Geometrie der Schrödinger-Gleichung und stochastischer

Geometrie der
Schrödinger-Gleichung
und stochastischer
Massentransport
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Fakultät für Mathematik und Physik
der Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg im Breisgau
Vorgelegt von
Stephan Völlinger
August 2004
1
Dekan: Prof. Dr. J. Honerkamp
1. Referent: Prof. Dr. L. Rüschendorf
2. Referent: Prof. Dr. S. Albeverio
3. Referent: Prof. Dr. H.P. Breuer
Datum der Promotion: 8.12.2004
2
Geometrie der Schrödinger-Gleichung
und
stochastischer Massentransport
Stephan Völlinger
Zusammenfassung
Die Schrödinger-Gleichung wird aus einem geometrischen Prinzip
abgeleitet. Lagrange-, Hamilton-Jacobi- und Hamilton-Formalismen
lassen sich ganz analog zum deterministischen Fall, der physikalisch
als geometrische Optik identifiziert werden kann, definieren. Hierbei ist vor allem hervorzuheben, dass die bloße äußere Form dieser
Formalismen der äußeren Form der deterministischen Analoga gleicht. Weiterhin wird gezeigt inwiefern der deterministische Formalismus im Grenzwert, für den das Planck‘sche Wirkungsquantum sehr
klein ist, dem stochastischen ”oberflächlich” aufsitzt. Eine ganz elementare Herleitung von Heisenberg‘s Unschärferelation, die ja als
das Charakteristikum der Quantendynamik bezeichnet werden kann,
schließt die Arbeit ab.
Stichworte: Stochastischer Massentransport, Schrödinger-Gleichung,
Entropie-Kraftwirkungsgesetz, Gibbs-Boltzman-Entropie, geodätisches
Variationsproblem.
§0 Einleitung
Der österreichische Physiker Erwin Schrödinger, der 1926 die nach ihm benannte, die Quantenmechanik regierende Gleichung gefunden hatte [Schrö], betrachtete 1931 das folgende Problem: ”Eine Wolke von unabhängigen und identischen Partikeln sei zu einer Anfangs.- und Endzeit bekannt. Was ist der
wahrscheinlichste Zustand der Wolke zu den Zwischenzeiten?” Schrödinger
wählte als Ausganspunkt seiner Untersuchungen die formale Äquivalenz [Na,Ae]
der Schrödinger-Gleichung
3
i∂t ψ = − 12 4ψ + V ψ, ψ : [0, T ] × Rn → C
zu dem Paar von dualen parabolischen Diffusionsgleichungen
∂t φ + 12 4φ + cφ = 0, −∂t φb + 12 4φb + cφb = 0.
Wobei die reellwertigen Funktionen φ, φb und c durch
φ = eR+S , φb = eR−S , R, S : [0, T ] × Rn → R, c = −V − 2∂t S − (∇S)2
definiert sind, wenn ψ = eR+iS gilt. Man siehe auch [CruZa] (oder [ChuZa]
für eine detaillierte Darstellung), worin die Verbindung der Wärmeleitungsgleichung
zum Feynman‘schen Pfadintegral behandelt wird. Schrödinger wollte durch die
Untersuchung des dualen Gleichungspaares die Komplexwertigkeit seiner Gleichung eleminieren und dadurch das Problem in einen ”anschaulichen” reellwertigen Raum transformieren.
Ungeachtet des genauen Wortlautes des Schrödinger‘schen Problems und
ungeachtet der Äquivalenz zu parabolische Systemen soll in der vorliegenden Arbeit die Lösung im Rahmen eines geodätischen Variationsproblems angestrebt
werden. Die reellwertige, euklidische Version soll als stochastischer Massentransport
δ
RR
!
(DYt )2 dP dt = 0, (Yt , P ) ist Diffusion (Kapitel 1.1),
Zeitrandwerte: P [Y0/T ∈ dx] = %0/T dx
aufgezeigt werden.
Die Untersuchung des beobachterinvarianten, topologisch global definierten
geodätischen Variationsproblems und seiner Symmetrien auf einem gegebenem
Raum hat einen sehr historischen Ursprung, und kann wohl mit Fug und Recht
als eine sehr wichtige Disziplin mathematisch, logisch-deduktiven Schaffens bezeichnet werden. Schon in den Anfängen der formalen Deduktion, in der der
griechische Mathematiker Euklid um 300 v.Chr. die Geometrie des euklidischen
Raumes axiomatisiert hat [Euk], ist die Idee der kürzesten Verbindung zweier
gegebener Punkte eines Raumes substanziell.
In den physikalischen Anwendungen ist das geodätische Variationsproblem,
als Prinzip kleinster Wirkungen, von zentraler Bedeutung. Es wird gezeigt,
dass auch die Schrödinger-Gleichung durch eine Hamilton‘sche Version eines
geodätischen Variationsproblems bestimmt ist, wobei sich der Hamilton-Formalismus
aus dem Lagrange-Formalismus durch eine stochastische Legendre-Transformation
ergibt. Dabei ist besonders überaschend, dass dieses Hamilton‘sche Variationsproblem dem der Punktdynamik in seiner bloßen äußeren Form gleicht.
Die Lagrange‘sche Variante des Variationsproblems wird als Lagrange‘scher
stochastischer Massentransport identifiziert. Hier ist auch wieder besonders
hervorzuheben, dass dieses Variationsproblem, genau wie im punktdynamischen
Fall, in seiner äußeren Form durch eine elementare Lagrange-Funktion bestimmt
ist. Durch Variation des stochastischen Massentransportes ergibt sich eine aus
der Schrödinger-Gleichung
4
~i∂t ψ = Hψ = − 12 ~2 4ψ + V ψ
folgende nichtlineare PDE, die stochastische Newton-Gleichung
∂t v + ∇v v − ∇u u − ~2 4u = −∇V ,
mit der Flussgeschwindigkeit v und der entropischen Geschwindigkeit u (siehe
1.1). Die stochastische Newton-Gleichung verallgemeinert Newton‘s Kraftgesetz.
Die Verhältnisse der Energieerhaltung beim stochastischen Massentransport
werden duch das Entropie-Wirkungsgesetz bestimmt. Die quantenmechanische Gesamtenergie hψ, Hψi einer Lösung der Schrödinger-Gleichung ψ ist eine
Konstante der Bewegung. Das Entropie-Wirkungsgesetz, für die energetische
Wirkung im Zeitintervall [0, T ]
2
2
WQM (ψ) := T hψ, Hψi = Wkin (ψ) + Wpot (ψ) − ~2 4Entrop(|ψT | , |ψ0 | )
zeigt, dass der klassischen energetischen Wirkungsbilanz zwischen potenzieller und kinetischer Energie noch die negative Gibbs-Boltzmann-Entropiedifferenz
zwischen ψT und ψ0 hinzuzufügen ist.
Die Komplexwertigkeit der Funktion ψ kann im Gesamtzusammenhang einer
Phasenraumstruktur erklärt werden, in die dann die reellwertige Lagrange‘sche
Variante, ganz wie im deterministischen Fall, als Tangentialraumstruktur eingebettet ist. Hierbei ist dann die Diffusionsgleichung
√
dYt = b(t, Yt )dt + ~dBt
als Tangentialkriterium von b = DY bzgl. der Diffusion Yt zu verstehen. Eine ganz ähnliche Phasenraumstruktur wurde für den deterministischen Massentransport von Otto [Ott] (oder auch [OttVi] wo die Idee dargelegt
ist) definiert. Ein Dichtenweg t → %t hat die Tangente ϕ, wenn die Kontinuitätsgleichung
∂t %t + div(%t ∇ϕ) = 0
gilt. Die für die Differenzialgeometrie relevante Metrik ist
D· · E
R
%t , %t := (∇ϕt )2 %t dx.
In [OttVi] wird auch die Äquivalenz des geodätischen Abstandes bzgl. dieser
Metrik zur, für die ursprüngliche Formulierung des deterministischen Massentronsportes wichtigen Wasserstein-Metrik, (heuristisch) gezeigt. Als Gradientenfluss bzgl. des Entropiefunktionals ergibt sich die Wärmeleitungsgleichung.
Eine weitere neuere Arbeit in diesem Kontext ist Hall / Reginatto [HaRe],
worin die Autoren dem klassischen Fluss der geometrischen Optik einen zusätzlichen
Fluktuationsterm aufaddieren, das daraus resultierende Variationsfunktional
unter der Annahme gewisser heuristischer physikalischer Argumente in geeignete
5
Form bringen, um schließlich aus einer Transformationseigenschaft für Ortsunschärfen die Form der Fluktuation in Abhängigkeit von der Bilddichte des
Flusses so zu reduzieren, dass sich bei Variation die Schrödinger-Gleichung
ergibt. Die ”exakte” Unschärferelation ergibt sich aus einem Spezialfall der
Cramér-Rao-Ungleichung, die ein Maß für die minimale Größe der Varianz
einer Verteilung beschreibt. Da sich aus diesen Argumentationen, wie in Hall
/ Reginatto für den Fall der Dimension 1 angedeutet, die Heisenberg‘sche Unschärferelation, die ja historisch geradezu symptomatisch für Quantenrealität
steht, ganz elementar ergibt, soll diese Herleitung im Beispielparagrafen explizit
beweistechnisch für allgemeine Dimensionen durchgeführt werden.
In der Arbeit wird, in umgekehrter Richtung zu Hall / Reginatto, die Quantendynamik aus einer reinen geometrischen Überlegung, definiert durch das
Variationsfunktional des Lagrange‘schen stochastischen Massentransportes (siehe
Kapitel 2)
δ
RR
!
L(t, Yt , DYt )dP dt − ~2 4Entrop(%T , %0 ) = 0,
Zeitrandwerte: P [Y0/T ∈ dx] = %0/T dx
abgeleitet. Die ”Reinheit” dieser Überlegung, die in dieser Form ein komplett
neuer Ansatz ist, ergibt sich hierbei aus der Äquivalenz der bloßen äußeren Form
zu klassischen Variationsprinzipien
δ
R
·
!
L(t, x, x)dt = 0, Zeitrandwerte!
Es werden keine weiteren zusätzlichen Annahmen verwendet. Im Grenzwert,
für den man Zoomoutprobleme betrachtet, für die das Wirkungsquantum von
Planck ~ sehr klein und der beobachtete dynamische Vorgang mikroskopisch ist,
ergibt sich die Geometrie des euklidischen Raumes.
Die Arbeit soll eine neuartige Verbindung zwischen Differenzialgeometrie
und Stochastik aufzeigen. Ein Hauptergebnis besteht darin, den euklidischen
Raum zu verallgemeinern und zu zeigen, inwiefern die euklidische Geometrie
der neuen ”oberflächlich” aufsitzt.
Vor allem ist die Schrödinger-Gleichung auch von sehr starkem physikalischen Interesse. Die Frage einer physikalischen Interpretation einer ”Geometrie”
stellt sich in natürlicher Art und Weise, kann hier aber aufgrund der mathematischen Natur der Arbeit nicht vertieft werden. Die Arbeit verfolgt in erster
Linie das Ziel einer rein mathematischen Einordnung der Schrödinger-Gleichung
in einen geometrischen Zusammenhang. Auf physikalische Zusatzdaten, wie z.B.
−
→
das magnetische Vektorpotenzial A in der Schrödinger-Gleichung
µ
¶
P ~
~
i~∂t ψ =
( i ∂k − Ak )( i ∂k − Ak ) + V ψ
k
−
→
wurde bewusst verzichtet. (Vgl. aber [Ne2] wo A in den Rechnungen implementiert ist.)
6
Inhalt
§0 Einleitung
3
Inhalt
7
§1 Grundlagen
8
1.1 Stochastische Grundlagen
8
1.2 Analysis der Fokker-Planck-Gleichung
19
§2 Stochastischer Massentransport
29
2.1 Definition des stochastischen Massentransportes
29
2.2 Lagrange-Formalismus
31
§3 Geometrie der Schrödinger-Gleichung
39
3.1 Hamilton-Jacobi-Formalismus
39
3.2 Hamilton-Formalismus
43
§4 Existenz von Diffusionen
51
4.1 Existenz von Diffusionen
51
4.2 Existenz von optimalen Lösungen
52
§5 Transformationen
54
5.1 Stochastische Legendre-Transformationen
54
5.2 Stochastische symplektische Transformationen
56
§6 Zoomout-Geometrien
57
6.1 Ein elementarer Zoomout-Formalismus
57
6.2 Interpretation
58
§7 Beispiele
61
Danksagung / Literatur
65
Sach.- / Symbolverzeichnis
68
7
§1 Grundlagen
1.1 Stochastische Grundlagen
Die folgenden stochastischen Grundlagen sind stellenweise unter beweistechnischen Modifikationen aus [Ne1,Ne2] und [KaShe] entnommen und können
dann dort verglichen werden. Insbesondere werden im Vergleich zu [Ne2] beweistechnische Details ausgeführt und Prämissen erweitert.
Sei T ∈ R+ und (Ω, =t ), t ∈ [0, T ] ein filtrierter Meßraum. Die ganze Arbeit
hindurch kann der Meßraum und die Filtration durch Ω = C 0 ([0, T ], Rn ) und
=t := σ(Xs , 0 ≤ s ≤ t) ist die durch die Koordinatenabbildungen Xs (c) =
c(s), c ∈ Ω mit s ≤ t induzierte σ-Algebra, als fest vorgegeben betrachtet
werden. Erwartungswerte bzgl. eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf dem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, =T ) seien in diesem einführenden Kapitel, [Ne2]
folgend, mit E bezeichnet.
Definition 1.1.1: a) Eine Diffusion ist ein Maß P auf =T und ein σ(Xt )messbarer stochastischer Prozess Y : [0, T ] × Ω → Rn , also σ(Yt ) ⊂ σ(Xt ), mit
i
− Yti , 4t ∈ R+ , ∀t für den
stetigen Pfaden und 2. Momenten für 4Yti = Yt+4t
die Differenzialquotienten
4Y i
lim Et 4tt
4t→0+
4Y i 4Y j
lim + Et t4t t
4t→0
= bi (t, Yt ), i = 1, .., n
= σ ij (t, Yt ), i, j = 1, .., n,
∀t ∈ [0, T ] existieren. (Vgl. auch [Ne2], wo ausdrücklich auf Et in der zweiten
Definition verzichtet wird um unstetige Sprungprozesse zu vermeiden, wo dann
aber unsinnigerweise die Brown‘sche Bewegung keine Diffusion ist.) Et ist die
bedingte Wahrscheinlichkeit bzgl. P unter =t , also Et (.) = E(.|=t ). (σ ij )ij
ist eine messbare Funktion auf [0, T ] × Rn mit Werten in den (symmetrischen)
positiv definiten Matrizen. (σ ij )ij heißt die Diffusionsmatrix. b ist eine messbare
Funktion auf [0, T ] × Rn mit Werten in Rn , genannt die Drift. Der Limes soll im
L2 (P )-Sinne für die Drift und im L1 (P )-Sinne für die Diffusionsmatrix gelten.
Insbesondere ist bi (t, Yt ) ∈ L2 (P ) ∀t ∈ [0, T ] und σ ij (t, Yt ) ∈ L1 (P ) ∀t ∈ [0, T ].
Es soll auch zulässig sein, dass der Limes für die Drift nur im L1 -Sinne erfolgt,
aber der Grenzwert in L2 (P ) liegt. In der Arbeit werden nur Diffusionen von
Bedeutung sein, deren Diffusionsmatrix Homothetien h · id, h ∈ R+ sind.
Eine Diffusion, deren Verteilung YtP absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes
ist, heißt glatt wenn für die Verteilungsdichte mit %t dx = P [Xt ∈ dx] gilt: %t ∈
C ∞ ∩ L∞ , außerdem bi bzw. σ ij ,R i, j = 1, .., n auf {%(t, x) > 0} gegeben seien
und C ∞ -differenzierbar sind und b2 %dx < Konst unabhängig von t ist.
Schließlich sei
8
1
D(Yt ) := lim + 4t
E(Yt+4t − Yt |=t ) = b(t, Yt )
4t→0
die Vorwärts-Ableitung einer Diffusion Yt .
b) C0∞ (O; R), O ⊂ Rm , offen seien die C ∞ -differenzierbaren Funktionen
m
R → R mit kompaktem Träger in O, d.h. ϕ ∈ C0∞ ⇔ supp(ϕ) ⊂ O kompakt.
Proposition 1.1.2:(Differenzielles Itô-Formel-Analogon [KaShe]. Vgl. [Ne2].)
Sei Yt eine Diffusion bzgl. P . Für jede reellwertige Funktion χ(t, x) ∈ C0∞ ([0, T ]×
Rn ; R) gilt im L1 (P )-Sinne
2
Dχ(t, Yt ) = ( 12 σ ij ∂i,j
+ bi ∂i + ∂t )χ(t, Yt )
(Summenkonvention !).
Beweis: Durch Taylor-Entwicklung folgt
t)
lim Et 4χ(t,Y
=
4t
4t→0+
j
1 1 2
lim Et 4t
( 2 ∂i,j χ(t, Yt )4Yti 4Yt + ∂i χ(t, Yt )4Yti + ∂t χ(t, Yt )4t)
4t→0+
¯
¯2
+T erme 2. Ordnung + o(¯(4t, 4Yt1 , .., 4Ytn )¯ ))
2
= ( 21 σ ij ∂i,j
+ bi ∂i + ∂t )χ(t, Yt ).
Die Terme in der 2. Zeile konvergieren in L1 , wobei man die Ableitungen von
2
o(|(4t,4Yt1 ,..,4Ytn )| )
χ mit Et vertauschen kann. Für das Restglied hat man
→
4t
4t→0
0 punktweise und der Ausdruck ist durch eine Konstante majorisiert, da die
zweiten Ableitungen von χ und Yt auf Yt−1 ({x ∈ Rn | (t, x) ist im Inneren des
Kompaktums supp(χ)}) ∀t beschränkt sind. Es ist kEt (.)kL1 (P ) ≤ k.kL1 (P ) ,
2
o(|(4t,4Yt1 ,..,4Ytn )| )
→ 0 in L1 . Die restlichen Terme 2.
also konvergiert Et
4t
4t→0
Ordnung verschwinden offensichtlich mit analogen Argumenten in L1 .
Q.E.D.
Proposition 1.1.3: (Vgl. [Ne2].) Sei Yt eine Diffusion bzgl. P . Seien für
i, j = 1, .., n die Funktionen σ ij (t, x), bi (t, x) : [0, T ] × Rn → R ∈ L∞ ∩ C 0 und
(*)
RT R
b2 (t, Yt )dP dt < ∞.
0
Für die Verteilung YtP gilt dann schwach die Fokker-Planck-Gleichung
∂t YtP =
1
2
2
∂i,j
(σ ij YtP ) − div(bYtP ),
P
Y0 gegeben.
9
R
Beweis: 1) Sei χ ∈ C0∞ ([0, T ]×Rn ; R), dann ist die Funktion t 7→ χ(t, Yt )dP
stetig und insbesondere damit beschränkt, da für jede Nullfolge εk ∈ R, εk →
k→∞
0 die Folge von Funktionen c 7→ χ(t + εk , Yt+εk (c)), c ∈ Ω durch eine Konstante
majorisiert ist und punktweise P -f.ü. gegen χ(t, Yt (c)) konvergiert.
2) Seien fk , f : [0, T ] × Ω → R ∀t ∈ [0, T ] in L1 (P ). Gilt der Grenzwert
fk → f ∀t ∈ [0, T ] in L1 (P ), dann folgt
R
R
lim fk dP = f dP .
k→∞
3) Man sieht
R
d
χ(t, Yt )dP =
dt
1.1.2
2)
d
dt EEt χ(t, Yt ) =
1
E lim + Et 4t
4χ(t, Yt )
4t→0
ij
2
= E( σ2 ∂i,j
+ bi ∂i + ∂t )χ(t, Yt )
R σij 2
= ( 2 ∂i,j + bi ∂i + ∂t )χ(t, Yt )dP .
Hierdurch ist schon eine schwache
R Gültigkeit evident, ohne Bedingungen an
σ ij bzw. bi . Insbesondere ist t 7→ χ(t, Yt )dP differenzierbar.
R ij 2
+ bi ∂i + ∂t )χ(t, Yt )dP ist wie in 1) stetig, da
4) Die Funktion t 7→ ( σ2 ∂i,j
für jede Nullfolge εk ∈ R, εk → 0 die Folge von Funktionen auf Ω
k→∞
(
ij
σ (t+εk ,Yt+εk (c)) 2
∂i,j
2
+ bi (t + εk , Yt+εk (c))∂i + ∂t )χ(t + εk , Yt+εk (c))
durch eine Konstante majorisiert ist und punktweise P -f.ü. mit εk → 0
k→∞
konvergiert.
R
5) Da t 7→ χ(t, Yt )dP stetig differenzierbar ist, gilt die Fokker-PlanckGleichung schwach in folgendem Sinne:
R
Die Funktion t 7→ χ(t, Yt )dP ist absolutstetig und es gilt
R
R
Rt R σij 2
χ(t, Yt )dP − χ(0, Y0 )dP =
( 2 ∂i,j + bi ∂i + ∂t )χ(t, Yt )dP dt,
0
∀χ ∈ C0∞ ([0, T ] × Rn ; R), ∀t ∈ [0, T ].
Dabei wurde die stetige Differenzierbarkeit zu Absolutstetigkeit abgemildert.
Die Integrabilitätsvoraussetzung (*) braucht man, damit diese schwache Gleichung Sinn macht.
Q.E.D.
Bemerkungen 1.1.4: a) Ist YtP absolutstetig bzgl. dem Lebesgue-Maß ∀t,
mit %t dx = P [Xt ∈ dx] und seien % stetig und b bzw. σ stetig auf {% > 0}, dann
gilt die schwache Fokker-Planck-Gleichung bzgl. C0∞ ({% > 0}; R) auch ohne die
Beschränktheit von σ bzw. b. Man muss den Träger der Testfunktionenklasse
nur auf {% > 0} einschränken und der Beweis in 1.1.3 geht auch durch.
b) Ist Yt eine glatte Diffusion bzgl. P , dann gilt die Fokker-Planck-Gleichung
insbesondere im klassischen Sinne auf {% > 0}.
Weiterhin sei die Rückwärts-Ableitung einer Diffusion Yt definiert
10
∗
1
D∗ (Yt ) := lim + 4t
E(Yt − Yt−4t |=∗t ) = lim + Et∗ 44tYt ,
4t→0
4t→0
wobei =∗t := σ(Xs , t ≤ s ≤ T ) und die Topologie der Konvergenz noch
festgelegt werden soll. Die sogenannte Rückwärts-Drift b∗ der Diffusion ist durch
D∗ Yt =: b∗ (t, Yt )
erklärt.
Proposition 1.1.5: (Partielle Integration für stochastische Ableitungen.
Vgl. [Ne2].) Sei Yt eine glatte Diffusion bzgl. P , mit Diffusionsmatrix h · id,
h ∈ R+ . Es gelten die Integrabilitätsbedingungen
RT R
b2 (t, Yt )dP dt < ∞ bzw.
0
RT R
(∇ ln %(t, Yt ))2 dP dt < ∞,
0
wobei ∇ ln %(t, x) auf {%(t, x) > 0} definiert und außerhalb gleich 0 ist. Die
stochastische Rückwärts-Ableitung existiert in folgendem schwachen Sinne
lim +
RT R
4t→0 0
∗
(Et∗ 44tYt )i f (t, Yt )dP dt =
RT R
0
bi∗ (t, Yt ) f (t, Yt )dP dt,
∀i = 1, .., n, ∀f ∈ C0∞ ({%(t, x) > 0} ∩ (0, T ) × Rn ; R).
Wobei auf {%(t, x) > 0}
b∗ = b − h∇ ln %.
Es gilt die partielle Integrationsformel
RT
0
RT
E(Df (t, Yt )g(t, Yt ))dt = − E(f (t, Yt )D∗ g(t, Yt ))dt
0
+Ef (T, YT )g(T, YT ) − Ef (0, Y0 )g(0, Y0 )
für beliebige C ∞ -differenzierbare Funktionen g : [0, T ] × Rn → R und f :
[0, T ]× Rn → R mit g und/oder f habe kompakten Träger in {%(t, x) > 0}.
Beweis: 1) Ohne Einschränkung können in den folgenden Beweisführungen
f und g mit kompaktem Träger in {%(t, x) > 0} gewählt werden. Ist etwa
f ∈ C ∞ und g mit kompaktem Träger in {%(t, x) > 0}, dann kann man die
partielle Integration auch für jede C0∞ -Fortsetzung von f |supp(g) ausformulieren.
f wird außerhalb von supp(g) sowieso durch g annuliert.
2) Sei υ ∈ N. Man unterteile [0, T ] in υ gleiche Teile tj := j Tυ für j = 1, .., υ.
Sei die elementare Intervalltreppenfunktion

 υ−1

 P E(F (t ) − F (t )) G(tj )+G(tj−1 ) )1
j+1
j
(tj ,tj+1 ] auf (t1 , T ]
2
β υ (t) : t 7−→
j=1


0
sonst
11
gegeben mit den Abkürzungen F (t) := f (t, Yt ) und G(t) := g(t, Yt ). Dann
gilt, nach Definition des Integrals auf elementaren Intervalltreppenfunktionen
υ−1
P
j=1
E(F (tj+1 ) − F (tj ))
G(tj )+G(tj−1 ) T
)ν
2
RT
= β υ (t)dt.
0
Nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung ist
¯
¯
|g(t1 , x) − g(t2 , x)| ≤ ¯∂t g(b
t, x)¯ |t1 − t2 |
mit einem b
t ∈ [t1 , t2 ]. Also
|g(t1 , x) − g(t2 , x)| ≤ Konst |t1 − t2 |,
mit einer von t und x unabhängigen Konstante, da ∂t g beschränkt ist. Es
folgt G(tj+1 ), G(tj ) → G(t) in L∞ (P ). Damit hat man, da DF (t) nach 1.1.2
ν→∞
im L1 -Sinne existiert
(**)
lim ν
ν→∞ T
β υ (t) = E(DF (t)G(t)) ∀t, punktweise.
Man beachte dabei, dass G(t) mit Et vertauscht werden kann und der an
beiden Intervallenden variable Differenzenquotient keine Probleme macht, denn
Et
F (tj+1 )−F (tj )
T
ν
= DF (tj ) + εν ,
mit einem εν , dass im L1 -Sinne gegen Null geht für ν → ∞ und DF (tj ) →
tj →t
DF (t) in L1 durch konstante Majorisierung. Da g kompakten Träger in {%(t, x) >
0} hat ist durch Abschätung von G
¯
¯ν υ
¯ β (tj )¯ ≤ Konst ν E(F (tj+1 ) − F (tj )).
T
T
t 7→ EF (t) ist wie in 1.1.3 und der Bemerkung 1.1.4.a) stetig differenzierbar.
Die Ableitungen sind durch eine Konstante beschränkt. Nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung sind mit der Beschränktheit des Differenzialquotienten auch alle Differenzenquotienten beschränkt. Es folgt: Tν β υ (t) ist durch
eine Konstante majorisiert und man kann mit (**) schließen
lim
RT
ν→∞ 0
ν
T
RT
β υ (t)dt = E(DF (t)G(t))dt.
0
3) Man hat durch ”Shiften” der Differenzialoperatoren auf die andere Seite
und Einsetzen der Fokker-Planck-Gleichung
RT R
RT R
0
0
2
+ bi ∂i + ∂t )f (t, x)g(t, x)%(t, x)dxdt =
( h2 ∂i,j
2
f (t, x)( h2 ∂i,j
+ (bi − h(∇ ln %)i )∂i + ∂t )g(t, x)%(t, x)dxdt
12
4) Sei g(t, x) = xi , i ∈ {1, .., n} und f ∈ C0∞ ({%(t, x) > 0} ∩ (0, T ) × Rn ; R).
Dann folgt durch Zieharmonikasummenbildung mit den Abkürzungen F (t) :=
f (t, Yt ) und G(t) := g(t, Yt )
0 = E(F (T )G(T )) − E(F (0)G(0)) =
υ−1
P
E(F (tj+1 )G(tj ) − F (tj )G(tj−1 )) =
lim
ν→∞ j=1
lim
υ−1
P
ν→∞ j=1
E[(F (tj+1 ) − F (tj ))
G(tj )+G(tj−1 )
2
−
F (tj+1 )+F (tj )
(G(tj )
2
− G(tj−1 ))]
T
RT
2) R
4∗ Y i
= E[DF (t)G(t)]dt − lim E[F (t) T t ]dt
ν→∞ 0
0
RT
= E[DF (t)G(t)]dt − lim
RT
ν→∞ 0
0
ν
4∗ Y i
E[F (t)Et∗ T t ]dt.
ν
Wobei man ausnutzt, dass F (tj+1 ), F (tj ) → F (t) in L∞ (P ), gleichmäßig
ν→∞
in t wie in 2) und EG(t) stetig differenzierbar ist, wodurch die DifferenzenquoEG(tj )−EG(tj−1 )
tienten
wie in 2) durch eine Konstante majorisiert sind und es
T
ν
folgt
RT
RT
G(t )−G(t
)
G(t )−G(t
)
lim E[F (tj+1 ) j T j−1 ]dt = lim E[F (tj ) j T j−1 ]dt
ν→∞ 0
ν→∞ 0
ν
RT
= lim E[F (t)
G(tj )−G(tj−1 )
ν→∞ 0
T
ν
ν
]dt
bzw.
RT
RT
4∗ Y i
G(t )−G(t
)
lim E[F (t) j T j−1 ]dt = lim E[F (t) T t ]dt,
ν→∞ 0
ν→∞ 0
ν
ν
i
mit 4∗ Yti = Yti − Yt−
T .
ν
5) Seien g und f allgemein in C ∞ mit g und f habe kompakten Träger in
{%(t, x) > 0}, dann folgt die allgemeine Behauptung analog zu 4) wobei man
jetzt die schwache Existenz der Rückwärts-Ableitung hat.
Q.E.D.
Man vergleiche hierzu auch die Zeitinversion auf Wiener-Räumen [Fö].
Sei Yt eine glatte Diffusion bzgl. P mit Diffusionsmatrix h · id, h ∈ R+ .
Vorwärts- und Rückwärts-Ableitung einer C0∞ ([0, T ] × Rn ; R)-Funktion f (t, Yt )
berechnen sich nach
Df (t, Yt ) = ( h2 4 + bj ∂j + ∂t )f (t, Yt )
D∗ f (t, Yt ) = (− h2 4 + bj∗ ∂j + ∂t )f (t, Yt ).
13
Wobei der Laplace-Operator durch den Rn definiert ist in dem die Diffusion
ihr Bild hat. Zur Transformation von Driftvektoren vgl. [Ne2]. Es gilt die
Rückwärts-Fokker-Planck-Gleichung auf {%(t, x) > 0}
∂t % = − h2 4% − div(b∗ %).
Die entropische Geschwindigkeit ist auf {%(t, x) > 0} definiert durch
u := 12 (b − b∗ )
und die Flussgeschwindigkeit auf {%(t, x) > 0} durch
v := 12 (b + b∗ ).
√
Also gilt u = h2 ∇ ln % = h∇ ln % auf {%(t, x) > 0}. Mittelt man über
die Vorwärts- und Rückwärts-Fokker-Planck-Gleichungen, dann erhält man die
Kontinuitätsgleichung auf {%(t, x) > 0}
∂t % = −div(v%).
Proposition 1.1.6: (Zur Interpretation der Flussgeschwindigkeit.) Seien
ξ(t, x) : [0, T ] × Rn → Rn und p(t, x) : [0, T ] × Rn → R eine klassisch differenzierbare Lösung der Kontinuitätsgleichung ∂t p + div(ξp) = 0, p(0, x) = p0 (x)
(ξ und p0 vorgegeben), dann gilt bzgl. dem Fluss Tt des Vektorfeldes ξ (also
d
dt Tt = ξ(t, Tt )): Tt# p0 = pt . Wobei der ”push-forward” Tt# p0 einer Dichtefunktion p0 durch die Abbildung Tt definiert ist mittels
R
R
Tt# p0 (y)f (y)dy = p0 (x)f (Tt (x))dx ∀f ∈ C00 (Rn ).
Ist umgekehrt Tt klassisch differenzierbar gegeben und sei Tt# p0 = pt , dann
d
gilt für das Vektorfeld ξ(t, x) = dt
Tt (x) die Kontinuitätsgleichung.
Beweis: 1) ” ⇒ ” Es gelte die Kontinuitätsgleichung für ξ und p. Sei
Tt# p0 =: pbt . Dann ist ∀ϕ ∈ C0∞ mit Tt (x) = y
R
R
d
d
ϕ(y)b
p(t, y)dy = dt
ϕ(Tt (x))b
p(t, y)dy
dt
R
Tt# p0 =p
bt
d
=
(∇ϕ(Tt ) · dt Tt )(x)p0 (x)dx =
und Differenziation
R
Tt# p0 =p
bt R
(∇ϕ(Tt (x)) · ξ(t, RTt (x)))p0 (x)dx
=
(∇ϕ(y) · ξ(t, y))b
p(t, y)dy
= − ϕ(y)div(ξ(t, y)b
p(t, y))dy ∀ϕ ∈ C0∞ ,
d.h. die (schwache) Kontinuitätsgleichung gilt auch für ξ und pb zur Startdichte p0 . Aufgrund der Eindeutigkeit der Lösungen der Kontinuitätsgleichung
(z.B. aufgrund des Erhaltungssatzes) folgt p = pb.
2) ” ⇐ ” Sei Tt# p0 = pt , dann hat man
R
R
div(p(t, y)ξ(t, y))ϕ(y)dy = − (∇ϕ(y) · ξ(t, y))p(t, y)dy ∀ϕ ∈ C0∞
14
und
Tt# p0 =pt d R
ϕ(y)p(t,
=
ϕ(Tt (x))p0 (x)dx
dt
R y)dy
= (∇ϕ(Tt (x)) · ξ(t, Tt (x))p0 (x)dx
Tt# p0 =pt R
=
(∇ϕ(y) · ξ(t, y))p(t, y)dy ∀ϕ ∈ C0∞ .
d
dt
R
Q.E.D.
Als Letztes sei noch die stochastische Beschleunigung 12 (DD∗ +D∗ D)Yt einer
glatten Diffusion Yt bzgl. P mit Diffusionsmatrix h · id definiert, deren Bedeutung im Kapitel über den Lagrange-Formalismus klar wird. Es gilt
RT R
0
=
1
2 (DD∗
RT R
0
=
RT R
0
+ D∗ D)Yt η(t, Yt )dP dt =
1 h
2 (( 2 4
RT R
0
1
2 (Db∗
+ D∗ b)(t, Yt )η(t, Yt )dP dt
+ bj ∂j + ∂t )b∗ + (− h2 4 + bj∗ ∂j + ∂t )b)(t, Yt )η(t, Yt )dP dt
(∂t v + ∇v v − ∇u u − h2 4u)(t, Yt )η(t, Yt )dP dt, ∀η ∈ C0∞ ({% > 0}; R),
wobei ∇· den Levy-Civita-Zusammenhang des euklidischen Raumes bezeichnet, d.h. (∇v v)i = v · ∇v i , i = 1, .., n.
Die gesamte Abhandlung der Gültigkeit auf {%(t, x) > 0} zielt daraufhin ab,
die Probleme mit einer eventuellen Singularität von b bzw. b∗ in {% = 0} zu
umgehen.
Eine weitere Möglichkeit Diffusionen zu definieren ergibt sich über Itô- Diffusionsgleichungen dYt = b(t, Yt )dt + κ(t, Xt )dBt , für eine Brown‘sche Bewegung
Bt . Die Gleichung, mit Drift b und Diffusionskoeffizient κ [KaShe], ist per
Definition dann erfüllt, wenn die integrale Version gilt [KaShe]
Rt
Rt
Yt = Y0 + b(s, Ys )ds + κ(s, Xs )dBs ,
0
0
(komponentenweises Integral).
Itô-Diffusionsprozesse sind Markov-Prozesse.
Lemma 1.1.7: Sei h > 0 und b : [0, T ]×Rn → Rn messbar. Es gelte
|b(t, x)| ≤ K(1 + |x|) ∀t ∈ [0, T ] mit einer Konstanten
K ∈ R+ . Die stochastis√
che Differenzialgleichung dXt = b(t, Xt )dt + hdBt , 0 ≤ t ≤ T besitzt eine
schwache Lösung [KaShe], mit beliebiger Startverteilung µ, für die Xt sogar
eine Brown‘sche Bewegung bzgl. eines Maßes P ist und für die die Brown ‘sche
Bewegung (Bt , P ) in 0 startet. D.h. für jedes Wahrscheinlichkeitmaß µ auf
dem Rn gibt es Brown‘sche Bewegungen (Ω, =t , Xt , P ) und (Ω, =t , Bt , P ) die
die stochastische Differenzialgleichung erfüllen und für die P X0 = µ gilt.
15
√
Beweis: In Analogie zu Proposition 5.3.6. in [KaShe] bleibt nur h einzuführen.
Seien Ωh die stetigen Wege c : [0, hT ] → Rn . Die Brown ‘sche Bewegung
b
b ), 0 ≤ b
b X0 sei kanonisch fest vorgegeben.
bb, P
(Ωh , <bt , X
t ≤ hT mit Startverteilung P
t
Wie in [KaShe],5.3.6 angewendet auf die Drift h1 b( h1 b
t, x), ist
t
n Rb
P
Zbbtx := exp(
j=1 0
1 j 1
b
bj
h b ( h s, Xs )dXs
−
1
2
¯2
Rbt ¯¯ 1 1
bs )¯¯ ds), 0 ≤ b
t ≤ hT
¯ h b( h2 s, X
0
b x , dem Wiener-Maß konditioniert durch
ein Martingal unter jedem Maß P
den Startpunkt x der Bewegung. Mit dem Girsanov-Theorem [KaShe],3.5.1
bx
x
folgt, dass unter Pbx definiert durch dPb x = ZbhT
der Prozess
dP
bb − X
b0 −
Wbt := X
t
Rbt 1
0
1
b
h b( h s, Xs )ds,
0≤b
t ≤ hT , ∀x
eine Brownsche Bewegung mit W0 ≡ 0 konstituiert, die an <bt adaptiert
R
ist. Das Maß Pb(A) := Pbx (A)dµ(x) definiert damit eine schwache Lösung
bb =
dX
t
1b b
1
b
t )dt +
h b( h t, Xb
Rn
dWbt , 0 ≤ b
t ≤ hT . Man beachte hierbei, dass Zbbtx nur
insofern von x abhängig ist, als dass in der Definition von Zbbtx die stochastische
Integration bzgl. von x abhängiger Maße gebildet wurde.
bb := √1 Wb
Sei F h : Ωh → Ω1 = Ω, F h (c)(t) = c(ht). Definiere nun B
t
t
h
bb(c), t = 1 b
und Xt (F h (c)) := X
t
∈
[0,
T
].
Wie
man
leicht
mit
dem
Bildint
h
tegralsatz einsieht (ist Y ∼ N (0, 1) normalverteilt, dann ist aY ∼ N (0, a2 )),
bb(c) eine Brown‘sche Bewegung bzgl. dem Maß P := (Pb)F h
ist Bt (F h (c)) := B
t
b )F h , also das (transadaptiert an =t := σ(Xs , 0 ≤ s ≤ t). Definiere noch P := (P
√
formierte) Wiener-Maß auf =T . Die schwache Lösung dXt = b(t, Xt )dt+ hdBt ,
0 ≤ t ≤ T ist mithin durch (Ω, =t , Bt , P ) und (Ω, =t , Xt , P ) gegeben.
Q.E.D.
Bemerkungen 1.1.8: a) Man beachte, dass in 1.1.7 eine Art Zwischenformalismus von starker und schwacher Lösung einer stochastischen Diffusionsdifferenzialgleichung gegeben ist. (Ω, =t , Xt , P ) ist als die kanonische Brown‘sche
Bewegung (mit Xt als Koordinatenabbildung) fest vorgegeben!
b) Sei der
√ Driftvektor b(t, x) und die stochastische Diffusionsgleichung dYt =
b(t, Yt )dt + hdBt , (Bt , P ) Brown‘sche Bewegung gegeben. Hat man
RT R
b2 (t, Yt )dP dt < ∞,
0
dann existiert die Vorwärts-Ableitung als L2 (P )-Limes für f.a. t und es gilt
DYt = b(t, Yt ). Weiterhin gilt
16
lim Et
4t→0+
4Yti 4Ytj
4t
½
=
0 falls i 6= j
h falls i = j
¾
in L1 (P ) für f.a. t.
R
Ist b2 (t, Yt )dP < ∞ ∀t, dann gelten die Aussagen ∀t.
Beweis: (Zu 1) vgl. [Fö], Beweis mit Variationen.) 1) Sei t ∈ [0, T ]. Dann
folgt per Definition der Vorwärts-Ableitung und mit der Martingaleigenschaft
der Brown‘schen Bewegung (komponentenweises Integral)
t+4t
R
1
1
DYt = lim + 4t
Et (Yt+4t − Yt ) = lim + 4t
Et (
4t→0
t+4t
R
4t→0
b(s, Ys )ds).
t
b2 (s, Ys )ds ist nach Voraussetzung unter Benutzung des Satzes von Fu-
t
bini in L1 (P ). Wegen der Endlichkeit des Integrationsgebietes [0, T ] ist
t+4t
R
(
b(s, Ys )ds)2
Cauchy-Schwarz
≤
4t
t
t+4t
R
b2 (s, Ys )ds ∈ R+ P -f.ü.
t
und damit
1
4t
t+4t
R
t+4t
R
b(s, Ys )ds ∈ L2 (P ).
t
b2 (s, Ys )ds ist P -f.ü. in R und ist absolutstetig (mit 4t als Variable), hat
t
also P -f.ü. eine Ableitung für 4t → 0. (Hauptsatz der Analysis von Lebesgue
[El].) Mithin konvergiert
lim
4t→0
1
+ 4t
t+4t
R
b2 (s, Ys )ds → b2 (t, Yt ) punktweise P -f.ü.
t
und
1
lim + 4t
(***)
4t→0
t+4t
R
b(s, Ys )ds → b(t, Yt ) punktweise P -f.ü.
t
Außerdem ist
lim +
R
4t→0
t+4t
R R
1
lim + 4t
4t→0
t
1
4t
t+4t
R
b2 (s, Ys )dsdP =
t
b2 (s, Ys )dP ds =
R
b2 (t, Yt )dP .
Nach dem Satz von Riesz [Ba1] ist mit der punktweisen Konvergenz f.ü. und
der Konvergenz der Mittel auch die Konvergenz in L1 (P ) gegeben. Wegen
17
1
( 4t
t+4t
R
b(s, Ys )ds − b(t, Yt ))2
t+4t
R
Cauchy-Schwarz
≤
t+4t
R
≤
t
1
22 (( 4t
1
ist ( 4t
(a+b)p ≤2p (ap +bp )
b(s, Ys )ds)2 + b2 (t, Yt ))
t
1
22 ( 4t
t+4t
R
b2 (s, Ys )ds + b2 (t, Yt ))
t
b(s, Ys )ds−b(t, Yt ))2 für f.a. t (bzw. ∀t, wenn nur
R
b2 (t, Yt )dP <
t
∞ ∀t) gleichgradig integrierbar, denn f.ü.-Konvergenz und L1 -Konvergenz impliziert gleichgradige Integrierbarkeit [Ba1]. Umgekehrt folgt aus der punktweisen Konvergenz f.ü. (***) und der gleichgradigen Integrierbarkeit auch die
L2 -Konvergenz [Ba1]. Et ist aber L2 -Projektor und ist damit automatisch L2 stetig. Mithin folgt
t+4t
R
1
lim + 4t
Et (
4t→0
1
b(s, Ys )ds) = Et ( lim + 4t
t+4t
R
4t→0
2
t
b(s, Ys )ds)
t
= Et (b(t, Yt )) = b(t, Yt ) im L -Sinne für f.a. t.
2) Sei t ∈ [0, T ]. Man findet für i, j ∈ {1, .., n}
4Yti 4Ytj
4t
t+4t
R
t+4t
R
t
t
1
4t (
bi (s, Ys )ds
=
bj (s, Ys )ds +
√
h
t+4t
R
t
bi (s, Ys )ds4Btj
√ t+4t
R j
b (s, Ys )ds4Bti + h4Btj 4Bti ).
+ h
t
t+4t
R i
1
lim + 4t
b (s, Ys )ds existiert in L2 für f.a. t nach 1) (bzw. ∀t,
4t→0
t
R
wenn nur b2 (t, Yt )dP < ∞ ∀t). Außerdem ist
Aber
t+4t
R
t+4t
R
t+4t
R
t
t
t
bj (s, Ys )ds4Bti ,
bi (s, Ys )ds
bj (s, Ys )ds ∈ L1 (P ),
mit Cauchy-Schwarz, da die einzelnen Faktoren in L2 sind. Es folgt
¯
¯
¯¯
Cauchy¯
R ¯¯ 1 t+4t
R j
¯
b (s, Ys )ds¯ ¯4Bti ¯ dP ≤
¯ 4t
¯
¯
Schwarz
t
s
qR
R 1 t+4t
R
( 4t
(4Bti )2 dP → 0,
bj (s, Ys )ds)2 dP
4t→0
t
da
qR
(4Bti )2 dP
R
→ 0, denn (4Bti )2 dP = 4t. Analog folgt
4t→0
18
¯
¯¯
¯
¯ ¯t+4t
¯
R j
R ¯¯ 1 t+4t
¯¯ R i
¯
b (s, Ys )ds¯ ¯
b (s, Ys )ds¯ dP
¯ 4t
¯
¯¯ t
¯
t
→ 0,
4t→0
da
lim +
4t→0
R t+4t
R
t
b2 (s, Ys )dsdP = lim +
4t→0
t+4t
R R
b2 (s, Ys )dP ds = 0.
t
Also mit kEt (.)kL1 (P ) ≤ k.kL1 (P )
4Yti 4Ytj
4t
h
= lim + 4t
Et 4Btj 4Bti
4t→0
½
¾
0 falls i 6= j
j
h
i
= lim + 4t E4Bt 4Bt =
in L1 (P ) für f.a. t,
h falls i = j
4t→0
lim + Et
4t→0
i
wobei man benutzt, dass 4Bti = Bt+4t
− Bti und =t bzw. 4Btj und
4Bti für i 6= j für eine Brown‘sche Bewegung stochastisch unabhängig sind.
(Vgl. [Ba2],§7, Aufgabe 2. Die paarweise Unabhängigkeit impliziert die Unabhängigkeit des Produktes 4Btj 4Bti von =t ).
Q.E.D.
1.2 Analysis der Fokker-Planck-Gleichung
Die für das stochastische Massentransportproblem benötigten Existenz- bzw.
Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen werden, durch [QaVa] inspiriert, unter
beweistechnischen Modifikationen und Adaptionen der Prämissen aufgezeigt.
Man beachte insbesondere, dass in [QaVa] räumlich auf dem Torus gearbeitet
wird. Die Übertragung auf Rn ist sicherlich nicht trivial.
Eine schwache Lösung der Fokker-Planck-Gleichung in [0, T ] × Rn mit Diffusion h · id, gebildet durch % : [0, T ] × Rn → R ∈ L1 , % sei ∀t durch einen
festen Repräsentanten vertreten, zu den vorgegebenen Daten b : {% > 0} →
Rn ∪ {(±∞, .., ±∞)}, messbare Drift und %0 : Rn → R ∈L1 , ist definiert durch:
R
Die Funktion t 7→ χ(t, x)%dx ist absolutstetig und es gilt
R
R
Rt R h
χ(t, x)%dx − χ(0, x)%dx =
( 2 4 + bi (s, x)∂i + ∂s )χ(s, x)%(s, x)dxds,
0
∀χ ∈ C0∞ ([0, T ] × Rn ; R), ∀t ∈ [0, T ].
Es gelte zusätzlich die Integrabilitätsbedingung
RT R
b2 % dxdt < ∞,
0
19
damit diese Definition in R ist.
n
n
∞
0
Theorem 1.2.1:
R (Existenz) Seien b : [0, T ] × R → R ∈ L ∩ C und
n
+
1
%0 : R → R ∈L , %0 dx = 1, dann gibt es eine positive schwache Lösung der
Fokker-Planck-Gleichung in L1 mit Diffusion h · id. Insbesondere
ist %(t, x) ≥ 0
R
natürlich gegeben ∀t und es gilt %(0, x) = %0 (x) bzw. %(t, x)dx = 1 ∀t. Ist
außerdem %0 ∈ L∞ (Rn ; R+ ), dann folgt auch % ∈ L∞ ([0, T ] × Rn ; R+ ).
Beweis: 1) Zu √
b ∈ L∞ und %0 ∈L1 gibt es nach 1.1.7 eine Itô-Diffusionsgleichung
dXt = b(t, Xt )dt+ hdBt , %0 dx = P [X0 ∈ dx]. Da b beschränkt ist, ist die Integrabilitätsbedingung aus 1.1.8.b) erfüllt. Es folgt das die Definitionsbedingung
1.1.1 einer Diffusion erfüllt ist, da auch insbesondere 4Xt 2. Momente besitzt.
Für die Verteilung XtP gilt schwach die Fokker-Planck-Gleichung im Sinne von
1.1.3. Weiterhin beachte man, dass XtP automatisch absolutstetig bzgl. dem
Lebesguemaß im Rn ist, da nach Konstruktion in 1.1.7 P x absolutstetig bzgl.
x
dem Wiener-Maß P mit Start in x ist.
2) Nach Konstruktion des stochastischen Integrals [KaShe] existiert nach
[KaShe],3.2.4 zur Intervallzerlegung [0, T ] =
2n −1
∪ (tk , tk+1 ], t0 = 0, tk = k 2Tn ,
k=0
k = 1, .., 2n eine Folge von elementaren Prozessen
µ
¶
2n
−1
P
j
1(tk ,tk+1 ]×Ω (t, c)ξn,t
ξnj (0, c)1{0}×Ω (t, c) +
(c)
k
k=0
°
°
° j °
für die °ξn,t
°
k
,c∈Ω
n∈N
≤ Konst mit einer nur von kbkL∞ abhängigen Konstante
L∞
und mit n → ∞ die Konvergenz in L2 (P ) von
2n
−1
P
k=0
j
1(tk ,tk+1 ]×Ω (t, c)ξn,t
(c)(Xtjk+1 − Xtjk )(c)
k
RT
gegen das stochastische Integral bj dXtj (c) erfolgt. Insbesondere gibt es eine
0
punktweise P -f.ü. konvergente Teilfolge, ohne Einschränkung identisch indiziert
und es folgt P -f.ü.
¯
¯
¯RT
¯
¯ j
j¯
¯ b dXt ¯ (c) =
¯0
¯
¯
¯
¯P
¯
j
j
j
¯ 1(t ,t ]×Ω (t, c)ξn,t
(c)(Xtk+1 − Xtk )(c)¯¯ + ε
k k+1
¯
k
k
¯
¯
P
¯
¯
≤ Konst 1(tk ,tk+1 ]×Ω (t, c) ¯(Xtjk+1 − Xtjk )(c)¯ + ε
k
a2 +b2 ≥2|ab|
≤
Konst
¯
¯2
¯ j
j ¯
(1
(t,
c)
+
(X
−
X
)
¯
tk+1
tk ¯ (c)) + ε
2 (tk ,tk+1 ]×Ω
P1
k
1
Konst(1
n→∞, ε→0 2
→
20
+ T ), j = 1, .., n,
da die quadratische Variation einer Brown‘schen Bewegung in R bzgl. dem
Maß P im Intervall [0, T ], nach Wahl der hier genügend schnell gegen Null
gehenden Intervallzerlegungsfeinheit (vgl. [Ba2] §47, Aufgabe 4), punktweise
P -f.ü. gegen T konvergiert. Nach Konstruktion in 1.1.7 von ZbTx mit dPbx =
b x folgt Zbx ≤ e h1 n 12 Konst(1+hT ) ∀x. Sei jetzt % ∈ L∞ (Rn ; R+ ), dann ist
ZbTx dP
0
T
R
nach Konstruktion von P mittels P (A) := P x (A)%0 dx auch % ∈ L∞ ([0, T ] ×
Rn ; R+ ). Denn für O ⊂ Rn offen (oder jede Lebesgue-Menge) gilt mit F h aus
1.1.7 und der Gauß-Verteilungsdichte ν0,t·id
R
R
1O (y)%(t, y)dy = P ({Xt ∈ O}) = P x ({Xt ∈ O})%0 (x)dx
RR
x
=
1{Xt ∈O} (c)ZbTx ((F h )−1 (c))dP (c)%0 (x)dx
R
R
x
Martingaleigenschaft
=
1{X ∈O} (c)Zbtx ((F h )−1 (c))dP (c)%0 (x)dx
bx
für Z
T
=
t
R
R
1O (y)( ztx (y)ν0,t·id (y − x)%0 (x)dx)dy,
btx ((F h )−1 (c)) mittels dem Faktorisierungslemma [Ba1], dass
mit ztx (Xt ) := Z
hier angewendet werden kann, da Zbtx ((F h )−1 (c)) σ(Xt )-messbar ist. Hieraus
folgt % ∈ L∞ .
Q.E.D.
Theorem 1.2.2: (Regularität, vgl. [QaVa].) Es bilden % : [0, T ] × Rn →
R ∈L∞ und b : {% > 0} → Rn ∪{±∞}, messbar (explizit gegeben auf ganz {% >
0}) eine positive schwache Lösung der Fokker-Planck-Gleichung mit Diffusion h·
R
(0,1),2
id. Sei b2 %dx < Konst unabhängig von t, dann ist % ∈ Wloc ([0, T ]×Rn ; R),
d.h. % ∈ L2loc (da % ∈ L∞ ) und es existiert ∀i = 1, .., n ein ∂i % : [0, T ] × Rn →
R ∈L2loc so, dass
+
RT R
0
RT R
∂i % ϕdxdt = (−1)
% ∂i ϕdxdt, ∀ϕ ∈ C0∞ ([0, T ] × Rn ; R).
0
Sei zusätzlich %(t, x) ∈ L1 (Rn ; R) ∀t und k%kL1 (Rn ;R) ≤ Konst unabhängig
von t, dann ist ∂i % ∈ W (0,1),2 ([0, T ] × Rn ; R), i = 1, .., n.
Beweis: 1) Sei (%)ε ∈ C ∞ ∩ L1 ≥ 0 ∀t ∈ [0, T ] die Glättung [El] von % in
R mit Glättungskern ηε ∈ C0∞ (Rn → R). Auf (0, T ) × Rn gilt, wie man leicht
mit den üblichen Methoden der Glättung sieht
n
RT R
0
(%)ε ∂t ϕdxdt =
RT R
0
(+div(b%)ε − h2 4(%)ε )ϕdxdt,
∀ϕ ∈ C0∞ ((0, T ) × Rn ; R).
(1,∞),1
Es folgt (%)ε ∈ Wloc
((0, T ) × Rn ; R) und man hat ∂t (%)ε = −div(b%)ε +
h
1
n
2 4(%)ε . Dass alle Ableitungen von (%)ε wirklich in Lloc ((0, T ) × R ; R) sind,
sieht man, indem man durch räumliches Shiften auf die andere Seite verifiziert,
dass die Ausdrücke
21
RT R
∂t (%)ε ϕdxdt,
0
RT R
0
∂ik (%)ε ϕdxdt, i = 1, .., n, k ∈ N
unter Benutzung der essenziellen Beschränktheit von %, der üblichen Abschätzung der Glättung in L1 -Räumen und der Integrabilitätsbedingung für b
∀ϕ ∈ C0∞ in R ist. Also auch für ein ϕ das auf der ε-Umgebung des offenen
Balles Br (0) ∀t identisch 1 ist.
2) Seien ζr : Rn → R ∈C0∞ , 0 ≤ ζr ≤ 1, r > 0 räumliche Plateau-Funktionen
derart, dass ζr |Br/2 (0) ≡ 1, supp(ζr ) ⊂ Br (0) und |∂i ζr |, |∂j ∂i ζr | ≤ Konst
unabhängig von r, i, j = 1, .., n. Man hat
R
R
ζr (x)(%(T, x))2ε dx − ζr (x)(%(0, x))2ε dx
RT R
RT R
=
ζr (x)∂t ((%)ε (%)ε )dxdt = 2
ζr (x)∂t (%)ε (%)ε dxdt.
0
0
Es folgt somit Rmittels 1) und räumlichem
Shiften
R
(∗)
ζr (x)(%(T, x))2ε dx − ζr (x)(%(0, x))2ε dx =
RT R
RT R
ζr (b%)ε · ∇(%)ε dxdt + h2
2
4ζr (%)2ε dxdt
0
−h
RT R
0
2
ζr (∇(%)ε ) dxdt.
0
Wobei
−
= − 21
= − 12
RT R
0
RT
R
RT R
∇ζr · ∇(%)ε (%)ε dxdt
0
∇ζr · ∇(%)ε (%)ε dxdt −
∇ζr · ∇(%)ε (%)ε dxdt +
0
+ 12
RT R
0
4ζr (%)2ε dxdt =
1
2
1
2
1
2
RT R
0
RT
∇ζr · ∇(%)ε (%)ε dxdt
0
RT R
0
R
∇ζr · ∇(%)ε (%)ε dxdt
4ζr (%)2ε dxdt
benutzt wurde.
RT R
Der Term
ζr (b%)ε · ∇(%)ε dxdt lässt sich wie folgt abschätzen
0
RT R
ζr (b%)ε · ∇(%)ε dxdt
s
Cauchy-Schwarz
RT R
RT R
2
≤
1Br (0) (b%)ε dxdt
ζr2 (∇(%)ε )2 dxdt
0
0
s
s
RT R
RT R
2
1Br (0) (b%) dxdt + Konst)
ζr (∇(%)ε )2 dxdt
≤ (
s
0
0
0
22
s
s
RT R
(k%kL∞
1Br (0) b2 %dxdt + Konst)
ζr (∇(%)ε )2 dxdt
0
0
s
RT R
≤ Konst
ζr (∇(%)ε )2 dxdt.
Hölder
≤
in L1 -L∞
RT R
0
Unter Benutzung der Approximationseigenschaft in L2 der Glättung auf
kompakten Mengen,R wobei die nur räumliche Glättung keine Rolle spielt, da
nach Voraussetzung b2 %dx < Konst unabhängig von t und man mit konstanter
Majorisierung arbeiten kann (k(.)ε kLp ≤ k.kLp , 1 ≤ p < ∞ für die Glättung).
RT R
Aus der Unbeschränktheit in ε ∀r groß genug von ar,ε :=
ζr (∇(%)ε )2 dxdt
0
kann man mithin auf die Unbeschränktheit von
RT R
2
ζr (b%)ε · ∇(%)ε dxdt − h
0
RT R
ζr (∇(%)ε )2 dxdt
0
√
schließen, da der Absolutbetrag des ersten Termes allenfalls mit ar,ε gegen
RT R
ζr (∇(%)ε )2 dxdt in ε → 0, ∀r >
Unendlich geht. Wegen (∗) folgt, dass
0
0 beschränkt sein muss, da dies, unter Ausnutzung von % ∈ L∞ , wegen der
Approximation der Glättung in L2 -Räumen auf kompakten Mengen auch für
R
R
ζr (x)(%(T, x))2ε dx − ζr (x)(%(0, x))2ε dx
und wegen der Beschränktheit der Ableitungen von ζr auch für
h
2
RT R
0
4ζr (%)2ε dxdt
gilt, ohne dass es eine Rolle spielt, dass nur räumlich geglättet wird.
3) Seien fk ∈ W 1,2 (O), reellwertig und O ⊂ Rn offen, mit k∂i fk kL2 (O) ≤
Konst, °i =° 1, .., n, dann gibt es ein fbi , i = 1, .., n, so daß ∂i fk
° °
Es gilt °fbi °
≤ Konst, (i = 1, .., n).
L2 (O)-schwach
→
fbi .
L2 (Γ)
Beweis: Die schwache Folgenkompaktheit und die Unterhalbstetigkeit bzgl.
schwacher Konvergenz liefern die Aussage.
L2
4) Seien fk ∈ W 1,2 (O), reellwertig und O ⊂ Rn offen, mit fk → f für ein
L2 -schwach b
f ∈ L2 . Es gelte ∂i fk
→
fi , i = 1, .., n, dann folgt f ∈ W 1,2 (O) und
b
∂i f = fi , i = 1, .., n.
Beweis: Für schwache Ableitungen hat man
R
R
∂i fk ϕdx = (−1) fk ∂i ϕdx ∀ϕ ∈ C0∞ (O), i = 1, .., n.
Und damit nach Voraussetzung
23
R
R
R
fbi ϕdx = lim ∂i fk ϕdx = (−1) lim fk ∂i ϕdx
k→∞
k→∞
R
= (−1) f ∂i ϕdx ∀ϕ ∈ C0∞ (O), i = 1, .., n,
also ∂i f = fbi , i = 1, .., n.
5) Es gilt lim 1Br/2 (0) (%)ε = 1Br/2 (0) % ∀t in L2 (Rn ; R). Also folgt, dass die
Funktionen
ε→0
gε : t 7→
¯2
R ¯¯
¯
¯1Br/2 (0) (%)ε − 1Br/2 (0) %¯ dx
punktweise gegen Null konvergien mit ε → 0. Es gilt aber
¯2
¯2
¯2
R ¯¯
R ¯¯
R ¯¯
¯
¯
¯
¯1Br/2 (0) (%)ε − 1Br/2 (0) %¯ dx ≤ ¯1Br/2 (0) (%)ε ¯ dx + ¯1Br/2 (0) %¯ dx
≤ 2 k%kL∞ V olumen(Br/2 (0)) ∀t,
aufgrund der Eigenschaften der Glättung. Mithin sind die Funktionen gε (t)
durch eine Konstante majorisiert und es folgt lim 1Br/2 (0) (%)ε → 1Br/2 (0) % in
ε→0
L2 ([0, T ] × Rn ; R). Wegen 2)-4) besitzt (1Br/2 (0) ∇(%)ε )ε>0 ∀r, groß genug eine
schwach in L2 ([0, T ] × Rn ; Rn ) konvergente Teilfolge (ohne Einschränkung identisch indiziert) und es folgt ∇% = lim ∇(%)ε schwach in L2 ([0, T ] × Br/2 (0); Rn )
ε→0
∀r.
6) Seien %(t, x) ∈ L1 (Rn ; R) ∀t und k%kL1 (Rn ;R) ≤ Konst unabhängig von t,
dann ist
R 2
R
% (t, x)dx ≤ k%kL∞ %(t, x)dx ≤ k%kL∞ Konst ∀t,
und damit %(t, x) ∈ L2 (Rn ; R) ∀t bzw. %(t, x) ∈ L2 ([0, T ] × Rn ; R) . In
den Beweisführungen 1)-5) kann man lim durchführen und es folgt ganz analog
ε→0
R
wie in 2), dass ar,0 beschränkt sein muss in r, da auch ζr (x)(%(T, x))2 dx −
R
RT R
1Br/2 (0) (∇%)2 dxdt ≤ Konst
ζr (x)(%(0, x))2 dx beschränkt ist. Mithin ist
0
unabhängig von r. Also ∂i % ∈ L2 ([0, T ] × Rn ; R), i = 1, .., n.
Q.E.D.
Man vergleiche hierzu auch die Regularitätsaussage für die Bilddichte in [Fö].
Die relative Entropie
R
(x)
dx
%1 (x) ln %%12 (x)
zweier Dichten %1 und %2 wird im folgenden Theorem von beweistechnischer
Bedeutung sein.
Theorem 1.2.3: (Eindeutigkeit, vgl. [QaVa].) Seien %1/2 : [0, T ] × Rn →
R ∈L∞ positive schwache Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung mit Diffusion
h · id, mit b1/2 : {%1/2 > 0} → Rn ∪ {(±∞, .., ±∞)}, messbar gegeben und
+
24
R 2
b % dx < Konst unabhängig von t. Seien %1/2 (t, x) ∈ L1 (Rn ; R) ∀t und
° 1/2° 1/2
°%1/2 ° 1 n
≤ Konst unabhängig von t. Wenn zusätzlich die Entropien
L (R ;R)
R
%1/2 ln %1/2 dx zu den Zeitpunkten 0 und T in R existieren, dann gilt (in der
Klasse mit den gegebenen Voraussetzungen) Eindeutigkeit zum Zeitpunkt T ,
d.h. aus b1 = b2 und %1 (0, x) = %2 (0, x) folgt %1 (T, x) = %2 (T, x).
Beweis: 1) Nach 1.2.2 ist %1/2 : ∈L∞ ∩ W (0,1),2 .
2) Sei wie gehabt (%1/2 )ε ∈ C ∞ (Rn ; R) ∀t ∈ [0, T ] die Glättungen in Rn
der Funktionen %1/2 mit Glättungskern ηε ∈ C0∞ (Rn ; R), dann ist (%1/2 )ε ∈
(1,∞),1
Wloc
Rn
((0, T )×Rn ; R) (auch zeitliche Sobolev-Ableitung) und es gilt auf (0, T )×
∂t (%1/2 )ε = −div(b1/2 %1/2 )ε + h2 4(%1/2 )ε .
3) Seien ζr : Rn → R ∈C0∞ , 0 ≤ ζr ≤ 1, r > 0 räumliche PlateauFunktionen derart, dass ζr |Br/2 (0) ≡ 1, supp(ζr ) ⊂ Br (0) und |∂i ζr | ≤ Konst
bzw. |∂j ∂i ζr | ≤ Konst, i, j = 1, .., n, mit einer positiven Konstanten un(1,∞),1
(%1 )ε +δ
abhängig von r. Sei δ > 0, dann ist ln (%
∈ {räumlich C ∞ } ∩ Wloc
2 )ε +δ
und es folgt aus der schwachen Fokker-Planck-Gleichung für %1 durch Approx(1,2),1
(%1 )ε +δ
imieren von ln (%
mittels C0∞ -Funktionen in Wloc ([0, T ] × Rn ; R) und
2 )ε +δ
anschließendem räumlichem Shiften
R
RT R
0
RT
+
0
1 )ε (T,x)+δ
%1 (T, x)ζr (x) ln (%
(%2 )ε (T,x)+δ dx −
R
2)
(%1 )ε (0,x)+δ
%1 (0, x)ζr (x) ln (%
dx =
2 )ε (0,x)+δ
(%1 )ε +δ
(%1 )ε +δ
h
1 )ε +δ
(%1 b1 · ζr ∇ ln (%
+ %1 ζr ∂t ln (%
(%2 )ε +δ − 2 ζr ∇%1 · ∇ ln (%2 )ε +δ )dxdt
2 )ε +δ
R
(%1 )ε +δ
(%1 )ε +δ
h
1 )ε +δ
(%1 b1 · ∇ζr ln (%
+ %1 ζr ∂t ln (%
(%2 )ε +δ − 2 ∇ζr · ∇%1 ln (%2 )ε +δ )dxdt
2 )ε +δ
=:
RT R
(I+II−III+IV+V)dxdt.
0
4) Die Terme I-III berechnen sich wie folgt
(%1 )ε +δ
2 )ε +δ
I= ζr %1 bi1 (%
(%1 )ε +δ ∂i (%2 )ε +δ
((%2 )ε +δ)
((%1 )ε +δ)
− ζr %1 bi1 ∂i(%
,
= ζr %1 bi1 ∂i(%
1 )ε +δ
2 )ε +δ
(%2 )ε +δ
1 )ε +δ
III= h2 ζr (%
∇%1 · ∇ (%
(%2 )ε +δ
1 )ε +δ
= h2 ζr (%1 )1ε +δ ∇%1 · ∇((%1 )ε + δ) − h2 ζr (%2 )1ε +δ ∇%1 · ∇((%2 )ε + δ),
RT R
RT R
(%1 )ε +δ
2 )ε +δ
IIdxdt =
%1 ζr (%
(%1 )ε +δ ∂t (%2 )ε +δ dxdt
=
RT R
0
0
0
(ζr (%1%)1ε +δ ∂t ((%1 )ε
=:
+ δ) − ζr (%2%)1ε +δ ∂t ((%2 )ε + δ)dxdt
RT R
(IIa−IIb)dxdt,
0
25
RT R
(IIa)dxdt =
0
=
RT R
0
+
=:
RT R
RT R
0
ζr (− (%1%)1ε +δ div(b1 %1 )ε +
ζr (∇ (%1%)1ε +δ · (b1 %1 )ε − h2 ∇ (%1%)1ε +δ · ∇(%1 )ε )dxdt
RT R
0
∇ζr · ( (%1%)1ε +δ (b1 %1 )ε −
1
· (b1 %1 )ε −
ζr ( (%∇%
1 )ε +δ
0
%1
h
2 (%1 )ε +δ 4(%1 )ε )dxdt
%1
h
2 (%1 )ε +δ ∇(%1 )ε )dxdt
%1
((%1 )ε +δ)2 ∇((%1 )ε
+ δ) · (b1 %1 )ε
1
· ∇(%1 )ε + h2 ((%1 )%ε1+δ)2 ∇((%1 )ε + δ) · ∇(%1 )ε )dxdt
− h2 (%∇%
1 )ε +δ
RT R
RT R
+
(IIaa−IIab)dxdt =:
(IIac+IIaa−IIab)dxdt,
RT R
0
(IIb)dxdt =
0
=
RT R
0
+
=:
RT R
0
0
0
ζr (− (%2%)1ε +δ div(b2 %2 )ε
+
%1
h
2 (%2 )ε +δ 4(%2 )ε )dxdt
ζr (∇ (%2%)1ε +δ · (b2 %2 )ε − h2 ∇ (%2%)1ε +δ · ∇(%2 )ε )dxdt
RT R
0
RT R
∇ζr · ( (%2%)1ε +δ (b2 %2 )ε −
1
ζr ( (%∇%
· (b2 %2 )ε −
2 )ε +δ
%1
h
2 (%2 )ε +δ ∇(%2 )ε )dxdt
%1
((%2 )ε +δ)2 ∇((%2 )ε
+ δ) · (b2 %2 )ε
1
− h2 (%∇%
· ∇(%2 )r,ε + h2 ((%2 )%ε1+δ)2 ∇((%2 )ε + δ) · ∇(%2 )ε )dxdt
2 )ε +δ
RT R
+ (IIba−IIbb)dxdt.
0
Die Grenzwerte lim können aufgrund der Approximation der Glättung auf
ε→0
kompakten Mengen durchgeführt weden. Die Terme IIaa,IIab,IIba und IIbb
verschwinden mit lim lim unter Benutzung der Integrabilität von (∇%1/2 )2
r→∞ ε→0
bzw. (b1/2 %1/2 )2 und der Tatsache, dass ζr |Br/2 (0)∪Brc (0) konstant ist und somit
die Ableitungen dort verschwinden bzw. sonst beschränkt bleiben ∀r. Der
Term IIac verschwindet offensichtlich mit lim lim lim unter Benutzung der
δ→0 r→∞ ε→0
Integrabilität von (∇%1/2 )2 bzw. (b1/2 %1/2 )2 .
5) Mittels der schwachen Fokker-Planck-Gleichung zeigt man
R
R (%1/2 (T, x))ζr (x) ln((%1/2 (T, x))ε + δ)dx−
(%1/2 (0, x))ζr (x) ln((%1/2 (0, x))ε + δ)dx =
T
RR
∇%1/2 ·∇(%1/2 )ε
b
·∇(%1/2 )ε
(%1/2 )ε
ζr (− h2 (%
+ 1/2
(%1/2 )ε +δ %1/2 + (%1/2 )ε +δ ∂t (%1/2 )ε )dxdt
1/2 )ε +δ
0
+
RT R
0
(− h2 (∇%1/2 · ∇ζr ) ln((%1/2 )ε + δ) + (b1/2 · ∇ζr )%1/2 ln((%1/2 )ε + δ))dxdt.
Die Terme mit Ableitungen von ζr verschwinden wie gehabt im Limes lim lim .
r→∞ ε→0
Der Term
26
RT R
0
(%
)
1/2 ε
ζr (%1/2
)ε +δ ∂t (%1/2 )ε dxdt := Tδrε
verschwindet im Limes lim lim lim wie in 4) IIac. In den restlichen Termen
δ→0 r→∞ ε→0
kann der Grenzübergang lim durchgeführt werden und es folgt
ε→∞
R
(**)
%1/2 (T, x)ζr (x) ln(%1/2 (T, x) + δ)dx−
R
%1/2 (0, x)ζr (x) ln(%1/2 (0, x) + δ)dx =
RT R
∇%
·∇%1/2
b
·∇%1/2
+ 1/2
ζr (− h2 %1/2
%1/2 +δ %1/2 )dxdt + Tδr0 + o(r).
1/2 +δ
0
Nach der Schwarz-Ungleichung in Br (0) bzgl. des Skalarproduktes gegeben
durch das Maß mit der Lebesgue-Dichte ζr %1/21 +δ gilt
s
¯
¯ s
¯RT R
¯
RT R (b1/2 %1/2 )2
RT R (∇%1/2 )2
b1/2 ·∇%1/2
¯
¯
ζr %1/2 +δ %1/2 dxdt¯ ≤
ζr %1/2 +δ dxdt
ζr %1/2 +δ dxdt.
¯
¯0
¯
0
0
s
RT R
Der Limes lim kann durchgeführt werden und es folgt, da
r→0
0
(b1/2 %1/2 )2
%1/2 +δ dxdt
in δ beschränkt ist, bzw. lim existiert
δ→0
¯
¯RT R
¯
¯
¯0
¯
¯
b1/2 ·∇%1/2
¯
%1/2 +δ %1/2 dxdt¯¯
≤ Konst
s
RT R
0
(∇%1/2 )2
%1/2 +δ dxdt,
mit einer Konstanten unabhängig von δ. Der Limes lim kann in (**)
r→∞
durchgeführt werden. Wie in 1.2.2 gehabt, kann man von der Unbeschränktheit
RT R (∇%1/2 )2
von
%1/2 +δ dxdt auf die Unbeschränktheit von
0
RT R
0
(− h2
∇%1/2 ·∇%1/2
%1/2 +δ
+
b1/2 ·∇%1/2
%1/2 +δ %1/2 )dxdt
+ Tδ∞0
schließen. Da aber, z.B. (durch Fallunterscheidung zwischen Positiv.- und
Negativteil) mittels dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt
R
lim ( %1/2 (T, x)ζr (x) ln(%1/2 (T, x) + δ)dx−
δ→0
R
%1/2 (0, x)ζr (x) ln(%1/2 (0, x) + δ)dx) = 4Entrop(%1/2 (T, x), %1/2 (0, x))
ist die linke Seite von (**) beschränkt und es folgt, dass
RT R
0
∇%1/2 ·∇%1/2
dxdt
%1/2 +δ
notwendig beschränkt ist in δ. Wiederum mittels des Satzes von der monotonen
RT R ∇%1/2 ·∇%1/2
Konvergenz folgt dann aber die Existenz der Integrale
dxdt < ∞.
%1/2
0
27
6) Die Grenzübergänge lim lim lim können in 3) bzw. 4) aufgrund der
δ→0 r→∞ ε→0
Approximation der Glättung auf kompakten Mengen und der Integrabilität von
(∇%1/2 )2
aus 5) ausgeführt werden. Da nach Voraussetzung %1 (0, x) = %2 (0, x)
%1/2
folgt somit
R
lim %1 (T, x) ln %%12 (T,x)+δ
(T,x)+δ dx
= lim
RT R
δ→0 0
δ→0
1
−[ h2 ( ∇%
%1
1
· ( %∇%
−
1 +δ
2
1
(b2 %2%+δ
( ∇%
%1 −
∇%2
%2 +δ )
∇%2
%2 +δ )
−
∇%2
%2 +δ
1
− b1 · ( %∇%
−
1 +δ
1
· ( ∇%
%1 −
∇%2
%2 +δ )+
∇%2
%2 +δ )]%1 dxdt.
Bei der Durchführung des Limes δ → 0 schließt man auf der linken Seite der
Identität mittels des Satzes von der monotonen Konvergenz (durch Fallunterscheidung von Positiv.- bzw. Negativteil) und auf der rechten Seite mittels der
Existenz der Integrale aus 5). Es folgt, dass die relative Entropie zum Zeitpunkt
T existiert und es gilt, da auch nach Voraussetzung b2 = b1
R
%1 (T, x) ln %%12 (T,x)
(T,x) dx =
RT R
0
1
− h2 ( ∇%
%1 −
∇%2 2
%2 ) %1 dxdt.
Insbesondere ist die relative Entropie bzgl. %1 , %2 zum Zeitpunkt T negativ.
7) Angenommen %1 6= %2 essenziell, d.h. auf einer Menge positiven Maßes,
dann gilt, wobei hier %1/2 immer für %1/2 (T, x) steht
R
6)
1{%1 ≥%2 } %1 ln %%21 dx ≤ −
R
1{%1 <%2 } %1 ln %%12 dx.
Man hat aber auch
R
R
R
− 1{%1 <%2 } %1 ln %%12 dx = 1{%1 <%2 } %1 ln %%12 dx < 1{%1 <%2 } %2 ln %%21 dx
Analog durch
R
R
≤
− 1{%1 ≥%2 } %2 ln %%12 dx ≤ 1{%1 ≥%2 } %1 ln %%12 dx.
Vertauschung von %1 und %2
Widerspruch! Q.E.D.
Korollar 1.2.4: Unter den Voraussetzungen an eine schwache Lösung der
Fokker-Planck-Gleichung in 1.2.3 gilt, dass die entropische Geschwindigkeit u =
1{%>0} h2 ∇ ln % in L2 (%) ist, d.h.
RT R
u2 %dxdt < ∞.
0
Außerdem folgt aus der Existenz der Entropie in R zu den Zeitpunkten T
und 0 die Existenz zu allen Zeitpunkten t ∈ [0, T ]. Es gilt Eindeutigkeit zu allen
Zeitpunkten (in der Klasse mit den gegebenen Voraussetzungen).
Beweis: Die Behauptungen folgen leicht aus den Beweisführungen in 1.2.3.5),
da man jetzt auf der rechten Seite von (**) Existenz in R hat.
Q.E.D.
28
§2 Stochastischer Massentransport
2.1 Definition des stochastischen Massentransportes
Seien χ1 und χ2 zwei Dichtefunktionen auf dem Rn mit den Definitionsbereichen Ω1 und Ω2 , deren Regularität man relativ allgemein festlegen kann. Es
gelte die Normierung
R
R
χ1 (x)dx = χ2 (y)dy.
Ω1
Ω2
Das deterministische (L2 -)Massentransportproblem (siehe [GaMcC,RaRü1,Vi]),
bzgl. quadratischer Kostenfunktion, beinhaltet, χ1 und χ2 als Bilddichten, durch
eine optimale Abbildung D ineinander zu transformieren. D.h. ist der ”pushforward” D# χ : Ω2 → R+ einer Dichtefunktion χ durch die Abbildung D :
Ω1 → Ω2 wie gehabt definiert mittels
R
R
D# χ(y)f (y)dy = χ(x)f (Dx)dx ∀f ∈ C 0 (Ω2 ),
Ω2
Ω1
dann minimiert der deterministische Massentransport das Funktional
R
!
2
|x − Dx| χ1 (x)dx = inf mit D# χ1 = χ2 .
D
Ω1
Durch die Quadratwurzel dieses Ausdruckes wird die Wasserstein-Distanz
zwischen χ1 und χ2 definiert. Notwendig für ein Minimum ist die MongeAmpère-Gleichung
χ2 (D(x)) det((∂j Di )ij (x)) = χ1 (x).
Das zentrale Resultat in diesem Zusammenhang ist, dass D existiert und
Gradient einer konvexen Funktion ist ([RaRü2,Br]. Siehe auch [GaMcC,Vi] als
Referenz zum Massentransport). Hierdurch sind die zweiten Ableitungen in der
Monge-Ampère-Gleichung gerechtfertigt.
Die Verbindung zu Geodätischen ergibt sich ohne Weiteres, wenn man die
Verknüpfung von χ1 und χ2 durch D zeitkontinuierlich über die Konvex-Kombination
vornimmt. Hierbei hat man folgendes Resultat von Brenier und Benamou [BrBe]
(man siehe auch [Vi] für eine analytische Präzessierung des Problems und des
Raumes der (v, %)):
R
R
Seien %0 , %1 ∈ Rn → R vorgegeben mit %0 (x)dx = %1 (x)dx = 1 und
T ∈ R+ . Das Variationsproblem
RT R
!
v 2 %dxdt = inf ;
v,%
0
v : [0, T ]×Rn → Rn ∈R C 1
% : [0, T ] × Rn → R+ ∈ C 1 , %t dx = 1,
%(0, .) = %0 , %(T, .) = %T , ∂t % + div(%v) = 0
29
wird minimiert durch das eindeutige Paar (v, %) definiert durch die zum
Transportproblem gehörende konvexe Funktion Φ durch
R
R
∇Φ−x
f (t, x) %(t,
R x) dtdx = f (t, x + T ) %0 (x) dtdx,
%(t, x) v(t, x)dtdx =
R ∇Φ−x f (t, x) ∇Φ−x
f (t, x + T ) %0 (x) dtdx ∀f ∈ C 0 .
T
Der Variationsformalismus ist der gleiche wie in der geometrischen Optik.
Die zeitstetige geradlinige Verbindung zwischen Ursprungspunkt und Bildpunkt,
definiert durch x + t(∇Φ−x)
, t ∈ [0, T ] bildet den Lichtweg.
T
Definition 2.1.1:(Stochastischer (L2 -)Massentransport, vgl. auch [Mi] für
eine Variante.) In Analogie sei das stochastische Massentransportproblem zu
den Daten µ0/T Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Rn , T , h ∈ R+ nun wie folgt
definiert
RT R
!
b(t, Yt )2 dP dt = inf
b,P,B
0
n
n
b : [0, T ]×R
√ → R ,P
dYt = b(t, Yt )dt + hdBt , Y0/T = µ0/T .
(Ω, =t , Bt , P ) ist eine Brown ‘sche Bewegung mit Start in 0 und (Ω, =t , Yt , P )
Y0
ist eine Brown ‘sche Bewegung mit Startverteilung P . Das Infimum wird
über alle Itô-Diffusionsgleichungen gebildet, die die Randbedingungen erfüllen.
(Ω, =t , Yt , P ) kann als kanonische Brown‘sche Bewegung mit Startverteilung µ
auf dem Rn fest vorgegeben gedacht werden. Also wie gehabt Ω = C 0 ([0, T )], Rn ),
Yt = Xt ist gegeben durch die Koordinatenabbildung Xt (c) = c(t), =t ist die
durch Xs , s ≤ t erzeugte σ-Algebra und P die übliche Konstruktion aus dem
Wiener-Maß mit Startverteilung. Die obige Definition ist eine Markov‘sche Variante des stochastischen Massentransportes. Minimiert werden kann auch über
alle Tripel (b, P, Y ), wobei Y Diffusion bzgl. P mit Diffusionsmatrix h · id und
Drift b ist. Es zählt nur, was das Tripel bei Anwendung des Bildintegralsatzes
liefert. Also eine Bilddichte und eine Drift, die die Fokker-Planck-Gleichung
erfüllen.
¯
¯
Proposition 2.1.2: Seien %0/T ∈ L∞ ∩ L1 , positiv, ¯%0/T ¯L1 = 1 und es
R
existieren die Entropien %0/T ln %0/T dx in R. Sei (Ω, =t , Xt , P ) die kanonische
Brown‘sche Bewegung mit Startverteilung P
lassen sich ineinander umformulieren
I)
RT R
X0
. Folgende Variationsprobleme
!
b(t, x)2 %dxdt = inf ,
b,%
0
30
b : [0, T ]×Rn → Rn ∈L∞R∩ C 0 ,
% : [0, T ] × Rn → R+ ∈ L∞ , %t dx = 1,
%(0, x) = %0 , %(T, x) = %T ,
∂t % + div(%b) − 12 h4%
Fokker-Planck-Gleichung gilt schwach!
II)
RT R
!
b(t, Xt )2 dP dt = inf ,
b,P,B
0
∞
b : [0, T ]×Rn → R ∈L√
∩ C 0,
dXt = b(t, Xt )dt + hdBt ,
(Ω, =t , Bt , P ) Brown ‘sche Bewegung mit Start in 0, so daß
P [X0 ∈ dx] = %0 dx, P [XT ∈ dx] = %T dx.
Beweis: ”II)=⇒I)” Die Aussage ergibt sich aus dem Bildintegralsatz und
der Tatsache, dass wegen 1.1.3 und 1.1.8.b) √
(oder 1.2.1) die stochastische Diffusionsdifferenzialgleichung dXt = b(t, Xt )dt+ hdBt , für die Verteilung %(t, x)dx =
P [Xt ∈ dx], die Fokker-Planck-Gleichung ∂t % + div(%b) − 12 h4% = 0 schwach
erfüllt und die Vorraussetzungen in I) erfüllt.
”I)=⇒II)” Sei b gegeben. Da b nach Voraussetzung beschränkt ist, gibt es
nach dem Lemma 1.1.7 eine schwache Lösung (Ω, =t , Bt , P ) der stochastischen
Diffusionsdifferenzialgleichung mit Startverteilungsdichte %0 . Diese schwache
Lösung erfüllt wiederum die schwache Fokker-Planck-Gleichung nach 1.1.3 und
1.1.8.b) (bzw. 1.2.1). Insbesondere wegen 1.2.2 sind die Voraussetzungen von
1.2.3 erfüllt. Aus dem Korollar 1.2.4 folgt die Eindeutigkeit zu allen Zeitpunkten. % ist mithin wegen 1.2.3 in der Fokker-Planck-Gleichung zu allen Zeitpunkten eindeutig durch Vorgabe der Startdichte %0 bestimmt, insbesondere ist auch
die Zeitrandwertbedingung zu T erfüllt. Die Gleichheit der Funktionale ergibt
sich wiederum aus dem Bildintegralsatz.
Q.E.D.
Bemerkung 2.1.3: Die Brown‘sche Bewegung (Ω, =t , Xt , P ) mit einer
X0
Startverteilung P , ist bei der schwachen Lösung beliebig fest vorgegeben.
(Ω, =t , Xt , P ) heißt die gewählte Realität des stochastischen Massentransportproblems. Sei (Ω, =t , Bt , P ) eine minimierende Lösung, dann heißt Bt der
Beobachter zu den Randwerten %0 und %T und dem Zeitpunkt T . P heißt
die beobachtete Verzerrung der Realität.
2.2 Lagrange-Formalismus
Der Lagrange‘sche Formalismus für ein punktdynamisches System auf dem
Rn besitzt eine stochastische Verallgemeinerung.
Für eine elementare Lagrange‘sche
D·
E
·
·
Funktion L(x(t), x(t)) = 21 x(t), x(t) − V (x(t)), mit einer Riemann‘schen
31
Metrik h., .i, ist diese Verallgemeinerung durch den stochastischen Massentransport inklusive eines treibenden Potenzials gegeben. Die Euler-Lagrange-Gleichungen
des Variationsproblems sind durch die stochastischen Newton-Gleichungen gegeben.
Dadurch wird Newton‘s Kraftgesetz verallgemeinert.
Definition 2.2.1: (Variationsproblem) Sei ein Variationsfunktional F :
V → R auf einer linearen Konkurrenzschar K, für die Nebenbedingungen für
F gelten, definiert. Sei das Problem homogen, d.h. es gibt einen Unterraum
U ⊂ K, genannt Variationsschar, so dass für Elemente f ∈ K folgt f + u ∈ K
∀u ∈ U . Dann heißt ein Element f aus der Konkurrenzschar stationär bzgl. der
d
|ε=0 F (f + εu) = 0 ∀u ∈ U , wobei Existenz
Variation mit U genau dann wenn dε
für die Ableitung ohne Einschränkung gegeben sei. Man schreibt dann auch
!
δF (f ) = 0, um die Suche nach einer stationären Lösung darzustellen.
Der Lagrange‘sche Formalismus für ein punktdynamisches System, auf dem
Rn mit einer Lagrange‘schen Funktion L, ist gegeben durch
µ1
¶
R
·
!
δ
L(t, x(t), x(t))dt = 0, Randwerte für x(0), x(1).
0
Variiert wird über alle differenzierbaren Wege (C 1 ) mit kompaktem Träger
im Zeitintervall [0,1] bzgl. der Konkurrenzschar der differenzierbaren Wege
(C 1 ) die die Zeitrandwertbedingung erfüllen. Die Euler-Lagrange-Gleichungen
für dieses Problem lauten [CouHi]
d ∂L
dt ∂ x·
−
∂L
∂x
= 0.
Die bisher bekannte stochastische Verallgemeinerung ist gegeben durch Variation des Yasue-Problems [Ya,Ne2,BlCoZh]
¢
RT R ¡ 1
!
1
δJ(Y ) = δ(
2 L(t, Y, DY ) + 2 L(t, Y, D∗ Y ) dP dt) = 0,
0
Variiert werden als Konkurrenzschar die Diffusionen (Y, P ), so dass Y eine
Diffusion bzgl. P mit Drift b ist, für die das Funktional in R ist. Es gelte
P [Y0 ∈ dx] = %0 dx, P [YT ∈ dx] = %T dx. Gesucht ist eine glatte Lösung
(Y, P ) die Diffusionsmatrix h · id besitzt.
In Abänderung (und Simplifizierung) des Variationsformalismus, im Vergleich zu [Ya,Ne2,BlCoZh], werden hier Diffusionen variiert. Eine glatte Diffusion
Yt mit %(t, x)dx = P [Yt ∈ dx] die die Zeitrandwertbedingung erfüllt ist stationär,
wenn für alle Zufallsvektoren ξ = η(t, Yt ), η : [0, T ] × Rn → Rn differenzierbar
mit kompaktem Träger in {% > 0} ∩ [0, T ] × Rn (also insbesondere mit Zeitnulld
|ε=0 J(Y +εξ) = 0. Wie man mittels der Beweisführung in
randwerten), folgt: dε
1.1.2 sieht ist Y + εξ wieder Diffusion bzgl. P . Außerdem erfüllt die Diffusion
Y + εξ wegen der Kompaktheit des Trägers von η die Zeitrandbedingungen.
Y + εξ ist also in der Konkurrenzschar der Diffusionen enthalten. Im Gegensatz
zu den eher stochastischen Variationsformalismen aus [Ya,Ne2,BlCoZh] ist hier
ein ganz klassischer Formalismus gegeben. Man findet durch Variationsrechnug
32
d
dε |ε=0 J(Y
+ εξ) =
RT R
0
( 12 ∂xi L(t, Y, DY )ξ i + 12 ∂xi L(t, Y, D∗ Y )ξ i
+ 12 ∂qi L(t, Y, DY )Dξ i + 12 ∂qi L(t, Y, D∗ Y )D∗ ξ i )dP dt.
(Summenkonvention !)
Hierbei ist die Vertauschung von Integration und Differenziation zu rechtfertigen. Eine Begründung kann mit der üblichen Argumentation erfolgen. Man
siehe z.B. [Fo], §11.Satz 2, der Beweis überträgt sich obwohl man hier räumlich
über einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω integriert statt dem Rn . Es müssen folgende Kriterien erfüllt sein für
g(t, c, ε) := 12 L(t, (Y + εξ)(t, c), D(Y + εξ)(t, c))
+ 12 L(t, (Y + εξ)(t, c), D∗ (Y + εξ)(t, c)), c ∈ Ω:
Es gibt ein κ > 0 so, dass
I) Für jedes (t, c) ∈ [0, T ] × Ω ist ε 7→ g(t, c, ε) stetig nach ε differenzierbar, ∀ ε ∈ [−κ, κ].
II) Für jedes ε ∈ [−κ, κ] ist (t, c) 7→ g(t, c, ε) integrierbar über Zeit.und Wahrscheinlichkeitsraum.
¯
¯d
(g(t, c, ε))¯
III) Es gibt eine (positive) integrierbare Funktion F (t, c) die ¯ dε
∀ε ∈ [−κ, κ] majorisiert.
Um I) zu erfüllen muss die Lagrange-Funktion vernünftig differenzierbar sein.
Für II) müssen die Diffusionen so beschaffen sein, dass das Integral existiert,
also etwa die Drift in L2 (P ) sein falls L in der Geschwindigkeitskomponente
quadratisch ist (was automatisch erfüllt ist). Für III) kann man die Kompakheit
des Trägers von η ausnutzen.
Mit der partiellen Integrationsformel 1.1.5 hat man, unter Benutzung der
Kompaktheit des Trägers von η
RT R
0
d
dε |ε=0 J(Y
!
+ εξ) = 0 ∀ξ ⇐⇒
( 12 ∂xi L(t, Y, DY ) + 21 ∂xi L(t, Y, D∗ Y ) − 12 D∗ ∂qi L(t, Y, DY )
!
− 12 D∂qi L(t, Y, D∗ Y ))ξ i dP dt = 0 ∀ξ = η(t, Yt ).
Da η beliebig gewählt werden kann ist der Integrand notwendig Null, mithin
die stochastischen Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt. Ist die elementare LagrangeFunktion
L(x, q) =
1
2
hq, qieukl − V (x)
gegeben, mit der euklidischen Metrik h., .ieukl und einer reellwertigen Potenzialfunktion V : Rn → R, V ∈ C 1 , für die
RT R
0
|V (Yt )| dP dt < ∞ ⇒
RT R
|V (Yt + εη(t, Yt ))| dP dt < ∞
0
∀ε ∈ [−κ, κ] für ein κ > 0, ∀η ∈ C0∞
33
gilt, wie man sich leicht überlegt, da |V | lokal beschränkt ist.
Eine kurze Rechnung unter Benutzung von 1.1.5 zeigt sofort
¢
RT R ¡ 1
− 2 (DD∗ + D∗ D)Y − ∇V (Y ) · ξdP dt = 0 ∀ξt = η(t, Yt ).
0
Sei also Y eine glatte stationäre Lösung mit Diffusionsmatrix h · id, dann
hat man, wenn man die stochastische Beschleunigung 12 (DD∗ + D∗ D) wie in 1.1
auswertet, die bekannte stochastische Newton-Gleichung [Ne2]
∂t v + ∇v v − ∇u u − h2 4u = −∇V ,
die unter Anwendung des Bildintegralsatzes offensichtlich in [0, T ] × Rn gilt,
zumindest in den Punkten in denen die Bilddichte größer als Null ist, d.h wo
eine Gültigkeit überhaupt relevant ist.
Der Lagrange‘sche stochastische (L2 -)Massentransport bei elementarer LagrangeFunktion ist gegeben durch
Ã
!
¢
RT R ¡ 1
!
1
2
δ
=0
2 b(t, Yt ) − V (Yt ) dP dt − 2 h4Entrop(pT , p0 )
0
Variiert werden als Konkurrenzschar die Diffusionen (Y, P ), so dass Y eine
Diffusion bzgl. P mit Drift b ist, für die das Funktional in R ist. Es gelte
P [Y0 ∈ dx] = %0 dx, P [YT ∈ dx] = %T dx. Gesucht ist eine glatte Lösung
(Y, P ) die Diffusionsmatrix h · id besitzt.
Die Randdichten %0 und %T seien fest vorgegebene differenzierbare Wahrscheinlichkeitsdichten für die die Entropie in R ist. Die Gibbs-Boltzman-Entropiedifferenz
R
R
4Entrop(%T , %0 ) = ( %T ln %T dx − %0 ln %0 dx)
(Das Integral erfolgt über {%0/T > 0})
zwischen den beiden Zeitrandwerten %0 und %T wird nur aus energetischen Gründen eingeführt und ist als Randausdruck für die Variation bei festen
Randwerten unerheblich, man beachte aber, dass sich als Gradientenfluss bzgl.
des Entropiefunktionals die Wärmeleitungsgleichung ergibt. 4Entrop(%T , %0 )
lässt sich aber auch alternativ in das Problem einarbeiten, wie im Folgenden
gezeigt wird.
Proposition 2.2.2: (Entropie-Interpolation) Sei % klassisch differenzierbare
(starke) Lösung der Fokker-Planck-Gleichung in [0, T ] × Rn mit Diffusion
h · id
R
und Drift b. % > 0 sei in L∞ ([0, t] × Rn ; R) und in L1 (Rn ; R) mit %dx = 1 ∀t.
Es gelte b ∈ L2 (%), d.h. auf {% > 0} hat man
RT R
b2 %dxdt < ∞.
0
34
Weiterhin besitzen %(0, x) und %(T, x) eine Entropie in R und die entropische
Geschwindigkeit u = h2 ∇ ln % sei ebenfalls in L2 (%), also auf {% > 0}
RT R
u2 %dxdt < ∞.
0
Dann ist auch die Flussgeschwindigkeit v = b − u ∈ L2 (%) und es gilt die
Entropie-Interpolation
h4Entrop(%T , %0 ) = 2
RT R
(v · u)%dxdt.
0
Beweis: Aus der starken Gültigkeit der Fokker-Planck-Gleichung folgt auch
die schwache (bzgl. C0∞ als Testfunktionenklasse). Sei B 1ε (0) der offene Ball
mit Radius 1ε um 0 ∈ Rn , für ε > 0. Sei fε : [0, T ] × Rn → [0, 1] ∈ C0∞ eine
Plateau-Funktion derart, dass fε |[0,T ]×B 1 (0) ≡ 1 und ∂i fε , ∂t fε gleichmäßig in
ε
∞
ε beschränkt seien für i = 1, .., n. Sei δ > 0, dann ist ln ffεε%+δ
+δ ∈ C0 und man
berechnet durch die schwache Fokker-Planck-Gleichung und Shiften
R
R
%(T, x) ln ffεε%+δ
%(0, x) ln ffεε%+δ
+δ (T, x)dx −
+δ (0, x)dx
RT R
RT R
fε %+δ
fε %+δ
=
(%b∇ ln ffεε%+δ
−
∇%∇
ln
+
%∂
ln
)dxdt
=:
(I−II+III)dxdt.
t
+δ
fε +δ
fε +δ
0
0
Man sieht
RT R
Idxdt =
0
RT R
0
IIdxdt =
RT R
RT R
0
RT R
(%b ·
∇(fε %)
fε %+δ
− %b ·
(∇% ·
∇(fε %)
fε %+δ
− ∇% ·
0
IIIdxdt =
0
RT R
0
∇fε
fε +δ )dxdt,
∇fε
fε +δ )dxdt,
fε
ε %)
(% ∂ftε(f%+δ
− % f∂εt+δ
)dxdt.
Der Grenzwert lim lim kann durchgeführt werden und es folgt mit % =
δ→0ε→0
eln % ⇒ ∇% = %∇ ln % (auf {% > 0})
4Entrop(%T , %0 ) =
2
h
RT R
(v · u)%dxdt.
0
Die Grenzwerte sind dabei, mit der nach Voraussetzung gesicherten Integrabilität
RT R
0
∇%·∇%
dxdt
%
<∞
offensichtlich. Man hat insbesondere auch % ∈ W (0,1),2 ([0, T ] × Rn ; R), da
35
∇% · ∇% ≤ max{1, k%kL∞ } ∇%·∇%
.
%
Z.B. ergibt sich der Grenzwert lim in
δ→0
R
lim lim
δ→0ε→0
%(T, x) ln ffεε%+δ
+δ (T, x)dx =
R
%(T, x) ln %(T, x)dx
mittels Fallunterscheidung von Positiv.- und Negativteil durch den Satz von
der monotonen Konvergenz. Der Grenzwert lim ist klar, da punktweise Konε→0
vergenz und Majorisierung vorliegt.
Q.E.D.
Korollar 2.2.3: Für glatte Diffusionen (Yt , P ), %(t,
R x)dx = P [Yt ∈ dx], mit
Diffusionsmatrix h · id und mit existenten Entropien %(0/T, x) ln %(0/T, x)dx
zu den Zeitpunkten 0 und T gilt die Entropie-Interpolation in 2.2.2.
Beweis: Glatte Diffusionen mit den gegebenen Eigenschaften erfüllen die
Voraussetzungen von 2.2.2, insbesondere ist die Integrabilitätsbedingung bzgl.
der entropischen Geschwindigkeit nach Korollar 1.2.4 erfüllt.
Q.E.D.
Es folgt für eine glatte Diffusion Yt , mit Diffusionsmatrix h·id, dass
RT R
∞ und es gilt
RT R
=
RT R
v(t, Yt )2 dP dt <
0
b(t, Yt )2 dP dt − h4Entrop(%T , %0 )
0
RT R
(v(t, Yt ) + u(t, Yt ))2 dP dt − 2
0
=
RT R
(v(x, t) · u(x, t))%dxdt
0
(v(t, Yt )2 + u(t, Yt )2 )dP dt.
0
Lemma 2.2.4: Es gilt für die elementare Lagrange-Funktion L(x, q) =
hq, qieukl − V (x)
RT R ¡ 1
2 L(Y, DY
0
RT R
RT R
0
0
¢
)dP dt + 21 L(Y, D∗ Y ) dP dt =
( 12 v(t, Yt )2 + 12 u(t, Yt )2 − V (Yt ))dP dt =
( 12 (v(t, Yt ) + u(t, Yt ))2 − 12 2v(t, Yt ) · u(t, Yt ) − V (Yt ))dP dt
=
RT R
0
L(Y, DY )dP dt − 12 h4Entrop(%T , %0 )
36
1
2
Beweis: DY = b = u + v und D∗ Y = b∗ = v − u.
Q.E.D.
Das so gewonnene Problem
J(Y ) =
RT R ¡ 1
0
2 L(Y, DY
¢
!
) + 12 L(Y, D∗ Y ) dP dt, δ (J(Y )) = 0
ist aber, bei Variation über Diffusionen, das Yasue-Problem, dessen Variation wie gezeigt die stochastische Newton-Gleichung ergibt.
RT R
Analog und hier ganz neu, kann man auch das Funktional
L(Y, DY )dP dt−
0
1
2 h4Entrop(%T , %0 )
variieren. Genau die gleiche Variationsrechnung zeigt damit
für eine stationäre Diffusion Y
RT R
(−D∗ DY − ∇V (Y )) · ξdP dt = 0 ∀ξt = η(t, Yt ).
0
Korollar 2.2.5: Für glatte stationäre Lösungen Y beider Probleme, mit
Diffusionsmatrix h · id, gilt
− h2 4v + ∇v u − ∇u v + ∂t u = 0
und
DD∗ Y = D∗ DY .
Beweis: Es gilt
DD∗ Y i = Dbi∗ = ( h2 4 + bj ∂j + ∂t )bi∗
= h2 4(v i − ui ) + v j ∂j (v i − ui ) + uj ∂j (v i − ui ) + ∂t (v i − ui )
bzw.
D∗ DY i = D∗ bi = (− 12 4 + bj∗ ∂j + ∂t )bi
= − h2 4(v i + ui ) + v j ∂j (v i + ui ) − uj ∂j (v i + ui ) + ∂t (v i + ui ).
Der direkte Vergleich zwischen 12 (DD∗ + D∗ D)Y und D∗ DY liefert für stationäre Lösungen
∂t v + ∇v v − ∇u u − h2 4u = −∇V
nach Yasue-Problem und
− h2 4(v + u) + ∇v (v + u) − ∇u (v + u) + ∂t (v + u) = −∇V
nach Massentransport-Problem. Es folgt
37
− h2 4v + ∇v u − ∇u v + ∂t u = 0
für eine stationäre Lösung Y . Weiterhin ist DD∗ Y − D∗ DY = −2(− h2 4v +
∇v u − ∇u v + ∂t u) = 0.
Q.E.D.
Bemerkungen 2.2.6: a) Mithin gilt also eine stochastische Version von
Newton‘s Kraftgesetz (vgl. [Ne2])
··
Kraft=Masse×Beschleunigung=Masse×x
für stationäre Lösungen. Wobei die Masse hier durchweg konstant 1 gesetzt
wurde und man die zwei Ableitungen stochastisch als Hintereinanderausführung
von stochastischer Vorwärts.- und Rückwärts-Ableitung interpretieren muss.
b) Für triviales oder negatives Potenzial kann man das elliptische Problem
im Rn
RT R
0
!
( 12 v 2 + 12 u2 − V )%dxdt = M in,
u = h2 ∇ ln %, ∂t % + div(v%) = 0
Wahrscheinlichkeitsdichten-Zeitrandwerte für %.
über die Menge der zeitabhängigen Wahrscheinlichkeitsdichten mit vorgegebenen Zeitrandwerten minimiert. Wie man, bei ohne Einschränkung klassischer
Differenzierbarkeit, sofort nachrechnet, gilt die Fokker-Planck-Gleichung auf
{% > 0}
∂t %
b=v+∇R
=
= −div(v%) = −div((v + ∇R)% − h2 ∇%)
−div(b%) + h2 4% denn
38
h
2 ∇%
2
= h2 ∇e h R = %∇R.
§3 Geometrie der Schrödinger-Gleichung
3.1 Hamilton-Jacobi-Formalismus
Der Hamilton-Jacobi‘sche Formalismus wird durch die Hamilton‘sche Wirkungsfunktion geprägt, die die Ausbreitung aus einem singulärem Punkt heraus der
Wirkungswelle des punktdynamischen Systems beschreibt. Oder äquivalent für
ein geodätisches System ohne Potenzial, beschreiben die Flächen konstanter
Wirkung die Evolution der geodätischen Abstandssphären. Bestimmt wird die
Hamilton‘sche Wirkungsfunktion durch die Hamilton-Jacobi Gleichung. Ganz
analog lässt sich auch für ein stochastisches dynamisches System eine derartige
Wirkungsfunktion definieren, die dann auch ganz analoge Eigenschaften erfüllt.
Aufgrund des skizzierenden Charakters von Ergebnissen aus [Ne2] ist dieser
Abschnitt heuristisch gehalten.
Untersucht wird der Fluss Φw (s; x, T ) eines zeitabhängigen differenzierbaren
n
Vektorfeldes w : [0, R] × R → Rn . Dabei ist Φw (s; x, T ) der Fluss zum Zeitpunkt s, wenn er sich zum Zeitpunkt T in x befindet. Sei L(x, q) = 12 hq, qi −
V (x) eine elementare Lagrange-Funktion, mit einer Riemann‘schen Metrik h., .i.
Die Hamilton‘sche Wirkungsfunktion S w (T, x) ist definiert durch
R0
S w (T, x) := − L(Φw (s; x, T ), w(t, Φw (s; x, T )))ds.
T
Sie beschreibt den Wirkungsfluss der Wirkungswelle des punktdynamischen
Systems aus einem singulären Punkt des Raumes heraus. Die Anwendung der
d
d
totalen Ableitung dT
ergibt dT
S w (T, x) = L(x, w(T, x)) := Lw . Gesucht ist
nun eine stationäre Lösung des Funktionals S w (x, T ) bei Variation über w ohne
Randbedingungen. Die Auswertung der totalen Ableitung ergibt nicht die partielle, vielmehr hat man wegen intrinsischer Abhängigkeiten von x vom Fluss
d
zum Zeitpunkt T : dT
=: Dw = ∂t + wi ∂i . Sei also w eine stationäre Lösung
und δw + w = w
e , dann folgt
Dw (S w − S we ) = Dw S w − Dwe S we + (Dw − Dwe )S we
= Lwe − Lw − δ wi ∂i S we = Lwe − Lw − δwi ∂i S w + o(δw).
Nun ist Lwe − Lw =
R0 d we
P i i
w δw + o(δw) und S we − S w = − ds
(S − S w )ds, da
i
T
S we und S w zum Zeitpunkt 0 identisch verschwinden. Damit
S we − S w = −
R0 P i
(w − ∂i S w )δwi ds + o(δw) ∀δw.
T i
Es folgt die Hamilton-Jacobi-Bedingung
39
w = ∇S
die zusammen mit Dw S w = Lw , also ∂t S w + v i ∂i S w =
Hamilton-Jacobi-Gleichung
1
2
hw, wi − V die
∂t S w + 12 (∇S w )2 + V = 0
zeigt.
Der ganz analoge stochastische Formalismus wurde von Guerra und Morato
[Ne2,GuMo] aufgezeigt und soll hier skizziert werden, da das folgende Theorem aus [Ne2] und insbesondere die stochastische Hamilton-Jacobi-Bedingung
Auswirkungen auf das nächste Kapitel hat. Sei LGM die Lagrange‘sche Funktion (Guerra-Morato Lagrange‘scher)
LGM (x, q) =
1
2
hq, qieukl + ~2 ∂i q i − V (x)
und das Variationsfunktional gegeben durch
I(b) =
RT R
LGM (Xt , b(t, Xt ))dP dt.
0
~ ist das Planck‘sche Wirkungsquantum aus der Quantenmechanik, das dann
später in die Gültigkeit der Schrödinger-Gleichung eingeht. Die Variation√erfolgt
über die Drift der stochastischen Diffusionsgleichung dXt = b(t, Xt )dt + ~dBt ,
(Bt , P ) ist Brown‘sche Bewegung, bei festgehaltener Dichte zum Zeitpunkt T ,
die man sich mit dem Lemma 1.1.7 und mit Hilfe der Zeitinversion auf WienerRäumen [Fö] konstruieren kann. Insbesondere kann Xt als fest vorgegeben
betrachtet werden. I ist, nach Nelson [Ne2], kritisch im Sinne von GuerraMorato im differenzierbaren b, wenn für alle differenzierbaren δb mit kompaktem
Träger, so dass die zu eb := b + δb gehörende Diffusion mit Diffusionsmatrix ~ · id
die selbe Dichte zum Zeitpunkt T wie die zu b gehörende Diffusion besitzt, folgt:
I(b) − I(eb) = I − Ie = o(δb).
Definiere P [Xs ∈ dx] = %dx und R = ~2 ln %, so dass ∇R = u, dann hat man
für b = u+v = ∇R+∇S die Fokker-Planck-Gleichung ∂t %+div(b%)− 21 ~4% = 0
bzw. die Kontinuitätsgleichung ∂t % + div(v%) = 0. Definiere weiterhin die
Hamilton‘sche Wirkungsfunktion zur Drift b wie folgt
R0
(*)
S b (T, x) := −ETb ( LGM (Xs , b(s, Xs ))ds|XT = x).
T
Mit der faktorisierten bedingten Erwartung zum Maß zu b konditioniert
unter XT = x [Ba2]. Es gelte [Ne2]
1
(ETb
4t→0 4t
Db S b (T, XT ) = lim
T +4t
R
T
LGM (Xs , b(s, Xs ))ds)
= LGM (XT , b(T, XT )).
40
Weiterhin ist mit Db S b (t, Xt ) = (∂t + bi ∂i + ~2 4)S b (t, Xt )
e
e e
e
e
Db (S b − S b ) = Db S b − Db S b + (Db − Db )S b
e
e
e
= Lb − Lb − δbi ∂i S b = Lb − Lb − δbi (∂i S b + O(δb))
e
= Lb − Lb − δbi ∂i S b + o(δb).
e
Nun hat man Lb − Lb =
P i i ~
b δb + 2 ∂i δbi + o(δb) und
i
R0
e
e
−E b Db (S b − S b )ds = E b S b (T, XT ) − E b S b (T, XT )
T
e e
e
= E b S b (T, XT ) − E b S b (T, XT ) = −I b + I b
da S ve und S v zum Zeitpunkt 0 identisch verschwinden und da XT bzgl. den
Maßen zu eb und b identische Bilddichte %T hat. Damit folgt durch Einsetzen
e
I b − I b = Eb
R0 P i
(b − ∂i S b + ~2 ∂i )δbi ds + o(δb) ∀δb.
T i
Aber mit P [Xs ∈ dx] = %dx und R = ~2 ln % bzw. ∇R = u hat man durch
Shiften (δb hat kompakten Träger)
R
RP i i
E b ~2 ∂i δbi (s, Xs ) = ~2 ∂i δbi %dx =
u δb %dx.
i
Da bi − ui = v i folgt schließlich
e
I b − I b = Eb
R0 P
T i
(v i − ∂i S b )δbi ds + o(δb) ∀δb.
Theorem 3.1.1: ([Ne2].) Im Guerra-Morato-Sinne stationäre Lösungen b
erfüllen notwendig die Hamilton-Jacobi-Bedingung, d.h. mit S b = S gilt
v = ∇S.
Die Flussgeschwindigkeit ist also notwendig Gradient eines Skalars. Es gilt
die stochastische Hamilton-Jacobi-Gleichung
∂t S + 12 (∇S)2 − 12 (∇R)2 − ~2 4R + V = 0,
aus der durch Differenzieren die stochastische Newton-Gleichung folgt und
2
2
die inklusive der Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung ∂t e ~ R + div(ve ~ R ) = 0
auch zur Schrödinger-Gleichung äquivalent ist.
Beweis: [Ne2] Die Hamilton-Jacobi-Bedingung ergibt sich sofort aus dem
voran Gezeigten. Die Hamilton-Jacobi-Bedingung ergibt zusammen mit Db S =
Lb , also (∂t +bi ∂i + ~2 4)S b = 12 hb, bi+ ~2 ∂i bi −V (x), die stochastische HamiltonJacobi-Gleichung. Anwendung von ∂i zeigt
41
P
P
∂t v i + 21 ∂i ( v j v j ) − 12 ∂i ( uj uj ) − 12 ∂i 4(~R) + ∂i V = 0.
j
j
Und also die stochastische Newton-Gleichung aus 2.2
P
P
∂t v i + v j ∂i v j − uj ∂i uj − 21 4(~ui ) + ∂i V = 0.
j
j
Wie man weiterhin durch einfache Rechnung zeigt, ergibt die stochastische
Hamilton-Jacobi-Gleichung zusammen mit der Gleichung
∂t R + ∇R · ∇S + ~2 4S = 0
1
und der Substitution ψ := e ~ (R+iS) die Schrödinger-Gleichung
2
~i∂t ψ = − ~2 4ψ + V ψ.
Die Gleichung
∂t R + ∇R · ∇S + ~2 4S = 0
2
wird dabei aus % = e ~ R und ∂t % + div(v%) = 0 durch Differenziation von %
gewonnen.
Q.E.D.
Bemerkungen 3.1.2: a) Durch die Formel (*) wird dem Guerra-MoratoFunktional in stationären Lösungen durch die Phasenfunktion S eine geometrische
Bedeutung verliehen.
b) Durch Shiften auf die andere Seite, das man dann noch geeignet rechtfertigen muss, kann man leicht zeigen, dass
RT R
0
( 21 v 2 (t, x) − 12 u2 (t, x) − V (x))%dxdt =
RT R
LGM (x, b(t, x))%dxdt
0
gilt. Es wird also das Problem
Ã
!
RT R 1 2 1 2
!
δ
( 2 v − 2 u − V )%dxdt = 0,
0
u = ~2 ∇ ln %, ∂t % + div(v%) = 0,
Wahrscheinlichkeitsdichten-Zeitrandwerte für %
untersucht. Das gegebene Hamilton-Jacobi-Problem ist hinreichend für die
Stationarität des Yasue-Formalismus, obwohl sich beide Probleme um das Vorzeichen unterscheiden. Dies wird mittels dem Formalismus der stochastischen
Legendre-Transformation erklärt werden.
42
3.2 Hamilton-Formalismus
In Analogie zum Hamilton‘schen und zum Lagrange‘schen Formalismus eines
geodätischen Variationsproblems lässt sich die Schrödinger-Gleichung als stationär-äquivalente Hamilton‘sche Variante des stochastischen Massentransportes
sehen. Die Schrödinger-Gleichung kann aus einem Variationsproblem direkt
abgeleitet werden, das dem entsprechenden Problem aus der Punktdynamik in
seiner äußeren Form gleicht.
Durch eine Legendre-Transformation des Lagrange-Formalismus
·
·
H(x, g) = g · x − L(x, x),
bei der die Ableitung durch eine unabhängige Variable ersetzt wird, erhält
man den Hamilton-Formalismus mit Hamilton-Funktion H [CouHi]
¶
µ1
R ·
!
(x(t) · g(t) − H(x(t), g(t)))dt = 0,
δ
0
Randwerte für x(0), x(1), freie Randwerte für ”Impuls” g.
Durch Variation des Funktionals erhält man die kanonischen Gleichungen
[CouHi]
·
x=
∂H ·
∂g , g
= − ∂H
∂x
als notwendiges Stationaritätskriterium.
Seien jetzt die in dem Zeitintervall [0, T ] zeitabhängigen, komplexwertigen
und differenzierbaren Funktionen auf dem Rn , die außerdem räumlich quadratintegrierbar seien, gegeben. Diese bilden räumlich im Abschluss mit der kanonischen Hermite‘schen Metrik
R
hϕ, χi := ϕχdx
einen Hilbertraum. Aus der Quantenmechanik entnimmt man das Planck‘sche
Wirkungsquantum ~ und den Hamilton-Operator
H = − 12 ~2 4C + V ,
mit der reellwertigen Potenzialfunktion V ∈ C 1 . Weiterhin betrachte man
den Impuls-Operator
−i~∇C .
43
∇C wirkt hier als Gradient und 4C als Laplace-Operator auf den komplexwertigen Funktionen des euklidischen Raumes.
Gegenüber allgemeinen dynamischen Systemen der Punktmechanik auf symplektischen Mannigfaltigkeiten (M, ω) ist im quantenmechanischen Formalismus
die Einschränkung der Dynamik auf eine Lagrange‘sche Untermannigfaltigkeit
implizit enthalten (vgl. [Woo]). Nichtsdestotrotz stellt der quantenmechanische
Formalismus ein Modell eines Phasenraumes dar.
Bemerkung 3.2.1: Wohlbekannt aus der Quantenmechanik ist, dass für
beschränkte und zeitunabhängige Observablenoperatoren (Hermite‘sch) A und
Lösungen der Schrödinger-Gleichung ψ gilt
d
dt
hψ, Aψi =
i
~
hψ, [A, H] ψi.
Insbesondere ist die Energie hψ, Hψi eine Konstante der Bewegung, da der
Kommuntator [H, H] = HH − HH trivialerweise Null ist.
1
Lemma 3.2.2: Sei ψ = e ~ (R+iS) eine differenzierbare Lösung der SchrödingerGleichung ~i∂t ψ = Hψ. Dann gilt, außerhalb von Nullstellen für ψ, wie man
leicht durch bloßes Einsetzen nachrechnet mit j := − i~
2 (ψ∇ψ − ∇ψψ)
2
I)
j = |ψ| ∇S
II)
div(j) + ∂t |ψ| = 0
2
2
2
2
III) ∂t |ψ| + div(∇φ |ψ| ) − 21 ~4 |ψ| = 0.
Wobei φ = (S +R). Insbesondere gilt also die Fokker-Planck-Gleichung nach
III).
Beweis: Elementares Nachrechnen! Die dritte Identität ergibt sich z.B. wie
folgt aus der ersten und zweiten
2
2
2
2
∂t |ψ| = − divj = −div(|ψ| ∇S) = −div(|ψ| ∇φ − |ψ| ∇R)
2
|ψ|
∇R= 12 ~∇|ψ|2
=
2
2
−div(∇φ |ψ| − 21 ~∇ |ψ| ) .
Q.E.D.
1
Theorem 3.2.3: (Entropie-Wirkungsgesetz) Sei ψ = e ~ (R+iS) : [0, T ] ×
R → C ∈L∞ differenzierbar gegeben, mit R : [0, T ] × Rn → R ∪ {−∞}. Sei
ψ eine klassisch differenzierbare Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Inte2
grabilitätsbedingungen aus 2.2.2 für b = ∇(R + S), % = |ψ| und u = ∇R erfüllt
seien, dann gilt das Entropie-Wirkungsgesetz
n
T hψ, Hψi =
RT R
1
2
0
2
b2 |ψ| dxdt +
RT R
0
2
2
2
V |ψ| dxdt − ~2 4Entrop(|ψT | , |ψ0 | ),
44
wobei v = ∇S.
Wenn man b = u + v als wirkende kinetische Drift interpretiert, dann wird
von der herkömmlichen Energiebilanz aus kinetischer und potenzieller Energie
also noch die Entropiedifferenz aus Anfangs.- und Enddichte abgezogen. Die
entropische Expansion ist wirkungsenergetisch umsonst!
Beweis: hψ, Hψi ist nach der Bemerkung zeitlich konstant. Man hat
RT
0
=
1 2
2~
RT R
0
RT
RT R
2
hψ, Hψi dt = − 12 ~2 hψ, 4ψi dt +
V |ψ| dxdt
0
0
RT R
RT R
2
= 12 ~2
(∇C ψ · ∇C ψ)dxdt +
V |ψ| dxdt
0
( ~1 ∇C (R
=
+ iS) ·
RT R
1 2
2~ (
−2 12
0
RT R
0
1
~ ∇C (R
( ~1 ∇(R
2
+ iS)) |ψ| dxdt +
+ S) ·
RT R
2
V |ψ| dxdt
0
1
~ ∇(R
2
(∇R · ∇S) |ψ| dxdt) +
0
2
+ S)) |ψ| dxdt
RT R
2
V |ψ| dxdt.
0
Mit dem Lemma 3.2.2 und der Rechnung über die Entropiedifferenz in 2.2.2
folgt dann die Behauptung.
Q.E.D.
Definition 3.2.4: Gegeben seien zwei Variationsfunktionale F1 , F2 auf linearen Konkurrenzscharen K1 , K2 für die Nebenbedingungen für F1 , F2 gelten.
Seien die Probleme homogen, mit den Variationsscharen U1/2 ⊂ K1/2 , so dass
für Elemente f ∈ K1/2 , die die Nebenbedingungen erfüllen, folgt f + u ∈ K1/2
∀u ∈ U1/2 . Beide Funktionale heißen stationär-äquivalent bzgl. der Variationsscharen genau dann wenn die stationären Lösungen in K1 ∩ K2 liegen und die
Stationaritätsbedingungen
F1/2 (f ) < ∞,
d
dε F1/2 (f
!
+ εu) = 0,
für f ∈ K1/2 stationär und ∀u ∈ U1/2 äquivalent sind.
RTheorem 3.2.5:(Geometrie der Schrödinger-Gleichung.) Seien %0/T , %0/T >
0, %0/T dx = 1, %0/T seien differenzierbar und haben kompakten Träger gegeben.
Betrachte die Konkurrenzschar K1 := {ϕ : [0, T ]×Rn → C\ϕ ist differenzierbar,
räumlich quadratintegrierbar und hat kompakten Träger} des Variationsproblems
!
δF1 = 0 bzgl. der Variationsschar U1 = {δψ|δψ ∈ C0∞ ([0, T ] × Rn → C)},
¿
À
RT
·
·T
wobei F1 (ϕ) :=
ϕ, i~(∇C · x − ∇C · x )ϕ − Hϕ dt, ϕ ∈ K1 .
0
2
2
Mit den Randbedingungen |ϕ(0, .)| = %0 , |ϕ(T, .)| = %T .
45
·T
·
Wobei der Operator ∇C · x − ∇C · x durch
RT R
:=
RT R
0
·T
·
f (∇C · x − ∇C · x )ϕdxdt
0
( n1
n
P
(∂j f (−xj ∂t ϕ)) +
j=1
1
n
n
P
j=1
(∂t f (xj ∂j ϕ)))dxdt ∀f ∈ C0∞
definiert ist. Dann bildet die Schrödinger-Gleichung den Euler‘schen Variationsausdruck des Problems. Das Problem ist für V = 0 in differenzierbaren staRT
tionären Lösungen ψ identisch zu − n2 multipliziert mit der Energie hψ, Hψi dt.
0
·T
·
Bemerkungen 3.2.6: a) Der Operator i~(∇C · x−∇C · x )− 12 ~2 4 konstituiert den hermitschen Differenzialausdruck ∇T Q∇ = ∂α Qαβ ∂β , (α, β = 1..n + 1,
∂t = ∂1 ) mit der hermitschen Matrix

¡
Qαβ
¢


(t,
x
,
..,
x
)
:=

2
n+1
αβ

0
1
n i~x2
..
.
− n1 i~x2
1 2
2~
1
n i~xn+1
0
···
..
.

− n1 i~xn+1

0

.

1 2
~
2
b) Man beachte die formale Ähnlichkeit der bloßen äußeren Form des hier
definierten Funktionals und desjenigen aus der Punktdynamik. Zwar ist die
stochastische Version durch Operatoren für den Impuls gegeben, dennoch ist
eine Übereinstimmung der Formen evident.
Beweis: 1) Das Problem F1 ist homogen bzgl. der Variationsschar U1 . Sei
ψ ∈ K1 eine differenzierbare stationäre Lösung des Variationsproblems, d.h. das
Variationsfunktional sei endlich und es gelte die Stationaritätsbedingung
¿
À
RT
·
·T
! d
0
0
0
0 = dε |ε=0
ψ , i~(∇C · x − ∇C · x )ψ − Hψ dt, ψ 0 = ψ + εδψ ∀δψ ∈ U1 .
0
d
Differenziation dε
|ε=0 und Freishiften von δψ (kompakter Träger!) führt
unter Benutzung von
*
+
*
+
n
n
P
P
1
1
ψ, n
∂j (xj ∂t δψ) = h−∂t ψ, δψi + n
∂j (xj ∂t ψ), δψ
j=1
j=1
zu
0=
+
RT
¿
·T
·
À
ψ, i~(∇C · x − ∇C · x )δψ − Hδψ dt
À
·
·T
δψ, i~(∇C · x − ∇C · x )ψ − Hψ dt
0
¿
RT
0
46
D
E D
E
RT
·
·
= (−i~(h−∂t ψ, δψi + ∇C · xψ, δψ − ∇C · xψ, δψ
0 D
E
D
E
·
·
+ δψ, ∇C · xψ − hδψ, −∂t ψi − δψ, ∇C · xψ )+
­
® ­
®
(− − 12 ~2 4C ψ + V ψ, δψ − δψ, − 12 ~2 4C ψ + V ψ ))dt ∀ δψ.
Wobei Randterme beim Shiften auf die andere Seite wegen der Bedingung
|δψ(0, .)| = |δψ(T, .)| = 0 rausfliegen. Also
0=
®
RT ­
i~∂t ψ − (− 12 ~2 4C ψ + V ψ), δψ dt
0
®
RT ­
+ δψ, i~∂t ψ − (− 12 ~2 4C ψ + V ψ) dt ∀ δψ,
0
d.h. die Schrödinger-Gleichung i~∂t ψ−(− 12 ~2 4C ψ+V ψ) = 0 als notwendige
und hinreichende Bedingung für die Stationarität des Funktionals.
2) Sei V = 0 und ψ Lösung der Schrödinger-Gleichung aus V1 , d.h. i~∂t ψ =
·
− 21 ~2 4ψ. Dann gilt (der Operator (∇C · x) ist inklusive dem Faktor n1 definiert)
RT D
0
E
® ­
®
RT ­
·
ψ, i~(∇C · x)ψ dt = ( ψ, − 21 ~2 4ψ + ψ, i~ n1 (x · ∇C )∂t ψ )dt
0
® ­
®
RT ­
= ( ψ, − 12 ~2 4ψ − n1 (∇C · x)ψ, − 12 ~2 4ψ )dt
0
® ­
®
RT ­
= ( ψ, − 21 ~2 4ψ − − 12 ~2 4 n1 (∇C · x)ψ, ψ )dt
0
®
®
RT ­
P­ 1 2
= ( ψ, − 21 ~2 4ψ + n1
− 2 ~ 4(xj ψ), ∂j ψ )dt
j
0
T
[4,xj ]=2∂j R
=
0
®
®
­
P­
( ψ, − 21 ~2 4ψ − n1 ( 12 ~2 xj 4ψ, ∂j ψ + ~2 h∂j ψ, ∂j ψi))dt
j
®
®
RT ­
P­
= ( ψ, − 21 ~2 4ψ − n1 ( − 21 ~2 ∂j (xj 4ψ), ψ − n1 ~2 hψ, 4ψi))dt
0
j
E
® D
RT ­
·
= ( ψ, − 12 ~2 4ψ − i~(∇C · x)ψ, ψ + n1 ~2 hψ, 4ψi)dt.
0
Mit der Kommutatorenklammer [., .]. Damit ist gezeigt
¿
À
RT
·
·T
1 2
ψ, i~(∇C · x − ∇C · x )ψ − (− 2 ~ 4)ψ dt
0
= − n2
®
RT ­
RT
ψ, − 12 ~2 4ψ dt = − n2 hψ, Hψi dt.
0
0
F1 ergibt in stationären Lösungen
− n2
multipliziert mit der Energie.
Q.E.D.
47
Proposition 3.2.7: Sei K1 wie in 3.2.5 gegeben. Betrachte die Konkurren1
zschar K2 = {(R, S)\R, S : [0, T ]×Rn → R, e ~ (R+iS) ∈ K1 }, dann sind folgende
Variationsprobleme unter der ”Bis-Auf-Konstanten-Injektion” K2 ,→ K1 (vgl.
Bemerkung) stationär-äquivalent:
I) Das Problem aus dem Theorem 3.2.5. (Das klassische äußere Form hat.)
II) Das Problem
!
F2 (R, S) :=
RT
R
0
δF2 (R, S) = 0
(∂t S + 21 (∇S)2 + 12 (∇R)2 + V )%dxdt
2
R, S ∈ V2 , % := e ~ R
Mit den Randbedingungen %(0, .) = %0 , %(T, .) = %T .
III) Und letztendlich das Problem (vgl. 3.1.2.b))
!
F3 (R, S) :=
RT
0
R
δF3 (R, S) = 0
( 12 (∇S)2 − 21 (∇R)2 − V )%dxdt
2
R, S ∈ V2 , % := e ~ R
Mit den Nebenbedingungen ∂t % + div(∇S%) = 0
und den Randbedingungen %(0, .) = %0 , %(T, .) = %T .
Bemerkung 3.2.8: Der Übergang eines Elementes aus K1 in ein Element
aus K2 , also die Wahl einer Darstellung ψ = eA+iB für eine komplexe Funktion
erfolgt durch Überlagerungstheorie. B ist ein Lift zu beliebigem Startpunkt
in die mit einem konstanten Summanden nach dem Startpunkt ausgerichtete
Überlagerung exp(i.) : R →S 1 .
Ein konstanter Summand für B ist für die Dynamik irrelevant. Die Funψ
damentalgruppe von Rn ist trivial. Der Lift der Abbildung |ψ|
: Rn → S 1
existiert für ψ 6= 0. Setze den Lift bis zum Rand von Rn \ψ −1 (0) in Zusammenhangskomponenten fort, was wegen der Differenzierbarkeit so geht, dass B
beschränkt bleibt. (Zur Überlagerungstheorie siehe man [Jä].)
Beweis: Es folgt durch Shiften (kompakter Träger nach Voraussetzung) auf
die andere Seite
E
RT D
·
−i~ (∇C · x)ψ, ψ dt
0
E
RT D
RT
·
= −i~ ψ, (∇C · x)ψ dt − hi~∂t ψ, ψi dt + Randterm.
0
0
Mithin erhält man das Problem
Ã
!
RT
!
δ
(hi~∂t ψ, ψi − hψ, Hψi)dt = 0
0
2
2
|ψ(0, .)| = %0 , |ψ(T, .)| = %T .
48
Denn Randterme sind für den stationären Charakter der Funktionale irrelevant, da der Euler‘sche Variationsausdruck des Randtermes wegen der Nullrandwertvariationsschar Null ist. (Die Inspektion des durch diese Umwandlung
gewonnenen Problems ergibt offensichtlich die Schrödinger-Gleichung als Sta1
tionaritätskriterium.) Weiterhin folgt mit ψ = e ~ (R+iS) (durch Ausstanzung
und Fortsetzung bis zu R = −∞)
RT
RT R
hi~∂t ψ, ψi dt = +i~
0
|ψ|2 ∂t R= 12 ~∂t |ψ|2
=
−
RT R
0
0
1
~ (∂t R
2
+ i∂t S) |ψ| dxdt
RT R
2
2
∂t S |ψ| dxdt + i~2 12 ∂t |ψ| dxdt
=−
RT R
0
2
∂t S |ψ| dxdt.
0
Wodurch die stationäre Äquivalenz von 1) und 2) durch bloßes Umformen
gegeben ist, wenn man noch wie im Theorem über das Entropie-Wirkungsgesetz
3.2.3
RT
RT R
(∇C ψ · ∇C ψ)dxdt
− 21 ~2 hψ, 4ψi dt = 21 ~2
=
0
RT
1 2
2~
R
0
0
( ~1 ∇C (R
= 21 (
RT R
+ iS) · ~1 ∇C (R + iS))pdxdt
2
((∇R)2 + (∇S)2 ) |ψ| dxdt
0
benutzt.
1
2
Gilt für ψ = e ~ (R+iS) die Fokker-Planck-Gleichung auf {|ψ| > 0}
2
2
2
∂t |ψ| + div(|ψ| ∇(R + S) − 12 ~4 |ψ| = 0,
2
dann hat man die Kontinuitätsgleichung auf {|ψ| > 0}
2
2
∂t |ψ| + div(|ψ| ∇S) = 0.
Nimmt man zum Variationsproblem II) die Gültigkeit der Fokker-PlanckGleichung als notwendiges Kriterium hinzu, dann ändert sich der stationäre
Charakter wegen der Gültigkeit der Schrödinger-Gleichung und des Lemmas
3.2.2 nicht. (Man kann die Kontinuitätsgleichung auch durch Variation nach S
in F2 direkt nachrechnen. Vgl. Proposition 5.1.2.) Es ergibt sich ein stationäräquivalentes Problem . Damit
−
RT R
2
∂t S |ψ| dxdt
Shiften
=
Randterm +
0
Kontinuitäts-
=
gleichung
Randterm −
= Randterm +
RT R
RT R
0
49
RT R
2
S∂t |ψ| dxdt
0
2
Sdiv(|ψ| ∇S)dxdt
0
2
(∇S)2 |ψ| dxdt.
Somit folgt die stationäre Äquivalenz der Probleme 2) und 3).
Die Probleme F1 , F2 und F3 haben damit identischen stationären Charakter.
Q.E.D.
Bemerkungen 3.2.9: a) Lösungen ψ der Schrödinger-Gleichung sind kanonisch normiert. Der durch Spektralintegrale definierte unitäre Operator e−tiH
bestimmt für ψ0 die Lösung mittels ψt = e−tiH ψ0 . Die Randpunkte %0/T haben
notwendig die gleiche Norm, sonst ist das Problem schlecht gestellt.
b) Löst man für
u = ∇R und v = ∇S
das Lagrange‘sche Problem der Bemerkung 2.2.6.b), dann gilt für
e
e
e = R und ~Se = S mit ψ = eR+iS = e ~ (R+iS)
~R
1
die Schrödinger-Gleichung, wobei man selbstverständlich auch noch das Potenzial hinzufügen kann. Ist man also an der Schrödinger-Gleichung interessiert,
untersucht man (für triviales Potenzial) das Problem
RT R
!
e 2 + ~2 (∇R)
e 2 )%dxdt =
(~2 (∇S)
M in,
0
e
e =0
% = e2R , ∂t % + div(~∇S%)
Wahrscheinlichkeitsdichten-Zeitrandwerte für %
Das Problem geht offensichtlich formal für ~ → 0, bei festgehaltenen Zeitrandwerten, in den zeitkontinuierlichen deterministischen Massentransport
RT R
!
(∇S(t, x))2 %dxdt = M in,
0
∂t % + div(∇S%) = 0,
Wahrscheinlichkeitsdichten-Zeitrandwerte für %
aus 2.1 über, da man im Raum der möglichen Lösungen gerade ~v l v
substituieren kann. Auch die Minima gehen mit ~ → 0+ ineinander über, denn
seien ohne Einschränkung (S, %) und (S ~ , %~ ) differenzierbare Minimierer des
e
deterministischen bzw. stochastischen Massentransportes, dann gilt mit % = e2R
~
e
bzw. %~ = e2R
RT R
RT R
0
(∇S)2 %dxdt ≤
0
(∇S ~ )2 %~ dxdt +
RT R
0
RT R
0
RT
(∇S)2 %dxdt +
e~ )2 %~ dxdt ≤
~2 (∇R
R
e 2 %dxdt.
~2 (∇R)
0
Die Quadratwurzel der quantenmechanischen Gesamtwirkung geht in die in
2.1 definierte Wasserstein-Distanz über.
50
§4 Existenz von Diffusionen
4.1 Existenz von Diffusionen
Glatte Diffusionen können per Definition in Nullstellen der Bilddichte Singularitäten für die Drift und Diffusionsmatrix aufweisen. Das Lemma 1.1.7 ist
nicht auf das Problem zu einer vorgegebenen singulären Drift eine Diffusion mit
Diffusionsmatrix h · id, h ∈ R+ zu konstruieren anwendbar. Insbesondere werden in Kapitel 3 zu differenzierbaren Lösungen ψ der Schrödinger-Gleichung,
gegeben in der Form ψ = eA+iB , Diffusionen mit Drift ∇(A + B) gesucht. Eine
Nullstelle einer derartigen Lösung der Schrödinger-Gleichung bedeutet A = −∞
bzw. eine Singularität für die Drift ∇(A + B). A + B ist auf kompakten Mengen nach oben hin beschränkt. Es lassen sich sodann aber, trotzdem die Bedingung |∇(A + B)(t, x)| ≤ K(1 + |x|) aus dem Lemma 1.1.7 nicht erfüllt ist,
Itô-Diffusionsdifferenzialgleichungen dXt = ∇(A + B)(t, Xt )dt + hdBt schwach
konstruieren.
Bemerkung 4.1.1: Die Literatur zur Existenz von Diffusionen bei singulärer Drift ist sehr umfangreich. Man siehe z.B. [Ne2,Na,Ae,Ca,AlHø,41,BlGo]
als Referenz.
Der stationäre (zeitunabhängige) Fall wurde zuerst von Albeverio/HøeghKrohn [AlHø] untersucht.
Der Fall einer kompakten Mannigfaltigkeit als Konfigurationsraum wird von
Nelson [Ne2] behandelt.
In Carlen [Ca] zeigt der Autor schwache Existenz von Diffusionsmaßen, in
dem Sinne, dass die Martingalcharakterisierung für Diffusionen gilt, aus einem
analytischen Gesichtspunkt heraus. Singuläre Driften b, b∗ und Bilddichte
%, die die Fokker-Planck-Gleichung in einem schwachen Sinne erfüllen, sind
vorgegeben. Der Kern der Beweisführungen beruht darauf, eine parabolische
Gleichung zu lösen und die Fundamentallösung
t; x, s) zu erhalten. Zur
R R 2p∗ (y,
Existenz wird die Integrabilitätsbedingung
(u + v 2 )%dxdt < ∞ verlangt, die
in dem Yasue-Variationsproblem natürlich erfüllt ist. Unter Benutzung von p∗
wird dann mit den üblichen Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Maß
·
·
auf (Rn )R+ (Rn Einpunktkompaktifizierung) konstruiert. Hat man dieses Maß
bleibt es noch zu überprüfen, dass wirklich eine Diffusion zu den vorgegebenen
Daten vorliegt.
Die Existenztheorie der Carlen‘schen Diffusionen wurde von Guerra [Gu]
durch Stetigkeitsargumente erweitert.
Mit einer analogen Integrabilitätsbedingung wie in [Ca] wird von Zheng
[Zh], in einer beweistechnisch vollkommen verschiedenen Art und Weise, über
Straffheit von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die Existenz von schwachen Lösungen,
in dem Sinne, dass sie die lokale Martingalcharakterisierung von Diffusionen
erfüllen, gezeigt. Als Voraussetzungen werden Regularitätsbedingungen verlangt und reguläre ψ-Funktionen auf kompakten Mannigfaltigkeiten herange51
zogen, die die Fokker-Planck-Gleichung erfüllen. Bei diesen Techniken kommt
insbesondere die Unerreichbarkeit der Nodalmengen {% = 0} zustande.
In Blanchard/Golin [BlGo] werden starke Diffusionen bei vorgegebener regulärer
Fokker-Planck-Gleichung mit singulärer Drift (bei {% = 0}) mittels einer StoppzeitenTechnik konstruiert und Aussagen über die Unerreichbarkeit der Nodalmenge
gemacht. Es werden zusätzliche Annahmen über die Integrabilität gewisser
Ableitungen von % und der entropischen Geschwindigkeit v gebraucht.
4.2 Existenz von optimalen Lösungen
Mit einer technischen Abänderung des stochastischen Massentransportproblems lässt sich, mit Hilfe der in der Funktionalanalysis elementaren OrthogonalProjektion auf konvexe Mengen, die Existenz einer optimalen Lösung zeigen.
Sei (Xt , P ) die kanonische Brown‘sche Bewegung mit gegebener Startverteilung
X0P .
Theorem 4.2.1: (Man vgl. auch [BlCoZh], V wo Beweistechnisch
anders
R
gearbeitet wird.) Sei ζT ein Zufallsvektor mit σ(ζT ) ⊂ =T , ζT2 dP < ∞ und
das Martingal Et ζT sei progressiv messbar
√ [KaShe]. Dann existiert genau eine
minimierende Lösung dYtmin = Btmin dt + hdXt des Problems
RT R
!
Bt2 dP dt = inf
B,Y
0
n
B : [0, T ]×Ω → R√
,=t -adaptiert√und progressiv messbar,
dYt = Bt dt + hdXt , Y0 = hX0 , YT = ζT P -f.ü..
Beweis: 1) Der Raum in dem minimiert wird ist nicht leer, denn
√
+ hXt
0
√
√
= Tt Et ζT − Tht Xt + hXt
Rt
Yt := ( T1 Et ζT −
√
h
T Xt )ds
√
erfüllt Y0 = hX0 , YT = ζT P -f.ü..
2) Die =t -adaptierten progressiv messbaren P -f.ü.-Funktionen B : [0, T ] ×
Ω → Rn mit
RT R
B 2 dP dt < ∞
0
√
RT
bilden einen Hilbert-Raum H. Der Teilraum R := {B ∈ H| Bt dt+ hXT =
0
ζT P -f.ü.} bildet eine konvexe abgeschlossene Menge in H. Die Konvexität ist
trivial. Die Abgeschlossenheit folgt auch ganz primitiv, denn sei Bk ∈ R mit
Bk → B in H, dann ist zu zeigen, dass auch B ∈ R, d.h.
k→∞
52
RT
0
RT
RT
RT
Bk1 dt = Bk2 dt P -f.ü. ∀k1 , k2 ∈ N ⇒ Bk dt = Bdt P -f.ü., k ∈ N.
0
0
0
Es gilt aber
¯
¯
¯
R ¯¯RT
R RT
¯
|B − Bk | dtdP
¯ (B − Bk )dt¯ dP ≤
¯0
¯
0
s
Cauchy- √
R RT
≤
T
(B − Bk )2 dtdP → 0.
Schwarz
Es folgt
RT
0
k→∞
0
RT
Bk dt = Bdt P -f.ü., k ∈ N.
0
3) Die Orthogonal-Projektion (siehe [Heu], IV.21.1)
von 0 ∈ H auf R liefert
√
ein eindeutiges B min , für das dYtmin := Btmin dt + hdXt eine (eindeutige) minimierende Lösung definiert.
Q.E.D.
Bemerkungen 4.2.2: a) Bei der Voraussetzung, dass Et ζT progressiv messbar sein soll beachte man, dass zu jedem adaptierten messbaren Prozess eine
progressiv messbare Modifikation existiert (vgl. [KaShe],1.1.12 und die dort
angegebene Referenz).
b) Die Beweisführung geht auch mit einer Potenzialfunktion
√ V ≤ 0, man
muss nur Punkt 1) klären, d.h. die Existenz eines dYt = Bt dt+ hdXt , Y0 = X0 ,
YT = ζT so, dass
RT R
V (Yt )dP dt < ∞
−
0
und sich außerdem vergewissern, dass man im Beweis der Orthogonal-Projektion
([Heu], IV.21.1) auch eine Minimalfolge für
RT R
!
(b2 (t, Yt ) − V (Yt ))dP dt = inf
b,Y
0
wählen kann. Cauchy-Folgen-Eigenschaft und Eindeutigkeit übertragen sich
(bei dem Teil wo die Parallelogramm-Gleichheit verwendet wird) wenn nur
(−V (x)) + (−V (y)) ≥ 2(−V ( x+y
2 )),
also z.B. für −V (x) = x2 . Man kann auch mit mit den Eigenschaften konvexer Funktionale arbeiten, wie in [BlCoZh] durchgeführt ist, wo dann aber
auch zusätzliche Voraussetzungen, insbesondere an V verlangt werden.
c) Die in 2.2 hypothetisch postulierte Existenz glatter optimaler Diffusionen
ist zumindest dadurch fundamentiert, dass die Existenz glatter Lösungen der
Schrödinger-Gleichung nicht außergewöhnlich ist.
53
§5 Transformationen
Der Paragraf ist aufgrund des Mangels an zusätzlicher Einsicht heuristisch
gehalten.
5.1 Stochastische Legendre-Transformationen
Die punktdynamische Legendre-Transformation ist eine punktweise Transformation zwischen Hamilton- und Lagrange-Funktion. Die Abhängigkeit der
Lagrange-Funktion von der Tangentialstruktur wird unter der Transformation in
die Abhängigkeit der Hamilton-Funktion von einer neuen unabhängigen Variablen umgewandelt. Im stochastischen Fall ergibt sich diese Transformation
durch Aufaugmentieren der durch die Fokker-Planck-Gleichung gegebenen Tangentialstruktur.
Die Legendre-Transformation zwischen Hamilton- und Lagrange-Funktion
ist in der Punktdynamik (punktweise) gegeben durch
·
·
L(x, x) = g · x − H(x, g).
g ist hierbei eine neue Variable.
Der stochastische Formalismus ist, im Fall einer elementaren Lagrange-Funktion
L(x, q) = 21 hq, qi − V (x), gegeben durch Variation des Lagrange‘schen Problems
Ã
!
RT R 1
!
δF (R, S) = δ
( 2 (∇R(t, x))2 + 21 (∇S(t, x))2 − V (x))%dxdt = 0,
0
v = ∇S, % = e2R , ∂t % + div(v%) = 0
und Zeitrandwertbedingungen.
Wobei zu beachten ist, dass über allgemeine Diffusionen variiert wird aber
eine Diffusion mit trivialer Diffusionsmatrix gesucht ist. Ziel ist es nunmehr die
Nebenbedingung auf das Funktional aufzuaugmentieren.
RT R
Definition 5.1.1: Sei F (R, S) =
F(R, S)dxdt ein skalares Funktional
0
der auf einer Raumzeit definierten skalaren Funktionen S und R. Gesucht
sei eine stationäre Lösung des Funktionals, bei Variation mit C0∞ , unter der
Nebenbedingung einer skalaren Differentialgleichung G(R, S, ∇S, ∇R, (∂ij S)ij ,
(∂ij R)ij ) = 0. Dann heißt ein skalares Funktional gegeben durch K(R, S) =
RT R
K(R, S)dxdt Funktionalaugmentierte von F und G genau dann wenn etwa
0
δK
δS
= 0 äquivalent zur Nebenbedingung und δK
δR = 0 hinreichend zur Stationarität von F unter der Nebenbedingung ist. Wobei etwa δK
δR die Funktionalableitungsschreibweise des Euler‘schen Variationsausdruckes bzgl. Variation
mit R ist, also
54
d
dε |ε=0
RT R
K(R + εδR, S)dxdt =
0
RT R
0
δK
δR (R, S)δRdxdt
∀δR ∈ C0∞ .
Proposition 5.1.2: (Stochastische Legendre-Transformation und Existenz
der Funktionalaugmentierten.) Eine Funktionalaugmentierte für das Lagrange‘sche
Problem ist gegeben durch das Variationsproblem
Ã
!
RT R
!
1
1
2
2
δ
(∂t S(t, x) + 2 (∇R(t, x)) + 2 (∇S(t, x)) + V (x))%dxdt = 0,
0
Zeitrandwerte!
δ
Beweis: Man findet sofort, dass die Variation δS
nach S die Kontinuitätsgleichung
ergibt. Der Rest folgt aus den Beweisführungen in 3.1 und 3.2, da außerdem
δ
die Variation δR
nach R die stochastische Hamilton-Jacobi-Gleichung als Stationaritätskriterium aufzeigt, wie man leicht nachrechnet, denn
d
dε |ε=0
=
RT R
0
RT R
0
=
[∂t S + 12 (∇(R + εδR))2 + 12 (∇S)2 + V ]e2(R+εδR) dxdt
[(2∂t S + (∇S)2 + (∇R)2 + 2V )% − div(∇R%)]δRdxdt
RT R
[(2∂t S + (∇S)2 − (∇R)2 − 4R + 2V )]%δRdxdt
0
Q.E.D.
Bemerkungen 5.1.3: a) Die Problemstellung der Funktionalaugmentierten
hat, zumindest direkt, nichts mit der Methode der Lagrange‘schen Multiplikatoren zur Lösung von Variationsproblemen unter Nebenbedingungen gemeinsam. Hier wird der Variationsausdruck des Problems F + λG Null gesetzt. Der
zusätzliche Lagrange‘sche Parameter λ und die Integrationskonstanten werden
dann unter Hinzunahme der Nebenbedingung und Randbedingungen bestimmt.
b) Man beachte insbesondere, dass bei der hier aufgezeigten Funktionalaugmentationstechnik die Differenziatiationsordnung beim Übergang von stochastischer Newton-Gleichung zu der stochastischen Hamilton-Jacobi-Gleichung um
Eins reduziert wird.
c) Man beachte, dass das Potenzial im Hamilton-Operator positives Vorzeichen hat. Beim Übergang zum Lagrange-Problem wird das Vorzeichen negativ.
Hierin ist der Übergang vom Hamilton‘schen (potenzielle Energie+kinetische
Energie) zum Lagrange‘schen (potenzielle Energie-kinetische Energie) Formalismus zu erkennen.
5.2 Stochastische symplektische Transformationen
Das Studium der symplektischen Geometrie ist, im Paradebeispiel, die Untersuchung eines Kotangentialraumes T ∗ M einer Mannigfaltigkeit M mit einer
55
gegebenen nicht-ausgearteten 2-Form ω auf T ∗ M . Die topologische Grundlegung der innovativen stochastischen symplektischen Geometrie ist nunmehr die
stochastische Analyse von Paaren von skalaren Funktionen auf einer Raumzeit,
die man zweckmäßigerweise komplexwertig zusammenfasst und für die ein Hermite‘sches Skalarprodukt gegeben ist. Diese Struktur ist bedingt durch das
mittels der Fourier-Transformation adjungierten Paares von Orts.- und Impulsoperator. Also das Studium der stochastischen Analysis eines Hermit‘schen
Geradenbündels auf einer Raumzeit.
Im Falle der symplektischen Geometrie mit der Hamilton-Funktion H(x, g)
ergeben sich die kanonischen Gleichungen
·
x=
∂H ·
∂g , g
= − ∂H
∂x
aus 3.2 aus der Bedingung ω(XH , .) = dH(.), mit dem Hamilton‘schen Vektorfeld XH . Ein Symplektomorphismus Θ : T ∗ M → T ∗ M erhält die 2-Form
Θ∗ ω = ω und die kanonischen Gleichungen (mit der transformierten HamiltonFunktion).
Im Zusammenhang der stochastischen symplektischen Geometrie sind der
äußeren Form der punktdynamischen Gleichungen ganz analoge kanonische Gleichungen (Bewegungsgleichungen) gegeben durch (nachrechnen mit Variation
nach % statt R genau wie in der Proposition 5.1.2)
∂t % =
δH
δS ,
∂t S = − δH
δ% .
Wobei das hier elementare Hamilton-Funktional durch
H(%, S) =
RT R
0
( 21 (∇R(t, x))2 + 12 (∇S(t, x))2 + V (x))%dxdt, % = e2R
definiert ist. Die Bewegunsgleichungen sind durch stochastische HamiltonJacobi-Gleichung und Kontinuitätsgleichung gegeben.
Definition 5.2.1: Ein stochastischer Symplektomorphismus
Θ : (%(t, x), S(t, x)) → (%0 (t0 , x0 ), S 0 (, t0 , x0 )),
ist dann in Analogie eine Transformation, die die Form der Bewegungsgleichungen invariant lässt (vgl. auch [CouHi], Definition der kanonischen Transformation).
Beispiel 5.2.2: Für die Fourier-Transformierte F (ψ(t, x)) = ψ F (t, p) gilt
die Schrödinger-Gleichung i~∂t ψ = 12 p2 ψ − V ψ bekannterweise auch in der Impulsdarstellung der ψ-Funktion ψ F (t, p).
56
§6 Zoomout-Geometrien
6.1 Ein elementarer Zoomout-Formalismus
Sei ein Beobachter zum Wirkungsquantum ~ gegeben, d.h. ein solcher
der das Wirkungsquantum zu einem bestimmten Wert misst. Die durch den
stochastischen Massentransport, zu den Randwerten %0/T und zu den Daten
T und ~, gegebene geodätische Problemstellung ist eine Sichtweise eines mit
~ assoziierten dynamischen Vorganges. Durch Verkleinern von ~ und ”Kompaktifizieren” der Zeitrandwertdichten ist ein ”Zoomout” definiert. Mit dieser
Zoomout-Technik lässt sich das ”absolute” geodätische Problem auf dem euklidischen Raum durch den Grenzübergang ~ → 0 erzielen. Das euklidische
geodätische Problem sitzt dem des stochastischen Variationsproblems sozusagen
”oberflächlich” auf. Damit ist eine Möglichkeit gegeben die Kontinuität der
Quantenwelt zu etablieren.
Sei ein 0 < ~ ≤ 1 gegeben. Ein Beobachter zu diesem ~ löst das Problem
(zu makroskopischen Zeitrandwerten(!))
RT R
!
(~2 (v(t, Xt )2 + ~2 (∇R(t, Xt ))2 )dP dt = M in,
0
√
dXt = b(t, Xt )dt + ~dBt , (Bt , P ) Brown‘sche Bewegung,
Wahrscheinlichkeitsdichten-Zeitrandwerte %0/T für %
2
(Also %dx = P [Xt ∈ dx] = e ~ R dx, ∂t % + div(~v%) = 0).
um zu erfahren, wie sich der Vorgang auf makroskopischer Ebene zeigt.
Ist jetzt ~ sehr klein, dann werden auch die dynamischen Wahrscheinlichkeitsdichten auf immer engerem Raume kompaktifiziert. Für ~ → 0 kommt dies
dann darin zum Ausdruck, dass die Zeitrandwerte %0/T des Problems in ihrem
Erwartungswert, der hier als existent gegeben sei, gegen die Dirac‘sche Deltadistribution, d.h. gegen das Punktmaß des Erwartungswertes konvergieren. Also
1
1
%~0/T (x) := %0/T ( h(~)
(x − EXt ) + EXt )( h(~)
)n ,
mit h(~) → 0 für ~ → 0, dass man dann noch geeignet wählen kann.
1
Die durch ( h(~)
)n normierten transformierten Zeitrandwerte sind dann wieder
Wahrscheinlichkeitsdichten, wie man mit der Transformationsformel für den Rn
sofort nachrechnet. Für ein ”herausgezoomtes” ~ ergibt sich somit das Problem
RT R
0
!
(~2 (v(t, x)2 + ~2 (∇R(t, x))2 )%dxdt = M in,
2
% = e ~ R , ∂t % + div(~v%) = 0,
%(0, x) = %~0 (x), %(T, x) = %~T (x).
57
Die neuen Zeitrandwerte definieren einen Zoomout. Das Problem geht formal für ~ → 0 in den deterministischen Massentransport zu Deltadistributionsrandwerten über, da man im Raum der möglichen Lösungen gerade ~v l v
substituieren kann
RT R
!
(v(t, x)2 )%dxdt = M in,
0
∂t % + div(v%) =
R 0, %(0, x) = δE0 (x),
R %(T, x) = δE1 (x),
E0 = x%0 (x)dx, E1 = x%1 (x)dx.
Ein derartiges Problem ergibt aber die euklidische Geodätische zwischen den
Erwartungswerten von %0 und %T , da Ursprungspunkt und Bildpunkt der optimalen Transportabbildung zeitkontinuierlich durch eine Geodätische verbunden
werden. Ein makroskopischer Beobachter mit einem sehr kleinen ~, der einen
mikroskopischen Vorgang wahrnimmt, wird demnach diskrete geodätische Kurven visualisieren.
6.2 Interpretation
Interpretation 6.2.1: Bisher bekannt in der Lagrange‘schen stochastischen
Mechanik ist vor allem das Yasue-Problem (für den elementaren Lagrange‘schen)
R
!
δ( E( 14 b2 (t, Xt ) + 14 b2∗ (t, Xt ) − V (Xt ))dt) = 0
aus 2.2 unter gewissen Variationsformalismen. Siehe z.B. auch [BlCoZh] wo
in V.5 die Variante
R
!
δ( E( 12 b(t, Xt )b∗ (t, Xt ) − V (Xt ))dt) = 0
diskutiert wird. Da b = u + v und b∗ = v − u ist dieses Problem aber
nichts anderes als das Guerra-Marato-Problem wegen der Bemerkung 3.1.2.b).
In [BlCoZh] wird dann darauf hingewiesen, dass die Guerra-Morato-Variation
die stochastische Hamilton-Jacobi-Gleichung und Bedingung ergibt, wie in 3.1
dargestellt. Die Gleichungen werden dort auch als Madelung-Fluid-Gleichungen
bezeichnet. Neu hier in dieser Arbeit ist, dass erkannt wurde, dass das GuerraMorato-Problem, ganz wie im klassischen punktdynamischen Fall, durch eine
stochastische Legendre-Transformation aus dem Yasue-Problem hervor geht.
Gegenüber dem bisher bekannten Yasue-Problem und dessen Varianten, bei
dem man Vorwärts- und Rückwärts-Ableitungen interpretieren muss, ist der
Lagrange‘sche stochastische Massentransport
R
!
δ( E( 21 b2 (t, Xt ) − V (Xt ))dt − 4Entrop) = 0
im Vergleich ganz klar als ein geometrisches Problem erkennbar. Der stochastische Massentransport hat den Vorteil, dass er die ”reine” Form eines geodätischen
Funktionals
58
R D· · E
!
δ( xt , xt dt) = 0
·
besitzt. Die zeitliche Ableitung in x ist in dem stochastischen Formalismus
mit der Gültigkeit einer Itô-Gleichung gleichzusetzen.
Man beachte dabei auch, dass eine Variation des klassischen Funktionals mit
Erwartungswert in der Literatur auch untersucht wurde, wie z.B. in [BlCoZh],
V.5 erwähnt ”pfadweise” Variationen behandelt werden (vgl. [BlCoZh] Literaturverweis).
Zwar ist der Entropie-Randterm stationär irrelevant, er ist aber nicht bloße
Makulatur, da er zu dem ”Bt ” in der Itô-Gleichung dXt = b(t, Xt )dt + dBt
gehört, denn die Wärmeleitungsgleichung ist der Gradientenfluss bzgl. des
Entropiefunktionals. Außerdem geht er in die Energiebilanz beim EntropieWirkungsgesetz ein.
Eine stochastische Legendre-Transformation des geometrischen Lagrange‘schen
Problems führt wie in der klassischen Punktdynamik auf ein Hamilton-Problem,
dessen Variation dann die Schrödinger-Gleichung ergibt, die man als geschickte
komplexwertige Zusammenfassung der kanonischen Gleichungen, bestehend aus
Kontinuitäts.- und stochastischer Hamilton-Jacobi-Gleichung, auffassen kann.
Der hier dargestellte Zoomout-Formalismus zeigt dann auch, inwiefern der klassische geometrische Formalismus dem stochastischen ”oberflächlich” aufsitzt.
Im Vergleich zur semi-klassischen Analysis [Ro,He,Ma], die den Grenzwert ~ → 0
untersucht, gehen beim Übergang von stochastischem zu deterministischem
Massentransport die geodätischen Variationsprobleme inneinander über. Im
Vergleich zur semi-klassischen Analysis, worin z.B. das Verhalten des Spektrums
des Schrödinger-Operators für ~ → 0 studiert wird, zeigt das stochatische Variationsproblem direkt die geometrische Verbindung zur klassischen Mechanik,
trifft damit wohl vielmehr den Kern der Problemstellung und wirft ein ganz
neuartiges Licht auf das quantenmechanische Korrespondenzprinzip.
Der Lagrange‘sche stochastische Massentransport zeigt insbesondere im Vergleich zu Nelson [Ne2] auf, dass die Schrödinger-Gleichung in einen ganz klassischen geometrischen Zusammenhang, bestimmt durch stochastische LegendreTransformation, Lagrange- und Hamilton-Formalismus, eingeordnet werden kann.
Die Hintergrund-Feld Hypothese in [Ne2] wird beim stochastischen Massentransport andeutungsweise durch eine, im Vergleich zur mengentheoretischen Topologie, diffizilere Abhandlung des Begriffs der globalen topologischen Ansicht ersetzt. Wie in der Bemerkung 2.1.3 angedeutet ist eine absolute entropische
Expansion vorgegeben und jede wahrgenommene Drift.- bzw. Diffusionsbewegung ist eine subjektive Interpretation. Die Lösung des geodätischen Problem‘s
zu gegebenen Zeitrandwerten ergibt einen Beobachter wie in 2.1.3 definiert.
Es soll hier aber darauf hingewiesen werden, dass sich ein derartiges Konzept
hier nur rein mathematisch in natürlicher Art und Weise anbietet, insbesondere
auch unter Beachtung der experimentellen Tatsache, dass gerade die quantenmechanische Messproblematik darin besteht, dass der Ansatz einer dem menschlichen Vernunftvermögen entsprechenden topologischen Ansicht eines Quantenpartikels, wenn man die Dynamik in der Nähe visualisieren will, zu Prob-
59
lemen führt. Eine derartige, verallgemeinernde topologische Theorie darf hier
keinesfalls als gesichert erachtet werden.
Hier bietet sich eine ganz klassische, zumindest mathematisch-geometrische
Interpretation der Schrödinger-Gleichung an, die aber in der vorliegenden Arbeit nur angedeutet ist und noch systematisch in einer in sich geschlossenen
topologischen Gesamttheorie begründet werden muss.
Die Frage der physikalischen Einordnung und Interpretation ist dann auch
naheliegend, kann aber wegen der mathematischen Natur der Arbeit hier nicht
verfolgt werden. Physikalische Zusatzdaten, wie z.B. das magnetische Vektor−
→
potenzial A in der Schrödinger-Gleichung
µ
¶
P ~
i~∂t ψ =
( i ∂k − Ak )( ~i ∂k − Ak ) + V ψ
k
→
−
wurden bewusst ignoriert. (Vgl. aber [Ne2] wo A in den Rechnungen implementiert ist.)
Für eine neuere, mehr physikalische Abhandlung der Problematik, die zwar
nicht auf die geodätische sondern mehr auf die analytische (störungstheoretische)
Seite des Hamilton-Formalismus abzielt, siehe man Teufel [Te]. Für eine interessante nicht-quantenmechanische physikalische Anwendung der stochastischen Mechanik auf die Planetensystembildung, der Morphologie von Galaxien,
die Formation von Windzonen in der Athmosphäre und der Ringe des Saturn
studiere man Albeverio/Blanchard/Høegh-Krohn [AlBlHø].
60
§7 Beispiele
Beispiel 1): Wellenpakete. Sei das Potenzial V des Hamilton-Operators
→
− →
−
identisch Null. Dann sind die Ebenen Wellen Aei( k · r −ωt) Lösungen der Schrödinger−
→
Gleichung. Wobei k der Wellenvektor, ω = 21 ~2 k 2 die Kreisfrequenz und A ein
konstanter Normierungsfaktor ist. Durch Superposition erhält man die Wellenpakete
→
ψ(t, −
r)=
1
n
(2π) 2
R
− →
→
−
−
→ →
−
→
−
→
−
ψb0 ( k )ei( k · r −ω( k )t) d k ; ω( k ) = 21 ~2 k 2
→
als Lösungen, wie man sofort nachrechnet. ψ0 (−
r ) ist die Fourier-Transformierte
−
→
von ψb0 ( k )
→
ψ0 (−
r)=
1
n
(2π) 2
R
− →
−
→ →
→
− −
ψb0 ( k )ei( k · r ) d k .
Die Schrödinger-Gleichung mit trivialem Potenzial ist das notwendige und
hinreichende Stationaritätskriterium für die Stationarität des durch die Hamilton‘sche Version des stochastischen Massentransportes (ohne Potenzial) definierten
Wirkungsprinzips. Somit stellen die Wellenpakete die Analoga zu euklidischen
Geodätischen dar.
Beispiel 2): Wasserstoffatom. (Vgl. [Tru].) Der Hamiltonoperator
2
~2
des Wasserstoffatoms im R3 ist definiert durch H = − 2m
4 + Ze
|x| , mit den
Systemkonstanten e, Z und der reduzierten Masse m. Wir betrachten den
Grundzustand gegeben durch
ψ(t, x) = N e(−
|x|
Et
a −i ~ )
~
= e m (R+iS)
2
2
~
a = me~2 Z ist der Bohr-Radius und E = − 2ma
2 die Grundzustandsenergie.
Die Normierunskonstante N berechnet sich, wie man leicht ausrechnet, gleich
2a, ist aber für die Ermittlung der entropischen bzw. der Flussgeschwindigkeit
unerheblich, denn
N e(−
|x|
Et
a −i ~ )
= eln N +(−
|x|
Et
a −i ~ )
m
= e ~ (R+iS) .
Somit
m
~R
= ln N −
|x|
a
bzw.
m
~S
=
Et
~
und der Gradient des konstanten Summanden fliegt raus. Die Drift ergibt
sich also
61
b = ∇(R + S) =
−~
am ∇
|x| = − am~x|x| .
Die Grundzustandsdiffusionsgleichung erfüllt ((t, x) 7→
schwachen Lösung)
q
~
~ Xt
dt
+
dXt = − am
|Xt |
m dBt .
x
|x|
1.1.7
∈ L∞ =⇒ ∃ einer
Dann gilt in diesem Zusammenhang das Newton‘sche Kraftgesetz für die
reduzierte Masse des Elektrons.
Proposition 7.1.1: Es gilt auf {Xt 6= 0}
mD∗ DXt = mDD∗ Xt =
m
2 (DD∗
+ D∗ D)Xt = −Ze2 |XXt|3 .
t
Beweis: Wegen der Diffusionsgleichung sieht man sofort, dass DXt =
~ Xt
~ Xt
− am
|Xt | und D∗ Xt = + am |Xt | .
Wie in 1.1 hat man
~
D(f (Xt )) = ∇f (Xt ) · DXt + 2m
4f (Xt ),
~
4f (Xt ).
D∗ (f (Xt )) = ∇f (Xt ) · D∗ Xt − 2m
x
Insbesondere für f (x) = |x|
gilt ∇f · DXt = ∇f · D∗ Xt = 0 und 4f (x) =
Also gilt wie im Korollar 2.2.5
−2x
.
|x|3
2
DD∗ Xt = D∗ DXt = − m~2 a |XXt|3 .
t
Q.E.D.
Bemerkung 7.1.2: Der Begriff der Masse im quantenmechanischen Formalismus überhaupt und der Umgang mit der Masse beim Übergang zum HamiltonFormalismus ist ein offenes Problem. Zur Not kann hier m = 1 gesetzt werden.
Beispiel 3): Harmonischer Oszillator. Der eindimensionale, normalisierte harmonische Oszillator ist gegeben durch den Hamiltonoperator H =
∂2
1 2
− 12 ∂x
2 + 2 x . Die Funktion
1
−it 2
ψ(t, x) = e(− 2 (x−ae
2
) − a4 (1−e−2it )− it
2 )
= eR+iS , a ∈ R
2
1∂ ψ
1 2
löst die eindimensionale Schrödinger-Gleichung i ∂ψ
∂t = − 2 ∂x2 + 2 x ψ. Man
sieht:
R = − 12 (x2 − 2ax cos t) + Konst(t), S = − 21 (2ax sin t) + Konst(t)
bzw.
∂
b = ∂x
(R + S) = (−x + a cos(t) − a sin(t)),
∂
b∗ = ∂x (S − R) = (+x − a cos(t) − a sin(t)).
62
1.1.7
Die dazugehörende Diffusionsgleichung erfüllt (|b| ≤ Konst(1 + |x| ) =⇒ ∃
einer schwachen Lösung)
dXt = (−Xt + a cos(t) − a sin(t))dt + dBt .
Man rechnet nach:
DD∗ Xt = Db∗ = (b∂x + ∂t +
1 ∂2
2 ∂x2 )b∗
= +b + a sin t − a cos t = −x
und
D∗ DXt = D∗ b = (b∗ ∂x + ∂t −
1 ∂2
2 ∂x2 )b
= −b∗ − a sin t − a cos t = −x.
Also wiederum ganz wie im Korollar 2.2.5.
Beispiel 4): Heisenberg‘s Unschärferelation. Heisenberg‘s Unschärferelation
ist das historische Charakteristikum der quantenmechanischen zeitstetigen Verhaltensweise. Ort und Impuls können niemals gleichzeitig scharf gemessen werden. Eine Fokussierung einer der Variablen hat unmittelbar die Verschmierung
der anderen zur Folge. Es kann gezeigt werden, dass diese Ungleichung aus
dem hier entwickelten Formalismus ganz elementar folgt, wie in [HaRe] für
den Fall n = 1 angedeutet, aber nicht konkret beweistechnisch ausgeführt
ist. Es gibt also einen, innerhalb des hier dargestellten Formalismus, ganz elementaren Beweis der Heisenberg‘sche Unschärferelation. Insbesondere sind
das Entropie-Wirkungsgesetz 2.2.3 und die Heisenberg‘sche Unschärferelation,
zumindest beweistechnisch, zwei Seiten ein und der selben Medaille. Beim
Entropie-Wirkungsgesetz kommt dies darin zum Ausdruck, dass beim fokussieren
Arbeit gegen die Entropie verrichtet werden muss.
Lemma 7.1.3: (Spezialfall der Cramér-Rao-Ungleichung [CoTh] für eine
Zufallsvariable als Schätzer des Parameters der durch sie selbst konzipiert ist.)
Sei % eine, in ∞ genügend schnell verschwindende, differenzierbare Wahrscheinlichkeitsdichte (einer Zufallsvariablen X mit erstem und zweitem Moment) im
Rn , dann gilt (falls E(∇ ln %(X))2 < ∞)
¡
¢−1
V arianz(%) ≥ F isherlänge2 (%) := E(∇ ln %(X))2
.
Mithin ist die quadratische Fisher-Länge ein Maß für die minimale Varianz
einer Zufallsvariablen.
Beweis: 1) Es gilt
R
E∇ ln %(X) = ∇ ln %(x)%(x)dx (komponentenweises Integral)
R R
in der i-ten R
∂i ln %(x)%(x)dx = .. ∂i %(x)dx1 ..dxn
=
Komponente
R R R
ci .dxn = 0 .
= .. ( ∂i %(x)dxi )dx1 .dx
63
Es folgt E[(∇ ln %(X) − E∇ ln %(X)) · (X − EX)] = E[∇ ln %(X) · X].
2) Nach der Cauchy-Schwarz‘schen Ungleichung hat man
(E[(∇ ln %(X) − E∇ ln %(X)) · (X − EX)])2
≤ E[(∇ ln %(X) − E∇ ln %(X))2 ] E[(X − EX)2 ].
Also mit 1)
(E[∇ ln %(X) · X])2 ≤ V arianz(%) F isherlänge2 (%)−1 .
Es bleibt noch (wobei ohne Einschränkung % genügend schnell verschwinde,
so dass beim Shiften von ∂i keine Randausdrücke auftreten)
n
R P
R
(E[∇ ln %(X) · X])2 = ( ( ∂i %(x) xi )dx)2 = (− n%(x) dx)2 = n2 ≥ 1.
i=1
Q.E.D.
Zur Herleitung der Unschärferelation definiere man für den Impulsoperator
p = −i~∇ in ψ = eR+iS (bzgl. einer normierten Lösung der SchrödingerGleichung)
® Formal ­ 2 ®
Formal ­
2 Definition
4p2 =
(p − hpi)2
=
p − hpi
=
­
® ­
®2 ­
®
R
2
2
2
2
ψ, ~ 4C ψ − ψ, ~ (−i~∇C )ψ = ψ, ~ 4C ψ − ( |ψ| ~(∇S − i∇R)dx)2
R
2
(Der Term |ψ| ∇Rdx = 0 nach dem Lemma.)
­
®
R
R
wie in
2
2
= ψ, ~2 4C ψ − ( |ψ| ~∇Sdx)2 = ~2 ((∇S)2 + (∇R)2 ) |ψ| dx
3.2
R
R
R
2
2
2
2
−( |ψ| ~∇Sdx)2 = ~2 ((∇S)2 + ( 21 ∇ ln |ψ| )2 ) |ψ| dx − ( |ψ| ~∇Sdx)2
2 R
2
2
2
2
≥ ~4 (∇ ln |ψ| )2 |ψ| dx = ~4 F isherlänge2 (|ψ| )−1 .
2
Wobei die Abschätzung mittels Schwarz-Ungleichung in L2 (|ψ| ) erfolgt
R
R
2
2
( ~∇S |ψ| dx)2 ≤ 1 ~2 (∇S)2 |ψ| dx.
Mithin ergibt sich mittels des Lemmas Heisenberg‘s Unschärferelation
4p4x ≥ ~2 .
2
Wobei 4x2 = V arianz(|ψ| ), also 4x die Standardabweichung ist.
Bemerkungen 7.1.4: a) Wie man in den Beweisführungen im Lemma
sehen kann gelten sogar die schärferen Abschätzungen
V arianz(%) ≥ n2 F isherlänge2 (%) bzw. 4p4x ≥
n~
2 .
b) Die aus dem Lemma zu entnehmende Tatsache, dass die entropische
Geschwindigkeit im Erwartungswert identisch verschwindet ist ein Korollar von
eigenem Interesse.
64
Danksagung
Ich danke Herrn Prof. Ludger Rüschendorf für interessante Diskussionen, immer ein offenes Ohr gehabt zu haben und für die zielgerichtete Versorgung mit der Information, die diese Arbeit ermöglicht
und inspiriert hat. Für wertvolle Hinweise, Überarbeitungsvorschläge
und Literaturverweise danke ich außerdem S. Albeverio, H.P. Breuer,
H. Stephan und H. Spohn.
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67
Sachverzeichnis
Beobachter 31
Diffusion 8
, glatte 8
-smatrix 8
Drift 8
, Rückwärts- 11
, Vorwärts- 8
Entropie 25
, relative 24
-Wirkungsgesetz 44
Entropie-Interpolation 34
entropische Geschwindigkeit 14
Flussgeschwindigkeit 14
Fokker-Planck-Gleichung 9
, Rückwärts- 14
, schwache 19
Funktionalaugmentierte 54
Hamilton-Jacobi-Gleichung 40
, stochastische 41
Hamilton‘sche Wirkungsfunktion 39
Heisenberg‘sche Unschärferelation 63
Itô-Formel-Analogon 9
Itô-Diffusionsprozesse 15
Konkurrenzschar 32
Kontinuitätsgleichung 14
Massentransport
, deterministischer 29
, Lagrange‘scher stochastischer 34
, stochastischer 30
Newton‘s Kraftgesetz 38
Orthogonal-Projektion 52
Partielle Integration 11
Planck‘sches Wirkungsquantum 40
Realität 31
Rückwärts-Ableitung 10
Schrödinger-Gleichung 3
Stationär-Äquivalenz 45
Stationarität 32
stochastische Beschleunigung 15
stochast. Legendre-Transformation 55
stochast. Newton-Gleichung 34
stochast. Symplektomorphismus 56
Variationsproblem 32
Variationsschar 32
Verzerrung 31
Wasserstein-Distanz 29
Yasue-Problem 32
Zoomout 58
Symbolverzeichnis
C0∞
C ∞ -differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger 9
Et
Bedingte Erwartung unter der Information =t zum
Zeitpunkt t 8
δJ
Variation des Funktionals J 32
δJ
δR
Funktionalableitungsschreibweise des Euler´schen
Variationsausdruckes 55
~
Planck‘sches Wirkungsquantum, ~ = 6.626 10−34 J s 40
D
Vorwärts-Ableitung 9
D∗
Rückwärts-Ableitung 10
√
hdBt Itô-Diffusionsprozess 15
dYt = bdt +
68