Beweis von Satz 6.4 (Starkes Gesetz der großen Zahlen): Wir zeigen

Beweis von Satz 6.4 (Starkes Gesetz der großen Zahlen):
Wir zeigen Zn := X n − µ =
1
n
n
P
P −f.s.
(Xi − µ) −→ 0
i=1
P −f.s.
a) Zeigen zunächst, dass Zn2 −→ 0
V arZn2 =
1
n4
n2
P
i=1
V arXi ≤
M
,
n2
³
´
d.h. P |Zn2 | ≥ ε ≤
|
{z
↑
Xi unabh.
∞
P
Damit:
n=1
=: An
³S
k
V arZn2
ε2
≤
M
ε2 n2
↑
(5.21)
³
´
P (An ) < ∞ =⇒ P {ω : Zn2 (ω) ≥ 1/k unendlich oft} = 0
|
{z
=: A∗k
↑
Borel/Cantelli
ε = 1/k
Dann aus σ-Additivität von P :
P
}
´
A∗k = 0 =⇒ P
³S
k
´
A∗k = P
³\
A∗k
´
}
=1
k
| {z }
=: E
Für ω ∈ E gibt es also zu jedem k nur endlich viele n mit Zn2 (ω) ≥ 1/k, d.h.
für diese ω gilt lim Zn2 (ω) = 0.
n→∞
b) Für m ∈ N sei n(m) die natürliche Zahl mit (n(m))2 ≤ m < (n(m) + 1)2 . Wir
schreiben kurz n(m) = n und vergleichen Zm mit Zn2 , sei Sk :=
V ar(Sm − Sn2 ) =
m
P
i=n2 +1
V arXi ≤ M (m − n2 )
k
P
(Xi − µ).
i=1
und
2
)
, d.h.
P (|Sm − Sn2 | ≥ εn2 ) ≤ M (m−n
ε2 n4
↑
(5.21)
∞
P
m=1
P
³
1
|Sm
n2
=
M
ε2
´
− Sn2 | ≥ ε ≤
∞
P
2n(2n+1)
n=1
2n4
M
ε2
2
∞ (n+1)
∞
P
P −1 m−n2
P
1
=M
(1 + 2 + · · · + 2n)
4
2
n
ε
n4
n=1 m=n2
n=1
< ∞,
d.h. mit Borel/Cantelli folgt in analoger Schlussweise zu a):
Für P -fast alle ω und hinreichend große m : n12 |Sm − Sn2 | < ε.
|S |
Da nach a) nn22 = |Zn2 | < ε muss für Sm mind. |Snm2 | < 2ε sein.
Damit ist aber |Zm | = |Smm | ≤ |Snm2 | < 2ε, d.h. m→∞
lim Zm (ω) = 0.