Foliensatz 5 - Aussagenlogik III

Seminar: Einführung in die Logik
Wintersemester 2002/03
Mittwoch, 12.00-13.30 Uhr, Phil I, Raum C/3
Jasper Liptow
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5 Aussagenlogik III - die Semantik von AL
1. Semantische Werte des Basisvokabulars
Die Grundfrage der Semantik lautet: In welcher Weise
hängt die Wahrheit (Falschheit) eines Satzes von seinen
Bestandteilen ab?
Als den semantischen Wert eines Ausdrucks der Sprache
AL bezeichnen wir entsprechend den Beitrag, den er zu der
Wahrheit oder Falschheit der Sätze leistet, in denen er
vorkommt.
Der Beitrag, den Elementarsätze zu der Wahrheit oder
Falschheit der komplexen Sätze leisten, in denen sie
vorkommen, besteht darin, dass sie entweder wahr
oder falsch sind.
Der Beitrag, den die Junktoren zu der Wahrheit oder
Falschheit der komplexen Sätze leisten, in denen sie
vorkommen, besteht darin, dass sie den Wahrheitswert
der komplexen Sätze in Abhängigkeit von den
Wahrheitswerten weniger komplexer Sätze (und
letztlich der Elementarsätze) bestimmen.
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2. Konjunktion
Der Einfluss der Junktoren auf die Wahrheit der komplexen
Sätze, in denen sie vorkommen, kann durch sogenannte
Wahrheitswert-Tabellen bestimmt werden.
Wir definieren:
A
B
A∧B
W
W
W
W
F
F
F
W
F
F
F
F
Lies: Wenn A und B WFFs sind, dann ist die Konjunktion
von A und B dann und nur dann wahr, wenn A und B beide
wahr sind.
Das Grundprinzip der Konjunktion:
Ein aus zwei Aussagesätzen x und y zusammengesetzter
Aussagesatz z ist eine Konjunktion genau dann, wenn
1. aus der Wahrheit von z die Wahrheit seiner beiden
Komponenten x und y folgt
2. aus der Wahrheit der Sätze x und y die Wahrheit von z
folgt.
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3. Sätze über Wahrheitswerte
Prinzip der Valenz:
Jeder Aussagesatz hat mindestens einen
Wahrheitswert.
Prinzip der Bivalenz:
Es gibt genau zwei Wahrheitswerte: W und F
Prinzip der Exklusion:
Kein Aussagesatz hat mehr als einen Wahrheitswert
Zusammen:
Jeder Aussagesatz ist entweder wahr oder falsch
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4. Logische Konjunktion und grammatische
Konjunktion in der Alltagssprache
4.1 Beispiele
Welche der folgenden Sätze stellen logische Konjunktionen
dar?
1. Hans ging duschen, aber Maria blieb im Bett.
2. Hans ging duschen, während Maria im Bett blieb.
3. Hans ging duschen, weil Maria im Bett blieb.
4. Hans ging duschen, obwohl Maria im Bett blieb.
5. Hans ging duschen, Maria blieb jedoch im Bett.
6. Hans ging duschen, oder Maria blieb im Bett.
7. Hans ging duschen, Maria blieb im Bett.
8. Hans ging duschen, Maria blieb nichtsdestotrotz im
Bett.
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4.2 Grammatische Konjunktion von Phrasen
Konjunktion von Hauptverben:
• Hans hob und warf das Glas.
• Ich kam, sah und siegte.
Konjunktion von Hilfsverben:
• Ich war und bin ein Anhänger der Friedensbewegung
Konjunktion von Adverben:
• Peter sprach schnell und undeutlich.
Konjunktion von Satz-Objekten:
• Maria liest das Abendblatt und die Morgenpost.
Konjunktion von Satz-Subjekten:
• Maria und Hans sind dünn.
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Es handelt sich bei diesen Sätzen zunächst nicht um
logische Konjunktionen im definierten Sinn, da wir es nicht
mit Aussagesätzen zu tun haben, die grammatisch aus zwei
Aussagesätzen zusammengesetzt sind.
Dennoch gilt: aus der Wahrheit eines jeden dieser Sätze
folgt die Wahrheit zwei bestimmter anderer Sätze und
umgekehrt.
Wir standardisieren daher die obigen Sätze als logische
Konjunktionen. Z.B.:
Maria und Hans sind dünn.
als
Maria ist dünn, und Hans ist dünn.
Und können dann formalisieren:
Maria ist dünn ∧ Hans ist dünn.
M∧ H
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4.3 Aufzählungen
Logische Konjunktionen können mehr als zwei
Aussagesätze verbinden. So behandeln wir Aufzählungen
wie
Hans, Maria, Peter und Sarah sind dünn.
als Konjunktionen mit vier Teilsätzen:
Hans ist dünn und Maria ist dünn und Peter ist dünn
und Sarah ist dünn.
Dasselbe gilt für Aufzählungen anderer Phrasen:
Maria redete schnell, unkonzentriert, nuschelig und
leise.
Hans kaufte, wusch, schnitt und kochte die Möhren.
Anmerkung:
der Ausdruck
S∧ U ∧ N∧ L
ist keine WFF. Die Erzeugungsregeln lassen in diesem Fall
nur Möglichkeiten der folgenden Art zu:
(S ∧ U) ∧ (N ∧ L)
((S ∧ U) ∧ N) ∧ L
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4.4 Probleme mit der Konjunktion von Phrasen
Folgende Beispiele bereiten Probleme:
1. Romeo und Julia sind verliebt.
2. Romeo und Julia sind ein Paar.
3. Hans und Peter trugen ein Klavier.
4. Die Fahne ist schwarz, rot und gold.
Wir müssen von der bisher betrachteten distributiven Lesart
von Sätzen wie (1) bis (4) eine kollektive Lesart
unterscheiden:
Kollektive Lesart: Die durch »und« zusammengefassten
Ausdrücke benennen eine Gruppe von Gegenständen oder
Eigenschaften und es gilt:
• Der Gruppe von Gegenständen als Ganzer kommt
eine bestimmte Eigenschaft (Gruppe von
Eigenschaften) zu.
• Die Gruppe von Eigenschaften kommt als Ganze
einem bestimmten Gegenstand (oder einer Gruppe
davon) zu.
Wichtig:
Wir können bei der Schematisierung von
alltagssprachlichen Sätzen nicht mechanisch vorgehen!