkten aus der Gleichung (5.4) durch
die Funktion
[x,h]=Gitter(M,x_min,x_max);
bestimmt. Diese Funktion gibt den Gitterabstand
h
und einen Vektor
x
der Länge
M +1
mit
den geforderten Eigenschaft aus. Danach werden durch die Funktionsaufrufe
%Berechnung der Koeffizienten die in L auftreten
a=0.5*sigma_x^2*Omega;
b=Koeffizient_b(x,kappa_x);
c=Koeffizient_c(x,gamma,mu_C,lambda);
Koeff_d=Koeffizient_d(x,gamma,Omega,beta,theta);
die Koezienten des Dierenzenoperators aus der Gleichung (5.3) ausgewertet und danach durch
die Funktion
Berechnung.m an die Berechnungsroutine des Preis-Konsum-Quotienten übergeben.
Die Berechnungsroutine, auf die wir im nächsten Absatz eingehen werden, gibt uns nach ihrem
Beenden des Algorithmus die Lösung
I
u
wieder, die in der Funktion
PreisKonsumQuotient.m
zu
durch
I=u.^(1/theta);
zurück transformiert und an die Datei
Berechnung.m
main.m
zurückgegeben wird.
Berechnung.m beginnt mit der
L, wobei l und r direkt durch die
Die Ermittlungen einer Lösung in der Funktion
Initalisierung und Berechnung der Parameter
f, u, d, l, r
und
übergebenen Parameter bestimmt wird.
%Koeffizient von u_i-1
l=-(a*h^(-2)).*ones(M-1,1)-(b(1:M-1).*h^(-1));
%Koeffizient von u_i+1
r=-a*h^(-2).*ones(M-1,1);
Diese Gröÿen werden danach für die Aufstellung der Matrix
einem Null-Vektor
d
L
benötigt. Sie wird zu Anfang mit
in der Diagonalen validiert und des Weiteren mit den Randbedingungen
unseres linearen Gleichungssystems befüllt.
L=diag([1;d;1])+diag([-((kappa_x-h*(1-gamma))/kappa_x);r],1)...
...+diag([l;-((kappa_x)/(kappa_x-(1-gamma)*h))],-1);
Somit haben wir schon mal die Matrix des zu lösenden linearen Gleichungssystems. Die fortführenden Berechnungen erfolgen in der
while-Schleife. Die Schleife wird mit zwei Abbruchkriterien
max_iter nicht überschritten und
ausgestattet. Einerseits soll eine maximale Iterationsanzahl
andrerseits soll der Abstand zweier aufeinander folgender Iterationen kleiner als die Maschinengenauigkeit
eps
von
Matlab
werden.
while norm(u-u_neu,2)>eps && k<max_iter
60
Nach dem Updaten der Iterationsdurchlaufszahl und der Lösungsabspeicherung der alten Iteration wird der Erwartungswert für jeden Gitterpunkt
xi
aus der Funktion
F
nach Gleichung (5.12)
berechnet.
for i=1:M-1
Int(i)=lambda*Erwartung(M,u,i+1,h,x,mu_nu,sigma_nu,1);
end
Erwartung.m
Hierbei wird die
Matlab-Funktion Erwartung.m zum Auswerten des Erwartungs-
wertes verwendet. Die Funktion benutzt die Integralschreibweise des Erwartungswertes und approximiert das Integral mit der zusammengesetzten Sehnentrapezformel aus der Gleichung (5.11).
Es wird also die Summe über die
jeden Gitterpunkt
xj
u's
gebildet und dann mit der um
xi
verschobenen Dichte für
multipliziert.
summe=sum((u(2:M-1).^k).*exp(-1/2.*((x(2:M-1)...
...-(x(i)+mu_nu).*ones(M-2,1))./sigma_nu).^2));
%Berechne den ersten und letzten Teil des Integrals
ersterTeil=1/2*u(1)^k*exp(-1/2*((x(1)-x(i)-mu_nu)/sigma_nu)^2);
zweiterTeil=1/2*u(M)^k*exp(-1/2*((x(M)-x(i)-mu_nu)/sigma_nu)^2);
%Fasse alles zusammen
Erwartung=h/(sigma_nu*sqrt(2*pi))*(ersterTeil+zweiterTeil+summe);
Mit den errechneten Erwartungswerten für jeden Gitterpunkt wird dann in
Funktion
f
Berechnung.m
die
bestimmt. Dabei ieÿen neben dem soeben bestimmten Erwartungswert auch die
anderen Gröÿen der Funktion
Gleichungssystem
Lu = f
F
ein. Bevor dann als letzten Schritt der
while-Schleife das lineare
gelöst wird, muss, wie auf Seite 47 beschrieben, die Diagonale
d=(2*a*h^(-2)).*ones(size(d))+b(1:M-1).*h^(-1)...
...+Koeff_d(1:M-1)+c(1:M-1)-theta.*u(1:M-1).^(-1/theta);
L=diag([1;d;1])+diag(diag(L,1),1)+diag(diag(L,-1),-1);
von
L
mit dem aus dem letzten Iterationsschritt gewonnenen Lösung
ui
erneuert werden. Mit
dem gelösten LGS
end
u=L\f;
endet die Iteration und die
while-Schleife beginnt erneut oder bricht ab, da die Abbruchkriterien
erfüllt sind.
Die Lösung
I
wird zusammen mit dem Gitter
x
an die Datei
main.m
zurückgegeben, sodass
durch den Plotbefehl der Preis-Konsum-Quotient für alle Zustände im Intervall
abgetragen werden kann.
61
[xmin , xmax ]
7.2. Implementierung der numerischen Approximation des
Preis-Dividenden-Quotienten
Wir starten die Berechnung des Preis-Dividenden Quotienten mit dem Aufruf
%Berechnen des Preis-Dividenden-Quotienten
[L,I_x,r_f,Fehler]=PreisDividendenQuotient(M+1,x,h,L_CDG,I,...,mu_C);
womit alle wichtigen Werte übergeben werden. Zurück erhalten wir den Preis-Dividenden Quotienten und die Ableitung von
I
nach
x
auf dem gesamten Gitter, sowie den risikofreien zinssatz
für das gesamte Gitter. Der Fehler gibt bezeichnet die Entwicklung des Fehlers in der Approximation des Preis-Dividenden Quotienten. Damit kommen wir nun zur genauen Aufbau der
Funktion
PreisDividendenQuotient.m.
Zunächst berechnen wir wieder einen Erwartungswert, den wir für die späteren Berechnungen
brauchen. Dieser Erwartungswert wird mittels des Preis-Konsum Quotienten über
im Voraus schon mal für alle möglichen
ν
x gebildet und
bestimmt.
%Berechnen des Erwartungsterms von E[I(x+nu)^(theta-1)]
ErwartungI=zeros(M,1);
for i=1:M
ErwartungI(i,1)=Erwartung(M,I,i,h,x,mu_nu,sigma_nu,theta-1);
end
Für die weiteren Implementierungen müssen noch zwei Standardabweichungen berechnet werden.
Zum einen
σC =
√
Ω
und zum anderen mit dem Funktionsaufruf
sigma_I=sigmaI(N,I,x,Index,sigma_x,rho,dN,Omega,sigma_nu);
die Standardabweichung des zuvor validierten Preis-Konsum-Verlaufs.
Implementierung des risikofreien Zinssatzes
Wir wollen nun den risikofreien Zinssatz in implementieren, da wir den risikofreien Zinssatz bei
der Berechnung des Preis-Dividenden Quotienten benötigen. Wir starten die Berechnung des
risikofreien Zinssatzes mit dem Funktionsaufruf
r_f=RFIR(x_Zustand,N,I,Index,dt,theta,...,sigma_nu);
Mit dem Aufruf wird als erstes eine Fallunterscheidung durchgeführt. Auf Seite 17 wurde bereits
auf den einussnehmenden Parameter
Hilfe der
if-Bedingung
von
Matlab
ρ
hingewiesen. Wir bauen die Fallunterscheidung mit
ein. Falls
ρ=1
ist, können wir sofort die Berechnung vom
risikofreien Zinssatz starten.
if (rho==1)
r=(beta+mu_C+sigma_C^(2)/2-gamma*sigma_C^2).*ones(N+1,1)+x_Zustand;
62
In allen anderen Fällen, müssen wir erst noch mit der Funktion
von
Iθ
bzw.
I θ−1 ,
Erwartung.m den Erwartungswert
wie bereits auf Seite 61 beschrieben, für jeden Zeitpunkt validieren.
else
for i=1:N+1
Erwartungswert1(i)=Erwartung(N+1,I(Index),i,...,sigma_nu,theta);
Erwartungswert2(i)=Erwartung(N+1,I(Index),i,...,sigma_nu,theta-1);
end
Danach wird dann der risikofreie Zinssatz für jeden Zeitpunkt mit der Formel von Seite 17
bestimmt.
for i=1:N+1
r(i)=beta+rho*(mu_C+x_Zustand(i)+(norm(sigma_C,2)^2)/2)...
-gamma*(1+rho)*((norm(sigma_C,2)^2)/2)...
-(1-theta)*sigma_I(i)*(sigma_C+1/2*sigma_I(i))+lambda*...
...((theta-1)/theta*((1/(I(Index(i)))^theta)*Erwartungswert1(i)-1)...
-((1/(I(Index(i)))^(theta-1))*Erwartungswert2(i)-1));
Implementierung des Preis-Dividenden-Quotienten
In diesem Abschnitt wollen wir die Implementierung des Preis-Dividenden Quotienten im Einzelnen betrachten. Zunächst spalten wir den
x Vektor in einen nur positiven Vektor und in einen
nur negativen Vektor auf.
%Aufteilung des x Vektors in zwei x_oben (nur negative Eintraege) und
%x_unten (nur positive Eintraege)
temp1=0;
if max(x)>0
while x(temp1+1)<0
temp1=temp1+1;
end
x_oben=[x(1:temp1,1);zeros(M-temp1,1)];
x_unten=[zeros(temp1,1);x(temp1+1:M,1)];
else
x_oben=zeros(M,1);
x_unten=x;
end
Dies ist für die Berechnung der nachfolgenden Koezienten vom Dierenzenoperator wichtig,
da wir dort auf der Diagonalen die Negativen Einüsse von
x
genau bestimmen wollen. Die
Koezienten des Dierentialoperators aus Gleichung (6.3) berechnen wir mit
%Berechnen der Koeffizienten aus dem Differenzenoperator
a=ones(M,1).*(1/2*sigma_x^2*Omega);
b=-(theta-1).*(I_x./I).*(sigma_x^2*Omega)+kappa_x.*x_unten;
c=lambda./I.^(theta-1).*(ErwartungI)-mu_D.*ones(M,1)+ones(M,1).*...
...(gamma*Omega*sigma_D*rho_CD)-Phi.*x(1:M,1)+r_f(1:M,1)-mu_D.*ones(size(x));
63
und bestimmen damit sofort die Koezienten des Dierenzenopeartors aus Gleichung (6.7),
%Eingabe der Werte fuer die Koeffizienten von L
%Koeffizient von L_i
d=c(2:M-1,1)+2.*a(2:M-1,1)./(h^2)+b(2:M-1,1)./h;
%Koeffizient von L_i+1
r=-a(1:M-1,1)./(h^2);
%Koeffizient von L_i-1
l=r;
womit wir ein lineares Gleichungssystem bekommen, dessen Systemmatrix
%Konstruktion von Matrix A
A=diag(d)+diag(r(2:M-2,1),1)+diag(l(2:M-2,1),-1);
symmetrisch ist. Zuvor wurden allerdings noch die Anfangs- und Endbedingung implementiert,
die sich auf den ersten und letzten Diagonaleintrag der Matrix auswirken.
Nach der initalisierung der zu berechnenden Variablen, beginnen wir dann mit einer
while-
Schleife, die unser Abbruchkriterium für die Iteration überprüft.
k=1;
max_iter=1000;
%Beginn mit der Iteration
while norm(L-L_neu,2)>(0.0002) && k<max_iter
Zunächst wird dann das aktuelle
L abgespeichert und der Iterationsschrittzähler wird aktualisiert.
k=k+1;
%Speichern der alten Version
L_neu=L;
Danach beginnt dann die Berechnung des im jeden Iterationsschritt neu zu berechnenden Erwartungswertes und dem damit eingehenden Funktionswert
f
von der rechten Seite des linearen
Gleichungssystems.
for j=1:M
%Berechne die Erwartung von E[L(x+nu)*I(x+nu)^(theta-1)]
ErwartungIL(j)=Erwartung(M,L.*(I).^(theta-1),j,h,x,mu_nu,sigma_nu,1);
end
Erwartung_temp=lambda.*(1./(I.^(theta-1))).*(ErwartungIL);
%Berechne den Funktionswert auf der rechten Seite
f(2:M-1,1)=Erwartung_temp(2:M-1,1)+ones(M-2,1)+b(2:M-1,1).*...
...L(1:M-2,1)./(h)-kappa_x.*x_oben(2:M-1,1).*diffI(x,L,(2:M-1)');
f_temp=f(2:M-1,1);
Dann beginnen wir mit der Implementierung des SOR-Verfahrens aus Abschnitt 6.2.1, das unser
lineares Gleichungssystem in jedem Iteationsschritt neu löst. Wir haben um ein stabiles Verfahren
64
zu haben, den Wert
ω
sehr klein gewählt. Dies ist uns möglich, da wir durch die Berechnung der
Approximation von Collin-Dufresne und Goldstein schon einen etwas genaueren Startwert für
unsere Iteration haben.
%Loesen des LGS
w=0.1;
L(2)=(1-w)*L_neu(2)+w/A(1,1)*(f_temp(1,1)-A(1,2)*L(3));
for j=3:M-2
L(j)=(1-w)*L_neu(j)+...
...w/A(j-1,j-1)*(f_temp(j-1,1)-A(j-1,j)*L_neu(j+1)-A(j-1,j-2)*L(j-1));
end
L(M-1)=(1-w)*L_neu(M-1)+w/A(M-2,M-2)*(f_temp(M-2,1)-A(M-2,M-3)*L(M-2));
L(M)=-Endbedingung*L(M-1);
L(1)=-Anfangsbedingung*L(2);
end
Da die Matrix
A
nach Konstruktion symmetrisch und positiv denit ist, wird das lineare Glei-
chungssystem auch jedes Mal gelöst. Falls die Iterationsgrenze überschritten wird, wird einen
Nachricht ausgegeben,
if k==max_iter
disp('keine Loesung fuer L gefunden, maximale Iterationszahl ueberschritten');
end
aber trotzdem der bisher berechnete Wert für
L
an die Funktion
main.m
zurückgegeben.
7.3. Implementierung der Monte-Carlo-Simulation
In diesem Abschnitt wollen wir die Implementierung der Monte-Carlo Simulation vorstellen.
Die theoretische Grundlagen und die grundsätzliche Vorgehensweise wurden bereits in Kapitel 3 besprochen. Wir werden in Abschnitt 7.3.1 mit der Implementierung der Hauptroutine
Hauptdatei.m
beginnen, die wir in unserer Simulation
n-Mal
durchlaufen lassen. Sie simuliert
bei gegebenen Ausgangswerten mögliche Zustands-, Konsum- und Dividendenverläufe (Implementierung siehe Seite 66), die sich dann auf die Modellmarktgröÿen auswirken und somit einen
möglichen Verlauf des Finanzmarktes wiedergeben. Hieraus werden dann die benötigten Parameter wie beispielsweise der Endwert
nach
n
Durchläufen ein Vektor
V_T
V_T
der Aktie zurückgegeben und abgespeichert, sodass
der Länge
n
existiert.
Mit den gewonnenen Daten aus der Hauptroutine werden dann mit Hilfe der Bewertungsformel
aus der Gleichung (3.4) die Optionswerte für das ganze Intervall der moneyness ([−0.5, 0.5])
validiert. Die Optionswerte werden dann dazu verwendet, die entsprechende implizite Volatilität
zu berechnen, um sie dann auf dem Intervall der moneyness aufzutragen. Die Implementierung
dieses Programmabschnittes wird auf Seite 70 näher erläutert.
65
7.3.1. Implementierung der Hauptroutine
Die Funktion
gesamt
n-Mal
Hauptdatei.m
bildet die Hauptroutine der Monte-Carlo Simulation. Sie wird ins-
mit den Modellparametern und -daten wie folgt
parfor i=1:n
[V_T(i),R(i,1),D_individual(i,1)]=
...Hauptdatei(L,I_x,r_f,C_0,D_0,N,T,I,...,Phi,lambda_Q);
end
aufgerufen. Hierbei werden auch die vorher festgesetzten Parameter
C_0, D_0, T
sowie
N
an die
Funktion übergeben, wobei speziell
N=252*T;
so gewählt ist, dass ein Zeitschritt genau einen Tag für das Modell bedeutet. Hieraus ist auch
für unser Modell ersichtlich, dass
T
in Jahren angegeben werden muss.
Die Funktion besteht wiederum aus weiteren Funktionen, die nacheinander aufgerufen werden.
Als erstes wird die Funktion der Modelldynamik ausgeführt, die die Basis der Monte-CarloSimulation verkörpert. Wir werden die Eigenschaften aus Abschnitt 2.2.2 zu Beginn in unser
Programm implementieren. Danach werden dann die Modellwerte auf Grundlage der Dynamik
bestimmt, bevor wir dann damit die risikoneutrale Dynamik von Seite 19 mit Hilfe der simulierten
Werte aus der Modelldynamik implementieren können. Dies ist im darauolgenden Absatz entscheidend, denn damit berechnen wir den Preis-Dividenden Quotientenverlauf der risikoneutralen
Dynamik. Mit dem wir dann mit einfachen Mitteln den letzten Übergabewert
durch die Funktion
Hauptdatei.m
an die Datei
main.m
V_T validieren, der
zurückgegeben wird.
Implementierung der Dynamik
Wir wollen im Folgenden die Dynamik des Modells aus Abschnitt 2.2.2 in unseren Programmcode
implementieren. Da wir für die später benötigten Werte aber nur den Zustandsverlauf brauchen,
beschränken wir uns bei der Implementierung auf diesen. Später bei der risikoneutralen Dynamik
gehen wir dann auch auf die Implementierung des Konsums und der Dividende ein.
Implementierung des Zustandsverlaufes
Zustandsverlaufs in der Datei
Wir beginnen mit der Simulation des essentiellenen
Hauptdatei.m.
In der Funktion
Hauptdatei.m
wird die Funktion
[x_Zustand,nu_schlange]=Zustand(T,N,dt,lambda,...,kappa_x,Omega,sigma_x);
aufgerufen, die mit den gegebenen Modellparametern und -daten einen Zustandsverlauf nach der
Gleichung (2.8a) von Seite 14 simuliert. Nebenprodukte der Simulation eines Verlaufes ist das
normalverteilte
mu_nu
mit Dichte aus der Gleichung (2.8b), die wir in späteren Programmteilen
wieder benötigen.
Nachdem wir den Startwert
66
x_Zustand(1)=mu_nu*lambda*kappa_x^(-1);
für den Wachstumsverlauf durch die im Paper [4] vorgegebene Bedingung deniert haben, kommen wir zu einer
while-Schleife.
In der Schleife
[M,~]=size(x);
while min(x_Zustand)<x(1) && max(x_Zustand)>x(M)
...
end
dient das Abbruchkriterium dazu, dass die der Zustandsverlauf nicht über das Intervall
geht. Das heiÿt, der Zustandsverlauf darf nie unter
xmin
oder über
xmax
U
hinaus-
kommen. Dies sind die
Grenzen für unser Modell. Falls ein gröÿeres Intervall benötigt wird, muss man schauen, in wie
weit es möglich dies durch eine erneute Berechnung des Preis-Konsum-Quotienten mit eventuell
anderen Werten umzusetzen.
In der
while-Schleife wird als erstes die essentielle Standard Brownsche Bewegung mit der Funk-
tion
W=Brownian(T,N);
und danach der Poisson Prozess
dN=poissrnd(lambda*dt,N+1,1);
mit Parameter
λ·dt simuliert. Als weiter vorbereitende Maÿnahme zur Berechnung des ZustandsN + 1-dimensionale normalverteilte Zufallsvariable ν̃ durch
verlaufes wird noch die
nu_schlange = mu_nu.*ones(N+1,1)+sqrt(sigma_nu).*randn(N+1,1);
berechnet. Danach kann dann der wichtige Zustandsverlauf mit den auf Seite 14 gegebenen
zeitdiskreten Gleichungen
for i=2:N+1
dx_Zustand(i)=-kappa_x*x_Zustand(i-1)*dt+...
...+sqrt(dt)*(sigma_x*sqrt(Omega)*W(i)+nu_schlange(i)*dN(i));
x_Zustand(i)=x_Zustand(i-1)+dx_Zustand(i);
end
berechnet werden.
Da jetzt der Zustandsverlauf eines Simulationsdurchlaufes implementiert wurde, kann der PreisKonsum-Quotientenvektor
I
von Abschnitt 7.1 durch den Zustandsverlauf
Dies wird mit dem Funktionsaufruf
x_temp=x;
[x,I,Index_P]=IndexBerechnung(N,x,x_Zustand,I);
67
x ausgewertet werden.
ausgeführt. Zuvor wurde aber das alte
x
unter
x_temp
abgespeichert. Die Funktion
x_neu=union(x,x_Zustand);
in
IndexBerechnung.m
sortiert die Zustände von
vorkommende Werte. Daraufhin kann durch die
von
I
x in den Gittervektor ein und löscht doppelt
Matlab-Funktion interp1 eine Interpolation
auf das erweiterte Gitter durchgeführt werden. Ziel ist es, die Preis-Konsum-Werte für
die simulierten Zustände von
Indizes für
I,
x
zu bekommen. Dies erreichen wir durch die Bestimmung eines
indem wir
for i=1:N+1
[~,Index(i)]=min(abs(x_neu-x_Zustand(i).*ones(size(x_neu))));
end
ausführen. Wir erhalten also die Preis-Konsum-Werte für die Zustände von
nete Index in das
I
x, indem der berech-
eingesetzt wird.
I(Index_P) = Preis-Konsum-Verlauf
Analog gehen wir auch für die anderen übergebenen Vektoren
zuvor auf dem gesamten Gitter
x
L, r_f
und
lambda_Q
ausgewertet wurden. Wobei hierbei nicht mehr der
vor, die
Index_P
berechnet werden muss, sondern nur noch der entsprechende Vektor durch die neuen Werte von
Zustand ergänzt werden muss. Der Aufruf vom Preis-Dividienden Quotient erfolgt beispielsweise
wie folgt:
[~,L,~]=IndexBerechnung(N,x_temp,x_Zustand,L);
Implementierung der risikoneutralen Dynamik
In diesem Abschnitt wollen wir die Implementierung der risikoneutralen Dynamik durchführen,
die mit der Datei
riskneutralDynamic.m
aufgerufen wird. An die Funktion
[x_Zustand_Q,D_Q]=riskneutralDynamic(D_0,C_0,I,I_x,Index_P,N,dt...,mu_C);
wird unter anderem auch der berechnete
laufsdaten von unserer Dynamik unter
P
Index_P
weitergegeben, um die entsprechenden Ver-
zu bekommen. Detailiert in der Funktion
riskneutralDynamic.m beginnen wir mit der Initalisierung der zu berechneten Verläufe von des
Zustandsverlaufs, Konsumverlaufs und des Dividendenverlaufs
%Aggregierte x bestimmen
x_Zustand=ones(N+1,1);
dx_Zustand=zeros(N+1,1);
%Startwert für den Preis
x_Zustand(1)=mu_nu*lambda_Q(1)*kappa_x^(-1);
%Aggregierte C bestimmen
68
c=zeros(N+1,1);
dc=zeros(N+1,1);
%Startwert fuer den Konsum
c(1)=log(C_0);
%Aggregierte d bestimmen
d=zeros(N+1,1);
dd=zeros(N+1,1);
%Startwert fuer die log-Dividende
d(1)=log(D_0);
Nach der Berechnung der Sprungrate und der Simulierung der Brownschen Bewegungen
nu_schlange_Q=nu_schlange.*ones(size(Index))+...
...+((theta-1)*sigma_nu^2).*(I_x(Index)./I(Index));
%Brownsche Bewegungen simulieren
W_C_Q=Brownian(T,N);
W_X=Brownian(T,N);
W_D_Q=Brownian(T,N);
ist es uns dann möglich innerhalb von einer
Wahrscheinlichkeitsmaÿ
Q
for-Schleife
die Simulation der Verläufe unter dem
durchzuführen.
for i=2:N+1
%Simulieren eines Poisson Jump Prozesses
dN(i)=poissrnd(lambda_Q(i)*dt,1,1);
dx_Zustand(i)=(-kappa_x*x_Zustand(i-1)+(theta-1)*...
...(sigma_x*Omega+I_x(Index(i))*sigma_x^2*Omega/I(Index(i))))*dt+...
...+sqrt(dt)*sigma_x*sqrt(Omega)*W_X(i)+nu_schlange_Q(i)*dN(i);
x_Zustand(i)=x_Zustand(i-1)+dx_Zustand(i);
dc(i)=(mu_C+x_Zustand(i-1)+1/2*Omega-(theta+gamma)*Omega)*dt+...
...+sqrt(Omega)*W_C_Q(i)*sqrt(dt);
c(i)=c(i-1)+dc(i);
dd(i)=(mu_D+Phi*x_Zustand(i-1)+...
...sigma_D*Omega*(-1/2*sigma_D+rho_CD*(1-theta-gamma)))*dt+...
...sigma_D*sqrt(Omega)*(rho_CD*sqrt(Omega)*W_C_Q(i)+
...+sqrt(1-rho_CD^2)*W_D_Q(i))*sqrt(dt);
d(i)=d(i-1)+dd(i);
end
Wir übergeben dann am Schluss der Datei nur noch den berechneten Zustand an
Zustand_Q und
rechnen den Dividendenverlauf in seine ursprüngliche Form
x_Zustand_Q=x_Zustand;
%Zuruekfuehren auf Ausgangssituation
D_Q=exp(d);
x_Zustand_Q und D_Q unsere
Wahrscheinlichkeit Q vollendet haben.
womit wir dann mit der Übergabe der Werte
koneutralen Dynamik unter der
69
Simulation der risi-
Letzte Berechnungen der Übergabewerte an die Datei main.m
Nach der Simulation der risikoneutralen Dynamik müssen wir auf Basis dessen, analog zur Berechnung des
Index_P
den
Index_Q
für den Preis-Dividenden Quotienten und den risikolosen
Zinssatz bestimmen. Danach können wir dann mit den berechneten Daten, die nötigen Werte
zurück an die Datei
main.m
übergeben.
%Berechne das neue x_Q mit dem dazugehoerigen Index_Q unter der
%risikoneutralen Dynamik
[~,L,Index_Q]=IndexBerechnung(N,x,x_Zustand_Q,L);
[~,r_f_Q,~]=IndexBerechnung(N,x,x_Zustand_Q,r_f);
%Berechnung des risikolosen Zinssatzes und der Dividende im Zeitraum T fuer
%diese Siumlation unter dem Wahrscheinlichkeitsmass Q
R=sum(r_f_Q(Index_Q))*dt;
D=sum(D_Q)*dt;
%Berechnen des Aktienpreises
V=L(Index_Q).*D_Q;
%Uebergabe des Endpreises der Aktie
V_T=V(N+1);
7.3.2. Implementierung der impliziten Volatilität
In diesem Abschnitt wollen wir die Implementierung der Berechnung für die implizite Volatilität
betrachten. Zu Beginn werden die aus Abschnitt 3 betrachteten Erkenntnisse verwendet und
implementiert, um dann mit ihrer Hilfe und das der
Matlab-Routine blsimpv
die implizite
Volatilität zu berechnen.
Wir beginnen mit der Implementierung der Mittelwerte für den Bondpreis, den heutigen Wert
von
V _T
und der Dividende.
%Berechne den Mittelwert des Bondpreises, des heutigen Wertes
%von V_T und der Dividende heutiger Bondpreis
B_0=(1/n)*sum(exp(-R));
%heutiger Wert von V_T
V_0=(1/n)*sum(V_T.*exp(-R));
%Dividende, die durchschnittlich gezahlt wird
D=(1/n)*sum(D_individual);
0 liegen hat.
Laufzeit T der
Danach wird ein Gitter für die moneyness konstruiert, welches den Mittelpunkt bei
Die Breite des Gitters und die Anzahl der Gitterpunkte hängt dabei von der
Option ab. Je länger die Laufzeit
T,
desto gröÿer muss das Intervall der moneyness sein.
x_min=round((-1.2*T^(1/(12*T)))*100)/100;
x_max=round((1.2*T^(1/(12*T)))*100)/100;
70
%M_moneyness ist die Feinheit des Gitters fuer den Erwartungswert
%und die Volatilitt der verschiedenen moneyness-Werte
M_moneyness=round(1200*T^(1/(12*T)));
%moneyness ist hier die moneyness ueber das Intervall [x_min,x_max]
[moneyness,dx]=Gitter(M_moneyness,x_min,x_max);
Es wird eine Schleife in das Programm eingebaut, sodass für jeden Punkt auf dem moneyness Gitter mit dem entsprechenden strike price
K
die Berechnungen für die implizite Volatilität
durchgeführt werden.
%Berechne mit eine Schleife ueber die moneyness die implizite Volatilitaet
for i=0:M
%Bestimme den Strike Price bei gegebenem Preis und Moneyness
K=S/(1+moneyness(i+1));
Für jeden Gitterpunkt wird nun der hergeleitete Schätzer aus Kapitel 3 für den Erwartungswert
des Callpreises aus Gleichung (3.1) berechnet.
%heutiger Callpreis
xi(i+1,1)=(1/n)*sum(exp(-R).*max(0,V_T-K*ones(n,1)));
Das
ξ(i) ist dann der geschätzte Optionswert für ein vorher festgelegten strike price K . Somit sind
für die Berechnung der impliziten Volatilität aus der Black-Scholes-Merton Formel alle Parameter
gegeben. Mit dem Aufruf der Funktion
%Volatility=blsimpv(Price,Strike,Rate,Time,Value,Limit,Yield,Tolerance,Class)
Volatility(i+1)=blsimpv(V_0,K,(log(B_0))/T,T,xi(i+1),10,D,eps,true);
end
übergeben wir die aus den Implementierungen vorher festgelegten oder berechneten Werte für
die Zeitschritte, den Endzeitpunkt, den Optionspreis, den Anfangspreis, den strike price, die
Zinssatzrate und die Dividende. Die Funktion
K
blsimpv.m
berechnet dann für jeden strike price
die implizite Volatilität und speichert diese in dem Vektor
Volatility,
der die Länge des
moneyness -Gitters hat, ab.
Am Ende der
for-Schleife
aus der Datei
main.m erhalten wir also
SIGMA der impliziten
moneyness -Gitters einen entsprechenden Wert
für jeden Gitterpunkt des
Volatilität. Mit dem
Befehl lässt sich dann das gewollte Ergebnis der Simulation graphisch darstellen.
71
Plot-
8. Ergebnisse der Simulation
Das folgende Kapitel präsentiert die Ergebnisse der Modellsimulation, die im vorherigen Kapitel
programmiert wurden. Dabei wird auf die wichtigsten Ergebnisse eingegangen und diese erläutert.
Die folgende Messwerte wurden bei den Simulationen verwendet:
Data
Für alle Berechnung in dieser Arbeit wurde Matlab 2009b auf einem 64-Bit Linux System
mit 7 Kernen je 2.5 GhZ jeder in 3D verwendet. Die Gröÿe des Speichers betrug 16 GB.
Standard Modellwerte
Die im Folgenden aufgelisteten Werte sind die Standardwerte des Mo-
dells, die wir bei unseren Berechnungen verwenden wollen. Falls eine Sensitivitätsanalyse für
einzelne Parameter durchgeführt oder andere Werte im Modell eingesetzt werden, wird dies explizit angemerkt.
Die Modelldaten für unser standard Modell sind in nachfolgender Tabelle aufgelistet:
Denition
Drift im Konsumprozess
−x
Volatilität im Konsumprozess
erwartete Wachstumsrate der Dividende
Standardabweichung vom Dividendenprozess
Korrelation zwischen Konsum und Dividende
mean reversion-Parameter
standard deviation of the
erwartete Sprunghöhe des Poisson Prozesses
Intensität Poisson Prozess
Standardabweichung der Sprunghöhe
Risikoaversionskoezient
elasticity of intertemporal substitution (EIS)
Gewichtung des Einusses auf den Drift der Dividende
zeitlicher discount-Faktor
Parameter
Parameterwerte
µC
Ω
µD
σD
ρC,D
κx
σx
µν
λ
σν
γ
Ψ = ρ1
ρ
φ
β
0.018
0.00073
0.025
4.5
0.6
0.2547
0.4472
-0.094
0.02
0.015
7.5
2
1/2
1.5
0.017
8.1. Ergebnisse für die Berechnung des Preis-Konsum-Quotienten
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Berechnungen für den Preis-Konsum-Quotienten
vorgestellt und mit den Ergebnis (Abbildung 4.1) von Collin-Dufresne und Goldstein aus [4]
verglichen. Dabei wird zu jeder Berechnung jeweils die verwendete Zeit und die Modelldaten
angegeben. Wir beginnen zunächst mit wenigen Gitterpunkten und erhöhen dann die Anzahl
unserer Berechnungen.
72
Danach werden wir dann noch Modellspezikationen durchführen und diese mit den standard
Modellwerten vergleichen. Im Folgenden wird
Für die erste Berechnung haben wir
M
M = 1000
die Anzahl der Gitterpunkte bezeichnen.
Gitterpunkten verwendet.
Die benoetigte Zeit der Preis-Konsum-Quotienten-Berechnung dauerte (0h 0m 3s)
Die Berechnungsdauer betrug also insgesamt 3 Sekunden um die Abbildung 8.1 zu erhalten. Im
Vergleich mit dem Preis-Konsum-Quotienten von Collin-Dufresne und Goldstein aus Abbildung
4.1 erkennt man, dass der von uns berechnete Quotient den Quotient von Collin-Dufresne und
Goldstein leicht unterschreitet.
Preis−Konsum−Quotientenverlauf
45
Approximation von I
Berechnung von ICDG von Collin−Dufresne und Goldstein
Preis−Konsum−Quotient "I"
40
35
30
25
20
15
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.1.: In dieser Abbildung ist der Preis-Konsum-Quotienten auf einem Gitter mit 1000
Punkten berechnet worden.
Betrachten wir nun den Unterschied von 2.000 Gitterpunkten und 10.000 Gitterpunkten zu der
Abbildung 4.1 in Abbildung 8.2. Für die Berechnungen wurden jeweils 16 Sekunden und 8 Minuten 22 Sekunden benötigt. Es fällt auf, dass je feiner das Gitter wird (dass heiÿt, je höher die
Anzahl an Gitterpunkten), desto mehr nähern sich die berechneten Lösungen aus dieser Arbeit
mit denen aus dem Paper [4] an.
8.1.1. Sensitivitätsanalyse
In diesem Abschnitt wollen wir die Sensitivität der Preis-Konsum Quotientenkurve betrachten.
Wir werden dazu die Intensität
λ
und die erwartete Sprunghöhe
µν
des Poisson Prozesses vari-
ieren.
Wir variieren zu Beginn die Intensität des Sprungprozesses
λ
λ. Die Intensität des Sprungprozesses
gibt in unserem Modell an, wie hoch die Erwartung ist, dass ein Crash auftritt. Bei unserem
Standardwert
λ = 0.02
haben wir einen Erwartungswert von zwei Crashs in 100 Jahren. Wir
73
Preis−Konsum−Quotientenverlauf
45
Preis−Konsum Quotient von Collin−Dufresne und Goldstein
Preis−Konsum Quotient berechnet mit M=2000 Gitterpunkten
Preis−Konsum Quotient berechnet mit M=10000 Gitterpunkten
Preis−Konsum Quotient "I"
40
35
30
25
20
15
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.2.: In dieser Abbildung werden die Berechnungen des Preis-Konsum-Quotienten auf
einem Gitter mit 2.000 Gitterpunkten mit einem Gitter von 10.000 Gitterpunkten verglichen.
erhöhen also um einen und verringern um einen Crash und betrachten dann die Auswirkung auf
den Preis-Konsum Quotienten
Für den Standardfall
λ = 0.02
war der Unterschied der Lösung von Collin-Dufresne und Gold-
stein zu unsere approximativen Lösung sehr gering. Wir erkennen aber in Abbildung 8.3, dass es
bei den abgeänderten Fällen erhebliche Fehler auftreten zwischen Approximations- und Annahmenlösung. Dies ist vor allem bei einem sehr klein gewähltem
λ
der Fall.
Ähnliches erkennen wir auch bei der Variation der erwarteten Sprunghöhe
zesses um die Standardabweichung
σν
µν
des Poisson Pro-
in Abbildung 8.4. Wir lassen also gröÿer bzw. kleinere
Sprünge nach unten für einen Crash zu.
Auch bei dieser Sensitivitätsbetrachtung ist zu erkennen, dass je kleiner der betrachtete Parameter wird, desto gröÿer ist der Unterschied zur Lösung von Collin-Dufresne und Goldstein.
8.2. Ergebnisse für die Berechnung des
Preis-Dividenden-Quotienten
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Berechnungen für den Preis-Dividenden Quotienten vorgestellt und mit den Ergebnis von Collin-Dufresne und Goldstein aus [4] verglichen.
Dabei wird zu jeder Berechnung jeweils die verwendete Zeit und die Modelldaten angegeben.
Wir beginnen zunächst mit wenigen Gitterpunkten und erhöhen dann die Anzahl unserer Berechnungen.
Für die erste Berechnung haben wir
M = 1000
Gitterpunkten verwendet.
74
Sensitivitaet des Preis−Konsum−Quotienten von Parameter λ
60
55
50
I mit λ=0.01
ICDG mit λ=0.01
I mit λ=0.02 (standard)
ICDG mit λ=0.02 (standard)
I mit λ=0.03
ICDG mit λ=0.03
Preis−Konsum−Quotient "I"
45
40
35
30
25
20
15
10
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.3.: In dieser Abbildung sind die Preis-Konsum-Quotienten für verschiedene
λ
auf
einem Gitter mit 7000 Punkten berechnet worden. Als Vergleich wurden auch
die Berechnungen der Lösung von Collin-Dufresne und Goldstein angegeben.
Sensitivitaet des Preis−Konsum−Quotienten von Parameter µν
55
50
Preis−Konsum−Quotient "I"
45
40
I mit µν=−0.094−σν
ICDG mit µν=−0.094−σν
I mit µν=−0.094 (standard)
ICDG mit µν=−0.094 (standard)
I mit µν=−0.094+σν
ICDG mit µν=−0.094+σν
35
30
25
20
15
10
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.4.: In dieser Abbildung sind die Preis-Konsum-Quotienten für verschiedene
µν
auf
einem Gitter mit 7000 Punkten berechnet worden. Als Vergleich wurden auch
die Berechnungen der Lösung von Collin-Dufresne und Goldstein angegeben.
75
Die benoetigte Zeit der Preis-Dividenden-Quotienten-Berechnung dauerte (4m 41s)
Preis−Dividenden−Quotientenverlauf
22
Berechnung von L mittels des SOR−Verfahrens
20
Berechnung von LCDG von Collin−Dufresne und Goldstein
Preis−Dividenden−Quotient "L"
18
16
14
12
10
8
6
4
2
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.5.: In dieser Abbildung ist der Preis-Dividenden-Quotienten auf einem Gitter mit
1000 Punkten berechnet worden.
Man erkennt in Abbildung 8.5, dass der von uns berechnete Preis-Dividenden Quotient mittels des
SOR-Verfahrens leicht über dem berechneten Preis-Dividenden Quotienten von Collin-Dufresne
und Goldstein liegt.
Bei Betrachtung der Preis-Dividenden Quotienten für enger maschige Gitter (M
M = 10000)
= 2000
und
können wir in Abbildung 8.6 feststellen, dass der von uns berechnete Quotient
zwar noch leicht über dem von Collin-Dufresne und Goldstein liegt, aber ziemlich in der Nähe
liegt. Der Abstand des Preis-Dividenden Quotienten auf dem Gitter mit 10000 Gitterpunkten
zum Preis-Dividenden Quotienten beträgt in der 2-Norm
0.0013.
Für unsere Lösung bedeutet
das, dass die Lösung von Collin-Dufresne und Goldstein in der ziemlich in der Nähe unserer
konvergierten Lösung liegt. Die Zeit zur Berechnung des Preis-Dividenden Quotienten bei 10000
Gitterpunkten betrug nur 1 Minute und 16 Sekunden.
8.2.1. Sensitivitätsanalyse
In diesem Abschnitt wollen wir die Sensitivität der Preis-Dividenden Quotientenkurve betrachten. Wir werden dazu die Intensität
λ
und die erwartete Sprunghöhe
µν
des Poisson Prozesses
variieren.
Wir variieren zu Beginn die Intensität des Sprungprozesses
λ
λ. Die Intensität des Sprungprozesses
gibt in unserem Modell an, wie hoch die Erwartung ist, dass ein Crash auftritt. Bei unserem
Standardwert
λ = 0.02
haben wir einen Erwartungswert von zwei Crashs in 100 Jahren. Wir
erhöhen also um einen und verringern um einen Crash und betrachten dann die Auswirkung auf
den Preis-Konsum Quotienten
Wir erkennen in unsere Abbildung 8.7, dass im Gegensatz zum vorherigen Abschnitt diesmal die
76
Preis−Dividenden−Quotientenverlauf
22
20
Preis−Dividenden Quotient von Collin−Dufresne und Goldstein
Preis−Dividenden Quotient berechnet mit M=2000 Gitterpunkten
Preis−Dividenden Quotient berechnet mit M=10000 Gitterpunkten
Preis−Dividenden Quotient "L"
18
16
14
12
10
8
6
4
2
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.6.: In dieser Abbildung werden die Berechnungen des Preis-Dividenden-Quotienten
auf einem Gitter mit 2.000 Gitterpunkten mit einem Gitter von 10.000 Gitterpunkten verglichen.
Sensitivitaet des Preis−Dividenden−Quotienten von Parameter λ
30
L mit λ=0.01
Preis−Dividenden−Quotient "L"
25
LCDG mit λ=0.01
L mit λ=0.02 (standard)
LCDG mit λ=0.02 (standard)
L mit λ=0.03
LCDG mit λ=0.03
20
15
10
5
0
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.7.: In dieser Abbildung sind die Preis-Dividenden-Quotienten für verschiedene
λ auf
einem Gitter mit 7000 Punkten berechnet worden. Als Vergleich wurden auch
die Berechnungen der Lösung von Collin-Dufresne und Goldstein angegeben.
77
Berechnungen von Collin-Dufresne und Goldstein mit denen von uns übereinstimmen. Es sei aber
darauf hingewiesen, dass sich der Preis-Dividenden Quotient nach oben bzw. unten verschiebt,
wenn man die Intensität
λ
des Poisson Prozesses verringert bzw. erhöht.
Eine analoge Aussage kann man bei der Betrachtung der Abbildung 8.8 treen. Der Einuss von
Sensitivitaet des Preis−Dividenden−Quotienten von Parameter µ
ν
30
L mit µν=−0.094−σν
CDG
L
25
mit µν=−0.094−σν
L mit µν=−0.094 (standard)
LCDG mit µ =−0.094 (standard)
ν
Preis−Dividenden−Quotient "L"
L mit µν=−0.094+σν
20
LCDG mit µν=−0.094+σν
15
10
5
0
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
Wohlstand "x"
0
0.1
0.2
Abbildung 8.8.: In dieser Abbildung sind die Preis-Dividenden-Quotienten für verschiedene
µν
auf einem Gitter mit 7000 Punkten berechnet worden. Als Vergleich wurden auch
die Berechnungen der Lösung von Collin-Dufresne und Goldstein angegeben.
der erwarteten Sprunghöhe
µν
des Poisson Prozesses tritt wie folgt auf: Der Preis-Dividenden
Quotient verschiebt sich nach unten bzw. oben, wenn der Betrag der Sprunghöhe groÿ bzw. klein
gewählt wird.
8.3. Ergebnisse für die Berechnung der impliziten Volatilität
In diesem Abschnitt wollen wir die Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation vergleichen. Hierfür
verwenden wir die Ergebnisse der impliziten Volatilität, da diese als Indikator für die Optionsbewertung von (in unserem Fall) S&P500 Index benutzt werden können. Wir werden zu Beginn
des Abschnittes die Modelldaten aus dem ersten Modell verwenden mit denen auch die beiden
Quotienten aus Abschnitt 8.1 und 8.2 berechnet wurden. Dabei verwenden wir ein Gitter mit
M = 7000
Gitterpunkten. Die Rechenzeit beträgt dabei:
Die benoetigte Zeit der Preis-Konsum-Quotienten-Berechnung dauerte (1m 57s)
Die benoetigte Zeit der Preis-Dividenden-Quotienten-Berechnung dauerte (10m 59s)
Wir erhalten mit den eingegebenen Werten und Daten die implizite Volatilität in Abbildung 8.9.
Dabei ist die implizite Volatilität in auf Jahresbasis umgerechneter Prozentsatz angegeben und
auf der moneyness abgetragen. Wir erkennen sofort den volatility smirk, der erwartet wurde. Die
78
implizite Volatilitaet
35
Berechnung mittels "blsimpv" von Matlab
implizite Volatilitaet "σ" angegeben in Prozent
30
25
20
15
10
5
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
moneyness "S/K−1"
0.04
Abbildung 8.9.: In dieser Abbildung ist die implizite Volatilität
0.06
σ
0.08
0.1
für eine Laufzeit von 1 Monat
mittels 100.000 Zustandssimulationen berechnet worden. M=7000
Zeit für die Simulation dauerte 26 Minuten 57 Sekunden, womit dann die implizite Volatilität
innerhalb von 8 Sekunden berechnet wurde.
Die benoetigte Zeit der Simulationen dauerte (0h 26m 57s)
Die benoetigte Zeit der Volatilitaetsberechnung dauerte (0h 0m 8s)
Die benoetigte Gesamtzeit betrug (0h 40m 2s)
8.3.1. Sensitivitätsanalyse
Im Nachfolgenden wollen wir abweichend von unseren standard Modellwerten selektierte Modellwerte verändern, um die Sensitivität des Parameters, die dieser auf die implizite Volatilität
hat, zu betrachten. Wir verwenden dafür in diesem Abschnitt wieder ein Gitter mit
M = 7000
Gitterpunkten.
Wir variieren zu Beginn die Intensität des Sprungprozesses
λ
λ. Die Intensität des Sprungprozesses
gibt in unserem Modell an, wie hoch die Erwartung ist, dass ein Crash auftritt. Bei unserem
Standardwert
λ = 0.02
haben wir einen Erwartungswert von zwei Crashs in 100 Jahren. Wir
erhöhen also um einen und verringern um einen Crash und betrachten dann die Auswirkung auf
die implizite Volatilität. Wir erkennen in Abbildung 8.10 dass die implizite Volatilität sich nach
oben bzw. unten verschiebt, wenn
λ
gröÿer bzw. kleiner gewählt wird.
Als nächstes kongurieren wir die erwartete Sprunghöhe des Poisson Prozesses
Standardabweichung der Sprunghöhe
σν
µν
durch die
nach oben und unten um. Wir erkennen in Abbildung
8.11, dass falls wir die Sprunghöhe verkleinern, also noch gröÿere Sprünge nach unten zulassen,
dass damit sich dann die implizite Volatilität weiter nach oben abweicht im Vergleich zu standard Modellausgang (nur
µν ).
Anders verhält sich die implizite Volatilität bei einem Vergröÿern
79
Sensitivität der implizite Volatilitaet vom Parameter λ
35
λ =0.03
λ =0.02 (standard)
λ =0.01
implizite Volatilitaet "σ" angegeben in Prozent
30
25
20
15
10
5
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
moneyness "S/K−1"
0.04
Abbildung 8.10.: In dieser Abbildung ist die implizite Volatilität
0.06
σ
0.08
0.1
für eine Laufzeit von 1 Monat
mittels 100.000 Zustandssimulationen berechnet worden, wobei die Intensität
λ
des Poisson Prozesses variiert wird. M=7000.
der Sprunghöhe, das heiÿt, wir lassen nur kleinere Sprunghöhen bei Crashs zu. Die implizite
Volatilität zieht sich weiter nach unten.
80
Sensitivitaet der implizite Volatilitaet vom Parameter µν
35
µν =−0.094−σν
µν =−0.094 (standard)
µν=−0.094+σν
implizite Volatilitaet "σ" angegeben in Prozent
30
25
20
15
10
5
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
moneyness "S/K−1"
0.04
Abbildung 8.11.: In dieser Abbildung ist die implizite Volatilität
0.06
σ
0.08
0.1
für eine Laufzeit von 1 Monat
mittels 100.000 Zustandssimulationen berechnet worden, wobei die Sprunghöhe
µν
um die Standardabweichung der Sprunghöhe
81
σν
variiert wird. M=7000
9. Fazit
Wir haben in der vorliegenden Diplomarbeit das zugrundegelegte Paper [4] mathematisch auf
verschiedenen Ebenen bearbeitet.
Als Basiswissen für unser späteres Ziel haben wir zu Beginn im ersten Teil die stochastischen
Grundlagen eingeführt, die für das Modell von groÿer Bedeutung sind. Damit konnten wir unter
anderem den pricing kernel ohne den Einuss der im Vornherein getroenen Annahmen von
Collin-Dufresne und Goldstein herleiten, der dann bei der entscheidenen Herleitung der risikoneutralen Dynamik enorme Auswirkungen auf das gesamte Modell hatte.
Mit diesen Grundlagen konnten wir im zweiten Teil mit dem wichtigsten Bereich der vorliegenden Arbeit fortfahren. Hier wurden als erstes die Ergebnisse zur Bestimmung einer Lösung für
die Dierentialgleichung des Preis-Konsum Quotienten von Pierre Collin-Dufresne und Robert
S. Goldstein nachgerechnet und vorgestellt.
Ziel danach war es also ohne die Annahmen der Autoren den Beweis von Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für derart von nichtlinearen Dierentialgleichung durchzuführen. Dies ist
uns im mittleren Teil des Kapitels II gelungen zu zeigen. Wir haben gezeigt, dass unter der Voraussetzung gewisser Bedingungen eine Lösung der Dierentialgleichung besteht und sogar von
höherer Regularität ist. Dabei sind wir kleinschrittig vorgegangen, in dem wir zunächst eine allgemeine Strukturbetrachtung der Dierentialgleichung vorgenommen haben, um die Eigenschaften
herauszunden. Nachdem wir dann die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für elliptische
Dierentialgleichungen dieser Art gezeigt hatten, war es dann nur noch ein kleiner Schritt zu
Existenz und Eindeutigkeit für die Lösung des Preis-Konsum Quotienten aus der Dierentialgleichung. Die höhere Regularität der Lösung wurde dann noch durch die Eigenschaften der
Dierentialgleichung mitgeliefert. Danach haben wir aufgrund der Schwierigkeit der Bestimmung
einer analytischen Lösung mit der Suche nach einer numerischen Lösung und der dazugehörigen
Fehleranalyse begonnen.
Als Nebenprodukt konnten wir unter anderem im mittleren Teil dann auch noch das numerische
Verfahren für eine numerische Lösung der Dierentialgleichung des Preis-Dividenden Quotienten
angeben, da die lineare Dierentialgleichung des Preis-Dividenden Quotienten ein Spezialfall der
in Kapitel 4 auftretenden nichtlinearen Dierentialgleichung des Preis-Konsum Quotienten ist.
Als letzten Teil der Arbeit haben wir dann unsere gewonnenen Erkenntnisse aus den vorhergehenden Kapiteln in das Programm
Matlab
implementiert, um somit das erste Modell von
Luca Benzoni, Pierre Collin-Dufresne und Robert S. Goldstein aus dem Paper [4] simulieren zu
können. In unseren Ergebnissen der Simulation in Kapitel 8 konnten wir feststellen, dass es an
einigen Stellen Unterschiede bei den Lösungen gibt. Festzuhalten ist, dass für den Standardfall
der Autoren der Preis-Konsum Quotient relativ gut getroen wurde. Bei der Sensitivitätsanalyse
haben wir dann aber gemerkt, dass es hier einen Unterschied macht, ob man nun die Annahme verwendet oder die Lösung mittels des programmierten Verfahrens berechnet. Anders sah es
bei der Berechnung des Preis-Dividenden Quotienten aus. Hier stimmen die Lösungen durch die
Annahme mit der Approximation der Lösung überein, was wahrscheinlich an der Linearität der
Dierentialgleichung liegt.
Trotz der Unterschiede bei der Berechnung des Preis-Konsum Quotienten bekommen wir ähnlich
82
zu den Endergebnissen des Papers [4] volatility smiles als Endergebnis der Monte-Carlo Simulation heraus. Auch beim Vergleich der Sensitivitätsanalysen ist kein Unterschied zu bemerken.
Das Modell bietet mit seinen Ergebnissen die Möglichkeit, Optionen mittels der Monte-Carlo Simulation zu bewerten. Man ist aufgrund des mathematischen Teils nicht mehr auf die Annahme
von Collin-Dufresne und Goldstein angewiesen um den Preis-Konsum Quotienten und den PreisDividenden Quotienten zu bestimmen. Der Nutzer der implementierten Monte-Carlo Simulation
verwendet eine Approximation der Quotienten, dessen Fehler er genau kennt und muss sich nicht
auf eine Annahme verlassen.
Für weitere Modikationen könnte zum Beispiel der zweite Teil des Papers [4] in das Modell
mit eingebunden werden. Dies ist ein sehr interessantere Teil der Arbeit, in dem nicht nur die
Sprünge wie in unserem behandelten Modell auftreten, sondern auch die Agenten, die auf dem
Markt handeln, von den auftretenden Börsencrashs lernen und sich dementsprechend verhalten. Ein Stichwort dafür ist Bayesian Updating. Des Weiteren besteht die Möglichkeit weitere
Sensitivitätsanalysen mit den Parametern durchzuführen und deren betriebswissenschaftlich Zusammenhang zu analysieren.
Das neue Paper [5] von Luca Benzoni, Pierre Collin-Dufresne und Robert S. Goldstein bietet
sich unter anderem auch weiteren mathematischen Betrachtungen an, da hier die Bestimmung
einer Lösung der im Paper auftretenden Dierentialgleichung durch die höhere Dimension der
Zustandsvariablen erschwert wird. Man kann dabei nicht analog zum eindimensionalen Fall,
der für unsere Diplomarbeit hier vorliegt, fortfahren, sondern muss an manchen Stellen der
Beweisführung andere Möglichkeiten suchen, um Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der
Dierentialgleichungen zu zeigen.
83
A. Anhang
A.1. Finanzmathematik
Denition 17 (Itô-Prozess).
{Ft }0≤t≤T
Sei
{Bt }0≤t≤T
mit stetigen Pfaden. Ein Prozess
ein Brownsche Bewegung bezüglich der Filtrierung
{Xt }0≤t≤T
heiÿt Itô-Prozess (in
R),
wenn er die
Darstellung besitzt (P -fast sicher):
t
Z
ist,
{σt }0≤t≤T
und
Z
0 ≤ t ≤ T,
(A.1)
0
0
X0 F0 -messbar
σs dBs
µs ds +
Xt = X0 +
wobei
t
Z
{µt }0≤t≤T
progressiv messbar sind und für alle
t
t
σs2 + µs ds < ∞
0
gilt.
Bemerkung. In Dierentialschreibweise wird der Itô-Prozess aus Denition (17) geschrieben als:
dXt = X0 + µt dt + σt dBt
Satz A.1.1
(Itô's Formel)
.
Ist
f : R+ × R → R
0 ≤ t ≤ T.
(A.2)
eine in der ersten Komponente einfach und in
der zweiten zweifach stetige dierenzierbare Funktion, so ist auch
Yt := f (t, Xt )
ein Itô-Prozess
und es gilt:
∂f (t, Xt )
∂f (t, Xt )
1 ∂ 2 f (t, Xt ) 2
dt +
dXt +
σ dt
∂X
2 ∂X 2 t
∂t
∂f (t, Xt ) ∂f (t, Xt )
σ 2 ∂ 2 f (t, Xt )
∂f (t, Xt )
=
+
µt + t
dt +
σt dBt
2
∂t
∂X
2
∂X
∂X
dYt =
(A.3)
durch Einsetzen der Gleichung (A.2).
Bemerkung. Das Lemma von Itô ist aus der Dierentialrechnung die Kettenregel für stochastische
Prozesse.
Anwendung von Itô's Formel
Wir wollen nun mit Hilfe von Itô's Formel beispielhaft die Glei-
chung (2.8c) herleiten. Dabei gehen wir von folgender aufgestellter Gleichung aus:
√
dCt
= (µC + Xt )dt + ΩdzC (t).
Ct
Wir denieren die in Gleichung (A.2) auftretenden Parameter wie folgt:
µt := (µC + Xt ) Ct
√
σt := Ct Ω.
84
Wir setzen
f (Ct ) = log(Ct )
fest, womit sich durch Itô's Formel
∂f (Ct )
1 ∂ 2 f (Ct ) 2
σ dt
dCt +
∂X
2 ∂X 2 t
1 1 √
1 =
(µC + Xt )Ct dt + Ct ΩdzC +
− 2 Ct2 Ωdt
Ct
2
Ct
d log(Ct ) =
ergibt. Mit
log(Ct ) =: ct
folgt:
√
Ω
dt + ΩdzC ,
dct = µC + Xt −
2
womit wir Gleichung (2.8c) gezeigt haben.
Hilfsmittel für risikoneutrale Dynamiken
Satz A.1.2
. Sei B(t), 0 ≤ t ≤ T , eine Brownsche Bewegung auf einem
(Ω, F, P) und sei F(t), 0 ≤ t ≤ T , eine Filtrierung für die Brownsche
Θ(t), F(t), 0 ≤ t ≤ T , ein adaptierter Prozess. Deniere
Z t
Z
1 t 2
Θ (u)du ,
(A.4)
Z(t) = exp −
Θ(u)dB(u) −
2 0
0
Z t
B̃(t) =B(t) +
Θ(u)du
(A.5)
(Girsanov's Theorem)
Wahrscheinlichkeitsraum
Bewegung. Sei zudem
0
und nehme an, dass
T
Z
Θ2 (u)Z 2 (u)du < ∞.
E
(A.6)
0
Sei weiter
Z = Z(t).
EZ = 1 und unter dem Wahrscheinlichkeitsmaÿ P̃
B̃(t), 0 ≤ t ≤ T , eine Brownsche Bewegung ist.
Dann gilt
Gleichung (A.7) gilt, dass
Satz A.1.3 (Radon Nikodým).
Seien
gegeben durch
P und P̃ äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaÿe deniert auf
Z , sodass
dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F ). Dann existiert fast sicher eine Zufallsvariable
EZ = 1
und
Z
P̃(A) =
Z(ω)dP(ω) für
jedes
A∈F
(A.7)
A
gilt.
A.2. Funktionalanalysis
Denition 18 (Kompaktheit).
Ein beschränkter linearer Operator
K:X→Y
(X
und
Y
echte Banachräume)
∞
{uk }∞
k=1 ⊂ X die Folge {Kuk }k=1
∞
∞
{ukj }j=1 existiert, sodass {Kukj }j=1 in Y
wird kompakt genannt, wenn für jede beschränkte Folge
in Y präkompakt ist. Dass heiÿt, wenn eine Teilfolge
konvergiert.
85
Denition 19.
ist in
Y,
Seien
X
Y
und
Banach-Räume,
X ⊂Y.
X
kompakt eingebettet
für eine Konstante C,
(A.8)
Wir sagen, dass
geschrieben
X ⊂⊂ Y,
wenn
1 .
kxkY ≤ CkxkX
(x ∈ X)
und
2 . jede beschränkte Teilfolge in
Um die Kompaktheit des Operators
X
ist präkompakt in
L−1 F
Y.
zu zeigen, verwenden wir eine Bemerkung über Ste-
tigkeit und Kompaktheit von Operatoren.
Bemerkung. Seien
E
und
F
(normierte) lineare Räume über
K = R
und
T
ein Operator aus
hom (E, F ).
Ist Operator
T
Satz A.2.1
(Einbettungssatz in Sobolev-Räumen)
kompakt und Operator
S
beschränkt mit Lipschitz-Rand. Weiter sei
1 ≤ p2 < ∞.
stetig, so sind
.
S◦T
Sei
m1 ≥ 0, m2 ≥ 0
U
und
T ◦S
kompakt.
Rn oen
1 ≤ p1 < ∞
eine Teilmenge des
ganze Zahlen, sowie
und
und
Dann gilt:
1 Ist
m1 −
n
n
≥ m2 − ,
p1
p2
sowie
m1 ≥ m2 ,
(A.9)
so existiert die Einbettung
Id : W m1 ,p1 (U ) → W m2 ,p2 (U )
W 0,p (U ) := Lp (U ). Für u ∈ W m1 ,p1 (U ) gilt
n, Ω, m1 , p1 , m2 , p2 abhängt, einer Abschätzung
und ist stetig. Dabei ist
stanten
C,
die von
(A.10)
also mit einer Kon-
kukW m2 ,p2 (U ) ≤ CkukW m1 ,p1 (U ) .
2 Ist
m1 −
n
n
> m2 − ,
p1
p2
sowie
m1 > m2 ,
(A.11)
so existiert die Einbettung
Id : W m1 ,p1 (U ) → W m2 ,p2 (U )
(A.12)
und ist stetig und kompakt.
n
3 Für beliebige oene, beschränkte Mengen U ⊂ R gelten die Aussagen in (1) und (2) für
mi ,pi
m
,p
i
i
die Räume W0
(U ) anstatt W
(U ). Dabei ist W00,p (U ) := Lp (U ).
Beweis: siehe für Beweis [1, S. 328.]
86
Literaturverzeichnis
[1] Alt, Hans-Wilhelm: Lineare Funktionalanalysis. 5. überarbeitete Auage. Springer, Meckenheim, 2006
[2] Balakrishna, B. S.:
Analytic representations and approximations to American option
pricing. In: Economics Working Paper Archive (1996), Nr. 9602002
[3] Bansal, Ravi ; Yaron, Amir: Risks for the Long Run: A Potential Resolution of Asset
Pricing Puzzles. In: Journal of Finance Volume 4 (2004), August, S. 14811509
[4] Benzoni, Luca ; Collin-Dufresne, Pierre ; Goldstein, Robert S.: Explaining pre- and
post-1987 crash asset prices Within a unied general equilibrium framework, Oktober 2007.
Previously entitled: Can Standard Preferences Explain the Prices of Out-of-the-Money
S&P 500 Put Options?
[5] Benzoni, Luca ; Collin-Dufresne, Pierre ; Goldstein, Robert S.:
Explaining asset
http://ssrn.com/
abstract=1543467. Previously entitled: Explaining Pre- and Post-1987 Crash Asset Prices
pricing puzzles associated with the 1987 market crash, January 2010.
Within a Unied General Equilibrium Framework
[6] Black, Fischer ; Scholes, Myron S.: The pricing of options and corporate liabilities. In:
The Journal of Political Economy 81 (1973), S. 637654
[7] Burger, Martin: Numerik partieller Dierentialgleichungen, Vorlesungsskriptum Wintersemester 2006/2007
[8] Burger, Martin:
Partielle Dierentialgleichungen, Vorlesungsskriptum Wintersemester
2008/2009
[9] Campbell, John Y. ; Shiller, Robert J.: The Dividend-Price Ratio and Expectations of
Future Dividends and Discount Factors. In: Cowles Foundation Discussion Paper No. 812
(1986)
[10] Carlson, Mark: A Brief History of the 1987 Stock Market Crash with a Discussion of the
Federal Reserve Response. In: Finance and Economics Discussion Series, 2006
[11] Cochrane, John H.: Financial Markets and the Real Economy. University of Chicago 5807
S. Woodlawn Chicago IL 60637 773 702 3059: Graduate School of Business, Dezember 2006
[12] Collin-Dufresne, Pierre ; Goldstein, Robert: Improving on the Campbell-Shiller log-
linearization approximation. 2005. Working Paper
[13] Cont, Rama ; Tankov, Peter:
Financial Modelling with Jump Processes.
Hall, Boca Raton, London, New York, Washington D.C., 2004
87
Chapman &
[14] Corrado, Charles J. ; Miller, Thomas W. J.:
Tweaking implied volatility.
papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=584982.
http://
Version: September 2004
[15] Epstein, Larry G. ; Zin, Stanley E.: Substitution, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework. In: Econometria 57
(1989), S. 937969
[16] Evans, Lawrence C.: Partial Dierential Equations. Volume 19. American Mathematical
Society (AMS), Berkeley, CA 2002
[17] Gabler
Verlag
(Hrsg.):
Gabler
Wirtschaftslexikon.
Gabler
Verlag,
wirtschaftslexikon.gabler.de
http://
[18] Hull, John C.: Option, Futures and other Derivatives. 7. Pearson/Prentice Hall, 2008
[19] Jäckel, Peter: Monte Carlo Methods in Finance. 1. John Wiley & Sons, Chichester, West
Sussex, England, 2002
[20] Kanzow, Christian: Numerik Linearer Gleichungssysteme - direkte und iterative Verfahren.
Springer, Würzburg, 2005
[21] Larsson, Stig ; Thomée, Vidar ; Marsden, J.E. (Hrsg.) ; Sirovich, L. (Hrsg.) ; Antman,
S.S. (Hrsg.): Partial Dierential Equations with Numerical Methods. 2. Springer, Göteborg,
2005
[22] Meis, Th. ; Törnig, W.: Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme und Diskreti-
sierungsverfahren bei elliptischen Dierentialgleichungen. Springer,Jülich, 1970
[23] Munk, Claus: Financial asset pricing theory, Januar 2009
[24] Prévôt, Claudia ; Röckner, Michael ; Morel, J.-M. (Hrsg.) ; Takens, F. (Hrsg.) ; Teis-
sier, B. (Hrsg.): A Concise Course on Stochastic Partial Dierential Equations. Springer,
2007
[25] Reichmann, Oleg: Bewertung von Flexibilität in freien Stromhandelssystemen unter Be-
rücksichtigung von Sprüngen, Institut für Numerische und Angewandte Mathematik, Diplomarbeit, August 2008
[26] Shreve, Steven E.: Stochastic Calculus for Finance II - Continuous-Time Models. Springer,
Pittsburgh, 2004
[27] Struckmeier, Jens:
Numerik partieller Dierentialgleichungen / Universität Hamburg.
2006. Forschungsbericht
[28] Veith, Jochen: Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis. 1. Deutscher Universitäts-Verlag, 2006. Dissertation Universität Tübingen
[29] Wienholtz, Ernst ; Kalf, Hubert ; Kriecherbauer, Thomas: Elliptische Dierential-
gleichungen zweiter Ordnung. Springer, München und Bochum, 2009
[30] Würfel, Anja: Analytische und numerische Lösung der Black-Scholes-Gleichung für eu-
ropäische und amerikanische Basket-Optionen, Technische Universität Berlin - Fakultät für
Mathematik und Naturwissenschaften, Diplomarbeit, Februar 2007
[31] Zaiser, Michael: Structured Credits Der heilige Gral des Kapitalmarkts?
& Credit Derivatives Strategy Team, 27. Juni 2006
88
HVB Credit
Erklärung der Eigenständigkeit
Hiermit versichere ich, Jann-Philipp Zocher, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst
und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
Gedanklich, inhaltlich oder wörtlich Übernommenes habe ich durch Angabe von Herkunft und
Text oder Anmerkung belegt beziehungsweise kenntlich gemacht. Dies gilt in gleicher Weise für
Bilder, Tabellen und Skizzen, die nicht von mir selbst erstellt wurden.
Münster, 01.07.2010
89