Supergravitation

Supersymmetrie und Supergravitation
Dr. rer. nat. Frank Morherr
Standardmodell der Teilchenphysik:
Die moderne Theorie der Materie
Quantenfeldtheorien
Alle Kräfte außer der Schwerkraft konnten bisher quantisiert
werden
• QFT der elektromagnetischen Kraft ist QED
zwei elektrische Ladungen spüren sich, da sie Photon als Botenteilchen austauschen
• QFT der starken Kraft (zwischen Quarks) ist die QCD
8 Botenteilchen, die Gluonen vermitteln starke Kraft zwischen sog. Farbladungen
• Schwache Kraft (verantwortlich für Radioaktivität, Betazerfall)
Vermittlung durch drei schwere Bosonen W+, W- und das elektrisch neutrale Z
W-Bosonen verwandeln Neutron in Proton bzw. umgekehrt, wobei Elektron,
Antielektronneutrino bzw. Positron und Elektronneutrino freiwerden
Austauschteilchen gehören zu Bosonen, haben ganzzahligen Spin.
Materieteilchen, zwischen denen Kräfte wirken, gehören zu
Fermionen, haben halbzahligen Spin
Austauschbosonenmerkmale entscheiden über Reichweite der Kraft
Je schwerer, desto weniger Reichweite.
Elementarteilchen und Wechselwirkung
Teilchenzoo
Es bedarf Theorie, die folgende Fragen schlüssig beantwortet:
• Weshalb haben sich die vier Grundkräfte aufgespalten?
• Wie sah die Urkraft aus, aus der sie entstanden?
• Weshalb existieren unterschiedlichste Arten von Teilchen?
• Weshalb haben Teilchen genau die beobachteten Eigenschaften?
• Weshalb leben wir in
Raumzeit-Kontinuum aus
vier Dimensionen?
• Weshalb gibt es drei Raumdimensionen und eine
Zeitdimension?
• Was sind Raumzeit und
Gravitation?
• Was geschah beim Urknall
• Woher kommt die Masse
• Wo ist die Antimaterie
• Woraus besteht das
Universum?
Symmetrien in der Physik
• Symmetrie in Physik ist Eigenschaften eines Systems, unter
bestimmter Änderung (Transformation) invariant zu sein.
Transformationen die physikalisches System nicht verändern, heißen
Symmetrieoperationen.
• Man unterschiedet diskrete Symmetrien (z. B. Spiegelsymmetrie), die
nur endliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen, sowie
kontinuierliche Symmetrien (z. B. Rotationssymmetrie), die
unendliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen.
• mathematische Beschreibung von Symmetrien durch Gruppentheorie
• in Eichtheorien der Teilchenphysik, d. h. unter Eichtransformationen
invariante Theorien, legt Symmetrie z. B. Art und relative Stärke der
Teilchenkopplungen untereinander sowie Masse der Eichbosonen fest
• Invarianz der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen
ein Ausgangspunkt zur Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie,
Muster im Spektrum der Elementarteilchen führten zur Entwicklung
des Quark-Modells für z.B. das Proton
• Ladungssymmetrie: Umkehren der Vorzeichen aller Teilchen ändert
Betrag der Kräfte nicht
• Isospinsymmetrie: bis auf Ladung Protonen/Neutronen austauschbar
Symmetrie in der Maxwellschen Theorie
• Bilder aus Buch
• Anzahl der möglichen Spinzustände eines Feldquants ist 2s+1
 Skalarfeld: s=0, Feldquant besitzt nur eine Komponente
 Vektorfeld: s=1, z.B. Photon. Feldquant besitzt drei Komponenten
 Tensorfeld: zum Beispiel Gravitationsfeld: s=2. Graviton kann in fünf
Spinzuständen vorliegen. Viel komplizierter!
• Zusätzliche Schwierigkeit beim elektromagnetischen und
Gravitationsfeld: Photon und Graviton sind masselos und lichtschnell
→ Spins stehen nicht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, daher
jeweils nur zwei Spinzustände messbar
• Nach erfolgreicher Eichtheorie der Maxwellschen Theorie versuchte
Fermi zunächst erfolglos Eichtheorie der starken Wechselwirkung
• Yang/Mills gingen von Isospin-Symmetrie aus: Starke Wechsel wirkung ändert sich, wenn Neutronen durch Protonen ersetzt werden
und umgekehrt
• Globale Isospin-Symmetrie umwandelbar in lokale, wenn man 6
Eichfelder einführt, analog des elektromagnetischen Feldes,
allerdings tragen Photonen der 4 übrigen Felder Ladung
Globale und lokale Symmetrie des Isospins
Geladene Photonen
• Geladene Photonen masselos, Spin 1, können „Lichtatom“ bilden
• In QED entspricht lokale Symmetrie-Transformation der
Phasenverschiebung eines Materiefeldes (abelsch, egal ob zuerst
Photonabsorbtion, dann Emission, oder umgekehrt)
• In Yang-Mills-Theorie entspricht lokale Symmetrietransformation
Drehung des Isospinvektors, aber Reihenfolge wichtig (nicht abelsch),
statt in Proton könnte Nukleon in Neutron übergehen
• Allgemeine Relativitätstheorie ist wie Yang-Mills-Theorie nicht
abelsch, elektromagnetische Wechselwirkung ebenfalls nicht abelsch
beschreibbar. Offenbar sind Grundkräfte der Natur von nichtabelschen
Eichtheorien bestimmt.
Abelsche und nicht abelsche Transformationen
• Symmetrien eng mit Erhaltungssätzen verknüpft
• Noether-Theorem: jeder kontinuierlichen Symmetrie kann
Erhaltungsgröße zugeordnet werden. Aus der Zeittranslationsinvarianz
folgt Energieerhaltung, sowie in der Hamiltonschen Mechanik auch
umgekehrt
• Nicht nur Symmetrien wichtig, sondern auch Symmetriebrechungen.
Bei elektroschwacher Wechselwirkung wird Eichsymmetrie durch
Higgs-Mechanismus gebrochen, durch einziges bisher noch nicht
nachgewiesene Teilchen des Standardmodells, das Higgs-Boson
• Symmetriebrechungsvorgänge in Zusammenhang mit Phasenübergängen: ferromagnetischen Phasenübergang
• Thermodynamik nicht zeitinvariant, da umgekehrte Wärmeströme von
kalt zu heiß nicht existieren, Zunahme der Entropie zeichnet
Zeitrichtung aus
• Schwache Wechselwirkung nicht invariant unter Raumspiegelung, wie
1956 im Wu-Experiment gezeigt.
• CP-Verletzung: Verhalten von K-Mesonen und B-Mesonen nicht
invariant unter gleichzeitiger Spiegelung und Austauschung von
Teilchen. Sonst wäre beim Urknall gleich viel Materie wie
Antimaterie entstanden, die sich bis heute zerstrahlt hätte. CPVerletzung erklärt zum Teil Baryonenasymmetrie, das heutige
Überwiegen von Materie.
• zusätzliche Symmetriebrechungen beim Übergang von klassischer zu
Quantentheorien. Beispiele: Higgs-Mechanismus als dynamischer
Symmetriebruch und chirale Anomalie
Supersymmetrie
• Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen. Jedes Boson hat
fermionischen Superpartner und umgekehrt
 Mehr Teilchen müssen existieren, als im Standardmodell bekannt
 Alle supersymmetrischen Partner haben relativ große Massen
• Zu Symmetriegeneratoren der Poincare-Algebra (Translationen,
Rotationen, Lorenztransformationen) treten N fermionische
Generatoren (Superladungen)
• Yang-Mills-Eichtheorien, Allgemeine Relativitätstheorie erlauben
(Hinzunahme fermionischer und bosonischer Felder)
Erweiterungen, welche invariant unter Supersymmetrietransformationen sind:
Super-Yang-Mills bzw. Supergravitationstheorie
• Supergravitationstheorien existieren in
Dimensionen
• Supersymmetrie in der Raumzeit kann auf Supersymmetrie auf der
zweidimensionalen Weltfläche zurückgeführt werden.
Supersymmetrie
Supersymmetrie (SUSY)
ist Symmetrie der
Teilchenphysik, die
Bosonen (ganzzahliger
Spin) und Fermionen
(halbzahliger Spin)
ineinander umwandelt.
Teilchen, die sich unter
SUSY-Transformation
ineinander umwandeln,
heißen Superpartner
Geschichte der Supergravitation
• Supergravitation, ursprünglich als vierdimensionale Theorie 1976
von Daniel Z. Freedman , Peter van Nieuwenhuizen und Sergio
Ferrara entwickelt, wurde aber schnell verallgemeinert auf andere
Dimensionen
• Einige Theorien der Supergravitation erwiesen sich als äquivalent
zu bestimmten höherdimensionalen über dimensionale Reduktion
→ Kaluza-Klein Theorien
• mSUGRA bedeutet minimale Supergravitaion. Bau eines
realistischen Modells der Teilchenwechselwirkungen innerhalb der
N=1 Supergravitation. Supersymmetrie wird durch super
gebrochenen Higgsmechanismus erzeugt.
11dimensional: die maximale Sugra
• die 11-dimensionale Theorie, erzeugte beträchtliche Aufregung,
als ersten potenziellen Kandidaten für die Theorie von Allem .
Dies basierte auf vier Säulen, von denen zwei inzwischen
entkräftet sind
 11 Dimensionen größte Anzahl von Dimensionen mit einem einzigen
Graviton welches Spin 2 hat.
 1981 zeigte Ed Witten, dass 11 kleinste Anzahl von Dimensionen, die groß
genug ist, um die Eichgruppen des Standard-Modells , nämlich SU (3) für
die starken Wechselwirkungen, SU(2) mal U (1) für die elektroschwachen
Wechselwirkungen. Heute sind viele Techniken bekannt, um die
Eichgruppe in eine beliebige Anzahl von Dimensionen einzubetten:
obligatorische Eichsymmetrie in Typ-1-und heterotischen String-Theorien,
in Typ-II-String-Theorien durch Kompaktifizierung auf Calabi-YauMannigfaltigkeiten
 Nochmachen
 1980 gezeigt von Freund und Rubin,
Eichtheorie der Gravitation
• Wiederholte Supersymmetrie-Transformation ergibt physikalische
Ortsverschiebung (Translation) des betrachteten Teilchens: Produkt
zweier Supersymmetrie-Drehungen ist Verschiebung in der
vierdimensionalen Raumzeit.
• Für lokale Supersymmetrie-Theorie muss für jede in den
Gleichungen auftretenden Symmetrien ein Eichfeld eingeführt
werden. Verschiebung in Raumzeit ist Poincaré-Transformation,
zugehöriges Eichteilchen ist das Spin-2-Graviton:
Lokale Supersymmetrie → Supergravitation
• Nur Teilchen benachbarter Spinwerte können in Beziehung stehen,
daher nur möglich 2-1/2=3/2 oder 2+1/2=5/2. Einfachste
Möglichkeit: 3/2 Gravitino
• Erste Versuche schlugen fehl: → überlichtschnelle Teilchen
• Heute: Spin 3/2-Teilchen können nur über supersymetrische Kräfte
mit anderen Teilchen koppeln
Problem der Vereinheitlichung aller Grundkräfte
• Von Zeitschrift einfügen
Supergravitation (SUGRA)
• Supergravition ist Feldtheorie, die Grundzüge der Supersymmetrie
und der Allgemeine Relativitätstheorie verbindet.
• Dabei sind die Generatoren der Supersymmetrie (SUSY) mit den
Generatoren der Poincaré-Gruppe zu einer Form Super-PoincaréAlgebra vereinigt
• Wie jede Feldtheorie der Gravitation , enthält die Theorie der
Supergravition ein Spin-2-Feld, dessen Quant das Graviton ist.
• Supersymmetrie fordert einen Superpartner für das Graviton Feld,
das Gravitino. Dieses Feld hat Spin 3 / 2
• Einfachste Supergravitationstheorie Hypothetische Welt aus
Gravitonen und Gravitinos
• Zur Beschreibung aller Teilchen müssen Dubletts von Teilchen mit
verschiedenen Spins betrachtet werden → In Diagrammen tauchen
unendliche Terme auf, nicht durch Renormierung zu beseitigen.
• Erweiterte Supergravitationstheorien besitzen außerordentlich hohen
Grad an Symmetrie: jedes Teilchen durch SupersymmetrieTransformationen mit Teilchen verknüpft, deren Spin benachbarten
Wert hat
• Graviton in Gravitino umwandelbar, sowie jedes Gravitino mit
innerer Symmetrie in jedes andere Gravitino umgewandelt werden
• Jedes Graviton kann durch Reihe von SupersymmetrieTransformationen in jedes andere Teilchen überführt werden
• Vereinheitlichung setzt voraus, dass für Teilchen mit gleichem Spin
innere Symmetrien von globalen zu lokalen gemacht werden.
Forderung lässt sich erfüllen (Freedman, Ashok)
• Erweiterte Supergravitationstheorien besitzen Parameter für stärke
der Gravitationskraft und der anderen Kräfte
Yang-Mills-Theorie
• Yang-Mills-Theorie ist nichtabelsche Eichtheorie (QED abelsch),
dient zur Beschreibung starker und schwacher Wechselwirkung
• 1954 durch Yang und Mills eingeführt, unabhängig um die gleiche
Zeit von Ronald Shaw
• Yang-Mills-Th. geht aus von Yang-Mills-Wirkung für Eichbosonen
F Yang-Mills-Feldstärke, g Wechselwirkungskonstante
• Prinzip der kleinsten Wirkung (Variationsprinzip) liefert als EulerLagrange-Gleichungen die Yang-Mills-Gleichungen
• Yang-Mills-Feldstärke durch zweite Maurer-Cartan-Strukturgleichung
definiert, die lokale Darstellung des Zusammenhangs eines
Hauptfaserbündels (in der Physik Eichpotential/Eichbosonfeld ) mit
Krümmung desselben (in der Physik Feldstärke/Feldstärketensor) in
Verbindung bringt
•
•
•
•
In Komponenten
Yang-Mills-Gleichung mit Quellterm
Yang-Mills-Funktional bekommt die Form
In der Physik wird oft kompakte, halbeinfache Lie-Gruppe G ,
oder
betrachtet. Hermitesche Generatoren erfüllen
Kommutationsrelation
reelle Strukturkonstanten der Lie-Gruppe. Für Element U von G
• großer Fortschritt in Durchsetzung der Yang-Mills-Theorien war
Nachweis ihrer Renormierbarkeit durch Gerardus ’t Hooft
• In Mathematik Klassifikation differenzierbarer Strukturen auf 4Mannigfaltigkeiten
• Yang-Mills-Theorie grundlegend für Beschreibung der Welt der
Elementarteilchen, obwohl anfangs ungeeignet
• Mängel lagen bei Annahme der exakten Symmetrie des Isospins
sowie in der Ladung der Photonen: Photon muss masselos sein, gäbe
es allerdings geladenes Teilchen, welches leichter als Elektron ist,
sähe Welt anders aus
→ geladenen Photonen Masse verpassen, wodurch Reichweite eingeschränkt wird
• Gibt man neutralem Yang-Mills-Feld als einzigem große Reichweite,
treten Protonen/Neutronen-Unterschiede wieder auf, außerdem lokale
Isospin-Symmetrie nur annähernd erfüllt
• Probleme: Auftretende Unendlichkeiten nicht mit
Renormierungsverfahren zu beseitigen
→ Einführung eines „Geist“-Teilchens durch Feynman zu
Rechenzwecken. Wahrscheinlichkeit, Geistteilchen zu erzeugen
gleich Null
– Zitat Feynman: Heute habe ich etwas gemacht, was man nicht tun darf. Ich habe etwas
ersetzt, was ich nicht verstehe, durch etwas, was nicht beobachtbar ist
Dirac-Teilchen in der Yang-Mills-Theorie
• Wellenfunktion ψ eines mit Yang-Mills-Ladungen geladenen
Teilchens transformiert mittels
, U aus G
• Lagrange-Funktion für Dirac-Feld
mit Euler-Lagrange-Gleichungen folgen Bewegungsgleichungen für
geladenes Fermion-Teilchens. Dirac-Feld ψ koppelt an Yang-MillsFeld A (Eichfeld). Pünktchen stehen für Feldanteil, der nicht explizit
von ψ abhängt
• Wenn Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung starker Wechselwirkung
eingesetzt wird ( SU(3)-Eichtheorie in der QCD), beschreibt A das
Gluonfeld, die
stellen die acht Gluonenarten dar (die SU(3) hat 8
Generatoren, üblicherweise verwendet man die sog. Gell-MannMatrizen).
• Einige wichtige Yang-Mills Theorien mit geladenen FermionenMateriefeldern besitzen Eigenschaft der sog. asymptotischen Freiheit
bei hohen Energien bzw. kurzen Abständen, was von der Eichgruppe
und der Anzahl der Fermionentypen abhängt.
Gell-Mann-Matrizen
• Gell-Mann-Matrizen, mögliche Darstellung der infinitesimalen
Generatoren der Speziellen Unitären Gruppe SU(3)
• Acht hermitesche Generatoren, die man als Ti mit i=1..8 schreiben
kann. Erfüllen die Kommutatorrelation (Lie-Algebra)
Strukturkonstanten fabc komplett antisymmetrisch bzgl.
Vertauschung der Indizees. Für SU(3)
• Die Gell-Mann-Matrizen sind mit den obigen Generatoren (analog
zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
und haben als 3x3-Matrizen die Form
• Anwendung bei Berechnungen in QCD , die durch SU(3)-Theorie
beschrieben wird. Matrizen wirken auf Farbladungstriplets
Higgs-Mechanismus
• Erzeugung grundlegender Eigenschaft Masse der Elementarteilchen
• Mechanismus zentraler Bestandteil des Standardmodells der
Elementarteilchenphysik. Erklärt, warum einige Austauschteilchen
(„Eichbosonen“) nicht-verschwindende Masse besitzen, was in
einer Eichtheorie wie dem Standardmodell sonst nicht möglich
wäre.
• Das zugehörige Higgs-Teilchen ist einziges Teilchen des
Standardmodells, das noch nicht nachgewiesen werden konnte.
• In relativistischer Quantenfeldtheorie Higgs-Mechanismus meist
Erzeugung der Massen der Wechselwirkungsteilchen in Theorien
mit Eichsymmetrie durch die spontanen Brechung dieser
Symmetrie.
• Vor allem Fall nicht abelscher Symmetriegruppen, wie bei
schwacher Wechselwirkung, untersucht. Higgs-Mechanismus
erklärt erstmals Massen der wichtigen Eichbosonen Z0, W+ und W-
• Mathematische Grundlage ist Yang-Mills-Theorie, die allgemeine
Theorie der zunächst masselosen Eichbosonen.
• Derartiger Mechanismus für einfachere abelsche Eichsymmetrien,
wie bei elektromagnetischer Wechselwirkung, ursprünglich in der
Festkörperphysik vorgeschlagen.
• Ginzburg-Landau-Theorie (1950) beschreibt vollständig
Herausdrängen von Magnetfeldern aus supraleitenden Metallen →
Meißner-Ochsenfeld-Effekt.
• Endliche Eindringtiefe λ des Magnetfeldes kann interpretiert
werden, als hätte Feld durch die Supraleitung effektive Masse Mλ
bekommen, entsprechend der Beziehung
• Ginzburg-Landau-Theorie sagt im Unterschied zur
mikroskopischen BCS-Theorie (1957) Existenz von Cooper-Paaren
nicht voraus. Analog wird experimenteller Existenz-Nachweis des
Higgs-Mechanismus voraussichtlich keine mikroskopische
Erklärung für Natur/Eigenschaften des Higgs-Teilchens ergeben
• In Elementarteilchenphysik: Kräfte werden durch Austausch
sogenannter Eichbosonen beschrieben
• Bei Teilchen mit Masse müsste man Massenterme in
Bewegungsgleichung einfügen. Dann würden sich Eichfelder der
Eichbosonen ändern, das geht nicht aufgrund lokaler Symmetrie
→ Eichkovarianz der Bewegungsgleichung
• Prinzip der spontanen Symmetriebrechung, um einerseits Kraftgesetz
zu erhalten, andererseits den Eichbosonen Masse zu geben
→ Einführung des Higgs-Felds. Wechselwirkt so mit allen anderen
Feldern und mit sich selbst, dass Eichbosonen Masse erhalten.
• spontane Symmetriebrechung hat nach Goldstonetheorem Existenz
masseloser Goldstonebosonen zur Folge (nur globale Symmetrie)
• Brechung lokaler Symmetrien wird mit dem Higgs-Mechanismus
beschrieben: in Eichfeldern treten keine Goldstonebosonen in
Erscheinung. Stattdessen: Goldstonemoden des Higgs-Feldes werden
zu longitudinalen Polarisationsfreiheitsgraden der Eichfelder, diese
bekommen zugleich Masse
• Higgs-Mechanismus entwickelt von Peter Higgs, F. Englert, Robert
Brout
• Higgs-Feld zusätzliches Feld, welches im Vakuum nicht verschwindet,
muss Energie aufwenden, um es auf Null zu reduzieren, Energie am
kleinsten, wenn es überall gleich ist und positiven Wert hat
• Higgsfeld Bezugssystem für Isospinvektor → Proton/Neutron
unterscheidbar →Beispiel für die von Werner Heisenberg entwickelte
spontane Symmetriebrechung
• Beispiel: Übergang eines Ferromagneten in magnetisierten Zustand
• Wie wird Masse erzeugt?
 Higgsfeld skalar, also Feldquant hat Spin 0
 Yang-Mills-Felder Vektorfelder, also Spin 1 → 3Spinzustände: parallel,
antiparallel, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
 Yang-Mills-Feldquanten haben Lichtgeschwindigkeit → fehlt der dritte
Spinzustand
 Quanten der Yang-Mills-Felder vereinigen sich paarweise mit Quanten des
Higgs-Feldes, erhalten Masse und fehlende Spinzustand, Higgsteilchengeist
Higgs-Potential
• Lagrange-Dichte des Higgs-Feldes Φ, mit der (direkt sichtbaren)
Selbstwechselwirkung und der (nur indirekt sichtbaren, weil nur in
den D-Operatoren enthaltenen) Kopplung an Eichfelder A lautet
eichkovariante Ableitung,
Eichgruppengeneratoren
Eichfelder
• Potential des Higgsfeldes
Komplex, 3-dim. als
Maxican Hat-Potenzial darstellbar
• Wichtigste Eigenschaft in allen Dimensionen: mindestens
zweidimensionaler Kreis solcher Minima, die nicht bei Null liegen,
sondern den tiefsten Zuständen des Flaschenbodens entsprechen
• Minima des Potentials günstigster Energiezustand für das Feld, weil
es dort niedrigste Energie hat. Bezeichnet entarteten Grundzustand
als Vakuum-Zustand.
• Betrag von Φ im Grundzustand ist der
Vakuumerwartungswert
• Vakuumerwartungswert ergibt mit den
Eichfeld-Termen aus den kovarianten
Ableitungen (erster Ausdruck von
)
die Massenterme für die Eichfelder
Beiträge der Form
mit
• Bei Teilchen, z. B. die Quarks oder andere Fermionen, bei denen
Massenterme nicht die Eichinvarianz stören, können diese Terme
durch Higgs-Mechanismus erklärt werden: → YukawaKopplungen der Fermionen an das Higgs-Feld mit zunächst
unbekannten Kopplungskonstanten Gψ, welche nach Brechung der
Eichsymmetrie ( Entwicklung der Lagrangedichte um einen
Grundzustand) wieder die – jetzt explizit und konsistent
eichinvarianten – Masseterme ergeben
• Lagrangedichte für Wechselwirkung eines Fermionfeldes ψ mit
Higgs-Feld (und dem Eichfeld)
γμ Dirac-Matrizen, Gψ Parameter der Yukawa-Kopplung
• Existenz eines endlichen Vakuumerwartungswertes ist Grund für
Anwesenheit von Masse
• Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes bricht im Standardmodell
gekoppelte lokale SU(2)×U(1)-Eichsymmetrie (zugehörige
Erhaltungsgrößen: Schwacher Isospin und schwache Hyperladung)
zur elektromagnetischen U(1)-Symmetrie (zugehörige
Erhaltungsgröße: Elektrische Ladung). Drei Eichbosonen (die Wund Z-Bosonen) erhalten dabei Masse und einen longitudinalen
Polarisationsfreiheitsgrad (Photon bleibt masselos und transversal)
• vierter Freiheitsgrad des Higgs-Feldes (welches als SU(2)-Dublett
aus zwei komplexen = 4 reellen Feldern besteht) ergibt Higgs-Boson
• Higgs-Feld koppelt anscheinend nicht an masselose Lichtquanten
(Photonen) und erzeugt selbst Masse, Zusammenhang mit der
astrophysikalisch interessanten dunklen Materie liegt nahe.
Weinberg-Salam-Modell
• Yang-Mills-Theorie ursprünglich für starke Wechselwirkung
• Weinberg, Salam und Ward Modell für schwache Wechselwirkung,
die auf mit Higgsmechanismus modifizierter Yang-Mills-Theorie
basiert. Theorie ist renormierbar.
• Modell beruht auf lokaler Isospinsymmetrie mit vier Yang-MillsFeldern, die zu den Vektorbosonen W+, W-, Z0 werden, sowie zum
masselosen neutralen Photon des elektromagnetischen Feldes
• Drei „Geist“-Higgsteilchen können nicht beobachtet werden,
viertes Higgsteilchen kann bei hoher Energie gemessen werden
• Eichtheorie der starken Wechselwirkung erst durch Endeckung der
Quarks möglich, und Theorie muss Regeln erklären, nach denen
sich Quarks zu Hadronen zusammensetzen → QCD
• QCD nicht-abelsche Eichtheorie, die unter lokaler Farbtransformation symmetrisch ist
• Globale Farbsymmetrie durch Pfeile statt Farben darstellbar
Higgs-Mechanismus: mathematische Behandlung
Folgen der lokalen Eichinvarianz
QED-Lagrangedichte
Beispiel anhand der QED
Higgsmechanismus in SU(2)xU(1)-Symmetrie
Ergebnisse in SU(2)xU(1)-Symmetrie
Das Higgs-Boson: Kopplung
Produktion
N=4 Supergravitation
•
•
•
•
•
•
Eine Supergravitationstheorie wird durch Satz von Feldern in einer Lagrangedichte
beschrieben. Bewegungsgleichungen ergeben sich aus Wirkungsprinzip. Wirkung
ist invariant unter der Super-Poincaré-Algebra
Wenn Vakuumzustand supersymmetrisch ist, müssen Superpartner gleiche Masse
haben, was durch Experimente ausgeschlossen ist. Daher muss Symmetrie
gebrochen sein, entweder durch explizit die Symmetrie verletzenden Zusatzterm
oder durch spontane Symmetriebrechung
Es gibt Supergravitationstheorien in bis zu 11 Dimensionen. Anzahl der
Supersymmetrien N ist beschränkt, wobei maximal mögliche Anzahl abhängig von
Dimension .
In 11 Dimensionen N = 1, in 10 Dimensionen N durch 2 und in 4 Dimensionen N
durch 8 beschränkt.
Für D = 4, N = 4 Supergravitation existiert neben dem Gravitationsmultiplett noch
ein Vektormultiplett, im Gegensatz zur maximalen N = 8 Supergravitation hat man
bei der Lagrangedichte Spielraum
N = 4 Supergravitation spielt bedeutende Rolle als Niederenergie-Approximation
von Superstringtheorien. Aus N = 4 Skalarpotential können phänomenologisch
interessante N = 1 Kähler-Potentiale und Superpotentiale ausgerechnet werden
Stringtheorie und dimensionale Reduktion
•
Bausteine der Stringtheorie sind keine punktförmigen Teilchen, sondern
eindimensionale offene und geschlossene Objekte, die Strings.
• Verschiedene Teilchen entsprechen verschiedenen Schwingungsmoden der
Strings. Zu Strings können noch höherdimensionale Objekte sogenannte Dbranes kommen.
• Noch aus Stringtheorie einfügen
• Supersymmetrische Stringtheorie hat 10 oder 11 Dimensionen. Objekte des
massiven Spektrums sind sehr schwer , daher interessiert man sich
hauptsächlich für die masselosen Objekte, sogenannte Nullmoden
•
.
Durch richtige Kompaktifizierung und Symmetriebrechung können diese
Objekte in 4 Dimensionen Masse erhalten.
• Es gibt fünf verschiedene Typen von Stringtheorien:
I, Heterotisch E8×E8, Heterotisch SO(32), IIA und IIB.
Konventionen und Formeln
•
•
•
4-dimensionale Raum-Zeit Metrik hat Signatur (-,+,+, +).
Epsilon-Tensor mit Raum-Zeit Indizes
Γ-Matrizen:
wobei
• Mit den Pauli-Spinmatrizen und dem Epsilontensor Darstellung
Ungeeichte N=4, D=4 Supergravitation