Aufgaben ~ Beispiele

Aufgaben ~ Beispiele
1.Beim Herstellungsprozess einer Ware ist bekannt, dass 80% fehlerfrei, 15% mit leichten (vernachlässigbaren) Fehlern und 5%
mit großen Fehlern hergestellt werden.
Zufallsgröße X = die Anzahl der Waren mit großen Fehlern.
a) Man simuliere N=200 mögliche Werte von X.
b) Welches ist die mittlere Anzahl M der Waren mit großen Fehlern?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass von den nächsten hergestellten 100 Exemplaren dieser Ware
1) höchstens 3
2) genau 10
3) mindestens 4
große Fehler besitzen?
Zur Lösung dieser Aufgabe benutzt man die Binomialverteilung Bin(100,0.05).
Matlab Befehle: binornd, mean, binocdf, binopdf
a) X=binornd(100,0.05,1,200)
b) M=mean(X)
das arithmetische Mittel
c) P1=binocdf(3,100,0.05)
weil P1=P(X≤3)=F(3)
F=Verteilungsfunktion von X
P2=binopdf(10,100,0.05)
weil P2=P(X=10)
P3=1-binocdf(3,100,0.05)
weil P(X≥4)=1-P(X<4)=1-P(X≤3), da X= natürliche Zahl
2.Die Lebensdauer eines elektronischen Gerätes werde als normalverteilt angenommen. Der Erwartungswert betrage
μ= 10000 Stunden, und die Standardabweichung σ=1000 Stunden.
Zufallsgröße X = die Lebensdauer des elektronischen Gerätes
a) Man simuliere N=10 mögliche Werte von X.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommenes Fernsehgerät
l) mindestens 12000 Stunden;
2) höchstens 6500 Stunden;
3) zwischen 7500 und 10500 Stunden
läuft?
c) Man berechne den Wert des Quantils der Ordnung 0.05 für diese Normalverteilung.
Zur Lösung dieser Aufgabe benutzt man die Normalverteilung N(μ, σ2).
Matlab Befehle: normrnd, normcdf, norminv
a) X=normrnd(10000,1000,1,10)
b) P1=1-normcdf(12000, 10000,1000)
1
weil P1=P(X≥12000)=1- F(12000), F=Verteilungsfunktion von X (X hat stetige Verteilung)
P2= normcdf(6500, 10000,1000)
weil P2=P(X≤6500)
P3= normcdf(10500, 10000,1000) - normcdf(7500, 10000,1000)
weil P3=P(7500≤X≤10500)=F(7500)-F(10500)
c) Q=norminv(0.05,10000,1000)
das Quantil Q erfüllt die Eigenschaft: 0.05=F(X≤Q)
3. Betrachten wir die Stichprobe :
3150 , 3249 , 3059 , 3361 , 3248 , 3254 , 3259 , 3353 , 3145 , 3051
vom Umfang n=10 für die Lebensdauer in Stunden von 100 Watt-Glühbirnen, die von einer Firma produziert wurden.
Hier wurde die Lebensdauer von 10 zufällig aus der Produktion eines bestimmten Zeitraums ausgewählten Glühbirnen
bestimmt. Diese Stichprobe dient zur Untersuchung des Merkmals (Zufallsgröße) X der Lebensdauer in der
Grundgesamtheit der Glühbirnenproduktion der Firma.
a) Welches ist die durchschnittliche Lebensdauer der Glühbirnen? Welches ist die Stichprobenvarianz?
b) Stimmt die Aussage des Herstellers, dass diese Glührbirnen im Mittel mehr als 3100 Stunden dauern? Man nimmt an
α=0.01 und X hat normale Verteilung.
X=[3150 , 3249 , 3059 , 3361 , 3248 , 3254 , 3259 , 3353 , 3145 , 3060]
m=mean(X)
v=var(X)
h=ttest(X,3100,0.01,'left')
h=0 → H0 wird akzeptiert → die Aussage des Herstellers stimmt
hh=ttest(X,3100,0.01,'right')
hh=1 → H1 wird akzeptiert
TTEST(X,M, α,TAIL) performs the test against the alternative hypothesis specified by TAIL:
'both' -- "mean is not zero (or M)" (two-tailed test) H1: mean ≠ M; H0: mean = M
'right' -- "mean is greater than zero (or M)" (right-tailed test) H1: mean > M ; H0: mean ≤ M
'left' -- "mean is less than zero (or M)" (left-tailed test) H1: mean < M ; H0: mean ≥ M
ODER
E(X)= durchschnittliche Lebensdauer
H0: E(X) ≥ 3100 , H1: E(X) < 3100
Kurzes Programm:
X=[3150 , 3249 , 3059 , 3361 , 3248 , 3254 , 3259 , 3353 , 3145 , 3060]
n=length(X);
t=(mean(X)-3100)/(var(X)/sqrt(n));
q=tinv(0.01,n-1)
if t>q
disp(‘man akzeptiert H0’)
else
disp(‘man lehnt H0 ab’)
end
4. Stichprobenvariablen in Histogrammen dargestellt
X =[299, 299 , 297, 300 , 299, 301, 300, 297, 302, 303, 300, 299, 301, 302, 301, 299, 300, 298, 300, 300, 296, 304,295,295,297];
Klassenmitten in U, Klassenbreite 2 → U = min(X) : 2 : max(X)
2
Histogramm von den Daten in X mit Klassenmitten in U, Klassenbreite 2→ hist(X,U)
H=hist(X,U);
→ H =[ 3, 4, 11, 5, 2]
pie(H)
5. Eine Maschine produziert 10mm lange Schrauben mit einer Standardabweichung von  =1mm. Die Länge der
Schrauben kann als normalverteilt angesehen werden. Anhand von (2 a) Simulationen (2 b) spezifischen
Matlabbefehlen berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass



eine Schraube kürzer ist als 9 mm;
eine Schraube höchstens 10.1 mm und mindestens 8.9 mm lang ist;
eine Schraube nicht verkauft werden kann, also um mehr als 5mm vom Standardwert 10 mm abweicht.
6. (1) Man stelle die Verteilungsfunktion der Poisson Verteilung mit Parameter λ =1 dar.
(2) Anhand von Simulationen berechne man die Wahrscheinlichkeit P(X>1) , den Erwartungswert und die
Varianz für eine zufällige Variable X ~ Poisson(1).
7.
C=(0,2)
(0,1)
A=(0,0)
(1,0)
B=(2,0)
Man wählt zufällig einen Punkt innerhalb des Dreiecks mit den Spitzen in A,B,C. Man berechne die
Wahrscheinlichkeit, dass dieser Punkt innerhalb des grauen Dreiecks ist.
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