Folien zu Kapitel 14

Kapitel 14:
Reihen
14.1 Konvergenzkriterien
14.2 Potenzreihen
14.3 Umordnungen von Reihen
14.4 Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen
Cauchy-Konvergenzkriterium für Reihen — (Satz 14.1.6)
(fn ) sei reell- oder komplexwertige Folge.
Dann sind äquivalent:
1. Die zu f gehörende Reihe S f konvergiert;
2. für alle ε > 0 gibt
ein N ∈ N, so dass für alle n, m ≥ N
Pes
m
mit n ≤ m gilt | k=n fk | < ε.
Satz 14.1.7
(fn ) sei reellwertige und nichtnegativ.
Dann ist die zugehörige Reihe S f genau dann konvergent, wenn
S f beschränkt ist.
Majorantenkriterium — (Satz 14.1.9)
(an ) und (bn ) seien reell- oder komplexwertige Folgen.
Annahme, |an | ≤ |bn | für (fast) alle n.
Annahme, die (Vergleichs-)Reihe S b ist absolut konvergent.
Dann ist die zur Folge a gehörende Reihe S a sowohl konvergent
als auch absolut konvergent und für die Grenzwerte gilt:
| lim(S a )| ≤ lim(S |a| ) ≤ lim(S |b| ).
Minorantenkriterium — (Korollar 14.1.10)
(an ) und (bn ) seien reell- oder komplexwertige Folgen.
Annahme, |bn | ≤ |an | für (fast) alle n.
Annahme, die (Vergleichs-)Reihe S |b| ist divergent.
Dann divergiert auch die Reihe S |a| , d.h., S a ist nicht absolut
konvergent.
Zur Euler’schen Zahl e — (Ende Abschnitt 14.1)
P∞ xk
exp(x) =
Pnk=0 xk!k
=
k=0 k! + Rn+1 (x),
wobei Rn+1 (x) :=
P∞
xk
k=n+1 k! .
Für |x| ≤ 1 gilt: |Rn+1 (x)| ≤ 2 ·
|x|n+1
(n+1)! .
Daraus folgt mit x = 1 für e = exp(1) dann
n
X
2
1 .
= |Rn+1 (1)| ≤
e −
k! (n + 1)!
k=0
Konkret (bei n = 10):
10
X
2
1
|<
< 0.00000006,
|e −
k!
11!
k=0
also
e ∈ [2.7182816, 2.718282].
Wurzel- und Quotientenkriterium für Potenzreihen
— (Satz 14.2.5)
Gegeben sei (bn ) aus RN oder CN .
Für den Konvergenzradius ρb der zug. Potenzreihe Pb (x) gilt
dann:
1. (Wurzelkriterium) p
Betrachte die Folge ( n |bn |) mit Werten in R+
0.
• Ist diese unbeschränkt, so ist ρb = 0;
p
• ist sie beschränkt und L := lim sup( n |bn |) > 0, so ist
ρb = L1 ;
p
• ist lim( n |bn |) = 0, so ist Kb = C, also ρb = ∞.
2. (Quotientenkriterium)
|
Betrachte die Folge |b|bn+1
mit Werten in R+ .
|
n
Ist diese konvergent oder uneigentlich konvergent mit Grenzwert q ∈ R+
0 ∪ {∞}, so ist
1
ρb = .
q
Dabei ist ρb = 0, falls q = ∞, und ρb = ∞, falls q = 0.
Umordnung von Reihen
Definition 14.3.1 Es sei (an ) eine reell- oder komplexwertige Folge. Ist φ : N → N eine bijektive Abbildung, so nennt man
die Folge (aφ(n) ) eine Umordnung von (an ).
Satz 14.3.2 Es sei (an ) eine Folge in R oder C, für die S a
absolut konvergiert. Ist dann a ◦ φ irgendeine Umordnung der
Folge
so ist P
auch die Reihe S a◦φ absolut konvergent. Ferner
Pa,
∞
gilt ∞
n=0 aφ(n) .
n=0 an =
Konvergenz bei Faltung von Folgen — (Satz 14.3.4)
Seien (an ) und (bn ) zwei Folgen aus RN bzw. aus CN . Wir betrachten die Faltung (cn ) := (an ) ⋆ (bn ) dieser beiden Folgen,
also
cn :=
n
X
ak · bn−k
für n ∈ N.
k=0
P∞
Annahme,
die
zu
(a
n ) und (bn ) gehörenden Reihen
n=0 an und
P∞
Dann ist auch die zur Faltung
n=0 bn sind absolut konvergent.
P∞
(cn ) gehörende Reihe n=0 cn absolut konvergent und für den
Grenzwert dieser Reihe gilt:
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
cn =
an ·
bn
n=0
n=0
n=0
Anders ausgedrückt gilt:
!
!
!
∞
n
∞
∞
X
X
X
X
bn =
ak bn−k
an ·
n=0
n=0
n=0
k=0
Konvergenz bei Faltung von Potenzreihen — (Satz 14.3.5)
P∞
P∞
n
n
a
x
und
P
(x)
=
Seien Pa (x) =
n
b
n=0 bn x Potenzrein=0
hen mit Konvergenzradien ρa bzw. ρb .
Ferner sei (cn ) = (an ) ⋆ (bn ) die Faltung der beiden Folgen (an )
und (bn ).
Ist dann z ∈ C mit |z| < min{ρa , ρb }, so ist die Potenzreihe
Pc (z) konvergent und es gilt
!
∞
n
X
X
Pc (z) :=
ak bn−k z n = Pa (z) · Pb (z).
n=0
k=0