Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Hochschule für
Technik und Wirtschaft Dresden (FH)
Fachbereich Informatik/Mathematik
Mathematikaufgaben
zur Vorbereitung auf das Studium
Studiengänge
Informatik
Medieninformatik
Wirtschaftsinformatik
Wirtschaftsingenieurwesen
Dresden 2002
Bezeichnungen
Im folgenden bedeuten:
IN = {0, 1, 2, ...} : Menge der natürlichen Zahlen,
IR
: Menge der reellen Zahlen.
1.
Elementare Rechenoperationen, Potenzen,
Wurzeln, Logarithmen
Kenntnisse und Fähigkeiten:
Bruchrechnung, Multiplikation und Division von Polynomen, Binomische
Formeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- und
Logarithmengesetze, Summenzeichen.
Untersuchen Sie im folgenden zuerst, für welche Werte der vorkommenden Variablen die auftretenden Terme definiert sind.
1.1. Kürzen Sie so weit wie möglich.
204a2 b3 c
5x2 + 1 a − 3
a)
b)
·
255ab2 c3
15x2 + 1 a − 12
c)
2a + a2 + 1
2a2 − 2
1.2. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kürzen Sie so weit wie
möglich.
2
4
5
a2 − b2
−abc b − a 1
−
+
b)
−1
c)
·
·
a)
3x2
2x4
6x
2a(a + b)
a − b (−b)c a
1.3. Vereinfachen Sie.
m n r+1 2
(2x2 y 3 )4
x y z
a)
b)
, m, n, r ∈ IN
3
4
2
(4x y )
x2 y 2−n z r−2
3
x−2 y −2
c)
d) (x−3 y 2 )4 x2
−3
−4
xy x
1
3
3
1
e) n n−3 − n−1 n−2 + n−2 n−1 − n−3 n , n ∈ IN
a b
a
b
a
b
a
b
1.4. Vereinfachen Sie.
√
√
√
3
6
a) a5 b · a3 b4 · a5 b4
b)
1
s
3
3ab2
c
n s 2 n
9a b
· 3
, n ∈ IN
c2
1.5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich.
2x + 5 3x − 4 x2 + 6x + 10
−
+ 2
x+3
x+2
x + 5x + 6
b
a
+
b) a − b a + b
a
b
−
a+b a−b
1
c) 1 1 1
a + b + c
a)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(2ax + 2ay)m (bx − by)n
,
(cx2 − cy 2 )m+n
m ∈ IN, n ∈ IN, m, n 6= 0
a5x−y a4x−y
:
, x, y ∈ IR, n ∈ IN
b6n−2 bn−3
√
√
a + b · a2 + b2
√
a4 − b4
√
√
( p + q − p − q)2
q
q
p
p
2
2
x− x −y
x + x2 − y 2
r q
p
√
3
5
4
b3 b 2 b 8 b 3
1.6. Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf 4 Kommastellen
gerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme und
rechnen Sie danach mit dem Taschenrechner.
q p
q q
√
√ √
√ √
3
1
1
a) 2 2 2
b) ( 5− 3)2 ( 5+ 3)2
c) 16
3 − 4
√
p
√ √ 3
√
√
√
√
3
d) 5 63 − 2 175 − 343 + 3 28
e)
10 3 10
p
p
(63 )3 (84 )2
f)
g) (−5)2
h) 4 (−2)6
1212
1.7. Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner.
p√
√
a) 10 2, 158925
b) 3 4 3, 1384284
c) 1, 0810
d) sin(1, 5)
e) log25 (125)
f) log20 (100) + log100 (20)
2
1.8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weit
wie möglich.
√
d) 2e2 ln(2)
a) ln(e2 )+1
b) ln(e2 +1)
c) lg( 3 100)
√
√
e) ln (ln (ln(ee )))
f) e2+ln(9)
g) (( 3 e)2 )ln(8)
1.9. Vereinfachen Sie.
a) ln(2a) + 2 ln(b) − 2 ln(2c),
1
3
2
) − 12
2
2
ln(a − b) −
a, b, c > 0,
1
2
ln(a + b), a + b > 0, a − b > 0,
√
c) ln(a − 2ab + b ) − 3 ln(a − b ) + 3 ln a + b , a > b > 0.
b)
ln(a − b
2
2
2
1.10. Ermitteln Sie alle x ∈ IR mit
a) 3x = 27
d) log2 (x) = 5
g) logx (16) = −5
b) 10x = 0, 01
e) logx 51 = −1
1
h) log3 27
=x
c) logx (3) = 8
√ f) log8 5 64 = x
1 (3) = x.
i) log 27
1.11. Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt.
a) −15a5 b3 c2 − 135a3 b5 c4 + 75a4 b4 c3
b) (4x + y)(a + 2b) + (y − 4x)(−2b − a)
c) (x + 2y)(x − y)(−2x + y) − y(6x − 3y)(2y − 2x)
1.12. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln.
a) 16a2 + 24ab + 9b2
b) (−a − 1)(a − 1) − (a2 − 1)
c) - 14 x2 − 4y 2 − 2xy
1.13. Schreiben Sie mittels quadratischer Ergänzung als Summe bzw.
Differenz von Quadraten.
a) x2 − 4x + 13
b) x2 + x − 6
2
c) 4x + 4x + 2
d) x2 + 4ax + 9b2
2
2
e) x − 2x + y + 6y
f) 4x2 + 8x − 3y 2 + 12y
3
1.14. Klären Sie, unter welchen Bedingungen die folgenden Quotienten
definiert sind und führen Sie die Division aus.
a) (12a2 + ab − 17ac − 20b2 + 29bc − 5c2 ) : (3a + 4b − 5c)
b) (x4 − y 4 ) : (x − y)
c) (q n − 1) : (q − 1), n ∈ IN \ {0}
d) (2x4 − 11x3 + 25x2 − 32x + 20) : (2x2 − 7x + 6)
1.15. Lösen Sie die folgenden Formeln auf:
a) I =
nU
nRi + Ra
nach n, Ri , Ra ,
qn − 1
nach R, K0 , n,
q−1
1
1
1
d
c)
=
+
−
nach f, f1 , f2 ,
f
f1
f2
f1 f2
1
d) X = ωL −
nach L, C, ω.
ωC
b) K = K0 q n + R
1.16. Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte.
6
100
10
100
P
P
P
P
i
a)
b)
i
c)
i2
d)
2
i+3
f)
i=1
5
P
n=1
i=1
nxn−1 für x = 2
g)
i=1
50
P
k=0
e)
5
P
(−k)k
k=1
(5i + 3)
i=1
1.17. Berechnen
Sie die Binomialkoeffizienten.
4
8
3
4, 5
a)
b)
c)
d)
2
3
5
3
0, 5
−2
5
2
f)
g)
h)
i)
3
5
−2
0, 5
1.18. Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung für
n ≥ k ≥ 0, n ∈ IN, k ∈ IN .
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
4
2, 8
e)
4
π
j)
0
2.
Gleichungen für eine reelle Veränderliche
Kenntnisse und Fähigkeiten:
Umformen von Gleichungen, lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen,
Logarithmusgleichungen.
2.1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen.
a) 2x − (5 − 4x) = 3x − (2x + 8)
b) (5 − x)(x + 3) = (x − 2)(8 − x)
7x + 3
2x − 1 3x + 2 5x + 3 1
c)
+
+
+ =1−
2
4
8
4
8
d) a(2x − b) + bc = b(2x − a) − bc
2.2. Lösen Sie die folgenden Gleichungen.
a) x2 − 5x + 6 = 0
b) 6x2 + x − 1 = 0
2
c) x + 4x + 13 = 0
d) 3x2 = 12x + 12
2
e) (x − 4x − 5)(x − 3) = 0
f) 5x6 − 20x4 = 0
3
2
g) x − 4x + 4x = 0
h) x4 + 3x2 − 4 = 0
2.3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen.
x−1
x−3
=
b)
a)
x+1
x−5
1
1
1
+
=
d)
c)
x + 4 3x
3x + 12
1
1
5
+
=
x x+1
2x + 2
x+1 x+3
+
=2
x+5 x−1
2.4. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen.
x
=1
−4
x−1
x
b)
−
=1
x−1
x
x2 + 2x
c)
=1
2
2x + 2x − 4
11x + 6
3x − 14
3x + 6
=
−
d) 2
x − 3x − 54
2x − 18 2(x + 6)
a)
x2
5
2.5. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen.
√
√
a) x − 1 = x2 − 1
√
b) x + 4 = x + 2
√
√
√
c) x − x − 1 = 2x − 1
√
x−2
d) √
= x−1+1
x−1
√
√
√
e) 2 + x + 2 − x = 2 x − 1
2.6. Geben Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen exakt und als
Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.
a) ln(x + 3) = 2
b) (x + 1) (ln(x) + 1) = 0
c) ln(x) − 2 ln(x − 1) = 0
d) log2 (x2 + x + 6) = 3
2.7. Lösen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Lösungen exakt und
als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.
a) 210−x = 3
b) 1 − e2x+3 = 0
1
c) 26x−2 = 42x+3
d)
= 0, 125
1 + e−x
2.8. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie die Lösungen exakt und
als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an.
a) 22x − 2x+1 − 3 = 0 b) xln(x) = 2
c) (ln(x))x = 1
e) 2x · 52x = 102x+1
d) xlg(x) = 109
f) lg(2x ) + lg(3x ) + lg(4x ) = 5
6
3.
Gleichungssysteme für zwei reelle Veränderliche
Kenntnisse und Fähigkeiten:
Gleichungen mit 2 Unbekannten, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren.
3.1. Lösen Sie die Gleichungssysteme.
a) 3x − 2y = 8
b) 2x = 9 − 4y
2x + 3y = 14
x = 4 − 2y
c)
x
5
x
3
+
+
e) x +
4.
y
3
y
2
y
xy
=
=
1
0
d) x
x2
+ y
+ y2
=
1
= 13
= 10
=
9
Funktionen
Kenntnisse und Fähigkeiten:
Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Monotonie, Grenzwerte von Funktionen.
4.1. Gegeben seien die Terme:
a) f (x) = 1 − 0, 1x,
1
c) f (x) =
.
1 + e−0,1x
b) f (x) = 2x0,5 + x1 ,
Bilden Sie die folgenden Terme und vereinfachen Sie sie, falls möglich.
f1 (x) = f (x + 1)
f2 (x) = f (x) + 1
f3 (x) = −f (x)
1
f6 (x) = f (x2 )
f4 (x) = f (−x)
f5 (x) = f (x)
2
f7 (x) = [f (x)]
4.2. Bilden Sie zu den Funktionen f : IR → IR mit
a) f (x) = 1 + 0, 5x, x ∈ IR,
b) f (x) = x2 , x ∈ IR,
x
c) f (x) = e , x ∈ IR
jeweils die Funktionen fi : IR → IR , i = 1, ..., 6, mit
f1 (x) = f (x + 1),
f2 (x) = f (x) + 1,
f3 (x) = −f (x),
f4 (x) = f (−x),
f5 (x) = 2f (x),
f6 (x) = f (2x),
und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen.
7
4.3. Für welche x sind die folgenden Terme definiert? Ermitteln Sie
jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich.
√
a) f (x) = x2 − 4
b) f (x) = ln(x + 5)
ln(x + 4)
1
c) f (x) =
d) f (x) =
(x − 1)(x + 2)
1 − e−0,1x
4.4. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordinatensystem.
a) y = 3x − 4
b) 10x + 15y = 30
x
y
c)
+ =1
d) k = 0, 1 t + 1, 2
10 5
e) s = 2 − (2 − 18t)/3
4.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x ∈ IR.
a) y = (x + 1)2 − 4
b) y = x2 − 4x + 13
c) y = 6 − x − x2
4.6. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie,
möglichst ohne Wertetabelle auszukommen.
a) y = x2 ,
x ∈ [0; ∞)
4
x ∈ IR
b) y = x ,
−1
c) y = x
,
x ∈ (−∞; 0)
2
d) y = x − 4x − 8,
3
x ∈ IR
2
e) y = −x + 3x + 18x − 40,
x ∈ IR
f) y = ln(x − 2), x ∈ (2; ∞)
x+1
g) y =
, x ∈ (1; ∞)
x−1
h) y = ln |x|, x ∈ IR\{0}
√
i) y = x − 4, x ∈ [4; ∞)

0 für −∞ < x ≤ −1

(x + 1)2 für −1 < x < 0
j) y =
 1
− 2 x + 1 für 0 ≤ x < ∞
8
4.7. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für den größtmöglichen Definitionsbereich, und bestimmen Sie den Wertebereich der
Funktion.
1
4
a) y = 3 + x−1
b) y =
c) y = 3 +
x−2
x−2
4.8. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion, und geben Sie
den Wertebereich an.
a) y = e−x , x ∈ IR
b) y = 2 − e−x , x ∈ IR
c) y = −ex+1 , x ∈ IR
d) y = ex + e−x , x ∈ IR
4.9. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x ∈ IR, und
bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion.
a) y = 3 + sin(x)
b) y = sin(x − 1)
c) y = sin(2(x − 1))
d) y = 3 + 4 sin(2(x − 1))
4.10. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen für jeweils eine Teilaufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem.
a) y = eax für a = 0, ± 12 , ±1, ±2,
x
b) y = e + a für a = 0, ±1, ±2,
x+a
für a = 0, ±1, ±2,
c) y = e
x ∈ IR
x ∈ IR
x ∈ IR
4.11. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wachsend?
a) y = −3x + 6, x ∈ IR
b) y = x2 − 2x + 1, x ∈ IR
4.12. Ermitteln Sie (ohne Differentialrechnung) die Maxima/Minima (soweit vorhanden) der Funktionen nach Lage, Art und Größe.
a) y = x2 − 5,
x ∈ IR
2
b) y = x − 4x + 5,
−x2
c) y = e
,
x ∈ IR
x ∈ IR
1
, x ∈ IR
x2 + 1
e) y = sin2 (x), x ∈ IR
1
f) y =
, x ∈ IR
1 + cos2 (x)
d) y =
9
4.13. Bestimmen Sie die Grenzwerte.
x
x5 − 3x2
a) lim
b) lim
x→∞ 3x − 7
x→∞ 2x4 + 3x2
1
c) lim (1 − e1−t )
d) lim e t−1
t→∞
t→∞
Lösungen
1.1. a)
4ab
, a, b, c 6= 0
5c2
b) −, a 6= 12
5x3 + 4x2 − 12
, x 6= 0
6x4
−1, a, b, c 6= 0, a =
6 b
1.2. a)
c)
c)
b) −
a+1
, a 6= 1, a 6= −1
2(a − 1)
a+b
, a 6= 0, a 6= −b
2a
1.3. a) x2 y 4 , x, y 6= 0 b) x2m−4 y 4n−4 z 6 , x, y, z 6= 0 c) xy, x, y 6= 0
y8
(b − a)3
d) 4 , x 6= 0
e)
, a, b 6= 0
x
an bn
n
3ab
4 3
1.4. a) a b , a, b ≥ 0
b)
, a, b ≥ 0, c > 0
c
1.5.
a)
10x + 32
,
(x + 3)(x + 2)
x ∈ IR\{−2; −3}
√
a2 + 2ab − b2
, a2 6= b2 , a 6= b(1 ± 2)
a2 − 2ab − b2
abc
1 1 1
, abc 6= 0, + + 6= 0
c)
ab + ac + bc
a b
c
m n
2a
b
1
·
, c(x2 − y 2 ) 6= 0
d)
c
c
(x + y)n (x − y)m
b)
e) ax b−1−5n , a > 0, b > 0
1
f) √
, a + b > 0, a − b > 0
a−b
p
g) 2p − 2 p2 − q 2 , p + q ≥ 0, p − q ≥ 0
h) |y|,
i) b13/8 ,
x ≥ 0, x2 ≥ y 2
b≥0
10
1
= 0, 125
√ 8
1+ 12 3
e) 10
≈ 73, 4557
√
g) 5
h) 2 2 ≈ 2, 8284
27/8 ≈ 1, 8340
√
d) 4 7 ≈ 10, 5830
29
f)
≈ 18, 9630
33
1.6. a)
1.7. a) 1, 08
d) 0, 9975
1.8. a)
3
1.9. a)
ln
1.10.
a)
f)
b)
e)
b) ab2
2c2
b)
1, 1
1, 5
2
3
c)
2
5
c)
c)
2, 1589
f) 2, 1878
d) 8
e)
0
b) − 16 ln(a2 −b2 )
b) −√
2
g) 1/ 5 16
3
4
c)
h)
f)
3
−3
g) 4
√
− ln (a2 − b2 ) a + b
c)
√
8
3e
d) 32
i) − 13
e)
5
1.11. a) 15a3 b3 c2 (−a2 − 9b2 c2 + 5abc)
b) 8x(a + 2b)
c) (x − y)(y − 2x)(x − 4y)
1.12. a)
(4a + 3b)2
b) −2(a2 − 1)
c)
−( 12 x + 2y)2
1.13. a) (x − 2)2 + 9
b) (x + 12 )2 − 25
c) 22 (x + 12 )2 + 1
4
2
2
2
2
d) (x + 2a) − 4a + 9b
e) (x − 1) + (y + 3)2 − 10
2
2
f) 4(x + 1) − 3(y − 2) + 8
1.14.
a) 4a − 5b + c,
3
3a + 4b − 5c 6= 0
b) x + x y + xy + y 3 ,
c) q
n−1
2
+q
2
n−2
+ ... + q + 1,
2
d) x − 2x + 2, 5 +
1.15.
a) n =
x 6= y
Ra I
U −Ri I ,
q 6= 1 und n ∈ IN \ {0}
−2,5x+5
2x2 −7x+6 ,
Ri =
x 6= 2, x 6= 1, 5
nU −Ra I
,
nI
Ra =
b) R = (K − K0 q n ) · qq−1
K0 =
n −1 ,
K(q−1)+R
1
n = ln q · ln K0 (q−1)+R
c) f =
f1 f2
f1 +f2 −d ,
d) L =
X
ω
+
1
ω2 C ,
f1 =
f (d−f2 )
f −f2 ,
C=
1
ω 2 L−ωX ,
11
K
qn
n(U −Ri I)
I
−
f2 =
R
qn
·
q n −1
q−1 ,
f (d−f1 )
f −f1
ω=
1
2L
X±
q
X2 +
4L
C
1.16. a) 2531
840
e) −2893
b) 5050
f) 129
1.17. a) 6
c) 0
f)
b) 56
0,375
6
d)
c) 385
g) 6525
105
16
= 0, 0625 g) -6
= 6, 5625
h) -
d) 202
e) -0,0336
i) -
j) 1
2.1. a) L = {− 35 }
b) L = { 31
c) L = {0}
8 }
bc
d) L = {− a−b }, falls a 6= b, L = IR, falls (a = b) und (b · c = 0),
L = ∅, falls a = b und bc 6= 0
2.2. a) L = {2; 3}
b) L = {− 21 ; 13 }
c) L = ∅
√
√
d) L = {2 + 8; 2 − 8}
e) L = {−1; 3; 5}
f) L = {0; 2; −2}
g) L = {0; 2}
h) L = {−1; 1}
2.3. a) L = {2}
b) L = {2}
√
√
2.4. a) L = { 12 + 12 17; 12 − 12 17}
√
√
b) L = { 32 + 12 5; 32 − 12 5}
2.5. a) L = {1}
b) L = {0}
2.6. a) e2 − 3√≈ 4, 3891
c) 32 + 12 5 ≈ 2, 6180
4.1.
f1 (x)
f4 (x)
f6 (x)
a)
0, 9 − 0, 1x
1 + 0, 1x
1 − 0, 1x2
d) L = ∅
c) L = {2}
d) L = {14}
d) L = ∅
e) L = {2}
b) e−1 ≈ 0, 3679
d) L = {1; −2}
b) − 32 = −1, 5
a) log2 (3) ≈ 1, 5850
c) e ≈ 2, 7183
e) − 1 − log2 (5) ≈ −3, 3219
3.1. a) (4; 2)
b) d) (3; −2), (−2; 3)
L = {− 34 }
c) L = {1}
2.7. a) 10 − log2 (3) ≈ 8, 4150
d) − ln(7) ≈ −1, 9459
2.8.
c)
c)
c)
√
√
b) L = {e ln(2) ; e− ln(2) }
d) L = {10−3 ; 103 }
5
f) lg(24)
≈ 3, 6226
(−45; 30)
e) (9; 1), (1; 9)
b)
2(x + 1)0,5 +
2(−x)0,5 − x1
2x + x12
12
4
c)
1
x+1
1
1+e−0,1(x+1)
1
1+e0,1x
1
1+e−0,1x2
4.3. a) |x| ≥ 2,
4.11. a) ∅,
b) (−5; ∞),
c) (−4; ∞)\{−2; 1},
b) [1; ∞)
4.12. a) Min(0; −5), b) Min(2; 1), c) Max(0; 1),
e) Max( π2 + kπ; 1), Min(kπ; 0), k ∈ ZZ,
ZZ = Menge der ganzen Zahlen,
f) Max( π2 + kπ; 1), Min(kπ; 12 ), k ∈ ZZ.
4.13.
1
3,
d) IR\{0}
∞,
1,
1
13
d) Max(0; 1),